基于数学史的统计概念教学研究 _ 以平均数、中位数和众数为例
基于数学史的统计概念教学研究 _ 以平均数、中位数和众
数为例
基于数学史的统计概念教学研究 _ 以平均数、中位数
和众数为例
摘要随着新课程的实施,统计教学引起了人们的普遍关注。近年来,HPM 的发展呈方
兴未艾之势,为数学史融入数学教学创造了必要条件。在统计教学中融入数学史是可行
的,也是具有重要意义的。
本研究选取统计学中经常用到的平均数、中位数和众数概念,采用单组实验的方法,
在八年级进行了数学史融入统计概念教学的一项实验研究。本研究根据教学三角形模
型,探讨课堂教学活动、学生学习认知和教师专业发展三个方面的问题。研究对象是某
城市一所优秀初中学校八年级的 2名教师及其 2个任教班级的学生。
在对课堂教学的研究中,本研究根据统计概念发展的历史现象,结合教材内容,设
计了相应的数学活动,并付诸课堂教学实践。对于学生学习认知的研究,采用定量和定
性相结合的混合研究方法。在定量研究中,把学生对统计概念的理解划分为: 本意理解、
选择使用和问题解决三种水平,在实验前后测量学生对统计概念理解达到的水平。在质
性研究中,把学生的认知水平划分为:单一结构水平(U)、多元结构水平(M)、过渡
水平(T)、关联结构水平(R)、应用水平 1(A1)和应用水平 2(A2)六种水平,并以
个案的形式考察 6名学生认知发展的变化。在对教师专业发展的研究中,用诠释学循环
模型解释教师的专业化发展过程,并通过听课和访谈的形式考察教师“教学需要的统计
知识”(SKT)的使用情况。
本研究得到如下结论: (1)设计数学活动的方法有复制式和顺应式,其中运用昀多
的是顺应式。这些活动具有历史对应性,活动背景多为个人生活和公共常识。调查结果
表明,绝大多数学生认为教师的教学方法和以往的不同,他们支持在数学教学中运用数
学史,希望在以后的教学中运用数学史。
(2)本研究表明,在统计概念的教学中融入数学史,能加强学生对统计概念的理
解。从理解水平来看,学生在本意理解、选择使用和问题解决三个理解水平上均存在显
著差异。从学习内容来看,两个班学生对中位数的理解存在显著差异,对平均数的理解
差异不显著,而对众数的理解则是一个班存在显著差异,另一个班差异不显著。通过对
6名学生的个案研究表明,5名学生明显加强了对平均数、中位数和众数的理解,其中1
个发展到了认知的昀高水平,有 4 个学生的认知水平也分别提高 1-3个层次不等,而有
1 个学生的认知水平依旧停留在原有的水平。通过对学生认知发展原因的探究,发现数
学史融入统计概念教学是促进学生认知发展的一个重要原因。
v(3)HPM 介入教学后,两位老师的数学史与数学教学状态从分离走向融合。一
位
老师能较好地理解教学主题的数学史知识,但过分注重数学史的面向,而对学科教学
知识(PCK)的连接不够紧密,因此数学史的融入显得有些机械,不够自然。而另
一位
老师则运用自己的 PCK 优势,注重数学史与教材、学生认知的配合,从容地在
数学教
学中融入数学史。两位实验教师教学需要的统计知识(SKT)得到了提升,但也存在学
科教学知识(PCK)的缺失,会对学生的学习产生影响,这是 HPM 促进教师专
业发展
过程中需要关注的一个重要问题。
根据本研究得到的结论,对统计概念教学提出一些建议: (1)利用数学活动
丰富课
堂教学,帮助学生获得广泛的数学基本活动经验; (2)通过数学活动,提高学生对统计
概念理解的水平;(3)设计并实践数学活动,促进教师的专业发展。
关键词:数学史;平均数;中位数;众数;数学活动;学生学习认知;教师专业发展
viABSTRACT
With the implement of new curriculum, teaching and learning of statistics has attracted
people's attention. In recent years, the development of HPM creates the necessary conditions
for that mathematics history integrated into mathematics teaching and learning. It is feasible
and great significance that teachers use mathematics history in the teaching of statisticsThe thesis presented an experiment research that mathematics history integrated into
teaching and learning of statistics concepts of mean, median and mode by using the method of
single group experiment in the eighth grade. It explored classroom teaching activities,
students' cognitive level and teacher’s professional development based on the triangle model
of teaching and learning. The research object was two teachers and their students in two
classes in a good secondary school in a city of western regionIn the class teaching study, the research designed the activities connected with the
textbook and put into practice according to the historical phenomenology of statistics
concepts. The study on students’ cognition used the mixed method of qualitative and
quantitative. On quantitative research, the students' understanding level of the statistics
concepts was divided into original meaning, selecting an appropriate measure and
problem-solving. The students' understanding level of statistics concepts was measured before
and after the experiment. On qualitative research, the students' cognitive level was divided
into unistructural level U, multistructural level M, transitional level T, relational level
R, application in one complex task A1 and application in two complex tasks A2. The
cognitive development of six students was explored as cases. In studying on professional
development of teacher, hermeneutic circles model was used to explain teacher’s professional
development, and teacher’s SKT statistical knowledge for teaching was investigated through
observation and interviewThe following conclusions can be found in the study: 1 there were both of duplication
and accommodation approaches to design mathematics activities, in which the most amount
of them was accommodation approaches. These activities were of correspondence with the
history of mathematics, and activity backgrounds were often personal life and public common
sense. Most of the students agreed that teaching methods of the teacher were difference of the
viipast. They supported to use mathematics history in mathematical teaching and hoped to teach
through mathematics history in the future 2 The results showed that it could enhance students' understanding on statistics
concepts that teaching of statistics concepts integrated into mathematics history. From the
point of understanding level, the students existed significant differences in the original
meaning, selecting an appropriate measure and problem-solving. From the point of learning
content, students existed significant differences on understanding of median, but they didn’t
have significant differences on the understanding of the mean. The cases of six students
showed that five students’ understanding of mean, median and mode were notably
strengthened, one of them moved an entire cognitive level, four students’ cognitive levels
were increased respectively by 1 and 3 levels, and another one did little growth. The research
showed that it was an important cause to promote the students’ cognitive ability which
mathematics history integrated into teaching of statistics concepts by the inquiry of the
students’ cognitive ability 3 After HPM involved in teaching, two teachers changed from single hermeneutic
circle to double ones on integration of the history of mathematics.
A teacher could understand
mathematics history on teaching subject, but he paid attention to the orientation of
mathematics history, and couldn’t connect PCK pedagogical content knowledge closely. So
his instruction of the integration of mathematics history was mechanical and not naturalAnother teacher used her PCK advantages and paid attention to combine mathematical
history with textbooks and students' cognitive, so he could smoothly integrate mathematics
history into mathematics teaching. Two teachers’ SKT statistical knowledge for teaching
had improved. Analysis of the missed opportunities in PCK suggestes that such situation can
impact negatively on the learning opportunities for students which
is an important problem to
promote teachers’ professional developmentAccording to the conclusion, the paper put forward some suggestions on teaching and learning of statistical concepts: 1 teachers should rich the class by mathematical activities so
that students could obtain a wide range fundamental experience of mathematical activities; 2
teachers should improve the students' cognitive level on statistical concepts through
mathematical activities; 3 teachers should design and practice mathematical activities to
viiiimprove teachers' professional development
KEY WORDS: Mathematics History; Mean; Median; Mode; Activities of Mathematics;
Students’ Cognition;Teachers’ Professional Development
ix目录
摘要v
ABSTRACT vii
第 1章绪论 1
1.1 研究背景. 1
1.2 研究问题. 4
1.3 研究意义. 6
1.4 论文结构. 6
第 2章文献综述8
2.1 为何在数学教学中融入数学史. 8
2.1.1 数学史的教育价值. 8
2.1.2 数学史融入数学教学的现状. 12
2.1.3 数学史融入数学教学的困难. 14 2.2 如何在数学教学中融入数学史15 2.2.1 数学史融入数学教学的材料. 16 2.2.2 数学史融入数学教学的方法. 16 2.2.3 数学史融入数学教学的设计. 20 2.2.4 数学史融入数学教学的模式. 23 2.3 数学史融入数学教学对学生情感和认知产生的影响24
2.4 数学史促进教师专业发展研究27 2.4.1 数学教师的数学史课程培训. 27 2.4.2 数学教师的数学史素养 28 2.4.3 数学史促进教师 MKT的发展. 30 2.4.4 数学史对教师情感因素的影响 31 2.4.5 教师专业发展诠释学模型32 2.5 统计概念的教与学研究34
2.5.1 程序性理解34
2.5.2 概念性理解36
2.5.3 认知发展 41
2.5.4 教学设计 44
x2.6 总结. 47
第 3章研究设计与方法 49
3.1 研究的理论基础49
3.1.1 现实主义数学教育的主要原则 49
3.1.2 有指导的再创造 50
3.1.3 学习过程的水平 51
3.1.4 教学现象学52
3.1.5 数学化模型53
3.2 研究总体设计 54
3.3 研究对象55
3.4 教学实验过程 57
3.4.1 准备和设计阶段 57
3.4.2 教学实验 58
3.4.3 回顾分析 60
3.5 研究工具60
3.5.1 课堂教学情况学生调查问卷. 60 3.5.2 课堂教学情况学生访谈提纲.
