，求f (x )在该区间上的最大值．
8、课标文数20.B12[2011·江西卷] 设f (x )＝13
x 3＋mx 2＋nx . (1)如果g (x )＝f ′(x )－2x －3在x ＝－2处取得最小值－5，求f (x )的解析式；
(2)如果m ＋n <10(m ，n ∈N ＋)，f (x )的单调递减区间的长度是正整数，试求m 和n 的值．(注：区间(a ，b )的长度为b －a )
9、课标文数19.B12[2011·天津卷] 已知函数f (x )＝4x 3＋3tx 2－6t 2x ＋t －1，x ∈R ，其中t ∈R .
(1)当t ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；
(2)当t ≠0时，求f (x )的单调区间；
(3)证明：对任意t ∈(0，＋∞)，f (x )在区间(0,1)内均存在零点．
10、大纲文数19.B12[2011·重庆卷] 设f (x )＝2x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数为f ′(x )，若函数y ＝f ′(x )的图象关于
直线x ＝－12
对称，且f ′(1)＝0. (1)求实数a ，b 的值；
(2)求函数f (x )的极值．
11、设定函数32()(0)3
a f x x bx cx d a =
+++f ，且方程'()90f x x -=的两个根分别 为1，4。
（Ⅰ）当a=3且曲线()y f x =过原点时，求()f x 的解析式；
（Ⅱ）若()f x 在(,)-∞+∞无极值点，求a 的取值范围。
12、设函数32()63(2)2f x x a x ax =+++.
（1）若()f x 的两个极值点为12,x x ，且121x x =，求实数a 的值；
（2）是否存在实数a ，使得()f x 是(,)-∞+∞上的单调函数？若存在,求出a 的值；若不存在，说明理由.
13、已知函数42()32(31)4f x ax a x x =-++
（I ）当16
a =时，求()f x 的极值; （II ）若()f x 在()1,1-上是增函数，求a 的取值范围
14、已知函数f （x ）=3231()2
ax x x R -+∈，其中a>0. （Ⅰ）若a=1，求曲线y=f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程； （Ⅱ）若在区间11,22??-
????
上，f （x ）>0恒成立，求a 的取值范围.
15、已知函数32()f x ax x bx =++(其中常数a,b ∈R),()()()g x f x f x '=+是奇函数.
(Ⅰ)求()f x 的表达式;
(Ⅱ)讨论()g x 的单调性，并求()g x 在区间上的最大值和最小值.
16、设函数3()3(0)f x x ax b a =-+≠.
（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2,(2))f 处与直线8y =相切，求,a b 的值；
（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间与极值点.
17、设函数329()62
f x x x x a =-+- （1）对于任意实数x ，()f x m '≥恒成立，求m 的最大值；
（2）若方程()0f x =有且仅有一个实根，求a 的取值范围
18、已知函数3223()39f x x ax a x a =--+.
(1) 设1a =，求函数()f x 的极值； 若14
a >
，且当[]1,4x a ∈时，)('x f ≤12a 恒成立，试确定a 的取值范围.
19、已知函数42()36f x x x =-+.
（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；
（Ⅱ）设点P 在曲线()y f x =上，若该曲线在点P 处的切线l 通过坐标原点，求l 的方程
20已知函数321()33
f x ax bx x =+++,其中0a ≠ （1） 当b a ,满足什么条件时,)(x f 取得极值?
（2） 已知0>a ,且)(x f 在区间(0,1]上单调递增,试用a 表示出b 的取值范围.
21、已知函数32
()22f x x bx cx =++-的图象在与x 轴交点处的切线方程是510.y x =-
（Ⅰ）求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）设函数1()(),)3
g x f x mx x =+
若g(的极值存在，求实数m 的取值范围以及函数()g x 取得极值时对应的自变量x 的值
22、已知函数32()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++ (,)a b ∈R ．
（I ）若函数()f x 的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3-，求,a b 的值； （II ）若函数()f x 在区间(1,1)-上不单调．．．
，求a 的取值范围．
23、设a ∈R ，函数2
33)(x ax x f -=．
（Ⅰ）若2=x 是函数)(x f y =的极值点，求a 的值；
（Ⅱ）若函数()()()[02]g x f x f x x '=+∈，，，在0=x 处取得最大值，求a 的取值范围．
24、设1x =和2x =是函数53()1f x x ax bx =+++的两个极值点.
（Ⅰ）求a 和b 的值
（Ⅱ）求()f x 的单调区间.
