最新北师版八年级数学上册3勾股定理的应用达标习题
北师大版八年级(上)第一章勾股定理练习题(分节练习)【带答案解析】
第一章勾股定理分节练习第1节探索勾股定理一、求边长问题. ★★★题型一：已知直角三角形的两边，求第三边.1、【基础题】求出下列两个直角三角形中x和y边的长度.、【基础题】（1）求斜边长为17 cm，一条直角边长为15 cm的直角三角形的面积.（2）已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是________.、【综合Ⅰ】已知一个等腰三角形的两腰长为5 cm，底边长6 cm，求这个等腰三角形的面积.、【综合Ⅰ】如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（）A．8米 B．10米C．12米D．14米、【综合Ⅰ】强大的台风使得一根旗杆在离地面9米处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，求旗杆折断之前有多高、【综合Ⅱ】如图，某储藏室入口的截面是一个半径为 m的半圆形，一个长、宽、高分别是 m、1 m、 m的箱子能放进储藏室吗题型二：用“勾股定理 + 方程”来求边长.2、【综合Ⅱ】一个直角三角形的斜边为20 cm，且两直角边的长度比为3∶4，求两直角边的长.【综合Ⅱ】 如图，小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，下端刚好接触地面，求旗杆AC 的高度.、【综合Ⅱ】在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个有趣的问趣，这个问题的意思是：如左下图，有一个边长是10尺的正方形水池，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边中点的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少【综合Ⅲ】如右上图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，求CD 的长．【提高题】（2011年北京市竞赛题）两张大小相同的纸片，每张都分成7个大小相同的矩形，放置如图所示，重合的顶点记作A ，顶点C 在另一张纸的分隔线上，若BC ＝28，则AB 的长是 ______ ．类型三： “方程 ＋ 等面积” 求直角三角形斜边上的高.3、 直角三角形两直角边分别为5、12，则这个直角三角形斜边上的高为 （ ）.（A ）6 （B ） （C ）1320 （D ）1360二、面积问题. ★4、【基础题】求出左下图中A 、B 字母所代表的正方形的面积.、【综合Ⅰ】如右上图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，请在图中找出若干图形，使它们的面积之和等于最大正方形1的面积，尝试给出两种方案.、【综合Ⅰ】如左下图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm 2.、【综合题】如右上图2，以Rt△ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB ＝3，则图中阴影部分的面积为（ ）.（A ）9 （B ）3 （C ）49 （D ）295、【综合Ⅲ】如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则1S ＋2S ＋3S ＋4S ＝________三、证明问题6、【综合Ⅲ】1876年，美国总统加菲尔德利用右图验证了勾股定理，你能利用左下图验证勾股定理吗说一说这个方法和本节的探索方法的联系.7、【提高题】 如右上图，在Rt △ABC 中，∠A ＝ 90，D 为斜边BC 的中点，DE ⊥DF ，求证：222CF BE EF ＋＝.8、【提高题】 如图，AD 是△ABC 的中线，证明：）＋（＝＋22222CD AD AC AB第2节 一定是直角三角形吗9、【基础题】一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A 和∠DBC 都应为直角，工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图所示，这个零件符合要求吗并求出四边形ABCD 的面积.、【综合Ⅰ】如左下图，6个三角形分别标号，哪些三角形是直角三角形，哪些不是，请说明理由.、【综合Ⅰ】如右上图，在正方形ABCD 中，4＝AB ，2＝AE ，1＝DF ，图中有几个直角三角形，说明理由.10、【基础题】下列各组中，不能构成直角三角形三边长度的是 （ ）（A ）9，12，15 （B ）15，32，39 （C ）16，30，34 （D ）9，40，41、【基础题】（1）如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数，得到的三角形还是直角三角形吗（2）下表中第一列每组数都是勾股数，补全下表，这些勾股数的2倍、3倍、4倍、10倍还是勾股数吗任意正整数倍呢说说你的理由。
2023年北师版八年级数学上册3 勾股定理的应用
►为你理想的人，否则，爱的只是你在他身上找到的你的影子。 ►有时候，我们愿意原谅一个人，并不是我们真的愿意原谅他，而是我们 不愿意失去他。不想失去他，惟有假装原谅他。不管你爱过多少人，不管 你爱得多么痛苦或快乐。最后，你不是学会了怎样恋爱，而是学会了，怎 样去爱自己。
►Suffering is the most powerful teacher of life. 苦难是人生最伟大的老师。 ►For man is man and master of his fate. 人就是人，是自己命运的主人。 ►A man can't ride your back unless it is bent. 你的腰不弯，别人就不能骑在你的背上。
例 下图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放 置，则刚好与AB一样长.已知滑梯的高度CE=3m， CD=1m，试求滑道AC的长.
CD
A
EB
பைடு நூலகம்
解：设滑道AC的长度为xm，则AB的长度为xm， AE的长度为（x-1）m.
在Rt△ACE中，∠AEC=90°，由勾股定理得
AE2+CE2=AC2， 即(x-1)2+32=x2，解得x=5.
需要爬行的最短路程是多少？
B
A
同学们自己做一个圆柱，尝试从A点到B点沿圆 柱的侧面画出几条线路？
B
A
我们知道，圆柱的侧面展开图是一长方形，如下图：
我们用剪刀沿线AA' 将圆柱的侧面展开
可以发现如下几种走法：
（1）A—A'—B （2）A—B'—B
（3）A—D—B
（4）A—B
归纳结论
我们知道：两点之间，线段最短。 所以第（4）种方案所爬行的路程最短。 你能在圆柱体上画出蚂蚁的爬行路径吗？
北师大版八年级上册数学：勾股定理经典题目(含答案)
勾股定理经典题目一.填空题（共20小题）1.如图，C为线段BD上一动点，分别过从D作丄BD, ED丄BD,连接AC、EC,已知AB=5, DE=1, BD=8,设CD=x.请用含x的代数式表示AC+CE的长，根据上述方法，求岀厶2+4^（11） ? + 9 的最小值为________________ .2.如图，RtAACB中，ZC=90°, AC=5cnu BC=2cm，点P从B点出发以Is办的速度沿CB延长线运动，运动时间为/秒.以AP为斜边在其上方构造等腰宜角ZVIPD.当/=1秒时，则C£>= _____________________ c m,当D运动的路程为"⑷时，则P运动时间尸_____________ 秒.3・如图ZkABD和ZXACE是AABC外两个等腰直角三角形，ZBAD= ZCAE=9^ ,下列说法正确的是：_①CD=BE；②DC丄B£；（3）DE2+BC2 = 2BD2+EC2:④网平分ZDFE；⑤取BC 的中点M,连MA,则MA丄DE.4.如图，RtZ\ABC中，ZC=90° , AC=3・BC=4・分别以AB. AC. BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ. BCMN.四块阴影部分的而积分别为Si、S2、S3、S.则Si - S2+S3+S4等于_____________ ・25.如图，已知RtAABC 中.ZACB=90° , ZBAC=30° ,延长BC 至 D 使CD=BC,连接AD,且AD=4,点P为线段AC上一动点，连接BP・则2BP+AP的最小值为__________ ・6.如图，以AB为斜边的RtAABC的每条边为边作三个正方形，分别是正方形ABMN,正方形BCPQ,正方形ACEF,且边£尸恰好经过点M若S3=S4=5,则Si+S5= _____________ .（注：图中所示面积S表示相应封闭区域的而积，如G表示AABC的面积）7.如图，长方体的长为15厘米，宽为10厘米，髙为20厘米.点B到点C的距离是5厘米.一只小虫在长方体表而从A爬到B的最短路程是________,AC=4. BC=4^点D在AB上，将ZkACD沿CD折叠，点人落在点A1处，AiC与AB相交于点E,若AiD//BC f则A]D的长是 ____________9. 如图，在ZVIBC 中，ZA=90° , AB=2庇 以BC 为斜边作等腰RtABCD,连接AD,则线段AD 的长为 _______ ・10. 