高三数学知识点综合复习检测14
高三文科数学直线与方程知识点复习
直线与方程一、倾斜角当直线与X轴相交时,取X轴为基准,叫做直线得倾斜角。
当直线与X轴平行或重合时,规定直线得倾斜角为,因此,直线得倾斜角得取值范围就是。
二、斜率(1)定义:一条直线得倾斜角得叫做这条直线得斜率;当直线得倾斜角时,该直线得斜率;当直线得倾斜角等于时,直线得斜率。
(2)过两点得直线得斜率公式:过两点得直线得斜率公式。
若,则直线得斜率,此时直线得倾斜角为。
练习:1、已知下列直线得倾斜角,求直线得斜率(1)(2)(3)(4)2、求经过下列两点直线得斜率,并判断其倾斜角就是锐角还就是钝角(1) (2)(3) (4)3,判断正误（1）直线得倾斜角为任意实数。
( )（2）任何直线都有斜率。
( )（3）过点得直线得倾斜角就是。
( )（4）若三点共线,则得值就是-2、( )三、注:必记得特殊三角函数值表四、直线得常用方程1、直线得点斜式: 适用条件就是:斜率存在得直线。
2、斜截式:3、截距式: ,为x轴与y轴上得截距。
4、两点式: ()5、直线得一般式方程:练习:1、写出下列直线得点斜式方程（1）经过点A(3,-1),斜率为（2）经过点倾斜角就是（3）经过点C(0,3),倾斜角就是（4）经过点D(-4,-2),倾斜角就是2、写出下列直线得斜截式方程（1）斜率就是在轴上得截距就是-2（2）斜率就是-2,在y轴上得截距就是43、填空题（1）已知直线得点斜式方程就是则直线得斜率就是_________,经过定点________,倾斜角就是______________;（2）已知直线得点斜式方程就是则直线得斜率就是_________,经过定点________,倾斜角就是______________;4、判断(1)经过顶点得直线都可以用方程表示。
( )(2)经过顶点得直线都可以用方程表示。
( )(3)不经过原点得直线都可以用表示。
( )(4)经过任意两个不同得点得直线都可以用方程表示。
( )直线得一般式方程为:,当B不等于0时直线得斜率为_________一般求完直线方程后化成一般式。
高三数学复习模块的知识点总结（3篇）
高三数学复习模块的知识点总结任一____A，____B，记做ABAB，BAA=BCard(AB)=card(A)+card(B)-card(AB)(1)命题原命题若p则q逆命题若q则p否命题若p则q逆否命题若q，则p(2)AB,A是B成立的充分条件BA,A是B成立的必要条件AB,A是B成立的充要条件1.集合元素具有①确定性;②互异性;③无序性2.集合表示方法①列举法;②描述法;③韦恩图;④数轴法(3)集合的运算①A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)②Cu(A∩B)=CuA∪CuBCu(A∪B)=CuA∩CuB(4)集合的性质n元集合的字集数：2n真子集数：2n-1;非空真子集数：2n-2高三数学复习模块的知识点总结（二）不等式的解集：①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
③求不等式解集的过程叫做解不等式。
不等式的判定：①常见的不等号有“>”“<”“≤”“≥”及“≠”。
分别读作“大于，小于，小于等于，大于等于，不等于”，其中“≤”又叫作不大于，“≥”叫作不小于;②在不等式“a>b”或“a③不等号的开口所对的数较大，不等号的尖头所对的数较小;④在列不等式时，一定要注意不等式关系的关键字，如：正数、非负数、不大于、小于等等。
不等式分类：不等式分为严格不等式与非严格不等式。
一般地，用纯粹的大于号、小于号“>”“<”连接的不等式称为严格不等式，用不小于号(大于或等于号)、不大于号(小于或等于号)“≥”(大于等于符号)“≤”(小于等于符号)连接的不等式称为非严格不等式，或称广义不等式。
通常不等式中的数是实数，字母也代表实数，不等式的一般形式为F(____，y，……，z)≤G(____，y，……，z)(其中不等号也可以为<，≥，>中某一个)，两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域，不等式既可以表达一个命题，也可以表示一个问题。
高三数学高考知识点相等函数复习题(最新整理)
A. ①④ B. ②③ C. ③④ D. ①②
4．下列哪组中的两个函数是同一函数 （ ）
2
A. y x 与 y x
3
B. y 3 x 与 y x
2
2
C. y x 与 y x
D.
y
3
x
3
与y
x2
x
5．下列函数中哪个与函数 y x 相等
2
A. y x
B. y= 3 x3
2
x 的定义域不同，故不是同一函数；对于 D ，
y 3 x3 与 y x2 的
x
定义域不同，故不是同一函数，故选 B.
【方法点睛】本题通过判断几组函数是否为同一函数，主要考查函数的定义域、值域以及对
应法则，属于中档题.判断函数是否为同一函数，能综合考查学生对函数定义的理解，是单
元测试卷经常出现的题型，要解答这类问题，关键是看两个函数的三要素：定义域、值域、
都相同，三者有一个不同，两个函数就不是同一函数.
7．A
【解析】 B 选项 f x 定义域为 R ， g x 定义域 x 1 ，故不是相同函数. C 选项值域
不同， D 选项定义域不同，故选 A .
8．C 【解析】分析：由题意结合函数的定义考查函数的定义域和对应关系即可求得最终结果. 详解：逐一考查所给的选项：
对于 C：
，定义域为{x|x≥0}，它们定义域不相同，∴不是同一函数；
对于 D：
，定义域为 R，对于关系也相同，∴是同一函数；
故选：D．
点睛：本题通过判断函数是否为同一函数主要考查函数的定义域、值域以及对应法则，属于
中档题. 判断函数是否为同一函数，能综合考查学生对函数定义的理解，是单元测试卷经常
高三数学期末复习的知识点梳理
高三数学期末复习的知识点梳理高三数学期末复习的知识点梳理1一、极坐标系的建立在平面内取一个定点O，叫作极点，引一条射线OX，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向(通常取逆时针方向)。
对于平面内任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，θ表示从OX到OM的角度，ρ叫点M的极径，θ叫点M的极角，有序数对(ρ,θ)，就叫点M的极坐标。
这样建立的坐标系叫极坐标系，记作M(ρ,θ).若点M在极点，则其极坐标为ρ=0，θ可以取任意值。
二、极坐标和直角坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，X轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M是平面内任意一点，其直角坐标(x，y)，极坐标是(ρ,θ)，从点M作MN⊥OX，由三角函数定义，得x=ρ cos θ,y=ρ sin θ.高三数学期末复习的知识点梳理2导数公式1.y=c(c为常数) y'=02.y=x^n y'=nx^(n-1)3.y=a^x y'=a^xlnay=e^x y'=e^x4.y=logax y'=logae/xy=lnx y'=1/x5.y=sinx y'=cosx6.y=cosx y'=-sinx7.y=tanx y'=1/cos^2x8.y=cotx y'=-1/sin^2x9.y=arcsinx y'=1/√1-x^210.y=arccosx y'=-1/√1-x^211.y=arctanx y'=1/1+x^212.y=arccotx y'=-1/1+x^2高三数学期末复习的知识点梳理3一、函数的最值定义1.值值：设函数y=f(x)定义域为I，如果存在实数M满足：对于I中任意的x，都有f (x)<=M;I中存在一个数x0使得f(x0)=M。
则称M是函数y=f(x)的值，记作f(x)max=f(x0)=M2.最小值最小值：设函数y=f(x)定义域为I，如果存在实数M满足：对于I中任意的x，都有f(x)>=M;I中存在一个数x0使得f(x0)=M。
河北区2023-2024学年度高三年级总复习质量检测(一)数学(3.20)终稿 答案
河北区2023－2024学年度高三年级总复习质量检测（一）数 学 答 案一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．（10）12i −−； （11）40−； （12）1:2； （13）0.0198，49148； （14）18； （15）114a <<或1a <−.三、解答题：本大题共5小题，共75分． （16）（本小题满分14分）解:（Ⅰ）∵cos cos 2cos b C c B a A +=，由正弦定理，得sin cos sin cos 2sin cos B C C B A A +=，sin()sin 2sin cos B C A A A +==， ∵0π()A ∈，，sin 0A ≠，∴1cos 2A =， π3A =. …………5分 （Ⅱ）∵2cos 2cos1312C C ==−，22cos 23C =，∵π(0)∈C ，，(022π)C ∈，， ∴cos 2C =，sin 23C ==，（Ⅲ）ABD △中，由余弦定理，得222(12cos 222)b cBDA b c +==⋅−，∴ 224228b c bc =+−，ABC △中，由余弦定理，得2221cos 22c b a A c b+==⋅−，∴ 2228b c bc =+−，联立2222422828b c bc b c bc ==+−⎧+⎪⎩−⎪⎨，，得 23c bc =，3b c =，代入224228b c bc =+−，解得6b =，2c =. ∴ABC △的面积111sin 26s π3in262222S bc A ==⨯⨯⨯⨯⨯=⨯= …………14分（17）（本小题满分15分）证明：（Ⅰ）∵1A A ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，以A 为原点，分别以AB 、AC 、1AA 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.∵4AB AC ==，111112A B A C A A ===，点D 是1CC 的中点，∴(000)(400)(040)A B C ，，，，，，，，，111(002)(202)(022)(031)A B C D ，，，，，，，，，，，，则1(2)02BB −=,,，(0)40AC =,,，1(2)02AB =,,. 设平面1AB C 的法向量为()，，=x y z m ，则有100AC AB ==⋅⋅⎧⎪⎨⎪⎩，，m m40220y x z =+=⎧⎨⎩，， 不妨令1=x ，得01y z ==−，， ∴ (101)=−，，m ． ∵12()022BB −−==,,m ,∴1BB ⊥平面1AB C . …………5分 （Ⅱ）(40)0AB =，，，(031)AD =，，, 设平面ABD 的法向量为()x y z =，，n ，则有00AB AD ⋅==⋅⎧⎪⎨⎪⎩，，n n4030z x y =+=⎧⎨⎩，， 不妨令1y =，得03z x ==−，， ∴ (013)=−，，n ． ∵1(2)02AB =，，，则1||==||A d B ⋅=n n ， ∴点1B 到平面ABD． …………10分（Ⅲ）设平面1AB C 与平面ABD 的夹角为θ，∵平面1AB C 的法向量为(101)=−，，m ，平面ABD 的法向量为(013)=−，，n，|cos ||cos |10θ⋅=<>===，m n m n m n ，∴平面1AB C 和平面ABD10. …………15分（18）（本小题满分15分）解：（Ⅰ）24x y =的焦点F 的坐标(01)，，由0a b >>， 1b =，2c ae ==，∵222a b c =+，得24=a ，∴椭圆的方程为2214xy +=. …………5分（Ⅱ）(20)A −，，(20)B ，， 由题意可知，直线AP 的斜率存在，且不为0，设直线AP 的斜率1k k =, 直线AP 的方程为(2)=+y k x ，联立22(2)14y k x x y =++=⎧⎪⎨⎪⎩，，消去y ， 得222214)161640k x k x k +++−=(.∵直线AP 过点A ，22164(2)14P k x k−−=+，∴222814P k x k−=+.代入(2)=+y k x ，得2414P k y k=+，∴222284()1414kk P k k−++，. …………8分同理：直线BQ 的方程为2(2)y k x =−，联立222(2)14y k x x y =−+=⎧⎪⎨⎪⎩，，消去y ， 得2222116)646440k x k x k +−+−=(.