复摆运动的初步分析及混沌现象
复摆振动中的混沌现象
复摆振动中的混沌现象
潘洪明
【期刊名称】《物理实验》
【年(卷),期】2006(026)009
【摘要】利用组合物理实验仪,研究了复摆振动中的混沌现象,分析了产生混沌的物理条件,并给出不同条件下的混沌图形.
【总页数】3页(P10-11,16)
【作者】潘洪明
【作者单位】浙江工商大学,信电学院,浙江,杭州,310035
【正文语种】中文
【中图分类】O3
【相关文献】
1.涡激振动型水力复摆式压电俘能器的仿真与实验研究 [J], 宋汝君;单小彪;范梦龙;谢涛
2.柔性冗余度机器人振动中的混沌现象 [J], 俞刚;李立
3.复摆运动中的混沌现象 [J], 陈良;徐勇;韩家骅
4.复摆强迫振动中的混沌研究 [J], 孙红章;汤正新;刘哲;苏向英;刘磊;刘钢
5.复摆运动中的混沌现象及其计算机模拟 [J], 李文胜
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《单摆和复摆》课件
如何设计一个实验来验证单摆 和复摆的周期公式？
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复摆的回复力由重力和支点的 支持力合成，方向始终指向平 衡位置。
单摆和复摆的能量转换
单摆和复摆在运动过程中，动能 和势能之间相互转换。
当摆角较小时，单摆的运动近似 简谐振动，能量转换呈现周期性
变化。
复摆在运动过程中，由于支点摩 擦和空气阻力等因素，能量会有
所损失，导致运动周期变长。
03
单摆和复摆的应用
02
4. 启动计时器，记录复摆完成一 个周期的时间。
实验结果和实验分析
实验结果
通过实验测量得到单摆和复摆的运动周期，并记录在表格中。
实验分析
根据测量结果，分析单摆和复摆的运动特性，比较两者之间的差异。通过计算单摆的振动周期公式 T=2π√(L/g) ，其中L为单摆的长度，g为重力加速度，验证理论公式是否与实验结果相符。对于复摆，分析其转动惯量、质量 等因素对周期的影响。
钟表和计时器中的应用
钟表的核心机制
复摆在高级钟表中的应用
单摆被用作钟表的核心计时机制。其 规律的周期性运动被转换成时间单位 ，如秒、分、小时。
在高级机械钟表中，复摆常用于更精 确地调节和平衡钟表的运行。
精确度与稳定性
由于单摆的简单运动模式和自然频率 的稳定性，它为钟表提供了高精度的 时间基准。
振动隔离和减震中的应用
实验步骤和实验操作
3. 开始计时，记录单摆和复摆的运动周期。 4. 重复实验多次，求平均值。
5. 分析实验数据，得出结论。
实验步骤和实验操作
实验操作 1. 调整单摆的长度，使小球能够自由摆动。
2. 启动计时器，记录单摆完成一个周期的时间。
混沌运动——精选推荐
混沌运动●图⽚来源：独眼矮⼦《迷失在混沌的世界》本世纪以来，⼈们越来越意识到：物理世界是⼀个充满着⾮稳定性和随机涨落的复杂体系，单⼀的决定论或概率论的描述⽅法并不完备；物理学家要⽤新的见解来重新考察物质的运动和结构，以便更深刻地描述⾃然界的真实情况。
混沌（chaos）和分维（fractal）就是这些新见解的⼀部分。
为了使物理图象更为清晰，本⽂着重介绍混沌运动的各种表现，⽽省去了详尽的数学推导。
运动的⾮线性和混沌在物理学中，我们通常研究的是线性问题。
所谓线性问题，就是表达该过程的物理学规律，即微分⽅程式中，只包含函数ψ及其导数的⼀次项。
若含有⼆次等⾼次项，则称为⾮线性的，线性仅是某种程度上的有条件的近似。
单摆运动是⼤家所熟悉的，它的运动⽅程是=-g/l，是线性的，表现出简谐振动特征。
我们知道是在⼩⾓条件下对sinθ的近似代换。
其实按照泰勒级数展开sinθ=-3/6 ……，除⼀次项外，还存在⾮线性微扰项。
在某些稳定过程中，这些微扰项的效应不会表现出来，可以作为线性问题处理；⼀旦⾮线性微扰的作⽤通过⾃放⼤过程⽽不断强化，则会使摆的运动复杂起来。
