侧位停车数学建模

一.问题重述侧位停车是指驾驶员在停车位时利用自身的倒车技巧，使车辆按照一定的行驶轨迹，安全的，在不触碰到两边车辆的前提下，让自己的车停到规定好的停车位上。

侧位停车常常会出现许多两车碰擦的情况，通常时由于驾驶员技术的生疏或者不熟练，亦或是停车位长宽大小建造的不科学。

正确的科学的停车位建设，能在给驾驶员提供充足的停车空间的条件下，尽可能的节约场地，对于当今停车位紧缺的问题具有相当大积极意义。

现在我们根据题中所给的条件，研究停车位宽度一定时，车位长度最小的情况，以及保证车辆正常停车时，停车位长度与车辆可供行驶的道路宽度的关系，建立数学模型解决以下问题：问题（1），在可供行驶的道路宽度足够大时，求车位长度的最小值。

汽车如果可供行驶宽度y足够大，车辆要能够停进这个车位（车辆只能倒车，不能前进），车位长度x最小为多少？假设车辆的初始位置与车位平行，求出车辆的初始位置、倒车入库过程中方向盘位置a的取值变化和车前轮的轨迹。

（2）如果y不是足够大（当然y肯定大于车宽），那么x和y满足什么条件的情况下，车辆只通过倒车就能停进车位（车辆只能倒车不能前进）？（3）设y=2000mm，求出倒车过程中方向盘调整次数最少时x的最小值，以及此时倒车过程中a的取值变化。

二．问题分析城市中建立起愈来愈多住房区，超市，商场，同时又由于人民收入水平的增加，越来越多的人加入到了“有车一族”的行列。

城市建设和有车一族的人们对停车位的需求越来越大。

而城市里的土地资源的紧张，则对我们如何规划一个提高停车位利用率停车位提出了一定的要求。

在此同时，由于一个个新手驾驶员的技术不熟练和内在的不自信，建设的停车位又要能容许他们的操控误差。

针对问题（1），我们考虑到了在停车位宽度一定的情况下，汽车恰好切入停车位的情况（忽略了汽车倒车时速度的大小）。

此时利用一定的几何知识，我们可以求得所求的停车位最小长度。

同时结合汽车的最小转弯半径，我们确定了汽车转弯的圆心，并建立了直角坐标系，求得汽车停车时前轮的运动轨迹。

针对问题（2）我们根据问题中讨论情况，我们选取汽车恰好能停入停车位的情况，继而求得道路宽度与车位长度之间的关系。

针对问题（3）我们在问题（1）的基础上，选取圆弧轨迹最少的一次，起轨迹变化的次数既是所要求方向盘改变的最小次数。

模型建立2.1车辆初始位置的初步探讨初始位置的确定有几个较重要的条件，分别为：(1)泊车时须保证车身不能和前一车位发生空间碰撞，需确定极限转弯最远点的值；(2)把路旁停车位假想为一个停车库，泊车过程中车身不能和车库的库底发生碰撞，车轮不能和库边发生碰撞。

(3)采用极限转弯半径，即最小转弯半径，来确定最小停车位长度从而约束泊车初始位置。

极限转弯最远点值的确定如图示IV —1所示，F 代表泊车初始位置，MNPQ 代表车位趋势，把方向盘打到极限位置后，以低速稳定车速转弯。

图示IV —1 极限转弯最远点值的计算示意图试验车最小转弯半径r=5500mm ，车宽w=1778mm ，EF=500ram ，车辆中心点距车位角Ⅳ点距离为NE ，可计算得出极限转弯最远点NE 的值。

NE 的确定对泊车初始位置的确定有着实际的意义。

85.263122)17785500(22)(=⨯-=⨯-=w r NE 2.2最短停车位长度的确定如果停车位长度较长，车辆泊车的初始位置较合理，泊车“二个步骤"即可完成泊车。