61 3.5.3 学生认知发展前、后测试卷. 61 3.5.4 教师访谈提纲. 63
3.6 数据的收集. 64
3.7 数据的处理和分析. 64 3.7.1 定量的方法64
3.7.2 质性的方法66
3.8 总结. 68
第 4章统计概念的历史现象分析69 4.1 平均数 69
4.1.1 利用平均数估计大数. 69 4.1.2 中点值是算术平均数的前概念 71
4.1.3 古希腊几何中的平均数 72 4.1.4 我国古代数学文献中的平均数 74 4.1.5 古印度数学文献中的平均数. 75 xi4.1.6 平均数的公平分享77
4.1.7 多次测量取平均数可以减少误差78 4.1.8 平均数不一定具有实际意义.
79 4.2 中位数 80
4.2.1 中位数与误差理论80
4.2.2 中位数与概率分布81
4.2.3 中位数的稳健性 82
4.3 众数. 83
4.3.1 众数表示重复计数中的正确值 83 4.3.2 众数是非数字类型数据集中趋势的代表84 4.4 总结. 84
第 5章数学史融入统计概念教学的活动86 5.1 从历史现象学到教学现象学86 5.2 数学活动的设计及其实践. 87 5.2.1 平均数的起源. 87
5.2.2 加权平均数93
5.2.3 中位数100
5.2.4 众数 104
5.2.5 平均数、中位数和众数的选用. 107 5.2.6 数学活动:你是“平均学
生”吗?109 5.3 课后学习单110
5.3.1 天文学中的平均数 110
5.3.2 航海贸易中的平均数113
5.3.3 魁特奈特和他的“平均人”114 5.4 教学反馈 115
5.4.1 数学史融入数学教学与以前教学方法的差异. 115
5.4.2 学生赞同数学史融入数学教学的观点. 118 5.4.3 学生的期望 121
5.4.4 反对的观点 123
5.5 个别访谈 124
5.6 数学活动的特征 125
xii5.6.1 数学活动与历史的对应关系126 5.6.2 数学史融入数学教学的方式126 5.6.3 数学活动的背景设置127
5.7 总结128
第 6章基于数学史的学生学习认知129 6.1 定量分析 129
6.1.1 从理解水平方面看学生的认知变化129 6.1.2 从教学内容方面看学生的认知变化130
6.1.3 从具体题目方面看学生的认知变化131 6.1.4 学生对加权平均数运用的测试. 138 6.1.5 定量分析小结140
6.2 质性分析 140
6.2.1 教学实验前学生的认知水平141
6.2.2 教学实验后学生的认知水平156
6.2.3 质性分析小结173
6.3 总结173
第 7章基于数学史的教师专业发展175 7.1 HPM 促进教师专业发展的过程175
7.1.1 第一阶段:教学实验的准备175
7.1.2 第二阶段:教学实验的实施180
7.1.3 教学实验之后对两位实验老师的访谈. 184 7.1.4 两位老师专业发展过程的比较. 188 7.1.5 从诠释学循环看教师的专业发展过程. 190 7.2 HPM 促进教师 SKT的发展195
7.2.1 教学需要的统计知识(SKT). 195 7.2.2 实验教师教学需要的统计知识(SKT) 196 7.2.3 两位教师教学需要的统计知识(SKT)的比较 206 7.3 总结207
7.3.1 HPM 促进教师专业发展的过程 207 7.3.2 HPM 促进教师 SKT的发展207
第 8章研究结论及建议. 208 xiii8.1 研究结论 208
8.1.1 研究问题 1的结论 209 8.1.2 研究问题 2的结论 209 8.1.3 研究问
题 3的结论 210 8.2 教学启示 210
8.3 研究的局限性. 211
8.4 研究展望 212
参考文献 213
中文文献. 213
英文文献. 219
附录. 234
附录1 平均数概念的课后学习单 234 附录2 平均数、中位数和众数前测问卷237 附录3 平均数、中位数和众数后测问卷 239 附录4 数学课堂教学问卷调查. 241 附录5 学生访谈提纲242
附录6 教师访谈提纲243
附录7 数学活动:你是“平均学生”吗?244 后记. 247
xiv图目录
图1-1 教学三角形5
图2-1 数学教学设计的理论框架 21 图3-1 浮现模型的水平层次54
图4-1 希腊几何中数的线条表征 72 图4-2 Pappus 定理74
图4-3 不均等沟渠测量示意图. 76 图4-4 方台体沟渠测量示意图. 76 图4-5 Cournot 的偏态分布图. 82 图4-6 高尔顿的正态分布图82
图4-7 普拉铁阿人的城墙 84
图5-1 亚里斯多德 89
图5-2 刘徽 89
图5-3 武英殿聚珍版《九章算术》90 图5-4 希腊几何中数的线条表征 94 图
5-5 体重分布的线条图 95
图5-6 体重分布的条形图 95
图 5-7 普拉铁阿人的城墙. 104 图7-1 Jahnke 的诠释学循环双圈 191 图7-
2 洪万生的数学教学诠释学循环192 图7-
3 洪万生引进数学史的教学之诠释学循环. 192
图7-4 洪万生的诠释学循环四面体 192 图7-5 Y教师专业发展的四面体模型193 图7-6 Q教师专业发展的四面体模型193
图7-7 Y老师运用数学史的教学模式194 图7-8 Q老师运用数学史的教学模式194 xv表目录
表 2-1 历史相似性实证研究部分案例 12 表 2-2 数学史融入数学教学的方式.
19 表 2-3 数学史融入数学教学部分案例 19 表 2-4 学生情感和认知教学实验部
分案例. 24 表 3-1 教学实验两位任课教师的基本情况. 56 表 3-2 平均数、中位数和众数的教学课时安排表. 59 表 3-3 第二十章课时安排表. 60 表 3-4 前后测试题的水平及其数量. 62 表 3-5 前后测试题的来源63
表 3-6 前后测试卷题目对比. 63
表 3-7 统计概念理解水平的比较63
表 3-8 测试卷按内容和水平划分的双向细目表64 表 3-9 前后测第 1-6题的
评分标准. 65 表 3-10 前后测第 7题的评分标准 65 表 3-11 前测第 8题的评分标准. 65 表 3-12 后测第 8题的评分标准. 65 表 3-13 学生对集中量数的认知
水平67 表 3-14 每道题目的昀高限度水平 67 表 5-1 (2)班“平均学生”的主要
特征. 1 10
表5-2 确定“?长”估计值的方法分类. 1 1 1 表5-3 解释多次测量取平均数
的目的1 12
表5-4 学生对平均数体现精神的回答1 13
表5-5 学生对平均数体现精神的回答1 14
表5-6 学生对平均人和平均时间的回答. 1 15 表5-7 学生认为教学方法存在
的差异1 16
表5-8 学生赞同数学史融入数学教学的观点1 18 表5-9 学生对数学史与数学
知识关系的回答121 表 5-10 数学活动与历史现象的对应关系. 126 表 5-11 数
学活动的设计方式及其数量127
xvi表 5-12 数学活动的背景设置 128
表 6-1 (2)班学生实验前后三个理解水平上的差异129 表 6-2 (4)班学生实验
前后三个理解水平上的差异129 表 6-3 (2)班实验前后学生理解平均数、中位数
和众数的差异 130 表 6-4 (4)班实验前后学生理解平均数、中位数和众数的差异130 表 6-5 (2)班学生实验前后在具体题目上差异的比较. 131 表 6-6 (4)班学生实验前后在具体题目上差异的比较. 131 表 6-7 (2)班学生回答第 4题的人数132 表 6-8 (4)班学生回答第 4题的人数132
表 6-9 (2)班学生第 4题选项正确的人数 133 表 6-10 (4)班学生第 4题选
项正确的人数. 133 表 6-11 (2)班学生回答第 5题的人数 133
表 6-12 (4)班学生回答第 5 题的人数 134 表 6-13 (2)班学生第 5题选项正
确的人数. 134 表 6-14 (4)班学生第 5题选项正确的人数. 134 表 6-15 (2)班
学生对第 7题回答的人数137 表 6-16 (4)班学生对第 7题回答的人数137 表6-17 两个班学生对后测第 9题的回答情况 139 表6-18 个案研究学生前测的基本情况 140 表6-19 杨同学认知发展总结. 161
表6-20 江同学认知发展总结. 164
表6-21 尹同学认知发展总结. 166
表6-22 柳同学认知发展总结. 168
表6-23 陈同学认知发展总结. 171
表6-24 赵同学认知发展总结. 173
表6-25 教学实验前后学生认知发展的比较. 173 表7-1Y老师教学需要的统计知识. 197 表7-2Q老师教学需要的统计知识. 197xvii 基于数学史的统计概念教学研
究
第 1 章绪论
1.1 研究背景?