∵直线BQ 过点B ，226442116Q k x k−=+，∴22322116Q k x k=+−.代入2(2)y k x =−，得28116Q ky k=+−，∴2223228()116116k kQ k k−−++，. …………11分 若P Q x x ≠，22222832214116k k kk−−≠++，即218k ≠直线PQ 的斜率 222222422484(116281411628322425614116)PQkkk k k k k k k k kkk+++++===−−−−+++22223(18)3(18)(18)18k k k k k k+=+−−，直线PQ 的方程为22224328)141814(k k k kkky x −−=−+−+，令0y =，解得222222324624822314)314)314)3(((k kk k k k x −−+=+==+++，∴直线PQ 过定点2(0)3，. …………14分 若P Q x x =，218k =，此时23P Q x x ==，直线PQ 也过点2(0)3，. ∴直线PQ 过定点2(0)3，. …………15分解：（Ⅰ）联立2111012109101002b b q a d S a d ===⨯=+=⎧⎪⎨⎪⎩，，即1122920a d a d =+=⎧⎨⎩，， 代入整理，292040d d −+=，∵1d >，∴2d =，111a b ==，2q =.12(1)21n a n n =+−=−，11122n n n b −−=⋅=. …………5分（Ⅱ）12m m b −=，12n n b −=，12p p b −=，若m b ，n b ，p b 成等差数列， 则有2m p n b b b +=，即11122222m p n n−−−+=⋅=，等式的左右两边同时除以12m −，可得1122p mn m −−++=，∵m n p <<，2p m −≥，12n m −+≥，2p m−为偶数，12n m −+为偶数，而1是奇数，等式不成立，∴m b ，n b ，p b 不能成等差数列. …………10分 （Ⅲ）22222cos sinπππ33cos3)(n n n c a n n a n ==−，22336π(61)3cosn n c n a n ==−，223131(2π1(636)cos ())32n n c a n n −−−==−−，223232(4π1(656)cos())32n n c a n n −−−==−−，2223313211(61)(63)(65)36162()()2n n n c c c n n n n −−++=−+−−+−−=−，∴3(3616)(36216)(3616)n P n =−+⨯−++−2(203616)1822n nn n +−==+. …………15分解：（Ⅰ）2()ln f x x x x =−， ()ln 12f x x x '=+−，112()2x f x x x−''=−=，令()0f x ''=， 解得12x =.∵0x >，当x 变化时，()f x ''，()f x '的变化情况如下表：∴当2x =时，()f x '有极大值，也就是最大值，而1111()ln 12ln 02222f '=+−⋅=<，∴()0f x '<在(0)+∞，上恒成立， ∴()f x 在(0)+∞，上单调递减. …………6分∴当1x =时，()g x 有极大值，也就是最大值. 而(1)0g =，∴当0x >时，2ln 0x x x x −+≤. 令()1xh x ex −=+−，()1xh x e −'=−，当0x >时，()0h x '>恒成立，()h x 在(0)+∞，上单调递增，而(0)0h =，∴当0x >时，10x e x −+>−，∴2ln 1x x x x x e x −−+<−+. …………12分 （Ⅲ）已知0a >，0b >，且1ab >， ∴10b a>>. 由（Ⅰ）可知，函数()=y f x 在(0)+∞，上单调递减， ∴1()()f b f a<.由（Ⅱ）可知，当0x >时，2ln 0x x x x −+≤，即2ln x x x x −−≤， 即()f x x −≤，∴11()()()()2f a f b f a f a a a+<+−−−≤≤，∴()()2f a f b +<−. …………16分注：其他解法可参照评分标准酌情给分。
高三数学 高考知识点 函数的定义域复习题
高三数学 高考知识点 函数的定义域复习题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合 ， ，则 为（ ） A. B. C. D.2．若函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 3．函数的定义域是（ ）A. B. C. D.4．已知集合{}|A x y ==， {}| B x x a =≥，若A B A ⋂=，则实数a 的取值范围是( )A. (],3-∞-B. (),3-∞-C. (],0-∞D. [)3,+∞ 5．函数的定义域为（ ）A. B. C. D. 6．函数的定义域为（ ）A.B.C.D.7．函数()()lg 1f x x =+的定义域为（ ）A. ()(]1,00,1-⋃B. (]1,1-C. (]4,1--D. ()(]4,00,1-⋃ 8．若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝的定义域是 ( )A. [0,1]B. [0,1)C. [0,1)∪(1,4]D. (0,1)9．若函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D.10．已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( )A. (－1,1)B.C. (－1,0)D.二、填空题11．函数 的定义域为________． 12．函数 的定义域为_____________． 13．函数的定义域为__________．14．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为__________．三、解答题15合B .（1）若4B ∈，求实数a 的取值范围； （2）求满足B A ⊆的实数a 的取值范围. 16．已知函数是奇函数．(1)求a 的值和函数f(x)的定义域； (2)解不等式f(－m 2＋2m －1)＋f(m 2＋3)＜0.17．已知二次函数 ,且满足 . (1)求函数 的解析式;(2)若函数 的定义域为 ,求 的值域. 18．已知函数()()()22log 1log 1f x x x =--+. （1）求函数()f x 的定义域； （2）判断()f x 的奇偶性；（3）方程()1f x x =+是否有实根？如果有实根0x ，的区间(),a b ，使()0,x a b ∈；如果没有，请说明理由（注：区间(),a b 的长度b a -）19．已知 是定义在 上的增函数，且满足 ， . （1）求 的值，（2）求不等式 的解集.20．(1)已知函数f(x)的定义域是[1，5]，求函数f(x 2＋1)的定义域. (2)已知函数f(2x 2－1)的定义域是[1，5]，求f(x)的定义域.参考答案1．C【解析】分析：通过解二次不等式求得集合A ，利用根式函数的定义域求得集合B ，然后再根据交集运算求 ．详解：由题意得 ， ∴ ． 故选C ．点睛：本题考查交集运算、二次不等式的解法和根式函数的定义域，主要考查学生的转化能力和计算求解能力． 2．B【解析】分析：先根据真数大于零得 >0恒成立，再根据二次型系数是否为零讨论，最后结合二次函数图像得实数 的取值范围.详解：因为函数 的定义域为 ，所以 >0恒成立， 因为 成立，所以若 ，则由 得 ，因此 ， 选B.点睛：研究形如 恒成立问题，注意先讨论 的情况，再研究 时，开口方向，判别式正负，对称轴与定义区间位置关系，列不等式解得结果. 3．D【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负以及分母不为零列方程组，解方程组得定义域. 详解：因为 ，所以所以定义域为 ， 选D.点睛：求具体函数定义域，主要从以下方面列条件：偶次根式下被开方数非负，分母不为零，对数真数大于零，实际意义等. 4．A【解析】由已知得[]3,3A =-，由A B A ⋂=，则A B ⊆，又[),B a =+∞，所以3a ≤-.故选A. 5．A【解析】分析：根据函数的解析式，列出函数满足的条件，即可求解函数的定义域. 详解：由函数 ，可得函数满足 ，解得 ,即函数的定义域为 ，故选A.点睛：本题主要考查了函数的定义域，其中根据函数的解析式列出函数有意义满足的条件是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 6．D【解析】要使函数有意义，需满足，解得 ，即函数的定义域为，故选D. 7．A【解析】 由题意，函数()f x =满足2340{10 11x x x x --+≥+>+≠ ，解得11x -<≤且0x ≠，所以函数()f x 的定义域为()(]1,00,1-⋃，故选A. 8．D【解析】∵f (x )的定义域为[0,2]，∴要使f (2x )有意义，必有0≤2x ≤2，∴0≤x ≤1，∴要使g (x )有意义，应有∴0<x <1，故选D ．9．B【解析】分析：由题意知 ＞ 在 上恒成立，因二次项的系数是参数，所以分 和 两种情况，再利用二次函数的性质即开口方向和判别式的符号，列出式子求解，最后求并集即可．详解：∵函数 的定义域为 ， ∴ ＞ 在 上恒成立，①当 时，有 ＞ 在 上恒成立，故符合条件； ②当 时，由 ＞ ＝＜ ，解得 ＜ ＜ ， 综上，实数 的取值范围是 ． 故选B.点睛：本题的考点是对数函数的定义域，考查了含有参数的不等式恒成立问题，由于含有参数需要进行分类讨论，易漏二次项系数为零这种情况，当二次项系数不为零时利用二次函数的性质列出等价条件求解． 10．B【解析】解析：对于()211210f x x <<＋，－＋ ，即函数()21f x ＋11．[2，+∞）【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域. 详解：要使函数 有意义，则 ，解得 ，即函数 的定义域为 . 点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题. 12．【解析】由题意，根据对数函数的概念及其定义域可得， ，即 ，由指数函数 与 的图象可知，如图所示，当 时， 恒成立，所以正确答案为 ， .13．【解析】分析：由题得，解不等式组即得函数的定义域.详解：由题得，解之得 故答案为： . 点睛：（1）本题主要考查函数定义域的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)求函数的定义域时，考虑问题要全面，不要遗漏,本题不要遗漏了 14．[－1,2]【解析】分析：要求函数 的定义域，需求函数 中 的范围。
人教版高三数学复习知识点总结(2篇)
人教版高三数学复习知识点总结高中数学是一门关于数与形的科学，是培养学生逻辑思维和分析问题能力的重要学科。
在高三阶段，数学的学习内容相对较多，需要对前几年的数学知识进行深入的复习和巩固。
接下来，我将对人教版高三数学的复习知识点进行总结，帮助学生们进行整理和复习。
一、函数与方程1. 二次函数- 二次函数的概念与性质- 图像的性质（开口方向、对称轴等）- 平移、伸缩与翻折- 二次函数的一般式、顶点式、交点式- 判别式与根的性质- 解二次不等式- 二次函数与其他函数的关系（函数的复合、反函数等）2. 指数和对数函数- 指数函数和对数函数的概念与性质- 指数函数和对数函数的图像特点- 指数幂的性质和运算法则- 对数运算的性质和运算法则- 指数方程和指数不等式的解法- 对数方程和对数不等式的解法3. 三角函数- 弧度制与角度制的换算- 三角函数的图像与周期性- 三角函数的基本关系式与恒等式- 三角函数的运算性质与运算法则- 三角函数方程与三角函数不等式的解法- 解三角形的实际问题4. 高次方程和不等式- 一元高次方程的解法- 二元高次方程的解法- 一元高次不等式的解法- 二元高次不等式的解法- 高次方程和不等式的应用（实际问题的建立和解决）二、数列与数学归纳法1. 等差数列- 等差数列的概念与性质- 等差数列的通项公式和前n项和公式- 等差数列特殊求和公式的推导和应用- 等差数列简单应用（等差中项、等差平均项等）2. 等比数列- 等比数列的概念与性质- 等比数列的通项公式和前n项和公式- 等比数列特殊求和公式的推导和应用- 等比数列简单应用（等比中项、等比平均项等）3. 等差数列与等比数列的综合应用- 等差数列与等比数列的综合应用（数列的运算、数列的混合应用）4. 数学归纳法- 数学归纳法的基本思想与步骤- 数学归纳法与数列的联系- 数学归纳法的简单应用（证明不等式、性质等）三、三角恒等变换1. 三角函数的基本关系式与恒等式- 三角函数的基本关系式（同角三角函数值之间的关系）- 三角函数的恒等变换（三角函数的和差化积、积化和差等）2. 三角恒等式的证明- 三角恒等式的证明方法和技巧- 三角恒等式的应用（证明不等式、求解方程等）四、数学推理与解题方法1. 数学证明- 数学证明的基本思路和方法- 数学证明的常用技巧（对称性、反证法、递推关系等）2. 数学建模与解题方法- 数学建模的基本流程和方法- 数学建模中的常用工具（函数图像、数列和方程）3. 解决问题的思维方法与策略- 解决数学问题的思维方法（逻辑推理、归纳演绎等）- 解决数学问题的策略（抽象化、归纳思考、逆向思维等）以上是人教版高三数学复习知识点的总结，希望能够对同学们的复习提供帮助。
