2014年湘教版选修2-1 3

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3湘教版数学选修2-1讲义与精练汇总(打包下载)

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k2∈Z),则ab＝2(2k1k2＋k1＋k2)＋1,显然2k1k2＋k1＋k2是一个整数,故ab是奇数．若将本例(4)中的“奇数”改为“无理数”, 判断该命题的真假．解：当a＝5, b＝－5时, a, b都是无理数, 但5×(－5)＝－5是有理数, 故该命题为假命题．判断命题真假的策略(1)要判断一个命题是真命题, 一般要有严格的证明或有事实依据, 比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证．(2)要判断一个命题是假命题, 只要举一个反例即可．2．判断下列命题的真假, 并说明理由．(1)形如a＋6b的数是无理数；(2)一个等比数列的公比大于1时, 该数列为递增数列；(3)奇函数的图象关于原点对称； (4)能被2整除的数一定能被4整除．解：(1)假命题, 反例：a 是有理数且b ＝0, 则a ＋6b 是有理数．(2)假命题．若数列{a n }为等比数列, 且a 1＝－1, q ＝2, 则该数列为递减数列． (3)真命题．根据奇函数的性质可知奇函数的图象一定关于原点对称． (4)假命题．反例：如2,6能被2整除, 但不能被4整除．命题的综合问题试探究命题“方程ax 2＋bx ＋1＝0有实数解”为真命题时, a , b 满足的条件．[自主解答] 方程ax 2＋bx ＋1＝0有实数解, 要考虑方程为一元一次方程和一元二次方程两种情况：当a ＝0时, 方程ax 2＋bx ＋1＝0为bx ＋1＝0, 只有当b ≠0时, 方程有实数解x ＝－1b ；当a ≠0时, 方程ax 2＋bx ＋1＝0为一元二次方程, 方程有实数解的条件为Δ＝b 2－4a ≥0.综上知, 当a ＝0, b ≠0或a ≠0, b 2－4a ≥0时, 方程ax 2＋bx ＋1＝0有实数解．(1)并不是任何语句都是命题．要判断一个句子是否为命题, 关键在于能否判断其成立或不成立．一般地, 疑问句、祈使句、感叹句都不是命题．(2)一个命题要么是真的, 要么是假的, 二者必居其一．3．下面的命题中是真命题的是( ) A ．y ＝sin 2x 的最小正周期为2πB ．若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根同号, 则ca >0C ．如果M ⊆N , 那么M ∪N ＝MD ．在△ABC 中, 若AB ―→·BC ―→>0, 则B 为锐角解析：选B y ＝sin 2x ＝1－cos 2x 2, T ＝2π2＝π, 故A 为假命题；当M ⊆N 时, M ∪N ＝N , 故C 为假命题；在三角形ABC 中, 当AB ―→·BC ―→>0时, 向量AB ―→与BC ―→的夹角为锐角, B 应为钝角, 故D 为假命题．故选B.解题高手妙解题什么是智慧, 智慧就是简单、高效、不走弯路若命题“如果5x －1>a , 那么x >1”是真命题, 求实数a 的取值范围．[巧思] “如果5x －1>a , 那么x >1”是真命题, 则不等式5x －1>a 的解集是x >1的子集．[妙解] 由5x －1>a , 得x >15(1＋a )．∵命题“如果5x －1>a 那么x >1”是真命题, ∴⎝⎛⎭⎫1＋a 5，＋∞⊆(1, ＋∞)． ∴1＋a5≥1, 即a ≥4. 即a 的取值范围是[4, ＋∞)．1．“红豆生南国, 春来发几枝？愿君多采撷, 此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》, 这首诗中, 在当时条件下, 可以作为命题的是( )A ．红豆生南国B ．春来发几枝C ．愿君多采撷D ．此物最相思解析：“红豆生南国”是陈述句, 所述事件在唐代是事实, 所以本句是命题, 且是真命题；“春来发几枝”是疑问句, “愿君多采撷”是祈使句, “此物最相思”是感叹句, 都不是命题, 故选A.答案：A2．下列命题中的真命题是( ) A ．互余的两个角不相等 B ．相等的两个角是同位角 C ．若a 2＝b 2, 则|a |＝|b |D ．三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角解析：由平面几何知识可知A 、B 、D 三项都是错误的．答案：C3．给出命题“方程x 2＋ax ＋1＝0没有实数根”, 则使该命题为真命题的a 的一个值可以是( )A ．4B ．2C ．0D ．－3解析：方程无实根时, 应满足Δ＝a 2－4<0.故a ＝0时适合条件．答案：C4．设a, b, c是任意的非零平面向量, 且相互不共线, 则：①(a·b)c＝(c·a)b；②|a|－|b|<|a－b|；③(b·c)a－(c·a)b不与c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2中, 是真命题的有________(只填序号)．解析：因为a, b, c相互不共线,所以(a·b)c与(c·a)b不一定相等．又因为[(b·c)a－(c·a)b]·c＝(b·c)(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0, 所以①③为假命题, 易证②④为真命题．答案：②④5．下列命题：①y＝x2＋3为偶函数；②0不是自然数；③{x∈N|0＜x＜12}是无限集；④如果a·b＝0, 那么a＝0或b＝0.其中是真命题的是________(写出所有真命题的序号)．解析：①为真命题, ②③④为假命题．答案：①6．若命题p(x)：x2＋2>3x为真命题, 求x的取值范围．解：∵x2＋2>3x, ∴x2－3x＋2>0.解得x>2或x<1,∴x的取值范围是(2, ＋∞)∪(－∞, 1)．一、选择题1．下列语句中是命题的是()A．周期函数的和是周期函数吗？B．sin 0°＝0C．求x2－2x＋1>0的解集D．作△ABC∽△EFG解析：A选项是疑问句, 不是命题, C、D选项中的语句显然不是．答案：B2．