天津市部分区2020学年高二数学上学期期末考试试卷(含解析)
天津市部分区2020学年高二上学期期末考试数学试卷一、选择题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.双曲线﹣y2＝1的焦点坐标为（）A. （﹣3，0），（3，0）B. （0，﹣3），（0，3）C. （﹣，0），（，0）D. （0，﹣），（0，）【答案】C【解析】【分析】利用双曲线的标准方程直接计算。
【详解】由双曲线﹣y2＝1可得：，则所以双曲线﹣y2＝1的焦点坐标为：（﹣，0），（，0）故选：C【点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质，属于基础题。
2.命题“∃x0∈（0，+∞），使得＜”的否定是（）A. ∃x0∈（0，+∞），使得B. ∃x0∈（0，+∞），使得C. ∀x∈（0，+∞），均有e x＞xD. ∀x∈（0，+∞），均有e x≥x【答案】D【解析】【分析】由特称命题的否定直接写出结果即可判断。
【详解】命题“∃x0∈（0，+∞），使得＜”的否定是：“x∈（0，+∞），使得”故选：D【点睛】本题主要考查了特称命题的否定，属于基础题。
3.若复数（为虚数单位），则的共轭复数（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以，应选答案B。
4.设R，则“＞1”是“＞1”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】试题分析：由可得成立，反之不成立，所以“”是“”的充分不必要条件考点：充分条件与必要条件5.设公比为﹣2的等比数列{a n}的前n项和为S n，若S5＝，则a4等于（）A. 8B. 4C. ﹣4D. ﹣8【答案】C【解析】【分析】由S5＝求出，再由等比数列通项公式求出即可。
【详解】由S5＝得：，又解得：，所以故选：C【点睛】本题主要考查了等比数列的前n项和公式及等比数列通项公式，考查计算能力，属于基础题。
6.已知函数f（x）＝lnx﹣，则f（x）（）A. 有极小值，无极大值B. 无极小值有极大值C. 既有极小值，又有极大值D. 既无极小值，又无极大值【答案】B【解析】【分析】求出，对的正负分析，即可判断函数的极值情况。
【详解】由题可得：，当时，当时，所以f（x）在处取得极大值，无极小值。
故选：B【点睛】本题主要考查了利用导数判断极值的方法，属于基础题。
7.在数列{a n}中，a1＝3，a n+1＝2a n﹣1（n∈N*），则数列{a n}的通项公式为（）A. a n＝2n+1B. a n＝4n﹣1C. a n＝2n+1D. a n＝2n﹣1+2【答案】C【解析】【分析】构造新的等比数列，求出，从而求出【详解】由a n+1＝2a n﹣1得：，所以数列是以为首项，公比为2的等比数列。
所以，所以故选：C【点睛】本题主要考查了转化思想，等比数列的通项公式，考查了构造法，属于基础题。
8.在空间四边形ABCD中，向量＝（0，2，﹣1），＝（﹣1，2，0），＝（0﹣2，0），则直线AD与平面ABC所成角的正弦值为（）A. B. C. － D. －【答案】A【解析】【分析】求出平面ABC的一个法向量，再求出与夹角的余弦即可。
【详解】设是平面ABC的一个法向量，则且，即：，不妨令，解得：所以与夹角的余弦为：所以直线AD与平面ABC所成角的正弦值为。
故选：A【点睛】本题主要考查了平面向量法向量的求法及利用向量求直线与平面所成角，考查了转化思想及计算能力，属于基础题。
9.已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2＝8x的准线分别交于M，N 两点，A为双曲线的右顶点，若双曲线的离心率为2，且△AMN为正三角形，则双曲线的方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由双曲线的离心率为2求得其渐近线方程，再由抛物线的准线与渐近线方程求得交点M,N 坐标，利用△AMN为正三角形列方程即可求得，从而求得双曲线的方程。
【详解】由双曲线的离心率为2可得：，所以所以双曲线＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为：，又抛物线y2＝8x的准线方程为：，由得：或，所以,A为双曲线的右顶点，且△AMN为正三角形，则：，解得：所以，所以双曲线的方程为。
故选：B【点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质及抛物线的简单性质，考查了转化思想及计算能力，属于中档题。
10.已知f（x）是定义在R上的函数，f′（x）是f（x）的导函数，且满足f′（x）+f（x）＜0，设g（x）＝e x•f（x），若不等式g（1+t2）＜g（mt）对于任意的实数t恒成立，则实数m的取值范围是（）A. （﹣∞，0）∪（4，+∞）B. （0，1）C. （﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D. （﹣2，2）【答案】D【解析】【分析】由f′（x）+f（x）＜0确定函数g（x）＝e x•f（x）为单调递减函数，转化不等式g（1+t2）＜g（mt）为：对于任意的实数t恒成立，变形成：对于任意的实数t 恒成立，利用即可求得实数m的取值范围。
【详解】由g（x）＝e x•f（x）得：，又f′（x）+f（x）＜0，所以，故g（x）＝e x•f（x）在R上单调递减，所以不等式g（1+t2）＜g（mt）对于任意的实数t恒成立可转化成：对于任意的实数t恒成立，即：对于任意的实数t恒成立，所以，解得：故选：D【点睛】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性及利用单调性解决抽象不等式问题，考查了转化思想及一元二次不等式恒成立问题，属于中档题。
二、填空题．11.曲线f（x）＝2x+在点（1，3）处的切线方程为____．【答案】【解析】【分析】求出，从而求得切线斜率，由直线方程的点斜式即可求得切线方程。
【详解】由题可得：，所以切线斜率，所求切线方程为：，整理得：【点睛】本题主要考查了导数的几何意义及直线方程的点斜式，考查计算能力，属于基础题。
12.已知向量＝（2，﹣1，3）与＝（3，λ，）平行，则实数λ的值为____．【答案】【解析】【分析】利用向量＝（2，﹣1，3）与＝（3，λ，）平行列方程即可求解。
【详解】因为向量＝（2，﹣1，3）与＝（3，λ，）平行，所以：，解得：【点睛】本题主要考查了空间向量平行的坐标表示及方程思想，属于基础题13.已知a，b均为正数，4是2a和b的等比中项，则a+b的最小值为_____．【答案】【解析】【分析】由4是2a和b的等比中项列方程，再利用基本不等式即可求解。
【详解】因为4是2a和b的等比中项，所以，又a+b=，当且仅当时，等号成立。
所以a+b的最小值为。
【点睛】本题主要考查了等比中项概念及基本不等式应用，属于基础题。
14.设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a1＝2，S9＝6a8，则数列{}的前10项的和为_____．【答案】【解析】【分析】利用a1＝2，S9＝6a8求得，从而求得，对裂项得：，从而求得数列{}的前10项的和。
【详解】由S9＝6a8得：，又a1＝2所以：，所以所以，所以数列{}的前10项的和为：=【点睛】本题主要考查了等差数列前n项和公式及通项公式，考查了裂项求和方法及计算能力，属于中档题。
15.已知离心率为的椭圆（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若＝0，且△PF1F2的面积为4，则椭圆的方程为_____．【答案】【解析】【分析】由椭圆离心率为得：，由＝0得为直角三角形，再由椭圆定义及三角形面积公式、勾股定理列方程组即可求得，从而得解。
【详解】由椭圆（a＞b＞0）离心率为可得：，又，代入上式整理得：，由＝0得为直角三角形，又△PF1F2的面积为4，设，，则解得：，所以椭圆的方程为：。
【点睛】本题主要考查了椭圆的定义及简单性质，向量垂直的数量积关系，考查计算能力，属于中档题。
三、解答题：解答应写出文宇说明、证明过程成演算步骤．16.已知复数z＝（m2+2m）+（m2﹣2m﹣3）i，m∈R（i为虚数单位）．（Ⅰ）当m＝1时，求复数的值；（Ⅱ）若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，求m的取值范围．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）将代入，利用复数运算公式计算即可。
（Ⅱ）由复数z在复平面内对应的点位于第二象限列不等式组求解即可。
【详解】（Ⅰ）当时，,∴.（Ⅱ）∵复数在复平面内对应的点位于第二象限,∴解得，所以的取值范围是.【点睛】本题主要考查了复数的运算及复数对应的点知识，考查计算能力，属于基础题。
17.已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝（n∈N*），正项等比数列{b n}满足b1＝a1，b5＝a6．（Ⅰ）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（Ⅱ）设∁n＝a n•b n，求数列{∁n}的前n项和T n．【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）利用法直接求，再由b1＝a1，b5＝a6求出，从而求得。
（Ⅱ）利用乘公比错位相减法求解即可。
【详解】（Ⅰ）当时，，当时，也适合上式,∴.∴，.设数列的公比为，则.∵，∴，∴（Ⅱ）由（1）可知，，∴①，②由①－②得，∴.【点睛】（1）本题主要考查了赋值法及法求通项公式，即,还考查了等比数列的通项公式。
（2）利用错位相减法求和，注意相减时项的符号，求和时项数的确定，最后不要忘记除1-q，在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式。
18.如图，已知多面体ABC﹣A1B1C1中，AA1，BB1，CC1均垂直于平面ABC，AB⊥AC，AA1＝4，CC1＝1，AB＝AC＝BB1＝2．（Ⅰ）求证：A1C⊥平面ABC1；（Ⅱ）求二面角B﹣A1B1﹣C1的余弦值．【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）建立空间直角坐标系，求出，，的坐标，利用数量积来确定,，从而得证。
（Ⅱ）求得平面的一个法向量坐标，再利用数量积求得平面的一个法向量坐标，利用向量夹角公式即可求得二面角B﹣A1B1﹣C1的余弦值．【详解】以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，.（Ⅰ）证明：，，∵，，所以,.∵,∴平面.（Ⅱ）由题意可知，平面，平面，∴又∵，,∴平面.∴平面的一个法向量为.∵，,设平面的一个法向量为，则，取,所以平面的一个法向量为∴.显然二面角为锐二面角,∴二面角的余弦值为【点睛】（1）本题主要考查了线面垂直的判定及向量数量积的应用，向量的坐标运算及向量数量积的坐标运算。
（2）本小题主要考查了转化思想及向量夹角公式，还考查了平面法向量的求法，考查计算能力，属于基础题。
19.已知椭圆C：+y2＝1．（Ⅰ）求C的离心率；（Ⅱ）若直线l：y＝x+m（m为常数）与C交于不同的两点A和B，且，其中O为坐标原点，求线段AB的长．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）由题可得：，求出即可求得离心率。
（Ⅱ）联立直线与椭圆方程，整理，利用可求得，再利用弦长公式求得线段AB 的长．【详解】（Ⅰ）由题意可知：，,∴,∴.（Ⅱ）设，由,消去得.∴. ①则，,.又∵.因为：,所以.∴满足①式,∴.∴线段的长为.【点睛】（1）本小题主要考查了椭圆的简单性质，属于基础题。
天津市部分区2019-2020学年高二上学期期末数学试题(解析版)
天津市部分区2019〜2020学年度第一学期期末考试高二数学第I 卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知空间向量(1,1,0)a =-,(,1,1)b m =-,若a b ⊥,则实数m =（ ） A. -2 B. -1C. 1D. 2【答案】C 【解析】 【分析】根据a b ⊥时，0a b =，列方程求出m 的值． 【详解】解：向量(1,1,0)a =-，(,1,1)b m =-， 若a b ⊥，则()()111100m ⨯+⨯-+-⨯=， 解得1m =． 故选：C ．【点睛】本题考查了空间向量的坐标运算与垂直应用问题，属于基础题． 2.在复平面内,复数1(1i i+是虚数单位)对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】 【分析】直接由复数代数形式的除法运算化简复数11i +，求出复数11i+在复平面内对应的点的坐标，则答案可求． 【详解】解：111111(1)(1)222i i i i i i --===-++-， ∴复数11i +在复平面内对应的点的坐标为：11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭， 位于第四象限．故选：D ．【点睛】本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 3.设x ∈R ,则“11||<22x -”是“0<<2x ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】求解绝对值不等式结合充分必要条件的判定方法得答案． 【详解】解：由11||<22x -，得111<222x -<-， 解得01x <<．∴ “11||<22x -”是“0<<2x ”的充分不必要条件．故选：A ．【点睛】本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判定方法，考查绝对值不等式的解法，属于基础题． 4.我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百一十五里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还其大意为：“有一个人走315里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛,每天走的路程为前一天的一半,走了 6天后到达目的地. ”则该人最后一天走的路程为（ ） A. 20里 B. 10里C. 5 里D. 2.5 里【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，设此人每天所走的路程数为数列{}n a ，其首项为1a ，分析可得{}n a 是以为1a 首项，12为公比的等比数列，由等比数列的前n 项和公式可得6315S =，解可得1a 的值，即可得答案．【详解】解：根据题意，设此人每天所走的程为数列{}n a ，其首项为1a ，即此人第一天走的路程为1a ，又由从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，则{}n a 是以为1a 首项，12为公比的等比数列，又由6315S =，即有161(1)2315112a -=-，解得：1160a =； 111602n n a -∴⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭56116052a ∴⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭即此人第6天走了5里； 故选：C ．【点睛】本题考查等比数列的通项公式与求和公式，关键是依据题意，建立等比数列的数学模型，属于基础题．5.若抛物线22(0)y px p =>的准线经过双曲线22143x y -=的一个焦点,则p =（ ） A. 2 B. 10D.【答案】D 【解析】 【分析】先求出22143x y -=的左焦点，得到抛物线22y px =的准线，依据p 的意义求出它的值． 【详解】解：因为抛物线22(0)y px p =>焦点在x 轴上，开口为正方向，故准线在y 轴左侧，双曲线22143x y -=的左焦点为(，0)，故抛物线22y px =的准线为x = ∴2p=p = 故选：D ．【点睛】本题考查抛物线和双曲线的简单性质，以及抛物线方程22y px =中p 的意义．6.已知函数2ln ()xf x x =,'()f x 为()f x 的导函数,则'()f x =（ ） A .3ln xx B. 31xC. 31ln x x -D.312ln xx -【答案】D 【解析】 【分析】根据基本初等函数的求导公式及导数的运算法则计算可得. 【详解】解：2ln ()xf x x=()()()22224321ln ln ln 1ln 22()x x xx x x xx x f x x x x '⋅⋅'∴=='-⋅-⋅-=故选：D .【点睛】本题考查基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则，属于基础题.7.正方体1111ABCD A B C D -,点E ,F 分别是1BB ，11B C 的中点,则EF 与1DA 所成角的余弦值为（ ） A. 0 B.15C.14D.13【答案】A 【解析】 【分析】连接1CB ，1BC ，证明1//EF BC ，11//DA CB ，再根据11BC CB ⊥，可得1EF DA ⊥即可得到EF 与1DA 所成角的余弦值.【详解】解：连接1CB ，1BC1111ABCD A B C D -是正方体,11//DA CB ∴且11BC CB ⊥因为点E ,F 分别是1BB ，11B C 的中点1//EF BC ∴ 1EF CB ∴⊥ 1EF DA ∴⊥即EF 与1DA 成直角，cos02π=则EF 与1DA 所成角的余弦值为0 故选：A【点睛】本题考查异面直线所成的角的计算，属于基础题. 8.曲线12y x =在点（1,1）处的切线方程为（ ） A. 210x y -+= B. 0x y -= C. 20x y +-= D. 210x y --=【答案】A 【解析】 【分析】求出曲线方程的导函数，把点()1,1的横坐标代入导函数中求出的导函数值即为切线的斜率，由求出的斜率和点()1,1的坐标写出切线方程即可．【详解】解：12y x=，1212x y -'∴=则曲线过点()1,1切线方程的斜率11|2x k y =='=， 所以所求的切线方程为：()1112y x -=-，即210x y -+=． 故选：A ．【点睛】此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会根据斜率和一点坐标写出直线的方程，属于基础题．9.设双曲线2222:1(>>0)x y C a b a b-=的右焦点为F,点P 在C 的一条渐近线0x +=上,O 为坐标原点,若OF PF =且∆POF 的面积为则C 的方程为（ ）A. 2212x y -=B. 22142x y -=C. 22163-=x yD. 22184x y -=【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线方程，设双曲线方程为22:1(>0)2x y C λλλ-=，表示右焦点F 的坐标，根据点到线的距离公式求出F 到渐近线的距离，根据OF PF =利用勾股定理求得OP ，利用12POF S OP d ∆=，得到方程，求得λ，得解.【详解】解：20x y +=为双曲线2222:1(>>0)x y C a b a b -=的一条渐近线，故设双曲线方程为22:1(>0)2x y C λλλ-=则右焦点F 的坐标为)F20x y +=因为P 在0x +=上，且OF PF =则右焦点F 的坐标为)F到直线0x =的距离d ==OP ∴==1122POF S OP d ∆∴==⨯=2λ∴=故22:142x y C -=【点睛】本题考查双曲线的性质，三角形面积公式，点到线的距离公式，属于中档题. 10.若函数1()2sin 2sin 2f x x x a x =-+在区间(,)-∞+∞上单调递增,则实数a 的取值范围是（ ） A. (-1,0] B. [0,1)C. (-1,1)D. [-1,1]【答案】D 【解析】 【分析】先求导，换元可得2()23g t t at =-++，在[]1,1t ∈-时()0g t ≥恒成立，进而得到不等式组，解得即可.【详解】解：1()2sin 2sin 2f x x x a x =-+2()2cos 2cos 2cos cos 3f x x a x x a x '∴=-+=-++因为函数1()2sin 2sin 2f x x x a x =-+在区间(,)-∞+∞上单调递增 2()2cos cos 30f x x a x '∴=-++≥恒成立令cos t x =则[]1,1t ∈-2()23g t t at ∴=-++，在[]1,1t ∈-时()0g t ≥恒成立，(1)230(1)230g a g a -=--+≥⎧∴⎨=-++≥⎩解得11a -≤≤故选：D【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题.