如果在单摆实验装置中，⽤⼀枚铁质回形针作摆球，在摆球下⽅平放⼀块塑料板，板上粘两块强度相同的磁铁：这就构成了磁微扰单摆试验装置。
调整塑料板位置，使磁铁联线的中点就在摆球的正下⽅。
我们随意把摆球拉开⼀个⼩位移，在塑料板上仔细地记下它们的位置，并观察摆球最后停下的位置。
不难发现：这些运动的初始点可分为⼆⼤类：⼀类是可以准确地判定摆球最终将停留在哪块磁铁附近，另⼀类则是⽆法进⾏判定的。
进⽽发现，摆球的起始位置越靠近两磁铁的等距点，摆球的运动迹线越复杂，越难预先判定其最终归宿。
⽽若要把这类初始点的位置构成⼀个集合⼜是那么的困难：它们凹凸曲折、时断时连，很不光滑，⼜⽆穷尽。
实验结果发现，磁微扰单摆运动出现了特异的表现。
⾸先，运动是在决定论中蕴含着随机性，使得对于某些起始条件下的运动结果是不可预测的。
大型混沌摆实验报告
一、实验目的1. 理解混沌现象的物理本质，掌握混沌摆实验的原理和方法。
2. 通过实验观察混沌摆的运动特性，验证混沌现象在物理系统中的存在。
3. 探讨混沌摆参数对系统混沌现象的影响，分析混沌摆的混沌动力学特性。
二、实验原理混沌摆是一种非线性物理系统，其运动规律具有确定性、随机性和不可预测性。
在实验中，我们通过改变摆长、摆锤质量和初始条件等参数，观察混沌摆的运动特性。
1. 混沌摆的数学模型设摆长为L，摆锤质量为m，初始条件为θ0、ω0，混沌摆的动力学方程为：m θ'' + c θ' + kθ = 0其中，θ为摆角，θ'为摆角速度，θ''为摆角加速度，c为阻尼系数，k为弹性系数。
2. 混沌现象的判据混沌现象的判据包括以下几个方面：（1）系统对初始条件的敏感依赖性：微小差异的初始条件会导致系统演化出截然不同的轨迹。
（2）系统演化过程中的周期分岔：系统从有序运动逐渐演化为混沌运动，经历周期运动、倍周期运动、混沌运动等阶段。
（3）奇异吸引子：混沌运动轨迹最终趋于一个复杂、非周期的几何结构，称为奇异吸引子。
三、实验装置与步骤1. 实验装置（1）混沌摆装置：包括摆杆、摆锤、支架等。
（2）数据采集系统：包括数据采集卡、传感器、计算机等。
（3）控制装置：包括控制器、电源等。
2. 实验步骤（1）搭建混沌摆实验装置，调整摆长、摆锤质量等参数。
（2）将传感器安装在摆锤上，用于测量摆角和摆角速度。
（3）启动数据采集系统，采集混沌摆的运动数据。
（4）对采集到的数据进行处理和分析，绘制混沌摆的运动轨迹、时域波形图等。
（5）分析混沌摆的混沌动力学特性，探讨混沌现象的产生原因。
四、实验结果与分析1. 混沌摆的运动轨迹通过实验，我们观察到混沌摆的运动轨迹呈现出复杂、非周期的特点，具有以下特征：（1）轨迹在相空间中呈现出分岔现象，逐渐演化为混沌运动。
（2）轨迹具有自相似性，即局部放大后，仍保持相似的几何结构。
混沌现象
山东轻工业学院 Байду номын сангаас理学院 3
近代物理 概 论
混 沌 现 象
第三，对于理解混沌现象有重要意义的一条差别： 第三，对于理解混沌现象有重要意义的一条差别： 线性关系保持讯号的频率成分不变， 线性关系保持讯号的频率成分不变，而非线性使频率结 构发生变化。 构发生变化。 线性：频率成分不变；非线性： 线性：频率成分不变；非线性：频率变换器 第四，非线性是引起行为突变的原因。 第四，非线性是引起行为突变的原因。 线性：引起行为渐变；非线性： 线性：引起行为渐变；非线性：可能导致突变
基础研究主要的任务是认识世界 基础研究的成果导致技术革命 三类系统 1. 简单系统：混沌现象往往需要避免 简单系统： 2. 大量情况：混沌的作用不能简单的以“利”、 大量情况：混沌的作用不能简单的以“ “害”名之 3. 复杂系统，生命现象：混沌可能起着根本性 复杂系统，生命现象： 的积极作用
山东轻工业学院 数理学院 8
马尔萨斯人口论模型： 马尔萨斯人口论模型：
x n+1 = axn
2 x n +1 = ax n − bx n
线性模型 最简单的非线性模型
混沌道路
四、通向混沌的各种道路