已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题, 那么下列命题中真命题的个数为()①M中的元素都不是P的元素；②M中有不属于P的元素；③M中有属于P的元素；④M中的元素不都是P的元素．A．1B．2C．3 D．4解析：①③错误；②④正确．答案：B3．下列命题中, 为真命题的是()A．对角线相等的四边形是矩形B．若一个球的半径变为原来的2倍, 则其体积变为原来的8倍C．若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等D．直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝1相切解析：等腰梯形对角形相等, 不是矩形, 故A中命题是假命题；由球的体积公式可知B 中命题为真命题；C中命题为假命题, 如“3,3,3”和“2,3,4”的平均数相等, 但标准差显然不相等；圆x2＋y2＝1的圆心(0,0)到直线x＋y＋1＝0的距离d＝22<1, 故直线与圆相交, 所以D中命题为假命题．答案：B4．给出下列命题：①若直线l⊥平面α, 直线m⊥平面α, 则l⊥m；②若a, b都是正实数, 则a＋b≥2ab；③若x2>x, 则x>1；④函数y＝x3是指数函数．其中假命题的个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：①中, 显然l∥m或l与m重合, 所以①是假命题；由基本不等式, 知②是真命题；③中, 由x2>x, 得x<0或x>1, 所以③是假命题；④中, 函数y＝x3是幂函数, 不是指数函数, 所以④是假命题．故选C.答案：C二、填空题5．下列语句：①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程吗？②抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等； ④若m ＞0, a ＞b ＞0, 则b ＋m a ＋m ＞ba. 其中真命题的序号为________．解析：①不是命题；②错, 可能没交点；③正确, 若A ⊆B , B ⊆A , 则A ＝B ；④显然正确, 可以证明．答案：③④ 6．给出下列命题：①方程x 2－x ＋1＝0有两个实根； ②对于实数x , 若x －2＝0, 则x －2≤0； ③若p ＞0, 则p 2＞p ； ④正方形不是菱形．其中真命题是________, 假命题是________．解析：①假, 因Δ＜0；②真；③假, p ＝12时, p 2＜p ；④假, 正方形是菱形, 也是矩形．答案：② ①③④7．函数f (x )的定义域为A , 若当x 1, x 2∈A 且f (x 1)＝f (x 2)时, 总有x 1＝x 2, 则称f (x )为单函数．例如, 函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R)是单函数．下列命题：①函数f (x )＝x 2(x ∈R)是单函数；②指数函数f (x )＝2x (x ∈R)是单函数；③在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．其中的真命题是________．(填序号)解析：由x 21＝x 22, 未必有x 1＝x 2, 故①为假命题；对于f (x )＝2x , 当f (x 1)＝f (x 2)时一定有x 1＝x 2, 故②为真命题；当函数在其定义域上单调时, 一定有“若f (x 1)＝f (x 2), 则x 1＝x 2”, 故③为真命题．故真命题是②③.答案：②③8．若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题, 则实数a 的取值范围是________．解析：∵ax 2－2ax －3>0不成立, ∴ax 2－2ax －3≤0恒成立．当a ＝0时, －3≤0恒成立；当a ≠0时, 则有⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝4a 2＋12a ≤0，解得－3≤a <0.综上, －3≤a ≤0. 答案：[－3,0] 三、解答题9．判断下列语句是否是命题, 若是, 判断其真假, 并说明理由． (1)一个数不是合数就是质数． (2)大角所对的边大于小角所对的边．(3)x＋y是有理数, 则x, y也都是有理数．(4)求证x∈R, 方程x2＋x＋1＝0无实根．解：(1)是假命题, 1不是合数, 也不是质数．(2)是假命题, 必须在同一个三角形或全等三角形中．(3)是假命题, 如x＝2, y＝－ 2.(4)祈使句, 不是命题．10．判断命题：“若a＋b＝2, 则直线x＋y＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝2相切”的真假．解：由已知a＋b＝2,圆心(a, b)到直线x＋y＝0的距离d＝|a＋b|2＝22＝2＝r,所以直线与圆相切, 即命题为真.1．1.2命题的四种形式[读教材·填要点]1．四种命题结构2．四种命题的相互关系3．四种命题的真假性(1)四种命题的真假性, 有且仅有下面四种情况原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假(2)四种命题的真假性之间的关系①两个命题互为逆否命题, 它们有相同的真假性．②两个命题为互逆命题或互否命题, 它们的真假性没有关系．[小问题·大思维]1．命题a 的否命题是b , 命题b 的逆否命题是c , 命题c 的逆命题是d , 则命题a 与命题d 的关系是怎样的？提示：由四种命题间的关系可知a 与d 是一个命题．2．如果一个命题的逆命题为真命题, 这个命题的否命题一定为真命题吗？提示：一定为真命题．因为一个命题的逆命题和否命题互为逆否命题, 所以它们的真假性相同．3．在四种命题中, 真命题的个数可能会有几种情况？提示：因为原命题与逆否命题, 逆命题和否命题互为逆否命题, 它们同真同假, 所以真命题的个数可能为0,2,4.