第Ⅱ卷（共80分)二、填空题：本大题共5小题,每小题4分,共20分.11.i 是虚数单位,则21ii+-的值为_____.【解析】利用复数的运算法则计算出21ii+-，再根据求模的法则计算即可得出 【详解】解：()()()()2121313111222i i i i i i i i ++++===+--+213122i i i +∴=+==- 故答案为：2【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题.12.已知函数22(),'()f x x e f x =为()f x 的导函数,则'(1)f 的值为_____.【答案】22e 【解析】 【分析】根据基本初等函数的求导公式及导数的运算法则求出()f x 的导函数，再代入求值即可. 【详解】解：22()f x x e =2'()2f x e x ∴= 22'(1)212f e e ∴=⨯=故答案为：22e【点睛】本题考查导数的计算，属于基础题.13.已知实数a 为函数32()3f x x x =-的极小值点,则a =_____. 【答案】2 【解析】 【分析】首先求出函数的导函数，求出函数的单调区间，即可求出函数的极小值点. 【详解】解：32()3f x x x =-()2()3632f x x x x x '∴=-=-令()0f x '>解得2x >或0x <，即函数()f x 在(),0-∞和()2,+∞上单调递增； 令()0f x '<解得02x <<，即函数()f x 在()0,2上单调递减； 故函数()f x 在2x =处取得极小值. 即2a = 故答案为：2【点睛】本题考查利用导数求函数的极值点，属于基础题. 14.已知“21[2]102x ,,x mx ∃∈-+≤”是假命题,则实数m 的取值范围为________. 【答案】(,2)-∞ 【解析】 【分析】求出命题的否定，由原命题为假命题，得命题的否定为真命题，参变分离得到1m x x<+，构造函数()1g x x x=+求()g x 在所给区间上的最小值. 【详解】解：由题意可知，21[2]102x ,,x mx ∀∈-+>是真命题1m x x ∴<+对1[2]2x ,∀∈恒成立，令()1g x x x =+()211g x x'∴=-令()0g x '>则12x <≤；令()0g x '<则112x ≤<；即()1g x x x =+1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，()1,2上单调递增；()()min 11121g x g ∴==+=2m <∴故答案为：(,2)-∞【点睛】本题考查根据命题的真假求参数的取值范围，关键是将问题进行转化，属于中档题.15.设0021a ,b ,a -b >>=,则22(4)(1)a b ab++的最小值为________.【答案】4 【解析】 【分析】将式子变形可得()22222244(4)(1)a b a b ab a b ab ab+-++++=，根据已知条件可得22(4)(1)54a b ab ab ab++=++利用基本不等式可得最小值.【详解】解：()222222222244(4)(1)44a b a b ab a b a b a b ab ab ab+-+++++++==0021a ,b ,a -b >>=2222(4)(1)455444a b a b ab ab ab ab ab ++++∴==++≥=当且仅当5ab ab=时取等号，故最小值为4故答案为：4【点睛】本题考查了基本不等式的性质，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题,共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.已知函数()()32,f x x ax b a b R =-+∈.(I)若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为10x y +-=,求,a b 的值； (II)若0a >,求()f x 的单调区间. 【答案】（Ⅰ）2,1a b == （Ⅱ）()f x 在区间2(,0),(,)3a -∞+∞上单调递增,在区间20,3a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 【解析】 【分析】（Ⅰ）求出函数的导函数，根据题意可得()()1110f f ⎧-⎪⎨='⎪⎩得到关于,a b 的方程组，解得； （Ⅱ）求出函数的导函数，解()0f x '>得函数的单调递增区间，解()0f x '<得函数的单调递减区间.【详解】解：（Ⅰ）32()(,)f x x ax b a b R =-+∈2()32f x x ax =-'∴因为函数()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为10x y +-= ()()1321110f a f a b ⎧=-=-⎪∴⎨=-+='⎪⎩解得2,1a b ==（Ⅱ）22()323()3a f x x ax x x '=-=-． 令()0f x '=,得0x =或23a x =. 因为0a >,所以2(,0)(,)3a x ∈-∞+∞时，()0f x '> ； 20,3a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<． 故()f x 在区间2(,0),(,)3a -∞+∞上单调递增,在区间20,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减 【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，属于基础题.17.如图,在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD ,AD CD,AD //⊥4BC,BC ,=2PA AD CD ,===点E 为PC 的中点.(I) 证明：//DE 平面PAB ;(II)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ 【解析】【分析】（Ⅰ）建立空间直角坐标系，取PB 中点M ，可证//AM DE ，即可得到//DE 平面PAB .（Ⅱ）根据（Ⅰ）所建坐标系，求出平面PCD 的法向量以及直线PB 的方向向量，利用夹角公式解得.【详解】（Ⅰ）证明： 取BC 中点F ,易知AFCD 是边长为2的正方形.依题意,可以建立以A 为原点,分别以AF ,AD ,AP 的方向为x 轴,y 轴,z 轴正方向的空间直角坐标系（如图）,可得(0,0,0)A ,(2,0,0)F ,(2,2,0)B -,(2,2,0)C ,(0,2,0)D ,(0,0,2)P ,(1,1,1)E .取PB 中点M ,则(1,1,1)M -,即(1,1,1)AM =-又(1,1,1)DE =-,可得//AM DE ,又因为直线DE ⊄平面PAB ,所以//DE 平面PAB .（Ⅱ）解：依题意,(0,2,2)PD =-u u u r ,(2,0,0)CD =-,(2,2,2)PB =--设(,,)n x y z =为平面PCD 的法向量,则0,0,n PD n CD ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 即220,20,y z x -=⎧⎨-=⎩ 不妨令1z =,可得(0,1,1)n =因此有cos ,PB nPB n PB n ⋅<>==-⋅ . 所以直线PB 与平面PCD . 【点睛】本题考查线面平行的判定，线面角的计算问题，关键建立空间直角坐标系，利用空间向量解决立体几何中的问题，属于中档题.18.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且2n S n =,等比数列{}n b 满足124451,,()b a b a a n N *=-=+∈.(I)求{}n a 和{}n b 的通项公式;(II)求数列{}n n a b 的前n 项和.【答案】（Ⅰ）*21()n a n n =-∈N ；*2()n n b n =∈N（Ⅱ）1*(23)26().n n n +-⨯+∈N 【解析】【分析】（Ⅰ）根据1112n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得{}n a 的通项公式，根据{}n a 的通项公式，可计算1212b a =-=,44516b a a =+=，即可求出等比数列的公比，得到数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）利用错位相减法求数列{}n n a b 的前n 项和.【详解】解（Ⅰ）由2n S n =,得当1n =时,111a S ==当2n ≥时,221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-经检验1n =时也成立,所以*21()n a n n =-∈N即1212b a =-=,44516b a a =+=记数列{}n b 的公比为q ,则3418b q b ==,所以2q = 即*2()n n b n =∈N（Ⅱ）设数列{}n n a b 的前n 项和为n T ,由21n a n =-,2n n b =,有(21)2n n n a b n =-⨯故23123252(21)2n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯L ,23412123252(23)2(21)2n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯L上述两式相减,得23112222222(21)2n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯L1118(12)2(21)212(23)2 6.n n n n n -++⨯-=+--⨯-=--⨯- 得1(23)26n n T n +=-⨯+.所以,数列{}n n a b 的前n 项和为1*(23)26().n n n +-⨯+∈N【点睛】本题考查等差、等比数列通项的计算，等比数列前n 项和公式的应用，利用错位相减法求差比数列的前n 项和，属于中档题.19.已知椭圆2222:1(>>0)x y C a b a b+=的长轴长为4,离心率为2. (I)求C 的方程； (II)设直线:l y kx =交C 于A,B 两点,点A 在第一象限,AM x ⊥轴,垂足为M , 连结BM 并延长交C 于点N .求证：点A 在以BN 为直径的圆上.【答案】（Ⅰ）22142x y += （Ⅱ）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）由长轴长为4，得到2a =，再由离心率为2，可求c 的值，根据222c a b =- 计算出b 的值，即可得到椭圆方程； （Ⅱ）联立直线方程与椭圆方程，表示出,A B 两点，通过证明AB AN ⊥，得到点A 在以BN 为直径的圆上.【详解】解析 （Ⅰ）设椭圆的半焦距为c ,依题意,24,c a a ==又222a b c =+,可得2,a b c ===所以,椭圆的方程为22142x y +=. （Ⅱ）由22142y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得x =记u =,则(,),(,),(,0)A u uk B u uk M u --．于是直线BM 的斜率为2k ,方程为()2k y x u =- 由22(),2142k y x u x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得22222(2)280k x uk x k u +-+-=．① 设(,)N N N x y ,则u -和N x 是方程①的解, 故22(32)2N u k x k +=+ ,由此得322N uk y k=+ 从而直线AN 的斜率为322212(32)2uk uk k u k k u k-+=-+-+ 所以AB AN ⊥,即点A 在以BN 为直径的圆上.【点睛】本题考查椭圆标准方程的计算问题，直线与圆锥曲线综合问题，属于难题.20.已知函数()cos sin 1f x x x x =+-.(I)若(0,)x π∈,求()f x 的极值；(II)证明：当[0,]x π∈时,2sin cos x x x x -≥.【答案】（Ⅰ）12π- （Ⅱ）见解析【解析】【分析】 （Ⅰ）求出函数的导函数，分析函数的单调性，即可得到函数的极值；（Ⅱ）构造函数()2sin cos g x x x x x =--，证明函数在[0,]x π∈时()0g x ≥恒成立.【详解】解（Ⅰ）()cos sin 1f x x x x =+-()cos f x x x '∴=, 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0f x '>；当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0f x '< 当x 变化时,(),()f x f x '的变化情况如下表：因此,当2x π=时,()f x 有极大值,并且极大值为()()122f x f ππ==-极大值 ，没有极小值. （Ⅱ）令函数()2sin cos g x x x x x =--,()cos sin 1()g x x x x f x '=+-=由（Ⅰ）知()f x 在区间π(0,)2上单调递增,在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减. 又(0)0,()10,()2022f f f πππ==->=-< 故()f x 在()0,π存在唯一零点.设0x ,则00()()0g x f x '==当()00,x x ∈时,()0g x '>；当()0,πx x ∈时,()0g x '<,所以()g x 在区间()00,x 上单调递增,在区间()0,πx 上单调递减又(0)0,()0g g π== ,所以,当[0,π]x ∈时,()0g x ≥.故2sin cos x x x x -≥.【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，利用导数证明不等式恒成立问题，属于综合题.。
2020-2021学年天津市西青区高二上学期期末考试数学试卷(解析版)
天津市西青区2020-2021学年高二上学期期末考试试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟. 注意事项：答卷前务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上；答卷时，考生务必把『答案』涂写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，答在试卷上的无效.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分. 1. 在等比数列{}n a 中，1716a a ⋅= ，则4a 的值为（ ）A. 4B. 8±C. 4±D. 8『答案』C『解析』由等比中项的性质可得241716a a a ==，因此，44a =±.故选：C.2. 设平面α的一个法向量为1(1,2,2)n =-，平面β的一个法向量为2(2,4,)n k =--，若//αβ，则k = ( )A. 2B. -4C. -2D. 4『答案』D『解析』因为//αβ，所以12122//24n n k -==--，，解之得4k =，应选『答案』D 3. 已知直线10x ay +-=和直线420ax y ++=互相平行，则a 的取值是（ ） A. 2B. 2-C. 2±D. 0『答案』A『解析』由于直线10x ay +-=和直线420ax y ++=互相平行，则242a a ⎧=⎨-≠⎩，解得2a =.故选：A.4. 直线220x y -+=与圆22(1)(2)4x y -+-=的位置关系为（ ） A. 相交且直线过圆心 B. 相切C. 相离D. 相交且直线不过圆心『答案』D『解析』由题意，圆22(1)(2)4x y -+-=的圆心坐标为(1,2)C ，半径为2r ，则圆心(1,2)C 到直线220x y -+=的距离为25d ==<，所以直线与圆相交，将圆心代入直线220x y -+=， 可得21220⨯-+≠，所以直线不过圆心， 故选：D. 5. 设数列｛na ｝的前n 项和n s =2n ，则8a 的值为（ ）A. 15B. 16C. 49D. 64『答案』A『解析』因为数列｛｝的前n 项和n s =2n ，所以878644915a S S =-=-=，故选：A.6. 下列命题中正确的个数为（ ）①直线3210x y +-=的一个方向向量为31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ ②双曲线2214x y -=的渐近线方程为2y x =±③椭圆2214x y +=的长轴长为2④圆22240x y x y ++-=. A. 1B. 2C. 3D. 4『答案』B『解析』对于①中，由直线3210x y +-=的斜率为32k =-，所以直线3210x y +-=的一个方向向量为31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以是正确的；对于②中，由双曲线2214xy-=，可得2,1a b==，所以其渐近线方程12y x=±，所以不正确；对于③中，由椭圆2214xy+=，可得2a=，所以其长轴长24a=，所以不正确；对于④中，由圆22240x y x y++-=，可得22(1)(2)5x y++-=，所以圆的半径为r=，所以是正确.故选：B.7. 如图，在长方体1111ABCD A B C D-中，设11AD AA==，2AB=，P是11C D的中点，则1B C与1A P所成角的大小为（）A. 30B. 45C. 60D. 90『答案』C『解析』如图以D为原点，分别以1,,DA DC DD所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，()11,2,1B，()0,2,0C，()11,0,1A，()0,1,1P，()11,0,1B C=--，()11,1,0A P=-，所以111111111 cos22,B C A PA PA PB CB C-⨯-=⋅=⨯=⨯，因为1BC与1A P所成的角为锐角或直角，所以1B C与1A P所成角的大小为60，故选：C8. 三个实数8,,2m构成一个等比数列，则圆锥曲线2212x ym+=的离心率为（）A. 2B.C.2或2 D.2『答案』D『解析』因为三个实数8,,2m构成一个等比数列，所以2=28m⨯，解得4m=±，当4m=时，方程表示焦点在x轴上的椭圆，所以2,a bc===cea==，当4m=-时，方程表示焦点在y轴上的双曲线，所以2,a b c===cea===，故选：D9. 2015年07月31日17时57分，国际奥委会第128次全会在吉隆坡举行，投票选出2022年冬奥会举办城市为北京.某人为了观看2022年北京冬季奥运会，从2016年起，每年的1月1日到银行存入a元的定期储蓄，若年利率为p且保持不变，并约定每年到期，存款的本息均自动转为新的一年的定期，到2022年的1月1日将所有存款及利息全部取出，则可取出钱(元)的总数为（）A.6(1)a P+ B. 7(1)a P+C6(1)(1)aP PP⎡⎤+-+⎣⎦D.7(1)(1)aP PP⎡⎤+-+⎣⎦『答案』D『解析』由题意，2016年1月1日，存入的a 元，一年后存款及利息为(1)a p +，二年后存款及利息为2(1)a p +，，依次类推，由此可得，从2016年1月1日到2022年1月1日所有的存款及利息为：6765(1)[1(1)](1)(1)(1)(1)(11))1(a p p a p a p P a p P P p a +-⎡⎤+-+++++++=+⎦=-⎣+.故选：D.第Ⅱ卷注意事项：1.将『答案』写在答题卡上 2.本卷共11小题，共105分.二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分.10. 已知椭圆221164x y +=上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为6，则点P 到另一个焦点的距离为__________.『答案』2『解析』利用椭圆定义122PF PF a+=，4a =，可知268PF +=，即22PF =故『答案』为：211. 如图，在三棱锥O ABC -中，OA a =，OB b =，OC c =，点M 在OA 上，且2OM MA =，N 为BC 中点，{},,a b c 构成空间的一个基底，将MN 用基底表示，MN=__________.『答案』112223MN b c a=+-『解析』由题意，OA a =，OB b =，OC c =，连接ON ，根据向量的线性运算法则，可得MN ON OM =-，因为N 为BC 中点，11()()22ON OB OC b c =+=+，又由点M 在OA 上，且2OM MA =，可得2233OM OA a==， 所以112223MN ON OM b c a=-=+-.12. 已知圆224x y +=与圆226260x y x y +-++=关于直线l 对称，则直线l 方程 ______________________.