1.1.1 统计教学的重要性
21 世纪初, 我国启动了新一轮中小学数学课程改革,其中一个明显的变化
是大幅度增加了概率统计的教学内容,使其成为继代数和几何之后的一个主干
内容。
统计是研究如何合理收集、整理、分析数据的学科,它可以为人们制定决
策提供依据(教育部,2003)。目前,统计素养开始受到数学教育和统计教育学术界的广泛关注。从 20 世纪 50 年代开始,国际统计学会ISI就决定在世界各
国的各级学校努力推进并开展统计学(包括统计与概率)的教学。目前,这个领域已经成立了自己的专业组织“国际统计学教育协会”(International Association
for Statistical Education,简称 IASE)、专业期刊《统计学教学》Teaching Statistics
和每四年一届的“统计学教学国际大会”(International Conference on Teaching
Statistics,简称 ICOTS )(李俊,2003)。2002 年在南非开普敦举行的第六届
国际统计教学大会(ICOTS)的主题是“形成一个具有统计素养(statistical
literacy)的社会”。国际统计教育学会的前任主席(2001-2003)、西班牙的卡门?巴泰丽罗(Carmen Batanero)女士在会议论文集的前言中强调,一个人的统
计素养有助于他认识这个世界,在了解多方面信息的基础上做出决策,能够
成
功地完成各种需要经过处理数据才能完成的任务,成为一个有独立见解的消费
者(李俊,2002)。
随着对统计教学的不断探索和实践,人们逐渐认识到对于统计学习而言,
重要的不是画统计图、求平均数等技能的学习,而是发展学生的数据分析观念
(史宁中等,2008)。
我国义务教育数学课程标准(2011)指出,在数学教学中,应当注重发展学
生的数据分析观念,即了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究,收集数据,通过分析做出判断,体会数据中蕴涵着信息;了解对于同样的数据可以有多
1 基于数学史的统计概念教学研究
种分析的方法,需要根据问题的背景选择合适的方法;通过数据分析体验随机性, 一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能不同,另一方面只要有足够的数
据
就可能从中发现规律。
全美数学教师理事会制定的《学校数学教育的原则和标准》(2004)提出增
加数据分析的课程内容,并要求所有的学生能够:明确提出用数据表达的问题并通过收集、组织以及展示相关数据来回答这些问题;选择和运用适当的统计方
法
分析数据;策划和评价根据数据所进行的推理和预测。
美国《统计教育评价与教学指导纲要》(Guidelines for Assessment
andInstruction in Statistics Education,简称 GAISE)指出:统计教学的终
极目标是统
计素养。统计教学分为 4 个过程:提出问题、收集数据、分析数据和解释结果(Franklin et al.,2007) 。
由于统计学教学进入中小学教学的时间都还很短,有关的课程、学习心理、
教学和评价等方面的研究以及教师培训、教学材料的开发等领域都还留有许多
空
白(李俊,2003)。国外的研究相对比较丰富,并且形成了一些统计思维的发展
框架Mooney, 2002。我国数学课程标准已经明确将数据分析观念作为统计课程的核心。数据分析观念的内涵,主要包括通过数据收集和分析提取信息、通过
数
据体会随机性、利用数据解决问题。前两者更加指向统计过程和统计方法自身, 后者则更加指向运用统计解决问题(张丹,2010),而对数据分析的前提是理解
统计概念,因此,开展统计概念的教学研究具有非常重要的意义。
1.1.2 数学教学中运用数学史的必要性
数学史对数学教育的价值在 19世纪已被一些西方数学家所认识。19世纪末
至 20 世纪上叶,欧美众多数学家、数学史家和数学教育家都十分强调数学史
对
数学教育的重要价值,大力提倡在数学教学中运用数学史。国外很多学者都支
持
数学史融入数学教学的观点,他们提出了各种不同的理由。1991 年英国数学教育杂志《数学学习》 (For the Learning of Mathematics)出版了一期《数学
教学中
运用数学史》的专刊,Fauvel(1991)在文中总结了数学教学中运用数学史的十五种理由。1998 年在法国马赛组织过一次“数学史与数学教育”的专题会议(ICMI-Study Conference,总结回顾了 HPM 成立以来的研究成果,并于 2000
2 基于数学史的统计概念教学研究
年出版了一本 ICMI 研究的综合性报告《数学教育中的数学史》(History in Mathematics Education。在这本书中,Tzanakis和 Arcavi 2000从数学的学习、
数学和数学活动的本质、教师的教学背景、数学的情感和数学是一种人类文化等
5个方面总结了数学史对数学教育的作用。这是目前这个主题昀广泛、昀完整的
论述。
我国学术界直到本世纪初才开始关注 HPM 领域。华东师范大学的汪晓勤等2006人提出了数学教育取向的数学史研究、基于数学史的数学教学设计、关于历史发生原理的实证研究、数学史融入数学教学的实验研究等是 HPM 研究的主
要方向。2005 年 5 月,在全国数学史学会、西北大学联合主办的“第一届全国
数学史与数学教育会议”上,学者普遍认为,需要对国际上所取得的经验进行交流和借鉴,数学史家应该走到中国数学教育改革的前台,做出一套有效可行的数学史与数学教学整合的研究方案。李文林认为数学史研究具有三重目的:一是为
历史而历史,即恢复历史的本来面目;二是为数学而历史,即古为今用,洋为中用,为现实的数学研究的自主创新服务;三是为教育而历史,即将数学史应用于
数学教育,发挥数学史在培养现代化人才方面的教育功能。专门从事前两个方面
研究与工作的人毕竟是少数,而数学教育中数学史的应用则需要一个庞大的队伍,这是一个影响广远的事业冯振举,杨宝珊,2005。但从过去的四届全国数学史与数学教育学术研讨会(2005-2011)来看,尽管 HPM 实践开发已成为人们的共识,但迄今仍缺乏科学有效的研究方法,有价值的研究成果并不多见,HPM 作为一个研究领域的学术地位还有待于提高。
已有的研究已经表明,国内外数学史融入数学教学的研究不仅为数学教师的教学提供了大量可以参考和借鉴的资料,而且也有力地促进了 HPM 的发展。近年来,随着 HPM 研究的深入,大量的文献已经从当初对数学史运用于数学教学必要性的探讨逐步转向实践研究,越来越多的研究开始关注数学史在课堂上的实
际运用。HPM 成立以来,特别是 20 世纪 80 年代以来,国内外数学教育家、数学教师对于数学史在数学教学中的具体运用进行了积极探索,提出了数学史融入
数学教学的若干方法,为数学史融入数学教学创造了必要条件(Tzanakis & Arcavi,2000;Fried,2001;Jankvist,2009;汪晓勤,2012)。
3 基于数学史的统计概念教学研究
1.1.3 数学史融入统计教学的可行性
虽然 HPM 在数学的很多领域都产生了广泛的影响,但如何把数学史融入统
计概念教学方面却很少有人进行探讨。究其原因,可能是由于统计历史研究的困
难。一方面是大多数数学的历史几乎没有关注到统计的历史,其原因主要是统计
统计学-平均数、中位数和众数
