组合数学6章作业答案
第6章 容斥原理及应用
6.7 练习题
3、求出从1到10000既不是完全平方数也不是完全立方数的整数个数。
解：∵100001002=,9261213=,10648223=
∴从1到10000，共有100个平方数，21个立方数 又∵409646=，1562556=
∴从1到10000，共有4个6次方数，也就是共有4个数既是平方数又是立方数 计算：10000-100-21+4=9883
∴从1到10000既不是完全平方数也不是完全立方数的整数有9883个
□
4、确定多重集{}d c b a S ⋅⋅⋅⋅=5,4,34，
的12-组合的个数。 解：设T ：{}d c b a S ⋅∞⋅∞⋅∞⋅∞=,,,*的所有12-组合 1A ：a 的个数大于4的12-组合
2A ：b 的个数大于3的12-组合 3A ：c 的个数大于4的12-组合
4A ：d 的个数大于5的12-组合
要求的是：
4321A A A A ⋂⋂⋂ = T )(4321A A A A +++-
)(434232413121A A A A A A A A A A A A ⋂+⋂+⋂+⋂+⋂+⋂+ )(432431421321A A A A A A A A A A A A ⋂⋂+⋂⋂+⋂⋂+⋂⋂- )(4321A A A A ⋂⋂⋂+
T =⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+121412=455
1A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+7147=120 2A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+8148=165 3A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+7147=120 4A =⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-+6146=84
21A A ⋂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+3143=20 31A A ⋂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+2142=10 41A A ⋂=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-+1141=4
32A A ⋂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+3143=20 42A A ⋂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+2142=10 43A A ⋂=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-+1141=4
321A A A ⋂⋂=421A A A ⋂⋂=431A A A ⋂⋂=432A A A ⋂⋂=4321A A A A ⋂⋂⋂=0 455-（120+165+120+84）+（20+10+4+20+10+4）=34
∴多重集{}d c b a S ⋅⋅⋅⋅=5,4,34，
的12-组合的个数是34 □
9、确定方程
204321=+++x x x x
满足
611≤≤x ，702≤≤x ，843≤≤x ，624≤≤x
的整数解的个数。
解：设 116x y -=， 227x y -=， 338x y -=， 446x y -=
则原方程等价于 确定方程
74321=+++y y y y
满足
501≤≤y ， 702≤≤y ， 403≤≤y ， 404≤≤y
的整数解的个数。
设S ：74321=+++y y y y 的所有非负整数解的集合
1A ：74321=+++y y y y 的所有满足61≥y 的非负整数解的集合 2A ：74321=+++y y y y 的所有满足82≥y 的非负整数解的集合
3A ：74321=+++y y y y 的所有满足53≥y 的非负整数解的集合 4A ：74321=+++y y y y 的所有满足54≥y 的非负整数解的集合 若j i ≠，则∅=⋂j i A A ,那么要求的是：
||||||||||||43214321A A A A S A A A A ----=⋂⋂⋂
1207147||=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=S 4||1=A 0||2=A 102142||||43=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-+==A A
120-4-0-10-10=96 ∴方程
204321=+++x x x x
满足
611≤≤x ，702≤≤x ，843≤≤x ，624≤≤x
的整数解的个数是96。
□
15、在一次聚会上，7位绅士检查他们的帽子。有多少种方法使得这些帽子返还是满足 ⅰ) 没有绅士收到他自己的帽子？ ⅱ) 至少一位绅士收到他自己的帽子？ ⅲ）至少两位绅士收到他们自己的帽子？
解：ⅰ)错排为7D
□
ⅱ)也就是问不错排，为7!7D -
□
ⅲ）677!7D D --
□
21、证明n D 是偶数当且仅当n 是奇数。
证明：已知1D =0，2D =1
且根据性质n n n nD D )1(1-+=-，递推下去有
1D 偶，2D 奇，3D 偶，4D 奇，5D 偶，6D 奇，7D 偶，8D 奇，… 并且这种奇偶变化是有规律的，n D 是偶数当且仅当n 是奇数
□
24、把六个非攻击型车放到具有如下所述禁止位置的6行6列棋盘上的方法数是多少？ ⅰ)
ⅱ)
ⅲ）
解：ⅰ)1r =6 2r =3×4=12 3r =2×2×2=8 4r =5r =6r =0 !0!1!2!3!4!5!6654321⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-r r r r r r =720-6×120+12×24-8×6=240 ∴方法数是240
