函数第八节
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2025年高考数学总复习课件16第二章第八节函数与方程
核心考点 提升“四能”
课时质量评价
函数零点个数的判断方法 (1)直接求零点：令f (x)＝0，有几个解就有几个零点． (2)函数零点存在定理：要求函数f (x)在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f (a)·f (b)<0，再结合函数的图象与性质确定函数的零点个数． (3)利用函数图象：作出两函数的图象，观察其交点个数即得零点个数．
A．(0，1)
B．(1，2)
√C．(2，3)
D．(3，4)
C 解析：(方法一)因为函数f (x)是增函数，且f (2)＝ln 2－1<0，f (3)＝ln 3>0， 所以由函数零点存在定理，得函数f (x)的零点位于区间(2，3)上．故选C． (方法二)函数f (x)＝x＋ln x－3的零点所在区间转化为g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋3的 图象的交点横坐标所在的范围．如图所示，可知函数f (x)的零点在(2，3)内．
b]上一定有实根
D．“二分法”对连续不断的函数的所有零点都有效
BC 解析：由结论知A错误，B正确，由函数零点存在定理可得C正确．由于
“二分法”是针对连续不断的函数的变号零点而言的，所以D错误．故选BC．
第八节 函数与方程
核心考点
提升“四能”
判断函数零点所在的区间
1．函数f (x)＝x＋ln x－3的零点所在的区间为( )
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
课时质量评价
自查自测 知识点二 函数零点存在定理 1．(教材改编题)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中的函数 零点的是( C )
第八节 函数与方程
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
课时质量评价
第八节 函数的连续性与间断点
f (x)
f ( x0 )
则称函数y = f ( x)在 x0点连续. x0称为f (x)的连续点.
若 f (x) 在点 x0 不连续，则称点 x0为f (x) 的间断点
【注】若
lim
x x0
f (x)
f ( x0 ), 则称函数 y = f (x)在x0
点左连续。
若
lim
x x0
f (x)
小结
1. 函数在一点连续
函数在一点左右连续
2. 区间上的连续函数;
3. 间断点的分类与判别;
间断点 第一类间断点: 可去型,跳跃型. 第二类间断点: 无穷型,振荡型.
作业 P64 习题1-8
2(1) 3(1)
第九节 连续函数的运算 与初等函数的连续性
内容提要
1 连续函数的和、差、积、商的连续性 2.反函数、复合函数的连续性 3.初等函数的连续性
二、函数的间断点
如果函数 f (x) 在点x0 处不连续，就称f (x) 在点 x0 处间断，x x0 点称为函数 f (x)的间断点或者 不连续点。 由函数连续性定义可知 , f(x) 在点 x0 连续必须
同时满足以下三个条件:
(1) 函数 f (x)在点 x0 有定义; (2) lim f ( x) 存在；
( g( x0 ) 0)
也在点 x0 处连续。
例如, sin x,cosx在(- ,+)内连续,
故 tanx,cot x,secx,cscx 在其定义域内连续.
二、反函数与复合函数的连续性
定理2 如果函数的区间上单调增加（或单调减少） 且连续，那么他的反函数也在对应的区间上单调 增加（或单调减少）且连续。
教学要求
第九章 第8节 多元函数的极值及其求法
,
y
)
3x2
3 y2
6x
6y
9
0
0
得驻点: (1,0) , (1,2) , (–3,0) , (–3,2) . B
C
第二步 判别. 求二阶偏导数
fxx ( x, y) 6x 6 , fx y(x, y) 0 , f y y( x, y) 6 y 6
在点(1,0)处 A 12 , B 0 , C 6 , AC B 2 12 6 0 , A 0 f (1 , 0) 5 为极小值;
2
2
17
例8某厂要用铁板做一个体积为2 m3的有盖长方体水箱,
问当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？
解:设水箱长,宽分别为 x , y m ,则高为 2 m
水箱所用材料的面积为
xy
A 2 x y y 2 x 2 2 x y 2 2
xy xy
xy
x y
0 0
令
Ax
2
y
2 x2
小值；
极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点.
2
例1 函数 z 3x2 4 y2
在 (0,0) 处有极小值．
(1)
例２ 函数 z x2 y2
(2)
在 (0,0) 处有极大值．
例３ 函数 z xy
在 (0,0) 处无极值．
(3)
3
对一元函数: 可导函数的极值点一是定驻点.