假设我们观察一组数据a 1,a 2,…a n?1,a n 的平均水平，需要借助这组数据的平均 数、中位数和众数三个统计量。 一、平均数a)算数平均数，一般我们讲的平均数即算数平均数，计算起来很简单，就是 将一组数据中所有数据求和后再除以这组数据的个数就能得到。计算公式为： A n =1n i=1n a i b)几何平均数，是将一组数据中所有数据求乘积后再求n 次方根。计算公式 为：G n = n i=1n a i c)调和平均数，又称为倒数平均数。H n =n i=1n 1a i d)加权平均数，是具有不同比重的数据(或平均数)的算术平均数。比重也称为 权重，数据的权重反映了该变量在总体中的相对重要性，每种变量的权重的确定与一定的理论经验或变量在总体中的比重有关。依据各个数据的重要性系数(即权重)进行相乘后再相加求和，就是加权和。加权和与所有权重之和的比等于加权算术平均数。加权算术平均数主要用于原始资料已经分组，并得出次数分布的条件。加权算术平均数的计算，根据分组整理的数据计算的算术平均数。其计算公式为： A =i=1n a i ?f i i=1n f i 式中f 为对应数据在总体中出现的次数。 e)平方平均数，又名均方根，是指一组数据的平方的平均数的算术平方根。 应用在一些具有一定体积的物体的边长、直径、半径等资料上。其计算公式为：
M n= 二、中位数 中位数是指将数据按大小顺序排列起来，形成一个数列，居于数列中间位置的那个数据。中位数用Me表示。 从中位数的定义可知，所研究的数据中有一半小于中位数，一半大于中位数。中位数的作用与算术平均数相近，也是作为所研究数据的代表值。在一个等差数列或一个正态分布数列中，中位数就等于算术平均数。 在数列中出现了极端变量值的情况下，用中位数作为代表值要比用算术平均数更好，因为中位数不受极端变量值的影响；如果研究目的就是为了反映中间水平，当然也应该用中位数。在统计数据的处理和分析时，可结合使用中位数。 中位数就可以按下面的方式确定： M e= n为奇数n为偶数 三、众数 众数是指一组数据中出现次数最多的那个数据，一组数据可以有多个众数，也可以没有众数。众数是由英国统计学家皮尔生首先提出来的。所谓众数是指社会经济现象中最普遍出现的标志值。从分布角度看，众数是具有明显集中趋势的数值。 统计上把这种在一组数据中出现次数最多的变量值叫做众数。用M o表示。它主要用于定类(品质标志)数据的集中趋势，当然也适用于作为定序（品质标志）数据以及定距和定比(数量标志)数据集中趋势的测度值。
初二数学中位数和众数练习题及参考解析
初二数学中位数和众数练习题及参考解析 中位数和众数 1. 一组数据的中位数为80，可知这组数据中大于或小于这个中位数的数据各占，中位数有个。 2. 一组数据中出现次数的数据就是这组数据的众数，众数可以有个。 3. 一次英语口语测试中，20名学生的得分如下： 70，80，100，60，80，70，90，50，80，70，80，70，90，80，90，80，70，90，60，80。 这次英语口试中学生得分的众数是，中位数是。 4. 一组数据：x1=4，x2=5，x3=6，x4=7，它们出现的次数依次为2，3，2，1，那么这组数据的众数为，中位数为，平均数为。 5. 以下说法真确的是( ) A. 样本7，7，6，5，4的众数是2 B. 假设数据x1，x2，xn的平均数是，那么(x1- )+(x2- ) ++(xn- )=0 C. 样本1，2，3，4，5，6的中位数是4 D. 样本50，50，39，41，41不存在众数 6. 一组数据为0，1，5，x，7，且这组数据的中位数是5，那么x的取值为( ) A. x=5 B. x5 C. x5 D. x5
7. 学校体育节前一位同学在进行投掷训练中，投了20次标枪，其中3次投了45米，8次投了45.8米，7次投了45.4米，1次投了46.1米，1次犯规，求这位同学每次投掷标枪党的米数的 众数、中位数和平均数。 8. 在一次环保知识竞赛中，某班50名同学得分情况如下： 50分，2人;60分，3人;70分，6人;80分，14人;90分，15人; 100分，5人;110分，4人;120分，1人。 分别求出该班学生成绩的众数、中位数和平均数。 9. 有14个数据，由小到大排列，其平均数为34，现有一位同 学求得这组数据前8个数的平均数为32，后8个数的平均数为36，求这组数据的中位数。 10. 某公司销售部有营销人员15人，销售部为了制定某种商品的月销售定额，统计了这15人某月的销售量如下： 每人销售件数 1800 510 250 210 150 120 人数 1 1 3 5 3 2 (1)求这15位营销人员该月销售量的平均数、中位数、众数。 (2)假设销售部负责人把每位营销人员的月销售额定为320件，你认为是否合理?为什么?如不合理，请你制定一个合理的销售定额，并说明理由。 参考【答案】 1. 一半 1 2. 最多多 3. 80 80 4. 5 5 5.25 5. B 6. C 7.
平均数、众数和中位数 知识讲解
平均数、众数和中位数 责编：杜少波 【学习目标】 1. 理解平均数的意义，能计算中位数、众数、加权平均数，了解它们是数据集中趋势的描述； 2. 能解释统计的结果，根据结果作出简单的判断和预测； 3. 知道可以通过样本的平均数来估计总体的平均数，并用它们去解决实际问题． 【要点梳理】 要点一、平均数 1.算术平均数 一般地，有n 个数12n x ,x ,x , …，我们把12n 1 (x x +x )n ++…叫做这n 个数的算术平均数，简称平均数.记作x （读做“x 拔”）. 要点诠释： （1）平均数表示一组数据的“平均水平”，反映了一组数据的集中趋势. （2）平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任一数据的变动都会引起平均数的变动，所以平均数容易受到个别特殊值的影响. 2.加权平均数 在一组数据中，数据重复出现的次数f 叫做这个数据的权.按照这种方法求出的平均数，叫做加权平均数. 加权平均数的计算公式为：若数据1x 出现1f 次，2x 出现2f 次，3x 出现3f 次……k x 出现k f 次，这组数据的平均数为x ，则x =1 n （1f 1x +2f 2x +3f 3x +…+k f k x ）（其中n=1f +2f +3f +…+k f ） “权”越大，对平均数的影响就越大.加权平均数的分母恰好为各权的和. 要点诠释： （1）k f 越大，表示k x 的个数越多，“权”就越重. 数据的权能够反映数据的相对“重要程度”. （2）加权平均数实际上是算术平均数的另一种表现形式，是平均数的简便运算. 要点二、众数和中位数 1.众数 一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数. 要点诠释： （1）一组数据的众数一定出现在这组数据中；一组数据的众数可能不止一个. （2）众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数. 2.中位数 将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，位于最中间的一个数据（当数据个数为奇数时）或最中间两个数据的平均数（当数据个数为偶数时）叫做这组数据的中位数. 要点诠释： （1）一组数据的中位数是唯一的；一组数据的中位数不一定出现在这组数据中. （2）由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下的数据各占一半.