『答案』350x y --=『解析』由圆224x y +=的圆心坐标为(0,0)O ， 圆226260x y x y +-++=的标准方程为22(3)(1)9x y -++=，可得圆心(3,1)A -， 则OA 的中点坐标为31(,)22-，且OA 的斜率为13OA k =-， 可得所求直线l 的斜率为3k =，所以直线l 的方程为13()3()22y x --=-，即350x y --=. 故『答案』为：350x y --=.13. 设nS 是等差数列{}n a 的前n 项和，若63511a a =，则115S S =__________.『答案』1『解析』由等差数列的前n 项和公式可得：()()1116611315531111211115221525551122a a a a S a a a S a +⨯===⨯=⨯=⨯+，故『答案』为：1.14. 圆224420x y x y +---=与圆222880x y x y +++-=的公共弦所在的直线方程为______，公共弦长=______.『答案』 (1). 210x y +-=(2). 『解析』由222880x y x y +++-=和224420x y x y +---=作差得：61260x y +-=，整理得210x y +-=，即为公共弦所在的直线方程；圆224420x y x y +---=即为22(2)(2)10-+-=x y ，圆心为(2,2)，=，所以公共弦长==故『答案』为：210x y +-=；25.15. 已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线与抛物线交于两点11(,)P x y ，22(,)Q x y .①抛物线24y x =焦点到准线的距离为2； ②若126x x +=，则8PQ =；③2124y y p =-；④过点P 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线为点A ，则直线AQ 平行于抛物线的对称轴； ⑤绕点(2,1)-旋转且与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线至多有2条. 以上结论中正确的序号为__________.『答案』①②④『解析』抛物线2:4C y x =可得2p =，()1,0F对于①：抛物线24y x =焦点为()1,0F ，准线l 为1x =-，所以焦点到准线的距离为2，故①正确；对于②：根据抛物线的对义可得：121286222p px x x P p Q x +++=++=+==，对于③：设直线PQ 方程为：1x ky =+与2:4C y x =联立可得2440y ky --=，可得124y y =-，因为2p =，所以2124y y p ≠-，故③不正确；对于④：11(,)P x y ，所以OP ：11y y xx =，由111y y x x x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩可得11y y x =-，所以111,y A x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，因为22(,)Q x y ，124y y =- 解得：214y y -=，所以214,Q x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为11(,)P x y 在抛物线2:4C y x =上，所以2114y x =，所以21114x y =，1114y x y -=- 所以141,A y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，因为214,Q x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以0AQ k =，所以//AQ x 轴，即直线AQ 平行于抛物线的对称轴，故④正确；对于⑤：1y =时，显然与抛物线只有一个交点，设过点(2,1)-的直线为2x ky k =--，由224x ky k y x =--⎧⎨=⎩可得：24480y ky k -++=，令()2164480∆=-+=k k ，可得2k =或1k =-，故过点(2,1)-且与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线有3条.故⑤不正确， 故『答案』为：①②④三.解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知等差数列{}n a 的前n 项的和记为n S ，34a =-，68a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求nS 的最小值及其相应的n 值.『解』（1）由已知得：112458a d a d +=-⎧⎨+=⎩解得：1124a d =-⎧⎨=⎩，所以416n a n =-.（2）1(1)2n n n dS na -=+=122(1)n n n -+- =2214n n -=27492()22n --， 当n 取最接近3.5的整数，即3n =或4时，nS 有最小值，nS 最小值为184224-=-.17. 已知圆C 的圆心在0x y +=上，点(2,0)A 在圆C 上，且圆C 与直线40x y --=相切. （1）求圆C 的标准方程；（2）过点A 和点(3,2)的直线l 交圆C 于A 、E 两点，求弦AE的长.『解』（1）设圆的标准方程为：222()()x a y b r -+-=由题意得：()2222a b r a b r ⎧+==⎪-+=⎩解得：11a b r ⎧=⎪=-⎨⎪=⎩所以圆的标准方程为：22(1)(1)2x y -++=； （2）因为直线l 过点(2,0)A 和点(3,2)， 所以直线的斜率为2l k =，所以直线l 为：2(2)y x =-即240x y --=设圆心到直线的距离为5d ===， 所以AE ===，所以弦AE长为.18. 已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，111a b ==，5435()a a a =-，5434()b b b =-.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）221n n n c a b +=，求数列{}n c 的前n 项和n S .『解』（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，由11a =，5435()a a a =-，可得145d +=d ，解得1d =，所以11n a n n=+-=，由11b =，5434()b b b =-，可得4324()q q q =-，解得2q ，所以12n n b -=.（2）由（1）可得22n a n=，22!24n nn b +==，所以22124nn n n c a b n +==⨯，故2312444642(1)424n nn S n n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯234142444642(1)424n n n S n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯上述两式相减，得2313242424.......2(1)424n n n S n n +-=⨯+⨯+⨯++-⨯-⨯=14(14)22414n n n +-⨯-⨯-182(2)433n n +=---⨯，所以1862499n n n S +-=+⨯.19. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1BB 的中点.（1）证明：1//BC 平面1AD E；（2）求直线1BC 到平面1AD E的距离；（3）求平面1AD E与平面ABCD 夹角的余弦值.『解』如图建立空间直角坐标系A xyz -，设正方体的棱长为2则(0,0,0)A ，(0,2,0)B ，1(2,0,2)D ，1(2,2,2)C ， (0,2,1)E ，（1）设平面1AD E 的法向量为1111(,,)n x y z =，100n AD n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩22020x z y z +=⎧∴⎨+=⎩， 令1x =，则1,z =-1,2y =111,,12n ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，1(2,0,2)BC =，111(2,0,2)1,,12202C n B ⎛⎫⋅=⋅-=-= ⎪⎝⎭，∴11BC n ⊥，1C B ⊄面1AD E 1//BC ∴平面1AD E . （2）1//BC 平面1AD E ，直线1BC 到平面1AD E 的距离即为点B 到平面1AD E 的距离，(0,2,0)AB =，111,,12n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，11AB n d n ⋅===23，∴直线1BC 到平面1AD E 的距离为23.（3）平面ABCD 的一个法向量为(0,0,2)n =，设平面1AD E 与平面ABCD 夹角为θ，111,,12n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 111cos cos n n n n n n θ⋅=⋅==23，所以平面1AD E 与平面ABCD 夹角的余弦值23.20. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点(2,0)A ，离心率为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知定点(1,0)E ，若直线()20y kx k =-≠与椭圆C 相交于M 、N 两点，试判断是否存在实数k ，使以MN 为直径的圆过定点E ？若存在求出这个k 值，若不存在说明理由.『解』（1）由题得可得22222a b c c aa ⎧=+⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩解得24a =，21b =，23c =， 所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）假设实数k ，使以MN 为直径的圆过定点E ， 直线()20y kx k =-≠与椭圆C 相交于M 、N 两点设11(,)M x y ，22(,)N x y ，联立22214y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得：22(14)16120k x kx +-+=， 22(16)412(14)0∆∴=--⨯⨯+>k k1221614k x x k +=+，1221214x x k ⋅=+（*）若以MN 为直径的圆过定点E ，则EM EN ⊥， 则：11221212(1,)(1,)(1)(1)x y x y x x y y EM EN ⋅=-⋅-=--+1212(1)(1)(2)(2)x x kx kx =--+--21212(1)(21)()50k x x k x x =+-+++= 将（*）代入此式，2221612(1)(21)501414k k k k +⨯-+⨯+=++ 解得：1716k =，满足0∆>.。
天津市滨海新区2019_2020学年高二数学上学期期末考试试题含解析
【答案】D
【解析】
【分析】
根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理即可得到结论．
【详解】设椭圆的长半轴为 ，双曲线的实半轴为 ，半焦距为 ，
由椭圆和双曲线的定义可知，设 ， ， ，
椭圆和双曲线的离心率分别为 ， ，
因 是它们的一个公共点，且 ，则由余弦定理可得：
……①
在椭圆中，由定义知 ，①式化简为： ……②
当 ，即 时，此时 ，不满足题中条件，
综上所述： 的取值范围是 .
故答案为： .
【点睛】本题主要考查二次函数在区间上的值域的求解，集合之间包含关系的应用，体现了分类讨论思想的应用，属于基础题.
20.给出下列四个命题
①已知 为椭圆 上任意一点， ， 是椭圆的两个焦点，则 的周长是8；
②已知 是双曲线 上任意一点， 是双曲线的右焦点，则 ；
【答案】
【解析】
【分析】
以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法即可得到答案.
【详解】以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，如图，
设正方体 的棱长为 ，则 ， ， ， ，
， ，
设直线 与直线 所成角为 ，则 ，
所以直线 与直线 所成角的余弦值为 .
且 ， ， 成等比数列，可得 ，即 ，
解得 ， ，
则 ；
，
，
则数列 的前n项和为
．
【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，以及数列的裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．
22.如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，O为AD中点，AB=1，AD=2，AC=CD= .
2019-2020天津市部分区高二数学上学期期末试卷(下载版)
天津市部分区2019〜2020学年度第一学期期末考试高二数学第I 卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知空间向量)0,1,1(-=，)1,1,(-=m ，若⊥，则实数=m(A) -2 (B) -1 (C)1 （D) 22.在复平面内，复数i i(11+是虚数单位)对应的点位于 (A)第一象限 （B)第二象限 (C)第三象限 （D)第四象限 3.设R x ∈，则“21|<21|-x ”是“2<<0x ”的 (A)充分不必要条件 （B)必要不充分条件(C)充要条件 （D)既不充分又不必要条件4.我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百一十五里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还其大意为：“有一个人走315里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了 6天后到达目的地. ”则该人最后一天走的路程为(A)20里 （B) 10里 (C) 5 里 （D) 2.5 里5.若抛物线0)>2px (p 2=y 的准线经过双曲线13422=-y x 的一个焦点，则=p (A) 2 (B) 10 (C)7(D) 72 6.已知函数2ln )(x x x f =，)('x f 为)(x f 的导函数，则=)('x f (A) 3ln x x (B) 31x (C) 3ln 1x x - （D)3ln 21x x - 7.正方体1111D C B A ABCD -，点E ，F 分别是的中点，则EF 与1DA 所成角的余弦值为(A) 0 (B) 51 (C) 41 （D) 31 8.曲线21x y =在点（1，1）处的切线方程为(A) 012=+-y x (B) 0=-y x (C) 02=-+y x (D) 012=--y x9.设双曲线)0>>(1:2222b a b y a x C =-的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线02=+y x 上，O 为坐标原点，若||||PF OF =且POF ∆的面积为22，则C 的方程为(A) 1222=-y x (B) 12422=-y x (C) 13622=-y x (D)14822=-y x 10.若函数x a x x x f sin 2sin 212)(+-=在区间),(+∞-∞上单调递增，则实数a 的取值范围是 (A)(-1,0] (B)[0,1) (C)(-1,1) (D)[-1,1]第Ⅱ卷（共80分) 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.11.i 是虚数单位，则|12|i i -+的值为 . 12.已知函数)(',)(22x f e x x f =为)('x f 的导函数，则)1('f 的值为. 13.已知实数a 为函数233)(x x x f -=的极小值点，则=a .14.已知“01],2,21[2≤+-∈∃mx x x ”是假命题，则实数m 的取值范围为 . 15.设12b -0,>b 0,>=a a ，则ab b a )1)(4(22++的最小值为 .三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分）已知函数),()(23R b a b ax x x f ∈+-=.(I)若曲线)(x f y =在点))1(,0(f 处的切线方程为01=-+y x ,求b a ,的值；(II)若0>a ,求)(x f 的单调区间.17.(本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，PA ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD ，AD ∥BC ，BC=4，PA=AD=CD=2，点E 为 PC 的中点.(I) 证明：DE ∥平面PAB;(II)求直线与平面PCD 所成角的正弦值.18.(本小题满分12分）设数列{n a }的前n 项和为n S ，且2n S n =，等比数列{n b }满足)(,,154421*∈+=-=N n a a b a a .(I)求{n a }和{n b }的通项公式;(II)求数列{n n b a }的前n 项和.19.(本小题满分12分）已知椭圆)0>>(1:2222b a by a x C =+的长轴长为4，离心率为22. (I)求C 的方程；(II)设直线kx y l =:交C 于A ，B 两点，点A 在第一象限，x AM ⊥轴，垂足为M, 连结心并延长交C 于点N.求证：点A 在以BN 为直径的圆上.20.(本小题满分、12分）已知函数1sin cos )(-+=x x x x f .(I)若),0(π∈x ，求)(x f 的极值；(II)证明：当],0[π∈x 时，x x x x ≥-cos sin 2.。
(2019-2020)学年天津市部分区高二上学期期末数学试题(理科)(解析版)