(x2
y2 1) 2 y( x ( x2 y2 1)2
y)
0,
得驻点( 1 , 1 )和( 1 , 1 ),
22
22
16
因为lim x
x
2
x
第八节 函数的连续性与连续函数的运算
x0 x 0 在 x 0处的 x0
解
f ( 0) 0 ,
lim f ( x ) lim( x 2) 2 f (0),
x0 x0
lim f ( x ) lim( x 2) 2 f (0),
x0 x0
故函数 f ( x )在点 x 0处不连续.
二、函数的间断点
函数 f ( x )在点 x0处满足下列条件之一:
(1) f ( x ) 在点 x0 没有定义 ;
( 2) f ( x ) 在点 x0 有定义但 lim f ( x ) 不存在 ;
x x0
( 3) f ( x ) 在点 x0 有定义 , lim f ( x ) 存在 ,
x x0
x x x0 , 称为自变量在点 x0的增量.
y f ( x ) f ( x0 ), 称为函数 f ( x )相应于x的增量.
可改写为 y f ( x0 x ) f ( x0 )
y
y f ( x)
y
y y
y f ( x)
0
x x0 x 0 x x
cos x , x 0, 函数 f ( x ) 在 x 0处连续. a x , x 0, 解 f ( 0) a ,
x 0
lim f ( x ) lim cos x 1,
x 0
x0
lim f ( x ) lim(a x ) a ,
1.第一类间断点
(1) 跳跃间断点 如果 f ( x )在点 x0处左, 右极限都
存在, 但f ( x0 ) f ( x0 ), 则称点 x0为函数f ( x ) 的跳跃间断点.
x, 例1 讨论函数 f ( x ) 1 x , x 0, 在x 0处的连续性. x 0,
第八节二元函数的极值与最值
例3 函数 z = xy 在点 ( 0, 0) 处
既不取得极大值也不取 得极 小值 .
3
定理7.6 定理
( 必要条件 ) 设 z = f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处的
偏导数 f x′ ( x0 , y0 ) , f y′ ( x0 , y0 ) 存在 , 若 ( x0 , y0 ) 是 f ( x , y ) 的极值点 , 则必有 ′ f x ( x0 , y0 ) = f y′ ( x0 , y0 ) = 0
解得: 解得:
3 由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 由题意知,最大值在定义域 内达到,而在域 内只有 一个驻点,故此点即为所求. 一个驻点,故此点即为所求.
16
α = = 60o , x = 8 (cm)
π
练习1.讨论函数 练习 是否取得极值.
及
在点(0,0)
解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 , 并且在 (0,0) 都有 在(0,0)点邻域内的取值 正 可能为 负 , 因此 z(0,0) 不是极值. 0
2 2⋅3 2
水箱所用材料最省. = 3 2 时, 水箱所用材料最省
18
作业： 作业：
P94 习题 习题7.8 1.(1)(2) 3. 6.
19
练习题
一、填空题: 填空题: _______点取 1 、函数 f ( x , y ) = (6 x − x 2 )(4 y − y 2 ) 在_______ 点取 得极_________值为___________. _________值为 得极_________值为___________. 下的极______ ______值 2 、函数 z = xy 在附加条件 x + y = 1 下的极 ______ 值 为_____________. 3 、方程 x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y − 6 z − 2 = 0 所确定的 的极大值是___________, ___________,极小值 函数 z = f ( x , y ) 的极大值是___________, 极小值 是_____________. 二、在 平 面 xoy 上 求 一 点 , 使 它 到 x = 0, y = 0 及 x + 2 y − 16 = 0 三直线的距离平方之和为最小. 三直线的距离平方之和为最小. 的球且有最大体积的长方体. 三、求内接于半径为 a 的球且有最大体积的长方体.
既不取得极大值也不取 得极 小值 .
3
定理7.6 定理
( 必要条件 ) 设 z = f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处的
偏导数 f x′ ( x0 , y0 ) , f y′ ( x0 , y0 ) 存在 , 若 ( x0 , y0 ) 是 f ( x , y ) 的极值点 , 则必有 ′ f x ( x0 , y0 ) = f y′ ( x0 , y0 ) = 0
解得: 解得:
3 由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 由题意知,最大值在定义域 内达到,而在域 内只有 一个驻点,故此点即为所求. 一个驻点,故此点即为所求.
16
α = = 60o , x = 8 (cm)
π
练习1.讨论函数 练习 是否取得极值.