四种命题的概念写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题：(1)若α＋β＝π2, 则sin α＝cos β；(2)对任意非正数c , 若有a ≤b ＋c 成立, 则a ≤b . [自主解答] 逆命题：若sin α＝cos β, 则α＋β＝π2.否命题：若α＋β≠π2, 则sin α≠cos β.逆否命题：若sin α≠cos β, 则α＋β≠π2.(2)逆命题：对任意非正数c , 若有a ≤b 成立, 则a ≤b ＋c . 否命题：对任意非正数c , 若有a >b ＋c 成立, 则a >b . 逆否命题：对任意非正数c , 若有a >b 成立, 则a >b ＋c .四种命题的转换方法(1)交换原命题的条件和结论, 所得命题是原命题的逆命题．(2)同时否定原命题的条件和结论, 所得命题是原命题的否命题．(3)交换原命题的条件和结论, 并且同时否定, 所得命题是原命题的逆否命题．1．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题．(1)负数的平方是正数；(2)如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线, 那么这条直线垂直于平面．解：(1)原命题改写成“若一个数是负数, 则它的平方是正数”．逆命题：若一个数的平方是正数, 则它是负数．否命题：若一个数不是负数, 则它的平方不是正数．逆否命题：若一个数的平方不是正数, 则它不是负数．(2)逆命题：如果一条直线垂直于平面, 那么这条直线垂直于平面内的两条相交直线；否命题：如果一条直线不垂直于平面内的两条相交直线, 那么这条直线不垂直于平面；逆否命题：如果一条直线不垂直于平面, 那么这条直线不垂直于平面内的两条相交直线．四种命题真假的判断判断下列命题的真假, 并说明理由．(1)“若x2＋y2≠0, 则x, y不全为零”的否命题；(2)“正三角形都相似”的逆命题；(3)“若m>0, 则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题；(4)“若x－2是有理数, 则x是无理数”的逆否命题．[自主解答](1)原命题的否命题为“若x2＋y2＝0, 则x, y全为零”．真命题(2)原命题的逆命题为“若两个三角形相似, 则这两个三角形是正三角形”．假命题(3)原命题的逆否命题为“若x2＋x－m＝0无实根, 则m≤0”．∵方程无实根,∴判别式Δ＝1＋4m<0.∴m<－14≤0.真命题(4)原命题的逆否命题为“若x不是无理数, 则x－2不是有理数”．∵x不是无理数, ∴x是有理数．又2是无理数,∴x－2是无理数, 不是有理数．真命题若本例(3)改为判断“若m>0, 则mx2＋x－1＝0有实根”的逆否命题的真假, 则结论如何？解：原命题的逆否命题为“若mx2＋x－1＝0无实根, 则m≤0”．因为方程mx2＋x－1＝0无实根, 则m≠0, 所以判别式Δ＝1＋4m<0, 则m<－14, 故m≤0, 为真命题．在判断一个命题的真假时, 可以有两种方法：一是分清原命题的条件和结论, 直接对原命题的真假进行判断；二是不直接写出命题, 而是根据命题之间的等价关系进行判断, 即原命题和逆否命题同真同假, 逆命题和否命题同真同假．2．把命题“平行于同一条直线的两条直线平行”改写成“若p, 则q”的形式, 并写出它的逆命题、否命题和逆否命题, 同时判断它们的真假．解：“若p, 则q”的形式：若两条直线平行于同一条直线, 则这两条直线平行, 是真命题；逆命题：若两条直线平行, 则这两条直线平行于同一条直线, 是真命题；否命题：若两条直线不平行于同一条直线, 则这两条直线不平行, 是真命题；逆否命题：若两条直线不平行, 则这两条直线不平行于同一条直线, 是真命题．等价命题的应用证明：已知函数f(x)是(－∞, ＋∞)上的增函数, a, b∈R, 若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b), 则a＋b≥0.[自主解答]法一：原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞, ＋∞)上的增函数, a, b∈R, 若a＋b<0, 则f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)”．若a＋b<0, 则a<－b, b<－a.又∵f(x)在(－∞, ＋∞)上是增函数,∴f(a)<f(－b), f(b)<f(－a),∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．即原命题的逆否命题为真命题．∴原命题为真命题．法二：假设a＋b<0, 则a<－b, b<－a.又∵f(x)在(－∞, ＋∞)上是增函数,∴f(a)<f(－b), f(b)<f(－a)．∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．这与已知条件f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)相矛盾．因此假设不成立, 故a＋b≥0.由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性, 所以在直接证明某一个命题为真命题有困难时, 可以通过证明它的逆否命题为真命题, 来间接地证明原命题为真命题．3．证明：若m2＋n2＝2, 则m＋n≤2.证明：将“若m2＋n2＝2, 则m＋n≤2”视为原命题, 则它的逆否命题为“若m＋n>2, 则m2＋n2≠2”．由于m＋n>2, 则m2＋n2≥12(m＋n)2>12×22＝2,所以m2＋n2≠2.故原命题的逆否命题为真命题, 从而原命题也为真命题．解题高手多解题条条大路通罗马, 换一个思路试一试判断命题“已知a, x为实数, 若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空, 则a≥1”的逆否命题的真假．[解]法一：逆否命题：已知a, x为实数, 若a＜1, 则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为∅.