2016-2017学年高中数学人教A版选修2-3课件：2.1离散型随机变量及其分布列

提示：X＝0,1,2,3，„，10.
[导入新知] 1．随机变量 (1)定义：在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每 一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数 字随着试验结果的变化而变化．像这种随着 试验 结果变化而变 化的变量称为 随机变量 ． (2)表示法：随机变量常用字母 X，Y，ξ，η，„ 表示． 2．离散型随机变量 所有取值可以 一一列出 的随机变量，称为离散型随机变量．
为两点分布列． 若随机变量 X 的分布列为 两点分布列 ， 就 称 X 服从两点分布，并称 p＝ P(X＝1) 为成功概率．
2．超几何分布 在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件 n－k Ck C M N－M n C 次品， 则 P(X＝k)＝________ ， k＝0,1,2， „， m， 其中 m＝min{M， N n}，且 n≤N，M≤N，n，M，N∈N*. 称分布列 X P 0
1 2 0 C1 C ＋ C 30 2 4 6 4C 6 1 张中奖或 2 张都中奖．故所求概率 P＝ ＝45＝3. C2 10
②Y 的所有可能取值为 0,10,20,50,60，且
0 2 C4 C6 15 1 P(Y＝0)＝ C2 ＝45＝3， 10 1 1 C3 C6 18 2 P(Y＝10)＝ C2 ＝45＝5， 10 2 0 C3 C6 3 1 P(Y＝20)＝ C2 ＝45＝15， 10 1 1 C1 C6 6 2 P(Y＝50)＝ C2 ＝45＝15， 10
离散型随机变量分布列的性质
[例 2] 设随机变量 X 的分布列为
k PX＝5＝ak(k＝1,2,3,4,5)．
(1)求常数 a 的值； (2)求 (3)求
[解]
3 PX≥5； 1 7 P10<X<10.
(1)由
5 k k 5 PX＝5＝ak(k＝1,2,3,4,5)，可知 PX＝5＝ ak k＝1 k＝ 1
1 ＝a＋2a＋3a＋4a＋5aБайду номын сангаас1，解得 a＝15.
(2)由(1)可知
k k PX＝5＝15(k＝1,2,3,4,5)，所以
3 PX≥5
3 4 3 4 5 4 ＝P X＝5 ＋P X＝5 ＋P(X＝1)＝15＋15＋15＝5. 1 7 1 2 3 1 2 (3)P 10<X<10 ＝P X＝5 ＋P X＝5 ＋P X＝5 ＝15＋15
[类题通法] 这类问题主要考查随机变量的概念，解答过程中要明确随 机变量满足的四个特征： (1)可用数来表示； (2)试验之前可以判断其可能出现的所有值； (3)在试验之前不能确定取何值； (4)试验结果能一一列出．
[活学活用] 判断下列各个变量是否是随机变量，若是，是否是离散 型随机变量？ (1)某公司信息台一天接到的咨询电话个数； (2)从 10 张已编好号码的卡片(从 1 号到 10 号)中任取一 张，被抽出卡片的号数； (3)某林场的树木最高达 30 m， 在此林场中任取一棵树木 的高度； (4)体积为 27 cm3 的正方体的棱长．
解：(1)接到的咨询电话的个数可能是 0,1,2,3，„，出现哪 一个结果是随机的， 因此是随机变量， 并且是离散型随机变量． (2)被抽取的卡片号数可以一一列出，符合离散型随机变量 的定义，是离散型随机变量． (3)林场树木的高度是一个随机变量，它可以取 (0,30]内的 一切值 ，无法一一列出，不是离散型随机变量． (4)体积为 27 cm3 的正方体的棱长为 3 cm，为定值，不是 随机变量.
[活学活用] 某班有学生 45 人，其中 O 型血的有 10 人，A 型血的有 12 人， B 型血的有 8 人，AB 型血的有 15 人．现从中抽 1 人，其血型 为随机变量 X，求 X 的分布列． 解：将 O，A，B，AB 四种血型分别编号为 1,2,3,4，则 X 的可
能取值为 1,2,3,4. C1 2 C1 4 10 12 P(X＝1)＝C1 ＝9，P(X＝2)＝C1 ＝15， 45 45 1 C1 8 C 1 8 15 P(X＝3)＝C1 ＝45，P(X＝4)＝C1 ＝3. 45 45 故其分布列为 X P 1 2 9 2 4 15 3 8 45 4 1 3
[解 ]
(1)随机变量 X 可能的取值为：0,1,2,3,4.