高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）经过两点A（4，a），B（2，3）的直线的倾斜角为，则a=（）A．3 B．4 C．5 D．62．（4分）双曲线=1的离心率是（）A．B．C．D．23．（4分）命题“∃m∈N，曲线=1是椭圆”的否定是（）A．∀m∈N，曲线=1是椭圆B．∀m∈N，曲线=1不是椭圆C．∃m∈N+，曲线=1是椭圆D．∃m∈N+，曲线=1不是椭圆4．（4分）已知向量=（λ，1，3），=（0，﹣3，3+λ），若，则实数λ的值为（）A．﹣2 B．﹣ C．D．25．（4分）“直线a与平面M垂直”是“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（4分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（）A．πB．πC．π D．3π7．（4分）直线y=kx﹣k与圆（x﹣2）2+y2=3的位置关系是（）A．相交B．相离C．相切D．与k取值有关8．（4分）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中真命题是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，m∥β，则α⊥βC．若m∥α，α∥β，则m∥βD．若m⊥n，m∥α，则n⊥α9．（4分）已知抛物线y2=2px（p＞0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点M的纵坐标为2，则点M到该抛物线的准线的距离为（）A．2 B．3 C．4 D．510．（4分）已知P（x，y）为椭圆C：=1上一点，F为椭圆C的右焦点，若点M满足|MF|=1且MP⊥MF，则|PM|的取值范围是（）A．[2，8]B．[，8]C．[2，]D．[，]二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）11．（4分）抛物线y2=﹣4x的焦点坐标为．12．（4分）椭圆=1的两个焦点为F1，F2，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|=．13．（4分）已知三条直线l1：2x+my+2=0（m∈R），l2：2x+y﹣1=0，l3：x+ny+1=0（n∈R），若l1∥l2，l1⊥l3，则m+n的值为．14．（4分）如图，在底面是正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，点D在棱BB1上，且BD=1，则直线AD与平面AA1C1C所成角的余弦值为．15．（4分）平面上一质点在运动过程中始终保持与点F（1，0）的距离和直线x=﹣1的距离相等，若质点接触不到过点P（﹣2，0）且斜率为k的直线，则k 的取值范围是．三、解答题（共5小题，共60分）16．（12分）已知圆的方程x2+y2﹣2x+2y+m﹣3=0（m∈R）．（1）求m的取值范围；（2）若m=1，求圆截直线x﹣y﹣4=0所得弦的长度．17．（12分）已知顶点为O的抛物线y2=2x与直线y=k（x﹣2）相交于不同的A，B两点．（1）求证：OA⊥OB；（2）当k=时，求△OAB的面积．18．（12分）如图，在多面体P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD=2AD=4，AB=2DC=2．（1）设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；（2）求三棱锥P﹣BCD的体积．19．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AA1=1，E为BC的中点．（1）求证：C1D⊥D1E；（2）动点M满足（0＜λ＜1），使得BM∥平面AD1E，求λ的值；（3）若二面角B1﹣AE﹣D1的大小为90°，求线段AD的长．20．（12分）椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，经过椭圆右焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得弦的长度为3．（1）求椭圆C的方程；（2）若斜率为k的直线l与椭圆C相交于A，B 两点（A，B不是左、右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）经过两点A（4，a），B（2，3）的直线的倾斜角为，则a=（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出．【解答】解：由题意可得：==1，解得a=5．故选：C．【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．（4分）双曲线=1的离心率是（）A．B．C．D．2【分析】利用双曲线方程求解实半轴的长，半焦距的长，然后求解离心率即可．【解答】解：双曲线=1，可知a=2，b=1，c==，所以双曲线的离心率是=．故选：B．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．3．（4分）命题“∃m∈N，曲线=1是椭圆”的否定是（）A．∀m∈N，曲线=1是椭圆B．∀m∈N，曲线=1不是椭圆C．∃m∈N+，曲线=1是椭圆D．∃m∈N+，曲线=1不是椭圆【分析】利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃m∈N，曲线=1是椭圆”的否定是：∀m∈N，曲线=1不是椭圆．故选：B．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基本知识的考查．4．（4分）已知向量=（λ，1，3），=（0，﹣3，3+λ），若，则实数λ的值为（）A．﹣2 B．﹣ C．D．2【分析】利用向量垂直的性质直接求解．【解答】解：∵向量=（λ，1，3），=（0，﹣3，3+λ），，∴=0﹣3+3（3+λ）=0，解得实数λ=﹣2．故选：A．【点评】本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5．（4分）“直线a与平面M垂直”是“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据线面垂直的定义结合充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：∵直线a与平面M垂直，∴直线a与平面M内的任意一条直线都垂直，则直线a与平面M内的无数条直线都垂直成立，即充分性成立，反之不成立，即“直线a与平面M垂直”是“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合线面垂直的定义是解决本题的关键．6．（4分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（）A．πB．πC．π D．3π【分析】由三视图还原原几何体，可知原几何体为四棱锥，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=1，补形为正方体，则该四棱锥外接球的直径为正方体的体对角线，长为，则半径可求，代入球的表面积公式得答案．【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为四棱锥，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=1，补形为正方体，则该四棱锥外接球的直径为正方体的体对角线，长为，∴该四棱锥外接球的半径r=，表面积为．故选：D．【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．7．（4分）直线y=kx﹣k与圆（x﹣2）2+y2=3的位置关系是（）A．相交B．相离C．相切D．与k取值有关【分析】先判断直线过定点（1，0），然后判断定点和圆的位置关系即可．【解答】解：直线y=kx﹣k=k（x﹣1）过定点A（1，0），圆心坐标为C（2，0），半径r=，则|AC|=2﹣1=1＜，则点A在圆内，则直线y=kx﹣k与圆（x﹣2）2+y2=3恒相交，故选：A【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的判断，根据直线过定点，判断定点和圆的位置关系是解决本题的关键．8．（4分）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中真命题是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，m∥β，则α⊥βC．若m∥α，α∥β，则m∥βD．若m⊥n，m∥α，则n⊥α【分析】根据空间线面位置关系的判定或性质进行判断．【解答】解：若m∥α，n∥α，则m∥n或m，n异面或m与n相交，故A错误；若m⊥α，m∥β，则α⊥β，故B正确；若m∥α，α∥β，则m∥β或m⊂β，故C错误；若m⊥n，m∥α，则n⊥α或n⊂α或n∥α，故D错误．故选：B．【点评】本题考查了空间线面位置关系，属于中档题．9．（4分）已知抛物线y2=2px（p＞0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点M的纵坐标为2，则点M到该抛物线的准线的距离为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】先假设A，B的坐标，根据A，B满足抛物线方程将其代入得到两个关系式，再将两个关系式相减根据直线的斜率和线段AB的中点的纵坐标的值可求出p的值，进而得到准线方程．M的坐标，然后求解即可．【解答】解：设A（x1，y1）、B（x2，y2），则有y12=2px1，y22=2px2，两式相减得：（y1﹣y2）（y1+y2）=2p（x1﹣x2），又因为直线的斜率为1，所以=1，所以有y1+y2=2p，又线段AB的中点的纵坐标为2，即y1+y2=4，所以p=2，所以抛物线方程为：y2=4x，抛物线的准线方程为x=﹣1．AB的方程为：y=x﹣1M（3，3），则点M到该抛物线的准线的距离为：3+1=4．故选：C．【点评】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识．10．（4分）已知P（x，y）为椭圆C：=1上一点，F为椭圆C的右焦点，若点M满足|MF|=1且MP⊥MF，则|PM|的取值范围是（）A．[2，8]B．[，8]C．[2，]D．[，]【分析】依题意知，该椭圆的焦点F（3，0），由题意可知：|PM|2=|PF|2﹣|MF|2，由a﹣c≤|PF|≤a+c，即可求得|PM|的取值范围．【解答】解：依题意知，点M在以F（3，0）为圆心，1为半径的圆上，PM为圆的切线，∴|PM|2=|PF|2﹣|MF|2，而|MF|=1，∴当|PF|最小时，切线长|PM|最小．由图知，当点P为右顶点（5，0）时，|PF|最小，最小值为：5﹣3=2．∴|PM|==，当|PF|最大时，切线长|PM|最大．当点P为左顶点（﹣5，0）时，|PF|最小，最小值为：5+3=8，∴|PM|==3，|PM|的取值范围[，3]，故选D．【点评】本题考查椭圆的标准方程、圆的方程，考查椭圆的性质，焦半径的取值范围，考查转化思想，属于中档题．二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）11．（4分）抛物线y2=﹣4x的焦点坐标为（﹣1，0）．【分析】先根据抛物线的方程判断出抛物线的开口方向，进而利用抛物线标准方程求得p，则焦点方程可得．【解答】解：根据抛物线的性质可知根据抛物线方程可知抛物线的开口向左，且2P=4，即p=2，开口向左∴焦点坐标为（﹣1，0）故答案为：（﹣1，0）【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质，解题过程中注意抛物线的开口方向，焦点所在的位置12．（4分）椭圆=1的两个焦点为F1，F2，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|=．【分析】先根据椭圆的方程求得P的坐标，进而根据椭圆的定义求得答案．【解答】解：椭圆的左焦点坐标（﹣1，0），不妨P（﹣1，）即：P（﹣1，），由椭圆的定义可知：|PF1|+|PF2|=2a=4∴|PF2|=4﹣=．故答案为：．【点评】本题主要考查椭圆的简单性质．解答的关键是利用椭圆的定义．属基础题．13．（4分）已知三条直线l1：2x+my+2=0（m∈R），l2：2x+y﹣1=0，l3：x+ny+1=0（n∈R），若l1∥l2，l1⊥l3，则m+n的值为﹣1．【分析】利用平行与垂直与斜率之间的关系即可得出．【解答】解：∵l1∥l2，∴=﹣2，解得m=1．∵l1⊥l3，m=n=0不满足题意，舍去，∴﹣×=﹣1，解得n=﹣2．则m+n=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了平行与垂直与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．（4分）如图，在底面是正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，点D在棱BB1上，且BD=1，则直线AD与平面AA1C1C所成角的余弦值为．【分析】取AC，A1C1的中点分别为E，H．可得BE⊥AC，即可得到BE⊥面ACC1A1，过点D作DF⊥EH于F，则DF⊥面ACC1A1，连接FA，则∠DAF为直线AD与平面AA1C1C所成角，解△AFD即可．【解答】解：取AC，A1C1的中点分别为E，H．∵直棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是正三角形，且AB=1，∴BE⊥AC，即可得到BE⊥面ACC1A1，过点D作DF⊥EH于F，则DF⊥面ACC1A1，连接FA，则∠DAF为直线AD与平面AA1C1C所成角，AF=，DF=，∴∴．故答案为：【点评】本题考查了空间线面角的求解，属于中档题．15．（4分）平面上一质点在运动过程中始终保持与点F（1，0）的距离和直线x=﹣1的距离相等，若质点接触不到过点P（﹣2，0）且斜率为k的直线，则k的取值范围是∪．【分析】由题意可得质点在抛物线上：y2=4x．过点P（﹣2，0）且斜率为k的直线方程为：y=k（x+2）．联立，化为：k2x2+（4k2﹣4）x+4k2=0，（k≠0）．根据质点接触不到过点P（﹣2，0）且斜率为k的直线，则△＜0，即可得出．【解答】解：由题意可得质点在抛物线上：y2=4x．过点P（﹣2，0）且斜率为k的直线方程为：y=k（x+2）．联立，化为：k2x2+（4k2﹣4）x+4k2=0，（k≠0）．∵质点接触不到过点P（﹣2，0）且斜率为k的直线，则△=（4k2﹣4）2﹣16k4＜0，化为：k2，解得k或k．∴k的取值范围是∪．故答案为：∪．【点评】本题考查了直线与抛物线的位置关系、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（共5小题，共60分）16．（12分）已知圆的方程x2+y2﹣2x+2y+m﹣3=0（m∈R）．（1）求m的取值范围；（2）若m=1，求圆截直线x﹣y﹣4=0所得弦的长度．【分析】（1）根据圆的一般方程的定义进行求解即可．（2）求出圆心和半径，结合直线的弦长公式进行计算．【解答】解：（1）由题意知D2+E2﹣4F=（﹣2）2+22﹣4（m﹣3）=﹣4m+20＞0，解得m＜5．…（4分）（2）当m=1时，由x2+y2﹣2x+2y﹣2=0得（x﹣1）2+（y+1）2=4，…（6分）所以圆心坐标为（1，﹣1），半径r=2，圆心到直线x﹣y﹣4=0的距离为d===，…（8分）所以弦长l=2=2=2…（10分）则弦长为2…（12分）【点评】本题主要考查圆的一般方程以及直线和圆相交时的弦长公式的计算，考查学生的计算能力．17．（12分）已知顶点为O的抛物线y2=2x与直线y=k（x﹣2）相交于不同的A，B两点．（1）求证：OA⊥OB；（2）当k=时，求△OAB的面积．【分析】（1）将直线AB的方程代入抛物线的方程，运用韦达定理和向量垂直的条件：数量积为0，即可得证；（2）分别求出点A，B的坐标，根据三角形的面积公式，即可求出．【解答】解：（1）证明：将直线y=k（x﹣2）代入抛物线的方程y2=2x，消去y可得，k2x2﹣（4k2+2）x+4k2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=4+，x1x2=4，y1y2=k2（x1﹣2）（x2﹣2）=k2[x1x2+4﹣2（x1+x2）]=k2（4+4﹣8﹣）=﹣4即有x1x2+y1y2=0，则•=0=0，即有OA⊥OB；（2）因为k=，由（1）可得x1=1，x2=4，代入直线方程可得y1=﹣，y2=2，∴A（1，﹣），B（4，2），∴|OA|==，|OB|==2，=•|OA|•|OB|=××2=3．∴S△OAB【点评】本题考查抛物线的方程和运用，考查直线和抛物线的方程联立，运用韦达定理和向量垂直的条件：数量积为0，属于中档题．18．（12分）如图，在多面体P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD=2AD=4，AB=2DC=2．（1）设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；（2）求三棱锥P﹣BCD的体积．【分析】（1）利用勾股定理逆定理证明BD⊥AD，根据面面垂直的性质可得BD ⊥平面PAD，故而平面MBD⊥平面PAD；（2）求出P到平面ABCD的高和△ABD的高，代入棱锥的体积公式计算即可．【解答】（1）证明：在△ABD中，∵BD=2AD=4，AB=2DC=2，∴AD2+BD2=AB2，∴AD⊥BD．又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面PAD，又BD⊂平面BDM，∴平面MBD⊥平面PAD．（2）解：过P作PO⊥AD，则O为AD的中点，∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD，即PO为四棱锥P﹣BCD的高．又△PAD是边长为2的等边三角形，∴PO=．在Rt△ABD中，斜边AB边上的高为=，又AB∥DC，∴△BCD的边CD上的高为．==2．∴S△BCD==．∴V P﹣BCD【点评】本题考查了面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．19．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AA1=1，E为BC的中点．（1）求证：C1D⊥D1E；（2）动点M满足（0＜λ＜1），使得BM∥平面AD1E，求λ的值；（3）若二面角B1﹣AE﹣D1的大小为90°，求线段AD的长．【分析】（1）以D为原点，建立的空间直角坐标系D﹣xyz，设AD=2a，=（0，﹣1，﹣1），=（a，1，﹣1），由此能证明C1D⊥D1E．（2）由动点M满足（0＜λ＜1），得M（2a，0，λ），连接BM，求出平面AD1E的法向量，利用向量法能法语出结果．（3）连接AB1，B1E，求出平面B1AE的法向量，利用向量法能求出AD．【解答】证明：（1）以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，设AD=2a，则D（0，0，0），A（2a，0，0），B（2a，1，0），A1（2a，0，1），C1（0，1，1），D1（0，0，1），B1（2a，1，1），E（a，1，0），∴=（0，﹣1，﹣1），=（a，1，﹣1），∴=0，∴C1D⊥D1E．…（3分）解：（2）由动点M满足（0＜λ＜1），使得BM∥平面AD1E，∴M（2a，0，λ），连接BM，∴=（0，﹣1，λ），=（﹣a，1，0），=（﹣2a，0，1），设平面AD1E的法向量为=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，a，2a），∵BM∥平面AD1E，∴⊥，即=﹣a+2λa=0，解得λ=．…（7分）（3）连接AB1，B1E，设平面B1AE的法向量为=（x，y，z），=（﹣a，1，0），=（0，1，1），则，取x=1，得=（1，a，﹣a），…（9分）∵二面角B1﹣AE﹣D1的大小为90°，∴⊥，∴=1+a2﹣2a2=0，∵a＞0，∴a=1，∴AD=2．…（12分）【点评】本题考查线线垂直的证明，考查满足线面平行的实数值的求法，考查满足二面角的棱长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20．（12分）椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，经过椭圆右焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得弦的长度为3．（1）求椭圆C的方程；（2）若斜率为k的直线l与椭圆C相交于A，B 两点（A，B不是左、右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．【分析】（1）根据椭圆的离心率及通径公式即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；（2）设直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可求得m=﹣k，则直线l的方程为y=k（x﹣），则直线过定点（，0）．【解答】解：（1）由题意可得e===，则=，由椭圆的通径=3，解得：a=2，b=，∴所求椭圆C的方程为；…（3分）（2）设直线AB：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），则，整理得：（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0，∵△＞0，∴3+4k2﹣m2＞0，x1+x2=﹣，x1x2=，∴y1y2=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=，（6分）∵以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，∴k AD•k BD=﹣1，∴y1y2+x1x2﹣2（x1+x2）+4=0，∴7m2+16mk+4k2=0，∴m1=﹣2k，m2=﹣k，且均满足3+4k2﹣m2＞0，（9分）当m1=﹣2k时，l的方程为y=k（x﹣2），则直线过定点（2，0）与已知矛盾，当m1=﹣k时，l的方程为y=k（x﹣），则直线过定点（，0）∴直线l过定点，定点坐标为（，0）．（12分）【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及向量坐标运算，考查转化思想，属于中档题．。
2020-2021天津市高二数学上期末试题(及答案)
