天津市部分区2020学年高二数学上学期期末考试试卷(含解析)
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天津市部分区2020学年高二上学期期末考试
数学试卷
一、选择题.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.双曲线﹣y2=1的焦点坐标为()
A. (﹣3,0),(3,0)
B. (0,﹣3),(0,3)
C. (﹣,0),(,0)
D. (0,﹣),(0,)
【答案】C
【解析】
【分析】
利用双曲线的标准方程直接计算。
【详解】由双曲线﹣y2=1可得:,则
所以双曲线﹣y2=1的焦点坐标为:(﹣,0),(,0)
故选:C
【点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质,属于基础题。
2.命题“?x0∈(0,+∞),使得<”的否定是()
A. ?x0∈(0,+∞),使得
B. ?x0∈(0,+∞),使得
C. ?x∈(0,+∞),均有e x>x
D. ?x∈(0,+∞),均有e x≥x
【答案】D
【解析】
【分析】
由特称命题的否定直接写出结果即可判断。
【详解】命题“?x0∈(0,+∞),使得<”的否定是:
“x∈(0,+∞),使得”
故选:D
【点睛】本题主要考查了特称命题的否定,属于基础题。
3.若复数(为虚数单位),则的共轭复数()
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
因为,所以,应选答案B。
4.设R,则“>1”是“>1”的()
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析:由可得成立,反之不成立,所以“”是“”的充分不必要条件
考点:充分条件与必要条件
5.设公比为﹣2的等比数列{a n}的前n项和为S n,若S5=,则a4等于()
A. 8
B. 4
C. ﹣4
D. ﹣8
【答案】C
【解析】
【分析】
由S5=求出,再由等比数列通项公式求出即可。
【详解】由S5=得:,又
解得:,所以
故选:C
【点睛】本题主要考查了等比数列的前n项和公式及等比数列通项公式,考查计算能力,属于基础题。
6.已知函数f(x)=lnx﹣,则f(x)()
A. 有极小值,无极大值
B. 无极小值有极大值
C. 既有极小值,又有极大值
D. 既无极小值,又无极大值
【答案】B
【解析】
【分析】
求出,对的正负分析,即可判断函数的极值情况。
【详解】由题可得:,
当时,
当时,
所以f(x)在处取得极大值,无极小值。
故选:B
【点睛】本题主要考查了利用导数判断极值的方法,属于基础题。
7.在数列{a n}中,a1=3,a n+1=2a n﹣1(n∈N*),则数列{a n}的通项公式为()
A. a n=2n+1
B. a n=4n﹣1
C. a n=2n+1
D. a n=2n﹣1+2
【答案】C
【解析】
【分析】
构造新的等比数列,求出,从而求出
【详解】由a n+1=2a n﹣1得:,
所以数列是以为首项,公比为2的等比数列。
所以,所以
故选:C
【点睛】本题主要考查了转化思想,等比数列的通项公式,考查了构造法,属于基础题。8.在空间四边形ABCD中,向量=(0,2,﹣1),=(﹣1,2,0),=(0﹣2,0),则直线AD与平面ABC所成角的正弦值为()
A. B. C. - D. -
【答案】A
【解析】
【分析】
求出平面ABC的一个法向量,再求出与夹角的余弦即可。
【详解】设是平面ABC的一个法向量,则且,即:
,不妨令,解得:
所以
与夹角的余弦为:
所以直线AD与平面ABC所成角的正弦值为。
故选:A
【点睛】本题主要考查了平面向量法向量的求法及利用向量求直线与平面所成角,考查了转化思想及计算能力,属于基础题。
9.已知双曲线=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=8x的准线分别交于M,N 两点,A为双曲线的右顶点,若双曲线的离心率为2,且△AMN为正三角形,则双曲线的方程为()
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由双曲线的离心率为2求得其渐近线方程,再由抛物线的准线与渐近线方程求得交点M,N 坐标,利用△AMN为正三角形列方程即可求得,从而求得双曲线的方程。
【详解】由双曲线的离心率为2可得:,所以
所以双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线方程为:,
又抛物线y2=8x的准线方程为:,
由得:或,所以,
A为双曲线的右顶点,且△AMN为正三角形,则:,解得:
所以,
所以双曲线的方程为。
故选:B
【点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质及抛物线的简单性质,考查了转化思想及计算能力,属于中档题。
10.已知f(x)是定义在R上的函数,f′(x)是f(x)的导函数,且满足f′(x)+f(x)<0,设g(x)=e x?f(x),若不等式g(1+t2)<g(mt)对于任意的实数t恒成立,则实数m的取值范围是()
A. (﹣∞,0)∪(4,+∞)
B. (0,1)
C. (﹣∞,﹣2)∪(2,+∞)
D. (﹣2,2)
【答案】D
【解析】
【分析】
由f′(x)+f(x)<0确定函数g(x)=e x?f(x)为单调递减函数,转化不等式g(1+t2)<g(mt)为:对于任意的实数t恒成立,变形成:对于任意的实数t 恒成立,利用即可求得实数m的取值范围。
【详解】由g(x)=e x?f(x)得:,
又f′(x)+f(x)<0,所以,
故g(x)=e x?f(x)在R上单调递减,
所以不等式g(1+t2)<g(mt)对于任意的实数t恒成立可转化成:
对于任意的实数t恒成立,
即:对于任意的实数t恒成立,
所以,解得:
故选:D
【点睛】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性及利用单调性解决抽象不等式问题,考查了转化思想及一元二次不等式恒成立问题,属于中档题。
二、填空题.
