平行四边形——菱形

菱形的性质与判定教案
课程导入：课时：1课时
我们知道平行四边形是一种比较规则，比较漂亮的几何图形。

那我们今天再来看一种更加规则，更加漂亮的几何图形——菱形。

必讲知识点：
定义1、四条边都相等的四边形是菱形。

定义2、邻边相等的平行四边形的菱形。

性质：
1、具有平行四边形所以性质
2、四条边都相等
3、对角线互相垂直
4、对角线平分对角
5、是轴对称图形（两条对角线所在的直线是它的对称轴）
6、面积S=底×高S=对角线之积的一半
补充：只要是对角线互相垂直的四边形都可以用对角线积的一半来求面积.
必讲例题
例1 （补充）已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．
求证：∠AFD=∠CBE．
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CB=CD，CA平分∠BCD．
∴∠BCE=∠DCE．又CE=CE，
∴△BCE≌△COB（SAS）．
∴∠CBE=∠CDE．
∵在菱形ABCD中，AB∥CD，∴∠AFD=∠FDC
∴∠AFD=∠CBE．
例2 在菱形ABCD中，BAD=2∠B．如图所示．试说明△ABC是等边三角形．
要说明△ABC是等边三角形，可以从以下几条入手：
（1）说明AB=BC=AC；
（2）说明∠BAC=∠ACB=∠ABC；
（3）说明△ABC中，有两个角都等于60°．
从第一条途径出发：我们知道四边形ABCD是菱形，即可获得AB=BC，•现在只差AB=AC或BC=AC．
要知道CB=AC，就要说明∠ABC=∠CAB；
要知道BA=AC，就要说明∠ABC=∠ACB．
由于AD∥BC，即可得到∠DAB+∠ABC=180°，
故3∠ABC=180°，∠ABC=60°．
那么∠BAD=120°．
由于菱形对角线平分内角．
故∠BAC=60°，
即∠BAC=∠ABC=60°．
那么AB=AC．
这样就可以得到△ABC是等边三角形．
从第二条途径出发：就要从三个角入手，上面分析已得到：∠BAC=∠ABC，由于BA=BC，故∠BAC=∠BCA．那么∠BAC=∠ABC=∠BCA．
这样△ABC是等边三角形就可获得说明，从第三条途径出发，•第一条途径分析中已获得了．
上课必练
一、选择题
1．已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的邻角度数分别为 ( ) A.45°， 135° B.60°， 120° C.90°， 90° D.30°， 150°
2．若菱形的一条对角线长是另一条对角线的2倍，且此菱形的面积为S ，则它的边长为( ) A. B. C. D. 3．在菱形ABCD 中，若∠ADC=120°，则BD ：AC 等于( )
A ．
B ．
C ．1：2
D ．
4．已知菱形的周长为 40cm ，两对角线的长度之比为3：4，则两对角线的长分别为( )
A ． 6cm ， 8cm
B ． 3cm ， 4cm
C ． 12cm ， 16cm
D ． 24cm ， 32cm 5．菱形的对角线具有( )
A ．互相平分且不垂直
B ．互相平分且相等
C ．互相平分且垂直
D ．互相平分、垂直且相等 （掌握菱形对角线的性质，注意不要增加性质） 二、填空题
1．已知：菱形ABCD 中，E 、F 是BC 、CD 上的点，且AE=EF=AF=AB ，则∠B=________. 2．已知：菱形的两条对角线长分别为a 、b ，则此菱形周长为_______，面积为__________. 3．菱形具有而矩形不具有的性质是_______.
4．已知一个菱形的面积为 平方厘米，且两条对角线的比为1： ，则菱形的边长为_________. 5．已知菱形的面积等于 ，高等于 8cm ，则菱形的周长等于____________．
6．已知菱形的两条对角线的长分别是6和8，那么它的边长是______________． 7．菱形的周长是 40cm ，两邻角的比是1：2，则较短的对角线长是_________cm ． 三、解答题
1．已知菱形ABCD 的对角线交于点O ，AC= 16cm ，BD= 12cm ，求菱形的高．
2．如图所示，已知E 为菱形ABCD 的边AD 的中点，EF ⊥AC 于F 交AB 于M ．试说明M 为AB 的中点．
2
1M F
E D
C
B
A
3．如图所示，已知菱形ABCD 中E 在BC 上，且AB=AE ，∠BAE=1
2
∠EAD ，AE 交BD 于M ，试说明BE=AM ．
18．如图所示，已知在菱形ABCD 中，AE ⊥CD 于E ，∠ABC=60°，求∠CAE 的度数．
3
4
2
1
M E D
C
B
A
课程导入： 时间：一课时 上次课我们巩固了特殊的平行四边形——菱形的性质。