2020-2021天津市高二数学上期末试题(及答案)一、选择题1．如图，一个边长为2的正方形里有一个月牙形的图案，为了估算这个月牙形图案的面积，向这个正方形里随机投入500粒芝麻，经过统计，落在月牙形图案内的芝麻有150粒，则这个月牙图案的面积约为（ ）A ．35B ．45C ．1D ．652．若执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为( )A ．10072015B ．10082017C ．10092019D ．101020213．如果数据12,,,n x x x 的平均数为x ，方差为28，则152x +，252x +，…，52n x +的平均数和方差分别为（ ）A ．x ，28B ．52x +，28C ．52x +，2258⨯D ．x ，2258⨯4．设A 为定圆C 圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点与A 2倍的概率（ ） A ．34B ．35C ．13D ．125．下列赋值语句正确的是( ) A ．s ＝a ＋1 B ．a ＋1＝s C ．s －1＝a D ．s －a ＝16．执行如图所示的程序框图，若输入的a ，b ，c 依次为()sin sin αα，()cos sin αα，()sin cos αα，其中,42ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭，则输出的x 为( )A ．()cos cos ααB ．()sin sin ααC ．()cos sin ααD ．()sin cos αα7．执行如图的程序框图，如果输出a 的值大于100，那么判断框内的条件为( )A ．5k <？B ．5k ≥？C ．6k <？D ．6k ≥？8．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设2AD BD =，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（ ）A ．14B ．13C ．17D ．4139．定义运算a b ⊗为执行如图所示的程序框图输出的S 值，则式子π2πtan cos 43⎛⎫⎛⎫⊗ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值是A ．－1B ．12C ．1D ．3210．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如40337=+.（注：如果一个大于1的整数除1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数.）在不超过11的素数中，随机选取2个不同的数，其和小于等于10的概率是（ ） A ．12B ．13C ．14D ．1511．小赵和小王约定在早上7:00至7:15之间到某公交站搭乘公交车去上学，已知在这段时间内，共有2班公交车到达该站，到站的时间分别为7:05，7:15，如果他们约定见车就搭乘，则小赵和小王恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率为（ ） A ．13B ．49C ．59D ．2312．执行如图的程序框图，若输出的4n =，则输入的整数p 的最小值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．15二、填空题13．将函数sin 23cos 2y x x =-的图象向左平移6π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则5()6g π__________.14．已知实数]9[1x ∈，，执行如图所示的流程图，则输出的x 不小于55的概率为________．15．我国传统的房屋建筑中，常会出现一些形状不同的窗棂，窗棂上雕刻有各种花纹，构成种类繁多的图案．如图所示的窗棂图案，是将半径为R 的圆六等分，分别以各等分点为圆心，以R 为半径画圆弧，在圆的内部构成的平面图形．现在向该圆形区域内的随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在黑色部分（忽略图中的白线）的概率是__________．16．现有编号为1，2，3，…，100的100把锁，利用中国剩余定理的原理设置开锁密码，规则为：将锁的编号依次除以3，5，7所得的三个余数作为该锁的开锁密码，这样，每把锁都有一个三位数字的开锁密码.例如，编号为52的锁所对应的开锁密码是123，开锁密码为232所对应的锁的编号是23.若一把锁的开锁密码为203，则这把锁的编号是__________．17．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出n的值为___________18．变量X与Y相对应的5组数据和变量U与V相对应的5组数据统计如表：X1011.311.812.513U1011.311.812.513 Y12345V54321用b1表示变量Y与X之间的回归系数，b2表示变量V与U之间的回归系数，则b1与b2的大小关系是___．19．一组样本数据按从小到大的顺序排列为：1-，0，4，x，y，14，已知这组数据的平均数与中位数均为5，则其方差为__________．20．执行如图所示的程序框图，若1ln2a=，22be=，ln22c=（其中e是自然对数的底），则输出的结果是__________．三、解答题21．某学校艺术专业300名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30)，[30，40)，…，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：(1)从总体的300名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50)内的人数；(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．22．某新上市的电子产品举行为期一个星期（7天）的促销活动，规定购买该电子产品可免费赠送礼品一份，随着促销活动的有效开展，第五天工作人员对前五天中参加活动的人数进行统计，y表示第x天参加该活动的人数，得到统计表格如下：x12345y46102322（1）若y与x具有线性相关关系，请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y bx a=+；（2）预测该星期最后一天参加该活动的人数（按四舍五入取到整数）．参考公式：()()()1122211n ni i i ii in ni ii ix x y y x y nx ybx x x n x====---⋅==--⋅∑∑∑∑，a y bx=-23．某中学随机抽取部分高一学生调査其每日自主安排学习的时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成如图所示的频率分布直方图，其中自主安排学习时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100].（1）求直方图中x的值；（2）现采用分层抽样的方式从每日自主安排学习时间不超过40分钟的学生中随机抽取6人，若从这6人中随机抽取2人进行详细的每日时间安排调查，求抽到的2人每日自主安排学习时间均不低于20分钟的概率.24．某医疗器械公司在全国共有100个销售点，总公司每年会根据每个销售点的年销量进行评价分析.规定每个销售点的年销售任务为一万四千台器械.根据这100个销售点的年销量绘制出如下的频率分布直方图.（1）完成年销售任务的销售点有多少个？（2）若用分层抽样的方法从这100个销售点中抽取容量为25的样本，求该五组[2,6)，=，[14,18)，[18,22)，（单位：千台）中每组分别应抽取的销[6,10)，____________售点数量.（3）在（2）的条件下，从该样本中完成年销售任务的销售点中随机选取2个，求这两个销售点不在同一组的概率.25．某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需要看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天40名读书者进行调查. 将他们的年龄分成6段：[)[)[)[)[)[)20,30,30,40,40.50,50,60,60,70,70,80，后得到如图所示的频率分布直方图，问：30,60的人数；（1）在40名读书者中年龄分布在[)（2）估计40名读书者年龄的平均数和中位数.26．某学校高一、高二、高三的三个年级学生人数如下表高三高二高一女生100150z男生300450600按年级分层抽样的方法评选优秀学生50人，其中高三有10人．（1）求z的值；（2）用分层抽样的方法在高一中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1名女生的概率；（3）用随机抽样的方法从高二女生中抽取8人,经检测她们的得分如下：9．4，8．6，9．2， 9．6，8．7，9．3，9．0，8．2，把这8人的得分看作一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0．5的概率．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】利用与面积有关的几何概型概率计算公式求解即可. 【详解】由题可知,正方形的面积为=22=4S ⨯正,设这个月牙图案的面积为S , 由与面积有关的几何概型概率计算公式可得,向这个正方形里随机投入芝麻,落在月牙形图案内的概率为150=4500S S P S ==正,解得65S =. 故选:D 【点睛】本题考查与面积有关的几何概型概率计算公式;属于基础题、常考题型.2．C解析：C 【解析】 【分析】首先确定流程图的功能为计数111113355720172019S =++++⨯⨯⨯⨯的值，然后利用裂项求和的方法即可求得最终结果. 【详解】由题意结合流程图可知流程图输出结果为111113355720172019S =++++⨯⨯⨯⨯，11(2)111(2)2(2)22n n n n n n n n +-⎛⎫=⨯=- ⎪+++⎝⎭，111113355720172019S ∴=++++⨯⨯⨯⨯11111111123355720172019⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1110091220192019⎛⎫=-=⎪⎝⎭. 本题选择C 选项. 【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路： (1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构． (2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题． (3)按照题目的要求完成解答并验证．3．C解析：C 【解析】根据平均数的概念，其平均数为52x +，方差为2258⨯，故选C.4．D解析：D 【解析】 【分析】先找出满足条件弦的长度超过2R 的图象的测度，再代入几何概型计算公式求解，即可得到答案． 【详解】根据题意可得，满足条件：“弦的长度超过2R 对应的弧”， 其构成的区域为半圆NP , 则弦长超过半径2倍的概率12NP P ==圆的周长，【点睛】本题主要考查了几何概型的概率计算中的“几何度量”，对于几何概型的“几何度量”可以线段的长度比、图形的面积比、几何体的体积比等，且这个“几何度量”只与“大小”有关，与形状和位置无关，着重考查了分析问题和解答问题的能力．5．A【解析】赋值语句的格式为“变量＝表达式”，“＝”的左侧只能是单个变量，B 、C 、D 都不正确．选A.6．C解析：C 【解析】 【分析】由框图可知程序的功能是输出三者中的最大者，比较大小即可. 【详解】由程序框图可知a 、b 、c 中的最大数用变量x 表示并输出， ∵,42ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭∴0cos α12sin α<<<<， 又()y xsin α=在R 上为减函数，y sin x α=在()0∞+，上为增函数， ∴()sin sin αα＜()cos sin αα，()sin cos αα＜()sin sin αα故最大值为()cos sin αα，输出的x 为()cos sin αα故选：C 【点睛】本题主要考查了选择结构．算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．7．C解析：C 【解析】 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【详解】由题意，模拟程序的运算，可得k 1=，a 1=满足判断框内的条件，执行循环体，a 6=，k 3= 满足判断框内的条件，执行循环体，a 33=，k 5= 满足判断框内的条件，执行循环体，a 170=，k 7=此时，不满足判断框内的条件，退出循环，输出a 的值为170． 则分析各个选项可得程序中判断框内的“条件”应为k 6<？ 故选：C ．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8．C解析：C 【解析】 【分析】由题意求出AB =，所求概率即为DEF ABCS P S=，即可得解.【详解】由题意易知120ADB ∠=，AF FD BD ==，由余弦定理得22222cos1207AB AD BD AD BD BD =+-⋅⋅=即AB =，所以AB =，则所求概率为217DEF ABCSFD P SAB ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查了几何概型概率的求法和余弦定理的应用，属于中档题.9．D解析：D 【解析】 【分析】由已知的程序框图可知，本程序的功能是:计算并输出分段函数()(),1,a a b a b S b a a b ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩的值，由此计算可得结论. 【详解】由已知的程序框图可知:本程序的功能是:计算并输出分段函数()(),1,a a b a bS b a a b ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩的值，可得2tan cos 43ππ⎛⎫⎛⎫⊗ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭112⎛⎫=⊗- ⎪⎝⎭， 因为112>-， 所以，113111222⎛⎫⎛⎫⊗-=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选D. 【点睛】本题主要考查条件语句以及算法的应用，属于中档题 .算法是新课标高考的一大热点，其中算法的交汇性问题已成为高考的一大亮，这类问题常常与函数、数列、不等式等交汇自然，很好地考查考生的信息处理能力及综合运用知识解决问題的能力，解决算法的交汇性问题的方：（1）读懂程序框图、明确交汇知识，(2）根据给出问题与程序框图处理问题即可.10．A解析：A 【解析】 【分析】先列出不超过11的素数,再列举出随机选取2个不同的数的情况,进而找到和小于等于10的情况,即可求解 【详解】不超过11的素数有:2,3,5,7,11,共有5个, 随机选取2个不同的数可能为:()2,3,()2,5,()2,7,()2,11,()3,5,()3,7,()3,11,()5,7,()5,11,()7,11,共有10种情况, 其中和小于等于10的有:()2,3,()2,5,()2,7,()3,5,()3,7,共有5种情况, 则概率为51102P , 故选:A 【点睛】本题考查列举法求古典概型的概率,属于基础题11．C解析：C 【解析】 【分析】设小赵到达汽车站的时刻为x ，小王到达汽车站的时刻为y ，根据条件建立二元一次不等式组，求出对应的区域面积，结合几何概型的概率公式进行计算即可． 【详解】如图，设小赵到达汽车站的时刻为x ，小王到达汽车站的时刻为y ， 则0≤x≤15，0≤y≤15，两人到达汽车站的时刻（x ，y ）所对应的区域在平面直角坐标系中画出（如图所示）是大正方形．将2班车到站的时刻在图形中画出，则两人要想乘同一班车， 必须满足{（x ，y ）|0505x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，或515515x y ≤⎧⎨≤⎩＜＜}，即（x ，y ）必须落在图形中的2个带阴影的小正方形内，则阴影部分的面积S=5×5+10×10=125， 则小赵和小王恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率P=1251515⨯=59， 故选：C 【点睛】本题主要考查几何概型的概率公式的应用，根据条件求出对应区域的面积是解决本题的关键．12．A解析：A 【解析】 【分析】列举出算法的每一步循环，根据算法输出结果计算出实数p 的取值范围，于此可得出整数p 的最小值. 【详解】0S p =<满足条件，执行第一次循环，0021S =+=，112n =+=； 1S p =<满足条件，执行第二次循环，1123S =+=，213n =+=； 3S p =<满足条件，执行第二次循环，2327S =+=，314n =+=. 7S p =<满足条件，调出循环体，输出n 的值为4.由上可知，37p <≤，因此，输入的整数p 的最小值是4，故选A. 【点睛】本题考查算法框图的应用，解这类问题，通常列出每一次循环，找出其规律，进而对问题进行解答，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.二、填空题13．【解析】【分析】先利用辅助角公式将函数的解析式化简根据三角函数的变化规律求出函数的解析式即可计算出的值【详解】由题意可得因此故答案为【点睛】本题考查辅助角公式化简三角函数图象变换在三角图象相位变换的 解析：3【解析】 【分析】先利用辅助角公式将函数sin 22y x x =-的解析式化简，根据三角函数的变化规律求出函数()y g x =的解析式，即可计算出56g π⎛⎫⎪⎝⎭的值． 【详解】sin 222sin 23y x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，由题意可得()2sin 22sin 263g x x x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，因此，5552sin 22sin 2sin 22sin 66333g ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯==-=-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为 【点睛】本题考查辅助角公式化简、三角函数图象变换，在三角图象相位变换的问题中，首先应该将三角函数的解析式化为()()sin 0y A x b ωϕω=++≠（或()()cos 0y A x b ωϕω=++≠）的形式，其次要注意左加右减指的是在自变量x 上进行加减，考查计算能力，属于中等题．14．【解析】设实数x∈19经过第一次循环得到x=2x+1n=2经过第二循环得到x=2(2x+1)+1n=3经过第三次循环得到x=22(2x+1)+1+1n=4此时输出x 输出的值为8x+7令8x+7⩾55 解析：38【解析】 设实数x ∈[1,9]，经过第一次循环得到x =2x +1，n =2， 经过第二循环得到x =2(2x +1)+1，n =3，经过第三次循环得到x =2[2(2x +1)+1]+1，n =4此时输出x ， 输出的值为8x +7， 令8x +7⩾55，得x ⩾6，由几何概型得到输出的x 不小于55的概率为963918P -==-. 故答案为38. 15．【解析】∵阴影部分面积为∴飞镖落在黑色部分的概率为故答案为点睛：（1）当试验的结果构成的区域为长度面积体积等时应考虑使用几何概型求解；（2）利用几何概型求概率时关键是试验的全部结果构成的区域和事件发解析：2π-【解析】∵阴影部分面积为221112622R R π⎛⎫⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭∴飞镖落在黑色部分的概率为22422R R ππ-=故答案为2 点睛：（1）当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解；（2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域；（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．16．80【解析】【分析】本道题一一列举把满足条件的编号一一排除即可【详解】该数可以表示为故该数一定是5的倍数所以5的倍数有5101520253035404550556065707580859095100解析：80 【解析】 【分析】本道题一一列举，把满足条件的编号一一排除，即可． 【详解】该数可以表示为32,5,73k m n ++，故该数一定是5的倍数，所以5的倍数有5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,60,65,70,75,80,85,90,95,100，该数满足减去3能够被7整除，只有10,45,80，而同时要满足减去2被3整除，所以只有80. 【点睛】本道题考查了列举法计算锁编号问题，难度一般．17．4【解析】由程序框图可知：S=2=0+（﹣1）1×1+（﹣1）2×2+（﹣1）3×3+（﹣1）4×4因此当n=4时满足判断框的条件故跳出循环程序故输出的n 的值为4故答案为4解析：4 【解析】由程序框图可知：S=2=0+（﹣1）1×1+（﹣1）2×2+（﹣1）3×3+（﹣1）4×4， 因此当n=4时，满足判断框的条件，故跳出循环程序． 故输出的n 的值为4． 故答案为4．18．