11.曲线f(x)=2x+在点(1,3)处的切线方程为____.
【答案】
【解析】
【分析】
求出,从而求得切线斜率,由直线方程的点斜式即可求得切线方程。
【详解】由题可得:,所以切线斜率,
所求切线方程为:,整理得:
【点睛】本题主要考查了导数的几何意义及直线方程的点斜式,考查计算能力,属于基础题。
12.已知向量=(2,﹣1,3)与=(3,λ,)平行,则实数λ的值为____.
【答案】
【解析】
【分析】
利用向量=(2,﹣1,3)与=(3,λ,)平行列方程即可求解。
【详解】因为向量=(2,﹣1,3)与=(3,λ,)平行,
所以:,解得:
【点睛】本题主要考查了空间向量平行的坐标表示及方程思想,属于基础题
13.已知a,b均为正数,4是2a和b的等比中项,则a+b的最小值为_____.
【答案】
【解析】
【分析】
由4是2a和b的等比中项列方程,再利用基本不等式即可求解。
【详解】因为4是2a和b的等比中项,
所以,又a+b=,
当且仅当时,等号成立。
所以a+b的最小值为。
【点睛】本题主要考查了等比中项概念及基本不等式应用,属于基础题。
14.设S n是等差数列{a n}的前n项和,已知a1=2,S9=6a8,则数列{}的前10项的和为_____.
【答案】
【解析】
【分析】
利用a1=2,S9=6a8求得,从而求得,对裂项得:,从而求得数列{}的前10项的和。
【详解】由S9=6a8得:,又a1=2
所以:,所以
所以,
所以数列{}的前10项的和为:
=
【点睛】本题主要考查了等差数列前n项和公式及通项公式,考查了裂项求和方法及计算能力,属于中档题。
15.已知离心率为的椭圆(a>b>0)的两个焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,若=0,且△PF1F2的面积为4,则椭圆的方程为_____.
【答案】
【解析】
【分析】
由椭圆离心率为得:,由=0得为直角三角形,再由椭圆定义及三角形面积公式、勾股定理列方程组即可求得,从而得解。
【详解】由椭圆(a>b>0)离心率为可得:,
又,代入上式整理得:,
由=0得为直角三角形,又△PF1F2的面积为4,
设,,则解得:,
所以椭圆的方程为:。
【点睛】本题主要考查了椭圆的定义及简单性质,向量垂直的数量积关系,考查计算能力,属于中档题。
三、解答题:解答应写出文宇说明、证明过程成演算步骤.
16.已知复数z=(m2+2m)+(m2﹣2m﹣3)i,m∈R(i为虚数单位).
(Ⅰ)当m=1时,求复数的值;
(Ⅱ)若复数z在复平面内对应的点位于第二象限,求m的取值范围.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
【解析】
【分析】
(Ⅰ)将代入,利用复数运算公式计算即可。
(Ⅱ)由复数z在复平面内对应的点位于第二象限列不等式组求解即可。
【详解】(Ⅰ)当时,,
∴.
(Ⅱ)∵复数在复平面内对应的点位于第二象限,
∴
解得,
所以的取值范围是.
【点睛】本题主要考查了复数的运算及复数对应的点知识,考查计算能力,属于基础题。
17.已知数列{a n}的前n项和为S n,且S n=(n∈N*),正项等比数列{b n}满足b1=a1,b5=a6.
(Ⅰ)求数列{a n}与{b n}的通项公式;
(Ⅱ)设?n=a n?b n,求数列{?n}的前n项和T n.
【答案】(Ⅰ),(Ⅱ)
【解析】
【分析】
(Ⅰ)利用法直接求,再由b1=a1,b5=a6求出,从而求得。
(Ⅱ)利用乘公比错位相减法求解即可。
【详解】(Ⅰ)当时
,
,
当时,也适合上式,
∴.
∴,.
