最新安徽省皖南八校2019届高三第二次(12月)联考数学理试题

“皖南八校”2019届高三第二次联考

数 学（理科）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.i 为虚数单位，a R ?，若a i

z i a i

-=++为实数，则实数a = A. -1 B. 1

2

- C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】

由题意，根据复数的运算法则，求得22

221(1)11

a a z i a a --=+++，再根据复数的概念，即可求解.

【详解】由题意，可得a i

z i a i -=++2()()()

a i i a i a i -=++-22(1)21a ai i a --=++222

12(1)11a a i a a -=+-++ 22

221(1)11

a a i a a --=+++，有1a =，故选C. 【点睛】本题主要考查了复数的基本概念和复数的运算法则，其中解答中熟记复数的基本概念和复数的运算法则，合理准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2.已知集合2{|2}U x x x =?，2{|log 2}A x x =?，则U C A = A. {|024}x x x ＃<或 B. {|204}x x x ??或

C. {|012}x x x ＃<或

D. {}24x x x ?或

【答案】A 【解析】 【分析】

由题意，求得{|20}U x x x

=常或，进而根据补集的运算，即可得到答案.

【详解】由题意，可得{|20}U x x x

=常或，{|4}A x x =?，则{|024}A x x x è=＃<或e，故选A.

【点睛】本题主要考查了集合的补集的运算，其中解答中正确求解全集U 和熟记集合的补集的运算方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

3.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（图1），图2是由

弦图变化得到，它由八个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼接而成.现随机的向图2中大正方形的内部去投掷一枚飞镖，若直角三角形的直角边长分别为5和12，则飞镖投中小正方形（阴影）区域的概率为

A.

49169 B. 30169 C. 49289 D. 60289

【答案】C 【解析】 【分析】

首先确定小正方形的面积在大正方形中占的比例，根据这个比例即可求出飞镖投中小正方形（阴影）区域的概率.

【详解】直角三角形的直角边长分别为5和12，则小正方形的边长为5+12(55)7-+=，最大正方形的边长为5+12=17，小正方形面积49，大正方形面积289，由几何概型公式得：49

289

P =，故选C. 【点睛】本题主要考查了几何概型，属于中档题. 4.已知{}n a 为等差数列，若3562a a +=，则6103a a += A. 18 B. 24 C. 30 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】

数列{}n a 为等差数列，由3562a a +=，可得166a d +=，进而又由610134(6)a a a d +=+，代入即可求解. 【详解】由题意，数列{}n a 为等差数列，且3562a a +=，可得111262(4)66a d a d a d ++=+?=， 则61011133(5)94(6)46

24a a a d a d a d +=+++=+=?，故选B.

【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及其应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式，合理运算求解是解答的关键，体现了等差数列的基本量的运算问题，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 5.如图，在ABC D 中，AD AB ^，2DC BD =，2AB =，则AC AB ×的值为

A. -4

B. -3

C. -2

D. -8 【答案】D 【解析】 【分析】

由题意把AC 转化为AB 、BD 求解即可.

【详解】因为AD AB ^，2DC BD =，2AB =， 所以AC AB ×()(3)AB BC AB

AB BD AB =+?+?

2

2343|cos 43|8AB BD AB AB BD ABD AB =+?-?-=-,

故选D.

【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的运算，向量在向量方向上的投影，属于中档题. 6.已知函数()sin f x x x =-，则不等式2(1)(33)0f x f x -++>的解集是 A. (,4)(1,)-??? B. (,1)(4,)-??? C. (1,4)- D. (4,1)- 【答案】C 【解析】 【分析】

由题意，根据函数的解析式，求解函数()

f x 是定义域上的单调递增函数，且为奇函数，把不等式转化为

21(33)x x ->-+，进而借助一元二次不等式的解法，即可求解.

【详解】由题意，函数()sin f x x x =-，则()1cos 0f x x =-?￠，所以函数()

f x 是定义域上的单调递增函数，

又由()()sin()(sin )f x x x x x f x -=---=--=-，即函数()

f x 定义域上的奇函数， 又由不等式2(1)(33)0f x f x -++>可转化为 2(1)(33)[(33)]f x f x f x ->-+=-+ 即21(33)x x ->-+，即2340x x --<，解得14x -<<， 即不等式的解集为(1,4)-，故选C.