□
ⅱ)1r =12 2r =2×3+3×4×4=54 3r =3×2×4×2+4×4×4=112
4r =3×2×2+3×4×4×2=108 5r =3×2×2×4=48 6r =2×2×2=8
!0!1!2!3!4!5!6654321⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-r r r r r r
=720-12×120+54×24-112×6+108×2-48+8=80 ∴方法数是80
□
ⅲ）1r =8 2r =6+1+5×3=22 3r =1+5×1+6×3=24 4r =6×1+1×3=9 5r =1 6r =0 !0!1!2!3!4!5!6654321⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-r r r r r r
=720-8×120+22×24-24×6+9×2-1=161 ∴方法数是161
□
计算机应用数学-(组合数学)-答案哈工大
1，证明，如果从集合{1，2，...，2n}中选择n+1整数，那么总存在两个整数，它们之间相差为1. 2，用鸽巢原理证明，有理数m/n展开的十进制小数最终是要循环的。例如，34 478/99 900=0.345 125 125 125 125 12... 3，一间屋内有10个人，他们当中没有人超过60岁（年龄只能以整数给出）但又至少不低于1岁。证明，总能够找出两组人（两组不含相同人），各组人的年龄和是相同的。题中的数10能换成更小的数吗？ 4，一只袋子装了100个苹果、100个香蕉、100个橘子和100个梨。如果我每分钟从袋子里了出1种水果，那么需要多少时间我就能肯定至少已拿出了1打相同种类的水果？ 5， i）证明，在边长为1的等边三角形内任意选择5个点，存在2个点，其间距离至多为1/2。 ii）证明，在边长为1的等边三角形内任意选择10个点，存在2个点，其间距离至多为1/3。 iii）确定一个整数m小n，使得如果在边长为1的等边三角形内任意选择的m小n个点，则存在2个点，其间距离至多为1/n. 6，下列各数各有多少互异正因子？ i）3的4次方X 5的2次方X 7的6次方X 11 ii）620 iii）10的10次方 7，确定下列类型的一手牌（5张牌）的数目。 i）full houses （3张一样大小的牌及2张相同点数的另外大小的牌）。 ii）顺牌（5张点数相连的牌）。 iii）同花（5张一样花色的牌）。 iv）同花顺（5张点数相连的同样花色的牌）。 v）恰好两个对（一对同样大小，另一对另外点数同样大小，再有一张另外大小的5张牌）。 vi）恰好一个对（一对同样大小，另外三张另外大小且互异点数的牌）。 8，从拥有10名男会员和12名女会员的一个俱乐部选出一个5人委员会。如果至少要包含2位女士，能够有多少种方法形成这个委员会？此外，如果俱乐部还有一位特定的男士和一们特定的女士拒绝进入该委员会一起工作，形成委员会的方式又有多少？ 9，学校有100名学生和3个宿舍A，B和C，它们分别容纳25，35和40人。 i）为学生安排宿舍有多少种方法？ ii）设100个学生中有50名男生和50名女生，而宿舍A是全男生宿舍，宿舍B 是全女生宿舍，宿舍C男妇兼收。有多少种方法可为学生安排宿舍？
组合数学参考答案(卢开澄第四版)60页
组合数学 双卢 答案 1.1 题 从{1，2，……50}中找两个数{a ，b}，使其满足 （1）|a-b|=5； （2）|a-b|≤5； 解：（1）：由|a-b|=5?a-b=5或者a-b=-5， 由列举法得出，当a-b=5时，两数的序列为（6，1）（7，2）……（50，45），共有45对。 当a-b=-5时，两数的序列为（1，6），（2，7）……（45，50）也有45对。 所以这样的序列有90对。 （2）：由题意知，|a-b|≤5?|a-b|=1或|a-b|=2或|a-b|=3或|a-b|=4或|a-b|=5或|a-b|=0； 由上题知当|a-b|=5时 有90对序列。 当|a-b|=1时两数的序列有（1，2），（3，4），（2，1）（1，2）…（49，50），（50，49）这样的序列有49*2=98对。 当此类推当|a-b|=2，序列有48*2=96对，当|a-b|=3时，序列有47*2=94对，当|a-b|=4时，序列有46*2=92对， 当|a-b|=0时有50对 所以总的序列数=90+98+96+94+92+50=520 1.2题 5个女生，7个男生进行排列，(a) 若女生在一起有多少种不同的排列？(b) 女生两两不相邻有多少种不同的排列？(c) 两男生A 和B 之间正好有3个女生的排列是多少？ 解：（a ）可将5个女生看作一个单位，共八个单位进行全排列得到排列数为：8！×5！， （b ）用x 表示男生，y 表示空缺，先将男生放置好，共有8个空缺， Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y 在其中任取5个得到女生两两不相邻的排列数： C （8，5）×7！×5！ （c ）先取两个男生和3个女生做排列，情况如下： 6. 若A ，B 之间存在0个男生， A ，B 之间共有3个人，所有的排列应为 P6=C(5,3)*3!*8!*2 1．若A ，B 之间存在1个男生， A ，B 之间共有4个人，所有的排列应为 P1= C(5,1)*C(5,3)*4!*7!*2 2．若A ，B 之间存在2个男生，A ，B 之间共有5个人，所有的排列应为 P2=C(5,2)*C(5,3)*5!*6!*2 3．若A ，B 之间存在3个男生，A ，B 之间共有6个人，所有的排列应为 P3=C(5,3)*C(5,3)*6!*5!*2 4．若A ，B 之间存在4个男生，A ，B 之间共有7个人，所有的排列应为 P4=C(5,4)*C(5,3)*7!*4!*2 5．若A ，B 之间存在5个男生，A ，B 之间共有8个人，所有的排列应为 P5=C(5,5)*C(5,3)*8!*3!