大家一起回顾一下，菱形有哪些性质？ 、、、、、、
必讲知识点： 菱形的判定条件：
1、四条边都相等的四边形是菱形
2、邻边相等的平行四边形是菱形
3、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形
4、对角线互相平分且平分对角的四边形是菱形
注：判定菱形一般都在平行四边形的基础之上进行判定的。

必讲例题：
已知：四边形ABCD ，AC 平分∠DAB 和∠DCB ，BD 平分∠ABC 和∠ADC 求证：四边形ABCD 是菱形
证明： ∵AC 平分∠DAB 和∠DCB ∴∠DAC=∠BAC ∠DCA=∠BCA 又∵AC=AC
∴△ADC ≌△ABC （A ．S ．A ．） ∴AD=AB ，CD=CB
同理，∵BD 平分∠ABC 和∠ADC ∴AD=CD ，AB=CB ∴AB=CD ，BC=AD
∴四边形ABCD 是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
又∵AB=BC
∴四边形ABCD 是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形） 如图20．3．4，已知矩形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别交于点E 、F ，求证四边形AFCE 是菱形．
证明∵ 四边形ABCD 是矩形，
∴ AE ∥FC （平行四边形的对边平行），∴ ∠1＝∠2． ∵ EF 平分AC ， ∴ AO ＝OC ．
又∵ ∠AOE ＝∠COF ＝90°，
∴ △AOE ≌△COF （A ．S ．A ．）， ∴ EO ＝FO ，
∴ 四边形AFCE 是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）． 又∵EF ⊥AC ，
∴ 四边形AFCE 是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．
如图，AD 是△ABC 的一条角平分线，DE ∥AC 交AB 于点E ，DF ∥AB 交AC 于点F.求证四边形AEDF 是菱形.（证明略）
三、随堂练习
一、判断题
1．一组邻边相等，且对角线互相垂直的四边形是菱形．（ ） 2．一条对角线平分一组对角的四边形是菱形．（ ）
3．对角线交点到各边中点的距离都相等的四边形是菱形．（ ） 4．菱形是轴对称图形，它的对称轴只有一条．（ ）
5．菱形的对角线互相垂直平分，且平分各内角．（ ） 二、填空题
6．菱形的邻角比为1：5，它的高为1.5cm ，则它的周长为_______． 7．两条对角线_________的四边形是菱形．
8．已知菱形的两对角线的比为2：3，两对角线和为20，•则这对角线长分别为_____，_______． 9．菱形ABCD 的AC 交BD 于O ，AB=13，BO=12，AO=5，求菱形的周长=_____，面积=•____．
10．O 为菱形ABCD 的对角线交点，E 、F 、G 、H 分别是菱形各边的中点，若OE=3cm ，•则OF=_____，OG=_______，OH=______．三、选择题
11．从菱形的钝角的顶点向对边引垂线，并且这条垂线平分对边，•则该菱形的钝角为（ ）． A ．110° B ．120° C ．135° D ．150°
12．菱形的两邻角之比为1：2，如果它的较短对角线为3cm ，则它的周长为（ ）． A ．8cm B ．9cm C ．12cm D ．15cm 13．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）．
A ．对边相等
B ．对角相等
C ．对角线互相相等
D ．对有线相等 14．能够找到一点使该点到各边距离相等的图形为（ ）． A ．平行四边形 B ．菱形 C ．矩形 D ．不存在 15．下列说法不正确的是（ ）．
A ．菱形的对角线互相垂直
B ．菱形的对角线平分各内角
C ．菱形的对角线相等
D ．菱形的对角线交点到各边等距离 16. 如图19－2－20所示， A BCD 的对角线AC 的垂直平分线EF 与AD ，BC ，AC 分别交于点
E ，
F ，O ，连接AF ，EC ，则四边形AFCE 是菱形吗？为什么？
17. 如图19－2－21所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，P 为BC 的中点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，EM ⊥AC 于M ，FN ⊥AB 于N ，EM 与FN 相交于点Q ，那么四边形PEQF 是菱形吗？说明你的理由.
18. 如图19－2－22所示，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，CG ⊥AB 于G ，交AD 于F ，DE ⊥AB 于E ，那么四边形CDEF 是菱形吗？说说你的理由.。