如图，在正方形网格中，AABC 的每一个顶点都在格点上，AB=5,点D 是AB 边上的动点（点D 不与点A ，B 重合），将线段AD 沿直线AC 翻折后得到对应线段A£h,将线段BD 沿直线BC 翻折后得到对 应线段B6,连接D\Di.则四边形DxABDi 的而积的最小值是 _____________ ・11. 七巧板被誉为“东方魔板”.小明利用七巧板（如图1）中各板块的边长之间的关系拼成一个凸六边形, 则该凸六边形（如图2）的周长是 _______ ・A12. 在8X8的格子纸上,IX 1小方格的顶点叫做格点.AABC的三个顶点都是格点（位置如图）.若一个格点P使得APBC与△用C的面积相等，就称P点为“好点”.那么在这张格子纸上共有_________ 个“好点”.13. 左理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即：如图1,在RtAABC 中，ZACB=90° ,若点D是斜边的中点，则CD=Zw,运用：如图2, △ABC 中，ZBAC=90° , AB=2, AC=3,点D 是 2BC 的中点，将AABD 沿AD 翻折得到/VIED 连接BE, CE, DE,则CE 的长为 ______________ ・14. 如图，厶48(7 中，ZAC5=90° , AC=8, BC=6,分别以AABC 的边 AB. BC 、CA 为一边向ZV1BC外作正方形ABDE. BCMN 、CAFG,连接EF 、ND 、则图中阴影部分的而积之和等于 _______________ ・15. 如图，在矩形ABCD 中，AB=3,点E 为边CD 上一点，将AADE 沿AE 所在宜线翻折，得到ZUFE, 点F 恰好是BC 的中点，M 为AF 上一动点，作MN 丄AD 于M 则BM+AN 的最小值为 ___________・A16. 如图，长方形ABCD中AB=2, BC=4,正方形AEFG的边长为1・正方形AEFG绕点A旋转的过程中,线段CF的长的最小值为_______ •17・我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？ ”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的 髙为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B 处，则问题中 葛藤的最短长度是 _______ 尺.18.图①所示的正方体木块棱长为&•加，沿英相邻三个而的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②的几何体表而从顶点A 爬行到顶点B 的最短距离为.19.图中所示是一条宽为1・5加的直角龙廊，现有一辆转动灵活的手推车，其矩形平板而ABCD 的宽AB 为若要想顺利推过（不可竖起来或侧翻）直角走廊，平板车的长AD 不能超过 _________cm.20•如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到△ABC,则厶ABC中BC边上的髙是_________二.解答题（共20小题）21・如图，'ABC是等腰直角三角形，ZACB=90°, AC=BC=6, D在BC上且ZBAD=15° , E是线段AD上的一点，现以C£为直角边，C为直角顶点，在CE的下方作等腰直角△ECF,连接BF.（2）点E在线段AD上运动，当CE=5时，求BF的长：（3）如图2,连接DF,当E运动到使ZAC£=30°时，求△DEF的面积.22•问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.即：如图1,在RtAABC中，ZACB=90°, ZABC=30° 贝Ih AC=X AB・2（1）如图1,连接AB边上中线CF,试说明AACF为等边三角形：（2）如图2,在（1）的条件下，点D是边CB延长线上一点，连接AD,作等边△ADE,且点E在ZACB 的内部，连接BE, EF.试说明EF丄AB：（3）如图3,在（1）的条件下，若D为BC中点，连接AD,作等边△ADE,且点£在ZACB的内部，连接B£・已知AC=2.试求ZiBDE的而积・时从B 点出发，沿射线BC 向右匀速移动，已知点F 的移动速度是点E 移动速度的2倍，以为一边 在CB 的上方作等边△ EFG,设E 点移动距离为x (0<x<6)(1) AB= ________ : BC= ________ ・(2) 当3WxV6时，求AEG 与四边形ABCD 重叠部分而积y 与x 之间的关系式.(3) 如图2,当点F 到达C 点时，将等边AFFG 绕点E 逆时针旋转a° (0<a<180),宜线EF 分别与 直线CD 、直线AD 交于点M 、N.是否存在这样的ct,使△DMN 为等腰三角形？若存在，请直接写出此时线段DM 的长度：若不存在，请说明理由.(1) 如图 1,若 AB=6, ZDEC=90° ,求△DEC 的而积. (2) M 为DE 中点,当D E 分别为AB 、AC 的中点时，判CD, AM 的数量关系并说明理由.(3) 如图2, M 为QE 中点，当D, E 分别为AB, AC 上的动点时，判沱CD, AM 的数量关系并说明理 由・團123.如图 1,在四边形 ABCD 中，AD//BC. ZB=90° ,图3 ZDCB=30° , CD=2^ AD=3.点 E, F 同24. 已知AABC 是等边三角形，点D,E 分别为边AB, AC k 的点，且有AE=DB,连接DE, DC.ED备用團备用團25. (1)如图h 锐角AABC 中分别以AB. AC 为边向外作等腰AABE 和等腰△ACD,使AD=AC, ZBAE=ZCAD 、连接BD 、CE,试猜想BD 与CE 的大小关系，并说明理由.(2) 如图 2,四边形 ABCD 中，AB=lcm, BC=3cm. ZABC= ZACD= ZADC=45Q,求 BD 的长.甲同学受到第一问的启发构造了如图所示的一个和832)全等的三角形，将BD 进行转化再计算，请你 准确的叙述辅助线的作法，再计算.(3) 如图 3,四边形 ABCD 中，AB=BC, ZABC=60Q , ZADC=30° , AD=6, BD=10,求 CD 的 长度.26. 如图，矩形ABCD 中，AB=6, BC= 10,将矩形沿AC 折叠，使点B 与点E 重合，AD 与EC 相交于点 F.(1) 求证：AF=CF ；(2) 求ZV1EF 的而积.27. 在等腰△ABC 与等腰/VIDE 中，AB=AC, AD=AE, ZBAC=ZDAE,且点D 、E 、C三点在同一条直A 图1 AEMD@2线上，连接BD・（1）如图1,求证：△ADB9ZV1EC（2）如图2,当ZBAC=ZDAE=90°时，试猜想线段AD, BD, CD之间的数量关系，并写出证明过程；（3） ___________________________________________________________________________ 如图3,当ZBAC=ZDAE=\20。
北师大版八年级数学上勾股定理应用试卷.doc
鑫达捷初中数学试卷 桑水出品勾股定理的应用试题一. 填空题1. 已知一个直角三角形的两直角边的长分别是3和4，则第三边长为 ．2. 已知∆ABC 中,D 是BC 边上的一点,AB=10,AC=12,AD=8,BD=6, 则CD 2为__________.3.如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，AB =3，BC =4，将△ABC 折叠，使点B 恰好落在边AC 上，与点B ′重合，AE 为折痕，则EB ′= ．4. 如图1.3-1,E 为正方形ABCD 的边AB 上的一点,AE=3,BE=1,P 为AC 上的动点,则PB+PE 的最小值为_________.P EDC B A图1.3-15.如图,一圆柱高8cm,底面半径为π6cm ，一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食,要爬行的最短路程是____________cm.6.如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，问小鸟至少飞行 米．二. 选择题1.. 底边为16 cm,,底边上的高为6 cm,的等腰三角形的腰长为 ( )A. 8 cm,B. 9 cm,C. 10 cm,D. 13 cm,2. 下列三角形中,是直角三角形的是 ( )A. 三边满足关系a+b=cB. 三边之比为4:5:6C. 其中一边等于另一边的一半D. 三边为9, 40, 413.如果将长为8cm，宽为6cm的长方形纸片折叠一次，那么这条折痕的长不可能是（）A.11cmB.10cmC.7.5cmD.1cm4.下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．2，3，4 D．1，2，3三. 解答题1. 如图,某人欲横渡一条河,由于水流的影响,时间上岸地点C偏离欲到达点B200米,结果他在水中时间游了520米,求该河流的宽度.2. 如图1.3-3,一块砖宽AN=5 cm,,长ND=10 cm,,CD上的点B距地面的高BD=8 cm,.地面上A 处的一只蚂蚁到B处吃食,要爬行的最短路线是多少?图1.3-33. 如图1.3-4,带阴影的矩形面积是多少?1783图1.3-44.如图，从电线杆离地面6 m处向地面拉一条长10 m的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有多远？5.如图5，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3 cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容鑫达捷图5器外壁，且离容器上沿3 cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是A．13cm B．20cm C．15cm D．12cm答案：一、1. 5 2.80 3.1.5 4.5 5.10 6.10二、1.C 2.D 3.A 4.B三、1.AB2=5202-2002 AB=4802.AB2=152+82 AB=173.454.8米5.解：如图：∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，∴A′D=5cm，BD=12﹣3+AE=12cm，∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B ===13（Cm）．故选：A．鑫达捷。