*2 所以总的排列数为上述6种情况之和。 1.3题 m 个男生，n 个女生，排成一行，其中m,n 都是正整数，若 (a)男生不相邻)1(+≤n m ; (b)n 个女生形成一个整体； (c)男生A 和女生B 排在一起； 分别讨论有多少种方案。 解：(a) 可以考虑插空的方法。 n 个女生先排成一排，形成n+1个空。因为1+≤n m 正好m 个男生可以插在n+1个空中，形成不相邻的关系。 则男生不相邻的排列个数为 p p n m n n 1+? (b) n 个女生形成一个整体有n ！种可能，把它看作一个整体和m 个男生排在一起，则排列数有(m+1)!种可能。 因此，共有)!1(!+?m n 种可能。 (c)男生A 和女生B 排在一起，因为男生和女生可以交换位置，因此有2！种可能， A 、B 组合在一起和剩下的学生组成排列有(m+n-1)！ (这里实际上是m+n-2个学生和AB 的组合形成的)种可能。共有组合数为)!1(!2-+?n m 1.4题 26个英文字母进行排列，求x 和y 之间有5个字母的排列数 解：C （24，5）*13！ 1.5题 求3000到8000之间的奇整数的数目，而且没有相同的数字。 解：根据题意，千位可以从3，4，5，7，6中选取，个位可以从1，3，5，7，9中选取；因此 2*5*8*7+3*4*8*7=1232 1.6 题 计算，1·1！+2·2！+3·3！+。。。+n·n ！ 解：由序数法公式可知 1!+1=2! 2·2!+1·1!+1=3! 3·3！+2·2！+1·1！+1=4！ n·n!+(n-1)(n-1)!+。。。+2·2!+1·1!+1= (n+1)! 所以1·1！+2·2！+3·3！+。。。+n·n ！=(n+1)!－１ 1.7题 试证：)2()2)(1(n n n ++被2n 除尽。 证明：因!)!12(!2)!2(-=n n n n !)!12(2 !)! 2(2!)2()2)(1(!2)2()2)(1(-==++=++n n n n n n n n n n n n n n
组合数学课后答案
习题二证明：在一个至少有2人的小组中，总存在两个人，他们在组内所认识的人数相同。证明：假设没有人谁都不认识：那么每个人认识的人数都为[1,n-1]，由鸽巢原理知，n个人认识的人数有n-1种，那么至少有2个人认识的人数相同。假设有1人谁都不认识：那么其他n-1人认识的人数都为[1,n-2]，由鸽巢原理知，n-1个人认识的人数有n-2种，那么至少有2个人认识的人数相同。假设至少有两人谁都不认识，则认识的人数为0的至少有两人。
任取11个整数，求证其中至少有两个数的差是10的整数倍。证明：对于任意的一个整数，它除以10的余数只能有10种情况：0，1，…，9。现在有11个整数，由鸽巢原理知，至少有2个整数的余数相同，则这两个整数的差必是10的整数倍。证明：平面上任取5个坐标为整数的点，则其中至少有两个点，由它们所连线段的中点的坐标也是整数。2.3证明：有5个坐标，每个坐标只有4种可能的情况：（奇数，偶数）；（奇数，奇数）；（偶数，偶数）；（偶数，奇数）。由鸽巢原理知，至少有2个坐标的情况相同。又要想使中点的坐标也是整数，则其两点连线的坐标之和为偶数。因为奇数+奇数= 偶数；偶数+偶数=偶数。因此只需找以上2个情况相同的点。而已证明：存在至少2个坐标的情况相同。证明成立。
一次选秀活动，每个人表演后可能得到的结果分别为“通过”、“淘汰”和“待定”，至少有多少人参加才能保证必有100个人得到相同的结果？证明：根据推论2.2.1，若将3*（100-1）+1=298个人得到3种结果，必有100人得到相同结果。一个袋子里装了100个苹果、100个香蕉、100个橘子和100个梨。那么至少取出多少水果后能够保证已经拿出20个相同种类的水果？证明：根据推论2.2.1，若将4*（20-1）+ 1 = 77个水果取出，必有20个相同种类的水果。
组合数学作业1-8
1．1） 在边长为1的等边三角形内任意放10个点，证明一定存在 两个点，其距离不大于1/3。 证：如图所示： 在三角形的边上加两个点等分每条边，把大三角形分别9个边长为1/3的小三角形。由鸽巣原理：10个点中一定存在两个点落于同一个小三角形，其距离不大于1/3。 2）在边长为1的三角形内放m n 个点，则把三角形分割成n-1个小三角形。 由鸽巣原理可知：m n 个点必有两点落于同一个小三角形内，则其距离不大于1/n. 2．证：,1a a 2……a m m 个数，i=1,2…..m. 设 r m a i i i q += 0≤r i ≤m-1 当r i =0时，存在一个整数可以被m 整除。 当r i 从1…..m-1这m-1个中取值，那么m 个r i 中只有m-1种可能，则鸽巣原理可知：必存在j 和k ，使得r r k j =,j>k,即有 )(q q a a k j k j m -=-
3.证： ∵有理数可由整数和分数组成。 ∴当为整数时，存在以0为循环的循环小数。 ∴当为分数时，若分数是有限的循环小数，则存在以0为循 环的循环小数。 ∴若分数是无限循环的循环小数，则肯定存在某一位后以某一位为循环的循环小数。 4．证： 设全部由7组成的N+1个数，7，77，777，……,7777。。。。77（N+1个7） 存在整数N ，由7组成的数除以N ，以a i 代表N+1中的数。 即a i =Nq+r i 0≤r i ≤ N-1 则存在0….N-1这n 个数，则鸽巣原理可知：必定存在两个数 a a k i , 使得)(q q a a k j k j N -=- 是N 的倍数 组合数学第2次作业 2．5 ⑴ 证明在任意选取的n+1个正整数中存在着两个正整数，其差能被n 整除。 解：设任意n+1正整数a a a n 2 2 1 ,......,+，任意取两个整数的差为 s k =a a j i -,i>j. 差除以n 的余数为 r i 。 ∴0≤ r i ≤n-1 如果存在i ，使得 r i =0.则 a a j i -可以被n 整除，对所有i ，i=1,2 。。。。n 都有 r i ≠0 则这n 个i 中只能取1,2.。。。。n-1。这n-1种情况。由鸽巢原理可知，必存在i 和j 使得 r r i j =，