判断如下：抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上,令x2＋(2a＋1)x＋a2＋2＝0,则Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.因为a＜1, 所以4a－7＜0,即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为∅.故逆否命题为真命题．法二：利用原命题的真假去判断逆否命题的真假．因为关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空, 所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0.即4a－7≥0, 解得a≥74≥1.所以原命题为真, 故其逆否命题为真．法三：利用集合的包含关系求解．命题p ：关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空, 命题q ：a ≥1, 所以p ：A ＝{a |(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a ≥74；q ：B ＝{a |a ≥1}．因为A ⊆B , 所以“若p , 则q ”为真命题．所以原命题的逆否命题为真．[点评] 因为互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性, 所以判断某个命题真假时, 可以改为判断它的逆否命题的真假．当命题与不等式的解集有关时, 也可以利用集合的包含关系．1．设m ∈R, 命题“若m >0, 则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是( ) A ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根, 则m >0 B ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根, 则m ≤0 C ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根, 则m >0 D ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根, 则m ≤0解析：根据逆否命题的定义, 命题“若m >0, 则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是“若方程x 2＋x －m ＝0没有实根, 则m ≤0”．故选D.答案：D2．已知a , b , c ∈R, 命题“若a ＋b ＋c ＝3, 则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是( ) A ．若a ＋b ＋c ≠3, 则a 2＋b 2＋c 2<3 B ．若a ＋b ＋c ＝3, 则a 2＋b 2＋c 2<3 C ．若a ＋b ＋c ≠3, 则a 2＋b 2＋c 2≥3 D ．若a 2＋b 2＋c 2≥3, 则a ＋b ＋c ＝3解析：a ＋b ＋c ＝3的否定是a ＋b ＋c ≠3, a 2＋b 2＋c 2≥3的否定是a 2＋b 2＋c 2<3. 答案：A3．命题“若a >－3, 则a >－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中, 真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：“若a >－3, 则a >－6”为真命题, 所以其逆否命题亦为真命题．又逆命题、否命题为假命题, 所以真命题的个数为2.故选C.答案：C4．命题“若a>b, 则2a>2b－1”的否命题为________．解析：“a>b”的否定是“a≤b”, “2a>2b－1”的否定是“2a≤2b－1”．答案：若a≤b, 则2a≤2b－15．有下列四个命题：①命题“若x＋y＝0, 则x, y互为相反数”的逆命题；②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③命题“若m≤1, 则x2－2x＋m＝0有实根”的逆否命题；④命题“若A∩B＝B, 则A⊆B”的逆否命题．其中是真命题的是______________(填上你认为正确的命题的序号)．解析：④中由A∩B＝B, 应该得出B⊆A, 原命题为假命题, 所以逆否命题为假命题．答案：①②③6．写出下列原命题的其他三种命题, 并分别判断真假．(1)在△ABC中, 若a>b, 则∠A>∠B；(2)若ab＝0, 则a＝0；(3)若x∈A, 则x∈A∪B.解：(1)逆命题：在△ABC中,若∠A>∠B, 则a>b, 真命题；否命题：在△ABC中, 若a≤b, 则∠A≤∠B, 真命题；逆否命题：在△ABC中, 若∠A≤∠B, 则a≤b, 真命题．(2)逆命题：若a＝0, 则ab＝0, 真命题；否命题：若ab≠0, 则a≠0, 真命题；逆否命题：若a≠0, 则ab≠0, 假命题．(3)逆命题：若x∈A∪B, 则x∈A, 假命题；否命题：若x∉A, 则x∉A∪B, 假命题；逆否命题：若x∉A∪B, 则x∉A, 真命题．一、选择题1．命题“若a>b, 则a＋1>b”的逆否命题是()A．若a＋1≤b, 则a>b B．若a＋1<b, 则a>bC．若a＋1≤b, 则a≤b D．若a＋1<b, 则a<b解析：把条件与结论交换, 再否定．答案：C2．命题“若f(x)是奇函数, 则f(－x)是奇函数”的否命题是()A．若f(x)是偶函数, 则f(－x)是偶函数B．若f(x)不是奇函数, 则f(－x)不是奇函数C．若f(－x)是奇函数, 则f(x)是奇函数D．若f(－x)不是奇函数, 则f(x)不是奇函数解析：否命题是既否定题设又否定结论．因此否命题应为“若函数f(x)不是奇函数, 则f(－x)不是奇函数”．答案：B3．下列说法中错误的是()A．命题“a, b, c中至少有一个等于0”的否命题是“a, b, c中没有一个等于0”B．命题“若x>1, 则x－1>0”的否命题是“若x<1, 则x－1<0”C．命题“0, －2,0.4都是偶数”的否命题是“0, －2,0.4不都是偶数”D．