第1章勾股定理 同步达标测试题 2023-2024学年北师大版八年级数学上册
2023-2024学年北师大版八年级数学上册《第1章勾股定理》同步达标测试题（附答案）一、单选题（满分32分）1．以下数组中，其中是勾股数的是（）A．2.5，6，6.5B．9 ，40 ，41C．1 ，√2，1 D．2 ，3 ，42．斜边为17cm，一条直角边长为15cm的直角三角形的面积为（）A．60cm2B．30cm2C．90cm2D．120cm23．直角三角形中一直角边的长为10，另两边长为连续偶数，则直角三角形的周长为（）A．49 B．17 C．60 D．不能确定4．三个正方形的面积如图，正方形A的边长为（）A．8 B．36 C．64 D．65．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在边AB上的点C′处，那么线段AD的长为（）A．6 B．5 C．4 D．36．已知△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高AD=8，则边BC的长为（）A．21 B．6 C．21或6 D．21或97．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，以AC和BC为底边分别向外作等腰直角△AFC和等腰直角△BEC，若△AFC的面积为S1，△BCE的面积为S2，则S1+S2的值为（）8．如图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面9米处折断，树的顶端落在离树杆底部12米处，那么这棵树折断之前的高度是（）A．9米B．12米C．15米D．24米二、填空题（满分40分）9．在Rt△ABC中，AB=8，BC=26，则以AC为边的正方形的面积为．10．若一个三角形的三边长分别是6、8、a，如果这个三角形是直角三角形，则a2＝．11．如图，Rt△ABC中，AB=9,BC=6,∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为．12．如图所示，有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米．在圆柱的底面A点处有一只小蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的C点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是．（π取3）13．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3 dm、2 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是dm．14．如图，沿AE折叠长方形ABCD，使D点落在BC边的点F处，若AB＝12cm，BC ＝13cm，则FC的长度是．15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8，BE＝4，AE＝AC，求AE的长．解题思路：设AE＝AC＝x，根据勾股定理，得AC2+BC2=AB2，可列方程为．16．如图，要在河边l上修建一个水泵站，分别向A村和B村送水，已知A村、B村到河边的距离分别为2 km和7 km，且AB两村庄相距13 km，则铺设水管的最短长度是km．三、解答题（满分48分）17．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10cm，BC=6cm，CD⊥AB交AB于点D，求：(1)AC的长．(2)△ABC的面积．(3)CD的长．18．如图是某“飞越丛林”俱乐部最近打造的一款项目的示意图，BC段和垂直于地面的AB段均由不锈钢管材打造，两段总长度为26m，矩形CDEF为一木质平台的主视图．经过测量得CD=1m，AD=15m，请求出立柱AB段的长度．19．如图1所示，一架梯子AB长10米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C的距离为6米，梯子底部向右滑动后停在DE的位置上（如图2所示），测得DB的长为2米，求梯子顶端A下落了多少米．20．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向AB由A行驶向B，已知点C为海港，且点C与直线l上的两点A，B的距离分别为AC=300km，BC=400km，又AB=500km，以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域．已知台风运动速度为72km/h．(1)求∠ACB的度数；(2)求海港C到直线AB的最短距离；21．如图，在△ABC和△DCE中，AC=DE，∠B=∠DCE=90°，点A，C，D依次在同一直线上，且AB∥DE．(1)求证：△ABC≌△DCE；(2)连接AE，当BC=5，AB=12，时，求AD的长．22．Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，BE平分∠ABC，交AC于点E，交AD于点F．(1)图1，求证：AF＝AE；(2)图2，过点F作FG∥BC交AC于点G，FM∥AC交BC于点M．求证：AF＝CG．(3)在（2）的条件下，若BDAB =35，求的GCFD值．参考答案 1．解：A 选项，2.5 ，6.5 不是正整数，不符合题意；B 选项，92=81 ，402=1600 ，412=1681 ，92+402=412符合题意；C 选项，√2不是正整数 ， 不符合题意；D 选项，22=4 ，32=9 ，42=16 ，22+32≠42不符合题意；故选：B ．2．解：由题意得：这个直角三角形的另一条直角边长为√172−152=8(cm )， 则这个直角三角形的面积为12×8×15=60(cm 2)，故选：A ．3．解：设另一直角边为x ，则斜边为x +2，根据勾股定理得：(x +2)2=x 2+102，解得x =24，∴直角三角形的周长为10+24+26=60，故C 正确．故选：C ．4．解：设正方形A 的边长为x ，根据图形可知x 2+64=100．解得x =6（负值舍去）故选：D ．5．解：∵∠C =90°，AC =8，BC =6，∴AB =10．根据折叠的性质，BC =BC ′，CD =DC ′，∠C =∠AC ′D =90°．∴AC ′=10-6=4．在△AC ′D 中，设DC ′=x ，则AD =8-x ，根据勾股定理得（8−x ）2=x 2+42．解得x =3．∴AD=8-x=5．故选B ．6．解：如图所示，于是折断前树的高度是15+9=24（米）．故选D．9．解：当AC边为斜边时：AC2=AB2+BC2=82+262=740，当AC边为直角边时：AC2=BC2−AB2=262−82=612，故答案为：612或740．10．解：当8为直角边时，由勾股定理可得：a2=62+82=100；当8为斜边时，由勾股定理可得：a2=82−62=28，故答案为：100或28．11．解：设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9−x，∵D是BC的中点，∴BD=3，在Rt△BND中，x2+32=(9−x)2，解得x=4．故线段BN的长为4．故答案为：4．12．解：如图，展开圆柱的半个侧面是矩形，则AC即为最短路程（两点之间线段最短）．由题意可知，这个矩形中，AD等于圆柱的底面周长的一半，即为3π=9厘米，CD等于圆柱的高，即为12厘米，则AC=√AD2+CD2=√92+122=15（厘米），即沿圆柱侧面爬行的最短路程是15厘米，故答案为：15厘米．13．解：展开图为：则AC=20dm,BC=3×3+2×3=15（dm）,在Rt△ABC中，AB=√AC2+BC2=√202+152=25（dm）.所以蚂蚁所走的最短路线长度为25 dm.故答案为：25．14．解：根据题意得：△ADE≌△AFE，∴AF＝AD＝13cm，在Rt△ABF中，AF＝13cm，AB＝12cm，∴BF＝√132−122＝5cm，∴FC＝BC﹣BF＝8cm．故答案为8cm．15．