组合数学6章作业答案
第6章 容斥原理及应用 6.7 练习题 3、求出从1到10000既不是完全平方数也不是完全立方数的整数个数。 解：∵100001002=,9261213=,10648223= ∴从1到10000，共有100个平方数，21个立方数 又∵409646=，1562556= ∴从1到10000，共有4个6次方数，也就是共有4个数既是平方数又是立方数 计算：10000-100-21+4=9883 ∴从1到10000既不是完全平方数也不是完全立方数的整数有9883个 □ 4、确定多重集{}d c b a S ⋅⋅⋅⋅=5,4,34， 的12-组合的个数。 解：设T ：{}d c b a S ⋅∞⋅∞⋅∞⋅∞=,,,*的所有12-组合 1A ：a 的个数大于4的12-组合 2A ：b 的个数大于3的12-组合 3A ：c 的个数大于4的12-组合 4A ：d 的个数大于5的12-组合 要求的是： 4321A A A A ⋂⋂⋂ = T )(4321A A A A +++- )(434232413121A A A A A A A A A A A A ⋂+⋂+⋂+⋂+⋂+⋂+ )(432431421321A A A A A A A A A A A A ⋂⋂+⋂⋂+⋂⋂+⋂⋂- )(4321A A A A ⋂⋂⋂+ T =⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-+121412=455 1A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+7147=120 2A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+8148=165 3A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+7147=120 4A =⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-+6146=84
21A A ⋂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+3143=20 31A A ⋂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+2142=10 41A A ⋂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+1141=4 32A A ⋂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+3143=20 42A A ⋂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+2142=10 43A A ⋂=⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-+1141=4 321A A A ⋂⋂=421A A A ⋂⋂=431A A A ⋂⋂=432A A A ⋂⋂=4321A A A A ⋂⋂⋂=0 455-（120+165+120+84）+（20+10+4+20+10+4）=34 ∴多重集{}d c b a S ⋅⋅⋅⋅=5,4,34， 的12-组合的个数是34 □ 9、确定方程 204321=+++x x x x 满足 611≤≤x ，702≤≤x ，843≤≤x ，624≤≤x 的整数解的个数。 解：设 116x y -=， 227x y -=， 338x y -=， 446x y -= 则原方程等价于 确定方程 74321=+++y y y y 满足 501≤≤y ， 702≤≤y ， 403≤≤y ， 404≤≤y 的整数解的个数。 设S ：74321=+++y y y y 的所有非负整数解的集合 1A ：74321=+++y y y y 的所有满足61≥y 的非负整数解的集合 2A ：74321=+++y y y y 的所有满足82≥y 的非负整数解的集合 3A ：74321=+++y y y y 的所有满足53≥y 的非负整数解的集合 4A ：74321=+++y y y y 的所有满足54≥y 的非负整数解的集合 若j i ≠，则∅=⋂j i A A ,那么要求的是：
组合数学习题解答
第一章： 1.2. 求在1000和9999之间各位数字都不相同，而且由奇数构成的整数个数。 解：由奇数构成的4位数只能是由1，3，5，7，9这5个数字构成，又要求各位数字都不相同，因此这是一组从5个不同元素中选4个的排列，所以，所求个数为：P(5,4)=120。 1.4. 10个人坐在一排看戏有多少种就坐方式？如果其中有两人不愿坐在一起，问有多少种就坐方式？ 解：这显然是一组10个人的全排列问题，故共有10！种就坐方式。如果两个人坐在一起，则可把这两个人捆绑在一起，如是问题就变成9个人的全排列，共有9！种就坐方式。而这两个人相捆绑的方式又有2种（甲在乙的左面或右面）。故两人坐在一起的方式数共有2*9！，于是两人不坐在一 起的方式共有 10！- 2*9！。 1.5. 10个人围圆桌而坐，其中两人不愿坐在一起，问有多少种就坐方式？ 解：这是一组圆排列问题，10个人围圆就坐共有 10!10 种方式。 两人坐在一起的方式数为9 !92?,故两人不坐在一起的方式数为：9！-2*8！。 1.14. 求1到10000中，有多少正数，它的数字之和等于5？又有多少数字之和小于5的整数？ 解：(1)在1到9999中考虑，不是4位数的整数前面补足0， 例如235写成0235,则问题就变为求： x 1+x 2+x 3+x 4=5 的非负整数解的个数，故有 F （4，5）=??? ? ??-+=515456 (2)分为求： x 1+x 2+x 3+x 4=4 的非负整数解，其个数为F （4，4）=35 x 1+x 2+x 3+x 4=3 的非负整数解，其个数为F （4，3）=20 x 1+x 2+x 3+x 4=2 的非负整数解，其个数为F （4，2）=10 x 1+x 2+x 3+x 4=1 的非负整数解，其个数为F （4，1）=4 x 1+x 2+x 3+x 4=0 的非负整数解，其个数为F （4，0）=1 将它们相加即得， F （4，4）+F （4，3）+F （4，2）+F （4，1）+F （4，0）=70。 第二章： 2.3. 在边长为1的正三角形内任意放置5个点，则其中至少有两个点的距离≤1/2。 解：将边为1的正三角形分成边是为1/2的四个小正三角形，将5个点放入四个小正三角形中，由鸽笼原理知，至少有一个小正三角形中放有2个点，而这两点的距离≤1/2。 1/2 1/2 1/2