【点睛】本题主要考查了函数的单调性和奇偶性的应用问题，其中解答中根据函数的解析式利用导数求得函数的单调性和奇偶性，把不等式转化为一元二次不等式2340x x --<是解答的关键，着重考查了转化思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于基础题.

7.某几何体的三视图如图所示，该几何体表面上的点P 与点Q 在三视图上的对应点分别为A ，B ，则在该几何体表面上，从点P 到点Q 的路径中，最短路径的长度为

A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】

根据三视图可判断出P,Q 点的位置，然后利用侧面展开图求PQ 间距离，比较不同展开图得到的距离即可求解.

【详解】由三视图可知该几何体为正四棱柱，底面边长为1，高为2，P,Q 位置如图：

沿EF 展开，计算PQ =沿FM 展开，计算PQ ==

因此点P 到点Q 的路径中，最短路径的长度为故选D.

【点睛】本题主要考查了三视图，棱柱的侧面展开图，属于中档题.

8.若将函数()sin(2)6

f x x p

=+的图像向左平移(0)j j >个单位，所得图像关于y 轴对称，则当j 最小时，函数1()cos(2)12

g x x j =+-图像的一个对称中心的坐标是

A. (

,0)3p B. (,1)3p

-- C. (,1)3p -

D. (,1)3

p

- 【答案】D 【解析】 【分析】

由题意，根据函数的图象变换和三角函数的性质，求得6

p

j =

，得出函数()g x 的解析式，由此可求解函数()g x 图象的一个对称中心的坐标，得到答案.

【详解】由题意，将函数()sin(2)6

f x x p =+的图像向左平移(0)j j >个单位，可函数的解析式为

()sin[2()]sin(22)66

h x x x p p

j j =++=++，

又由函数()h x 的图像关于y 轴对称，则(0)1h =?，即sin(2)16

p

j +=?， 解得2,62k k Z p p j p +

=+?，当0k =时，6

p j =， 此时函数1

()cos()12

3

g x x p =+-，令

1,232x k k Z p p p +=+?，当0k =时，3

x p =， 所以函数()g x 图象的一个对称中心的坐标是(

,1)3

p

-，故选D. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换求解函数的解析式，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象变换和三角函数的图象与性质，确定j 的值是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，以及分析问题和解答问题的能力，属于基础题.

9.已知一个三棱锥的六条棱的长分别为1,1,1,1a ，且长为a 则三棱锥的体积的最大值为（ ）

A.

12 B. C. 6

D. 【答案】A 【解析】

如图所示，三棱锥A BCD -中，,1AD a BC AB AC BD CD =====，

则该三棱锥为满足题意的三棱锥，将△BCD 看作底面，则当平面ABC ^平面BCD 时，该三棱锥的体积有

最大值，此时三棱锥的高h ，

△BCD 是等腰直角三角形，则12

BCD

S

=

，

综上可得，三棱锥的体积的最大值为1132212

创=

. 本题选择A 选项.

点睛：求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，选择合适的底面是处理三棱锥体积问题的关键所在．

10.已知F 为双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引垂线，垂足为A ，

交另一条渐近线于点B ，O 为坐标原点.若OF FB =，则C 的渐近线方程为

A. 3

y x =?

B. 2y x =?

C. y

D. y x =? 【答案】A 【解析】 【分析】

由双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式，可求得AF ，再分别求得OB ，根据勾股定理

222

OB OA AB =+，求得a 和b 的关系，即可求得双曲线的渐近线方程.

【详解】由过点(,0)F c 向C 的一条渐近线引垂线，垂足为A ，双曲线的渐近线方程为b

y x a

=?

，

则点(,0)F c 到渐近线的距离为d b =，即FA FD b ==，

则,OA OD a AB b c ===+,

又由OF FB =，所以OFB D 为等腰三角形，则D 为OB 的中点，所以2OB a =，

在直角OAB D 中，则222

22()OB OA AB a b c =+=++，即2224()a a b c =++， 整理得2220c bc b --=，解得2c b =， 又由222c a b =+，则2224a b b +=

，即

b a ，

所以双曲线的渐近线方程为y x =?