一般来说，停车位空间较长时，两平行车辆间存在着一最佳水平距离，车辆“两次泊车”即可完成泊入停车位。

图示IV—2所示的最小停车位空间示意图中，车辆“两次泊车"可泊入车位。

显然，车辆初始位置不同，“两次泊车”泊入停车位空间时，所必需的停车位长度是不同的。

当泊车转向角最小时，停车位有一个极限值，称为最小停车位。

泊车入位过程中，当方向盘打死到极限转弯的状态，车辆“两次泊车"完成泊入停车位空间时，所占用的停车位长度最小。

图示IV—2 平行泊车最小停车空间示意图泊车准备时车辆放于F点，逐渐行驶到N点，此时恰好为泊车时内侧车头恰好与前方车辆不碰撞的位置状态。

当车辆到达S点位置时，车身方向角大约为45°左右，此时反打方向盘直至方向盘打死。

当到达T点时，为防止车尾与后方车辆、右车轮与右侧路边相碰撞，取车尾与后车头部、车身与右侧路边最短距离为100mm，最小停车位的约束值为：min2(2)(1100500NP r w=-⋅-+-min100 2QP NE l=++其中，NE的计算见本条中“泊车初始位置的初步探讨，r、l与w分别为车辆最小转弯半径，车辆长度与宽度，500表示在泊车预备时泊车距离车道实线的最小安全距离，单位为mm。

代入试验车相关参数，可得：NP的最小值=2321mm，QP的最小值=5855mm。

经过多次轨迹的仿真，最小停车位的几何参数定为长度5．8m，宽度2．2m。

对于试验车来说，停车位空间不小于5．8m掌2．2m时，车辆可完成泊入停车位。

停车位的长度对于泊车成功与否起着重要的作用，上述的最小停车位长度是一个相对宽松的极限值。

车辆“两次泊车’’可泊入停车位，所需车位长必须大于或等于最小停车位。

在平行泊车过程中，判断泊车能否成功，首先应检测停车位空间大小，使其不小于最小停车位的大小。

2.3普通停车位空间大小的确定停车位空间大小对平行泊车难度系数影响很大，停车位空间由车位长度和车位宽度确定。

车位空间越大，泊车困难程度相对较小；车位空间越小，泊车困难系数就越大。

图示IV—3 平行泊车普通车位空间坐标图如图示IV—3，普通车位大小标记为l*p h，p l代表车位长，p h代表车位p宽，矩形abcd表示试验车，o’代表车辆的几何中心点。

环绕车位的三面标记为BK、FT和SE，为车身方向角，即车身与水平方向的夹角，定义逆时针为正。

泊车时，驾驶员反打方向盘的时刻为，当车身方向角接近于45°时，极少会达到45°。

在实际泊车过程中，大多数驾驶员会潜意识地躲避车位顶点N点(见图示IV—2)，很少一开始就把方向盘打死的，基本都是逐渐加大方向盘转角，直到打死；在接近45°至最大车身方向角时，一般维持方向角不变一段时间，保证反打方向盘时车头不会碰撞到N点，才开始反打方向盘；反打方向盘时，逐渐加大角度，直至反向打死。

通过多次平行泊车轨迹计算与仿真，确定停车位长度为7．5 m比较理想。

这样，任意车辆长度不大于5．5 m，最小转弯半径不大于6m的小轿车“两次泊车"即可泊入停车位。

其中，停车位宽度采用标准的路旁停车位宽度2．2所，和NP的最小值=2．2m吻合。

这样，确定普通车位大小为：l=7．5m，p h=2．2mp若有停车位空间满足长度不小于7．5 m，宽度不小于2．2 m，则可认为找到了适合的泊车空间，车辆很容易就能完成泊车。