高三数学高考考试复习知识点归纳
高三数学高考考试复习知识点归纳要提高复习效率，必须使自己的思维与老师的思维同步。
而预习则是达到这一目的的重要途径，要做到“两先两后” ，即先预习后听课，先复习后作业。
以提高听课的主动性，减少听课的盲目性。
以下是小编给大家整理的高三数学高考考试复习知识点归纳，希望大家能够喜欢!1.数列的定义按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数都叫做数列的项.(1)从数列定义可以看出，数列的数是按一定次序排列的，如果组成数列的数相同而排列次序不同，那么它们就不是同一数列，例如数列 1，2，3，4，5 与数列 5，4，3，2，1 是不同的数列.(2)在数列的定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，在同一数列中可以出现多个相同的数字，如：-1 的 1 次幂，2 次幂，3 次幂，4 次幂，…构成数列：-1，1，-1，1，….(4)数列的项与它的项数是不同的，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于 f(n)，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于 f(n)中的n.(5)次序对于数列来讲是十分重要的，有几个相同的数，由于它们的排列次序不同，构成的数列就不是一个相同的数列，显然数列与数集有本质的区别. 如：2，3，4，5，6 这 5 个数按不同的次序排列时，就会得到不同的数列，而{2，3，4，5，6}中元素不论按怎样的次序排列都是同一个集合.2.数列的分类(1)根据数列的项数多少可以对数列进行分类，分为有穷数列和无穷数列. 在写数列时，对于有穷数列，要把末项写出，例如数列 1，3，5，7，9，…，2n-1 表示有穷数列，如果把数列写成 1，3，5，7，9，…或 1，3，5，7，9，… ，2n-1，… ，它就表示无穷数列.(2)按照项与项之间的大小关系或数列的增减性可以分为以下几类：递增数列、递减数列、摆动数列、常数列.3.数列的通项公式数列是按一定次序排列的一列数，其内涵的本质属性是确定这一列数的规律，这个规律通常是用式子 f(n)来表示的，这两个通项公式形式上虽然不同，但表示同一个数列，正像每个函数关系不都能用解析式表达出来一样，也不是每个数列都能写出它的通项公式;有的数列虽然有通项公式，但在形式上，又不一定是的，仅仅知道一个数列前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的，通项公式更非.如：数列 1，2，3，4，…，由公式写出的后续项就不一样了，因此，通项公式的归纳不仅要看它的前几项，更要依据数列的构成规律，多观察分析，真正找到数列的内在规律，由数列前几项写出其通项公式，没有通用的方法可循.再强调对于数列通项公式的理解注意以下几点：(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集 N_或它的有限子集{1，2，…，n}为定义域的函数的表达式.(2)如果知道了数列的通项公式，那么依次用 1，2，3，…去替代公式中的n 就可以求出这个数列的各项;同时，用数列的通项公式也可判断某数是否是某数列中的一项，如果是的话，是第几项.(3)如所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式.如 2 的不足近似值，精确到 1，0.1，0.01，0.001，0.0001，…所构成的数列 1，1.4，1.41，1.414，1.4142，…就没有通项公式.(4)有的数列的通项公式，形式上不一定是的，正如举例中的：(5)有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出的数列通项公式并不.4.数列的图象对于数列 4，5，6，7，8，9，10 每一项的序号与这一项有下面的对应关系：这就是说，上面可以看成是一个序号集合到另一个数的集合的映射.因此，从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整集 N_ (或它的有限子集{1，2，3，… ，n})的函数，当自变量从小到大依次取值时，对应的一列函数值.这里的函数是一种特殊的函数，它的自变量只能取正整数.由于数列的项是函数值，序号是自变量，数列的通项公式也就是相应函数和解析式.数列是一种特殊的函数，数列是可以用图象直观地表示的.数列用图象来表示，可以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标，描点画图来表示一个数列，在画图时，为方便起见，在平面直角坐标系两条坐标轴上取的单位长度可以不同，从数列的图象表示可以直观地看出数列的变化情况，但不精确.把数列与函数比较，数列是特殊的函数，特殊在定义域是正整数集或由以 1 为首的有限连续正整数组成的集合，其图象是无限个或有限个孤立的点.一、函数的定义域的常用求法：1、分式的分母不等于零;2、偶次方根的被开方数大于等于零;3、对数的真数大于零;4、指数函数和对数函数的底数大于零且不等于 1 ;5、三角函数正切函数 y=tanx 中x≠kπ+π/2;6、如果函数是由实际意义确定的解析式，应依据自变量的实际意义确定其取值范围。
2023年新高考数学大一轮复习专题14 导数的概念与运算(原卷版)
专题14 导数的概念与运算【考点预测】知识点一：导数的概念和几何性质1.概念 函数()f x 在0x x =处瞬时变化率是0000()()limlimx x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数,记作0()f x '或0x x y ='．知识点诠释：① 增量x ∆可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．0x ∆→的意义：x ∆与0之间距离要多近有 多近，即|0|x ∆-可以小于给定的任意小的正数；② 当0x ∆→时，y ∆在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆无限接近； ③ 导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时 刻的瞬间变化率，即00000()()()limlimx x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆'==∆∆． 2.几何意义 函数()y f x =在0x x =处的导数0()f x '的几何意义即为函数()y f x =在点00()P x y ，处的切线的斜率．3.物理意义 函数)(t s s =在点0t 处的导数)(0t s '是物体在0t 时刻的瞬时速度v ，即)(0t s v '=；)(t v v =在点0t 的导数)(0t v '是物体在0t 时刻的瞬时加速度a ，即)(0t v a '=．知识点二：导数的运算 1.求导的基本公式x（1）函数和差求导法则：[()()]()()f x g x f x g x '''±=±； （2）函数积的求导法则：[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+； （3）函数商的求导法则：()0g x ≠，则2()()()()()[]()()f x f xg x f x g x g x g x ''-=． 3.复合函数求导数复合函数[()]y f g x =的导数和函数()y f u =，()u g x =的导数间关系为 x u x y y u '''=： 【方法技巧与总结】 1.在点的切线方程切线方程000()()()y f x f x x x '-=-的计算：函数()y f x =在点00(())A x f x ，处的切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-，抓住关键000()()y f x k f x =⎧⎨'=⎩．2.过点的切线方程设切点为00()P x y ，，则斜率0()k f x '=，过切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-，又因为切线方程过点()A m n ，，所以000()()n y f x m x '-=-然后解出0x 的值．（0x 有几个值，就有几条切线）注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．【题型归纳目录】 题型一：导数的定义 题型二：求函数的导数 题型三：导数的几何意义 1.在点P 处切线 2.过点P 的切线 3.公切线4.已知切线求参数问题5.切线的条数问题6.切线平行、垂直、重合问题7.最值问题 【典例例题】题型一：导数的定义例1．（2022·全国·高三专题练习（文））函数()y f x =的图像如图所示，下列不等关系正确的是（ ）A ．0(2)(3)(3)(2)f f f f ''<<<-B ．0(2)(3)(2)(3)f f f f ''<<-<C ．0(3)(3)(2)(2)f f f f ''<<-<D ．0(3)(2)(2)(3)f f f f ''<-<<例2．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（理））设函数()f x 满足000(2)()lim 2x f x x f x x∆→-∆-=∆，则()0f x '=（ ）A ．1-B ．1C ．2-D ．2例3．（2022·新疆昌吉·二模（理））若存在()()00000,,limx f x x y x y f x ∆→+-∆∆，则称()()00000,,limx f x x y xy f x ∆→+-∆∆为二元函数(),=z f x y 在点()00,x y 处对x 的偏导数，记为()00,x f x y '；若存在()()00000,,limy f x y yy f x y ∆→+-∆∆，则称()()00000,,lim y f x y yy f x y ∆→+-∆∆为二元函数(),=z f x y 在点()00,x y 处对y 的偏导数，记为()00,y f x y '，已知二元函数()()23,20,0f x y x xy y x y =-+>>，则下列选项中错误的是（ ）A ．()1,34x f '=-B ．()1,310y f '=C ．()(),,x y f m n f m n ''+的最小值为13-D ．(),f x y 的最小值为427-例4．（2022·贵州黔东南·一模（文））一个质点作直线运动，其位移s （单位：米）与时间t （单位：秒）满足关系式，()2524s t t =+--，则当1t =时，该质点的瞬时速度为（ ） A ．2-米/秒B ．3米/秒C ．4米/秒D ．5米/秒例5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()2ln 8f x x x =+，则()()121lim x f x f x∆→+∆-∆的值为（ ）A ．20-B ．10-C ．10D ．20例6．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数()()2223ln 9f x f x x x '=-+（()f x '是()f x 的导函数），则()1f =（ ） A ．209-B ．119-C ．79D ．169例7．