1. 倍周期分岔道路 2. 阵发混沌道路 倍周期分岔和阵发混沌是两种最常见的通向混沌的 道路。实际上，可以说有无穷多种通向混沌的道路。 道路。实际上，可以说有无穷多种通向混沌的道路。
混 沌 现 象
所谓“确定论系统” 所谓“确定论系统”，是指描述该系统的数学模 型是不包含任何随机因素的完全确定的方程。 型是不包含任何随机因素的完全确定的方程。 混沌现象是确定论系统所表现出来的随机行为的 混沌现象是确定论系统所表现出来的随机行为的 总称。它的根源在于非线性的相互作用。 总称。它的根源在于非线性的相互作用。
大学物理实验复摆实验讲义
⼤学物理实验复摆实验讲义复摆【实验⽬的】(1)研究复摆的物理特性; (2)⽤复摆测定重⼒加速度;(3)⽤作图法和最⼩⼆乘法研究问题及处理数据。
【仪器⽤具】复摆,光电计时器,电⼦天平,⽶尺等。
【实验原理】1.复摆的振动周期公式在重⼒作⽤下,绕固定⽔平转轴在竖直平⾯内摆动的刚体称为复摆(即物理摆).设⼀复摆 (见图1-1)的质量为m ,其重⼼G 到转轴O 的距离为h ,g 为重⼒加速度,在它运动的某⼀时刻t,参照平⾯(由通过O 点的轴和重⼼G 所决定)与铅垂线的夹⾓为0,相对于O 轴的恢复⼒矩为M=-mgh sin θ（1.1）图 1-1复摆⽰意图根据转动定理, 复摆(刚体)绕固定轴O 转动,有M=I β (1.2)其中M 为复摆所受外⼒矩，I 为其对O 轴的转动惯量，β为复摆绕O 轴转动的⾓加速度, 且22dtd θβ=则有M=I22dt d θ（1.3）结合式(1.1)和式(1.3),有I 22dtd θ+mgh sin θ=0 (1.4) 当摆⾓很⼩的时候, sin θ≈θ, ,式(1.4)化为22dt d θ+θImgh =0 (1.5) 解得θ=A cos(ωt+θ0) (1.6)式中A ，θ由初条件决定;ω是复摆振动的⾓频率，ω＝I mgh /，则复摆的摆动周期T=2πmghI（1.7）2.复摆的转动惯量，回转半径和等值单摆长由平⾏轴定理,I=I G +mh 2,式中I G 为复摆对通过重⼼G 并与摆轴平⾏的轴的转动惯量, (1.7)式可写为 T=2πmghmh I G 2+ （1.8）可见, 复摆的振动周期随悬点O 与质量中⼼G 之间的距离h ⽽改变。
还可将I =I G +mh 2改写22G 2I mR mh mR =+= (1.9)式中R G =m I G 为复摆对G 轴的回转半径, 同样也有R=mI， R 称为复摆对悬点O 轴的回转半径。
复摆周期公式也可表⽰为T=2πgh h R G+2 （1.10）事实上, 总可以找到⼀个单摆,它的摆动周期等于给定的复摆的周期,令L ＝h hR G+2 （1.11）则 T= 2πgL(1.12) 式中L 称为复摆的等值单摆长。
混沌摆原理
混沌摆原理混沌摆原理是指在一个看似混乱无序的系统中，其实存在着一种隐含的规律和秩序。
这种原理最早被应用在天文学领域，用来解释太阳系行星运动的复杂性。
后来，人们发现混沌摆原理在许多其他领域也有着广泛的应用，比如气象学、生物学、经济学等。
混沌摆原理的发现为人们认识世界的复杂性和多样性提供了新的视角。
混沌摆原理的核心思想是系统内部的微小变化可能会导致系统整体行为的剧烈变化。
这种微小变化可能是由于系统内部的非线性相互作用所引起的，即使初始条件具有微小的差异，最终结果也可能截然不同。
这种敏感依赖于初始条件的特性被称为“蝴蝶效应”，即蝴蝶在巴西拍动翅膀可能引起美国得克萨斯州的一场龙卷风。
混沌摆原理的发现对于人们认识世界的复杂性和不确定性产生了深远的影响。
在过去，人们往往认为世界的运行规律是确定的，只要掌握了初始条件和运行规律，就可以准确预测未来的发展。
然而，混沌摆原理的发现告诉我们，即使是简单的系统，也可能表现出极其复杂和难以预测的行为。
这种不确定性和复杂性使得人们在面对现实世界时不得不谦卑和谨慎，不能轻率地做出预测和判断。
混沌摆原理的应用也为人们提供了新的思路和方法。
在金融领域，混沌摆原理的发现为人们认识市场的波动和风险提供了新的视角。