及
在点(0,0)
解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 , 并且在 (0,0) 都有 在(0,0)点邻域内的取值 正 可能为 负 , 因此 z(0,0) 不是极值. 0
2 2⋅3 2
水箱所用材料最省. = 3 2 时, 水箱所用材料最省
18
作业： 作业：
P94 习题 习题7.8 1.(1)(2) 3. 6.
19
练习题
一、填空题: 填空题: _______点取 1 、函数 f ( x , y ) = (6 x − x 2 )(4 y − y 2 ) 在_______ 点取 得极_________值为___________. _________值为 得极_________值为___________. 下的极______ ______值 2 、函数 z = xy 在附加条件 x + y = 1 下的极 ______ 值 为_____________. 3 、方程 x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y − 6 z − 2 = 0 所确定的 的极大值是___________, ___________,极小值 函数 z = f ( x , y ) 的极大值是___________, 极小值 是_____________. 二、在 平 面 xoy 上 求 一 点 , 使 它 到 x = 0, y = 0 及 x + 2 y − 16 = 0 三直线的距离平方之和为最小. 三直线的距离平方之和为最小. 的球且有最大体积的长方体. 三、求内接于半径为 a 的球且有最大体积的长方体.
第八节 函数的连续性与间断点共26页PPT资料
22
|cosx(x)|1, sin||( R )
2
|y|2|sinx| 2| x||x|.
2
2
故 lim y0. x 0
即 函y 数 six 对 n 任 x (意 , )都 是 . 连
同理, 函 y 数 co x 对 s x 任 (, 意 )连 . 续
例2.
讨 论f函 (x)数 xx222,,
x0 在 x0处
x0
的 连.续 性
解: f(0 )lim f(x )li(m x 2 )2
x 0
x 0
f(0 )lim f(x )li(m x22 ) 2
x 0
x 0
f(0)f(0) f (0)
3. 单侧连续
(1) 左连续 如 果 f(x0)xl ix0 m f(x)f(x0),
则称f函 (x)在 数 x0左连 . 续
(2) 右连续 如 果 f(x0)xl ix0 m f(x)f(x0),
则 称 f函 (x)在 数 x0右 连 . 续
函 f(x ) 数 在 x 0处 连 x l x i0fm (x 续 ) f(x 0 ) f(x 0 )f(x 0 )f(x 0)
二、函数的间断点
设 f ( x)在点 x 0 的某去心邻域内有定义 , 则下列情形
之一函数 f (x) 在点 x 0 不连续 :
(1) 函数 f ( x)在 x 0 无定义 ;
(2) 函数 f ( x) 在 x 0 虽有定义 , 但 lim f (x) 不存在; xx0
(3) 函数 f ( x)在 x 0 虽有定义 , 且 lim f (x) 存在 , 但 xx0 xl im x0 f(x)f(x0)
|cosx(x)|1, sin||( R )
2
|y|2|sinx| 2| x||x|.
2
2
故 lim y0. x 0
即 函y 数 six 对 n 任 x (意 , )都 是 . 连
同理, 函 y 数 co x 对 s x 任 (, 意 )连 . 续
例2.
讨 论f函 (x)数 xx222,,
x0 在 x0处
x0
的 连.续 性
解: f(0 )lim f(x )li(m x 2 )2
x 0
x 0
f(0 )lim f(x )li(m x22 ) 2
x 0
x 0
f(0)f(0) f (0)
3. 单侧连续
(1) 左连续 如 果 f(x0)xl ix0 m f(x)f(x0),
则称f函 (x)在 数 x0左连 . 续
(2) 右连续 如 果 f(x0)xl ix0 m f(x)f(x0),
则 称 f函 (x)在 数 x0右 连 . 续
函 f(x ) 数 在 x 0处 连 x l x i0fm (x 续 ) f(x 0 ) f(x 0 )f(x 0 )f(x 0)
二、函数的间断点
设 f ( x)在点 x 0 的某去心邻域内有定义 , 则下列情形
之一函数 f (x) 在点 x 0 不连续 :
(1) 函数 f ( x)在 x 0 无定义 ;
(2) 函数 f ( x) 在 x 0 虽有定义 , 但 lim f (x) 不存在; xx0
(3) 函数 f ( x)在 x 0 虽有定义 , 且 lim f (x) 存在 , 但 xx0 xl im x0 f(x)f(x0)
2024届新高考一轮复习北师大版 第三章 第八节 函数与方程 课件(36张)
常用结论
1.周期函数如果存在零点,则必有无穷个零点.