25．（本小题满分14分）设函数32()2f x x x x =--+．
导数题型总结(12种题型)
导数题型总结 1.导数的几何意义 2.导数四则运算构造新函数 3.利用导数研究函数单调性 4.利用导数研究函数极值和最值 5.①知零点个数求参数范围②含参数讨论零点个数 6.函数极值点偏移问题 7.导函数零点不可求问题 8.双变量的处理策略 9.不等式恒成立求参数范围 10.不等式证明策略 11.双量词的处理策略 12.绝对值与导数结合问题 导数专题一导数几何意义 一.知识点睛 导数的几何意义：函数y=f（x）在点x=x0 处的导数f’（x0）的几何意义是曲线在点x=x0 处切线的斜率。 二.方法点拨： 1.求切线 ①若点是切点：(1)切点横坐标x0 代入曲线方程求出y0(2)求出导数f′(x)，把x0代入导
数求得函数y ＝f(x)在点x=x 0处的导数f ′(x 0)(3)根据直线点斜式方程，得切线方程：y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)． ②点（x 0，y 0）不是切点求切线：（1）设曲线上的切点为(x 1，y 1)； (2)根据切点写出切线方程y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1) (3)利用点（x 0，y 0）在切线上求出（x 1，y 1）； (4)把（x 1，y 1）代入切线方程求得切线。 2.求参数，需要根据切线斜率，切线方程，切点的关系列方程：①切线斜率k=f ′(x 0) ②切点在曲线上③切点在切线上 三．常考题型：(1)求切线(2)求切点(3)求参数⑷求曲线上的点到直线的最大距离或最小距离(5)利用切线放缩法证不等式 四．跟踪练习 1.（2016全国卷Ⅲ）已知f(x)为偶函数，当x ＜0时，f(x)=f （-x ）+3x ，则曲线y=f （x ）在点（1，-3）处的切线方程是 2.（2014新课标全国Ⅱ）设曲线y=ax-ln （x+1）在点（0,0）处的切线方程为y=2x ，则a= A. 0 B.1 C.2 D.3 3.（2016全国卷Ⅱ）若直线y=kx+b 是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln （x+1）的切线，则b= 4.（2014江西）若曲线y=e -x 上点P 处的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P 的坐标是 5.（2014江苏）在平面直角坐标系中，若曲线y=ax 2 + x b （a ，b 为常数）过点P （2，-5），且该曲线在点P 处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b= 6.（2012新课标全国）设点P 在曲线y=2 1e x 上，点Q 在曲线y=ln （2x ）上，则▕PQ ▏的最小值为 A.1-ln2 B. 2（1-ln2） C.1+ln2 D.2(1+ln2) 7.若存在过点（1,0）的直线与曲线y=x 3 和y=ax 2 + 4 15 x-9都相切，则a 等于 8.抛物线y=x 2 上的点到直线x-y-2=0的最短距离为 A. 2 B.8 27 C. 2 2 D. 1
高考文科导数考点汇总完整版
高考文科导数考点汇总 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】
高考导数文科考点总结 一、考试内容 导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数； 两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。 导数概念与运算知识清单 1．导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?） －f （x 0），比值x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即 x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。如果当0→?x 时，x y ??有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处 可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。 即f （x 0）=0 lim →?x x y ??=0lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。 说明： （1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→?x 时，x y ??有极限。如果x y ??不存在极限，就 说函数在点x 0处不可导，或说无导数。 （2）x ?是自变量x 在x 0处的改变量，0≠?x 时，而y ?是函数值的改变量，可以是零。
由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤（可由学生来归纳）： （1）求函数的增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0）； （2）求平均变化率x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00； （3）取极限，得导数f’(x 0)=x y x ??→?0lim 。 2．导数的几何意义 函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0=f/（x 0）（x －x 0）。 3．几种常见函数的导数: ①0;C '= ② ()1 ; n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '=⑥()ln x x a a a '=; ⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x '=. 4．两个函数的和、差、积的求导法则 法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： ( .)'''v u v u ±=± 法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个
高考文科数学专题复习导数训练题
高考文科数学专题复习导数训练题（文） 一、考点回顾和基础知识 1．导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的内容．考查方式以客观题为主，主要考查导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义. 2.导数的应用是高中数学中的重点内容,导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工具,特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题.选择填空题侧重于利用导数确定函数的单调性、单调区间和最值问题,解答题侧重于导数的综合应用,即与函数、不等式、数列的综合应用. 3.应用导数解决实际问题,关键是建立适当的数学模型（函数关系）,如果函数在给定区间内只有一个极值点,此时函数在这点有极值,而此时不用和端点值进行比较,也可以得知这就是最值. 在0x 处有增量x ?，称为函数)(x f y =在则称函数)(x f y =在)0或0|'x x y =，即 f . )(v u v u ±=±)(...)()()(...)()(2121x f x f x f y x f x f x f y n n +++=?+++=?''''''')()(cv cv v c cv u v vu uv =+=?+=（c 为常数） )0(2''' ≠-= ?? ? ??v v u v vu v u *复合函数的求导法则：)()())(('''x u f x f x ??= 或x u x u y y '''?= 4.几种常见的函数导数： I.0'=C （C 为常数） x x cos )(sin ' = 1')(-=n n nx x （R n ∈） x x sin )(cos '-= II. x x 1)(ln '= e x x a a log 1 )(log '= x x e e =')(a a a x x ln )('= 二、经典例题剖析 考点一：求导公式