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()32121f x x x f x '=++-，则()2f '=（ ） A ．1B ．9-C ．6-D ．4【方法技巧与总结】对所给函数式经过添项、拆项等恒等变形与导数定义结构相同，然后根据导数定义直接写出. 题型二：求函数的导数例8．（2022·天津·耀华中学高二期中）求下列各函数的导数： (1)ln(32)y x =-； (2)e xxy =； (3)()2cos f x x x =+例9．（2022·新疆·莎车县第一中学高二期中（理））求下列函数的导数： (1)22ln cos y x x x =++； (2)3e x y x = (3)()ln 31y x =-例10．（2022·广东·北京师范大学珠海分校附属外国语学校高二期中）求下列函数的导数： (1)5y x =； (2)22sin y x x =+； (3)ln xy x=； (4)()211ln 22x y e x -=+．【方法技巧与总结】对所给函数求导，其方法是利用和、差、积、商及复合函数求导法则，直接转化为基本函数求导问题. 题型三：导数的几何意义1.在点P 处切线例11．（2022·河北·模拟预测）曲线e sin x y x =在0x =处的切线斜率为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．2-例12．（2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测（文））曲线22x ay x +=+在点()1,b 处的切线方程为60kx y -+=，则k 的值为（ ） A ．1-B ．23-C ．12D ．1例13．（2022·海南·文昌中学高三阶段练习）曲线e 2x y x =-在0x =处的切线的倾斜角为α，则sin 2πα⎛⎫+=⎪⎝⎭（ ）A ．BC ．1D ．-1例14．（2022·安徽·巢湖市第一中学高三期中（理））已知()()2cos 0cos 2f x x f x π⎛⎫=-+ '⎪⎝⎭，则曲线()y f x =在点33,44f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线的斜率为（ ）A B ．C ．D ．-例15．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且32()23(1)f x x ax f x '=-+-，则函数()f x 的图象在点(2,(2))f --处的切线的斜率为（ ） A ．21-B ．27-C ．24-D ．25-例16．（2022·广西广西·模拟预测（理））曲线31y x =+在点()1,a -处的切线方程为（ ） A ．33y x =+B ．31yxC ．31y x =--D ．33y x =--例17．（2022·河南省浚县第一中学模拟预测（理））曲线ln(25)y x x =+在2x =-处的切线方程为（ ） A ．4x －y +8＝0 B ．4x +y +8＝0 C ．3x －y +6＝0D ．3x +y +6＝02.过点P 的切线例18．（2022·四川·广安二中二模（文））函数()2e xf x x =过点()0,0的切线方程为（ ）A ．0y =B ．e 0x y +=C ．0y =或e 0x y +=D ．0y =或e 0x y +=例19．（2022·四川省成都市郫都区第一中学高三阶段练习（文））若过点1(,0)2的直线与函数()e x f x x =的图象相切，则所有可能的切点横坐标之和为（ ） A ．e 1+B ．12-C ．1D ．12例20．（2022·陕西安康·高三期末（文））曲线2ln 3y x x =+过点1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭的切线方程是（ ）A ．210x y ++=B ．210x y -+=C ．2410x y ++=D ．2410x y -+=例21．（2022·广东茂名·二模）过坐标原点作曲线ln y x =的切线，则切点的纵坐标为（ ） A ．eB ．1CD ．1e例22．（2022·山东潍坊·三模）过点()()1,P m m ∈R 有n 条直线与函数()e xf x x =的图像相切，当n 取最大值时，m 的取值范围为（ ） A ．25e em -<< B ．250e m -<< C ．10em -<<D ．e m <3.公切线例23．（2022·全国·高三专题练习）若函数()ln f x x =与函数2()(0)g x x x a x =++<有公切线，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1ln ,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．()1,-+∞C ．()1,+∞D ．()2,ln +∞例24．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线()1:=e x C f x a +和曲线()()22:ln(),C g x x b a a b =++∈R ，若存在斜率为1的直线与1C ，2C 同时相切，则b 的取值范围是（ ） A ．9,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．[)0,+∞C ．(],1-∞D ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦例25．（2022·江苏·南京外国语学校模拟预测）若两曲线y =x 2-1与y =a ln x -1存在公切线，则正实数a 的取值范围为（ ） A ．(]0,2eB ．(]0,eC ．[)2,e +∞D ．(],2e e例26．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（理））若直线()111y k x =+-与曲线e x y =相切，直线()211y k x =+-与曲线ln y x =相切，则12k k 的值为（ ） A ．12B ．1C ．eD ．2e例27．（2022·河北省唐县第一中学高三阶段练习）已知函数()ln f x a x =，()e xg x b =，若直线()0y kx k =>与函数()f x ，()g x 的图象都相切，则1a b+的最小值为（ ）A ．2B ．2eC ．2eD 例28．（2022·重庆市育才中学高三阶段练习）若直线:l y kx b =+（1k >）为曲线()1x f x e -=与曲线()ln g x e x =的公切线，则l 的纵截距b =（ ）A ．0B ．1C ．eD ．e -例29．（2022·全国·高三专题练习）若两曲线ln 1y x =-与2y ax =存在公切线，则正实数a 的取值范围是（ ） A ．(]0,2eB ．31e ,2-⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．310,e 2-⎛⎤⎥⎝⎦D ．[)2e,+∞例30．（2022·全国·高三专题练习）若仅存在一条直线与函数()ln f x a x =（0a >）和2()g x x =的图象均相切，则实数=a （ ）A ．eB C ．2eD ．4.已知切线求参数问题例31．（2022·湖南·模拟预测）已知P 是曲线)2:ln C y x x a x =++上的一动点，曲线C 在P 点处的切线的倾斜角为θ，若32ππθ≤<，则实数a 的取值范围是（ ）A ．)⎡⎣B ．)⎡⎣C ．(,-∞D ．(,-∞例32．（2022·广西·贵港市高级中学三模（理））已知曲线e ln x y ax x =+在点()1,e a 处的切线方程为3y x b =+，则（ ） A ．e a =，2b =- B ．e a =，2b = C ．1e a -=，2b =-D ．1e a -=，2b =例33．（2022·江苏苏州·模拟预测）已知奇函数()()()()220f x x x ax b a =-+≠在点()(),a f a 处的切线方程为()y f a =，则b =（ ）A ．1-或1B ．C ．2-或2D ．例34．（2022·云南昆明·模拟预测（文））若函数()ln f x x =的图象在4x =处的切线方程为y x b =+，则（ ）A ．3a =，2ln 4b =+B ．3a =，2ln 4b =-+C ．32a =，1ln 4b =-+ D ．32a =，1ln 4b =+ 例35．（2022·河南·方城第一高级中学模拟预测（理））已知直线l 的斜率为2，l 与曲线1C ：()1ln y x x =+和圆2C ：2260x y x n +-+=均相切，则n =（ ） A ．－4B ．－1C ．1D ．45.切线的条数问题例36．（2022·全国·高三专题练习）若过点(,)a b 可以作曲线ln y x =的两条切线，则（ ） A ．ln a b <B ．ln b a <C ．ln b a <D ．ln a b <例37．（2022·河南洛阳·三模（理））若过点()1,P t 可作出曲线3y x =的三条切线，则实数t 的取值范围是（ ）A ．(),1-∞B ．()0,∞+C ．()0,1D ．{}0,1例38．（2022·河南洛阳·三模（文））若过点()1,0P 作曲线3y x =的切线，则这样的切线共有（ ） A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条例39．（2022·河北·高三阶段练习）若过点(1,)P m 可以作三条直线与曲线:e xxC y =相切，则m 的取值范围为（ ）A ．23,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．10,e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．(,0)-∞D ．213,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭例40．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））若过点()1,P m -可以作三条直线与曲线C ：e x y x =相切，则m 的取值范围是（ ） A ．23,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．211,e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．231,ee ⎛⎫-- ⎪⎝⎭例41．（2022·广东深圳·二模）已知0a >，若过点(,)a b 可以作曲线3y x =的三条切线，则（ ） A ．0b <B ．30b a <<C ．3b a >D ．()30b b a -=6.切线平行、垂直、重合问题例42．（2022·安徽·合肥一中模拟预测（文））对于三次函数()f x ，若曲线()y f x =在点(0,0)处的切线与曲线()y xf x =在点(1,2)处点的切线重合，则(2)f '=（ ）A ．34-B ．14-C ．4-D ．14例43．（2022·山西太原·二模（理））已知函数()sin cos f x a x b x cx =++图象上存在两条互相垂直的切线，且221a b +=，则a b c ++的最大值为（ ）A ．B ．C D 例44．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f (x )＝x 2＋2x 的图象在点A (x 1，f (x 1))与点B (x 2，f (x 2))(x 1＜x 2＜0)处的切线互相垂直，则x 2－x 1的最小值为（ ） A ．12 B ．1 C ．32D ．2例45．（2022·全国·高三专题练习）若直线x a =与两曲线e ,ln x y y x ==分别交于,A B 两点，且曲线e x y =在点A 处的切线为m ，曲线ln y x =在点B 处的切线为n ，则下列结论： ①()0,a ∞∃∈+，使得//m n ；②当//m n 时，AB 取得最小值； ③AB 的最小值为2；④AB 最小值小于52． 其中正确的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4例46．（2022·全国·高三专题练习）已知函数22(0)()1(0)x x a x f x x x ⎧++<⎪=⎨->⎪⎩的图象上存在不同的两点,A B ，使得曲线()y f x =在这两点处的切线重合，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1(,)8-∞-B ．