解：设AE＝AC＝x，∵∠ACB＝90°，BC＝8，BE＝4，AE＝AC，根据勾股定理，得AC2+BC2=AB2，即x2+82=(x+4)2，故答案为：x2+82=(x+4)2．16．解：作点A关于河边所在直线l的对称点D，连接DB交l于P，则点P为水泵站的位置，此时，（P A+PB）的值最小，即所铺设水管最短，最小值为DB的长；过B点作l的垂线，过D作l的平行线，设这两线交于点C，过A作AE⊥BC于E，则四边形ADCE和四边形AMNE都是矩形，∴EN=AM=2，EC=AD=2+2=4，DC=AE，即梯子顶端A下落了2米．20．解：（1）在ΔACB中，AC=300km，BC=400km，AB=500km ∵AC2+BC2=AB2∴ΔACB为Rt△，∴∠ACB=90∘（2）如图，作CG⊥AB∵SΔACB=AC⋅BC2又∵SΔACB=AB⋅CG2∴AC×BC=AB×CG∵AC=300km，BC=400km，AB=500km=240km∴CG=AC×BCAB故海港C到直线AB的最短距离为240km（3）会影响设DC=EC=260km在RtΔDGC中，DG2=DC2−CG2∵CG=240km，DC=260km∴DG=√2602−2402=100km同理可得：EG=100km∵DE=EG+DG∴DE=200km∵s=vt∵s=200km，v=72km/h∴t=259h故受到影响时间为259h21．（1）解：证明：∵点A，C，D依次在同一直线上，且AB∥DE．∴∠BAC=∠EDC又∵AC=DE，∠B=∠DCE=90°，在△ABC和△DCE中，{∠B=∠DCE=90°∠BAC=∠EDCAC=DE∴△ABC≌△DCE（AAS）．（2）∵△ABC≌△DCE∴BC=EC，AC=DE，AB=CD，在Rt△ABC中，AB=12，BC=5，根据勾股定理可得AC=√AB2+BC2=√122+52=13，∴AD=AC+CD=13+12=25．答：AD的长是25．22．（1）证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴∠AFE=∠BFD=90°-∠CBE，∵∠AEB=90°-∠ABE，∴∠AFE=∠AEF，∴AE=AF；（2）证明：∵FG∥BC，FM∥AC，∴四边形FMCG为平行四边形，∴FM=CG，∵FM∥CG，∴∠C=∠FMB，∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴∠DAC+∠C=90°，又∵∠BAF+∠DAC=90°，∴∠C=∠BAF，∴∠BAF=∠FMB，又∵∠ABF=∠MBF，BF=BF，∴△ABF≌△MBF（AAS），∴AF=FM，∴AF=CG；（3）解：如图2，过点F作FH⊥AB于点H，∵BF平分∠ABC，FD⊥BM，FH⊥AB，∴FD=FH，又∵BF=BF，∴△BDF≌△BHF（HL），∴BD=BH，设BD=3a，AB=5a，则AH=AB-BH=2a，∴AD=√AB2−BD2=4a设DF=HF=x，∴AF=4a-x，∵HA2+HF2=F A2，∴（2a）2+x2=（4a-x）2，∴x=32a，即DF=32a，∴AF=4a−x=4a−32a=52a，。
北师大版八年级上第一章勾股定理(附习题和答案)
第一章 勾股定理1、勾股定理（性质定理）直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用： （1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2、勾股定理的逆定理（判定定理）如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。
要点诠释：用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意 （1）首先确定最大边，不妨设最长边长为c ；（2）验证c 2和a 2＋b 2是否具有相等关系，若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形（若c 2＞a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形；若c 2＜a 2＋b 2，则△ABC 为锐角三角形）。
3、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。
经典的勾股数：3、4、5（3n 、4n 、5n ） 5、12、13（5n 、12n 、13n ） 7、24、25（7n 、24n 、25n ） 8、15、17（8n 、15n 、17n ） 9、40、41（9n 、40n 、41n ） 11、60、61（11n 、60n 、61n ） 13、84、85（13n 、84n 、85n ）例1. 如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠，使C点与A 点重合，则EB 的长是（ ）． A ．3 B ．4 C 5 D ．5练习1：如图，已知矩形ABCD 沿着直线BD 折叠，使点C 落在C'处，BC'交AD 于E ，AD=8，AB=4，则DE 的长为( )A.3B.4C.5D.6FEDCBAC A B ED 练习2：如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使其落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 的长为例2. 三角形的三边长ａ,ｂ,ｃ满足2ａｂ=(ａ+ｂ)2－ｃ2,则此三角形是 ( ). A 、钝角三角形 B 、锐角三角形 C 、直角三角形 D 、等边三角形练习1：已知a 、b 、c 是三角形的三边长，如果满足2(6)8100a b c ---=，则三角形的形状是（ ）A ：底与边不相等的等腰三角形B ：等边三角形C ：钝角三角形D ：直角三角形练习2：已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且a 2c 2－b 2c 2＝a 4－b 4，试判断三角形的形状．例3. 将一根24cm 的筷子，置于底面直径为15cm ，高8cm 的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm ，则h 的取值范围是（ ）． A ．h ≤17cm B ．h ≥8cm C ．15cm ≤h ≤16cm D ．7cm ≤h ≤16cm练习：如图，圆柱形玻璃容器高20cm ，底面圆的周长为48cm ，在外侧距下底1cm 的 点A 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口1cm 的点B 处有一只CABDS 3S 2S 1C B A 苍蝇，则蜘蛛捕获苍蝇所走的最短路线长度为________.例4. a 2＋b 2＋c 2＝10a ＋24b ＋26c －338，试判定△ABC 的形状，并说明你的理由练习：已知直角三角形的周长是62+，斜边长2，求它的面积．例5. 已知，如图，四边形ABCD 中，AB=3cm ，AD=4cm ，BC=13cm ，CD=12cm ，且∠A=90°， 求四边形ABCD 的面积。
2021年八年级数学上册.3勾股定理的应用同步练习含解析新版北师大版
2019-2020年八年级数学上册1.3勾股定理的应用同步练习1含解析新版北师大版一、选择题1. (江苏淮阴中学月考）已知某直角三角形的两直角边的长分别为和，则这个直角三角形的周长（）A. B.C. 26D.无法确定2．如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面3m处折断，树顶端落在离树底部4m 处，则树折断之前高( )．A.5mB.7mC.8mD.10m3.如图，从台阶的下端点B到上端点A的直线距离为( )．A. B.C. D.二、填空题4．甲、乙两人同时从同一地点出发，已知甲往东走了4km，乙往南走了3km，此时甲、乙两人相距______km．5．如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了______m路，却踩伤了花草．6．如图，有一个圆柱体，它的高为20，底面半径为5．如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A 点，沿圆柱表面爬到与A相对的上底面B点，则蚂蚁爬的最短路线长约为______(取3)7.(重庆八中期中)如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC 交 AC 于点 D，且AB= 4, BD = 5,则点D到BC的距离是 .8.在Rt△ABC中，∠A=90°，有一个锐角为60°，BC=6.若点P在直线 AC上(不与点A，C重合）,且∠ABP=30°，则CP的长为 .三、解答题9．在一棵树的10米高B处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处；另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少米?10．如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要多少米?若楼梯宽2米，地毯每平方米30元，那么这块地毯需花多少元?11.