高中数学导数题型总结
导数 经典例题剖析 考点一：求导公式。 例1. ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数，则(1)f '-的值是 。 考点二：导数的几何意义。 例 2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是1 22 y x = +，则(1)(1)f f '+= 。 例3.曲线3 2 242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是 。 考点三：导数的几何意义的应用。 例4.已知曲线C ：x x x y 232 3 +-=，直线kx y l =:，且直线l 与曲线C 相切于点 ()00,y x 00≠x ，求直线l 的方程及切点坐标。 考点四：函数的单调性。 例5.已知()132 3 +-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值范围。 例6. 设函数3 2 ()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值。 （1）求a 、b 的值； （2）若对于任意的[03]x ∈， ，都有2 ()f x c <成立，求c 的取值范围。 点评：本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数()x f 的极值步骤：①求导数()x f '； ②求()0'=x f 的根；③将()0'=x f 的根在数轴上标出，得出单调区间，由()x f '在各区间上取值的正负可确定并求出函数()x f 的极值。
例7. 已知a 为实数，()() ()a x x x f --=42 。求导数()x f '；（2）若()01'=-f ，求() x f 在区间[]2,2-上的最大值和最小值。 解析：（1）()a x ax x x f 442 3 +--=，∴ ()423'2 --=ax x x f 。 （2）()04231'=-+=-a f ，2 1= ∴a 。()()()14343'2 +-=--=∴x x x x x f 令()0'=x f ，即()()0143=+-x x ，解得1-=x 或3 4 =x ， 则()x f 和()x f '在区间[] 2,2- ()2 91= -f ，275034-=??? ??f 。所以，()x f 在区间[]2,2-上的最大值为 275034-=?? ? ??f ，最 小值为()2 9 1= -f 。 答案：（1）()423'2 --=ax x x f ；（2）最大值为275034- =?? ? ??f ，最小值为()2 91=-f 。 点评：本题考查可导函数最值的求法。求可导函数()x f 在区间[]b a ,上的最值，要先求出函数()x f 在区间()b a ,上的极值，然后与()a f 和()b f 进行比较，从而得出函数的最大最小值。 考点七：导数的综合性问题。 例8. 设函数3 ()f x ax bx c =++(0)a ≠为奇函数，其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线 670x y --=垂直，导函数'()f x 的最小值为12-。（1）求a ，b ，c 的值； （2）求函数()f x 的单调递增区间，并求函数()f x 在[1,3]-上的最大值和最小值。
(完整)高考文科数学导数专题复习
高考文科数学导数专题复习 第1讲 变化率与导数、导数的计算 知 识 梳 理 1.导数的概念 (1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝0 lim x ?→f （x 0＋Δx ）－f （x 0） Δx . (2)函数f (x )的导函数f ′(x )＝0 lim x ?→f （x ＋Δx ）－f （x ） Δx 为f (x )的导函数. 2.导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，过点P 的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0). 3.基本初等函数的导数公式 4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： 考点一 导数的计算 【例1】 求下列函数的导数： (1)y ＝e x ln x ；(2)y ＝x ? ?? ??x 2＋1x ＋1x 3； 解 (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e x 1x ＝? ?? ??ln x ＋1x e x .(2)因为y ＝x 3 ＋1＋1x 2， 所以y ′＝(x 3)′＋(1)′＋? ?? ??1x 2′＝3x 2 －2x 3. 【训练1】 (1) 已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2x ·f ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于( ) A.－e B.－1 C.1 D.e 解析 由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1 x ，∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1.答案 B (2)(2015·天津卷)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数.若f ′(1)＝3，则a 的值为________. (2)f ′(x )＝a ? ?? ??ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x ).由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3.答案 (2)3 考点二 导数的几何意义 命题角度一 求切线方程 【例2】 (2016·全国Ⅲ卷)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1 －x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，2)处的 切线方程是________.解析 (1)设x >0，则－x <0，f (－x )＝e x －1 ＋x .又f (x )为偶函数，f (x )＝f (－x )＝e x －1 ＋x ， 所以当x >0时，f (x )＝e x －1 ＋x .因此，当x >0时，f ′(x )＝e x －1 ＋1，f ′(1)＝e 0 ＋1＝2.则曲线y ＝f (x )在点(1， 2)处的切线的斜率为f ′(1)＝2，所以切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0. 答案 2x －y ＝0 【训练2】(2017·威海质检)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( )A.x ＋y －1＝0 B.x －y －1＝0 C.x ＋y ＋1＝0 D.x －y ＋1＝0
导数文科大题含详细答案精编版.doc
导数文科大题 1.知函数，. （ 1）求函数的单调区间； （ 2）若关于的方程有实数根，求实数的取值范围. 答案 解析
2. 已知,(1)若,求函数在点处的切线方程 ; (2) 若函数在上是增函数,求实数 a 的取值范围 ; (3) 令,是自然对数的底数);求当实数 a 等于多少时 ,可以使函数取得最小值为 3. 解:(1)时,, ′ (x), ′ (1)=3,, 数在点处的切线方程为,
(2)函数在上是增函数, ′ (x),在上恒成立, 即,在上恒成立, 令,当且仅当时,取等号, , 的取值范围为 (3), ′ (x), ①当时 ,在上单调递减,,计算得出(舍去 ); ②当且时,即,在上单调递减,在上单调递增 , ,计算得出,满足条件 ; ③当,且时,即,在上单调递 减 ,,计算得出(舍去 ); 综上 ,存在实数,使得当时,有最小值 3.