组合试题及答案06
组合数学试题 共 6 页 ，第 1 页 电子科技大学研究生试卷 （考试时间： 14：30 至 16：30 ，共 2 小时） 课程名称 组合数学 教师 卢光辉，张先迪 学时 40 学分 2 教学方式 讲授 考核日期 2006 年 12 月 2 日 成绩 考核方式： （学生填写） 一．填空题（每空2分，共22分） 1．食品店有三种不同的月饼（同种月饼不加区分），第一种有5个，第二种有6个，第三种有7个， (1) 从中取出4个装成一盒（盒内无序），则不同的装法数有 种 ； (2) 从中取出6个装成一盒（盒内无序），则不同的装法数有 种 ； （3）若将所有的月饼排在一个货架上，则排法数有 种（给出表达式，不必算出数值结果）。 （4）若将所有的月饼装在三个不同的盒子中，盒内有序（即盒内作线排列），盒子不空，则不同的装法数又有 种（给出表达式，不必算出数值结果）。 2．棋盘C 如图1所示，则棋子多项式 R (C ) = 3．设有足够多的红球、黄球和绿球，同色球不加区分，设从中无序地取出n 个球的方式数为a n ，有序地取出n 个球的方式数为b n ，但均需满足红球的数量为偶，黄球的数量为奇，则 (1) 由组合意义写出的{a n }的普通母函数为 ； 求和后的母函数为 。 学 号 姓 名 学 院 ……………………密……………封……………线……………以……………内……………答……………题……………无……………效………………… 图1
组合数学试题 共 6 页 ，第 2 页 (2)由组合意义写出的{b n }的指数母函数为 ； 求和后的母函数为 。 4．（1） 将6个无区别的球放入3个无区别的盒子中且盒子不空的放法数为 。 （2）将6个有区别的球放入3个无区别的盒子中且盒子不空的放法数为 。（已知将5个有区别的球放入3个无区别的盒子中且盒子不空的放法数为25） 二、（14 分） 给定重集B = {3·A , 3·B , 4·C ,10·D }。求B 的8-组合数。 三、（14分）解下列递归关系 ?? ???= =-=----87 ,7)1(761021a a a a a n n n n 四、（10分）用三种颜色对下图的小圆点着色，证明必存在两列，其着色完全相同。 五、（16分） 设长为n 的三元序列（即用0,1,2组成序列）中1与2的个数之和为奇的序 列个数为a n 。 1．试建立{a n }的递归关系（不要求解出）。 2．用另一方法（即不用解递归关系的方法）求出a n 。 六、（14分）对下图中的7个小方格用红、黄、绿和黑四种颜色着色，问: 着红、黄和绿色的小方格的个数均不为2的着色方案数是多少 ？ 七、（共10分） 1.现有7个人，其中恰有一对夫妇。试问从中取出6个人的夫妇不相邻的线排列有多 少种？ 2.若7个人中有三对夫妇，试问从中取出6个人的夫妇均不相邻的圆排列又有多少种？ 学 号 姓 名 学 院 ……………………密……………封……………线……………以……………内……………答……………题……………无……………效…………………
组合数学第五版答案
组合数学第五版答案 简介 《组合数学第五版答案》是对组合数学第五版的习题答案进行整理和解答的参考资料。组合数学是一门研究集合之间的组合方式和规律的数学科学。它广泛应用于计算机科学、统计学、运筹学等领域，在算法设计、图论分析等方面有着重要的应用价值。 本文档包含了《组合数学第五版》中各章节的习题答案，主要内容涵盖了排列组合、图论、生成函数、递推关系、容斥原理等多个重要主题。通过对这些习题的解答，可以帮助读者更好地理解组合数学的基本概念、方法和应用。 目录 •第一章：基本概念和方法 •第二章：排列组合 •第三章：图论 •第四章：生成函数
•第五章：递推关系 •第六章：容斥原理 第一章：基本概念和方法 1.习题1：证明排列的总数为n! (阶乘)。 2.习题2：计算组合数C(n, m)的值。 3.习题3：探究组合数的性质并给出证明。第二章：排列组合 1.习题1：计算排列数P(n, m)的值。 2.习题2：解决带有限制条件的排列问题。第三章：图论 1.习题1：证明图论中的握手定理。 2.习题2：解决图的着色问题。
第四章：生成函数 1.习题1：利用生成函数求解递推关系。 2.习题2：应用生成函数解决组合数学问题。 第五章：递推关系 1.习题1：求解递推关系的通项公式。 2.习题2：应用递推关系解决实际问题。 第六章：容斥原理 1.习题1：理解容斥原理的基本思想并给出证明。 2.习题2：应用容斥原理解决计数问题。 结论 通过对《组合数学第五版答案》中的习题进行解答，读者可以更好地掌握组合数学的基本概念和方法。组合数学在计算机科学、统计学、运筹学等领域具有广泛的应用，通过学习和理解组合数学，读者可以提高解决实际问题的能力，并为进一步深入研究相关领域打下坚实的基础。
(完整word版)组合数学习题解答