【解析】分析：根据回归系数几何意义得详解：因为Y 与X 之间正增长所以因为V 与U 之间负增长所以因此点睛：函数关系是一种确定的关系相关关系是一种非确定的关系事实上函数关系是两个非随机变量的关系而相关关系是解析：12b b >. 【解析】分析：根据回归系数几何意义得120b b >> 详解：因为Y 与X 之间正增长，所以10b > 因为V 与U 之间负增长，所以20b < 因此120b b >>，点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求,a b ，写出回归方程，回归直线方程恒过点(,)x y .b 的正负，决定正相关与负相关.19．【解析】分析：根据中位数为求出是代入平均数公式可求出从而可得出平均数代入方差公式得到方差详解中位数为这组数据的平均数是可得这组数据的方差是故答案为点睛：本题主要考查平均数与方差属于中档题样本数据的算 解析：743【解析】分析：根据1,0,4,,,14x y -中位数为5，，求出x 是6 ，代入平均数公式，可求出7y =，从而可得出平均数，代入方差公式，得到方差.详解1,0,4,,7,14x -中位数为45,52x+∴=，6x ∴=，∴这组数据的平均数是10461456y -+++++=，7y =可得这组数据的方差是()17436251148163+++++=，故答案为743. 点睛：本题主要考查平均数与方差，属于中档题.样本数据的算术平均数公式为12n 1(x +x +...+x )x n=．样本方差2222121[()()...()]n s x x x x x x n =-+-++-，标准差s =20．（注：填也得分）【解析】分析：执行如图所示的程序框图可知该程序的功能是输出三个数的大小之中位于中间的数的数值再根据指数函数与对数函数的性质得到即可得到输出结果详解：由题意执行如图所示的程序框图可知该解析：ln 22（注：填c 也得分）. 【解析】分析：执行如图所示的程序框图可知，该程序的功能是输出,,a b c 三个数的大小之中，位于中间的数的数值，再根据指数函数与对数函数的性质，得到b c a <<，即可得到输出结果.详解：由题意，执行如图所示的程序框图可知，该程序的功能是输出,,a b c 三个数的大小之中，位于中间的数的数值， 因为212ln 2,,ln 22a b c e ===，则221ln 21132ln 2e <<<<，即b c a <<， 所以此时输出ln 22c =. 点睛：识别算法框图和完善算法框图是近年高考的重点和热点．解决这类问题：首先，要明确算法框图中的顺序结构、条件结构和循环结构；第二，要识别运行算法框图，理解框图解决的问题；第三，按照框图的要求一步一步进行循环，直到跳出循环体输出结果，完成解答．近年框图问题考查很活，常把框图的考查与函数和数列等知识考查相结合．三、解答题21．（1）0.4 （2）15人 （3）3∶2 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图求出样本中分数小于70的频率，用频率估计概率值； （2）计算样本中分数小于50的频率和频数，估计总体中分数在区间[40，50)内的人数； （3）由题意计算样本中分数不小于70的学生人数以及男生、女生人数，求男生和女生人数的比例． 【详解】解：（1）根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.02＋0.04)×10＝0.6，所以样本中分数小于70的频率为1－0.6＝0.4．所以从总体的300名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计值为0.4． （2）根据题意，样本中分数不小于50的频率为 (0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9， 故样本中分数小于50的频率为0.1，故分数在区间[40，50)内的人数为100×0.1－5＝5． 所以总体中分数在区间[40，50)内的人数估计为530015100⨯=． （3）由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为 (0.02＋0.04)×10×100＝60，所以样本中分数不小于70的男生人数为160302⨯=．所以样本中的男生人数为30×2＝60， 女生人数为100－60＝40，男生和女生人数的比例为60∶40＝3∶2．所以根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为3∶2． 【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了分层抽样原理应用问题，属于中档题． 22．（1） 5.3 2.9y x =-（2）34 【解析】 【分析】（1）利用最小二乘法求y 关于x 的线性回归方程 5.3 2.9y x =-；（2）将7x =代入5.3 2.9y x =-中得解.【详解】解：（1）根据表中的数据， 可得()11234535x =++++=，()146102322135y =++++=， 则()()()51521iii ii x x y y b x x ==--=-∑∑()()()()()()()()()()()()()()()2222213413236133310134323135322131323334353--+--+--+--+--=-+-+-+-+- 5.3=，又由13 5.33 2.9a =-⨯=-，故所求回归直线方程为 5.3 2.9y x =-．（2）将7x =代入 5.3 2.9y x =-中，求得 5.37 2.934.234y =⨯-=≈， 故预测最后一天参加该活动的人数34． 【点睛】本题主要考查最小二乘法求线性回归方程，考查回归方程的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 23．（1）0.0125；（2）25. 【解析】 【分析】（1）利用直方图矩形的面积的和为1，直接求解x 即可.（2）求出基本事件的总数以及符合条件的基本事件的个数，即可求解. 【详解】（1）由直方图可得：20×x +0.025×20+0.0065×20+0.003×2×20＝1. 所以 x ＝0.0125.（2）由题意知：[0，20）有2人，设为1，2，[20，40）有4人，设为a ，b ，c ，d ； 则基本事件有：12，1a ，1b ，1c ，1d ，2a ，2b ，2c ，2d ，ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd 共15种抽到的2人每日自主安排学习时间均不低于20分钟的包括：ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd 共6种.所以抽到的2人每日自主安排学习时间均不低于20分钟的概率P 62155==. 【点睛】本题考查了直方图，考查古典概率的求值，是一道中档题. 24．（1）24；（2）见解析；（3）35【解析】 【分析】（1）由频率之和等于1，列出方程()0.020.080.09241a +++⨯=，求解即可；（2）各组应抽取的销售点数量比例为2:8:9:3:3，按比例计算即可；（3）完成年销售任务的销售点，[)14,18中有3个，[)18,22中有3个，不在一组的基本事件有9个，所有的基本事件有15个，即可得到概率为93155=。
天津市部分区2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题含答案
天津市部分区2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题第I 卷（共％分）一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的•1.在空间直角坐标系中,已知点A （2,—l,3）, 3（71,-1）,则线段AB 的中点坐标是（ ）C. (3,0,1)D. (―1 丄1)2.准线为x = 2的抛物线的标准方程方程是（3•经过4（2,1）, B （0,—3）两点的直线方程为（ A. 2x-y-3 = 04.在等比数列｛陽｝中,為=24 , % = 6,则6 = <7.《莱茵徳纸草书》是世界上最古老 数学箸作之一•书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人, 使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的*是较小的两份之和，则最小的一份为（ ）5 10 5 11 A. 一B. —C. 一D.—3366&已知F 为双曲线G 冷—亠=1（G >0, Z?>0）的右焦点，A 为C 的左顶点，B 为C 上的点,且 cr 垂直于皿•若直线AB 的倾斜角列，则Q 的离心率炉）A. (-1,0,2)A. x 2= 8yC.D. y2=_8xB.C. x-2y-3 = 0D. x+2y —3=0A. 12B.-12C.±12D. 155・焦点在x 轴上 椭圆的长轴长为4,离心率为*,则该椭圆的标准方程为27B. 乂+ 二=116 4C. —+ /=146.已知圆方程为兀‘+ y ，-2x + 2y+ = 0 , 则实数加的取值范围是（A. m > 2B. m>2C. m<2D. in <2A. y/3B.2C. 3D. y/59.定义：两条异而直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值•在长方体ABCD-A.B^D,中，AB = 1, BC = 2, AA｝=3,则异面直线AC与之间的距离是()A.迈B. ◎C.迈D.-5 76 7第II卷(共84分)二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.试题中包含两个空的，每个空2分.10.已知圆 G： x2 + /+2x + 8y-8 = 0,圆 C?： x2 + /-4x-4y-2 = 0 ,则圆 G 与圆 C?的位垃关系是_____________ .11.记S”为等差数列｛厲｝的前"项和，若\ = n2 (neN*),则购二___________________ •12.经过点人(3,-1),并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程为_________________ ■13.已知空间向=(1,0,1), ^=(2,-1,2),则向量5在向量&上的投影向量是_________________________ •14.已知数列｛"”｝的首项q=2,且满足“”+|=3冷+ 2(neN*)>贝“｛"”｝的前"项和S” = __________ •15.已知A, B两点坐标分别是(-2,0), (2,0),直线血，3M相交于点M,且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是4,则点M的轨迹方程为_________________ -三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.已知等比数列｛厲｝满足“2=6, 6®+佝=30.(I)求｛©｝通项公式：2(II)若a t>2f设化(W eN* X记数列｛®｝的前川项和为S“,求S-17.已知圆C与直线2x+y = 4相切于点4(1,2),并且圆心在直线V二一尤上，求圆C的方程.18.如图，在四而体ABCD中，丄AC, AQ丄平而ABC，点M为棱A3的中点，AB = AC = 2,AD = y/3 ・（I）求直线3C与MD所成角的余弦值：（II）求平^ABD和平而BDC的夹角的余弦值.19.已知椭圆E：二+匚=1 （a>b>0）的焦距为2JJ，且离心率为迺.cr 次 2（I）求E的方程：（II）若直线y = l<x + l（k>〔）与E相交于人B两点，A/为£的左顶点，且满足％丄MB,求化220.已知等差数列匕｝的前"项和为S“，S4 = 4S2, a2n = 2a rl +1 （,? e N*）•（I）求｛©｝的通项公式；4M・b（H）设数列他｝满足勺+3$+…+ （2〃一1）化=n（m2）,记数列］（一1『——的前“项和为「 w "訂 + 1•求人・天津市部分区2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题答案第I 卷(共％分)一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的•1.在空间直角坐标系中,已知点人(2,—1,3),C. (3,0,1)D. (―1 丄1)【答案】B2.准线为x = 2的抛物线的标准方程方程是(【答案】D 3•经过4(2,1), B(0,—3)两点的直线方程为 A. 2x-y-3 = 0【答案】A4.在等比数列｛a n ｝中，a 4 = 24 9 «6 = 6,则①=<【答案】C【答案】C 7.《莱茵徳纸草书》是世界上最古老 数学著作之一•书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人,使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的*是较小的两份之和，则最小的一份为（ ）5“ 10厂 5小 11则线段AB 的中点坐标是()A. (-1,0,2)A. x 2=SyB. x 2=C.D.『2=_&丫B.C. x-2y-3 = 0D. 兀+ 2.y — 3 = 0A. 12B.-12C.±12D. 155.焦点在x 轴上 椭圆的长轴长为4,离心率为则该椭圆的标准方程为A . 乂+工=14 3° T6+T2=，【答案】A6.已知圆 方程为+ y 2—2x + 2y + m = 0 , 则实数加的取值范围是(A. m > 2B. m>2C. m<2D. in <2A. -B. —C. 一D.—3 3 6 6【答案】Ax2 y2&已知F为双曲线G —--r = l（G>o, /?>0）的右焦点，A为C的左顶点，B为C上的点,且（C Zr垂直于x轴•若直线AB的倾斜角为丄，则C的离心率为（）4A.命B.2C. 3D. y/5【答案】B9.泄义：两条异而直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值•在长方体ABCD-A.B^D,中，AB = 1, BC = 2, AA t =3,则异面直线AC与BG之间的距离是（）A.迈B. ◎C.逅D.-5 76 7【答案】D第II卷（共84分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.试题中包含两个空的，每个空2分.10.已知圆 G： F + y2+2x + 8y_8 = 0,圆 C2： x2 + y2-4x-4y-2 = 0,则圆 G 与圆 C?的位垃关系是_____________ .【答案】相交11.记»为等差数列｛%｝的前介项和,若S n=n2（neN*），则他= ____________________ •【答案】1712.经过点A（3,-1）,并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程为 ______________ .2 2【答案】—=18 813.已知空间向量"=（1,0,1）, /?=（2,—1,2）,则向量乙在向量Q上的投影向量是______________ . 【答案】（2,0,2）14.已知数列匕｝的首项勺=2,且满足昭］=3^ + 2 （心2）,则｛%｝的前川项和S”= ___________ • 【答案】l(3n+,-3)-zz15. 已知A, B 两点 坐标分别是(-2,0), (2,0),直线血，相交于点M,且直线AM 的斜率与直 线的斜率的差是4,则点M 的轨迹方程为 ____________________ - 【答案】y = 4-x 2(XH ±2)三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 已知等比数列｛%｝满足«2=6, &勺+他=30. (I) 求｛©｝通项公式：2(II) 若q>2,设久=_" 5eN'),记数列｛仇｝的前川项和为S"求S“・【答案】(I)a …=2x3"-1或© =3x2"“；(II) S” =(“ —1)x2^+2.17. 已知圆C 与直线2x+y = 4相切于点4(1,2),并且圆心在直线$二一X 上，求圆C 的方程. 【答案】(x + l)2+(y — l)2=5.18•如图，在四而体ABCD 中，丄AC ，AD 丄平而ABC,点M 为棱A3的中点，AB = AC = 2,【答案】(【)(II)迥.4 10(I )求E 的方程：(H)若直线y = kx + l (^>1)与E 相交于儿B 两点，M 为E 的左顶点，且满足％丄MB,求化【答案】(I )求直线与MD 所成角的余弦值; (II)求平而血和平而BDC 的夹角的余弦值.20.已知等差数列｛勺｝的前n项和为S”，S4=452, a2n=2a n + l (“!<)・(I )求｛%｝的通项公式：(II)设数列｛®｝满足勺+3仇+求：【答案】(I ) ^=2n-l： (II) 5丘2),记数列((-1)"也％In一2川 + 1 =，2“ + 2"2/1 + 1。
天津市2020学年高二数学上学期期末考试试题(含解析)
高二数学上学期期末考试试题（含解析）本试卷分为第I 卷（选择题）、第II 卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟。
第I 卷 第1页，第II 卷第2页.考生务必将答案涂写规定的位置上，答在试卷上的无效. 祝各位考生考试顺利!第I 卷一、选择题：（每题3分）1.命题“0x R ∃∈，2450x x ++>”的否定是（ ） A. 0x R ∃∈，2450x x ++> B. 0x R ∃∈，2450x x ++≤ C. x R ∀∈，2450x x ++> D. x R ∀∈，2450x x ++≤【答案】D 【解析】 【分析】直接利用命题的否定定义得到答案.【详解】命题“0x R ∃∈，2450x x ++>”的否定是：x R ∀∈，2450x x ++≤ 故选D【点睛】本题考查了命题的否定，意在考查学生对于命题否定的掌握情况.2.复数2(1)12i i i-+（i 为虚数单位）等于（）A. 1355i -B.1355i + C. 3155i -D. 3155i +【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的四则运算，化简2(1)131255i i i i -=++ ，即可求解．【详解】由题意，根据复数的运算可得复数2(1)(1)(12)1313125555i i i i i i i --+-+===++，故选B ．【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，其中解答中熟记复数的四则运算法则，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．3.设a 是不为零的实数，则“2a <且0a ≠”是“抛物线24y ax =的焦点在点()1,0的左侧”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】计算抛物线24y ax =的焦点在点()1,0的左侧等价于1a <且0a ≠，根据范围大小得到答案.【详解】抛物线24y ax =的焦点为(),0a 在点()1,0的左侧，等价于1a <且0a ≠2a <且0a ≠是1a <且0a ≠的必要不充分条件故选：B【点睛】本题考查了必要不充分条件，意在考查学生的推断能力.4.已知椭圆221x my +=的焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m =（ ） B. 2C.14D. 4【答案】D 【解析】 【分析】计算得到长轴长为22a =短轴长为2b =，根据数量关系计算得到答案. 【详解】椭圆221x my +=的焦点在x 轴，故长轴长为22a =短轴长为2b = 14m =∴= 故选：D【点睛】本题考查了椭圆的长轴和短轴的计算，意在考查学生的计算能力.5.已知双曲线方程为224x y -=，过点()3,1A 作直线l 与该双曲线交于M ，N 两点，若点A恰好为MN 中点，则直线l 的方程为（ ） A. 38y x =-B. 38y x =-+C. 310y x =-D.310y x =-+【答案】A 【解析】 【分析】先设11(,)M x y ，22(,)N x y ，由题意得到22114-=x y ，22224-=x y ，两式作差整理，结合题意，求出直线斜率，即可得出直线方程.【详解】设11(,)M x y ，22(,)N x y ，由题意可得：2211222244x y x y ⎧-=⎨-=⎩，两式作差可得：22221212=--y x x y ，即12121212()()()()=+-+-y y x x x x y y ，又点()3,1A 恰好为MN 中点，所以直线l 的斜率为：1212121223321==-+⨯==-+⨯y x x y k y x x y ，因此，直线l 的方程为：13(3)y x -=-，即38y x =-. 故选A【点睛】本题主要考查双曲线中点弦所在直线方程问题，熟记双曲线的几何性质与直线的斜率公式即可，属于常考题型.6.