2.若f(x)=g(x)-h(x),则函数f(x)零点的个数就是函数g(x),h(x)图象交点的个数.
自主诊断
题组一 思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)
1.函数f(x)=4-x2的两个零点是(-2,0)和(2,0).( × )
强基础 固本增分
1.函数的零点
(1)函数零点的定义
使得
f(x0)=0
的数x0称为方程f(x)=0的解,也称为函数y=f(x)的零点.
(2)几个等价关系
数形结合方法的依据
方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.
微点拨 函数的零点是一个实数,是使函数值等于0的自变量的值,它不是函
ln(-), < 0,
D.4
)
答案 (1)B
题组(1)函数f(x)=log3x+x-2的零点所在的区间为(
A.(0,1)
B.(1,2)
C.(2,3)
)
D.(3,4)
(2)(2023·四川攀枝花诊断测试)已知函数f(x)=lg x+2x-7的零点在区间
(k,k+1)(k∈Z)内,则k=(
A.1
B.2
答案 (1)B
C.3
(2)C
D.4
)
解析 (1)(方法1)函数f(x)=log3x+x-2的定义域为(0,+∞),并且f(x)在(0,+∞)上
2024
第三章
第八节 函数与方程
内
容
索
引
01
强基础 固本增分
02
研考点 精准突破
人教版中考数学考点系统复习 第三章 函数 第八节 二次函数的实际应用
此类问题一般涉及抛球、投篮、隧道、拱桥、喷泉水柱等．解决此类问 题的关键是理解题目中的条件所表示的几何意义．最高点为抛物线的顶 点，抛出点为抛物线中的 c 值，落地点为抛物线与 x 轴的交点，落地点 到抛出点的水平距离是此落地点横坐标的绝对值．
(1)抛球运动判断球是否过网即判断此点的坐标是否在抛物线上方；(2) 投篮判断是否能投中即判断篮网是否在球的运动轨迹所在的抛物线上； (3)判断货车是否能通过隧道即判断两端点的坐标是否在抛物线的下方； (4)判断船是否能通过拱桥即判断船两端的高度是否比桥上对应点到水 面的距离小；(5)判断人是否会被喷泉淋湿即判断人所处位置的水的高度 是否比人的身高高．
Ⅱ)为庆祝节日，在钢缆和拱桥之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的
最小值． 【分层分析】Ⅱ)设彩带长度为 Lm，则 L＝y2－y1＝x182x2－x－＋x4＋4，所以当
x＝44时，L 有最小值为 22 m. m
解：设彩带的长度为 L m，则 L＝y2－y1＝112(x－6)2＋1－－214x2＝18x2－x＋4＝18(x－4)2＋2， ∴当 x＝4 时，L 最小值＝2， 答：彩带长度的最小值是 2 m.
【分层分析】(1)设 y 与 x 之间的函数解析式为 y＝kx＋b(k≠0)，取表格 中任两组对应数据，用待定系数法解得 k＝－－22，b＝224400，因此 y 与 x 之间的函数解析式为 yy＝＝－－2x 2＋x＋240. 解：设 y 与 x 之间的函数24解0析式为 y＝kx＋b(k≠0)，
将(56，128)和(65，110)分别代入，得 56k＋b＝128， k＝－2， 65k＋b＝110，解得b＝240， ∴y 与 x 之间的函数解析式为 y＝－2x＋240.
★(2022·南充)如图，水池中心点 O 处竖直安装一水管，水管喷头喷出 抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水 柱落点与点 O 在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高 2.5 m 时，水 柱落点距 O 点 2.5 m；喷头高 4 m 时，水柱落点距 O 点 3 m．那么喷头高 8 8 m 时，水柱落点距 O 点 4 m.
高等数学第九章第八节多元函数的极值及其求法课件.ppt
A
在点(1,0) 处
AC B2 12 6 0, A 0,
为极小值;
在点(1,2) 处
AC B2 12 (6) 0,
不是极值;
在点(3,0) 处
AC B2 12 6 0,
不是极值;
在点(3,2) 处
AC B2 12 (6) 0, A 0,
为极大值.
f xx (x, y) 6x 6, f xy (x, y) 0, f yy (x, y) 6 y 6
x 1 y 3 0 2
1 x 3y 10 2
设拉格朗日函数 F (x 3y 10)2 (1 x2 y2 )
94
2(x 3y 10) 2 x 0
9
解方程组
6(x 3y 10) 2 y 0
4 1 x2 y2 0
94
得驻点 x
3 ,y 5
4 , 对应面积 5
S 1.646
二、最值应用问题
依据
函数 f 在闭域上连续
函数 f 在闭域上可达到最值
最值可疑点
驻点 边界上的最值点
特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时,
f (P)为极小(大) 值
f (P)为最小(大) 值
例3. 某厂要用铁板做一个体积为2 的有盖长方体水
问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?