第一章： 1。2. 求在1000和9999之间各位数字都不相同,而且由奇数构成的整数个数。 解:由奇数构成的4位数只能是由1,3，5，7，9这5个数字构成,又要求各位数字都不相同，因此这是一组从5个不同元素中选4个的排列，所以，所求个数为：P （5,4）=120。 1.4。 10个人坐在一排看戏有多少种就坐方式？如果其中有两人不愿坐在一起，问有多少种就坐方式？ 解:这显然是一组10个人的全排列问题，故共有10！种就坐方式。如果两个人坐在一起，则可把这两个人捆绑在一起，如是问题就变成9个人的全排列，共有9!种就坐方式.而这两个人相捆绑的方式又有2种（甲在乙的左面或右面）。故两人坐在一起的方式数共有2＊9！，于是两人不坐在一 起的方式共有 10！— 2＊9！. 1.5. 10个人围圆桌而坐,其中两人不愿坐在一起，问有多少种就坐方式？ 解:这是一组圆排列问题，10个人围圆就坐共有10 ! 10 种方式。 两人坐在一起的方式数为9 ! 92⨯ ,故两人不坐在一起的方式数为：9！—2＊8！。 1。14. 求1到10000中,有多少正数，它的数字之和等于5？又有多少数字之和小于5的整数？ 解：（1）在1到9999中考虑，不是4位数的整数前面补足0, 例如235写成0235,则问题就变为求: x 1+x 2+x 3+x 4=5 的非负整数解的个数，故有 F （4,5）=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=515456 （2）分为求： x 1+x 2+x 3+x 4=4 的非负整数解，其个数为F （4，4）=35 x 1+x 2+x 3+x 4=3 的非负整数解，其个数为F(4,3）=20 x 1+x 2+x 3+x 4=2 的非负整数解,其个数为F （4,2)=10 x 1+x 2+x 3+x 4=1 的非负整数解,其个数为F （4，1）=4 x 1+x 2+x 3+x 4=0 的非负整数解，其个数为F （4，0）=1
(完整版)组合数学习题答案卢开澄
1 1.1 题 从{1，2，……50}中找两个数{a ，b}，使其满足 （1）|a-b|=5； （2）|a-b|≤5； 解：（1）：由|a-b|=5⇒a-b=5或者a-b=-5， 由列举法得出，当a-b=5时，两数的序列为（6，1）（7，2）……（50，45），共有45对。 当a-b=-5时，两数的序列为（1，6），（2，7）……（45，50）也有45对。 所以这样的序列有90对。 （2）：由题意知，|a-b|≤5⇒|a-b|=1或|a-b|=2或|a-b|=3或|a-b|=4或|a-b|=5或|a-b|=0； 由上题知当|a-b|=5时 有90对序列。 当|a-b|=1时两数的序列有（1，2），（3，4），（2，1）（1，2）…（49，50），（50，49）这样的序列有49*2=98对。 当此类推当|a-b|=2，序列有48*2=96对，当|a-b|=3时，序列有47*2=94对，当|a-b|=4时，序列有46*2=92对， 当|a-b|=0时有50对 所以总的序列数=90+98+96+94+92+50=520 1.2题 5个女生，7个男生进行排列，(a) 若女生在一起有多少种不同的排列？(b) 女生两两不相邻有多少种不同的排列？(c) 两男生A 和B 之间正好有3个女生的排列是多少？ 解：（a ）可将5个女生看作一个单位，共八个单位进行全排列得到排列数为：8！×5！， （b ）用x 表示男生，y 表示空缺，先将男生放置好，共有8个空缺， Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y 在其中任取5个得到女生两两不相邻的排列数： C （8，5）×7！×5！ （c ）先取两个男生和3个女生做排列，情况如下： 6. 若A ，B 之间存在0个男生， A ，B 之间共有3个人，所有的排列应为 P6=C(5,3)*3!*8!*2 1．若A ，B 之间存在1个男生， A ，B 之间共有4个人，所有的排列应为 P1= C(5,1)*C(5,3)*4!*7!*2 2．若A ，B 之间存在2个男生，A ，B 之间共有5个人，所有的排列应为 P2=C(5,2)*C(5,3)*5!*6!*2 3．若A ，B 之间存在3个男生，A ，B 之间共有6个人，所有的排列应为 P3=C(5,3)*C(5,3)*6!*5!*2 4．若A ，B 之间存在4个男生，A ，B 之间共有7个人，所有的排列应为 P4=C(5,4)*C(5,3)*7!*4!*2 5．若A ，B 之间存在5个男生，A ，B 之间共有8个人，所有的排列应为 P5=C(5,5)*C(5,3)*8!*3!*2 所以总的排列数为上述6种情况之和。 1.3题 m 个男生，n 个女生，排成一行，其中m,n 都是正整数，若 (a)男生不相邻)1(+≤n m ; (b)n 个女生形成一个整体； (c)男生A 和女生B 排在一起； 分别讨论有多少种方案。 解：(a) 可以考虑插空的方法。 n 个女生先排成一排，形成n+1个空。因为1+≤n m 正好m 个男生可以插在n+1个空中，形成不相邻的关系。 则男生不相邻的排列个数为 p p n m n n 1+⋅ (b) n 个女生形成一个整体有n ！种可能，把它看作一个整体和m 个男生排在一起，则排列数有(m+1)!种可能。 因此，共有)!1(!+⋅m n 种可能。 (c)男生A 和女生B 排在一起，因为男生和女生可以交换位置，因此有2！种可能， A 、B 组合在一起和剩下的学生组成排列有(m+n-1)！ (这里实际上是m+n-2个学生和AB 的组合形成的)种可能。共有组合数为)!1(!2-+⋅n m 1.4题 26个英文字母进行排列，求x 和y 之间有5个字母的排列数 解：C （24，5）*13！ 1.5题 求3000到8000之间的奇整数的数目，而且没有相同的数字。 解：根据题意，千位可以从3，4，5，7，6中选取，个位可以从1，3，5，7，9中选取；因此 2*5*8*7+3*4*8*7=1232 1.6 题 计算，1·1！+2·2！+3·3！+。。。+n·n ！ 解：由序数法公式可知 1!+1=2! 2·2!+1·1!+1=3! 3·3！+2·2！+1·1！+1=4！ n·n!+(n-1)(n-1)!+。。。+2·2!+1·1!+1= (n+1)! 所以1·1！+2·2！+3·3！+。。。+n·n ！=(n+1)!－１ 1.7题 试证：)2()2)(1(n n n ++被2n 除尽。 证明：因!)!12(!2)!2(-=n n n n !)!12(2 !)! 2(2!)2()2)(1(!2)2()2)(1(-==++=++n n n n n n n n n n n n n n 因为(2n-1)!!是整数所以)2()2)(1(n n n ++能被2n 除尽。