命题“x＝－4是方程x2＋3x－4＝0的根”的否命题是“x＝－4不是方程x2＋3x－4＝0的根”解析：命题“若x>1, 则x－1>0”的否命题应该是“若x≤1, 则x－1≤0”．答案：B4．命题“函数f(x)·g(x)在定义R上, h(x)＝f(x)·g(x), 若f(x), g(x)均为奇函数, 则h(x)为偶函数”的逆命题, 否命题, 逆否命题中正确的命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析：由f(x)·g(x)均为奇函数可得h(x)＝f(x)·g(x)为偶函数, 反之则不成立, 如h(x)＝x2是偶函数, 但函数f(x)＝x2x2＋1, g(x)＝x2＋1都不是奇函数, 故逆命题不正确, 故其否命题也不正确, 即只有逆否命题正确．答案：B二、填空题5．命题“若A∪B＝B, 则A⊆B”的否命题是________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________, 逆否命题是________________________________________________________．解析：命题“若A∪B＝B, 则A⊆B”的否命题是“若A∪B≠B, 则A B”, 逆否命题是“若A B, 则A∪B≠B”．答案：若A∪B≠B, 则A B若A B, 则A∪B≠B6．给定下列命题：①“若k ＞0, 则方程x 2＋2x －k ＝0”有实根； ②“若a ＞b , 则a ＋c ＞b ＋c ”的否命题．其中真命题的序号是________．解析：①Δ＝4＋4k ＞0, ∴是真命题．②否命题为“若a ≤b , 则a ＋c ≤b ＋c ”, 是真命题．答案：①②7．已知命题“若m －1<x <m ＋1, 则1<x <2”的逆命题为真命题, 则m 的取值范围是________．解析：由已知得, 若1<x <2成立, 则m －1<x <m ＋1也成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤1，m ＋1≥2.∴1≤m ≤2.答案：[1,2] 8．下列命题中：①若一个四边形的四条边不相等, 则它不是正方形； ②若一个四边形对角互补, 则它内接于圆； ③正方形的四条边相等； ④圆内接四边形对角互补； ⑤对角不互补的四边形不内接于圆；⑥若一个四边形的四条边相等, 则它是正方形．其中互为逆命题的有________；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________．解析：命题③可改写为“若一个四边形是正方形, 则它的四条边相等”；命题④可改写为“若一个四边形是圆内接四边形, 则它的对角互补”；命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不互补, 则它不内接于圆”, 再依据四种命题间的关系便不难判断．答案：③和⑥, ②和④ ①和⑥, ②和⑤ ①和③, ④和⑤ 三、解答题9．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题, 并判断其真假． (1)若x ≠1时, 则x 2－3x ＋2≠0； (2)弦的垂直平分线平分弦所对的弧．解：(1)逆命题：若x 2－3x ＋2≠0, 则x ≠1, 是真命题；否命题：若x ＝1, 则x 2－3x ＋2＝0, 是真命题；逆否命题：若x 2－3x ＋2＝0, 则x ＝1, 是假命题．(2)逆命题：若一条直线平分弦所对的弧, 则这条直线是弦的垂直平分线, 是假命题；否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线, 则这条直线不平分弦所对的弧, 是假命题；逆否命题：若一条直线不平分弦所对的弧, 则这条直线不是弦的垂直平分线, 是真命题．10．已知集合A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0}, B＝{x|x<0}, 若命题“A∩B＝∅”是假命题, 求实数m的取值范围．解：因为A∩B＝∅是假命题,所以A∩B≠∅.设全集U＝{m|Δ＝(－4m)2－4(2m＋6)≥0},则U＝⎩⎨⎧m⎪⎪⎭⎬⎫m≤－1或m≥32.假设方程x2－4mx＋2m＋6＝0的两根x1, x2都非负, 则有⎩⎪⎨⎪⎧m∈U，x1＋x2≥0，x1x2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧m∈U，4m≥0，2m＋6≥0.解得m≥32.又集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫m⎪⎪m≥32在全集U中的补集是{m|m≤－1},所以实数m的取值范围是(－∞, －1]．1．1.3充分条件和必要条件[读教材·填要点]充分条件与必要条件命题真假“若p, 则q”是真命题“若p, 则q”是假命题“若p, 则q”和“若q,则p”都是真命题推出关系p⇒q p q p⇔q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件p是q的充分必要条件, p和q称为互相等价[小问题·大思维]1．如果p是q的充分条件, 则p是唯一的吗？提示：不唯一, 如x>3是x>0的充分条件, x>5, x>10等都是x>0的充分条件．2．若“x∈A”是“x∈B”的充要条件, 则A与B的关系怎样？提示：A＝B.3．p是q的充要条件, q是s的充要条件, p是s的充要条件吗？提示：是．∵p是q的充要条件, ∴p⇔q.又q是s的充要条件, ∴q⇔s.故p⇔s, 即p是s的充要条件．充分条件、必要条件的理解下列“若p, 则q”形式的命题中, 哪些命题中的p是q的充分条件：(1)若x＝1, 则x2－4x＋3＝0；(2)若f(x)＝x, 则f(x)在(－∞, ＋∞)上为增函数；(3)若x为无理数, 则x2为无理数；(4)若两条直线平行, 则这两条直线的斜率相等．[自主解答](1)当x＝1时, x2－4x＋3＝1－4＋3＝0, 因此命题是真命题, 即p⇒q, 故p 是q的充分条件．(2)易知函数f(x)＝x在(－∞, ＋∞)上是增函数, 因此命题是真命题, 即p⇒q, 故p是q 的充分条件．