若点O 和点F 分别为椭圆22195x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP ⋅的最大值为（ ）A.114B. 3C. 15D. 59【答案】C 【解析】 【分析】设()3cos P αα，则23114cos 44OP FP α⋅=⎛⎫++ ⎪⎝⎭，根据函数的最值得到答案. 【详解】点O 和点F 分别为椭圆22195x y +=的中心和左焦点，则()()0,02,0O F -设()3cos P αα则()()223cos 3cos 9cos 6cos 5sin OP FP ααααααα+=+⋅+=223114cos 6cos 54cos 44ααα⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，当cos 1α=时，函数有最大值为15故选：C【点睛】本题考查了椭圆的参数方程，向量数量积的最值，意在考查学生的计算能力.7.双曲线2212:14x y C b-=(0)b >的渐近线与抛物线22:2C x py =()0p >相交于O ，A ，B ，若OAB ∆的垂心为2C 的焦点，则b =（ ） A. 2 B. 3【答案】C 【解析】 【分析】设:,:22b bOA y x OB y x =-=，解得2,2b p A pb ⎛⎫- ⎪⎝⎭2,2b p B pb ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据AF OB ⊥计算得到答案.【详解】设:,:22b b OA y x OB y x =-=，则222x pyb y x⎧=⎪⎨=-⎪⎩解得：2,2b p A pb ⎛⎫- ⎪⎝⎭，同理2,2b p B pb ⎛⎫⎪⎝⎭0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭ ，根据AF OB ⊥得到22,,0222b b p b p pb pb ⎛⎫⎛⎫-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得b =故选：C【点睛】本题考查了双曲线和抛物线的综合题型，意在考查学生的计算能力.8.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>右支与焦点为F 的抛物线22x py =(0)p >交于A ，B 两点，若||||4||AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A. y =±B. 13y x =±C. y x =D.12y x =±【答案】C 【解析】 【分析】联立方程得到21222pb y y a +=，计算22|||2|4||pb F F a B O p A F +=+=得到2212b a =，计算得到答案.【详解】联立方程222222122222122102x y y ppb y y y a bb a a x py⎧-=⎪∴-+=∴+=⎨⎪=⎩2212221||||4||222pb y y p p a b AF BF OF p a +=∴+=++===，故渐近线为2y x =± 故选：C【点睛】本题考查了双曲线的渐近线问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.第Ⅱ卷二、填空题：（每题4分） 9.已知复数2a iz i-=+（i 为虚数单位，a 为实数)为纯虚数，则|2|a i +=_____________.. 【解析】 【分析】化简得到()2125a a i z --+=，计算12a =，代入计算模长得到答案.【详解】()()()()()22122225a i i a a i a i z i i i -⋅---+-===++⋅-为纯虚数，故12a =1|2||2|2a i i +=+=【点睛】本题考查了复数的化简，复数模的计算，意在考查学生的计算能力.10.若1F ，2F 为双曲线22:14xC y -=(0,0)a b >>的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，若12120F PF ∠=︒，则P 到x 轴的距离为_____________．【答案】15. 【解析】 【分析】根据余弦定理得到120163PF PF =+⋅，计算143PF PF ⋅=，再利用面积公式得到 1112sin12022ch PF PF ⨯=⋅︒，计算得到答案. 【详解】根据余弦定理得到：()2222121212121212cos120203163F F PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF =+-︒∴=-+⋅=+⋅故143PF PF ⋅=1212112sin12022PF F S ch PF PF h ∆=⨯=⋅︒==故答案为：15【点睛】本题考查了双曲线面积相关问题，利用等面积法可以简化运算，是解题的关键. 11.已知直线:4380l x y -+=，抛物线2:4C y x =图像上的一动点到直线l 与它到抛物线准线距离之和的最小值为______________． 【答案】125【解析】【分析】计算焦点为()1,0，根据抛物线性质得到最小值为焦点到直线的距离，利用点到直线的距离公式计算得到答案.【详解】抛物线2:4C y x =焦点为()1,0抛物线上动点到直线l 与它到抛物线准线距离之和等于点到直线l 和点到焦点的距离和 最小值为焦点到直线的距离481255d +== 故答案为：125【点睛】本题考查了抛物线的最值问题，转化为点到直线的距离是解题的关键.12.已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为1F ，2F ，以线段12F F 为直径的圆与椭圆交于点,55P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，则椭圆的方程为__________________．【答案】22194x y +=.【解析】 【分析】根据PO c ==，和122PF PF a +=得到椭圆方程.【详解】根据题意知：PO c ===，故())12F F12426232PF PF a a b +=+==∴=∴= 椭圆的方程为22194x y +=故答案为：22194x y +=【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，意在考查学生的计算能力和转换能力.13.已知双曲线()2222:10x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 与圆222x y a +=相切于点T ，且直线l 与双曲线C 的右支交于点P ，若113F P FT =，则双曲线C的离心率为________． 【答案】132【解析】 【分析】画出图像,根据线段成比例的性质与双曲线的定义进行列式求解出,,a b c 的关系,再化简求得离心率即可.【详解】如图,由题可知,则12OF OF c +=,OT a =,则1FT b =,又113F P FT =, 12,3TP b F P b ∴==,又1222,32PF PF a PF b a ==--作2//F M OT ,可得22,F M a TM b ==.则PM b =. 在2MPF 中,22222PM MF PF +=；即()()222232b a b a +=-, 得23b a =,又222c a b =+.化简可得22413c a =,13e ∴=,双曲线的离心率为13 .13【点睛】本题主要考查了双曲线的几何意义以及离心率的求解方法等,需要画图分析其中的关系进行列式求解,属于中等题型.14.如图，过抛物线22y px =(0)p >的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若||2||BC BF =且||4AF =，则此抛物线的方程为___________________．【答案】2(842)y x =-. 【解析】 【分析】如图所示：过点A 作AM 垂直于准线于M ，过点B 作BN 垂直于准线于N ，根据相似得到(22BN p BF ==，()222BC p =，2CF =，在利用相似得到CF PFAC AM=，计算得到答案.【详解】如图所示：过点A 作AM 垂直于准线于M ，过点B 作BN 垂直于准线于N(2||2|2221BC BF BN PF p BF =∴===+故()222BC p =，2CF = 2422424CF PF pp AC AM p =∴=∴=-+故抛物线方程为：2(82)y x =- 故答案为：2(82)y x =-【点睛】本题考查了抛物线方程，利用相似可以简化运算，是解题的关键. 三、解答题：（共52分）15.已知命题p ：方程22113x yt t +=+-所表示的曲线为焦点在x 轴上的双曲线；命题q ：实数t满足不等式2(1)0t a t a ---<．（1）若命题p 为真，求实数t 的取值范围；（2）若命题p 是命题q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）13t -<<；（2）3a > 【解析】 【分析】（1）根据题意得到1030t t +>⎧⎨-<⎩，计算得到答案.（2）根据充分不必要条件得到范围的大小关系，计算得到答案.【详解】（1）方程22113x y t t +=+-所表示的曲线为焦点在x 轴上的双曲线，故101330t t t +>⎧∴-<<⎨-<⎩， （2）命题q ：实数t 满足不等式2(1)0t a t a ---<．故(1)()0t t a +⋅-<命题p 是命题q的充分不必要条件，则13a a >-⎧⎨>⎩3a ∴>【点睛】本题考查了根据命题的真假和充分不必要条件计算参数，抓住范围的大小关系是解题的关键.16.已知椭圆22:143x y C +=，1F ，2F 分别为椭圆的左右焦点，P 为椭圆上任意一点（1）若211PF PF -=，求12PFF ∆的面积； （2）是否存在着直线l ，使得当l 经过椭圆左顶点A 且与椭圆相交于点B ，点D 与点B 关于x轴对称，满足207OB OD ⋅=-，若存在，请求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）32；（2）1k =±或34k =±，理由见解析.【解析】 【分析】（1）联立方程解得152PF =，232PF =，122F F =，判断为直角三角形，再利用面积公式计算得到答案.（2）联立方程计算2226812,4343k k B k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭2226812,4343k k D k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，根据207OB OD ⋅=-计算得到答案.【详解】（1）121241PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩∴152PF =，232PF =，122F F = 2221212PF PF F F =+212PF F F ∴⊥122121322PF F S PF F F ∆∴=⋅= （2）设()222:143y k x l x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩故()2222431616120k x k x k +++-=22161243A B k x x k -⋅=+且2A x =-，226843B k x k -=+ 2226812,4343k k B k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭故2226812,4343k k D k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭()()2242222222144684364240362074343k k k OB OD k k k k ⎛⎫-+⋅=-==- ⎪⎝⎭+-++ 即42162590k k -+=故()()2211690k k -⋅-=1k ∴=±或34k =±【点睛】本题考查了面积和椭圆与直线的位置关系，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.17.已知曲线E 上任意一点P 到点()2,0F 的距离与它到直线:2l x =-的距离相等，若过F 的两条直线1l ，2l 的斜率之积为1，且1l ，2l 分别交曲线E 于A ，B 两点和C ，D 两点， （1）求曲线E的方程；（2）求||||AB CD +的最小值. 【答案】（1）28y x =；（2）32. 【解析】 【分析】（1）直接利用抛物线定义得到答案.（2）设AB 方程为(2)(0)y k x k =-≠，联立方程计算得到28||8AB k =+，288CD k =+'，利用均值不等式计算得到答案.【详解】（1）根据抛物线的定义知：28y x = （2）设AB 方程为(2)(0)y k x k =-≠，2(2)(0)8y k x k y x =-≠⎧⎨=⎩，()22224848k x k x k x -++=()2641k ∆=+，22218||88k AB k k +==⋅=+， 设CD 方程为(2)y k x '=-同理2221888k CD k k '+=⋅=+'' 2211||||168AB CD k k ⎛⎫+=++ ⎪'⎝⎭16832≥+⋅=当1k k '==±时等号成立【点睛】本题考查了轨迹方程，弦长的最值问题，意在考查学生的计算能力.18.已知椭圆方程C 为：22221x y a b+=()0a b >>椭圆的右焦点为)，离心率为3e =，直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，且1OA OB k k ⋅= （1）椭圆的方程；（2）求AOB ∆的面积的最大值.（3）若椭圆的右顶点为D ，上顶点为E ，经过原点的直线与椭圆交于P ，Q 两点，该直线与直线DE 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限.若EMP ∆的面积是EPQ ∆面积的2倍，求该直线方程．【答案】（1）22194x y +=；（2）3；（3）12y x =-. 【解析】 【分析】（1）直接计算得到答案.（2）联立方程利用韦达定理得到||AB =，o AB d-=，计算得到AOB S ∆==利用均值不等式得到答案. （3）联立方程得到223m x k =+，p x =，代入计算得到答案.【详解】（1）根据题意知：25C =，29a =，24b =故22194x y +=（2）联立方程22194x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩则()22294189360k x kmx m +++-=()22122212249494189493694k m km x x k m x x k ⎧∆=⨯⨯+-⎪⎪⎪+=-⎨+⎪⎪-⋅=⎪+⎩||AB =o AB d -=26||94AOBm S k ∆=+221212121212()1OA OBy y k x x km x x m k k x x x x +++∴⋅===2253636m k ∴=-AOB S ∆=26||94AOBm S k ∆=+==3653512=≤⨯=，249k =式等号成立. （3）须：2EMP EPQ S S ∆∆=只需：41PM OP =只需：||2||1PM PQ =只需：5m p x x = 设：:(0)2:23l y kx k DE y x =<⎧⎪⎨=-+⎪⎩223m x k ∴=+203k ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭22194y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩p x∴=只需：2523k =+ ()282580kk ++=12k =-或89k =-(舍)直线方程为：12y x =-【点睛】本题考查了椭圆方程，面积的最大值，根据条件求直线方程，综合性强，计算量大，意在考查学生的综合应用能力.1、在最软入的时候，你会想起谁。
2020-2021学年天津市部分区高二上学期期末数学试题
绝密★启用前2020-2021学年天津市部分区高二上学期期末数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．在空间直角坐标系中，已知点()2,1,3A -，()4,1,1B --，则线段AB 的中点坐标是（） A ．()1,0,2- B ．()1,0,1-C ．()3,0,1D ．()1,1,1-答案：B分析：利用中点坐标公式直接求解.解：因为点()2,1,3A -，()4,1,1B --，所以线段AB 的中点坐标是421113,,222-+-+-+⎛⎫⎪⎝⎭，即()1,0,1-.故选：B2．准线为2x =的抛物线的标准方程方程是（） A ．28x y = B ．28xy C ．28y x =D ．28y x =-答案：D分析：根据抛物线的准线方程可知抛物线的焦点位置和p 的值，由此可得抛物线的标准方程. 解：因为准线为2x =，所以抛物线的焦点在x 轴负半轴上，且22p=， 所以4p =，所以抛物线的方程为228y px x =-=-.故选：D3．经过()2,1A ，()0,3B -两点的直线方程为（） A ．230x y --= B ．230x y +-= C ．230x y --= D ．230x y +-=答案：A分析：根据斜率公式求出斜率，再根据点斜式可得结果. 解：经过()2,1A ，()0,3B -两点的直线的斜率为13220+=-， 由点斜式可得所求直线方程为12(2)y x -=-，即230x y --=.故选：A4．在等比数列{}n a 中，424a =，66a =，则5a =（） A ．12 B ．-12C ．±12D ．15答案：C分析：利用等比数列的通项公式性质直接求解.解：由等比数列{}n a ，可知6254246122a a a =⨯==⋅，解得：512a =± 故选：C.5．焦点在x 轴上的椭圆的长轴长为4，离心率为12，则该椭圆的标准方程为（） A ．22143x y +=B ．221164x y +=C ．2214x y +=D ．2211612x y +=答案：A分析：由长轴长可得2a =，再由离心率求得c ，即可求出b ，得出椭圆方程.解：设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，长轴长为4，24a ∴=，即2a =， 离心率为12c e a ==，1c ∴=， 2223b a c ∴=-=，故椭圆方程为22143x y +=.故选：A.6．已知圆的方程为22220x y x y m +-++=，则实数m 的取值范围是（） A ．2m > B ．2m ≥ C ．2m < D ．2m ≤答案：C分析：根据2240D E F +->可求得结果. 解：因为22220x y x y m +-++=表示圆，所以22224(2)240D E F m +-=-+->，解得2m <. 故选：C点评：关键点点睛：掌握方程表示圆的条件是解题关键.7．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小的一份为（） A ．53B ．103C ．56D ．116答案：A分析：设5人分到的面包数量从小到大记为{}n a ，设公差为d ，可得345127()a a a a a ++=+，5100S =，求出3a ，根据等差数列的通项公式，得到关于d 关系式，即可求出结论.解：设5人分到的面包数量从小到大记为{}n a ，设公差为d ， 依题意可得，15535()51002a a S a +===， 33451220,7()a a a a a a ∴=++=+， 6037(403)d d ∴+=-，解得556d =， 1355522033a a d ∴=-=-=. 故选:A.点评：本题以数学文化为背景，考查等差数列的前n 项和、通项公式基本量的计算，等差数列的性质应用是解题的关键，属于中档题.8．已知F 为双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点，A 为C 的左顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若直线AB 的倾斜角为π4，则C 的离心率为（）A B ．2C ．3D 答案：B分析：首先求点,A B 的坐标，再求直线AB 的斜率，利用关于,a c 的齐次方程求离心率. 解：由条件可知(),0A a -，BF x ⊥轴，当x c =时，22221c y a b-=，解得：422b y a =，又因为直线AB 的倾斜角为π4，所以点B 在第一象限，所以2,b B c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，21ABb a kc a==+，即()2b ac a =+，化简为2220c ac a --=，两边同时除以2a 后 得220e e --=，解得：1e =-（舍）或2e =. 故选：B9．