2 扬州中学2014-2015学年高一下学期期中考试 数学

江苏省扬州中学2014—2015学年第二学期期中考试

高一数学试卷 2015.4

一、填空题（14570''?=）

1．不等式

201

x

x -<+的解集是 ．

2．已知α为锐角，cos α=，则tan()4πα+= ．

3．等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a = ． 4．已知不等式2

10ax bx +->解集为{|34}x x <<，则实数a = ．

5．在ABC ?中，C B A ,,的对边分别为c b a ,,，75,45,32,A B c ===则b = ．

6．在ABC ?中，已知 ()()a b c a b c ab +++-=，则C ∠的大小为 ． 7．已知3sin cos 8αα=

且0,4πα??

∈ ???

，则cos sin αα-的值是 ． 8．等比数列}{n a 中，若121=+a a ，943=+a a ，那么54a a +等于 ． 9．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为 ． 10．已知正数,x y 满足21x y +=，则11

x y

+的最小值为 ． 11．数列{}n a 满足)(51

1,31

1++∈=-

=N n a a a n

n 则=n a ．

12．函数2

()2sin (

)2(

)4

42

f x x x x π

π

π

=+-≤≤的最小值为 ． 13．在正项等比数列}{n a 中343

8

a a +=，61a =，则满足n n a a a a a a 2121>+++的最大正整数n 的值为 ． 14．若实数,x y 满足2

2

1x y +=，则

1

1

xy x y ++-的取值范围是 ．

二、解答题（15、16每题14'， 17 、18每题15'，19、20每题16'）

15．已知(

,)2

π

απ∈，且sin

cos

2

2

2α

α

+=

（1）求cos α的值；（2）若3sin()5

αβ-=-，(

,)2

π

βπ∈，求cos β的值。

B

C

A

M

N

16．已知2(),f x ax x a a R =+-∈。

（1）若不等式2()2312f x x x a >--+-对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围； （2）若0a <，解不等式()1f x >。

17．已知数列{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，满足，521=+a a 2965=+a a ，227a b = （1）求22a 的值；（2）设)0(648≠=m m b ，求数列{}n b 的子数列 ,,,,,1110987b b b b b 的前n 项和n S ；

（3）在（2）的条件下，若2=m ，求数列?

?????+n n b a )2(31的前n 项和n T 。

18．为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y （单位：毫克/立方米）随着时间x (单位：天)变化的函数关系式近似为

16104

8154102

x x y x x ?-?-=??-

净化剂在相应时刻所释放的浓度之和。由实验知,当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用．

（1）若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天?

（2）若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a （14a ≤≤）个单位的药剂，要使接下来的

4天中能够持续有效净化，试求a 的最小值（精确到0.1 1.4）。

19．如图,在直角三角形ABC ?中，o o 60,90=∠=∠BAC ACB 4=AC ,点M 在线段AB

上。

（1）若13=CM ,求AM 的长；

（2）若点N 在线段MB 上，且o

30=∠MCN ，求MCN ?的面积最小值， 并求MCN ?的面积最小时MN 的长。

20．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2

n n a S An Bn C +=++（*n N ∈），其中,,A B C

为常数。

（1）已知10,0A B a ==≠，求证数列{}n a 是等比数列； （2）已知数列{}n a 是等差数列，求证：3A C B +=；

（3）已知11,0a B =>且1B ≠，2B C +=，若1

n

n a a λ+<对*n N ∈恒成立，求实数λ的取值范围。

高一年级下学期期中考试数学试卷答案2015.4

1． (,1)(2,)-∞-?+∞ 2． 3- 3． 12 4． 1

12

- 5．

6． 120? 7．

8． 27± 9．

1 10．

3+11．

31514n - 12． 2 13． 12 14．

3

(,1[,)2

-∞?+∞

15．解：(1)因为sin α

2＋cos α2＝

62，两边同时平方，得sin α＝12.

又π2<α<π，所以cos α＝－ 3

2

. (2)因为π2<α<π，π2<β<π，所以－π<－β<－π2，故－π2<α－β<π2. 又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝4

5.

cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝－32×45＋12×

? ??

??

－35＝－43＋310.

16．解：（1）当2a ≠-时，20164(2)(1)0

a a a +>?