设数列的公比为,则.
∵,∴,
∴
(Ⅱ)由(1)可知,,
∴
①,
②
由①-②得,
∴.
【点睛】(1)本题主要考查了赋值法及法求通项公式,即,还考查了等
比数列的通项公式。
(2)利用错位相减法求和,注意相减时项的符号,求和时项数的确定,最后不要忘记除1-q,在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式。
18.如图,已知多面体ABC﹣A1B1C1中,AA1,BB1,CC1均垂直于平面ABC,AB⊥AC,AA1=4,CC1=1,AB=AC=BB1=2.
(Ⅰ)求证:A1C⊥平面ABC1;
(Ⅱ)求二面角B﹣A1B1﹣C1的余弦值.
【答案】(Ⅰ)见证明;(Ⅱ)
【解析】
【分析】
(Ⅰ)建立空间直角坐标系,求出,,的坐标,利用数量积来确定,,从而得证。
(Ⅱ)求得平面的一个法向量坐标,再利用数量积求得平面的一个法向量坐标,利用向量夹角公式即可求得二面角B﹣A1B1﹣C1的余弦值.
【详解】以为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,,.
(Ⅰ)证明:,,
∵,
,
所以,.
∵,
∴平面.
(Ⅱ)由题意可知,平面,平面,
∴
又∵,,
∴平面.
∴平面的一个法向量为.
∵,,
设平面的一个法向量为,
则,取,
所以平面的一个法向量为
∴.
显然二面角为锐二面角,
∴二面角的余弦值为
【点睛】(1)本题主要考查了线面垂直的判定及向量数量积的应用,向量的坐标运算及向量数量积的坐标运算。
(2)本小题主要考查了转化思想及向量夹角公式,还考查了平面法向量的求法,考查计算能力,属于基础题。
19.已知椭圆C:+y2=1.
(Ⅰ)求C的离心率;
(Ⅱ)若直线l:y=x+m(m为常数)与C交于不同的两点A和B,且,其中O
为坐标原点,求线段AB的长.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题可得:,求出即可求得离心率。
(Ⅱ)联立直线与椭圆方程,整理,利用可求得,再利用弦长公式求得线段AB 的长.
【详解】(Ⅰ)由题意可知:,,
∴,
∴.
(Ⅱ)设,
由,
消去得
.
∴. ①
则,,
.
又∵.
因为:,所以.
∴满足①式,
∴
.
∴线段的长为.
【点睛】(1)本小题主要考查了椭圆的简单性质,属于基础题。
(2)考查了直线与椭圆相交知识及方程思想,考查了韦达定理及数量积的坐标表示,弦长公式,还考查了计算能力,属于中档题。
20.已知函数f(x)=x3﹣x2+x,a∈R.
(Ⅰ)当a=1时,求f(x)在[﹣1,1]上的最大值和最小值;
(Ⅱ)若f(x)在区间[,2]上单调递增,求a的取值范围;
(Ⅲ)当m<0时,试判断函数g(x)=-其中f′(x)是f(x)的导函数)是否存在零点,并说明理由.
【答案】(Ⅰ),(Ⅱ)(Ⅲ)见解析
【解析】
【分析】
(Ⅰ)求出,对的正负判断,从而确定函数的单调性,即可求得函数的最值。(Ⅱ)转化成在区间[,2]恒成立,再参变分离,转化成函数最值问题,利用基本不等式求最值即可。
(Ⅲ)将所求问题化简转化成方程在内是否有解,利用导数说明函数的单调性,再由即可判断原函数不存在零点。
【详解】(Ⅰ)当时,,
,
令得或.
当x变化时,,f(x)的变化情况如下表:
x
+ 0
f(x) 单调递增↗极大值单调递减↘
∴,
.
(Ⅱ)
∵在上是单调递增函数,
∴在上恒成立.
即:.
∵,
∴当且仅当时,成立.
∴
(Ⅲ)由题意可知,,
要判断是否存在零点,只需判断方程在内是否有解,
即要判断方程在内是否有解.
设,
,
可见,当时,在上恒成立.
∴在上单调递减,在上单调递减.