古诗赞美荷花“竹色溪下绿，荷花镜里香”，平静的湖面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面10 cm,忽见它随风斜倚，花朵恰好浸入水面，仔细观察，发现荷花偏离原地40 cm(如图).请部：水深多少？参考答案1.B 解析由勾股定理得该直角三角形的斜边长为,所以这个直角三角形的周长为.2．C ．3. A4．5．5．2．6．25．7.3解析在Rt △ABD 中,由勾股定理得2222543DA BD AB =-=-=.又点D 是∠ABC 的平分线上的点,它到BA,BC 边的距离相等,所以点D 到BC 的距离等于DA 的长度,为3.8.解析由于在Rt △ABC 中,没有明确∠B 和∠C 哪个为60°,因此要分别讨论,根据题意画出图形,当∠B ＝60°时,点P 也有两种情况；当∠C ＝60°时,点P 只有一种情况.故共有三种情况,分别解答.(1)如图(1)所示,∠ABP ＝30°,∵∠ABC ＝60°,∴∠ACB ＝30°.∵BC ＝6,∴AB ＝3,∴AC ＝.在Rt △BAP 中,设AP ＝x,则BP ＝2x,故x 2＋32-(2x)2,解得,即,.(2)如图(2)所示,由图(1)知AB ＝3,又∠ABP-30°,,.(3)如图(3),∵∠ABC ＝∠ABP ＝30°,∠BAC ＝90°,∴∠C ＝∠P,∴BC ＝BP.∵∠C ＝60°,∴△CBP 是等边三角形,∴CP ＝BC ＝6.故答案为.9．15米．10．7米，420元．11.解:设水深CB为x cm,则AC为(x＋10)cm,即CD＝(x＋10)cm.在Rt△BCD中,由勾股定理得x2＋402＝(x＋10)2.解得x＝75.答:水深为75cm24869 6125 愥]uQ23614 5C3E 尾N32906 808A 肊. M23976 5DA8 嶨33715 83B3 莳d36925 903D 逽W。
八年级数学上册 第一章 勾股定理 3 勾股定理的应用典型例题素材 (新版)北师大版
《勾股定理的应用》典型例题例1 已知：如图，在△ABC 中，∠ACB＝090，AB ＝5cm ，BC ＝3cm ，CD⊥AB 于D ，求CD 的长.例2 如图，ABC ∆中，15,14,13===AC BC AB ，求BC 边上的高AD 。
例3 某工人拿一个2.5m 的梯子，一头放在离墙1.5m 处，另一头靠墙，以便去修理梯子另一头的有线电视分线盒（如图）。
这个分线盒离地多高？例4 如图所示，南北向的直线MN为我国领海线，即MN以西为我国领海，以东为公海．上午9点50分，我缉私艇A发现正东方有一走私船C以每小时13海里的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国缉私艇B密切注意．A和C两艇的距离为13海里，A、B两艇的距离为5海里，缉私艇B测得B、C距离为12海里．若走私船C的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？例5 如图所示，一架2.5m长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C 的距离为0.7m，如果梯子的顶端沿墙垂直下滑0.4m，那么梯足将外移多少米？参考答案例1 分析： 本题考查勾股定理的应用，先勾股定理求AC ，再运用三角形面积公式得到CD AB AC BC S ABC ⋅=⋅=∆2121，于是不难求CD. 解：∵△ABC 是直角三角形，AB ＝5，BC ＝3，由勾股定理有 222BC AB AC -= ∴4925=-=AC∵ CD⊥AB ∴ CD AB AC BC S ABC ⋅=⋅=∆2121 ∴4.2543=⨯=⋅=AB AC BC CD ∴CD 的长是2.4cm 说明：本题的解题关键是先用勾股定理求AC ，再用“面积法”求CD例2 分析 欲求AD ，需先知道BD 或CD ，由于BC CD BD =+所以可设x BD =，则x CD -=14，这样分别在两个直角三角形根据勾股定理把2AD 用x 的方程，求出x ，问题可解。
解 设x BD =，则x CD -=14。
勾股定理的应用知识点练习北师大版八年级数学上册
考点一：应用勾股定理解决梯子滑落高度问题 【例1】如图，一架25m 长的梯子AB 斜靠在一竖直的墙上．(1)若梯子底端B 距墙角7m ，求梯子的顶端A 距地面多高；(2)在（1）的条件下，如果梯子的顶端A 下滑4m 至点A '，那么梯子的底端B 向外移至点B '，求BB '的长．【变式1】如图，一架2.6m 长的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AC 上，90C ∠=︒，这时，梯子的底端B 到墙底C 的距离BC 为1m ．(1)求此时梯子的顶端A 距地面的高度AC ．(2)如果梯子的顶端A 沿墙下滑0.5m ，那么梯子底端B 外移0.5m 吗？通过计算说明你的结论．考点二：应用勾股定理解决旗杆高度【例2】如图，要从电线杆离地面5米处向地面拉一条长为7米的钢缆．求地面钢缆固定点A 到电线杆底部B 的距离．【变式2-1】如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地0.5米，将它往前推3米时，踏板离地1.5米，此时秋千的绳索是拉直的，求秋千的长度．【变式2-2】如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度（滑轮上方的部分忽略不计）为（）A．10B．13C．15D．17考点三：应用勾股定理解决小鸟飞行的距离【例3】有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？【变式3-1】如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，它飞行的最短路程是．变式3-1图变式3-2图【变式3-2】在水平地面上有一棵高9米的大树，和一棵高4米的小树，两树之间的水平距离是12米，一只小鸟从小树的顶端飞到大树的顶端，则小鸟至少飞行()A．12米B．13米C．9米D．17米考点四：应用勾股定理解决大树折断前的高度【例4】折竹抵地（源自《九章算术》）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺、问折者高几何?大意是：在点C处生长的一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子在点A处折断，其竹梢点B恰好抵地，BC=尺，求竹子折断后，留在原处的竹子AC的长为多少尺?（1丈103=尺）．【变式4-1】我国古代数学著作《九章算术》中“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”今译：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落地，离竹子底端3尺处．折断处离地面的高度是多少尺？（1丈10=尺）【变式4-2】海洋热浪对全球生态带来了严重影响，全球变暖导致华南地区汛期更长、降水强度更大，使得登录广东的台风减少，但是北上的台风增多．如图，一棵大树在一次强台风中距地面5m 处折断，倒下后树顶端着地点A 距树底端B 的距离为12m ，这棵大树在折断前的高度为（ ）A ．10mB ．15mC ．18mD ．20m变式4-2图 变式4-3图【变式4-3】《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，ABC 中，90ACB ∠=︒，10AC AB +=，3BC =，求AC 的长，如果设AC x =，则可列方程为 ． 考点五：应用勾股定理解决水杯中的筷子问题【例5】如图，有一个水池，水面是一边长为6尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，求这根芦苇的长度．【变式5-1】我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题．有一个水池，水面是一个边长为10尺（10AB =尺）的正方形，在水池正中央有一根芦苇(点P 是AB 的中点)，它高出水面1尺(1MP =尺)．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面(MN BN =)． 水的深度PN 与这根芦苇MN 的长度分别是多少？【变式5-2】如下图是一只圆柱形玻璃杯，杯高为24cm，将一根筷子插入其中，留在杯外最长4cm，最短3cm，则这只玻璃杯的内径是cm．考点六：应用勾股定理解决航海问题【例6】甲、乙两船同时从港口A出发，甲船以12海里/时的速度向北偏东33︒航行，乙船向南偏东57︒航行，2小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C、B两船相距40海里，问乙船的速度是每小时多少海里？【变式6-1】如图，某港口O位于南北延伸的海岸线上，东面是大海．远洋号、长峰号两艘轮船同时离开港O，“远洋”号沿着北偏东60°方向航行，“长峰”号沿着南偏东30°方向匀速航行，“远洋”号每小时航行12海里，“长峰”号每小时航行16海里，它们离开港口1小时后，分别到达A，B两个位置，求1小时后远洋号、长峰号两艘轮船相距多少海里．【变式6-2】如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，甲船沿北偏西50︒方向，以每小时12海里的速度航行；乙船沿北偏东40︒方向，以每小时16海里的速度航行．