组合数学课后习题答案
题目： 1. 已知集合A={a,b,c,d},求A的子集的个数。 答案： 集合A={a,b,c,d}的子集的个数可以用组合数学中的2^n来计算，其中n表示集合A中 元素的个数，即n=4，因此A的子集的个数为2^4=16。 A的子集可以分为空集和非空集，空集只有 一个，即空集，而非空集有15个，它们分
别是：{a}、{b}、{c}、{d}、{a,b}、{a,c}、{a,d}、{b,c}、{b,d}、{c,d}、{a,b,c}、{a,b,d}、{a,c,d}、{b,c,d}、{a,b,c,d}。 由此可知，集合A={a,b,c,d}的子集的个数为16个。 2. 已知集合A={1,2,3,4,5},求A的子集的个数。 答案： 集合A={1,2,3,4,5}的子集的个数可以用组合数学中的2^n来计算，其中n表示集合A 中元素的个数，即n=5，因此A的子集的个
数为2^5=32。 A的子集可以分为空集和非空集，空集只有 一个，即空集，而非空集有31个，它们分 别是：{1}、{2}、{3}、{4}、{5}、{1,2}、{1,3}、{1,4}、{1,5}、{2,3}、{2,4}、{2,5}、{3,4}、{3,5}、{4,5}、{1,2,3}、{1,2,4}、{1,2,5}、{1,3,4}、{1,3,5}、{1,4,5}、{2,3,4}、{2,3,5}、{2,4,5}、{3,4,5}、{1,2,3,4}、{1,2,3,5}、{1,2,4,5}、{1,3,4,5}、{2,3,4,5}、{1,2,3,4,5}。 由此可知，集合A={1,2,3,4,5}的子集的个数为32个。
组合数学第五版答案
组合数学第五版答案 【篇一：组合数学参考答案(卢开澄第四版)60页】 使其满足（1）|a-b|=5；（2）|a-b|?5； 解：（1）：由|a-b|=5?a-b=5或者a-b=-5， 由列举法得出，当a-b=5时，两数的序列为（6，1）（7，2）……（50，45），共有45对。当a-b=-5时，两数的序列为（1，6），（2，7）……（45，50）也有45对。所以这样的序列有90对。（2）：由题意知，|a-b|?5?|a-b|=1或|a-b|=2或|a-b|=3或|a-b|=4 或|a-b|=5或|a-b|=0；由上题知当|a-b|=5时有90对序列。当|a- b|=1时两数的序列有（1，2），（3，4），（2，1）（1，2）…（49，50），（50，49）这样的序列有49*2=98对。当此类推当 |a-b|=2，序列有48*2=96对，当|a-b|=3时，序列有47*2=94对， 当|a-b|=4时，序列有46*2=92对，当|a-b|=0时有50对 所以总的序列数=90+98+96+94+92+50=520 1.2题 5个女生，7个男生进行排列，(a) 若女生在一起有多少种不同的排列？(b) 女生两两不相邻有多少种不同的排列？(c) 两男生a 和b之间正好有3个女生的排列是多少？ 所以总的排列数为上述6种情况之和。 1.3题 m个男生，n个女生，排成一行，其中m,n都是正整数，若 (a)男生不相邻(m?n?1); (b)n个女生形成一个整体；(c)男生a和女生b排在一起；分别讨论有多少种方案。 解：(a) 可以考虑插空的方法。 n个女生先排成一排，形成n+1个空。因为m?n?1正好m个男生可以插在n+1个空中，形成不相邻的关系。 则男生不相邻的排列个数为 pp n n n?1m (b) n个女生形成一个整体有n！种可能，把它看作一个整体和m 个男生排在一起，则排列数有(m+1)!种可能。因此，共有n!?(m?1)!种可能。
组合数学课后答案
作业习题答案 习题二 2.1证明：在一个至少有2人的小组中.总存在两个人.他们在组内所认识的人数相同。 证明： 假设没有人谁都不认识：那么每个人认识的人数都为[1,n-1].由鸽巢原理知.n个人认识的人数有n-1种.那么至少有2个人认识的人数相同。 假设有1人谁都不认识：那么其他n-1人认识的人数都为[1,n-2].由鸽巢原理知.n-1个人认识的人数有n-2种.那么至少有2个人认识的人数相同。 2.3证明：平面上任取5个坐标为整数的点.则其中至少有两个点.由它们所连线段的中点的坐标也是整数。 证明： 方法一： 有5个坐标.每个坐标只有4种可能的情况：（奇数.偶数）；（奇数.奇数）；（偶数.偶数）；（偶数.奇数）。由鸽巢原理知.至少有2个坐标的情况相同。又要想使中点的坐标也是整数.则其两点连线的坐标之和为偶数。因为奇数+奇数 = 偶数；偶数+偶数=偶数。因此只需找以上2个情况相同的点。而已证明：存在至少2个坐标的情况相同。证明成立。 方法二： 对于平面上的任意整数坐标的点而言.其坐标值对2取模后的可能取值只有4种情况.即：(0,0) ,(0,1) ,(1,0), (1,1).根据鸽巢原理5个点中必有2个点的坐标对2取模后是相同类型的.那么这两点的连线中点也必为整数。 2.4一次选秀活动.每个人表演后可能得到的结果分别为“通过”、“淘汰”和“待定”.至少有多少人参加才能保证必有100个人得到相同的结果？ 证明： 根据推论2.2.1.若将3*（100-1）+1=298个人得到3种结果.必有100人得到相同结果。 2.9将一个矩形分成(m+1)行 1 1 2 m m + ⎛⎫ + ⎪ ⎝⎭ 列的网格每个格子涂1种颜色.有m种颜色可以选 择.证明：无论怎么涂色.其中必有一个由格子构成的矩形的4个角上的格子被涂上同一种颜色。 证明： （1）对每一列而言.有（m+1）行.m种颜色.有鸽巢原理.则必有两个单元格颜色相同。 （2）每列中两个单元格的不同位置组合有 1 2 m+ ⎛⎫ ⎪ ⎝⎭ 种.这样一列中两个同色单元格的位置 组合共有 1 2 m m + ⎛⎫ ⎪ ⎝⎭ 种情况
组合数学作业答案
组合数学作业答案LT