，故选 A. 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，

其中解答中熟记双曲线的标准方程和简单的几何性质，结合图象，根据勾股定理合理列出关于,,a b c 的关系式是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.

11.已知函数ln ,0,()2,0,x x f x x x ì>?=í+???若存在实数1x ，2x ，3x ，且

123x x x <<，使123()()()f x f x f x ==，则

12()x f x 的取值范围是

A. [2,0]-

B. [1,0]-

C. 2[,0]3-

D. 1

[,0]2

- 【答案】B 【解析】 【分析】

由函数()

f x 的图象，设123()()(),(0,2]f x f x f x m m ===?，且12(2,0],(0,1)x x ??，

由1()f x m =，得12x m =-，进而得212()2,(0,2]x f x m m m =-?，利用二次函数的性质，即可求解. 【详解】由函数ln ,0()2,0

x x f x x x ì>?=í

+???，可得函数

()f x 的图象如图所示，

又由存在实数1x ，2x ，3x ，且123x x x <<，

设123()()(),(0,2]f x f x f x m m ===?，且12(2,0],(0,1)x x ??， 则1()f x m =，即12x m +=，解得12x m =-， 所以2212()(2)2(1)1,(0,2]x f x m m

m m m m =-?-=--?，

当1m =时，12()x f x 取得最小值1-，当2m =时，12()x f x 取得最大值0，

所以12()x f x 的取值范围是[1,0]-，故选B.

【点睛】本题主要考查了函数的性质的综合应用，以及一元二次函数的

图象与性质的应用，其中解答中作出函数()

f x 的图象，化简得出212()2,(0,2]x f x m m m =-?，利用二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.

12.圆C 与直线2110x y +-=相切，且圆心C 的坐标为(2,2)，设点P 的坐标为0(1,)y -，若在圆C 上存在点Q ，使得30CPQ ??，则0y 的取值范围是

A. 19

[,]22

-

B. [1,5]-

C. [2-

D. [2-+

【答案】C 【解析】 【分析】

由题意点C 到直线2110x y +-=的距离，可求得圆C 的方程，又由存在这样的点Q ，当PQ 与圆C 相切

时，转化为30CPQ

谐?，由此列出不等式，求得CP ￡.

【详解】由题意点(2,2)C 到直线2110x y +-==

可得圆C 的方程为22(2)(2)5x y -+-=. 若存在这样的点Q ，当PQ 与圆C 相切时，30CPQ 谐?即可，

可得sin sin 30CQ CPQ CP ?=嘲，得CP ￡.

解得：0

22y -

.

【点睛】本题主要考查了直线与圆的综合应用问题，其中解答中求得圆的方程，把存在这样的点Q ，当PQ

与圆C 相切时，转化为30CPQ

谐?，列出不等式，求得CP ￡了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知实数x ，y 满足条件2,22,1,

y x x y x ì￡??

+?í?￡??则z x y =-的最大值为__________．

【答案】1 【解析】 【分析】

作出可行域，根据线性规划知识求最优解即可. 【详解】作出可行域如图：

作出直线0l ：y x =，平移直线0l ，当直线在y 轴上的截距最小时，Z 有最大值， 如图平移0l 过点(1,0)时，max 101Z =-=. 故填1.

【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，直线的截距，属于中档题. 14.已知02p a b <<<

，且1cos tan sin b a b

-=，则sin[2()]6p b a -+=__________．

【答案】2

- 【解析】 【分析】

由题意，根据三角函数的基本关系式，化简得cos()cos b a a -=，进而2b a =，代入即可求解. 【详解】由题意有

sin 1cos cos sin a b

a b

-=

，得cos()cos b a a -=， 由02p b a <-<

，02

p

a <<，有

b a a -=，得2b a =，

则sin[2()]sin()63p p b a -+=-

=-.