1小时后两船分别位于点A与B处，此时两船相距（）A．12海里B．16海里C．20海里D．24海里考点七：应用勾股定理解决几何图形中折叠问题【例7】如图，长方形ABCD中，AB＝8，BC＝10，在边CD上取一点E，将△ADE折叠后点D恰好落在BC边上的点F处（1）求CE的长；（2）在（1）的条件下，BC边上是否存在一点P，使得P A+PE值最小？若存在，请求出最小值：若不存在，请说明理由．【变式7】如图所示，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，已知BC＝10厘米，AB＝8厘米．（1）求BF与FC的长．（2）求EC的长．考点八：平面图形-最短路径问题【例8】如图，一个圆柱体的底面周长为12cm，高AC为8cm，BC是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的侧表面爬行到点B的最短路程为．例8图变式8-1图变式8-2图【变式8-1】如图所示，一圆柱高6cm，底面半径为2cm，一只蚂蚁从圆柱体外面底部点A处，爬到圆柱正对面的外侧点B处吃食，已知点B距离圆柱体上口1cm，则蚂蚁要爬行的最短路程（ 取3）是．【变式8-2】如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离（杯壁厚度不计）为（）A．14cm B．16cm C．18cm D．20cm【例9】如图，长方体的长、宽、高分别为3cm,1cm,6cm．如果一只小虫从点A开始爬行，经过两个侧面爬行到另一条侧棱的中点B处，那么这只小虫所爬行的最短路程为（）A．5cm B．43cm C．6cm D．7cm例9图变式9图【变式9】如图，有一个棱长为1m的正方体纸盒，一只昆虫在盒子表面从顶点A爬到顶点B，这只昆虫爬行的最短路线的长是（）A．2m B．3m C．2m D．5m【例10】如图有一个四级台阶，它的每一级的长、宽分别为18分米、4分米．(1)如果给台阶表面8个矩形区域铺上定制红毯，需要定制红毯的面积为432平方分米，那么每一级台阶的高为多少分米？(2)A和C是这个台阶上两个相对的端点，台阶角落点A处有一只蚂蚁，想到台阶顶端点C处去吃美味的食物，则蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为多少分米？【变式10】某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米30元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要元．。
北师大版八年级数学上册 第1章 勾股定理 章节测试卷 (含解析)
第1章《勾股定理》章节测试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦．古希腊哲学家柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17…若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦（结果用含m的式子表示）是（ ）A．4m2−1B．4m2+1C．m2−1D．m2+12．如图，五个正方形放在直线MN上，正方形A、C、E的面积依次为3、5、4，则正方形B、D 的面积之和为（）A．11B．14C．17D．203．观察下列各方格图中阴影部分所示的图形（每个方格的边长为1），如果将它们沿方格边线或对角线剪开后无缝拼接，不能拼成正方形的是（）A．B．C．D．4．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为( )A．2.2米B．2.3米C．2.4米D．2.5米5．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，AD为∠BAC的平分线，将△DAC沿AD向上翻折得到△DAE，使点E在射线AB上，则DE的长为（）A．2B．52C．5D．2546．如图，三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着直线AD翻折，得到△AED，DE交AC于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝EG，AF＝4，AB＝5，△AEG的面积为92，则BD2的值为（）A．13B．12C．11D．107．图中不能证明勾股定理的是（）A． B．C．D．8．如图，将有一边重合的两张直角三角形纸片放在数轴上，纸片上的点A表示的数是-2，AC=BC=BD=1，若以点A为圆心，AD的长为半径画弧，与数轴交于点E（点E位于点A右侧)，则点E表示的数为（）A．3B．−2+3C．−1+3D．−39．如图，一个底面周长为24cm，高为5cm的圆柱体，一只蚂蚁沿侧表面从点A到点B所经过的最短路线长为（）A．12cm B．13cm C．25cm D．26cm10．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要纽带．数学家欧几里得利用下图验证了勾股定理．以直角三角形ABC的三条边为边长向外作正方形ACHI，正方形ABED，正方形BCGF，连接BI，CD，过点C作CJ⊥DE于点J，交AB于点K．设正方形ACHI 的面积为S1，正方形BCGF的面积为S2，矩形AKJD的面积为S3，矩形KJEB的面积为S4，下列结论中：①BI⊥CD；②S1∶S△ACD＝2∶1；③S1－S4＝S3－S2；④S1S4＝S3S2，正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．小明将4个全等的直角三角形拼成如图所示的五边形，添加适当的辅助线后，用等面积法建立等式证明勾股定理．小明在证题中用两种方法表示五边形的面积，分别是S1= ，S2= ．12．勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地的坐标，数据如图（单位：km）．笔直铁路经过A，B两地．（1）A，B间的距离 km；（2）计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使CD=13，则AD 的长为 km．13．如图，图1是第七届国际数学教育大会（ICME−7）会徽图案、它是由一串有公共顶点O的直角三角形（如图2）演化而成的．如果图2中的OA1=A1A2=A2A3=⋅⋅⋅=A7A8=1，若S1代表△A1OA2的面积，S2代表△A2OA3的面积，以此类推，则S10的值为．14．把由5个小正方形组成的十字形纸板（如图1）剪开，以下剪法中能够将剪成的若干块拼成一个大正方形的有（填写序号）．15．如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=16cm，AC=12cm，点E是BC的中点，动点P从A 点出发以每秒1cm的速度沿A→C→B运动，设点P运动的时间是t秒，那么当t=，△APE的面积等于12．16．已知△ABC中，AC=8，AB=41，BC边上的高AG=5，D为线段AC上的动点，在BC上截取CE=AD，连接AE，BD，则AE+BD的最小值为．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，AB=3，AC=5，AD=2，求证：AD⊥AB．18．（6分）如图，∠AOB＝90°，OA＝8m，OB＝3m，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的路程与机器人行走的路程相等，那么机器人行走的路程BC是多少？19．（8分）以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数组，记为（3，4，5），类似地，还可得到下列勾股数组：（5，12，13），（7，24，25）等．(1)根据上述三组勾股数的规律，写出第四组勾股数组；(2)用含n（n为正整数）的数学等式描述上述勾股数组的规律，并证明．20．（8分）现有一个长、宽、高分别为5dm、4dm、3dm的无盖长方体木箱(如图,AB=5dm,BC=4dm,AE=3dm)．(1) 求线段BG的长；(2) 现在箱外的点A处有一只蜘蛛，箱内的点C处有一只小虫正在午睡，保持不动．请你为蜘蛛设计一种捕虫方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小虫．(木板的厚度忽略不计)21．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8．(1)如图（1），把△ABC沿直线DE折叠，使点A与点B重合，求BE的长；(2)如图（2），把△ABC沿直线AF折叠，使点C落在AB边上G点处，请直接写出BF的长．22．（8分）如图1，纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形如图2．（1）你能在3×3方格图（图3）中，连接四个格点（网格线的交点）组成面积为5的正方形吗？若能，请用虚线画出．（2）你能把十个小正方形组成的图形纸（图4），剪开并拼成正方形吗？若能，请仿照图2的形式把它重新拼成一个正方形．（3）如图，是由两个边长不等的正方形纸片组成的一个图形，要将其剪拼成一个既不重叠也无空隙的大正方形，则剪出的块数最少为________块．请你在图中画出裁剪线，并说明拼接方法．23．