(3)当x＝2时, x2＝(2)2＝2不是无理数, 因此命题是假命题, 即p q, 故p不是q的充分条件．(4)两条垂直于x轴的直线平行, 但是斜率都不存在, 因此命题是假命题, 即p q, 故p 不是q的充分条件．p是q的充分条件是由命题“若p, 则q”为真来定义的, 因此理解时也需回归定义, 从相应命题入手, 若命题“若p, 则q”为真, 则p是q的充分条件, q是p的必要条件；若命题“若p, 则q”为假, 则p不是q的充分条件, q不是p的必要条件．1．下列“若p, 则q”形式的命题中, 哪些命题中的q是p的必要条件？(1)若b2＝ac, 则a, b, c成等比数列；(2)若有且只有一个实数λ, 使a ＝λb , 则a ∥b ； (3)若l ∥α, 则直线l 与平面α所成角大小为0°； (4)若函数f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1), 则f (x )是单调增函数．解：命题(2)(3)是真命题, 命题(1)(4)是假命题, 所以命题(2)(3)中的q 是p 的必要条件．充分条件与必要条件的判断(1)(2017·天津高考)设x ∈R, 则“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2017·北京高考)设m , n 为非零向量, 则“存在负数λ, 使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(3)如果x , y 是实数, 那么“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件[自主解答] (1)由2－x ≥0, 得x ≤2, 由|x －1|≤1, 得0≤x ≤2.∵0≤x ≤2⇒x ≤2, x ≤2⇒/ 0≤x ≤2,故“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的必要而不充分条件． (2)∵m ＝λn , ∴m ·n ＝λn ·n ＝λ|n |2. ∴当λ<0, n ≠0时, m ·n <0.反之, 由m ·n ＝|m ||n |cos 〈m , n 〉<0⇔cos 〈m , n 〉<0⇔〈m , n 〉∈⎝⎛⎦⎤π2，π, 当〈m , n 〉∈⎝⎛⎭⎫π2，π时, m , n 不共线．故“存在负数λ, 使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的充分而不必要条件．(3)命题“若x ≠y , 则cos x ≠cos y ”等价于命题“若cos x ＝cos y , 则x ＝y ”, 这个命题是假命题, 故x≠y cos x≠cos y；命题“若cos x≠cos y, 则x≠y”等价于命题“若x＝y, 则cos x＝cos y”, 这个命题是真命题, 故cos x≠cos y⇒x≠y.故“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．[答案](1)B(2)A(3)C充要条件的判断方法(1)定义法：①分清条件p和结论q：分清哪个是条件, 哪个是结论；②找推式：判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假；③下结论：根据定义下结论．(2)等价法：将命题转化为另一个与之等价的、又便于判断真假的命题．(3)集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)}, 利用集合之间的包含关系加以判断．用集合法判断时, 要尽可能用Venn图、数轴、直角坐标平面等几何方法, 图形形象、直观, 能简化解题过程, 降低思维难度．2．在△ABC中, 角A, B, C所对应的边分别为a, b, c, 则“a≤b”是“sin A≤sin B”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：由正弦定理, 得asin A＝b sin B,故a≤b⇔sin A≤sin B, 选A.答案：A3．指出下列各组命题中, p是q的什么条件．(1)p：四边形的对角线相等, q：四边形是平行四边形；(2)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0, q：(x－1)(y－2)＝0.解：(1)∵四边形的对角线相等四边形是平行四边形, 四边形是平行四边形四边形的对角线相等,∴p是q的既不充分也不必要条件．(2)∵(x－1)2＋(y－2)2＝0⇒x＝1且y＝2⇒(x－1)·(y－2)＝0,而(x－1)(y－2)＝0(x－1)2＋(y－2)2＝0,∴p是q的充分不必要条件．。

数学新同步湘教版选修2-1讲义+精练：第1章章末小结Word版含解析

1. 命题的概念及真假命题的判断(1) 命题是能够判断成立或不成立的语句，一个命题由条件和结论两部分构成•命题分为真命题和假命题.(2) 判断命题真假的方法：①直接判断：先确定命题的条件与结论，再判断条件能否推得结论；②利用四种命题的等价关系：互为逆否的两个命题同真同假；③对于“ p或q” “ p 且q” “非p”形式的命题，判断方式可分别简记为：一真即真、一假即假、真即假.2. 四种命题及其关系(1) 四种命题的构成：原命题：若p,则q；逆命题：若q,则p(结论和条件“换位”); 否命题：若非p,则非q(条件和结论都否定“换质” )；逆否命题：若非q,则非p(条件和结论“换质”后又“换位” ).(2) 四种命题的关系：原命题与逆命题称为互逆命题；原命题与否命题称为互否命题；原命题与逆否命题称为互为逆否命题.3. 充分条件与必要条件(1)若p? q,贝U p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p q,贝U p不是q的充分条件，q也不是p的必要条件.因此，给定p, q,贝U p是q的什么条件仅有下列四种：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.⑵判断方法：①定义法：分别寻找“ p? q”“q? p”“ p ] q”“ q ' p”中哪两个成立.