【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中熟记三角函数的基本关系式，合理化简，求得

2b a =，代入求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

15.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，1n n S a =-，记13352121n n n T a a a a a a -+=++鬃鬃鬃+，则n T =__________． 【答案】

11

(1)1516

n - 【解析】 【分析】

由题意，根据数列的通项n a 和n S 的关系，求得11

2

n n a a -=，再由等比数列的定义，得出数列{}n a 是以12为

首项，

12为公比的等比数列，求得通项公式为1

2

n n a =，利用等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】由题意有111a a =-，得112a =，当2n 3时有1

111n n n n S a S a --ì=-?í=-??，两式做差得112n n a a -=，

故数列{}n a 是以

12为首项，12为公比的等比数列，可得数列{}n a 的通项公式为1

2

n n a =，所以22

2242n n T a a a =++

+11

(1)111616(1)1516116

n n

-==--. 【点睛】本题主要考查了等比数列中通项公式n a 与n S 关系，以及等比数列的定义和前n 项和公式的应用，其中解答中根据数列中通项公式n a 与n S 关系，以及等比数列的定义得出数列{}n a 的通项公式，再利用等比数列的求和公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 16.已知函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-+，且(1)(1)()

f x f x x R -=+?，当[0,1]

x ?时，()21x f x =-，

若曲线()y f x =与直线(1)y k x =-有5个交点，则实数k 的取值范围是__________． 【答案】1111

(,)(,)4664

--? 【解析】 【分析】

由题意，可得(1)(1)(1)f x f x f x +=-+=-知()f x 是周期为2的偶函数，利用()y f x =与(1)y k x =-的图像，列出不等式，即可求解.

【详解】由题意，可得(1)(1)f x f x +=-+，可得()

(2)f x f x =+，所以()f x 是周期为2的周期函数，又由(1)(1)f x f x +=-+，则函数()

f x 的图象关于1x =对称， 由当[0,1]x ?时，()

21x f x =-，

要使得()y f x =与直线(1)y k x =-有5个交点，即()

y f x =与直线(1)y k x =-的图象由5个交点，作

出函数()y f x =与直线(1)y k x =-的图象，如图所示，

则当0k >时，(51)1(71)1k k ì???，解得1164k <<，

当当0k <时，(31)1(51)1

k k ì?-??，解得1146k -<<-， 所以实数k 的取值范围是1111

(,)(,)4664

-

-?.

【点睛】本题主要考

查了函数与方程的综合应用，其中解答中把得函数()y f x =与直线(1)y k x =-的交点，转化为()

y f x =

与直线(1)y k x =-的图象的交点，分别作出函数()y f x =与直线(1)y k x =-的图象，列出不等式组是解

答的关键，着重考查了数形结合思想，以及转化思想的应用.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.

17.在ABC D 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若22cos a b c A +=. （Ⅰ）求角C ；

（Ⅱ）已知ABC D 4b =，求边c 的长.

【答案】（I ）23

C p

=；（II ）c 【解析】 【分析】

（Ⅰ）由正弦定理化简得sin 2sin cos 0A A C +=，得到1

cos 2

C =-，即可求解C 的值；

（Ⅱ）由ABC D 的面积为

1

sin 2

ab C =1a =，再由余弦定理，即可求解. 【详解】解：（Ⅰ）由正弦定理有sinA 2sinB 2sinCcosA +=，有()

sinA 2sin A C 2sinCcosA ++=， 得sinA 2sinAcosC 0+=，

由0A π<<，得sinA 0>，有1cosC 2=-，由0C π<<，得2πC 3

=.

（Ⅱ）ΔABC 的面积为

1

absinC 2

=

又b 4=，sinC ∴a 1=. 由余弦定理得：

21

c 116214212

骣琪=+-创?=琪

桫.

∴c 【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.

18.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知AB ^侧面11BB C C ，BC ，12AB BB ==，1

4

BCC p

?，点E 在棱1BB 上.

（Ⅰ）求证：1C B ^平面ABC ；

（Ⅱ）试确定点E 的位置，使得二面角1A C E C -- 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）点在

的中点.

【解析】

试题分析：(Ⅰ)首先根据余弦定理计算

,在

中满足勾股定理，

,然后根据题设所给的

平面

,得到

,这样就证明了线面垂直的条件；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BC 、BA 、BC 1两两垂直，以B 为空间坐标系的原点，建立如图所示的坐标系，设1BE BB l =，

这样设点的坐标，求平面和平面的法向量，根据求，确定点E 的位

置.