（8分）公元3世纪初，我国学家赵爽证明勾定理的图形称为“弦图”．1876年美国总统Garfeild用图1（点C、点B、点C′三点共线）进行了勾股定理的证明．△ACB与△BC′B′是一样的直角三角板，两直角边长为a，b，斜边是c．请用此图1证明勾股定理．拓展应用l：如图2，以△ABC的边AB和边AC为边长分别向外作正方形ABFH和正方形ACED，过点F、E分别作BC的垂线段FM、EN，则FM、EN、BC的数量关系是怎样？直接写出结论 ．拓展应用2：如图3，在两平行线m、n之间有一正方形ABCD，已知点A和点C分别在直线m、n 上，过点D作直线l∥n∥m，已知l、n之间距离为1，l、m之间距离为2．则正方形的面积是 ．答案解析一．选择题1．D【分析】根据题意得2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理列方程即可得到结论．【详解】解：∵m为正整数，∴2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理得，(2m)2+a2=(a+2)2，解得a=m2−1，∴弦是a+2=m2−1+2=m2+1，故选：D．2．C【分析】如图：由题意可得∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°,S=AB2=3,S C=DE2=5,S B=AC2,AAC=CE，再根据全等三角形和勾股定理可得S B=S C+S A=5+3=8，同理可得S D=S C+ S E=5+4=9，最后求正方形B、D的面积之和即可．【详解】解：如图：由题意可得：∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°,S=AB2=3,S C=DE2=5,S B=AC2,AC=CEA∴∠BAC+∠ACB=90°,∠DCE+∠ACB=90°,∴∠BAC=∠DCE，∴△ABC≅△CDE,∴DE=BC,∵∠ABC=90°，∴AC2=BC2+AB2，∴AC2=DE2+AB2,即S B=S C+S A=5+3=8,同理：S=S C+S E=5+4=9;D∴S+S B=8+9=17．D故选C．3．C【分析】根据网格的特点分别计算阴影部分的面积即可求得拼接后的正方形的边长，根据网格的特点能否找到构成边长的格点即可求解．【详解】解：A. 阴影部分面积为4，则正方形的边长为2，故能拼成正方形，不符合题意；B.阴影部分面积为10，则正方形的边长为10，∵12+32=10，故能拼成正方形，不符合题意；C.阴影部分面积为11，则正方形的边长为11，根据网格的特点不能构造出11的边，故不能拼成正方形，符合题意D. 阴影部分面积为13，则正方形的边长为13，∵22+32=13，故能拼成正方形，不符合题意；故选C．4．A【分析】将梯子斜靠在墙上时，形成的图形看做直角三角形，根据勾股定理，直角边的平方和等于斜边的平方，可以求出梯子的长度，再次利用勾股定理即可求出梯子底端到右墙的距离，从而得出答案.【详解】如图，在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米，AB2=AC2+BC2∴AB2=0.72+ 2.42= 6.25在Rt△A‘BD中，∵∠A’BD=90°，A’D=2米，BD2+A'D2=A'B2∴BD2+22= 6.25∴BD2= 2.25∵BD>0，∴BD=1.5米，∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米即小巷的宽度为2.2米，故答案选A5．B【分析】根据勾股定理求得BC，进而根据折叠的性质可得AE=AC，可得BE=2，设DE=x，表示出BD,DE，进而在Rt△BDE中，勾股定理列出方程，解方程即可求解．【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，∴BC=AC2−A B2=52−32=4，∵将△DAC沿AD向上翻折得到△DAE，使点E在射线AB上，∴AE=AC，设DE=x，则DC=DE=x,BD=BC−CD=4−x，BE=AE−AB=5−3=2，在Rt△BDE中，BD2+BE2=DE2，即(4−x)2+22=x2，解得：x=52，即DE的长为52故选：B．6．A【分析】首先根据SAS证明△BAF≌△EAF可得AF⊥BE，根据三角形的面积公式求出AD，根据勾股定理求出BD即可．【详解】解：由折叠得，AB=AE，∠BAF=∠EAF，在△BAF和△EAF中，{AB=AE∠BAF=∠EAFAF=AF，∴△BAF≌△EAF(SAS)，∴BF=EF，∴AF⊥BE，又∵AF＝4，AB＝5，∴BF=AB2−A F2=3，在△ADE中，EF⊥AD，DG＝EG，设DE边上的高线长为h，∴S△ADE =12AD⋅EF=12DG⋅h+12EG⋅h，即S△ADG +S△AEG=12AD⋅EF，∵S△AEG =12⋅GE⋅h=92，S△ADG=S△AEG，∴S△ADG +S△AEG=92+92=9，∴9=12AD⋅3，∴AD=6，∴FD=AD−AF=6−4=2，在Rt△BDF中，BF=3，FD=2，∴BD2=BF2+FD2=32+22=13，故选：A．7．A【分析】根据各个图象，利用面积的不同表示方法，列式证明结论a2+b2=c2，找出不能证明的那个选项．【详解】解：A选项不能证明勾股定理；B选项，通过大正方形面积的不同表示方法，可以列式(a+b)2=4×12ab+c2，可得a2+b2 =c2；C选项，通过梯形的面积的不同表示方法，可以列式(a+b)22=2×12ab+12c2，可得a2+b2=c2；D选项，通过这个不规则图象的面积的不同表示方法，可以列式c2+2×12ab=a2+b2+2×12ab，可得a2+b2=c2．故选：A．8．B【详解】根据勾股定理得：AB=2，AD=3，∴AE=3，∴OE=2−3，∴点E表示的数为−2+3．故答案为：B．9．B【分析】先将圆柱圆的侧面沿着点A所在的棱线剪开，得到长方形，得到AC=5cm,BC=242=12 cm，由此即可以利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路线AB的长.【详解】如图，沿着点A所在的棱线剪开，此时AC=5cm,BC=242=12cm，∴蚂蚁爬行的最短路线AB=AC2+BC2=52+122=13cm，故选：B.10．D【分析】利用正方形的性质证明△ABI≌△ADC，得出∠AIB=∠ACD，即可得出∠CNI=∠NAI，即可判断①，利用△ABI≌△ADC，即可求出△ABI的面积，即可判断②，由勾股定理和S3+S4=S▱ABED，即可判断③，由③S1-S4=S3-S2，两边平方，根据勾股定理可得AC2−B C2=AK2−B K2，然后计算S12+S42−(S22+S32)=0，即可判断④．【详解】解：∵四边形ACHI和四边形ABED为正方形，∴AI=AC，AD=AB，∠CAI=∠BAD=90°，∵∠BAI=∠BAC+∠CAI，∠DAC=∠BAC+∠BAD，∴∠BAI=∠DAC，∴△ABI≌△ADC（SAS），∴∠AIB=∠ACD，∵∠CNI=∠CAI=90°，∴BI⊥CD，故①正确；∵S△ACD=S△AIB=12×AI×AC，S正方形ACHI=S1=AI×AC，∴S1：S△ACD=2：1，故②正确；∵S1=AC2，S2=BC2，S3+S4=S正方形ADEB=AB2，AC2+BC2=AB2，∴S1+S2=S3+S4，∴S1-S4=S3-S2，故③正确；∵ S1-S4=S3-S2，∴S12+S42−2S1S4=S22+S32−2S2S3，∵S1=AC2，S2=BC2，S3=AK•KJ= AK•AB，S4=BK•KJ=BK•AB，∴S12+S42=AC4+AB2BK2，S22+S32=BC4+AK2AB2，∵AB2=AC2+ BC2，AC2=AK2+CK2,BC2=BK2+CK2，∴AC2−A K2=BC2−B K2，即AC2−B C2=AK2−B K2，∴S12+S42−(S22+S32)=AC4+AB2BK2−(BC4+AK2AB2)=AC4−B C4+AB2(BK2−A K2)=(AC2+BC2)(AC2−B C2)−A B2(AC2−B C2) =AB2(AC2−B C2)−AB2(AC2−B C2)=0，∴S1•S4=S2•S3，故④正确，二．填空题11．c2+ab a2+b2+ab【详解】解：如图所示：S1=c2+12ab×2=c2+ab，S2=a2+b2+12ab×2=a2+b2+ab．故答案为c2+ab，a2+b2+ab．12． 20 13【分析】（1）根据两点的纵坐标相同即可得出AB的长度；（2）过C作AB的垂线交AB于点E，连接AD，构造方程解出即可．【详解】（1）根据A、B两点的纵坐标相同，得AB=12−（−8）=20故答案为：20（2）如图：设AD=a，根据点A、B的纵坐标相同，则AE=12，CE=1−（−17）=18由ΔADE是直角三角形，得：（CE−CD）2+AE2=a2∴52+122=a2故答案为：13 13．102【分析】利用勾股定理依次计算出OA2=2，OA3=3，OA4=4=2，.. OA n=n，然后依据计算出前几个三角形的面积，然后依据规律解答求得S10即可．【详解】由题意得：OA2=OA12+A1A22=12+12=2，OA3=OA22+A2A32=12+(2)2=3，OA4=OA32+A3A42=12+(3)2=4=2,∴OAn=n，∴OA10=10，∴S10=12OA10⋅A10A11=12×10×1=102，故答案为：102．14．