在生物学领域，混沌摆原理的应用也为人们认识生物系统的复杂性和多样性提供了新的方法。
在气象学领域，混沌摆原理的应用也为人们认识气候系统的复杂性和不确定性提供了新的思路。
总之，混沌摆原理的发现为人们认识世界的复杂性和多样性提供了新的视角和方法。
它告诉我们，世界是一个充满着不确定性和复杂性的系统，我们需要谦卑和谨慎地面对现实世界，不能轻率地做出预测和判断。
混沌摆原理的应用也为人们提供了新的思路和方法，帮助人们更好地认识和理解世界的运行规律。
希望未来，在混沌摆原理的指引下，人们能够更好地认识和改造世界，创造出更加美好的未来。
《单摆和复摆》课件
单摆的周期和频率
单摆的周期T=2π√(L/g)，其中L为摆长，g为重力加速度。 单摆的频率f=1/T，即f=√(g/4π^2L)。
单摆的能量分析
单摆的动能E_k=1/2mV^2， 其中m为摆球质量，V为摆球速 度。
单摆的势能E_p=mgh，其中h 为摆球相对于平衡位置的高度 。
复摆的周期和频率
01
02
03
周期
复摆完成一次完整的旋转 所需的时间。
频率
单位时间内复摆完成的旋 转次数。
关系
周期和频率互为倒数，即 $T = frac{2pi}{omega}$ 。
复摆的能量分析
定义
能量分析是指对系统能量 的来源、转换和消耗进行 分析。
机械能守恒
在无外力矩作用的情况下 ，复摆的机械能守恒。
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THANKS
当摆角θ较小时，单摆的总能 量E=E_k+E_p=1/2mgL(1cosθ)。
03
复摆的运动分析
复摆的运动方程
定义
解法
复摆是指具有固定轴的刚体绕固定点 旋转的装置。
通过求解该方程，可以得到复摆的运 动规律。
运动方程
$Ifrac{domega}{dt} + Domega = 0$，其中$I$是转动惯量，$omega$ 是角速度，$D$是阻尼系数。
特点
单摆的运动具有周期性，即小球可以 在一个固定的圆周上摆动。单摆的周 期与摆长、地球的重力加速度以及小 球的转动惯量有关。
复摆的定义和特点
定义
复摆是一个质量为m的小球，在一根刚性杆的一端固定，另一端通过一根无质 量的线悬挂起来。当小球在垂直平面内摆动时，它的运动可以看作是简谐振动 。
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复摆运动的初步分析及混沌现象
Ozprince
1.概述：复摆是指，在重力作用下绕通过自身某固定水平轴摆
动的刚体。
即复摆是一刚体绕固定的水平轴在中立的作用下作微小的摆动的动力运动体系，又称物理摆。
而在教学中通常只考虑其简谐振动即“微小摆动”的情形，内容比较单一，实际上，我们可以将其定义推广至任意角度汉周期驱动力与阻尼力矩的情形。
2.运动方程：对如图所示的物理白，其质量为m，对转轴o的
转动惯量为J，质心C到转轴的距离为h，如果复摆振动时受到的阻尼力矩是；周期性驱动力的力矩为,重力矩为,则复摆的运动方程可以写为：
经化简后方程可以表示为:
其中
3.相图法：
将指点的位置（或角位置）作为横坐标，将速度（或角速
度）作为纵坐标，所构成的直角坐标系平面，称为相平面。
所谓“相”是只某种运动状态，指点在某一时刻的运动状态
可用它在该时刻的位置和速度来描述。
因此质点的一个运动状态，对应于相平面上的一个质点，称为相点。
当质点的运动状态发生变化时，相点就在相平面内运动，相点的运动轨迹称为相迹或者相图。
4.复摆运动方程的解的讨论及运动过程模拟：
i)无阻尼（a=0），无驱动（d=0）的情形,这时方程化为：
○1位移较小的情形：
当角位移<<1时，略去泰勒展开式中的高次项sin=，即：
其中b是由系统自身的性质决定的，上式的解为：
（*）
这时我们常见的简谐振动的形式，式中的A为振幅。
由（*）式可知它的相迹是椭圆，其大小取决于振幅A，频率b。
运动模拟方面我们可以采用Oringin等软件绘制图形。
所有参数均取有意义的简单值，并不给出。
图1.