解析 (1) 根据导数的几何意义即可求出切线方程. (2)函数在上是增函数,得到f′(x),在上恒成立 ,分离参数 ,根据基本不等式求出答案, (3),求出函数的导数 ,讨论,,的情况, 从而得出答案 3. 已知函数, (1) 分别求函数与在区间上的极值 ; (2) 求证 :对任意, 解 :(1), 令,计算得出 :,,计算得出 :或, 故在和上单调递减, 在上递增 , 在上有极小值,无极大值 ; ,,则, 故在上递增,在上递减, 在上有极大值 ,,无极小值 ; (2)由(1)知,当时,,,
故; 当时 ,, 令,则, 故在上递增,在上递减, ,; 综上 ,对任意, 解析 (1) 求导 ,利用导数与函数的单调性及极值关系,即可求得及 单调区间及极值 ; 4. 已知函数,其中,为自然数的底数 .(1) 当时,讨论函数的单调性; (2)当时,求证:对任意的,. 解:(1)当时,, 则, , 故则在R上单调递减. (2)当时,,要证明对任意的,. 则只需要证明对任意的,. 设, 看作以 a 为变量的一次函数 ,要使,
全国高考文科导数大题官方解答
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2012--2017全国卷高考真题导数大题 1．（2012新课标全国卷1文21，本小题满分12分） 设函数()2x f x e ax =--． （Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）若1a =，k 为整数，且当0x >时，()()10x k f x x '-++>，求k 的最大值． 解：（Ⅰ）()f x 定义域为(,)-∞+∞，()x f x e a '=-， 若0a ≤，则()0f x '>，所以()f x 在(,)-∞+∞单调递增； 若0a >，则当(,ln )x a ∈-∞时，()0f x '<；当(ln ,)x a ∈+∞时，)0f x '>（ ， 所以()f x 在(,ln )a -∞，单调递减，在(ln ,)a +∞单调递增； （Ⅱ）由于1a =，所以()()1()(1)1x x k f x x x k e x '-++=--++， 故当0x >时，()()10x k f x x '-++>等价于1 (0)1 x x k x x e +< +>-，① 令1 ()1 x x g x x e +=+-，则22 1(2)()1(1)(1)x x x x x xe e e x g x e e ----'=+=--， 由（Ⅰ）知，函数()2x h x e x =--在(0,)+∞单调递增，而(1)0h <，(2)0h >， 所以()h x 在(0,)+∞存在唯一零点，故()g x '在(0,)+∞存在唯一零点， 设此零点为α，则(1,2)α∈， 当(0,)x α∈时，()0g x '<；当(,)x α∈+∞时，)0g x '>（ ， 所以()g x 在(0,)+∞的最小值是()g α， 又()0g α'=，可得2e α α=+，所以()1(2,3)g αα=+∈， 由于①等价于()k g α<，故整数k 的最大值为2． 2．（2013新课标全国卷1文21，本小题满分12分） 已知函数2 ()()4x f x e ax b x x =+--，曲线()y f x =在点(0,(0))f 处切线方程为
导数各类题型方法总结(含答案)
导数各种题型方法总结 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令0)(' =x f 得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知； 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种： 第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0） 第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）； 例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上，()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数， 4323()1262 x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围； （2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332 x mx f x x '=-- 2()3g x x mx ∴=-- （1） ()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数” ， 则 2 ()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x < (0) 0302(3) 09330g m g m <-??<--=-的最大值（03x <≤）恒成立， 而3 ()h x x x =-（03x <≤）是增函数，则max ()(3)2h x h == 2m ∴> (2)∵当2m ≤时()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数” 则等价于当2m ≤时2 ()30g x x mx =--< 恒成立 变更主元法 再等价于2 ()30F m mx x =-+>在2m ≤恒成立（视为关于m 的一次函数最值问题） 2 2 (2)023011(2)0230F x x x F x x ?->--+>?????-<-+>??? 2b a ∴-=
高考文科导数考点汇总