1(1,)8-C ．(1,)+∞D ．1(,1)(,)8-∞⋃+∞例47．（2022·全国·高三专题练习（文））若曲线x y e x =+的一条切线l 与直线220210x y +-=垂直，则切线l 的方程为（ ）A ．210x y -+=B ．210x y +-=C ．210x y --=D ．210x y ++=7.最值问题例48．（2022·全国·高三专题练习）若点P 是曲线232ln 2y x x =-上任意一点，则点P 到直线3y x =-的距离的最小值为（ ） A．4BCD例49．（2022·山东省淄博第一中学高三开学考试）动直线l 分别与直线21y x =-，曲线23ln 2y x x =-相交于,A B 两点，则AB 的最小值为（ ）ABC ．1 D例50．（2022·江苏·高三专题练习）已知a ，b 为正实数，直线y x a =-与曲线ln()y x b =+相切，则22a b-的取值范围是（ ） A ．(0,)+∞B ．(0,1)C ．1(0,)2D ．[1，)+∞例51.（2022·全国·高三专题练习）曲线2x y e =上的点到直线240x y --=的最短距离是（ ） ABCD ．1例52．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知函数2ln ()2xf x x x=-在1x =处的切线为l ，第一象限内的点(,)P a b 在切线l 上，则1111a b +++的最小值为（ ） ABCD．34+ 例53．（2022·山东聊城·二模）实数1x ，2x ，1y ，2y 满足：2111ln 0x x y --=，2240x y --=，则()()221212x x y y -+-的最小值为（ ） A ．0B．C．D ．8例54．（2022·河南·许昌高中高三开学考试（理））已知函数21e x y +=的图象与函数()ln 112x y ++=的图象关于某一条直线l 对称，若P ，Q 分别为它们图象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为（ ）A ．22B 24C ．)4ln 22+D )4ln 2+例55．（2022·河南·灵宝市第一高级中学模拟预测（文））已知直线y kx b =+是曲线1y =的切线，则222k b b +-的最小值为（ ）A ．12-B ．0C ．54D ．3【方法技巧与总结】函数()y f x =在点0x 处的导数，就是曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线的斜率.这里要注意曲线在某点处的切线与曲线经过某点的切线的区别.（1）已知()f x 在点00(,())x f x 处的切线方程为000()()y y f x x x '-=-.（2）若求曲线()y f x =过点(,)a b 的切线方程，应先设切点坐标为00(,())x f x ，由000()()y y f x x x '-=-过点(,)a b ，求得0x 的值，从而求得切线方程.另外，要注意切点既在曲线上又在切线上.【过关测试】 一、单选题1．（2022·河南·高三阶段练习（理））若曲线()ln a xf x x=在点（1，f （1））处的切线方程为1y x =-，则a ＝（ ） A ．1B ．e2C ．2D ．e2．（2022·云南曲靖·二模（文））设()'f x 是函数()f x 的导函数，()f x ''是函数()'f x 的导函数，若对任意R ()0,()0x f x f x '''∈><，恒成立，则下列选项正确的是（ ）A ．0(3)(3)(2)(2)f f f f ''<<-<B ．0(3)(2)(2)(3)f f f f ''<-<<C ．0(3)(2)(3)(2)f f f f ''<<<-D ．0(2)(3)(3)(2)f f f f ''<<<-3．（2022·全国·高三专题练习）设()f x 为可导函数，且()()112lim1x f f x x→--=-△△△，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线斜率为（ ）A ．2B ．-1C ．1D ．12-4．（2022·河南·模拟预测（文））已知3()ln(2)3xf x x x =++，则曲线()y f x =在点()()3,3f 处的切线方程为( )A ．21010ln510x y -+-=B ．21010ln510x y ++-=C ．1212ln5150x y -+-=D ．1212ln5150x y ++-=5．（2022·贵州黔东南·一模（理））一个质点作直线运动，其位移s （单位：米）与时间t （单位：秒）满足关系式23(43)=-s t t ，则当1t =时，该质点的瞬时速度为（ ） A ．5米/秒 B ．8米/秒 C ．14米/秒D ．16米/秒6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()ln f x x x =，()()2g x x ax a =+∈R ，若经过点1,0A 存在一条直线l 与()f x 图象和()g x 图象都相切，则=a （ ） A ．0B ．1-C ．3D ．1-或37．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）m 对任意a ∈R ，()0,b ∈+∞恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．2⎛-∞ ⎝⎦C ．(-∞D ．(],2-∞8．（2022·辽宁沈阳·二模）若直线11y k x b =+与直线()2212y k x b k k =+≠是曲线ln y x =的两条切线，也是曲线e x y =的两条切线，则1212k k b b ++的值为（ ） A ．e 1- B ．0 C ．-1D ．11e-二、多选题9．（2022·辽宁丹东·模拟预测）若过点()1,a 可以作出曲线()1e xy x =-的切线l ，且l 最多有n 条，*n ∈N ，则（ ） A ．0a ≤B ．当2n =时，a 值唯一C ．当1n =时，4ea <-D ．na 的值可以取到﹣410．（2022·浙江·高三专题练习）为满足人们对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量W 与时间t 的关系为()W f t =，用()()f b f a b a---的大小评价在[,]a b 这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示，则下列结论中正确的有（ ）A ．在[]12,t t 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强B ．在2t 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强C ．在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标D ．甲企业在[]10,t ，[]12,t t ，[]23,t t 这三段时间中，在[]10,t 的污水治理能力最强11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()xf x e =，则下列结论正确的是（ ）A ．曲线()y f x =的切线斜率可以是1B ．曲线()y f x =的切线斜率可以是1-C ．过点()0,1且与曲线()y f x =相切的直线有且只有1条D ．过点()0,0且与曲线()y f x =相切的直线有且只有2条12．（2022·全国·高三专题练习）过平面内一点P 作曲线ln y x =两条互相垂直的切线1l ､2l ，切点为1P ､2P （1P ､2P 不重合），设直线1l ､2l 分别与y 轴交于点A ､B ，则下列结论正确的是（ ） A ．1P ､2P 两点的横坐标之积为定值 B ．直线12PP 的斜率为定值；C ．线段AB 的长度为定值D ．三角形ABP 面积的取值范围为(]0,1三、填空题13．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）已知函数()3ln f x x x x =-，则曲线()y f x =在点()()e,e f 处的切线方程为_______.14．（2022·全国·模拟预测（文））若直线l 与曲线2yx 和2249x y +=都相切，则l 的斜率为______． 15．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知函数2()(0)e e x x f x f -'=-，则(0)f =__________.16．（2022·全国·赣州市第三中学模拟预测（理））已知()()()222cos 22cos sin f x xf x x x x x '+=++，且0x >，52f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，那么()f π=___________. 四、解答题17．（2022·全国·高三专题练习（文））下列函数的导函数 （1）42356y x x x --=+； （2）2sin cos 22xx x y =+；（3）2log y x x =-； （4）cos x y x=.18．（2022·辽宁·沈阳二中二模）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若fx 是()f x 的导函数，()f x ''是fx 的导函数，则曲线()y f x =在点()(),x f x 处的曲率()()()3221f x K f x ''='+⎡⎤⎣⎦.(1)若曲线()ln f x xx =+与()g x =()1,1处的曲率分别为1K ，2K ，比较1K ，2K 大小； (2)求正弦曲线()sin h x x =（x ∈R ）曲率的平方2K 的最大值.19．（2022·全国·高三专题练习）设函数()()2ln f x ax x a R =--∈. (1)若()f x 在点()()e,e f 处的切线为e 0x y b -+=，求a ，b 的值； (2)求()f x 的单调区间.20．（2022·浙江·高三专题练习）函数()321f x x x x =+-+， 直线l 是()y f x =在()()0,0f 处的切线.(1)确定()f x 的单调性；(2)求直线l 的方程及直线l 与()y f x =的图象的交点.21．（2022·北京东城·三模）已知函数()e x f x =，曲线()y f x =在点(1(1))f --，处的切线方程为y kx b =+.(1)求k ，b 的值；(2)设函数()1ln 1.kx b x g x x x +<⎧=⎨≥⎩，，，，若()g x t =有两个实数根12,x x （12x x <），将21x x -表示为t 的函数，并求21xx -的最小值.22．（2022·贵州贵阳·模拟预测（理））已知a ∈R ，函数()()ln 1f x x a x =+-，()e xg x =．(1)讨论()f x 的单调性；(2)过原点分别作曲线()y f x =和()y g x =的切线1l 和2l ，求证：存在0a >，使得切线1l 和2l 的斜率互为倒数．。
2020年山东省新高考数学第十四次模拟测试试卷 含解析