而 SD 2, SE 3.5, 比较可知, 点 C 与 E 重合时, 三角形 面积最大.
Ex: 1. 求半径为R 的圆的内接三角形中面积最大者.
解: 设内接三角形各边所对的圆心角为 x , y , z ,则 x y z 2 , x 0 , y 0 , z 0
它们所对应的三个三角形面积分别为
存在
高三数学课件：第二章 第八节 函数的图象
(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平 移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意 变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平 移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.
(3)描点法：当函数的表达式不适合以上两种方法时，则可采
用描点法，其一般步骤为： 第一步确定函数的定义域以限制图象的范围. 第二步化简函数解析式. 第三步讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等). 第四步列表(尤其注意特殊点：零点、最高点、最低点、与坐 标轴的交点). 第五步描点、连线.
(2)在同一平面直角坐标系中，函数f(x)=ax与g(x)=ax的图象
可能是下列四个图象中的__________.
(3)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点P(a, 象限为_____.
c )所在的 b
【解析】(1)题中对数函数底数大于1，由图象知③正确. (2)由g(x)=ax结合图象知a>0且a≠1，故f(x)=ax图象为过原点 且上升的直线，故①④不正确，再结合②③，分析 0<a<1及a>1 知，②正确.
答案：(1)③
(2)④
(3)x= a b
2
(4)(1,+≦)
热点考向 1 【方法点睛】
作函数的图象
作函数图象的常见类型及方法 (1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函 数全部或局部或解析几何中熟悉的曲线的局部(如圆、椭圆、双 曲线、抛物线的一部分)时，就可根据这些函数的奇偶性、周期 性、对称性或曲线的特征直接作出.
象，合起来即得函数y=a|x|的图象，如图(3). 方法二：作出y=ax(0<a<1)的图象，去掉y轴左边图象，保留y
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《函数》 第8节
一、选择题
1. 函数f (x )＝ln 3x 2－2x
的零点一定位于区间( ) A. (1,2) B. (2,3) C. (3,4) D. (4,5)
2. 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
ln x －x 2＋2x (x >0)2x ＋1 (x ≤0)的零点个数为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
3. 若函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )
A. (－2,2)
B. [－2,2]
C. (－∞，－1)
D. (1，＋∞)
4.已知函数f (x )＝(13
)x －log 2x ，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且0<x 1<x 0，则f (x 1)( ) A. 恒为负值 B. 等于0 C. 恒为正值 D. 不大于0
5.已知函数f (x )＝x ＋2x ，g (x )＝x ＋ln x ，h (x )＝x －x －1的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是( )
A. x 1<x 2<x 3
B. x 2<x 1<x 3
C. x 1<x 3<x 2
D. x 3<x 2<x 1
6.已知x 0是函数f (x )＝2x ＋11－x
的一个零点．若x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则( ) A. f (x 1)<0，f (x 2)<0 B. f (x 1)<0，f (x 2)>0
C. f (x 1)>0，f (x 2)<0
D. f (x 1)>0，f (x 2)>0
二、填空题
7. 若函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是1，则函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是________．
8.函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1)(n ∈N )内，则n ＝________.
9.已知24(0)()(2)(0)
a x x x f x f x x ⎧--<=⎨-≥⎩，且函数()2y f x x =-恰有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．
三、解答题
10．求函数f (x )＝x 3－2x 2－x ＋2的零点，并画出它的大致图象．
11. 是否存在这样的实数a ，使函数f (x )＝x 2＋(3a －2)x ＋a －1在区间[－1,3]上与x 轴恒
有一个交点，且只有一个交点？若存在，求出a 的范围，若不存在，说明理由．
12．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，
(1)若a >b >c ，且f (1)＝0，试证明f (x )必有两个零点．
(2)若对x 1，x 2∈R 且x 1<x 2，f (x 1)≠f (x 2)，方程f (x )＝12
[f (x 1)＋f (x 2)]有两个不等实根，证明必有一实根属于(x 1，x 2)．。