试题解析：解：（Ⅰ）证明：∵BC=，CC 1=BB 1=2，∠BCC 1=，在△BCC 1中，由余弦定理，可求得C 1B=

，

∴C 1B 2+BC 2=

，即C 1B ⊥BC ．

又AB ⊥侧面BCC 1B 1，故AB ⊥BC 1，又CB∩AB=B ，所以C 1B ⊥平面ABC ；

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，BC 、BA 、BC 1两两垂直，以B 为空间坐标系的原点，建立如图所示的坐标系， 则B （0，0，0），A （0，2，0），C （，0，0），C 1（0，0，

），B 1（﹣

，0，

），

∴

=（0，2，﹣

）， 设1BE BB l =，则

=

+λ

=（0，0，﹣

）+λ（﹣

，0，

）=（﹣

λ，0，﹣

+

λ）

设平面AC 1E 的一个法向量为m =（x ，y ，z ），由110{

m C A m C E

??，得，

令z=，取m =（，1，），

又平面C 1EC 的一个法向量为=（0，1，0）

所以cos ＜，＞=

m

n m n

××==，解得λ=．

所以当

λ=时，二面角A ﹣C 1E ﹣C 的余弦值为

．

考点：1.空间向量的应用；2.线面垂直的证明.

【方法点睛】主要考察了空间向量的应用，属于基础题型，利用空间向量求立体几何中的常见问题的解决方法，（1）证明垂直时，证明线线垂直，即证明直线的方向向量的数量积等于0，证明线面垂直，即证明直

线与平面内的两条相交直线的方向向量垂直，即数量积等于0，（2）求异面直线所成角，先求异面直线的方向向量，代入公式

，（3）求线面角，先求直线的方向向量

和平面的法向量，

代入公式

，（4）求二面角，先求两个平面的法向量

，根据公式

，根据二面角的大小确定二面角

或

.

19.某县大润发超市为了惠顾新老顾客，决定在2019年元旦来临之际举行“庆元旦，迎新年”的抽奖派送礼品活动.为设计一套趣味性抽奖送礼品的活动方案，该超市面向该县某高中学生征集活动方案.该中学某班数学兴趣小组提供的方案获得了征用.方案如下：将一个444创的正方体各面均涂上红色，再把它分割成64个相同的小正方体.经过搅拌后，从中任取两个小正方体，记它们的着色面数之和为x ，记抽奖中奖的礼金为h .

（Ⅰ）求(3)P x =；

（Ⅱ）凡是元旦当天在超市购买物品的顾客，均可参加抽奖.记抽取的两个小正方体着色面数之和为6，设为一等奖，获得价值50元礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为5，设为二等奖，获得价值30元礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为4，设为三等奖，获得价值10元礼品，其他情况不获奖.求某顾客抽奖一次获得的礼金的分布列与数学期望. 【答案】（I ）20

63

；（II ）详见解析. 【解析】 【分析】

（Ⅰ）由题意，可知64个小正方体中，三面着色的有8个，二面着色的有24个，一面着色的有24个，另外8个没有着色，利用古典概型的概率计算公式，即可求解.

（Ⅱ）由题意，随机变量x 的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6，h 的取值为50，30，10，0，分别求解相应的概率，得出随机变量的分布列，利用期望的公式，即可求解.

【详解】解：（Ⅰ）64个小正方体中，三面着色的有8个，二面着色的有24个，一面着色的有24个，另外

8个没有着色，∴()11118824242

64

C C C C P ξ3C ??== 64020201663==. （Ⅱ）ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6，η的取值为50，30，10，0，

()()P η50P ξ6=== 2

8264C 281

C 201672

===

()()P η30P ξ5=== 11824264C C 1922C 201621

×=== ()()P η10P ξ4=== 21124824264C C C 46813

C 201656

+?===

()121383

P η01722156126

==---=

.

∴()

28E η502016=?

1924681328

370

301002016

2016201663

???. 【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列及数学期望的求解，对于求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可取值有那些，当随机变量取这些值时所对应的事件的概率有是多少，计算出概率值后，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望.其中列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题.

20.如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为F ，点(1,2

-在椭圆C 上，过原点O 的直线与

椭圆C 相交于M 、N 两点，且4MF NF +=. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）设(

1,0)P ，(4,0)Q ，过点Q 且斜率不为零的直线与椭圆C 相交于A 、

B 两点，证明：APO

BPQ ??.

