高三数学天天练

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P
第14题图
高三数学综合练习
一．填空题：
1．设复数z 满足(2i)105i z +=-，（i 为虚数单位），则复数z 的实部为 ． 2．从1,2,3,4,5中随机取出两个不同的数，则其和为奇数的概率为 ．
3．已知函数()ln f x x a x =+，若曲线()y f x =在点(,())a f a 处的切线过原点，则实数a 的值为 ．
4．已知函数()sin(2)3f x x π=+（0x <π≤），且1
()()3
f f αβ==
（βα≠），则=+βα ． 5．已知等差数列{}n a 的首项为a ，公差为4-，其前n 项和为n S ．若存在m N +
∈，使得36m S =，则实数a 的最小值为 ．
6．如图，在等腰梯形ABCD 中，2AB
=，4CD =，BC = 点E ，F 分别为AD ，BC 的中点．如果对于常数λ，在ABCD 的四条边上，有且只有8个不同的点P 使得λ=⋅成 立，那么实数λ的取值范围为 ． 二、解答题：
8．已知椭圆C ：22221x y a b +=（
0a b >>C 与y 轴交于,A B 两点，且2AB =．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设点P 是椭圆C 上的一个动点，且点P 在y 轴的右侧，直线,PA PB 与直线4x =交于,M N 两
点，若以MN 为直径的圆与x 轴交于,E F ，求点P 横坐标的取值范围及EF 的最大值．
9．已知数列{}n a ，其前n 项和为n S ．
（1）若{}n a 是公差为d )0(>d 的等差数列，且
也是公差为d 的等差数列，
求数列{}n a 的通项公式；
（2）若数列{}n a 对任意m n ∈*N ，，且m n ≠，都有
2m n m
n
m n S a a a a m n m n
+-=+++-，求证： 数列{}n a 是等差数列．
2016届高三数学热身练习6答案
一．填空题： 1．3 2．35 3．e 4、76π
5、 15
6、（920-，14-）
二、解答题：
7．（1）因为(
))
cos ,sin ,1m n αα==
-
，且m n ⊥
sin 0αα-=，........................ ....................2分
即tan α=(0,)α∈π，.......................................4分 所以3π
α=
， ....................................................6分
（2
）因为(cos 1)m n αα+=-
，........................ ........8分 所以
m n +=
=
分
因为(0,α∈π)，所以7(,)666
απππ+
∈， 故当6
απ
+=π时，m n + 取到最小值1...............................14分
8．（1）由题意可得，1
b =，2
c e a =
=
，………………………………………………3分 得22
134a a -=， 解2
4a =， 椭圆C 的标准方程为2214
x y +=.…………………5分 （2）设000(,)(02)P x y x <≤，(0,1)A ，(0,1)B -，
所以001
PA y k x +=
，直线PA 的方程为00
11y y x x +=-，同理得直线PB 的方程为
0011y y x x -=
+， 直线PA 与直线4x =的交点为00
4(1)
(4,1)y M x -+， 直线PB 与直线4x =的交点为00
4(1)
(4,
1)y N x +-， 线段MN 的中点0
4(4,
)y x ，…………………………………………………………10分
所以圆的方程为2
22000
44
(4)()(1)y x y x x -+-
=-，令0y =， 则22
20200
164(4)(1)y x x x -+=-， 因为22
0014x y +=，所以 2
020114y x -=-， 所以2
8
(4)50x x -+
-=，…………………………………………………………12分 因为这个圆与x 轴相交,该方程有两个不同的实数解， 所以0
8
50x -
>，解得08(,2]5x ∈．………………………………………………14分
设交点坐标12(,0),(,0)x x
，则12||x x -=0825
x <≤）， 所以该圆被x 轴截得的弦长为最大值为2．………………………………………16分 9．（1
）设n b n S b n n +=2，
当321，，
=n 时，2111=1b S n a =++，① 2121()222b d S a d +=+=++，② 2131(2)3333b d S a d +=+=++， ③ 联立①②③消去1a ，得2211()2b d b d +=+ ④ 2211(2)33b d b d +=+ ⑤ ④3⨯-⑤得：221120b b d d -+=，则1b d =，⑥
将⑥代入⑤解出12d =（=0d 舍去），………………………………………………… 2分
从而解得134a =-，所以1524n a n =-. ……………………………………………… 4分
此时，1n b n =对于任意正整数n 满足题意. …………………………… 6分
（2）因为对任意,m n ∈*N ，m n ≠，都有2m n m n m n S a a
a a m n m n
+-=+++-， ① 在①中取1m n =+，2111122211
n n n n n n S a a
a a a n ++++-=++=+， ② ……………………… 8分 同理
21212
1
212422133
n n n n n n n S a a a a a a n ++-+-+--+=++=+，③…………………………………10分 由②③知，21
14223
n n n a a a +-++=
,即211230n n n a a a ++--+=， 即21111
2(2)2n n n n n n a a a a a a +++-+-=+-，…………………………………………… 12分
②中令1n =，31220a a a +-=，从而2120n n n a a a +++-=，即211n n n n a a a a +++-=-，…… 14分 所以，数列{}n a 成等差数列. ………………………………………………………… 16分。