6. 有多少使下列性质同时成立的大于5400的整数？ (a) 各位数字互异。 (b) 数字2和7不出现。 解因为只能出现数字0, 1, 3, 4, 5, 6, 8, 9，所以整数的位数至多为8。 ①考虑8位整数。最高位不能为0，因此8位整数有)7,7( ⨯个。 7P ②考虑7位整数。最高位不能为0，因此8位 整数有)6,7( ⨯个。 7P ③考虑6位整数。最高位不能为0，因此8位 整数有)5,7( ⨯个。 7P ④考虑5位整数。最高位不能为0，因此8位 整数有)4,7( ⨯个。 7P ⑤考虑4位整数。若千位数字大于5，有)3,7( ⨯ 3P 个。若千位数字等于5，则百位数字必须大于 等于4，有)2,6( ⨯个。 4P 根据加法原理，符合条件的整数的个数为 + ⨯ ⨯ ⨯ + + + P ⨯ P P P P ⨯P 94830 )4,7( + 3 )3,7( )2,6( 4 )5,7( 7 7 ⨯ )7,7( 7= )6,7( 7 8. 15人围坐一个圆桌。如果B拒绝挨着A坐，有多少种围坐方式？如果B只拒绝坐在A的右侧，又有多少种围坐方式？
解 15人围坐一个圆桌，有!14种围坐方式。若B 固定坐在 A 的左侧，则可将BA 看作一个整体， 有!13种围坐方式。若B 固定坐在A 的右侧，则可将AB 看作一个整体，有!13种围坐方式。因此，B 不挨着A 坐的围坐方式有!1312!132!14⨯=⨯-种，B 不坐在A 的右侧的围坐方式有!1313!13!14⨯=-种。 11. 从15个球员的集合中选人组成11个球员的足球队，其中5人只能踢后卫，8人只能踢边卫，2人既能踢后卫又能踢边卫。假设足球队有7个人踢边卫4个人踢后卫，确定足球队可能的组队方法数。 解 设甲和乙既能踢后卫又能踢边卫。 若甲和乙均不入选，组队方法数为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛78⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛45。 若甲和乙均入选，组队方法数为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛78⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛25+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛68⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛35+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛58⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛45。 若甲入选且乙不入选，组队方法数为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛78⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛35+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛68⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛45。 若乙入选且甲不入选，组队方法数也为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛78⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛35+ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛68⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛45。 因此，组队方法数总共为
组合数学习题答案.
第一章答案 第二章答案 第三章答案 第四章答案 第一章答案 1．(a) 45 ( {1,6},{2,7},{3,8},…,{45,50} ) (b) 45⨯5+(4+3+2+1) = 235 ( 1→2~6, 2→3~7, 3→4~8, …,45→46~50, 46→47~50, 47→48~50, 49→50 ) 2．(a) 5!8! (b) 7! P(8,5) (c) 2 P(5,3) 8! 3. (a) n!P(n+1, m) (b) n!(m+1)! (c) 2!((m+n-2)+1)! 4. 2 P(24,5) 20! 5. 2⨯5⨯P(8,2)+3⨯4⨯P(8,2) 6. (n+1)!-1 7. 用数学归纳法易证。 8. 41⨯31 9. 设 n=p 1 n 1p 2 n 2…p k n k , 则n 2的除数个数为 ( 2p 1 +1) (2p 2 +1) …(2p k +1). 10．1）用数学归纳法可证n 能表示成题中表达式的形式； 2）如果某n 可以表示成题中表达式的形式，则等式两端除以2取余数，可以确定a 1；再对等式两端的商除以3取余数，又可得a 2；对等式两端的商除以4取余数，又可得a 3；…；这说明表达式是唯一的。 11．易用C(m,n)=m!/(n!(m-n)!)验证等式成立。 组合意义： 右：从n 个不同元素中任取r+1个出来，再从这r+1个中取一个的全体组合的个数； 左：上述组合中，先从n 个不同元素中任取1个出来，每一个相同的组合要生复 C(n-1,r) 次。 12．考虑,)1(,)1(10 1 -=-=+=+=∑∑n n k k k n n n k k k n x n x kC x x C 求导数后有 令x=1, 即知.210-==∑n n k k n n kC 13. 设此n 个不同的数由小到大排列后为a 1, a 2, …, a n 。当第二组最大数为a k 时， 第二组共有2k-1种不同的可能，第一组有2n-k -1种不同的可能。故符合要求的 不同分组共有12)2()12(2111 1+-=-----=∑n k n k n k n 种。 （另解：设两组共含k 个数(k=2,3,…,n)，则分组数为 ∑2≤k ≤n C(n,k) (k-1) = n 2n-1- 2n +1 . ） 14. 3⨯2⨯2. 15. 用k 表示数的位数，用i 表示k 位数中零的个数，则0出现的次数为