【答案】（1）2

214

x y +=；

（2）见解析. 【解析】 【分析】

（Ⅰ）取椭圆C 的左焦点'F ，连'MF 、'NF ，由椭圆的几何性质知'NF MF =，则'24M F M F

a +==，

设椭圆方程代入点骣琪-琪桫

即可求解（Ⅱ）设点A 的坐标为()11,x y ，点B 的坐标为()22,x y ，直线AB 的方程为：(

)()4

0y k x k =-?，联立方程组,消元得()

2

22241326440k

x k x k +-+-=，

写出AP 的斜率，同理得直线BP 的斜率，利用根与系数的关系化简即可得出结论.

【详解】（Ⅰ）如图，取椭圆C 的左焦点'F ，连'MF 、'NF ，由椭圆的几何性质知'NF MF =，则

'24MF MF a +==，得2a =，

将点骣琪-琪桫

代入椭圆C 的方程得：221314a b +=，解得：1b = 故椭圆C 的方程为：2214

x y +=

.

（Ⅱ）设点A 的坐标为()11,x y ，点B 的坐标为()

22,x y 由图可知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为：()()4

0y k x k =-?

联立方程()

22144x y y k x ì?+=?í?=-??，消去y 得：()

222241326440k x k x k +-+-=， ()

()()

2

2

22324416440k k k D=-+->，21

12

k <

. 有21222122324164441k x x k k x x k ì?+=?+í?-=

?+?

直线AP 的斜率为：

()11

11411

k x y x x -=--. 同理直线BP 的斜率为：

()2241

k x x --.

由

()()1212441

1

k x k x x x --+

-- ()()()()

()()

12211

2

414111k x x k x x x x --+--=

-- ()()121212122581

k x x x x x x x x 轾-++臌

=

=-++

22222222128816084141644321

4141

k k

k k k k k k k 骣-琪-+琪++桫--+++ ()22222212881603286443241k k k k k k k --++=--++ ()

222

160816080363

k k k k --+==-. 由上得直线AP 与BP 的斜率互为相反数，可得APO BPQ ??.

【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，直线的斜率，属于难题.

21.已知函数2

1()ln (0)2

f x ax x x a =-->. （Ⅰ）当3

4

a =

时，求函数()f x 的最小值； （Ⅱ）讨论函数()f x 的零点个数. 【答案】（I ）1

ln 22

--；

（II ）详见解析. 【解析】 【分析】 （Ⅰ）当34a =

时，23()ln 8f x x x x =--，求得(32)(2)()4x x f x x

+-￠=，得出函数的单调性，即可求解函数的极小值.

（Ⅱ）当0a >，方程210(*)ax x --=的140a D=+>，则方程有两个不相等的实数根，记为1x ，212()x x x <，

得函数()f x 的减区间为2(0,)x ，增区间为2(,)x +?，求得函数的最小值，没有零点；当2a =时，函数()f x 仅有一个零点为1x =；当02a <<时，得函数()h x 的增区间为(1,)+?，减区间为(0,1)，求得min ()(1)0h x h ==，由此时函数()f x 有两个零点，即可得到答案. 【详解】解：（Ⅰ）当3a 4=

时，()23

f x x x lnx 8

=-- ()2

313x 4x 4

f x x 14x 4x

--=--=

￠ ()()3x 2x 24x

+-=，令()f x 0￠>可得x 2>. 故函数()f x 的增区间为()2,￥

+，减区间为()0,2

故当x 2=时，函数()

f x 的最小值为()

1

f 2ln22

=--. （Ⅱ）由()2

1ax x 1

f x ax 1x x

=￠--=-- ∵a 0>，方程()2ax x 10*--=的Δ14a 0=+>，则方程()

*有两个不相等的实数根，记为1x ，

212x (x x )<，

则222

ax x 1=+，12121

x x a 1x x 0

a ì+=??í?

=-

，有12x 0x <<，故函数()f x 的减区间为()20,x ，增区间为()2x ,￥+，

有()

()2min

f x

f x = 22221

ax x lnx 2=-- ()2221x 1x lnx 2=

+-- 22

11

x lnx 22

=--+ 当2x 1=时，()

211f x ln1022=-

-+=，又函数2211

y x lnx 22

=--+单调递减， （1）当()

2f x 0>时，20x 1<<，此时222

11

a 112x x =

+>+=，函数()f x 没有零点； （2）当a 2=时，函数()

f x 仅有一个零点为x 1=； （3）当0a 2<<时，有()

2f x 0<，2

1

a 1

f 10e 2e e

骣琪=

-+>琪桫

由1212

1x x a 1x x 0a ì+=

??í?