○2任意大小的角位移，方程近似为：
此方程解一般不能用初等函数表示，当<时，周期的增加不大，当趋近于时周期趋近于。
因为是个不稳定的平衡点，由它从静止出发，或趋近而又不超越它，理论上需要无穷长的时间。
在模拟中我们发现，此方程的解依赖于初值的给定，对于（相差10%）我们得出如下图形。
图2.
通过观察我们发现，对于这样一个非齐次微分方程，初值给出不同值，其解果的偏差可能是惊人的不同，这便有了混沌的影子。
ii)有阻尼（a≠0）无驱动（d=0）的情形
对于线性振动（）这时公式化为：
此时运动有三种状态：
时为欠阻尼状态，
时为临界阻尼状态，
时为过阻尼状态，
在此我们只对的欠阻尼状态略作讨论：
此时方程的解为：
因子不断随时间衰减则以为频率，周期性变化。
如图为欠阻尼状态相图。
图3.
iii)有阻尼（a≠0）有驱动力（d≠0）的情形：
○1线性振动当时公式化为
方程解为
其中A和是由初始条件决定的常数。
此解为两项之和，表明复摆运动包含两个分运动。
第一项为阻尼运动，随时间推移趋近于消失，它反映受迫振动的暂态行为，与驱动力无关。
第二项表示与驱动力频率相同且振幅为B和初相位也并非决定于初始条件，而是依赖于系统本身的性质，阻尼的大小和驱动力的特征。
即与参量有关。
图4.
○2非线性解振动及其混沌解：
当较大时取这时方程近似化为：
方程中出现了非线性项—这时复摆称为受周期驱动力的非线性振子。
在一切初始量，参量确定的情形下达到平衡状态，这时的运动是确实一定的。
但当参数取某些值时，运动却出现“崩溃”的局面。
相差1%时，我们得到这样的图形。
图5.
由此可见，初值相差1%时我们得到了完全不同的两个图形，这就是“混沌”现象。
5.混沌（Chaos）
“混沌”，人们有关于这个概念听说的应该是另外一个词——“蝴蝶效应”。
一丝一毫的偏差都会带来完全不同的结果。
对于多重相关的系统，改变其中一个参量的值将会对整个系
统带来颠覆性的改变。
以前我就曾想象过，如果一个硬币被抛向天空。
如果它的所有物理量都是确定的那么它的运动状态是否一定确定呢。
其实一开始我的答案似乎是蛮肯定的，因为想不出有什么不对的地方。
即使在后来高中物理学习了微观世界的不确定性，认识了混沌这个概念，我也不能够想象这个崩溃产生的原因。
在写完这篇论文之前，我刚刚完成了常微分方程的学习。
这样我突然能够明白了这个道理，即对于一个相同的微分方程，有一组解，如果初值不同会有可能带来完全不同的结果，甚至形式上会有巨大的差异。
在确定这个论文的命题之前，我曾试图去讨论“一杯咖啡平面的的运动状态”，后来我才反应过来，这并不是学习一些个流体力学的方程就能够解决的问题，这也是“混沌”现象。
“混沌”现象可以说是无处不在，正是这种奇妙的不确定性，造成了我们宏观世界的纷繁复杂。
科学没有止境，即使在明白了没有可能预见未来，我们的物理学家们还在做着他们最大的努力，试图让这个世界更加清晰一些。
我们应该向他们致敬。