高考导数文科考点 一、考试内容 导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数； 两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。 导数概念与运算知识清单 1．导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0）， 比值x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00。如果当0→?x 时，x y ??有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ） 在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。 即f （x 0）=0lim →?x x y ??=0lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。 说明： （1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→?x 时，x y ??有极限。如果x y ??不存在极限，就说函 数在点x 0处不可导，或说无导数。 （2）x ?是自变量x 在x 0处的改变量，0≠?x 时，而y ?是函数值的改变量，可以是零。 由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤（可由学生来归纳）： （1）求函数的增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0）； （2）求平均变化率x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00； （3）取极限，得导数f’(x 0)=x y x ??→?0lim 。 2．导数的几何意义 函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0=f/（x 0）（x －x 0）。
导数大题方法总结
导数大题方法总结 一总论 一般来说，导数的大题有两到三问。每一个小问的具体题目虽然并不固定，但有相当的规律可循，所以在此我进行了一个答题方法的总结。 二主流题型及其方法 *（1）求函数中某参数的值或给定参数的值求导数或切线 一般来说，一到比较温和的导数题的会在第一问设置这样的问题：若f(x)在x = k时取得极值，试求所给函数中参数的值；或者是f(x)在(a , f(a))处的切线与某已知直线垂直，试求所给函数中参数的值等等很多条件。虽然会有很多的花样，但只要明白他们的本质是考察大家求导数的能力，就会轻松解决。这一般都是用来送分的，所以遇到这样的题，一定要淡定，方法是： 先求出所给函数的导函数，然后利用题目所给的已知条件，以上述第一种情形为例：令x = k，f(x)的导数为零，求解出函数中所含的参数的值，然后检验此时是否为函数的极值。 注意：①导函数一定不能求错，否则不只第一问会挂，整个题目会一并挂掉。保证自己求导不会求错的最好方法就是求导时不要光图快，一定要小心谨慎，另外就是要将导数公式记牢，不能有马虎之处。②遇到例子中的情况，一道要记得检验，尤其是在求解出来两个解的情况下，更要检验，否则有可能会多解，造成扣分，得不偿失。所以做两个字来概括这一类型题的方法就是：淡定。别人送分，就不要客气。③求切线时，要看清所给的点是否在函数上，若不在，要设出切点，再进行求解。切线要写成一般式。 *（2）求函数的单调性或单调区间以及极值点和最值 一般这一类题都是在函数的第二问，有时也有可能在第一问，依照题目的难易来定。这一类题问法都比较的简单，一般是求f(x)的单调（增减）区间或函数的单调性，以及函数的极大（小）值或是笼统的函数极值。一般来说，由于北京市高考不要求二阶导数的计算，所以这类题目也是送分题，所以做这类题也要淡定。这类问题的方法是： 首先写定义域，求函数的导函数，并且进行通分，变为假分式形式。往下一般有两类思路，一是走一步看一步型，在行进的过程中，一点点发现参数应该讨论的范围，一步步解题。这种方法个人认为比较累，而且容易丢掉一些情况没有进行讨论，所以比较推荐第二种方法，就是所谓的一步到位型，先通过观察看出我们要讨论的参数的几个必要的临介值，然后以这些值为分界点，分别就这些临界点所分割开的区间进行讨论，这样不仅不会漏掉一些对参数必要的讨论，而且还会是自己做题更有条理，更为高效。 极值的求法比较简单，就是在上述步骤的基础上，令导函数为零，求出符合条件的根，然后进行列表，判断其是否为极值点并且判断出该极值点左右的单调性，进而确定该点为极大值还是极小值，最后进行答题。 最值问题是建立在极值的基础之上的，只是有些题要比较极值点与边界点的大小，不能忘记边界点。 注意:①要注意问题，看题干问的是单调区间还是单调性，极大值还是极小值，这决定着你最后如何答题。还有最关键的，要注意定义域，有时题目不会给出定义域，这时就需要你自己写出来。没有注意定义域问题很严重。②分类要准，不要慌张。③求极值一定要列表，不能使用二阶导数，否则只有做对但不得分的下
高考文科数学专题复习导数训练题文
欢迎下载学习好资料 高考文科数学专题复习导数训练题（文）一、考点回顾导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的内容。考查方式以客观题为主，主1. 要考查导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义。导数的应用是高中数学中的重点内容，导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工2.具，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题。选择填空题侧重于利用导不等式、解答题侧重于导数的综合应用，即与函数、数确定函数的单调性、单调区间和最值问题，数列的综合应用。3.