=-

，有2111x a 2e >>>

令()h x x 1lnx =--，有()

1x 1

h x 1x x

￠-=-

=，故函数()h x 的增区间为()1,￥

+，减区间为()0,1，

由()

()min

h x

h 10==，可得不等式lnx 1x -?（当且仅当x 1=时取等号）成立

故有当24x max x ,

a

禳镲>睚镲铪时，

()21f x ax x lnx 2=-- 21ax x 1x 2?+- 2114ax 2x ax x 022a 骣琪>-=->琪桫， 则此时函数()

f x 有两个零点.

由上知a 2=时，函数()

f x 有一个零点；

当0a 2<<时，函数()f x 有两个零点； 当a 2>时函数()f x 没有零点.

【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及利用导数研究函数的零点问题，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(2)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.

（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 2sin x y q q ì=?í=??（q

为参数）

，直线l 的参数方程为 1(1)1x a t y at

ì=+-?í

=+??（t 为参数）

（Ⅰ）若3

2

a =

，求曲线C 与直线l 的交点坐标； （Ⅱ）求直线l 所过定点P 的坐标，并求曲线C 上任一点Q 到点P 的距离的最大值和最小值. 【答案】（1）(0,2)-与68

(,)55

；（2

）max 2d =

min 2d =-.

【解析】 【分析】

（Ⅰ）求出曲线C 和直线l 的普通方程,联立解方程组即可求出交点坐标（Ⅱ）直线l 所过定点P 的坐标为

()1,1，曲线C 上任一点Q 到P 的距离利用两点间距离公式写出，利用三角函数值域的有界性求距离的最值

即可.

【详解】（Ⅰ）曲线C 的普通方程为224x y +=，当3

2

a =

时，直线l 的普通方程为：32y x =- 联立22432

x y y x ì+=?í=-??，解得：02x y ì=?í

=-??或6

585x y ì=

??í?=?

?

，曲线C 与l 的交点为()0,2-与68,55骣琪琪桫. （Ⅱ）当0t =时，1x =，1y =，则直线l 过定点P 的坐标为()

1,1， 故曲线C 上任一点Q 到点P 的距离为：

d

=由1sin 14

p

q 骣琪-??琪

桫

，故max 2d =

min 2d =-

【点睛】本题主要考查了由参数方程化普通方程，直线系的定点，两点间的距离，属于中档题. 23.已知函数()224f x x x =-++. （Ⅰ）解不等式：()34f x x ?+；

（Ⅱ）若函数()f x 的最小值为a ，且(0,0)m n a m n +=>>，求11

m n

+的最小值. 【答案】（1）1

{|}2

x x ?；（2）1. 【解析】 【分析】

（Ⅰ）去掉绝对值符号转化为分段函数求解即可（Ⅱ）求出分段函数的最小值()

24f -=，则4m n +=，

0m >，0n >，根据

()11111

4m n m n m n 骣琪+=++琪桫

，利用均值不等式求最值即可. 【详解】（Ⅰ）()224f x x x =-++ 32,2

6,2232,2

x x x x x x ì--<-??

=+-＃í?+>??

可得当2x <-时，3234x x --?+，即24-?，所以无解； 当22x

-＃时，634x x +?+，得12x ?

，可得1

22

x -＃；

当2x >时，3234x x +?+，得1

3

x 3，可得2x >. ∴不等式的解集为1{|}2

x x ?

. （Ⅱ）根据函数()32,26,2232,2

x x f x x x x x ì--<-??

=+-＃í?+>??

可知当2x =-时，函数取得最小值()

24f -=，可知4a =， ∵4m n +=，0m >，0n >， ∴

()111114m n m n m n 骣琪+=++琪桫

()11

1122144n m m n 骣琪=+++?=琪

桫. 当且仅当

n m

m n

=，即2m n ==时，取“=”. ∴

11

m n

+的最小值为1. 【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的求解，分段函数，均值不等式，属于中档题.