{X＝0}，表示抽出 0 件次品； {X＝1}，表示抽出 1 件次品； {X＝2}，表示抽出 2 件次品； {X＝3}，表示抽出 3 件次品； {X＝4}，表示抽出的全是次品． (2)随机变量 X 可能的取值为：0,1,2,3. {X＝0}，表示取出 0 个白球，3 个黑球； {X＝1}，表示取出 1 个白球，2 个黑球； {X＝2}，表示取出 2 个白球，1 个黑球； {X＝3}，表示取出 3 个白球，0 个黑球．
[活学活用] 从一批含有 13 件正品、2 件次品的产品中，不放回地任取 3 件，求取得次品数为 X 的分布列．
解：设随机变量 X 表示取出次品的个数，则 X 服从超 几何分布， 其中 N＝15， M＝2， n＝3， X 可能的取值为 0,1,2. 相应的概率依次为
3 C0 22 2C13 P(X＝0)＝ C3 ＝35， 15
离散型随机变量
[例 1] 写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量
所取的值表示的随机试验的结果． (1)在含有 10 件次品的 100 件产品中， 任意抽取 4 件， 可 能含有的次品的件数 X 是随机变量； (2)一袋中装有 5 个白球和 5 个黑球，从中任取 3 个，其 中所含白球的个数 X 是一个随机变量．
超几何分布的应用
[例 4] 在一次购物抽奖活动中，假设 10 张奖券中有一等
奖奖券 1 张，可获价值 50 元的奖品；有二等奖奖券 3 张，每张 可获价值 10 元的奖品；其余 6 张没有奖品． (1)顾客甲从 10 张奖券中任意抽取 1 张，求中奖次数 X 的 分布列． (2)顾客乙从 10 张奖券中任意抽取 2 张． ①求顾客乙中奖的概率； ②设顾客乙获得的奖品总价值为 Y 元，求 Y 的分布列．
离散型随机变量的分布列
[提出问题] 投掷一枚骰子，所得点数为 X. 问题 1：X 可取哪些数字？
提示：X＝1,2,3,4,5,6.
问题 2：X 取不同的值时，其概率分别是多少？ 1 提示：都等于6. 问题 3：你能用表格表示 X 与 p 的对应关系吗？
提示：列表如下： X p 1 1 6 2 1 6 3 1 6 4 1 6 5 1 6 6 1 6
2.1
离散型随机变量及其分布列
随机变量
[提出问题] 问题 1：抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上、反 面向上两种结果．这种试验结果能用数字表示吗？
提示：可以，可用数字 1 和 0 分别表示正面向上和反面向上．
问题 2：在一块地里种 10 棵树苗，设成活的树苗棵数为 X， 则 X 可取哪些数字？
[解 ]
(1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故 X 的
取值只有 0 和 1 两种情况． C1 4 2 4 P(X＝1)＝C1 ＝10＝5， 10 2 3 则 P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－5＝5. 因此 X 的分布列为 X P 0 3 5 1 2 5
(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类： 所抽取的 2 张奖券中有
分布列 ． ________
2．分布列的性质 (1)pi≥0，i＝1,2,3，„，n； (2) pi＝ 1 .
i＝ 1 n
[化解疑难] 1．离散型随机变量的分布列不仅能清楚地反映其所取的 一切可能的值，而且还能清楚地看到每一个值的概率大小， 从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况，是进一 步研究随机试验数量特征的基础． 2．离散型随机变量可以用分布列、解析式、图象表示.
n 0 C0 MCN－M Cn N
－
1
n 1 C1 MCN－M Cn N
－
„ „
m
n m Cm MCN－M n CN
－
为超几何分布列．如果随机变量 X 的分布列为超几何分布 列，则称随机变量 X 服从 超几何分布 ．
[化解疑难] 1．一般地，在只有两个结果的随机试验中，用 0 表示 事件不成功，1 表示事件成功，即随机变量的取值只有 0,1 两个，故又称为 0－1 分布． 2． 超几何分布的公式给出了求解这一类问题的方法． 运 用公式直接求解时重在理解实质： 运用排列组合知识求出 X 所有可能取值的概率， 即有条件的排列组合数与无条件的排 列组合数的比值．
[导入新知] 1．分布列的定义 若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1， x2， „， xi， „， xn，X 取每一个值 xi(i＝1,2，„，n)的概率 P(X＝xi)＝pi，以表 格的形式表示如下：
X
x1
x2
„
xi
„
xn
P
p1
p2
„
pi
„
pn
此表称为离散型随机变量 X 的概率分布列， 简称为 X 的
两个特殊分布
[提出问题] 问题 1：在妇产科医院统计一天的新生婴儿的出生情况， 在性别这一方面共有几种情况？
提示：两种．
问题 2：在含有 5 名男生的 100 名学生中，任选 3 人，求恰 有 2 名男生的概率表达式．
1 C2 C 5 95 提示： C3 . 100
[导入新知] 1．两点分布 称分布列 X P 0 1－p 1 p
2 2 9C －C≥0， 又因为 3－8C≥0，
1 3 1 解得9≤C≤8，所以 C＝3.
离散型随机变量的分布列
[例 3] (天津高考节选)一个盒子里装有 7 张卡片， 其中有
红色卡片 4 张，编号分别为 1,2,3,4；白色卡片 3 张， 编号分 别为 2,3,4.从盒子中任取 4 张卡片(假设取到任何一张卡片的可 能性相同)． (1)求取出的 4 张卡片中，含有编号为 3 的卡片的概率； (2)在取出的 4 张卡片中， 红色卡片编号的最大值设为 X, 求随机变量 X 的分布列．