应用导数解决实际问题，关键是建立恰当的数学模型（函数关系），如果函数在给定区间内只有一个极值点，此时函数在这点有极大（小）值，而此时不用和端点值进行比较，也可以得知这就是最大（小）值。 二、经典例题剖析 考点一：求导公式。 13f(x)?x?2x?1??ff(?1)(x)3的值是的导函数，则。例1. 是 ????2?1?2?1?f'32x??xf'解析：，所以 答案：3 点评：本题考查多项式的求导法则。 考点二：导数的几何意义。 1x?y?2(1?(1))f(x)My，f2，点则图数2. 例已知函的象程的处切线方在是 ??(1)(f1?)f。 115???fk?'1M(1，f(1))222，所的纵坐标为，所以，由切线过点，可得点M 解析：因为5???f1?????3'f1?f12以，所以3 答案： 学习好资料欢迎下载 32?3)(1，2??4x?yx?2x例3. 。在点曲线处的切线方程是 2?3)(1，4??4xy'?3x5?k?3?4?4??解析：，所以设切线方程，处切线的斜率为点?3)(1， ?3)y??5x?b(1，2b?，将点处的切线为带入切线方程可得，所以，过曲线上点5x?y?2?0方程为：5x?y?2?0答案：点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三：导数的几何意义的应用。 ??23x?,y0x l:y?kx x?3x?2y?xl与曲线C且直线相切于点，，例，4.已知曲线C：直线000l的方程及切点坐标。求直线y??00k??x??0x y,x?0在曲析解：线直线过原点，C则。由点上， ??00232x?2x?3xy?x yx,y'?3x?6x?2??0在，处，。又 则00y20?x?3x?2 000000??222x?3x?2?3x?6x?22x?'6x??3xk?f?，整曲线C，的切线斜率为 0000000331y???k??x03x??2x x?00082400。所以，（舍），此时，，解得：理得：，或033??1,???y??x82l??4的方程为，切点坐标是直线。 33??1,???y??x82l??4的方程为，切点坐标是答案：直线点评：本小题考查导数
导数文科大题含详细标准答案
导数文科大题含详细答案
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导数文科大题 1.知函数，. （1）求函数的单调区间； （2）若关于的方程有实数根，求实数的取值范围. 答案 解析
2.已知, (1)若,求函数在点处的切线方程; (2)若函数在上是增函数,求实数a 的取值范围; (3)令, 是自然对数的底数);求当实数a等于多少时,可以使函数取得最小值为 3. 解:(1)时,, ′(x), ′(1)=3,, 数在点处的切线方程为,
(2)函数在上是增函数, ′(x),在上恒成立, 即,在上恒成立, 令,当且仅当时,取等号, , 的取值范围为 (3), ′(x), ①当时,在上单调递减,,计算得出(舍去); ②当且时,即,在上单调递减,在上单调递增, ,计算得出,满足条件; ③当,且时,即,在上单调递 减,,计算得出(舍去); 综上,存在实数,使得当时,有最小值3.
解析(1)根据导数的几何意义即可求出切线方程. (2)函数在上是增函数,得到f′(x),在上恒成立,分离参数,根据基本不等式求出答案, (3),求出函数的导数,讨论,,的情况,从而得出答案 3.已知函数, (1)分别求函数与在区间上的极值; (2)求证:对任意, 解:(1), 令,计算得出:,,计算得出:或, 故在和上单调递减, 在上递增, 在上有极小值,无极大值; ,,则, 故在上递增,在上递减, 在上有极大值,,无极小值; (2)由(1)知,当时,,,
高中数学函数与导数常考题型归纳
高中数学函数与导数常考题型整理归纳 题型一:利用导数研究函数的性质 利用导数研究函数的单调性、极值、最值是高考的热点问题之一，每年必考，一般考查两类题型：(1)讨论函数的单调性、极值、最值，(2)利用单调性、极值、最值求参数的取值范围. 【例1】已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x ). (1)讨论f (x )的单调性； (2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求实数a 的取值范围. 解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1 x －a . 若a≤0，则f′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增. 若a ＞0，则当x ∈? ???? 0，1a 时，f ′(x )＞0； 当x ∈? ?? ?? 1a ，＋∞时，f ′(x )＜0， 所以f (x )在? ???? 0，1a 上单调递增，在? ?? ??1a ，＋∞上单调递减. 综上，知当a≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a ＞0时，f (x )在? ???? 0，1a 上单调递增，在? ?? ??1a ，＋∞上单调递减. (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值； 当a ＞0时，f (x )在x ＝1a 处取得最大值，最大值为f ? ?? ??1a ＝ln 1 a ＋a ? ?? ??1－1a ＝－ln a ＋a －1. 因此f ? ?? ?? 1a ＞2a －2等价于ln a ＋a －1＜0. 令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增， g (1)＝0. 于是，当0＜a ＜1时，g (a )＜0； 当a ＞1时，g (a )＞0. 因此，实数a 的取值范围是(0，1). 【类题通法】(1)研究函数的性质通常转化为对函数单调性的讨论，讨论单调性要先求函数定义域，再讨论导数在定义域内的符号来判断函数的单调性.