中位数 众数 平均数三者的区别
个人理解，说简单点： 一组数据中如果有特别大的数或特别小的数时，一般用中位数 一组数据比较多（20个以上），范围比较集中，一般用众数 其余情况一般还是平均数比较精确 一、联系与区别： 1、平均数是通过计算得到的，因此它会因每一个数据的变化而变化。 2、中位数是通过排序得到的，它不受最大、最小两个极端数值的影响．中位数在一定程度上综合了平均数和中位数的优点，具有比较好的代表性。部分数据的变动对中位数没有影响，当一组数据中的个别数据变动较大时，常用它来描述这组数据的集中趋势。另外，因中位数在一组数据的数值排序中处中间的位置， 3、众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度．日常生活中诸如“最佳”、“最受欢迎”、“最满意”等，都与众数有关系，它反映了一种最普遍的倾向． 二、平均数、中位数和众数它们都有各自的的优缺点． 平均数：(1)需要全组所有数据来计算； (2)易受数据中极端数值的影响． 中位数：(1)仅需把数据按顺序排列后即可确定； (2)不易受数据中极端数值的影响． 众数：(1)通过计数得到； (2)不易受数据中极端数值的影响 关于“中位数、众数、平均数”这三个知识点的理解，我简单谈谈自己的认识和理解。 ⒈众数。 一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数。 ⒉众数的特点。
①众数在一组数据中出现的次数最多；②众数反映了一组数据的集中趋势，当众数出现的次数越多，它就越能代表这组数据的整体状况，并且它能比较直观地了解到一组数据的大致情况。但是，当一组数据大小不同，差异又很大时，就很难判断众数的准确值了。此外，当一组数据的那个众数出现的次数不具明显优势时，用它来反映一组数据的典型水平是不大可靠的。 3.众数与平均数的区别。 众数表示一组数据中出现次数最多的那个数据；平均数是一组数据中表示平均每份的数量。 4.中位数的概念。 一组数据按大小顺序排列，位于最中间的一个数据(当有偶数个数据时，为最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数。 5.众数、中位数及平均数的求法。 ①众数由所给数据可直接求出;②求中位数时，首先要先排序(从小到大或从大到小)，然后根据数据的个数，当数据为奇数个时，最中间的一个数就是中位数;当数据为偶数个时，最中间两个数的平均数就是中位数。③求平均数时，就用各数据的总和除以数据的个数，得数就是这组数据的平均数。 6.中位数与众数的特点。 ⑴中位数是一组数据中唯一的，可能是这组数据中的数据，也可能不是这组数据中的数据； ⑵求中位数时，先将数据有小到大顺序排列，若这组数据是奇数个，则中间的数据是中位数；若这组数据是偶数个时，则中间的两个数据的平均数是中位数； ⑶中位数的单位与数据的单位相同； ⑷众数考察的是一组数据中出现的频数； ⑸众数的大小只与这组数的个别数据有关，它一定是一组数据中的某个数据，其单位与数据的单位相同； （6）众数可能是一个或多个甚至没有； （7）平均数、众数和中位数都是描述一组数据集中趋势的量。 7.平均数、中位数与众数的异同： ⑴平均数、众数和中位数都是描述一组数据集中趋势的量； ⑵平均数、众数和中位数都有单位； ⑶平均数反映一组数据的平均水平，与这组数据中的每个数都有关系，所以最为重要，应用最广； ⑷中位数不受个别偏大或偏小数据的影响； ⑸众数与各组数据出现的频数有关，不受个别数据的影响，有时是我们最为关心的数据。
平均数,众数与中位数 习题精选
平均数，众数与中位数习题精选 默认分类2010-05-26 08:23:01 阅读172 评论0 字号：大中小订阅 一、你能填对吗 1．在数据2，2，3，3，4中，平均数是_________，中位数是_________，众数是_________。 2．若给定一组数据，则平均数只有_________个，中位数只有_________个，也可以_________。 3．若数据，3，4，5，6的平均数为4。4，则中位数为_________，有众数吗？_________。如有，则众数为_________；如没有，则在“如有”后的横线处打上“”。 4．某商店想调查哪种价格的乒乓球的销售量最多，应用_________来描述，想知道总体赢利的情况可用_________来描述；小文的身高在49人的班上排名第二十五，则他的身高值可看成全班同学身高的_________（填“平均数”、“中位数”或“众数”）。 5．有一百个数，它们的平均数为78。5，现将其中的两个数82和26去掉，现在余下的数的平均数是_________。 二、选一选 6．数据－3，－2，1，3，6，的中位数是1，那么这组数据的众数是（） A．2 B．1 C．1．5 D．－2 7．一组数据8，10，6，8，7，8，5的众数与中位数分别是（） A．8，7 B．8，5 C．8，8 D．以上答案都不对 8．以下各组数据中，众数、中位数和平均数都相等的是（） A．7，7，8，9 B．8，9，7，8 C．9，9，8，7 D．4，2，3，5 9．某商场一天售出男衬衫60件，所需型号和人数加下表所示： 下列说法正确的是（） A．所需78号的人数太少，78号衬衫可以不进货 B．这批衬衫可以一律按身上的平均数进货 C．因为中位数是74，故74号以后要多进一些货 D．因为众数是76，故76号以后要多进一些货 10．对于数据2，2，3，2，5，2，10，2，5，2，3有下列说法：①众数是2；②众数与中位数不等；③中位数与平均数相等；④平均数与众数相等，其中正确的结论有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 三、解答题 11．某居民小区开展节约用水活动成效显著，据对该小区200户家庭的用水情况的统计分析，得到3月份比2月份节约用水的情况如下表所示：
平均数中位数和众数小结
第78课时 第6章总结归纳 （一）知识框架 （二）重点难点突破 平均数、中位数和众数都是描述一组数据的集中程度的特征数，只是描述的角度不同，其中以平均数运用最为广泛，应当注意平均数、中位数和众数的合理选用，避免平均数的误用。这三个量的各自特点是：平均数的大小与一组数据的每个数据均有关系，其中任何数据的变动都会引起相应平均数的变动，这既表明平均数非常充分地反映了一组数据的信息，也带来了求平均数较为麻烦的问题。 中位数的大小仅与数据的排列位置有关，当将一组数据按从小到大的顺序排列后，最中间的数据为中位数，于是部分数据的变动对中位数没有影响，当一组数据中的个别数据变动较大时，常用它来描述这组数据的集中趋势。 众数着眼于对各数据出现的频数的考察，因此求一组数据的众数既不需要计算，也不需要排序，而只要数出出现次数较多的数据的频数就行了，众数的大小仅与一组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，它的众数也往往是我们关心的一种集中趋势。 整合拓展创新 类型一求平均数 例1已知两组数据x1，x2，x3，…x n和y1，y2，y3，…y n的平均数分别为x，y，求 （1）2x1，2x2，2x3…2x n的平均数（2）2x1+1，2x2+1，2x3+1…2x n+1的平均数 （3）x1+y1，x2+y2，x3+y3…x n+y n的平均数 类型之二求中位数与众数 例22005中考维坊某年北京与巴黎的年降水量都是630毫米，它们的月降水量占全年降水量的百分比如下表： （1）计算两个城市的月平均降水量（2）写出两个城市的降水量的中位数和众数 （3）通过观察北京与巴黎两个城市的降水情况，用你所学过的统计知识解释北京地区干旱与缺水的原因。 类型之三求加权平均数 例3某校在期末考核学生的英语成绩时，将口语、听力、笔试成绩按照2：3：5的比例
众数、中位数和平均数
高一数学 课题：用样本的数据特征估计总体的数据特征 第一课时学案 编制人：魏怡审核人：编制时间：2015年3月18日 【学习目标】 （1）能从样本数据中提取基本的数字特征，并做出合理的解释． （2）会求样本的众数、中位数、平均数． （3）能从频率分布直方图中，求得众数、中位数、平均数． 【自学指导】 学习重点 （1） 给出一组数据，能够快速求出数据的众数、中位数、平均数. （2） 掌握这三种数字特征的优缺点，并能够根据数据的特点，选择合适的数字特征描述样 本。 学习突破点 给出频率分布直方图，能够求得这三种数字特征，并作出简单、合理的分析。 【知识准备】 1、概念梳理 （1）众数：一组数据中出现次数最多的数； 特征：一组数据中的众数可能，也可能没有，反映了该组数据的. （2）中位数：一组数据按从小到大的顺序排成一列，处于位置的数称为这组数据的中位数. 特征：一组数据中的中位数是的，反映了该组数据的. （3）平均数：一组数据的和与这组数据的个数的商.数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为. 特征：平均数对数据有“取齐”的作用，代表该数组数据的.任何一个数据的改变都会引 起平均数的变化，这是众数和中位数都不具有的性质.所以与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的。 2、基础知识巩固 （1）数据组8，－1,0,4，1 7，4,3的众数是__________． （2）数据组5,7,9,6，－1,0的中位数是__________． （3）10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，则其平均数是，众数是，中位数是. 【学习内容】 探究一：频率分布直方图和众数的关系 问题1：频数与频率的关系？ 问题2：在频率分布直方图中，小长方形的面积代表什么？小长方形越高，说明什么？ 问题3：经过以上思考，想想如何在样本数据的频率分布直方图中，估计出众数的值？ 【尝试练习】课本72页图2.2-5是某小区100位居民的月均用水量的频率分布直方图，请问月均用水量的众数是多少？ 探究二：频率分布直方图与中位数的关系 问题1：中位数处于一组数据的中间位置，因此出现在中位数两边的数据在个数上有什么特点？ 问题2：如何根据频率分布直方图计算中位数？（以下图为例） 探究三：频率分布直方图与平均数的关系 问题1：计算数据组2，2，3，3，3，7，7，7，7的平均数 总结：在一组数据中x 出现了k 次，x 出现了k 次，……，x 出现了k 次，则这组数的平均数为. 问题2：如何利用频率分布直方图计算这组数据的平均数？（以下图为例） 0.08