2020年新高考数学第十四次模拟试卷一、选择题1．若集合M＝{x|x＞1}，N＝{x∈Z|0≤x≤4}，则（∁R M）∩N＝（）A．{0}B．{0，1}C．{0，1，2}D．{2，3，4}2．已知a，b∈R，a﹣i＝，则a+bi的共轭复数为（）A．﹣2﹣i B．﹣2+i C．2﹣i D．2+i3．函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（1+x）＝f（1﹣x），若f（1）＝9，则f（2019）＝（）A．﹣9B．9C．﹣3D．04．已知平面向量，满足，且（）（）＝4，则向量，的夹角为（）A．B．C．D．5．已知{a n}是等差数列，满足：对∀n∈N*，a n+a n+1＝2n，则数列{a n}的通项公式a n＝（）A．n B．n﹣1C．n﹣D．n+6．已知函数，则y＝f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．7．倾斜角为30°的直线l经过双曲线的左焦点F1，交双曲线于A、B两点，线段AB的垂直平分线过右焦点F2，则此双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．C．D．8．已知函数f（x）＝，g（x）＝f（x）﹣ax+a，若g（x）恰有1个零点，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0]∪[1，+∞）B．（﹣∞，﹣1]∪[0，1]C．[﹣1，1]D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）二、多项选择题（共4小题）9．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，则以下结论正确的是（）A．BD∥平面CB1D1B．AD⊥平面CB1D1C．AC1⊥BDD．异面直线AD与CB1所成的角为60°10．在数列{a n}中，n∈N*，若＝k（k为常数），则称{a n}为“等差比数列”，下列对“等差比数列”的判断正确的为（）A．k不可能为0B．等差数列一定是“等差比数列”C．等比数列一定是“等差比数列”D．“等差比数列”中可以有无数项为011．已知函数f（x）＝2sin（2x﹣）+1，则下列说法正确的是（）A．f（﹣x）＝2﹣f（x）B．f（x﹣）的图象关于x＝对称C．若0＜x1＜x2＜，则f（x1）＜f（x2）D．若x1，x2，x3∈[，]，则f（x1）+f（x2）＞f（x3）12．已知点P在以坐标原点为中心，坐标轴为对称轴，离心率为的椭圆上．若过点P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点F1，与椭圆的另一交点为A．若△PF2A的面积为12（F2为椭圆的另一焦点），则椭圆的方程为（）A．B．C．或D．或三、填空题（共4小题）13．（x2+x+y）5的展开式中，x3y3的系数为．14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则A ＝．15．“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何．”用现在的数学语言表述是：“如图所示，一圆柱形埋在墙壁中，AB＝1尺，D为AB的中点，AB⊥CD，CD＝1寸，则圆柱底面的直径长是寸”．（注：l尺＝10寸）16．设函数f（x）＝ax3+bx2+cx（a，b，c∈R，a≠0），若不等式xf'（x）﹣af（x）≤2对一切x∈R恒成立，则a＝，的取值范围为．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c且c cos A＝4，a sin C＝5．（1）求边长c；（2）著△ABC的面积S＝20．求△ABC的周长．18．设数列{a n}满足（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列的前n项和S n⋅19．在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，平面SBC⊥底面ABCD，∠ABC ＝45°，△SAB是等边三角形．（1）证明：SA⊥BC；（2）若BC＝，AB＝，求二面角D﹣SA﹣B的余弦值．20．某公司生产的某种产品，如果年返修率不超过千分之一，则其生产部门当年考核优秀，现获得该公司2011﹣2018年的相关数据如表所示：年份20112012201320142015201620172018年生产台数（万台）2345671011该产品的年利润（百万元） 2.1 2.75 3.5 3.253 4.96 6.5年返修台数（台）2122286580658488部分计算结果：，，，，注：（Ⅰ）从该公司2011﹣2018年的相关数据中任意选取3年的数据，以X表示3年中生产部门获得考核优秀的次数，求X的分布列和数学期望；（Ⅱ）根据散点图发现2015年数据偏差较大，如果去掉该年的数据，试用剩下的数据求出年利润y（百万元）关于年生产台数x（万台）的线性回归方程（精确到0.01）．附：线性回归方程中，，．21．已知点P在抛物线C：x2＝2py（p＞0）上，且点P的横坐标为2，以P为圆心，|PO|为半径的圆（O为原点），与抛物线C的准线交于M，N两点，且|MN|＝2．（l）求抛物线C的方程；（2）若抛物线的准线与y轴的交点为H．过抛物线焦点F的直线l与抛物线C交于A，B，且AB⊥HB，求|AF|﹣|BF|的值．22．已知函数f（x）＝cos x+（a﹣）x2﹣1，a∈R．（1）当a＝时，求f（x）在[0，]上的最大值和最小值；（2）若∀x∈R，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．参考答案一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合M＝{x|x＞1}，N＝{x∈Z|0≤x≤4}，则（∁R M）∩N＝（）A．{0}B．{0，1}C．{0，1，2}D．{2，3，4}【分析】可求出集合N，然后进行补集、交集的运算即可．解：N＝{0，1，2，3，4}，∁R M＝{x|x≤1}；∴（∁R M）∩N＝{0，1}．故选：B．2．已知a，b∈R，a﹣i＝，则a+bi的共轭复数为（）A．﹣2﹣i B．﹣2+i C．2﹣i D．2+i【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得a，b，则答案可求．解：∵a﹣i＝＝，∴a＝﹣2，b＝1．∴a+bi的共轭复数为﹣2﹣i．故选：A．3．函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（1+x）＝f（1﹣x），若f（1）＝9，则f（2019）＝（）A．﹣9B．9C．﹣3D．0【分析】根据题意，由函数的奇偶性可f（﹣x）＝﹣f（x），将f（1+x）＝f（1﹣x）变形可得f（﹣x）＝f（2+x），综合分析可得f（x+2）＝﹣f（x），则有f（x+4）＝﹣f （x+2）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，据此可得f（2019）＝f（﹣1+505×4）＝f（﹣1）＝﹣f（1），即可得答案．解：根据题意，函数f（x）是定义在R上的奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），又由f（1+x）＝f（1﹣x），则f（﹣x）＝f（2+x），则有f（x+2）＝﹣f（x），变形可得f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，则f（2019）＝f（﹣1+505×4）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣9；故选：A．4．已知平面向量，满足，且（）（）＝4，则向量，的夹角为（）A．B．C．D．【分析】根据向量数量积和夹角公式可得．解：∵（+）•（﹣2）＝4，∴2﹣•﹣22＝4，•＝9﹣2×4﹣4＝﹣3，∴cos＜，＞＝＝＝﹣，又＜，＞∈[0，π]，∴＜，＞＝．故选：D．5．已知{a n}是等差数列，满足：对∀n∈N*，a n+a n+1＝2n，则数列{a n}的通项公式a n＝（）A．n B．n﹣1C．n﹣D．n+【分析】根据题意，设等差数列{a n}的公差为d，由a n+a n+1＝2n可得a n﹣1+a n＝2n﹣2，两式相减可得a n+1﹣a n﹣1＝2d＝2，解可得d＝1；令n＝1分析可得a1+a2＝2，即a1+a1+d ＝2，解可得a1的值，由等差数列的通项公式分析可得答案．解：根据题意，设等差数列{a n}的公差为d，若{a n}满足a n+a n+1＝2n，①，则a n﹣1+a n＝2n﹣2，②①﹣②可得：a n+1﹣a n﹣1＝2d＝2，解可得d＝1；当n＝1时，有a1+a2＝2，即a1+a1+d＝2，解可得a1＝，则a n＝a1+（n﹣1）×d＝n﹣；故选：C．6．已知函数，则y＝f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】利用函数的定义域与函数的值域排除B，D，通过函数的单调性排除C，推出结果即可．解：令g（x）＝x﹣lnx﹣1，则g′（x）＝1﹣＝，由g'（x）＞0，得x＞1，即函数g（x）在（1，+∞）上单调递增，由g'（x）＜0得0＜x＜1，即函数g（x）在（0，1）上单调递减，所以当x＝1时，函数g（x）有最小值，g（x）min＝g（0）＝0，于是对任意的x∈（0，1）∪（1，+∞），有g（x）≥0，故排除B、D，因函数g（x）在（0，1）上单调递减，则函数f（x）在（0，1）上递增，故排除C，故选：A．7．倾斜角为30°的直线l经过双曲线的左焦点F1，交双曲线于A、B两点，线段AB的垂直平分线过右焦点F2，则此双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．C．D．【分析】由垂直平分线性质定理可得AF2＝BF2，运用解直角三角形和双曲线的定义，求得AB＝4a，结合勾股定理，可得a，c的关系，进而得到a，b的关系，即可得到所求双曲线的渐近线方程．解：如图MF2为△ABF2的垂直平分线，可得AF2＝BF2，且∠MF1F2＝30°，可得MF2＝2c•sin30°＝c，MF1＝2c•cos30°＝c，由双曲线的定义可得BF1﹣BF2═2a，AF2﹣AF1＝2a，即有AB＝BF1﹣AF1＝BF2+2a﹣（AF2﹣2a）＝4a，即有MA＝2a，AF2＝＝，AF1＝MF1﹣MA＝c﹣2a，由AF2﹣AF1＝2a，可得﹣（c﹣2a）＝2a，可得4a2+c2＝3c2，即c＝a，b＝＝a，则渐近线方程为y＝±x．故选：A．8．已知函数f（x）＝，g（x）＝f（x）﹣ax+a，若g（x）恰有1个零点，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0]∪[1，+∞）B．（﹣∞，﹣1]∪[0，1]C．[﹣1，1]D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）【分析】根据条件先判断x＝1是函数g（x）的一个零点，等价于当x≠1时，函数f（x）＝a（x﹣1），没有其他根，利用参数分离法，利用数形结合进行求解即可．解：由g（x）＝f（x）﹣ax+a＝0得f（x）＝a（x﹣1），∵f（1）＝1﹣3+2＝0，∴g（1）＝f（1）﹣a+a＝0，即x＝1是g（x）的一个零点，若g（x）恰有1个零点，则当x≠1时，函数f（x）＝a（x﹣1），没有其他根，即a＝，没有根，当x＜1时，设h（x）＝＝＝＝x﹣2，此时函数h（x）为增函数，则h（1）→﹣1，即此时h（x）＜﹣1，当x＞1时，h（x）＝＝，h′（x）＝＜0，此时h（x）为减函数，此时h（x）＞0，且h（1）→1，即0＜h（x）＜1，作出函数h（x）的图象如图：则要使a＝，没有根，则a≥1或﹣1≤a≤0，即实数a的取值范围是[﹣1，0]∪[1，+∞），故选：A．二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，则以下结论正确的是（）A．BD∥平面CB1D1B．AD⊥平面CB1D1C．AC1⊥BDD．异面直线AD与CB1所成的角为60°【分析】利用直线与平面平移以及垂直的关系，结合异面直线所成角判断命题的真假即可．解：A．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，①BD∥B1D1，B1D1⊂平面CB1D1；BD⊄平面CB1D1；所以BD∥平面CB1D1；A正确；B．AD⊥平面CB1D1；AD∥A1D1，所以AD⊥平面CB1D1；B不正确；C．AC1在底面ABCD上的射影AC，BD⊥AC；所以AC1⊥BD；C正确；D．异面直线AD与CB1所成的角为45°，所以异面直线AD与CB1所成的角为60°不正确；故选：AC．10．在数列{a n}中，n∈N*，若＝k（k为常数），则称{a n}为“等差比数列”，下列对“等差比数列”的判断正确的为（）A．k不可能为0B．等差数列一定是“等差比数列”C．等比数列一定是“等差比数列”D．“等差比数列”中可以有无数项为0【分析】根据等差比数列的定义，逐项分析可得．解：对于A，k不可能为0正确；对于B，a n＝1时，{a n}为等差数列，但不是等差比数列；对于C，若等比数列a n＝a1q n﹣1，则k＝＝q≠0，所以{a n}为等差比数列；对于D，数列0，1，0，1，0，1，…，0，1．是等差比数列，且有无数项为0，故选：ACD．11．已知函数f（x）＝2sin（2x﹣）+1，则下列说法正确的是（）A．