文科数学导数大题训练(有答案)
18．（14分）（2013?汕头一模）已知函数f（x） =x2﹣lnx． （1）求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （2）求函数f（x）的单调递减区间： （3）设函数g（x）=f（x）﹣x2+ax，a＞0，若x∈（O，e]时，g（x）的最小值是3，求实数a的值．（e是为自然对数的底数） 考 点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．3253948 专 题： 导数的综合应用． 分 析： （1）欲求在点（1，f（1））处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决． （2）求出原函数的导函数，由导函数小于0求出自变量x在定义域内的取值范围，则原函数的单调减区间可求． （3）求导函数，分类讨论，确定函数的单调性，利用函数g（x）的最小值是3，即可求出a的值． 解 答： 解：（1）∵f（x）=x2﹣lnx ∴f′（x）=2x﹣ ． ∴f'（1）=1． 又∵f（1）=1， ∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣1=x﹣1．即x﹣y=0．（2）因为函数f（x）=2x2﹣lnx的定义域为（0，+∞），
由f′（x）=2x﹣ ＜0，得0＜x＜ ． 所以函数f（x）=x2﹣lnx的单调递减区间是（0， ）． （3）∵g（x）=ax﹣lnx，∴g′（x）= ，令g′（x）=0，得x= ， ①当 ≥e时，即0＜a≤ 时，g′（x）= ≤0在（0，e]上恒成立， 则g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）min=g（e）=ae﹣1=3，a= （舍去）， ②当0＜ ＜e时，即a＞ 时，列表如下：
20122017年全国高考文科导数大题官方解答
2012--2017全国卷高考真题导数大题 1．（2012新课标全国卷1文21，本小题满分12分） 设函数()2x f x e ax =--． （Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）若1a =，k 为整数，且当0x >时，()()10x k f x x '-++>，求k 的最大值． 解：（Ⅰ）()f x 定义域为(,)-∞+∞，()x f x e a '=-， 若0a ≤，则()0f x '>，所以()f x 在(,)-∞+∞单调递增； 若0a >，则当(,ln )x a ∈-∞时，()0f x '<；当(ln ,)x a ∈+∞时，)0f x '>（ ， 所以()f x 在(,ln )a -∞，单调递减，在(ln ,)a +∞单调递增； （Ⅱ）由于1a =，所以()()1()(1)1x x k f x x x k e x '-++=--++， 故当0x >时，()()10x k f x x '-++>等价于1 (0)1 x x k x x e +< +>-，① 令1 ()1 x x g x x e +=+-，则22 1(2)()1(1)(1)x x x x x xe e e x g x e e ----'=+=--， 由（Ⅰ）知，函数()2x h x e x =--在(0,)+∞单调递增，而(1)0h <，(2)0h >， 所以()h x 在(0,)+∞存在唯一零点，故()g x '在(0,)+∞存在唯一零点， 设此零点为α，则(1,2)α∈， 当(0,)x α∈时，()0g x '<；当(,)x α∈+∞时，)0g x '>（ ， 所以()g x 在(0,)+∞的最小值是()g α， 又()0g α'=，可得2e α α=+，所以()1(2,3)g αα=+∈， 由于①等价于()k g α<，故整数k 的最大值为2． 2．（2013新课标全国卷1文21，本小题满分12分） 已知函数2 ()()4x f x e ax b x x =+--，曲线()y f x =在点(0,(0))f 处切线方程为
2020高考数学函数与导数综合题型分类总结
函数综合题分类复习 题型一：关于函数的单调区间（若单调区间有多个用“和”字连接或用“逗号”隔开），极值，最值；不等式恒成立；此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令 0)('=x f 得到两个根；第二步：列表如下；第三步：由表可知； 不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，常见处理方法有四种： 第一种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----题型特征（已知谁的范围就把谁作为主元）；第二种：分离变量求最值（请同学们参考例5）；第三种：关于二次函数的不等式恒成立；第四种：构造函数求最值----题型特征 )()(x g x f >恒成立 0)()()(>-=?x g x f x h 恒成立；参考例4； 例1.已知函数32 1()23 f x x bx x a =-++，2x =是)(x f 的一个极值点． （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若当[1, 3]x ∈时，2 2()3 f x a ->恒成立，求a 的取值范围． 例2.已知函数b ax ax x x f +++=2 3)(的图象过点)2,0(P . （1）若函数)(x f 在1-=x 处的切线斜率为6，求函数)(x f y =的解析式；（2）若3>a ，求函数)(x f y =的单调区间。 例3.设2 2(),1 x f x x = +()52(0)g x ax a a =+->。 （1）求()f x 在[0,1]x ∈上的值域； （2）若对于任意1[0,1]x ∈，总存在0[0,1]x ∈,使得01()()g x f x =成立,求a 的取值范围。 例4.已知函数 32()f x x ax =+图象上一点(1,)P b 的切线斜率为3-， 32 6()(1)3(0)2 t g x x x t x t -=+-++> （Ⅰ）求,a b 的值； （Ⅱ）当[1,4]x ∈-时，求()f x 的值域； （Ⅲ）当[1,4]x ∈时，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数t 的取值范围。 