第3章图形变换讲解

0 1
x
yT
变换矩阵为
T
1
0
0 1 ，变换结果如下图所示。
Y
对Y轴镜射 O
原始位置 X
对Y轴的镜射变换
3. 对原点的镜射变换
x* x, y* y ，即
x
y x
y x
y01
0 1
x
yT
变换矩阵为：T
1
0
0 1
Y
镜射变换结果如下图所示。
O
原始位置 X
对原点镜射
对原点的镜射变换
Y
线图形框为沿X轴平移 l 和沿Y轴平移m 所到达的位置。
3.2.2 比例变换
设a和d分别为X、Y轴方向的缩放比例系数。则点
p(x, y) p * (x*, y*) 的变换为
x* ax
y*
dy
或 x *
y * ax
dy x
y
a 0
0 d
x
yT
式中
T
a 0
0
d
，称为比例变换矩阵。
比例变换如图3.2所示，图中实线图形框为原始图形，虚线图形框放大2倍 后的图形。 比例因子a和d分别取不同的值（a，d>0）将获得不同的变换结果：
点是构成图形的最基本要素，可用点的集合（简称点集） 来表示一个二维图形，其矩阵的形式为：
x1 y1
x
2
y
2
xn
yn
n2
3.2 二维图形的基本变换
在计算机绘图中，常常要对图形进行比例、镜射、 旋转、平移、投影等各种变换，既然图形可以用点集来 表示，那么，二维图形的基本变换就可以通过点集的变 换来实现。点的位置改变了，图形就会随之改变。即：
第3章 图形变换
图形变换一般是指对图形的几何信息经过几何变换 后产生新的几何图形。图形变换既可以看作是坐标系不 动而图形变动，变动后的图形在坐标系中的坐标值发生 变化；也可以看作图形不动而坐标系变动，变动后，该 图形在新的坐标系下具有新的坐标值，这两种情况本质 上是一样的。图形变换归结为对组成图形的点集坐标的 变换。编辑修改、从各种视角观察几何实体，动画仿真、 装配等操作都是通过坐标点的平移、比例、旋转、镜射 和错切等的几何变换实现的,本章介绍二维、三维基本几 何变换以及投影变换。
的变换为 x* x cos y sin
y*
x
s in
y
cos
或
x * y * x cos y sin
x sin y cos
x
y
cos sin
sin cos
x
yT
式中
T
Байду номын сангаас
cos sin
sin
cos
，称其旋转变换矩阵。
p *(x*, y*)
•
r
• p(x, y)
x r cos
旧点（集）×变换矩阵 矩阵运算 新点（集）
3.2.1 平移变换
平移是指点从一个位置移动到另一个位置的直线移动，
即点 p(x, y) p * (x*, y*) 。令X、Y轴方向的偏移量分别 为l和m，则
x* x l y* y m 或
x * y * x l y m
图3.1 平移变换
平移变换如图3.1所示，图中实线图形框为原始位置，虚
3.1 点的矩阵表示 3.2二维图形的基本变换 3.3 二维齐次坐标和齐次变换矩阵 3.4二维图形的组合变换 3.5三维图形的变换
3.6三维图形的投影变换
3.1 点的矩阵表示 3.1.1 点的矩阵表示
在二维空间中，用坐标 (x, y) 表示平面上的
一点。为了便于进行各种变换运算，通常把二维
y
r
sin
x* r cos( ) y* r sin( )
x* r cos( ) r cos cos r sin sin x cos y sin
y*
r
sin(
)
r
sin
cos
r
cos
sin
x sin
y cos
3.2.4 镜射变换
镜射变换即产生图形的镜像，用来计算镜射图形，也称为对称变换。 包括对于坐标轴、坐标原点、±45°直线和任意直线的镜射变换。
1. 对X轴的镜射变换
对X轴的镜射变换应有， x* x, y* y ，即
x* y * x
变换矩阵为：T=
1 0
y x
y
1 0
0 1
x
yT
0 1
，变换结果如下图所示。
Y
原始位置
O
X
对X轴镜射
对X轴的镜射变换
2. 对Y轴的镜射变换
x* x, y* y ，即
x *
y * x
y x
y
1 0
在沿X轴的错切变换中，y坐标不变，x坐标有一增量。变换后原来 平行于Y轴的直线，向X轴方向错切成与X轴成一定的角度。而在沿 Y轴的错切变换中，x坐标不变，y坐标有一增量。变换后原来平行 于X轴的直线，向Y轴方向错切成与Y轴成一定的角度。
空间中的点表示成21列矩阵或者表示成12行矩
阵。即
x
y
,
21
x y 12
3.1.2 二维图形的矩阵表示
点是构成图形的最基本要素。一个三维实体可以看成是由 若干个面围成的，而面则是由线围成的，一条曲线可以看作是 由许多短直线段拟合而成，一条直线则是由两个端点连接而成 的。所以，一般情况下，可以认为图形是一个点集。因此，图 形实体的变换实际上就是点集的变换，而点的几何变换则是图 形变换的基础。
矩阵为T
2 0
0 0.5
，
10 20
20 10
图形框的变换为 20 20
20 10
2 0
0 0.5
40 40
10 5
10
10
20
5
变换后的图形如图3.3所示，图中虚线框为变换后的图形。
Y
O
X
图3.3 不等比例变换
3.2.3 旋转变换
设点（x，y）绕坐标原点逆时针旋转 角，则点 p(x, y) p * (x*, y*)
则变换矩阵为：T
0 1
1 0 ，镜射变换结果如图3.5所示。
（2）对-45°线的镜射变换
对-45°线镜射， x* y, y* x ，即
x
y y
x
0
x
1
y
0 1
1 0
x
yT
则变换矩阵为： T 1
0
，
对-45°线的镜射变换结果如图3.5所示。
3.2.5 错切变换
错切用于描述受到扭曲、剪切后的几何体形状。
对Y轴镜射 O
原始位置 X
对原点镜射
对X轴镜射
图3.4 镜射变换
Y 原始位置
4.对±45°线的镜射变换 （1）对+45°线的镜射
对+45°线 镜射
O
X
对+45°线的镜射应有： x* y, y* x ,
其镜射变换为
对-45°线镜
x
y y
x x
y
0 1
1 0
x
yT
射
图3.5 ±45°线镜射变换
恒等变换：a d 1 ，变换后点的坐标不变。 等比变换：a d 1 ，当a d 1 时，变换后图形等比例放大，
如图3.2所示。
当 a d 1时，变换后图形等比例缩小。
Y
O
X
图3.2 比例变换（等比例变换）
若 a d ，变换后图形产生畸变。如取 a 2, d 0.5，则变换