∵,
∴在和内均无零点。
故函数g(x)=-无零点
【点睛】(1)主要考查了利用导数求函数的最值,还考查了转化思想。
(2)考查了导数与函数单调性关系及转化思想,还考查了基本不等式的应用。
(3)考查了导数计算及转化思想,考查了函数零点判断及利用导数判断函数的单调性知识、计算能力,属于中档题。
【好题】高二数学上期末试卷(及答案)(1)
【好题】高二数学上期末试卷(及答案)(1) 一、选择题 1.将1000名学生的编号如下:0001,0002,0003,…,1000,若从中抽取50个学生,用系统抽样的方法从第一部分0001,0002,…,0020中抽取的号码为0015时,抽取的第40个号码为( ) A .0795 B .0780 C .0810 D .0815 2.如果数据121x +、221x +、L 、21n x +的平均值为5,方差为16,则数据:153x -、 253x -、L 、53n x -的平均值和方差分别为( ) A .1-,36 B .1-,41 C .1,72 D .10-,144 3.执行如图所示的程序框图,输出的S 值为( ) A .1 B .-1 C .0 D .-2 4.下列赋值语句正确的是( ) A .s =a +1 B .a +1=s C .s -1=a D .s -a =1 5.把化为五进制数是( ) A . B . C . D . 6.在长为10cm 的线段AB 上任取一点C ,作一矩形,邻边长分別等于线段AC 、CB 的长,则该矩形面积小于216cm 的概率为( ) A . 23 B . 34 C . 25 D . 13 7.执行如图的程序框图,如果输出a 的值大于100,那么判断框内的条件为( )
A .5k <? B .5k ≥? C .6k <? D .6k ≥? 8.某校从高一(1)班和(2)班的某次数学考试(试卷满分为100分)的成绩中各随机抽取了6份数学成绩组成一个样本,如茎叶图所示.若分别从(1)班、(2)班的样本中各取一份,则(2)班成绩更好的概率为( ) A . 1636 B . 1736 C . 12 D . 1936 9.为了解某社区居民的家庭年收入和年支出的关系,随机调查了该社区5户家庭,得到如下统计数据表: 收入x 万 8.3 8.6 9.9 11.1 12.1 支出y 万 5.9 7.8 8.1 8.4 9.8 根据上表可得回归直线方程???y bx a =+,其中0.78b ∧ =,a y b x ∧ ∧ =-元,据此估计,该社区一户收入为16万元家庭年支出为( ) A .12.68万元 B .13.88万元 C .12.78万元 D .14.28万元 10.已知具有线性相关的两个变量,x y 之间的一组数据如下表所示: x 0 1 2 3 4 y 2.2 4.3 4.5 4.8 6.7 若,x y 满足回归方程 1.5??y x a =+,则以下为真命题的是( ) A .x 每增加1个单位长度,则y 一定增加1.5个单位长度 B .x 每增加1个单位长度,y 就减少1.5个单位长度 C .所有样本点的中心为(1,4.5)
职业高中高二期末考试数学试卷
高二数学期末考试试卷 出题人:冯亚如 一.选择题(40分) 1.由数列1,10,100,1000,……猜测该数列的第n 项是( ) A.10n+1 B.10n C.10n-1 D. 10n 2.空间中垂直于同一条直线的两条直线( ) A.互相平行 B.互相垂直 C.异面或相交 D.平行或相交或异面 3.在正方体1111D C B A ABCD 中与直线1AC 异面的棱有( ) A.4条 B.6条 C.8条 D.10条 4.某中职学校一年级二年级各有12名女排运动员,要从中选出6人调查学习负担情况,调查应采取的抽样方法是( ) A.随机抽样 B.分层抽样 C.系统抽样 D.无法确定 5.已知点A(-3,-2),B(2,3)则直线AB 的倾斜角为( ) A.450 B.600 C.900 D.1350 6.已知12件同类产品中,有10件是正品,2件是次品,从中任意抽取3件的必然事件是 ( ) A .3件都是正品 B.至少有一件是正品 C.3件都是次品 D.至少有一件是次品 7.判断直线L 1:x+3y-4=0与L 2:3x-y+1=0的位置关系( ) A.平行 B.相交但不垂直 C.重合 D.垂直 8.在100张奖券中,有4张中奖卷,从中任取1张,中奖的概率是
( ) A. 201 B. 101 C. 251 D. 30 1 9.侧棱长时2的正三棱锥,其底面边长是1,则棱锥的高是 ( ) A. 311 B. 313 C. 339 D. 333 10.直线5x+12y-8=0与圆(x-1)2+(y+3)2=9的位置关系是( ) A.相离 B.相交 C.相切 D.直线过圆心 二.填空题(20分) 11.直线x-3y+6=0在X 、Y 轴截距分别为_______、________; 12.圆x 2+y 2+4x-2y+1=0的圆心为_______________; 13.一条直线l 与平面α平行,直线m 在面α内,则l 与m 的位置关系是_______________; 14.正三棱锥的底面边长是4cm ,高是33cm ,则此棱锥的体积为________________; 15.已知球的半径r=3,则球的表面积和体积分别为_________、___ __。 三.解答题(60分) 16.光线从点M(-2, 3)出发,射到P(1, 0),求反射直线的方程并判断点N(4,3)是否在反射光线上。(10分)