②命题法：分别判断命题“若q,则p”与“若p,则q”的真假.③集合法：p, q能用集合A, B表示时，判断集合关系“ A B” “ B A” “ A = B” 是否成立，若都不成立，则为既不充分也不必要条件.4. 逻辑联结词命题p, q的运算“或”“且” “非”与集合P, Q的运算“并”“交” “补”有如下的对应关系：p或q? PU Q; p且q? PA Q 非p? ?U P.5. 全称量词和存在量词(1)确定命题中所含量词的意义，是研究含量词的命题的重点.有时需要根据命题所述对象的特征来确定量词.(2)可以通过“举反例”否定一个含有全称量词的命题，同样也可以举一例证明一个含有存在量词的命题•而肯定含有全称量词的命题或否定含有存在量词的命题都需要推理判断.屮命题及其关系［例1］给出下列命①已知a= (3,4), b= (0, - 1)，贝y a在b方向上的投影为一 4.②函数y= tan x+n的图象关于点n，0成中心对称.③命题“如果a b= 0,则a丄b”的否命题和逆命题都是真命题.④若a丰0,贝U a b= a c是b= c成立的必要不充分条件.其中正确命题的序号是 _________ .(将所有正确的命题序号都填上)［解析］①••• |a|= 5, |b|= 1, a b=- 4,4••• cos〈a b>=—.5• a在b方向上的投影为|a| cos〈a, b>=—4,①正确.②当x 时，tan x + ；无意义，由正切函数y= tan x的图象的性质知，②正确.③•••原命题的逆命题为“若a丄b,则a b= 0”为真，•••其否命题也为真.•••③正确.④当a丰0, b= c时，a b= a c成立.(当a丰0, a b= a c时不一定有b= c.)•••④正确.［答案］①②③④惜题蛊挥判断一个命题为真命题必须进行严格的证明，但要说明一个命题为假命题，只需举出一个反例即可，当直接判断命题的真假较困难时，可利用其等价命题判断.跟］踪演练1. 下列命题中为真命题的是()A .命题“若a>b,则3a>3b”的逆命题B.命题“若x2w 1,则x w 1 ”的否命题C .命题“若x= 1,则x2—x = 0”的否命题1 1D •命题“若a>b,则-<二”的逆否命题a b解析：对于A,逆命题是“若3a>3b,则a>b” ,是真命题；对于B,否命题是“若x2>i, 则x>1 ”，是假命题，因为x2>1 ? x>1或XV—1；对于C,否命题是“若X M 1,则X2—X M 0”，是假命题，因为当x= 0时，x2—x= 0;对于D，逆否命题是“若丄》1，则a w b”，是假命a b题，女口 a = 1, b=— 1.故选 A.答案：A2. 下列说法中错误的个数是（）①命题“余弦函数是周期函数”的否命题是“余弦函数不是周期函数”②命题“若x>1，贝U x—1>0”的否命题是“若x w 1,贝U x—1w 0”③命题“两个正数的和为正数”的否命题是“两个负数的和为负数”④命题“ x=—4是方程x2+ 3x—4 = 0的根”的否命题是“ x=—4不是方程x2+ 3x —4 =0的根”A. 1B. 2C . 3D . 4解析：①错误，否命题是“若一个函数不是余弦函数，则它不是周期函数”；②正确；③错误，否命题是“若两个数不全为正数，则它们的和不为正数”；④错误，否命题是“若一个数不是—4,则它不是方程x2+ 3x—4= 0的根”.答案：C［例2］（1）（2017浙江高考）已知等差数列｛a n｝的公差为d,前n项和为S n，则d>0”是“ S4 + S6>2S5 ”的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件n n 1（2）（2017天•津高考）设张R，则“0——<在”是“ sin 的（）A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件［解析］⑴因为｛a n｝为等差数列，所以S4 + S6= 4a1+ 6d+ 6a1+ 15d= 10a1 + 21d,2S5 =10a1 + 20d, S4+ S6 —2S5= d,所以d>0? S4+ S6>2S5.（2）法一:由0—n <击得0<鹉121 1 7 n n故sin (X-.由sin 0<-，得一一+ 2k n<0<- + 2k n, k € Z,推不出2 2 6 6n0- 12n”<故“ 0-：n < —是“ sin以”的充分而不必要条件•12 12 2法二：0- 12 <12? 0<吟？sin 0<1,而当sin X*时，取0=- n, ―£—谥=》$故“ 0—活<n是“ sin 01”,的充分而不必要条件•12 12 2［答案］(1)C (2)A借题发挥本例所给命题均含有不等关系，判断起来与习惯不符，因此先将命题进行等价转化，将不等关系转化为相等关系再进行判断，从而使问题得以顺利解决.［例3］已知p：x2—8x—20>0, q： x2—2x+ 1—a2>0,若p是q的充分而不必要条件，求正实数a的取值范围.［解］p：x2—8x —20>0? x v—2 或x> 10,•/ a> 0,••• q：x v 1 —a 或x> 1 + a.由题意p? q且p q,a> 0, a > 0,应有*1 + a<10, 或彳 1 + a< 10, ? 0<a<3.J —a> —2 J —a> —2,•正实数a的取值范围为(0,3］.借圜发挥将充分条件、必要条件转化为集合间的关系，进而转化为集合的运算问题，是解决此类问题的有效方法.跟:踪演练3. a>b>0”是“ ab<aj+b”的（）解析：由基本不等式知当a, b€R 时，a2+ b2>2ab,其中当a= b时，等号成立a>b>0 时，a2+ b2、》ab< 2 ，反之不成立.答案：A4.设a, B是两个不同的平面，m是直线且m? a, “ m I 3”是“ a.// 3” 的（A .充分不必要条件B. 必要不充分条件C .充要条件D. 既不充分也不必要条件解析：当m II B时，过m的平面a与B可能平行也可能相交，因而m II 3 a IC .充要条件D .既不充分也不必要条件A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件// B时，a内任一直线与B平行，因为m? a,所以m // B综上知，“ m// B”是“a//B”的必要不充分条件.