中考数学精选例题解析：平均数、众数与中位数
2 013中考数学精选例题解析 平均数、众数与中位数 知识考点： 1、了解总体、个体、样本及样本容量等基本概念； 2、理解平均数、加权平均数、众数及中位数的概念，掌握它们的计算方法；会用它们描述一组数据的平均水平及集中趋势；会用样本平均数去估计总体平均数。 精典例题： 【例1】为了检查一批电风扇的使用寿命，从中抽取10台电风扇进行检测，以下说法正确的是（） A、这一批电风扇是总体； B、从中抽取的10台电风扇是总体的一个样本； C、10台电风扇的使用寿命是样本容量； D、每台电风扇的使用寿命是全体。 分析：本题中的考察对象是电风扇的使用寿命，不是电风扇本身，因此这批电风扇的使用寿命是总体，每台电风扇的使用寿命是个体，从中抽取的10台电风扇的使用寿命是总体的一个样本，样本容量是10。故应选D。
【例2】公园里有甲、乙两群游客正在做团体游戏，两群游客的年龄如下（单位：岁）： 甲群：13，13，14，15，15，15，15，16，17，17； 乙群：3，4，4，5，5，6，6，6，54，57。 解答下列问题（直接填在横线上）： （1）甲群游客的平均年龄是岁，中位数是岁，众数是岁，其中能较好反映甲群游客年龄特征的是。 （2）乙群游客的平均年龄是岁，中位数是岁，众数是岁，其中能较好反映甲群游客年龄特征的是。 分析：平均数、中位数及众数都是反映数据集中趋势的量，当一组数据的大小比较接近时（如甲群游客），平均数、中位数与众数也比较接近；当一组数据中有个别数特别大或特别小时（如乙群游客），它就会影响平均数的大小，但不影响中位数、众数，此时可由中位数或众数反映这缴数据的集中趋势。 答案：（1）15，15，15；平均数、中位数、众数； （2）15，5.5，6；中位数、众数。 探索与创新：
平均数、中位数、众数与方差
平均数、中位数、众数与方差 【基本概念】 1.总体：在统计学里，所要考察对象的______,叫做总体。 2.个体：总体中的每一个考察对象叫做_______. 3.样本：从_____中所抽取的________个体，叫做总体的一个样本。 4.样本容量：样本中个体的______叫做样本容量（样本容量没有______）. 5.平均数：样本中所有个体的平均数叫做样本_______. 设一组数据123,,, ,n x x x x 的平均数为x ， （1）一般平均数：x =_________________________； （2）加权平均数：在n 个数据中，1x 出现1f 次，2x 出现2f 次，…，k x 出现k f 次（1f +2f +… k f ＝n ），则x =___________________； （3）简化计算公式：x x a '=+，其中x '是12,,n x x x '''的平均数，(1,2,,),i i x x a i n a '=-=为接近样本平均数的较“整”的常数，在数据较大且在平均数左右波动时，用平均数简化计算公式较为简便。 6.众数：在一组数据中，出现次数______的数据叫做这组数据的众数，众数可能不止一个。 7.中位数：将一组数据按_________排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间的两个数据的________）叫做这组数据的中位数（中位数可能不是这组数据中的任何一个）。 例1.为了了解某校初三年级学生的身高状况，从中抽查了50名学生的身高。在这个问题中，下列说确的是（ ） Ａ.300名学生是总体Ｂ.300是众数Ｃ.50名是学生抽取的一个样本Ｄ.样本容量是50 例2.将一组数据中的所有数都加2,则所得到的一组新数据的平均数与原来那组数据相比( ) Ａ.扩大2倍 Ｂ.增加2 Ｃ.数值不变 Ｄ.增加2倍 例3．要了解某市初中毕业会考的数学成绩情况，从中抽查了1000名学生的数学成绩，样本是指（ ） （A ）此城市所有参加毕业会考的学生（B ）此城市所有参加毕业会考的学生的数学成绩 （C ）被抽查的1 000名学生 （D ）被抽查的1 000名学生的数学成绩 例4．如果x 1与x 2的平均数是6，那么x 1＋1与x 2＋3的平均数是（ ） （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）8 例5．甲、乙两个样本的方差分别是甲2 s ＝6.06， 乙2s ＝14.31，由此可反映（ ） （A ）样本甲的波动比样本乙大 （B ）样本甲的波动比样本乙小 （C ）样本甲和样本乙的波动大小一样（D ）样本甲和样本乙的波动大小关系，不能确定 例 6.某餐厅共有7名员工，所有员工的工资情况如下表所示，则餐厅所有员工工资的众数是________________，中位数是________________。
中考数学精选例题解析平均数众数与中位数
2 015中考数学精选例题解析 平均数、众数与中位数 知识考点： 1、了解总体、个体、样本及样本容量等基本概念； 2、理解平均数、加权平均数、众数及中位数的概念，掌握它们的计算方法；会用它们描述一组数据的平均水平及集中趋势；会用样本平均数去估计总体平均数。 精典例题： 【例1】为了检查一批电风扇的使用寿命，从中抽取10台电风扇进行检测，以下说法正确的是（） A、这一批电风扇是总体； B、从中抽取的10台电风扇是总体的一个样本； C、10台电风扇的使用寿命是样本容量； D、每台电风扇的使用寿命是全体。 分析：本题中的考察对象是电风扇的使用寿命，不是电风扇本身，因此这批电风扇的使用寿命是总体，每台电风扇的使用寿命是个体，从中抽取的10台电风扇的使用寿命是总体的一个样本，样本容量是10。故应选D。 【例2】公园里有甲、乙两群游客正在做团体游戏，两群游客的年龄如下（单位：岁）： 甲群：13，13，14，15，15，15，15，16，17，17； 乙群：3，4，4，5，5，6，6，6，54，57。 解答下列问题（直接填在横线上）： （1）甲群游客的平均年龄是岁，中位数是岁，众数是岁，其中能较好反映甲群游客年龄特征的是。 （2）乙群游客的平均年龄是岁，中位数是岁，众数是岁，其中能较好反映甲群游客年龄特征的是。 分析：平均数、中位数及众数都是反映数据集中趋势的量，当一组数据的大小比较接近时（如甲群游客），平均数、中位数与众数也比较接近；当一组数据中有个别数特
别大或特别小时（如乙群游客），它就会影响平均数的大小，但不影响中位数、众数，此时可由中位数或众数反映这缴数据的集中趋势。 答案：（1）15，15，15；平均数、中位数、众数； （2）15，5.5，6；中位数、众数。 探索与创新： 【问题一】某校为举行百年校庆，决定从高二年级300名男生中挑选80人组成仪仗方队，现随机抽测10名高二男生的身高如下（单位：米）： 1.69，1.75，1.70，1.65，1.72，1.69，1.71，1.68，1.71，1.69 试确定参加仪仗方队学生的最佳身高值。 分析：理想的仪仗方队应由身材较高，且高矮一致的人组成，因此身高的挑选标准应由身高中出现次数最多的数值所确定。 解：上面10个数据中的众数为1.69米，说明全年级身高为1.69米的男生最多，估计约有90人，因此将挑选标准定在1.69米，便于组成身高整齐的仪仗方队。 【问题二】某车间准备采取每月任务定额，超产有奖的措施提高工作效率，为制定一个恰当的生产定额，从该车间200名工人中随机抽取20人统计其某月产量如下： 每人生产零件数260 270 280 290 300 310 350 520 人数 1 1 5 4 3 4 1 1 （1）请应用所学的统计知识。为制定生产定额的管理者提供有用的参考数据； （2）你认为管理者将每月每人的生产定额定为多少最合适？为什么？ （3）估计该车间全年可生产零件多少个？ 分析：在确定生产定额时，需参考的数据应当有：平均数、众数、中位数。 合理的生产定额应确定在使多数人经过努力能够完成或超额完成的基础上。 如果将众数280定为生产定额，则绝大多数工人不需太努力就可完成任务，但不利于提高工作效率；若将平均数305定为生产定额，则多数工人不可能超产，甚至完不成定额，会挫伤工人的积极性。 解：（1）平均数305，国位数290，众数280； （2）取中位数290作为生产定额较合适，原因是这个定额使多数工人经过努力能完成或超额完成。
[整理]平均数、中位数和众数的概念
[整理]平均数、中位数和众数的概念平均数、中位数和众数的概念 一、相同点 平均数、中位数和众数这三个统计量的相同之处主要表现在:都是来描述数据集中趋势的统计量;都可用来反映数据的一般水平;都可用来作为一组数据的代表。 二、不同点 它们之间的区别，主要表现在以下方面。 1、定义不同 平均数:一组数据的总和除以这组数据个数所得到的商叫这组数据的平均数。 中位数:将一组数据按大小顺序排列，处在最中间位置的一个数叫做这组数据的中位数。 众数:在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数。 2、求法不同 平均数:用所有数据相加的总和除以数据的个数,需要计算才得求出。 中位数:将数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据个数是奇数，则处于最中间位置的数就是这组数据的中位数;如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数是这组数据的中位数。它的求出不需或只需简单的计算。 众数:一组数据中出现次数最多的那个数，不必计算就可求出。 3、个数不同 在一组数据中，平均数和中位数都具有惟一性，但众数有时不具有惟一性。在一组数据中，可能不止一个众数，也可能没有众数。 4、代表不同