2.4车辆的运动学模型即运动轨迹建立车辆侧位停车的运动学模型，上文中建立了侧位停车系统中质点的运动学模型。

在此需要求车辆侧位停车时车轮的运动轨迹。

需要建立车辆侧位停车的运动学模型，以推导出车辆侧位停车的运动轨迹方程式，作为后续研究侧位停车系统的理论基础。

下面是侧位停车运动轨迹方程：图示IV —4为车辆泊车的运动学模型，其中（xf ，yf)位前轴中心点坐标，(,r r x y )为后轴中心点坐标，v 为前轴中心点速度，l 为轴距，w 为后轮距，为前轴中心点转向角，为车辆中心轴与水平方向的夹角。

正常情况下泊车速度很低(约≤5km ／h)，由此假定无滑轮现象产生，后轮轨迹的垂直方向速度为0，其方程式表示如下：'cos 'sin 0r r y x θθ⋅-⋅= …… ①而图示IV —4可知，前后轴中心点坐标关系为：sin cos r f r f x x l y y l θθθθ=+⋅⋅⎧⎨=-⋅⋅⎩ …… ② 对②式进行积分得速度关系式：'''sin '''cos r f r f x x l y y l θθθθ=+⋅⋅⎧⎨=-⋅⋅⎩ …… ③把③式代入①式，得'sin 'cos '0f f x y l θθθ⋅-⋅+⋅= …… ④前后中心点的x ，y 方向速度为：'sin()'cos()r fy v x v θφθφ=⋅+⎧⎨=⋅+⎩ …… ⑤ 将⑤式代入④式，即可求得车辆回转圆角速度为： sin 'v lφθ=⋅ …… ⑥将⑤和⑥同时代入式③，即可求得后轮中心点x ，y 方向速度分别 'cos cos 'sin sin f fx v y v θφθφ=⋅⋅⎧⎨=⋅⋅⎩ …… ⑦ 最后对⑥式求时间积分，并代入⑦式后，在对时间积分即可求得后轴中心点的轨迹方程式：222sin ()cos cos cot sin()sin ()sin sin cot cos()cot (cot )(cot )r r r r v x t v dt l t l v y t v dt l t l l x y l l φθφφφθφφφφφ⋅⎧=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⎪⎪⋅⎪=⋅⋅⋅=-⋅⋅⋅+⋅⎨⎪⎪+-⋅=⋅⎪⎩⎰⎰…… ⑧ 根据图示IV —4中坐标位置的关系，可进一步求出左右轮中心点的运动轨迹方程式：左轮：222sin ()(cot )sin()2sin ()(cot )cos()cot 2(cot )(cot )2rL rL rL rL w v x t l t l w v y t l t l l w x y l l φφφφφφφ⋅⎧=⋅-⋅⋅⎪⎪⋅⎪=-⋅-⋅⋅+⋅⎨⎪⎪+-⋅=⋅-⎪⎩…… ⑨ 右轮：222sin ()(cot )sin()2sin ()(cot )cos()cot 2(cot )(cot )2rR rR rR rR w v x t l t l w v y t l t l l w x y l l φφφφφφφ⋅⎧=⋅+⋅⋅⎪⎪⋅⎪=-⋅+⋅⋅+⋅⎨⎪⎪+-⋅=⋅+⎪⎩…… ⑩ 由式⑨和式⑩知，当低速泊车，且不考虑轮胎侧滑时，后轮的行径轨迹与轮距，轴距及前轴中心点转向角有关，而与泊车速度无关。

以试验车(轴距2548mm ，后轮距1422mm)之相关尺寸参数为例，代入所推导之轨迹方程式中，前轴中心点左转向角为10°，泊车速度为5km/h ，后轮的预测行进轨迹如图示IV —5示：图示IV—5 转向角为10°时后轮倒车轨迹之回转圆三．模型求解对整个泊车过程成功与否影响较大的两点为：1．选准泊车起始位置2．泊车入车位时的切入点。

如图示V—1和图示V—2 所示。

图示V—1 准备泊车图示V—2 调整方向盘I．平行泊车系统模型图示IV—3、图示IV—4、图示IV—5和图示IV—6为平行泊车步骤示意图，其中停车位长度为l w，停车位宽度为c w，车长为l，车宽为w，平行车辆车a与车b问水平距离为d。