①③【分析】设小正方形的边长为1，则5个小正方形的面积为5，进而可知拼成的大正方形的边长为5，再根据所画虚线逐项进行拼接，看哪种剪法能拼成边长为5的正方形即可．【详解】解：按照①中剪法，在外围四个小正方形上分别剪一刀然后放到相邻的空处，可拼接成边长为5的正方形，符合题意；如下图所示，按照③中剪法，通过拼接也可以得到边长为5的正方形，符合题意；按照②中剪法，无法拼接成边长为5的正方形，不符合题意；故选①③．故答案为：①③．15．3或18或22【分析】分当点P在线段AB上运动时，当点P在线段BC上运动且在点E的右边时和当点P在线段BC上运动且在点E的左边时三种情况讨论，即可求出t的值．【详解】解：∵∠C=90°，BC＝16cm，AC＝12cm，∴AB=AC2+BC2=162+122=20，∵点E是BC的中点，∴CE＝BE=12BC＝8cm，S△ACE=S△ABE=12S△ABC=12×12×12×16=48cm2．当点P在线段AC上运动时，∵△APE的面积等于12，即S△APE =14S△ACE，∴AP=14AC=3，∴t=3÷1=3秒；当点P在线段BC运动时上且在点E的右边时，，如图2所示，同理可知BP=14BE=2cm，∴t=(12+8+2)÷1=22秒；当点P在线段BC上运动且在点E的左边时，如图3所示，同理可知CP=12CE=2cm，∴t=(12+8−2)÷1=18秒；故答案为∶3或18或22．16．13【分析】通过过点A 作GC 的平行线AN ，并在AN 上截取AH =AC ，构造全等三角形，得到当B ，D ，H 三点共线时，可求得AE +BD 的最小值；再作垂线构造矩形，利用勾股定理求解即可．【详解】如图，过点A 作GC 的平行线AF ，并在AF 上截取AH =AC ，连接DH ，BH ．则∠HAD =∠C ．在△ADH 和△CEA 中，{AD =CE ，∠HAD =∠C ，AH =CA ，∴△ADH≌△CEA(SAS)，∴DH =AE ，∴AE +BD =DH +BD ，∴当B ，D ，H 三点共线时，DH +BD 的值最小，即AE +BD 的值最小，为BH 的长．∵AG ⊥BG ，AB =41，AG =5，∴在Rt △ABG 中，由勾股定理，得BG =AB 2−A G 2=(41)2−52=4．如图，过点H 作HM ⊥GC ，交GC 的延长线于点M ，则四边形AGMH 为长方形，∴HM =AG =5，GM =AH =AC =8，∴在Rt △BMH 中，由勾股定理，得BH =BM 2+HM 2=(4+8)2+52=13．∴AE+BD的最小值为13．故答案为：13．三．解答题17．证明：如图，延长AD至点E，使得AD=DE，连接CE，∵AD为BC边上的中线，∴BD=DC，又∵AD=DE,∠ADB=∠EDC，∴△ABD≌△ECD，∴AB=EC=3，∠BAD=∠E，又∵AE=2AD=4,AC=5，∴AC2=AE2+CE2，∴∠E=90°∴∠BAD=∠E=90°∴AD⊥AB．18．解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，∴BC=AC，设BC=AC=x m，则OC=（8-x）m，在Rt△BOC中，∵OB2+OC2=BC2，．∴32+（8-x）2=x2，解得x=7316∴机器人行走的路程BC为73m．1619．（1）解：第一组勾股数的第一个数为3=2×1+1，第二个数为4=2×1×(1+1)，第三个数为4=2×(1+1)+1，第二组勾股数的第一个数为5=2×2+1，第二个数为12=2×2×(2+1)，第三个数为12=2×2×(2+1)+1，第三组勾股数的第一个数为7=2×3+1，第二个数为24=2×3×(3+1)，第三个数为25=2×3×(3+1)+1，所以第四组勾股数组的第一个数为2×4+1=9，第二个数为2×4×(4+1)=40，第三个数为2×4×(4+1)+1=41，∴第四组勾股数组为(9,40,41)；（2）解：由（1）可知：第n组勾股数为(2n+1,2n2+2n,2n2+2n+1)，证明：∵(2n+1)2+(2n2+2n)2=4n2+4n+1+4n4+8n3+4n2=4n4+8n3+8n2+4n+1，(2n2+2n+1)2=(2n2+2n+1)(2n2+2n+1)=4n4+4n3+2n2+4n3+4n2+2n+2n2+2n+1=4n4+8n3+8n2+4n+1∴(2n+1)2+(2n2+2n)2=(2n2+2n+1)220．解：（1）如图，连接BG．在直角△BCG中，由勾股定理得到：BG＝BC2+GC2＝42+32＝5（dm），即线段BG的长度为5dm；（2）①把ADEH展开，如图此时总路程为(3+3+5)2+42＝137②把ABEF展开，如图此时的总路程为(3+3+4)2+52＝125＝55③如图所示，把BCFGF展开，此时的总路程为(3+3)2+(5+4)2＝117由于117＜125<137，所以第三种方案路程更短，最短路程为117．21．（1）解：∵直线DE是对称轴，∴AE=BE，∵AC=6,BC=8，设AE=BE=x，则CE=8−x在Rt△ACE中，∠C=90°，∴AC2+CE2=AE2，∴62+(8−x)2=x2，，解得x=254∴BE=254（2）解：∵直线AF是对称轴，∴AC=AG，CF=CG，∵AC=6,BC=8，设CF=CG=x，则BF=8−x，∴在Rt△ACB中，∠C=90°，AB=AC2+BC2=62+82=10，∴BG=AB−AG=4，在Rt△BGF中，∠BGF=90°，∴GF2+BG2=BF2，∴x2+42=(8−x)2，解得x=3，∴BF=8−3=5．22．解：（1）能，如图所示，正方形ABCD即为所求；（2）能，如图所示，正方形ABCD即为所求；（3）如图所示，在AB上截取AM＝BE，连接DM、MF，DM、FM即为裁剪线，将△DAM拼接△DCH处，使DA与DC重合，将△MEF拼接至△HGF处，使ME和HG重合，EF与FG 重合，得到正方形DMFH，∴剪出的块数最少为5块，故答案为：5．23．如图：∵点C、点B、点B′三点共线，∠C＝∠C′＝90°，∴四边形ACC′B′是直角梯形，∵△ACB与△BC′B′是一样的直角三角板，∴Rt△ACB≌Rt△BC′B′，∴∠CAB＝∠C′BB′，AB＝BB′，∴∠CBA+∠C′BB’＝90°∴△ABB′是等腰直角三角形，，所以S梯形ACC′B′＝（AC+B′C′）•CC′÷2＝(a+b)22S △ACB ＝12AC ⋅BC =12ab ，S △BC ′B ′＝12ab ，S △ABB ′＝12c 2，所以(a +b)22=12ab +12ab +12c 2，a 2+2ab+b 2＝ab+ab+c 2，∴a 2+b 2＝c 2；拓展1．过A 作AP ⊥BC 于点P ，如图2，则∠BMF ＝∠APB ＝90°，∵∠ABF ＝90°，∴∠BFM+∠MBF ＝∠MBF+∠ABP ，∴∠BFM ＝∠ABP ，在△BMF 和△ABP 中，{∠BFM =∠ABP ∠BMF =∠APB =900BF =AB，∴△BMF ≌△ABP （AAS ），∴FM ＝BP ，同理，EN ＝CP ，∴FM+EN ＝BP+CP ，即FM+EN ＝BC ，故答案为FM+EN ＝BC ；拓展2．过点D 作PQ ⊥m ，分别交m 于点P ，交n 于点Q ，如图3，则∠APD ＝∠ADC ＝∠CQD ＝90°，∴∠ADP+∠DAP ＝∠ADP+∠CDQ ＝90°，∴∠DAP ＝∠CDQ ，在△APD 和△DQC 中，{∠DAP =∠CDQ ∠APD =∠DQC AD =DC，∴△APD ≌△DQC （AAS ），∴AP ＝DQ ＝2，∵PD ＝1，∴AD 2＝22+12＝5，∴正方形的面积为 5，故答案为5．。
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Ａ
Ｂ
3 勾股定理的应用练习题
1. △ABC中，1310ABBC，，中线12AD，则AC ．
2. 有一圆柱形罐，如图1，要以A点环绕油罐建梯子，正好
到A点的正上方B点，则梯子最短需 米．（油罐
周长12m，高5ABm）
3. 上午8:00，甲船从港口出发，以20海里/时的速度向东行驶，半
个小时后，乙船也由同一港口出发，以相同的速度向南航行，上午
10:00时，甲、乙两船相距多少远？
4. 如图2所示，长方形公园里要建一条小石子路，要求连结
AC ，
800m
600m
B
A
D C
港口
A
B
C
图1
两个景点，则石子路最短要多长？
1. 如图3所示，一棱长为3cm的正方体上有一些线段，把所有的面
都分成33×个小正方形，其边长都为1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，
则它从下底面A点沿表面爬行至右侧B点，最少要花几分钟？
2. 如图4所示，一根长90cm的灯管上，缠满了彩色丝带，已知可近
似地将灯管看做圆柱体，且底面周长为4cm，彩色丝带均匀地缠绕了
30圈，问：丝带共有多长？
A
B
图2
图3
3. 如图5，某船向正东方向航行，在A处望见某岛C在北偏东60，
该船前进6海里到达B点，则望见C岛在北偏东30，已知在C岛周围
6海里内有暗礁，问若船继续向东航行，有无触礁的危险？并说明理
由．
4. 一根直立的桅杆原长25m，折断后，桅杆的顶部落在离底部的5m
处，则桅杆断后两部分各是多长？
A
B
D
C
30
60
北
东
图4
图5
5. 某中学八年级学生想知道学校操场上旗杆的高度，他们发现旗杆
上的绳子垂到地面还多1米，当他们把绳子的下端拉开5米后，发现
下端刚好触地面，你能帮他们把旗杆的高度和绳子的长度计算出来
吗？