f（﹣x）＝2﹣f（x）B．f（x﹣）的图象关于x＝对称C．若0＜x1＜x2＜，则f（x1）＜f（x2）D．若x1，x2，x3∈[，]，则f（x1）+f（x2）＞f（x3）【分析】根据三角函数的图象和性质分别进行判断即可．解：A．当x＝0时，f（﹣x）＝f（）＝2sin[2×﹣]+1＝2sin0+1＝1，2﹣f（0）＝2﹣2sin（﹣）﹣1＝1+，此时f（﹣x）＝2﹣f（x）不成立，故A 错误，B．f（x﹣）＝2sin[2（x﹣）﹣]+1＝2sin（2x﹣）+1，由2x﹣＝kπ+得x＝+，k∈Z，当k＝﹣1时，x＝﹣＝，即函数关于x＝对称，故B正确，C．当0＜x＜时，0＜2x＜π，﹣＜2x﹣＜，此时函数f（x）不是增函数，故C错误，D.≤x≤时，≤2x≤π，≤2x﹣≤，则当2x﹣＝或时，函数f（x）取得最小值为2sin+1＝+1，当当2x﹣＝时，函数f（x）取得最大值为2sin+1＝2+1＝3，则两个最小值之和为+1＝2+2＞3，故D正确，故选：BD．12．已知点P在以坐标原点为中心，坐标轴为对称轴，离心率为的椭圆上．若过点P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点F1，与椭圆的另一交点为A．若△PF2A的面积为12（F2为椭圆的另一焦点），则椭圆的方程为（）A．B．C．或D．或【分析】当椭圆焦点在x轴上时，设椭圆方程为（a＞b＞0），求出过左焦点的通径长，代入三角形面积公式，结合离心率及隐含条件求得a，b，则椭圆方程可求，同理求得焦点在y轴上的椭圆方程．解：当椭圆焦点在x轴上时，椭圆方程为（a＞b＞0）．如图：把x＝﹣c代入，求得AP＝，由△PF2A的面积为12，得，即，联立，解得a2＝16，b2＝12．∴椭圆方程为；同理当椭圆焦点在y轴上时，求得椭圆方程为．∴椭圆方程为或．故选：D．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（x2+x+y）5的展开式中，x3y3的系数为20．【分析】利用二项式定理的通项公式即可得出．解：（x2+x+y）5的展开式中，通项公式T r+1＝y5﹣r（x2+x）r，令5﹣r＝3，解得r＝2．（x2+x）2＝x4+2x3+x2，∴x3y3的系数为2×＝20，故答案为：20．14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则A ＝．【分析】由已知利用正弦定理可得sin B的值，根据大边对大角，特殊角的三角函数值可求B的值，根据三角形内角和定理可求A的值．解：∵，∴由正弦定理，可得：sin B＝＝＝，∵b＜c，B∈（0，），∴B＝，∴A＝π﹣B﹣C＝π﹣﹣＝．故答案为：．15．“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何．”用现在的数学语言表述是：“如图所示，一圆柱形埋在墙壁中，AB＝1尺，D为AB的中点，AB⊥CD，CD＝1寸，则圆柱底面的直径长是26寸”．（注：l尺＝10寸）【分析】由勾股定理OA2＝OD2+AD2，代入数据即可求得．解：∵AB⊥CD，AD＝BD，∵AB＝10寸，∴AD＝5寸，在Rt△AOD中，∵OA2＝OD2+AD2，∴OA2＝（OA﹣1）2+52，∴OA＝13寸，∴圆柱底面的直径长是2AO＝26寸．故答案为：26．16．设函数f（x）＝ax3+bx2+cx（a，b，c∈R，a≠0），若不等式xf'（x）﹣af（x）≤2对一切x∈R恒成立，则a＝3，的取值范围为[﹣）．【分析】由已知可得，（3a﹣a2）x3+（2b﹣ab）x2+（c﹣ac）x﹣2≤0恒成立，结合三次函数的性质可知3a﹣a2＝0，可求a，然后结合二次函数的性质即可求解．解：f′（x）＝3ax2+2bx+c，由（x）﹣af（x）≤2可得，（3a﹣a2）x3+（2b﹣ab）x2+（c﹣ac）x﹣2≤0恒成立，故3a﹣a2＝0，因为a≠0，所以a＝3，∴bx2+2cx+2≥0恒成立，故△＝4c2﹣8b≤0，即b，═＝．故的范围[﹣），故答案为：3，[﹣）．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c且c cos A＝4，a sin C＝5．（1）求边长c；（2）著△ABC的面积S＝20．求△ABC的周长．【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得sin A＝，又由c cos A＝4，可得cos A＝，利用同角三角函数基本关系式可求c的值．（2）由已知利用三角形的面积公式可求b的值，由余弦定理可解得a的值，即可计算得解△ABC的周长．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵由正弦定理可得：，可得：a sin C＝c sin A，∵a sin C＝5，可得：c sin A＝5，可得：sin A＝，又∵c cos A＝4，可得：cos A＝，∴可得：sin2A+cos2A＝+＝1，∴解得c＝．…6分（2）∵△ABC的面积S＝ab sin C＝20，a sin C＝5，∴解得：b＝8，∴由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝64+41﹣2×＝41，解得：a＝，或﹣（舍去），∴△ABC的周长＝a+b+c＝+8+＝8+2．…12分18．设数列{a n}满足（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列的前n项和S n⋅【分析】（1）求得数列的首项，再将n换为n﹣1，相除可得所求通项公式；（2）求得＝n•2n+n，再由数列的分组求和和错位相减法求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和．解：（1）{a n}满足可得n＝1时，a1＝2，n≥2时，a1•2a2…（n﹣1）a n﹣1＝2n﹣1，又相除可得na n＝2，即a n＝，上式对n＝1也成立，则{a n}的通项公式为a n＝；（2）＝n•2n+n，设H n＝1•2+2•22+…+n•2n，2H n＝1•22+2•23+…+n•2n+1，相减可得﹣H n＝2+4+…+2n﹣n•2n+1＝﹣n•2n+1，化简可得H n＝2+（n﹣1）•2n+1．则前n项和T n＝2+（n﹣1）•2n+1+．19．在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，平面SBC⊥底面ABCD，∠ABC ＝45°，△SAB是等边三角形．（1）证明：SA⊥BC；（2）若BC＝，AB＝，求二面角D﹣SA﹣B的余弦值．【分析】（1）过S作SO⊥BC于O，连OA，易得SO⊥底面ABCD，再由已知可得OA ⊥OB，由直线与平面垂直的判定可得BC⊥平面SOA，则SA⊥BC；（2）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OS为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，分别求出平面SAD与平面SAB的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角D﹣SA﹣B的余弦值．【解答】证明：（1）由侧面SBC⊥底面ABCD，交线为BC，过S作SO⊥BC于O，连OA，得SO⊥底面ABCD．∵SA＝SB，∴Rt△SOA≌Rt△SOB，得OA＝OB，又∠ABC＝45°，故△AOB为等腰直角三角形，得OA⊥OB．∵SO⊥BC，AO⊥BC，且SO∩AO＝O，∴BC⊥平面SOA，则SA⊥BC；解：（2）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OS为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，∵BC＝，AB＝，△SAB是等边三角形，∴A（，0，0），B（0，，0），D（，﹣，0），S（0，0，）．则＝（，0，﹣），＝（0，，﹣），．设平面SAD与平面SAB的一个法向量分别为，，则由，取z1＝1，得；由，取z2＝1，得．cos＜＞＝，由图可知，二面角D﹣SA﹣B为钝二面角，故二面角D﹣SA﹣B的余弦值为﹣．20．某公司生产的某种产品，如果年返修率不超过千分之一，则其生产部门当年考核优秀，现获得该公司2011﹣2018年的相关数据如表所示：年份20112012201320142015201620172018年生产台数（万台）2345671011该产品的年利润（百万元） 2.1 2.75 3.5 3.253 4.96 6.5年返修台数（台）2122286580658488部分计算结果：，，，，注：（Ⅰ）从该公司2011﹣2018年的相关数据中任意选取3年的数据，以X表示3年中生产部门获得考核优秀的次数，求X的分布列和数学期望；（Ⅱ）根据散点图发现2015年数据偏差较大，如果去掉该年的数据，试用剩下的数据求出年利润y（百万元）关于年生产台数x（万台）的线性回归方程（精确到0.01）．附：线性回归方程中，，．【分析】（1）由数据可知，2012，2013，2016，2017，2018五个年份考核优秀，从而ξ的所有可能取值为0，1，2，3．分别示出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．（2）法一：，由此能求出回归方程．法二：因为，所以去掉2015年的数据后不影响的值，所以，由此能求出回归方程．解：（1）由数据可知，2012，2013，2016，2017，2018五个年份考核优秀，故X的所有可能取值为0，1，2，3．P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝＝，故X的分布列为X0123P所求．（2）解法一：，，故去掉2015年的数据之后，，，，所以，从而回归方程为：．解法二：因为，所以去掉2015年的数据后不影响的值，所以，而去掉2015年的数据之后，，从而回归方程为：．注：若有学生在计算时用计算得也算对．21．已知点P在抛物线C：x2＝2py（p＞0）上，且点P的横坐标为2，以P为圆心，|PO|为半径的圆（O为原点），与抛物线C的准线交于M，N两点，且|MN|＝2．（l）求抛物线C的方程；（2）若抛物线的准线与y轴的交点为H．过抛物线焦点F的直线l与抛物线C交于A，B，且AB⊥HB，求|AF|﹣|BF|的值．【分析】（1）将点P横坐标代入抛物线中求得点P的坐标，利用点P到准线的距离d和勾股定理列方程求出p的值即可；（2）设A、B的坐标以及直线AB的方程，代入抛物线方程，利用根与系数的关系，以及垂直关系，得出关系式，再计算|AF|﹣|BF|的值．解：（1）将点P横坐标x P＝2代入x2＝2py中，求得y P＝，∴P（2，），|OP|2＝+4，点P到准线的距离为d＝+，∴|OP|2＝+d2，∴22+＝12+，解得p2＝4，∴p＝2，∴抛物线C的方程为：x2＝4y；（2）抛物线x2＝4y的焦点为F（0，1），准线方程为y＝﹣1，H（0，﹣1）；设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y＝kx+1，代入抛物线方程可得x2﹣4kx﹣4＝0，∴x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4，…①由AB⊥HB，可得k AB•k HB＝﹣1，又k AB＝k AF＝，k HB＝，∴•＝﹣1，∴（y1﹣1）（y2+1）+x1x2＝0，即（﹣1）（+1）+x1x2＝0，∴+（﹣）﹣1+x1x2＝0，…②把①代入②得，﹣＝16，则|AF|﹣|BF|＝y1+1﹣y2﹣1＝（﹣）＝×16＝4．22．已知函数f（x）＝cos x+（a﹣）x2﹣1，a∈R．（1）当a＝时，求f（x）在[0，]上的最大值和最小值；（2）若∀x∈R，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．【分析】（1）可得f′（x）＝﹣sin x+2x，f″（x）＝﹣cos x+2＞0．即可得f（x）的单调性，从而求得最大值和最小值；（2）可得f′（x）＝﹣sin x+2（a﹣）x，，分一下三种情况讨论：①当2（a﹣）≥1，即a≥1时；②当2（a﹣）≤﹣1，即a≤0时；③当0＜a＜1时．解：（1）当a＝时，f（x）＝cos x+x2﹣1，则f′（x）＝﹣sin x+2x，f″（x）＝﹣cos x+2＞0．∴f′（x）在[0，]上单调递增，而f′（0）＝0，∴f（x）在[0，]上单调递增，f（x）在[0，]上的最大值为f（）＝，最小值为f（0）＝0；（2）f（x）＝cos x+（a﹣）x2﹣1，a∈R．f′（x）＝﹣sin x+2（a﹣）x①当2（a﹣）≥1，即a≥1时，f″（x）≥0，f′（x）单调递增，而f′（0）＝0．∴当x＞0时，f′（x）＞0，当x＜0时，f′（x）＜0．即f（x）在（0，+∞）递增，在（﹣∞，0）递减，∴f（x）≥f（0）＝0，符合题意．②当2（a﹣）≤﹣1，即a≤0时，f″（x）≤0，f′（x）单调递减，而f′（0）＝0．∴当x＞0时，f′（x）＜0，当x＜0时，f′（x）＞0．即f（x）在（0，+∞）递增减，在（﹣∞，0）递增，∴f（x）≤f（0）＝0，不符合题意．③当0＜a＜1时，﹣1，由f″（x）＝0，可得cos x＝2（a﹣）故存在x0∈（0，π），使得f″（x0）＝0，且∈（0，x0）时f″（x）＜0，f′（x）单调递减，此时f（x）＜f（0）＝0，不符合题意．综上，a的取值范围为[1，+∞）．。