平均数:反映了一组数据的平均大小，常用来一代表数据的总体“平均水平”。 中位数:像一条分界线，将数据分成前半部分和后半部分，因此用来代表一组数据的“中等水平”。 众数:反映了出现次数最多的数据，用来代表一组数据的“多数水平”。 这三个统计量虽反映有所不同，但都可表示数据的集中趋势，都可作为数据一般水平的代表。 5、特点不同 平均数:与每一个数据都有关,其中任何数据的变动都会相应引起平均数的变动。主要缺点是易受极端值的影响，这里的极端值是指偏大或偏小数，当出现偏大数时，平均数将会被抬高，当出现偏小数时，平均数会降低。
平均数中位数众数之间的区别与联系
平均数中位数众数之间的区别与联系 一、相同点 平均数、中位数和众数这三个统计量的相同之处主要表现在：都是来描述数据集中趋势的统计量；都可用来反映数据的一般水平；都可用来作为一组数据的代表。 二、不同点 它们之间的区别，主要表现在以下方面。 1、意义不同 平均数：一组数据的总和除以这组数据个数所得到的商叫这组数据的平均数。 中位数：将一组数据按大小顺序排列，处在最中间位置的一个数或最中间的两个数的平均数叫做这组数据的中位数。 众数：在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数。 2、求法不同 平均数：用所有数据相加的总和除以数据的个数。与每一个数的大小都有关系。 中位数：将数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据个数是奇数，则处于最中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数是这组数据的中位数。它只要找或简单的计算。 众数：一组数据中出现次数最多的那个数。只要找，不必计算就可求出。 3、个数不同 在一组数据中，平均数和中位数都具有惟一性，但众数有时不具有惟一性。在一组数据中，可能不止一个众数，也可能没有众数。 4、呈现形式不同 平均数：是一个“虚拟”的数，是通过计算得到的，它不是数据中的原始数据，它可能与原数据中的某一个相同，也可能与原数据中的任何一个都不同。 中位数：是一个不完全“虚拟”的数。当一组数据是奇数个时，它就是该组数据排序后最中间的那个数据，是这组数据中真实存在的一个数据；但在数据个数为偶数的情况下，中位数是最中间两个数据的平均数，只有当中间的两个数相同时，它才与这组数据中的两个或两个以上数据相同，是数据中的一个真实的数，如果正中间的两个数不同，此时的中位数就是一个“虚拟”的数。 众数：是一组数据中出现次数最多的原数据，它是真实存在的。但当一组数据中的每一个数据都出现相同次数时，这组数据就没有众数了。 5、代表不同 平均数：反映了一组数据的平均大小，常用来一代表数据的总体“平均水平”。 中位数：像一条分界线，将数据分成前半部分和后半部分，因此用来代表一组数据的“中等水平”。 众数：反映了出现次数最多的数据，用来代表一组数据的“多数水平”。 这三个统计量虽然有所不同，但都可以反映一组数据的集中趋势，都可以作为一组数据一般水平的代表。 6、特点不同 平均数：与每一个数据都有关,其中任何数据的变动都会相应引起平均数的变动。主要缺点是易受极端值的影响，这里的极端值是指偏大或偏小数，当出现偏大数时，平均数将会被抬高，当出现偏小数时，平均数会降低。 中位数：与数据的排列位置有关，某些数据的变动对它没有影响；它是一组数据中间位置上的代表值，不受数据极端值的影响。 众数：与数据出现的次数有关，着眼于对各数据出现的频率的考察，其大小只与这组数
第63讲 根据频率分布直方图求中位数众数和平均数-高中数学常见题型解法归纳反馈训练
【知识要点】 一、用样本估计总体的两个手段（用样本的频率分布估计总体的分布；用样本的数字特征估计总体的数字特征），需要从总体中抽取一个质量较高的样本，才能不会产生较大的估计偏差，且样本容量越大，估计的结果也就越精确，分析数据的一种基本方法是用图将它们画出来，或者用紧凑的表格改变数据的排列方式，作图可以达到两个目的，一是从数据中提取信息，二是利用图形传递信息. 二、频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小.一般是用频率分布直方图反映样本频率分布. 三、样本的数字特征 众数：就是数据中出现次数最多的那个，比其他的都多，如果几个数据出现的次数都是最多，则它们都是众数；每个数据都只有一次，那么数据没有众数.所以众数可以不止一个或者没有. 中位数：就是这些数据排列好了以后中间的那个数字，那么如果有偶数个数据，那么就是中间两个数字的平均数，如果有奇数个数据，则中间那个就是数据的中位数.所以数据的中位数不一定在数据中. 平均数：这个就是把所有数据相加，除以个数，就是数据的平均数. n x n ++ (n x x ++-(n x x ++-四、茎叶图 茎叶图又称“枝叶图”，它的思路是将数组中的数按位数进行比较，将数的大小基本不变或变化不大的位作为一个主干（茎），将变化大的位的数作为分枝（叶），列在主干的后面，这样就可以清楚地看到每个主干后面的几个数，每个数具体是多少. 当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边部分像植物茎上长出的叶子，因此通常把这样的图叫做茎叶图.
【方法讲评】 【例1】对某小区100户居民的月均用水量进行统计，得到样本的频率分布直方图如图，则估计此样本的众数、中位数分别为（） A. 2.25，2.5 B．2.25，2.02 C．2，2.5 D．2.5，2.25 【点评】（1）求频率分布图中的众数，一般先计算出频率分布直方图中的每个小矩形的面积，找到面积最大的那个矩形，取该矩形的横边中点对应的数为众数.（2）求众数也可以直接找最高矩形的横边的中点. 【反馈检测1】某学校900名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，抽取其中50个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[13，14]，第二组[14，15），…，第五组[17，18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图． （1）若成绩小于14秒认为优秀，求该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数； （2）请估计学校900名学生中，成绩属于第四组的人数； （3）请根据频率分布直方图，求样本数据的众数和中位数．
八年级数学《平均数众数和中位数》练习题
八年级数学《平均数、众数和中位数》练习题 班级姓名 一.填空题 1.数据-1,2,3,5,1的平均数与中位数之和是__________. 2.平均数是表示一组数据________的一个特征数. 3.用中位数可以表示一组数据的__________. 4.用众数可以表示一组数据的__________. 5.若数据10,12,9,-1,4,8,10,12,x的众数是12,则x=__________. 6.把9个数按从小到大的顺序排列,其平均数是9,如果这组数中前5个数的平均数是8,后5个数的平均数是10,则这9个数的中位数是________. 7、数据8、9、9、8、10、8、9、9、8、10、7、9、9、8的中位数是，众数是 8、一组数据23、27、20、18、X、12，它的中位数是21，则X的值是. 9、某地区２月份一周测得白天气温分别为１５℃，１７℃，１６℃，１８℃，１５℃，１４℃，１５℃，，这组数据的中位数是，众数是。 10、在数据1，2，4，6，10，12中平均数是，众数是，中位数是。 11、笑笑进行了９次１分钟仰卧起坐的测试，成绩如下，（单位：个）
３４，３５，３０，３４，２８，３４，２９，３３，３１ 这组数据的中位数是，众数是，平均数是，用表示笑笑１分钟仰卧起坐的一般水平较合适。 12、下面是五（１）班男生跳远成绩记录 ２.６，３.２，２.４，３.１，２.７，２.８，２.７，３，３.１， ２.８，２.６，２.９，２.５，２.８，２.８。这组数据中的中位数是，众数是，平均成绩是，我认为用数表示五(1)班男生的跳远成绩的一般水平比较合适。 13、如果一组数据８５，ｘ，８０，９０的平均数是８５，那么ｘ是，如果这组数据的众数是８０，那么ｘ是。 14、一个射击手连续射靶１０次，其中２次射中７环，３次射中８环，４次射中９环，１次射中１０环，则平均每次射中环，这次射击的众数是环，这次射击的中位数是环。 15、若一组数据１，２，３，４，ａ的平均数是３，则ａ的值是。16．对于数据组3，3，2，3，6，3，6，3，2中，众数是______；平均数是_____；中位数是______． 二.选择题 1.对于数据组2,4,4,5,3,9,4,5,1,8,其众数,中位数与平均数分别为() ,4,,6,用中位数去估计总体时,其优越性是() A.运算简便 B.不受较大数据的影响 C.不受较小数据的影响 D.不受个别数据较大或较小的影响
平均数中位数和众数练习题
平均数、众数、中位数练习题 一、选择题 1. 经理决定本周进女装时多进一些红色的，可用来解释这一现象的统计知识是（） Ａ．平均数Ｂ．中位数Ｃ．众数Ｄ．方差 2. 如果鞋店要购进100双这种女鞋，那么购进24厘米、24.5厘米和25厘米三种女鞋数量之和最合适 ．．．的是（）． （A）20双（B）30双（C）50双（D）80双 A．2200元1800元1600元B．2000元1600元1800元 C．2200元1600元1800元D．1600元1800元1900元 ` 4. 商场经理要了解哪种型号最畅销，则上述数据的统计量中，对商场经理来说最有意义的是（）A．平均数B．众数C．中位数D．方差 5.跳远比赛中，所有15位参赛者的成绩互不相同，在已知自己成绩的情况下，要想知道自己是否进入前8名，只需要知道所有参赛者成绩的（） A．平均数B．众数C．中位数D．方差 6.在一次数学单元考试中，某小组7名同学的成绩（单位：分）分别是：65，80，70，90，95，100，70.则这组数据的中位数是 < 7.