例5.已知定义在R 上的函数 32()2f x ax ax b =-+） （0>a 在区间[]2,1-上的最大值是5，最小值是－11. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若]1,1[-∈t 时，0(≤+'tx x f ）恒成立，求实数x 的取值范围. 例6.已知函数 2233)(m nx mx x x f +++=，在1-=x 时有极值0，则=+n m 例7.已知函数23)(a x x f =图象上斜率为3的两条切线间的距离为 510 2，函数33)()(2 2 +-=a bx x f x g ． （1） 若函数)(x g 在1=x 处有极值，求)(x g 的解析式； （2） 若函数)(x g 在区间]1,1[-上为增函数，且)(42 x g mb b ≥+-在区间]1,1[-上都成立，求实数m 的取值范围． 答案： 1、解：（Ⅰ） '2()22f x x bx =-+. ∵2x =是)(x f 的一个极值点， ∴2x =是方程2 220x bx -+=的一个根，解得32 b =. 令'()0f x >，则2 320x x -+>，解得1x <或2x >. ∴函数()y f x =的单调递增区间为(, 1)-∞，(2, +)∞. （Ⅱ）∵当(1,2)x ∈时 '()0f x <，(2,3)x ∈时'()0f x >， ∴ ()f x 在（1，2）上单调递减，()f x 在（2，3）上单调递增. ∴(2)f 是()f x 在区间[1，3]上的最小值，且 2 (2)3 f a = +. 若当[1, 3]x ∈时，要使 22()3f x a -> 恒成立，只需22(2)3f a >+， 即2 2233 a a +>+，解得 01a <<. 2、解：（Ⅰ）a ax x x f ++='23)(2 ． 由题意知? ??=+-=-'==623)1(2)0(a a f b f ，得 ???=-=23b a ． ∴ 233)(23+--=x x x x f ． （Ⅱ）023)(2=++='a ax x x f ． ∵ 3>a ，∴ 01242>-=?a a ．
导数文科大题含详细答案教学提纲
导数文科大题 1.知函数，. （1）求函数的单调区间； （2）若关于的方程有实数根，求实数的取值范围. 答案 解析
2.已知, (1)若,求函数在点处的切线方程; (2)若函数在上是增函数,求实数a 的取值范围; (3)令, 是自然对数的底数);求当实数a等于多少时,可以使函数取得最小值为 3. 解:(1)时,, ′(x), ′(1)=3,, 数在点处的切线方程为,
(2)函数在上是增函数, ′(x),在上恒成立, 即,在上恒成立, 令,当且仅当时,取等号, , 的取值范围为 (3), ′(x), ①当时,在上单调递减,,计算得出(舍去); ②当且时,即,在上单调递减,在上单调递增, ,计算得出,满足条件; ③当,且时,即,在上单调递 减,,计算得出(舍去); 综上,存在实数,使得当时,有最小值3.
解析(1)根据导数的几何意义即可求出切线方程. (2)函数在上是增函数,得到f′(x),在上恒成立,分离参数,根据基本不等式求出答案, (3),求出函数的导数,讨论,,的情况,从而得出答案 3.已知函数, (1)分别求函数与在区间上的极值; (2)求证:对任意, 解:(1), 令,计算得出:,,计算得出:或, 故在和上单调递减, 在上递增, 在上有极小值,无极大值; ,,则, 故在上递增,在上递减, 在上有极大值,,无极小值; (2)由(1)知,当时,,,
故; 当时,, 令,则, 故在上递增,在上递减, ,; 综上,对任意, 解析(1)求导,利用导数与函数的单调性及极值关系,即可求得及 单调区间及极值; 4.已知函数,其中,为自然数的底数.(1)当时,讨论函数的单调性; (2)当时,求证:对任意的,. 解:(1)当时,, 则, , 故则在R上单调递减. (2)当时,,要证明对任意的,. 则只需要证明对任意的,. 设, 看作以a为变量的一次函数,要使,
导数大题 题型总结
导数大题 1．某堆雪在融化过程中，其体积V （单位：3m ）与融化时间t （单位：h ）近似满足函数关系：31 ()(10)10 V t H t =-（H 为常数） ，其图象如图所示. 记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为 3(m /h)v . 那么瞬时融化速度等于3(m /h)v 的时刻 是图中的（ ） （A ）1t （B ）2t （C ）3t （D ）4t 2．函数3()e x f x x =的极值点0x = ，曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程是 . 3．已知函数2 ()ln f x a x bx =-，a ，b ∈R . （Ⅰ）若()f x 在1x =处与直线1 2 y =- 相切，求a ，b 的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求()f x 在1[,e]e 上的 最大值； （Ⅲ）若不等式()f x x ≥对所有的(,0]b ∈-∞， 2(e,e ]x ∈都成立，求a 的取值范围. 解：（Ⅰ）()2a f x bx x '= -. 由函数()f x 在1x =处与直线1 2 y =- 相切，得(1)0,1(1).2f f '=???=-??即20,1.2 a b b -=?? ?-=-?? 解 得 a b ?? ??? (2) ，定义域为此时()f x x x '=-2=x x .令 ()0f x '>，解得01x <<，令()0f x '<，得 1x >． 所以()f x 在（ 1 e ，1）上单调递增，在（1，e ）上单调递减， 所以 ()f x 在1 [,e]e 上的最大值为 1 (1)2 f =-． …………………… …………8分 （Ⅲ）若不等式()f x x ≥对所有的 (,0]b ∈-∞，2(e,e ]x ∈都成立， 即 2ln a x bx x -≥对所有的 (,0]b ∈-∞，2(e,e ]x ∈都成立， 即2ln a x x bx -≥对所有的(,0]b ∈-∞， 2(e,e ]x ∈都成立， 即 ln 0 a x x -≥对 2(e,e ] x ∈恒成 立． …………………11分