定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，2BC =，13AA =，则异面直线AC 与1BC 之间的距离是（） ABCD ．67答案：D分析：以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，求出AC 和1BC 的公垂线的方向向量n ，求出AB ，再由AB n d n⋅=可求出.解：如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系， 则()()()()12,0,0,0,1,0,2,1,0,0,1,3A C B C ， 则()2,1,0AC =-，()12,0,3BC =-，设AC 和1BC 的公垂线的方向向量(),,n x y z =，则100n AC n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20230x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，令3x =，则()3,6,2n =，()0,1,0AB =， 67AB n d n⋅∴==. 故选：D.点评：本题考查异面直线距离的求解，解题的关键是建立空间直角坐标系，利用向量的方法求解. 二、填空题10．已知圆1C ：222880x y x y +++-=，圆2C ：224420x y x y +---=，则圆1C 与圆2C 的位置关系是_____________. 答案：相交分析：分别求出圆1C 与圆2C 的圆心与半径，再利用圆心距与半径之间的关系确定两圆的位置关系. 解：圆()()222211:2880:1425C x y x y C x y +++-=⇒+++=，圆心1(1,4)C --，15r = 圆()()22222:44202210C x y x y x y +---=⇒-+-=，圆心2(2,2)C ，210r =又圆心距2212(21)(24)35C C =+++=12510510C C <<的.故答案为：相交点评：方法点睛：本题考查两圆的位置关系，利用几何法：圆心距d 与r 1，r 2的关系判断：方法位置关系 几何法：圆心距d 与12,r r 的关系外离12d r r >+ 外切12d r r =+相交1212||r r d r r <+<- 内切1212||()d r r r r =≠-11．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若2n S n =（*n ∈N ），则9a =_____________.答案：17分析：利用n S 求出n a ，则可得9a .解：因为2n S n =，当2n ≥时，21(1)n S n -=-，所以221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，又1n =时，111a S ==也适合上式， 所以21n a n =-， 所以929117a =⨯-=. 故答案为：17点评：关键点点睛：利用n S 求出n a 是解题关键.12．经过点()3,1A -，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程为_____________.答案：22188x y -=分析：设出方程()220x y λλ-=≠，代入点A 即可求出.解：双曲线为等轴双曲线，则可设方程为()220x y λλ-=≠，将()3,1A -代入可得91λ-=，即8λ=，故方程为228x y -=，化为标准方程为22188x y -=.故答案为：22188x y -=.13．已知空间向量a ()1,0,1=，()2,1,2b =-，则向量b 在向量a 上的投影向量是_____________. 答案：()2,0,2分析：利用向量b 在向量a 上的投影乘以与a 同向的单位向量即可得解.解：向量b 在向量a 上的投影是a ba ⋅==， 所以向量b 在向量a2a a =⨯2a ==(2,0,2)， 故答案为：()2,0,2点评：关键点点睛：理解向量b 在向量a 上的投影向量的概念是解题关键.14．已知数列{}n a 的首项12a =，且满足132n n a a +=+（*N n ∈），则{}n a 的前n 项和n S =___________.答案：()11332n n +-- 分析：根据递推公式构造等比数列{1}n a +，求出n a ，再分组根据等比数列求和公式可得结果. 解：由132n n a a +=+得113(1)n n a a ++=+，因为1130a +=≠，所以{1}n a +是首项为3，公比为3的等比数列，所以11333n n n a -+=⨯=，所以31nn a =-，所以1233333n n S n =++++-3(13)13n n -=--()11332n n +=--. 故答案为：()11332n n +-- 点评：关键点点睛：构造等比数列{1}n a +求解是解题关键.15．已知A ，B 两点的坐标分别是()2,0-，()2,0，直线AM ，BM 相交于点M ，且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率的差是4，则点M 的轨迹方程为_____________. 答案：24y x =-（2x ≠±）分析：设(),M x y ，表示出直线AM 与BM 的斜率，由斜率之差为4建立关系可求. 解：设点(),M x y ，其中2x ≠±，则2AM y k x =+，2BM y k x =-， 由题可得422AM BM y y k k x x -=-=+-，整理可得24(2)y x x =-≠±. 即点M 的轨迹方程为24(2)y x x =-≠±. 故答案为：24(2)y x x =-≠±. 三、解答题16．已知等比数列{}n a 满足26a =，13630a a +=. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若12a >，设23n n b n a =⋅（*N n ∈），记数列{}n b 的前n 项和为n S ，求n S . 答案：（Ⅰ）123n n a -=⨯或132n n a -=⨯；（Ⅱ）1(1)22n n S n +=-⨯+.分析：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，由已知建立方程组，求得数列的首项和公比，从而求得数列的通项；（Ⅱ）由（Ⅰ）及已知可得132n n a -=⨯和223n n n b n a n =⋅=⋅（*n ∈N ），运用错位相减法可求得数列的和．解：解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，由26a =，可得16a q =，记为①． 又因为13630a a +=，可得12630a a q +=，即15a q +=记为②，由①②可得123a q =⎧⎨=⎩或132a q =⎧⎨=⎩，故{}n a 的通项公式为123n n a -=⨯或132n n a -=⨯．（Ⅱ）由（Ⅰ）及12a >可知132n n a -=⨯，所以223n n n b n a n =⋅=⋅（*n ∈N ）， 所以1212222n n S n =⨯+⨯++⨯③ 231212222n n S n +=⨯+⨯++⨯④③－④得1212222n n n S n +-=+++-⨯111222(1)22n n n n n +++=--⨯=-⨯-，所以1(1)22n n S n +=-⨯+．点评：方法点睛：数列求和的常用方法：（1）公式法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和.（2）错位相减法：若{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求1122n n a b a b a b ++⋅⋅⋅.（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，相消剩下首尾的若干项.常见的裂顶有()11111n n n n =-++，()1111222n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭等. （4）分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和. （5）倒序相加法.17．已知圆C 与直线24x y +=相切于点()1,2A ，并且圆心在直线y x =-上，求圆C 的方程. 答案：22(1)(1)5x y ++-=.分析：根据过圆心和点()1,2A 的直线与直线24x y +=垂直，得到过圆心和点()1,2A 的直线的斜率，进而得到过圆心和点()1,2A 的直线方程，将此直线与直线24x y +=方程联立解得圆心坐标，再求出圆的半径，然后可得圆C 的标准方程.解：依题意，过圆心和点()1,2A 的直线与直线24x y +=垂直， 故这条直线的斜率为12所以这条直线的方程230x y -+=． 由已知，所求圆的圆心C 在直线y x =-上．解方程组230x y y x -+=⎧⎨=-⎩，可得1x =-，1y =．所以圆心C 的坐标为()1,1-．半径为AC =所求圆C 的方程为22(1)(1)5x y ++-=．点评：关键点点睛：利用两直线方程联立求出圆心坐标是解题关键.18．如图，在四面体ABCD 中，AB AC ⊥，AD ⊥平面ABC ，点M 为棱AB 的中点，2AB AC ==，AD =（Ⅰ）求直线BC与MD所成角的余弦值；（Ⅱ）求平面ABD和平面BDC的夹角的余弦值.答案：（Ⅰ）2 4；（Ⅱ）30.分析：（Ⅰ）以A为原点，分别以AB，AC，AD的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系,利用空间向量的夹角公式可求得结果；（Ⅱ）利用两个平面的法向量可求得结果.解：依题意，可以建立以A为原点，分别以AB，AC，AD的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系（如图），可得()0,0,0A，()1,0,0M，()2,0,0B，()0,2,0C，()0,0,3D（Ⅰ）依题意()2,2,0BC=-，(3MD=-．2(1)20032cos,440103BC MDBC MDBC MD-⨯-+⨯+⨯⋅<>===++⨯++所以直线BC与MD2（Ⅱ）易知，()0,2,0AC=为平面ABD的一个法向量，依题意，可得()2,2,0BC =-，(BD =-． 设(),,m x y z =为平面BCD 的法向量，则0,0,m BC m BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩即22020x y x -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩， 不妨令2z =，可得()3,3,2m =．因此有3cos ,3m ACm AC m AC ⋅<>===由图可知平面ABD 和平面BDC 的夹角为锐角，所以平面ABD 和平面BDC．点评：关键点点睛：建立空间直角坐标系，利用空间向量求解是解题关键.19．已知椭圆E ：22221x y a b +=（0a b >>）的焦距为2. （Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）若直线1y kx =+（12k >）与E 相交于A ，B 两点，M 为E 的左顶点，且满足MA MB ⊥，求k.答案：（Ⅰ）2214x y +=；（Ⅱ）56k =. 分析：（Ⅰ）由题可得2c =c a=,a b 即得椭圆方程； （Ⅱ）联立直线与椭圆方程，得出,A B 坐标关系，由0MA MB ⋅=建立方程即可求出.解：（Ⅰ）解：由题意知2c=c a = 又因为222a b c =+解得2a =，1b =，c =故E 的标准方程为2214x y += （Ⅱ）由22141x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()221480k x kx ++=，得0x =或2814k x k=-+不妨设()0,1A ，(),B B B x y ，则2814B k x k =-+，221414B k y k-=+ 由（Ⅰ）知()2,0M -，故()2,1MA =，222288214,1414k k k MB k k ⎛⎫-+-= ⎪++⎝⎭， 由MA MB ⊥，知0MA MB ⋅=()22222882141414k k k MA MB k k⨯-+-⋅=+++ ()()2222165128501414k k k k k k---+===++ 又因为12k >，故56k =． 点评：方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式；（5）代入韦达定理求解.20．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，424S S =，221n n a a =+（*N n ∈）.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n b 满足123(21)n b b n b n +++-=（*n ∈N ），记数列14(1)n n n n b a +⎧⎫⋅-⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求n T . 答案：（Ⅰ）21n a n =-；（Ⅱ）2,2122,21n n n n T n n n ⎧-⎪⎪+=⎨+⎪-⎪+⎩为偶数为奇数. 分析：（Ⅰ）根据条件求出等差数列的首项和公差，即可求出通项公式；（Ⅱ）先由已知可求出121n b n =-，进而可得1411(1)(1)2121n n n n n b a n n +⋅⎛⎫-=-+ ⎪-+⎝⎭，分n 为奇数和n 为偶数时可求n T .解：解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由424S S =，可得()114642a d a d +=+，即12a d =记为①．又因为221n n a a =+（*n ∈N ），取1n =，所以2121a a =+，即11a d +=记为②，由①②可得11a =，2d =，故{}n a 的通项公式为21n a n =-．（Ⅱ）由123(21)n b b n b n +++-=可得11b =且1213(23)1n b b n b n -+++-=-（2n ≥）， 上述两式作差可得121n b n =-（2n ≥），满足11b =， ∴121n b n =-（*n ∈N ） 所以14411(1)(1)(1)(21)(21)2121n n n n n n b n a n n n n +⋅⎛⎫-=-=-+ ⎪-+-+⎝⎭当n 为偶数时11111111113355723212121n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-++-+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ∴1212121n n T n n =-+=-++ 当n 为奇数时，11111111335572121n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ∴12212121n n T n n +=--=-++ 所以2,2122,21n n n n T n n n ⎧-⎪⎪+=⎨+⎪-⎪+⎩为偶数为奇数． 点评：本题考查数列的求和方法，解题的关键是将所求数列裂项得出1411(1)(1)2121n n n n n b a n n +⋅⎛⎫-=-+ ⎪-+⎝⎭，进而对n 分奇偶进行求和.。
天津市部分区2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题
【区级联考】天津市部分区2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．双曲线22x ﹣y 2＝1的焦点坐标为（ ）A ．（﹣3，0），（3，0）B ．（0，﹣3），（0，3）C ．0），0）D ．（0，（02．命题“∃x 0∈（0，+∞），使得0e x ＜0x ”的否定是（ ）A ．∃x 0∈（0，+∞），使得0e x >0xB ．∃x 0∈（0，+∞），使得0e x ≥0xC ．∀x∈（0，+∞），均有e x ＞xD ．∀x∈（0，+∞），均有e x ≥x3．若复数z =1−i i （i 为虚数单位），则z 的共轭复数z̅=（ ）A ．1+iB ．−1+iC ．1−iD ．−1−i4．设x ∈R ，则“x ＞1”是“2x ＞1”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．设公比为﹣2的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 5＝112，则a 4等于（） A ．8 B ．4 C ．﹣4 D ．﹣8 6．已知函数f （x ）＝lnx ﹣212x ，则f （x ）（ ）A ．有极小值，无极大值B ．无极小值有极大值C ．既有极小值，又有极大值D ．既无极小值，又无极大值7．在数列{a n }中，a 1＝3，a n+1＝2a n ﹣1（n∈N*），则数列{a n }的通项公式为（）A ．a n ＝2n +1B ．a n ＝4n ﹣1C ．a n ＝2n +1D ．a n ＝2n ﹣1+2 8．在空间四边形ABCD 中，向量AB ＝（0，2，﹣1），AC ＝（﹣1，2，0），AD ＝（0﹣2，0），则直线AD 与平面ABC 所成角的正弦值为（ ）A ．13 B．3 C ．－13 D．－39．已知双曲线2222x y a b-＝1（a ＞0，b ＞0）的两条渐近线与抛物线y 2＝8x 的准线分别交于M ，N 两点，A 为双曲线的右顶点，若双曲线的离心率为2，且△AMN 为正三角形，则双曲线的方程为（ ）A ．221824x y -= B ．2211648x y -= C ．2212472x y -= D ．22164192x y -= 10．已知f （x ）是定义在R 上的函数，f ′（x ）是f （x ）的导函数，且满足f ′（x ）+f （x ）＜0，设g （x ）＝e x •f （x ），若不等式g （1+t 2）＜g （mt ）对于任意的实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，0）∪（4，+∞）B ．（0，1）C ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D ．（﹣2，2）二、填空题 11．曲线12y x x=+在点(1,3)处的切线方程为______. 12．已知向量a ＝（2，﹣1，3）与b ＝（3，λ，92）平行，则实数λ的值为____． 13．已知a ，b 均为正数，4是2a 和b 的等比中项，则a +b 的最小值为_____．14．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝2，S 9＝6a 8，则数列{11n n a a +}的前10项的和为_____． 15的椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的两个焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若12PF PF ＝0，且△PF 1F 2的面积为4，则椭圆的方程为_____．三、解答题16．已知复数22(2)(23),Z m m m m i m R =++--∈（i 为虚数单位）．（1）当1m =时，求复数1z i+的值； （2）若复数Z 在复平面内对应的点位于第二象限，求m 的取值范围．17．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝232n n -（n ∈N*），正项等比数列{b n }满足b 1＝a 1，b 5＝a 6．（Ⅰ）求数列{a n }与{b n }的通项公式；（Ⅱ）设∁n ＝a n •b n ，求数列{∁n }的前n 项和T n ．18．如图，已知多面体ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1，BB 1，CC 1均垂直于平面ABC ，AB ⊥AC ，AA 1＝4，CC 1＝1，AB ＝AC ＝BB 1＝2．（Ⅰ）求证：A 1C ⊥平面ABC 1；（Ⅱ）求二面角B ﹣A 1B 1﹣C 1的余弦值．19．已知椭圆C ：22x +y 2＝1． （Ⅰ）求C 的离心率；（Ⅱ）若直线l ：y ＝x +m （m 为常数）与C 交于不同的两点A 和B ，且23OA OB =，其中O 为坐标原点，求线段AB 的长．20．已知函数f （x ）＝23x 3﹣22a +x 2+x ，a ∈R． （Ⅰ）当a ＝1时，求f （x ）在[﹣1，1]上的最大值和最小值； （Ⅱ）若f （x ）在区间[12，2]上单调递增，求a 的取值范围； （Ⅲ）当m ＜0时，试判断函数g （x ）＝()()21f x a x xlnx +'+--21mx x -其中f ′（x ）是f （x ）的导函数）是否存在零点，并说明理由．参考答案1．C【解析】【分析】利用双曲线的标准方程直接计算。