8. 某一公司共有51名员工（包括经理），经理的工资高于其他员工的工资.今年经理的工资从去年的200000元增加到225000元，而其他员工的工资同去年一样，这样，这家公司所有员工今年工资的 平均数和中位数与去年相比将会（） A.平均数和中位数不变 B.平均数增加，中位数不变 C.平均数不变，中位数增大 D.平均数和中位数都增大 9.有9名同学参加歌咏比赛，他们的预赛成绩各不相同，现取其中前4名参加决赛，小红同学在知道自己成绩的情况下，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这9名同学成绩的（） A．众数B．中位数C．平均数D．极差 二、填空题 10. 东海县素有“水晶之乡”的美誉．某水晶商店一段时间内销售了各种不同价格的水晶项链75条，其价格和销售数量如下表： 下次进货时，你建议该商店应多进价格为元的水晶项链． > 11. 某市广播电视局欲招聘播音员一名， 对A、B两名候选人进行了两项素质测试．两人的两项测试成绩如右表所Array示：根据实际需要，广播电视局将面试、综合知识测试的得分按3∶2的 比例计算两人的总成绩，那么（填A或B）将被录用. 12. 四次测试小丽每分钟做仰卧起坐的次数分别为：50、45、48、47，这组 数据的中位数为_________. 13. 甲、乙、丙、丁四支足球队在世界杯预选赛中的进球数分别为：9、9、 11、7, 则这组数据的:①众数为_____________;②中位数为____________;③平均数为__________. 14.李红同学为了在中考体育加试中取得好成绩，每天自己在家里练习做一分钟仰卧起坐，妈妈统计了她一个星期做的次数：30、28、24、30、25、30、22.则李红同学一个星期做仰卧起坐的次数的中位数和众数分别是_________________. 三、应用题 15. 请根据表中提供的信息解答下列问题： （1）该班学生考试成绩的众数是．（3分） （2）该班学生考试成绩的中位数是．（4分） （3）该班张华同学在这次考试中的成绩是83分，能不能说张华同学的成绩处于全班中游偏上水平试说明理由．（3分） )
知识总结平均数中位数与众数
平均数、中位数与众数 描述一组数据的“平均水平”的特征数最基本、最常用的是平均数、中位数和众数。现对它们的各自的特征作如下分析： 【平均数】平均数的大小与一组数据里每个数据都有关系，其中任何数据的变动都会相应引起平均数的变动。因此，表明平均数能较充分地反映一组数据的“平均水平”，但它容易受极端值的影响。 【中位数】中位数的大小仅与数据的排列位置有关，将一组数据按从小到大的顺序排列后，最中间的数据或最中间两个数据的平均数为中位数。因此，部分数据变动对中位数没有影响，当一组数据中的个别数据变动较大时，一般用中位数来描述“平均水平”。 【众数】众数着眼于各数据出现的次数，其大小与该组的部分数据有关，求一组数据的众数既不需要计算，也不需要排列，只要找出该数据中出现次数最多数据即为众数。因此，当一组数据中有不少数据重复出现时，一般用众数来描述“平均水平”． 注意：（1）平均数、中位数和众数描述的角度和适用范围不同。 （2）一组数据中平均数和中位数是惟一的，而众数则不一定惟一。在特殊情况下，三个数可能是同一个数据。
（3）在实际问题中三者都有单位。 （4）在具体问题中采用哪个特征数来描述一组数据的“平均水平”，就要看数据的特点和我们所关系问题而定。 例1 某班有7名同学参加校“综合素质只能竞赛”，成绩（单位：分）分别是87，92，87，89，91，88，76．则它们成绩的众数是分，中位数是分。 解析：本题的这组数据已按从大到小的顺序排列好，即76，87，87，88，89，91，92。出现次数最多的数是87，所以众数是87；由于排在中间的数据为88，所以中位数是88。 例2 某市举行一次少年滑冰比赛，各年龄组的参赛人数如下表所示： 年龄组 13岁 14岁 15岁 16岁 参赛人数 5 19 12 14 （1）求全体参赛选手年龄的众数、中位数； （2）小明说，他所在年龄组的参赛人数占全体参赛人数的。 你认为小明是哪个年龄组的选手?请说明理由。 解析：（1）出现次数最多的数是14，所以众数是14岁；这组数据有50个数，将这组数按从小到大的顺序排列，第25、26个数都是15，所以中位数是15岁。 （2）全体参赛选手的人数为：5＋19＋12＋14＝50名
平均数、中位数与众数的区别和联系
平均数、中位数与众数的区别和联系 一、相同点 平均数、中位数和众数这三个统计量的相同之处主要表现在：都是来描述数据集中趋势的统计量；都可用来反映数据的一般水平；都可用来作为一组数据的代表。 二、不同点 它们之间的区别，主要表现在以下方面。 1、定义不同 平均数：一组数据的总和除以这组数据个数所得到的商叫这组数据的平均数。 中位数：将一组数据按大小顺序排列，处在最中间位置的一个数叫做这组数据的中位数。 众数：在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数。 2、求法不同 平均数：用所有数据相加的总和除以数据的个数,需要计算才得求出。 中位数：将数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据个数是奇数，则处于最中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数是这组数据的中位数。它的求出不需或只需简单的计算。 众数：一组数据中出现次数最多的那个数，不必计算就可求出。 3、个数不同 在一组数据中，平均数和中位数都具有惟一性，但众数有时不具有惟一性。在一组数据中，可能不止一个众数，也可能没有众数。 4、呈现不同 平均数：是一个“虚拟”的数，是通过计算得到的，它不是数据中的原始数据。 中位数：是一个不完全“虚拟”的数。当一组数据有奇数个时，它就是该组数据排序后最中间的那个数据，是这组数据中真实存在的一个数据；但在数据个数为偶数的情况下，中位数是最中间两个数据的平均数，它不一定与这组数据中的某个数据相等，此时的中位数就是一个虚拟的数。 众数：是一组数据中的原数据，它是真实存在的。 5、代表不同 平均数：反映了一组数据的平均大小，常用来一代表数据的总体“平均水平”。 中位数：像一条分界线，将数据分成前半部分和后半部分，因此用来代表一组数据的“中等水平”。 众数：反映了出现次数最多的数据，用来代表一组数据的“多数水平”。 这三个统计量虽反映有所不同，但都可表示数据的集中趋势，都可作为数据一般水平的代表 6、特点不同 平均数：与每一个数据都有关,其中任何数据的变动都会相应引起平均数的变动。主要缺点是易受极端值的影响，这里的极端值是指偏大或偏小数，当出现偏大数时，平均数将会被抬高，当出现偏小数时，平均数会降低。