?=-+-；

当2a =-时，不合题意；所以2a >。

（2）2

10ax x a +-->，即(1)(1)0x ax a -++>

因为0a <，所以1(1)()0a x x a +-+<，因为 121

1()a a a a

++--= 所以当102a -<<时，11a a +<-， 解集为｛x |1

1a x a +<<-｝；

当12a =-时，2

(1)0x -<，解集为φ；

当12a <-时，11a a +>-， 解集为｛x |1

1a x a

+-<<｝。

17．解：（1）6422=a

（2）???

??

≠≠--==10,1)1(641,64m m m

m m n S n n 且

（3）()n n n T 211-+=

18．解：（1）64

404()48202410

x f x y x x x ?-≤≤?

==-??-<≤?，

当04x ≤≤时，有

64

448x

-≥-，解得04x ≤≤； 当410x <≤时，有2024x -≥，解得48x <≤；

综上可知08x ≤≤，所以若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达8天。 （2）设从第一次喷洒起，经过x 天（610x ≤≤） 浓度116()2(5)(1)28(6)

g x x a x =-

+---1614414a

x a x =-+

--- 因为14[4,8],14x a -∈≤≤

，[4,8]

，所以，当14x -=时，()y g x =有最小

值4a -。

令44a -≥，解

得244a -≤≤，所以a 得最小值

为

24 1.6-≈。

19．解：（1）在ABM ?中由余弦定理A ACAM AM AC CM cos 2222-+=，

AM AM 416132-+=∴1=AM 或3=AM

（2）设α=∠ACM )600(o o ≤≤α，在ACN ?中由正弦定理得：

α

αcos )90sin(sin sin AC

AC CNA AC A CN =+=∠=o

，∴αcos 32=CN 在ACM ?中，由正弦定理得：

)60sin(sin sin α+=∠=o AC AMC AC A CM ，∴)

60sin(3

2α+=o

CM ∴3

)602sin(212

cos )60sin(3sin 21++=+=∠?=

?o o αααMCN CN CM S MCN ∵o o 600≤≤α∴o o o 18060260≤+≤α1)602sin(0≤+≤o

α ∴当o

15=α时，MCN S ?取最小值为31224-，此时MN 为

6343

231224-=-。

20．解（1）由0A B ==，得n n a S C +=（*n N ∈），①

?11n n a S C +++= ② ②-①得： n n a a 2

1

1=

+，又10a ≠，所以数列{}n a 是等比数列； （2）由数列{}n a 是等差数列，可令公差为d ，则111

(1),(1)2

n n a a n d S na n n d =+-=+-。 所以221111

()22

n n a S dn a d n a d An Bn C +=

+++-=++对*n N ∈恒成立， 所以有111212A d B a d C a d ?=??

?

=+??

=-???

，所以有：3A C B +=。

（3）由11,a =2B C +=，2

n n a S An Bn C +=++（*n N ∈）得

122a A B C A B C =++?=++ ?0A =

所以有2n n a S Bn B +=+- ① ?112n n a S Bn +++=+ ② ②-①得：12n n a a B +-=，?11

()2

n n a B a B +-=

-； 又11,1a B =≠，所以10a B -≠。所以数列{}n a B -是等比数列，111

()

2

n n a B a B --=-， 11(1)2n n a B B -=-+，?111

(1)

(1)21(1)2(1)2n n n n n

B B a B a B B

B B -+-+-==+-+-+

（1）当01B <<时，10B ->，

(1)

(1)2n B B B

--+的值随着n 的增大而减小，所以，对任意

*

n N ∈，1n n a a +的最大值在1n =时取得，即max

12

()1n n a a B

+=+。因为1n n a a λ+<对*n N ∈恒成立，所以 2

1B

λ>

+。 （2）当1B >时，(1)2(1)210n B B B B B -+≥-+=+>，所以，

1(1)

011(1)2n n

n a B a B B +-<

=+<-+，因为1

n n a a λ+<，所以0λ>。 假设01λ<<，且

1(1)1(1)2n n n a B a B B λ+-=+<-+，得(1)(2)2(1)n

B B

λλ--<-

即2

(1)(2)log (1)B n B λλ--<-，这表明当n 取大于等于2

(1)(2)

log (1)B B

λλ---的正整数时，1

n

n a a λ+<不成立，矛盾，所以1λ≥。 综上所述：当01B <<时， 2

1B

λ>+；当1B >时， 1λ≥。