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(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn (a 、b ∈R)，且S 25＝100，则a 12＋a 14等于( )A ．16B ．8C ．4D ．不确定解析：由数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn (a 、b ∈R)，可得数列{a n }是等差数列，S 25＝(a 1＋a 25)·252＝100，解得a 1＋a 25＝8，所以a 1＋a 25＝a 12＋a 14＝8.答案：B2．数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项的和为10，则项数为( )A ．11B ．99C ．120D ．121解析：∵a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，∴S n ＝n ＋1－1＝10，∴n ＝120.答案：C3．1－4＋9－16＋…＋(－1)n ＋1n 2等于( ) A.n (n ＋1)2B ．－n (n ＋1)2C ．(－1)n ＋1n (n ＋1)2D ．以上答案均不对解析：对n 赋值验证，只有C 正确． 答案：C4．已知函数f (x )＝x 2＋bx 的图象在点A (1，f (1))处的切线的斜率为3，数列{1f (n )}的前n 项和为S n ，则S 2 010的值为( )A.2 0072 008B.2 0082 009C.2 0092 010D.2 0102 011解析：∵f ′(x )＝2x ＋b ，∴f ′(1)＝2＋b ＝3，∴b ＝1，∴f (x )＝x 2＋x ， ∴1f (n )＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1， ∴S 2 010＝1－12＋12－13＋…＋12 010－12 011＝1－12 011＝2 0102 011. 答案：D5．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－6n ，则{|a n |}的前n 项和T n＝( )A ．6n －n 2B ．n 2－6n ＋18C.⎩⎪⎨⎪⎧ 6n －n 2(1≤n ≤3)n 2－6n ＋18 (n ＞3)D.⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2(1≤n ≤3)n 2－6n (n ＞3) 解析：由S n ＝n 2－6n 得{a n }是等差数列，且首项为－5，公差为2.∴a n ＝－5＋(n －1)×2＝2n －7， ∴n ≤3时，a n ＜0，n ＞3时a n ＞0，∴T n ＝⎩⎨⎧6n －n 2 (1≤n ≤3)n 2－6n ＋18 (n ＞3).答案：C6．设数列{a n }是首项为1公比为3的等比数列，把{a n }中的每一项都减去2后，得到一个新数列{b n }，{b n }的前n 项和为S n ，对任意的n ∈N *，下列结论正确的是( )A ．b n ＋1＝3b n ，且S n ＝12(3n－1)B ．b n ＋1＝3b n －2，且S n ＝12(3n －1)C ．b n ＋1＝3b n ＋4，且S n ＝12(3n －1)－2nD ．b n ＋1＝3b n －4，且S n ＝12(3n －1)－2n解析：因为数列{a n }是首项为1公比为3的等比数列，所以数列{a n }的通项公式a n ＝3n －1，则依题意得，数列{b n }的通项公式为b n ＝3n －1－2，∴b n ＋1＝3n －2,3b n ＝3(3n －1－2)＝3n －6，∴b n ＋1＝3b n ＋4. {b n }的前n 项和为：S n ＝(1－2)＋(31－2)＋(32－2)＋(33－2)＋…＋(3n －1－2)＝(1＋31＋32＋33＋…＋3n －1)－2n ＝(1－3n )1－3－2n＝12(3n－1)－2n . 答案：C二、填空题(共3个小题，每小题5分，满分15分)7．已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，…，110＋210＋310＋…＋910，…，那么数列{b n }＝{1a n a n ＋1}的前n 项和S n ＝________.解析：由已知条件可得数列{a n }的通项公式为 a n ＝1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n 2，∴b n ＝1a n a n ＋1＝4n (n ＋1)＝4(1n －1n ＋1)．S n ＝4(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)＝4(1－1n ＋1)＝4nn ＋1. 答案：4nn ＋1 8．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项为2n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.解析：∵a n ＋1－a n ＝2n ，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2n －1＋2n －2＋…＋22＋2＋2＝2－2n1－2＋2＝2n－2＋2＝2n.∴S n＝2－2n＋11－2＝2n＋1－2.答案：2n＋1－29．数列{a n}的前n项和为S n且a1＝1，a n＋1＝3S n(n＝1,2,3，…)，则log4S10＝________.解析：∵a n＋1＝3S n，∴a n＝3S n－1(n≥2)．两式相减得a n＋1－a n＝3(S n－S n－1)＝3a n，∴a n＋1＝4a n，即a n＋1a n＝4.∴{a n}为a2为首项，公比为4的等比数列．当n＝1时，a2＝3S1＝3，∴n≥2时，a n＝3·4n－2，S10＝a1＋a2＋…＋a10＝1＋3＋3×4＋3×42＋…＋3×48＝1＋3(1＋4＋…＋48)＝1＋3×49－14－1＝1＋49－1＝49.∴log4S10＝log449＝9.答案：9三、解答题(共3个小题，满分35分)10．等差数列{a n}是递增数列，前n项和为S n，且a1，a3，a9成等比数列，S 5＝a 25.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝n 2＋n ＋1a n ·a n ＋1，求数列{b n }的前99项的和．解：(1)设数列{a n }的公差为d (d >0)， ∵a 1，a 3，a 9成等比数列，∴a 23＝a 1a 9， ∴(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋8d )，∴d 2＝a 1d ， ∵d >0，∴a 1＝d ，①∵S 5＝a 25，∴5a 1＋5×42·d ＝(a 1＋4d )2②由①②得a 1＝35，d ＝35，∴a n ＝35＋(n －1)×35＝35n (n ∈N *)．(2)b n ＝n 2＋n ＋135n ·35(n ＋1)＝259·n 2＋n ＋1n (n ＋1)＝259(1＋1n －1n ＋1)， ∴b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 99＝259(1＋1－12＋1＋12－13＋1＋13－14＋…＋1＋199－1100)＝259(99＋1－1100)＝275＋2.75＝277.75.11．已知数列{a n }的前n 项和S n 和通项a n 满足S n ＝12(1－a n )．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝na n ，求证：b 1＋b 2＋…＋b n <34.解：(1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12(1－a n )－12(1－a n －1)＝－12a n ＋12a n －1，2a n ＝－a n ＋a n －1∴由题意可知a n －1≠0，a n a n －1＝13，所以{a n }是公比为13的等比数列．S 1＝a 1＝12(1－a 1)，a 1＝13.a n ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n.(2)证明：b n ＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ，设T n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫131＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫133＋…＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ，① ∴13T n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫133＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫134＋…＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1，②①－②，化简得∴T n ＝34－34⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －32n ⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1<34.12．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足(p －1)S n ＝p 2－a n (p >0，p ≠1)，且a 3＝13.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝12－log 3a n，数列{b n b n ＋2}的前n 项和为T n ，若对于任意的正整数n ，都有T n <m 2－m ＋34成立，求实数m 的取值范围．解：(1)由题设知(p －1)a 1＝p 2－a 1， 解得p ＝a 1或p ＝0(舍去)．由条件可知(p －1)S 2＝(p －1)(a 1＋a 2)＝p 2－a 2， 解得a 2＝1.再由(p －1)S 3＝(p －1)(a 1＋a 2＋a 3)＝p 2－a 3， 解得a 3＝1p .由a 3＝13可得1p ＝13，故p ＝3＝a 1.所以2S n ＝9－a n ，则2S n ＋1＝9－a n ＋1， 以上两式作差得2(S n ＋1－S n )＝a n －a n ＋1， 即2a n ＋1＝a n －a n ＋1， 故a n ＋1＝13a n .可见，数列{a n }是首项为3，公比为13的等比数列．故a n ＝3(13)n －1＝32－n .(2)因为b n ＝12－log 3a n ＝12－(2－n )＝1n ，所以b n b n ＋2＝1n (n ＋2)＝12(1n －1n ＋2)，T n ＝b 1b 3＋b 2b 4＋b 3b 5＋…＋b n b n ＋2＝12[(1－13)＋(12－14)＋(13－15)＋(14－16)＋…＋(1n －1n ＋2)] ＝12(1＋12－1n ＋1－1n ＋2)<34. 故要使T n <m 2－m ＋34恒成立，只需34≤m 2－m ＋34，解得m ≤0或m ≥1.故所求实数m 的取值范围为(－∞，0]∪[1，＋∞)．。