答案：B［例4］已知命题p：关于x的方程x2—ax+ 4 = 0有实根；命题q：关于x的函数y= 2x2 + ax+ 4在［3,+^ ）上是增函数•若“ p或q”是真命题，“ p且q”是假命题，求实数a的取值范围.2［解］p真：△= a —4X 4> 0,/• a< —4或a > 4.q真：-4三3，二a》一12.由“ p或q”是真命题，“ p且q”是假命题得：p, q两命题一真一假.当p真q假时，a v—12;当p假q真时，一4v a v 4.综上，a的取值范围为（一R,—12）U （—4,4）.惜:题发挥先求出命题p, q为真、假命题时a的取值范围，然后利用已知条件转化为集合的运算是解决此类问题的常规方法.跟］踪演练5.设集合A= {x| —2 —a<x<a, a>0}，命题p：1€ A,命题q：2€ A.若p V q 为真命题, p A q为假命题，求a的取值范围.解：若p为真命题，则一2 —a<1<a,解得a>1.若q为真命题，则—2—a<2< a，解得a>2.依题意，得p假q真或p真q假，0<a< 1, a>1,即/ 或乍••• 1<a< 2,a>2 0<a< 2.• a的取值范围为（1,2］.［例5］在下列四个命题中，真命题的个数是（）①？x€ R, x2+ x+ 3> 0;②？x€ Q fx2+ ^x+ 1是有理数；③？a, R，使sin（a+ sin a+ sin 3；④？x, y€ Z,使3x —2y= 10.2 / 1 \ 11 11［解析］①中x + x+ 3= x++ -4》7>0，故①是真命题.②中，x€ Q 1x2+ 1x+ 1 一定是有理数，故②是真命题.③中a= n, 3=-n时，sin(a+ 3)= 0, sin a+ sin 3= 0,故③是真命题.④中x = 4, y= 1时，3x —2y= 10成立，故④是真命题.［答案］D惜题发挥利用特值说明含有全称量词的命题为假命题，说明含有存在量词的命题为真命题是解决此类问题的常用方法.跟;踪演练6. 命题“ ？n € N +，f(n)€ N +且f(n)< n”的否定形式是()A. ? n € N+，f(n) ?N +且f(n)>nB. ? n€ N +，f(n)?N + 或f(n)>nC. ? n€ N+，f(n)?N +且f(n)>nD. ? n€ N+，f(n)?N +或f(n)>n解析：写全称命题的否定时，要把量词？改为？，并且否定结论，注意把“且”改为“或”答案：D7. 已知命题p：“ ? x€ ［1,2］，x2—a> 0”，命题q：“ ? x € R，x2+ 2ax+ 2 —a= 0”，若命题“ p且q”是真命题，则实数a的取值范围是__________ .解析：命题p：“ ? x€ ［1,2］，x2—a> 0” 为真，则a w x2，x€ ［1,2］恒成立，所以a w 1.命题q：“? x€ R，x2+ 2ax+ 2—a= 0” 为真，贝U “4a2—4(2 —a) > 0，即a?+ a —2》0”，解得a w —2或a》1.若命题“ p且q”是真命题，则实数a的取值范围是(一R，—2］U {1}.答案：(一R，—2］U {1}(时间120分钟，满分150分)、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 )1 •命题“若x 2<1，则—1VXV1 ”的逆否命题是( )A .若 x 2> 1，则 x > 1，或 x <— 1B .若一1<x<1，贝V x 2<12C .若 x>1 或 x< — 1,贝U x >12D .若 x > 1 或 x <— 1，贝U x 》1解析：“若p,则q ”的逆否命题是“若綈q ,则綈p ” , V ”的否定是“》”.故选 D.答案：D2.命题“若 x =— 1，贝U x 2 + 3x + 2 = 0”以及它的逆命题、否命题和逆否命题中，真命题的个数是()解析：•• •原命题为真命题，.••逆否命题也是真命题. 又它的逆命题是：若 x 2+ 3x + 2= 0,则x =— 1,是假命题, •••它的否命题也是假命题答案：B1 13. 已知命题①若 a>b ,贝U <，②若一2< x < 0,则(x + 2)(x — 3)< 0,则下列说法正确a b 的是()A .①的逆命题为真B .②的逆命题为真C .①的逆否命题为真D .②的逆否命题为真解析：①的逆命题为」<£则，a>b ,若a =— 2, b = 3,则不成立.故 A 错；②的逆命题 a b 为若(x + 2)(x — 3)w 0,则—2< x < 0是假命题，故 B 错；①为假命题，其逆否命题也为假命题，故C 错；②为真命题，其逆否命题也为真命题，D 正确.答案：D4. 已知 f(x) = e x + x — 1,命题 p ： ? x € (0,+s ), f(x)>0，则( )A . p 是真命题，綈 p ： ? x € (0,+s ), f(x)<0防段检測B . p 是真命题，綈 p ：? x € (0 ,+s ), f(x) W 0C . p 是假命题，綈 p ：? x € (0 ,+s ), f(x)<0D . p 是假命题，綈 p ：? x € (0 ,+s ),f(x)W 0解析：由于函数y = e x 和y = x - 1在R 上均是增函数，则f(x) = e x + x — 1在R 上是增函数，当 x>0 时，f(x)>f(0) = 0,所以 p 为真命题，綈 p ： ? x € (0 ,+s ), f(x)w 0，故选 B.答案：B5.已知命题p ：若实数x , y 满足x 3 + y 3= 0,则x , y 互为相反数；命题 q ：若a>b>0, …1 1 则a<b.下列命题P Aq ，P V q,綈P ,綈q 中，真命题的个数是()A . 1B . 2C . 3D . 4解析：易知命题p , q 都是真命题，则 p A q , p V q 都是真命题，綈p ,綈q 是假命题. 答案：B6•设 x , y € R ，则“ x > 2 且 y 》2”是“ x 2+ 卜 4” 的( )A •充分而不必要条件B •必要而不充分条件C •充分必要条件D •既不充分也不必要条件解析：因为x > 2且泸2? x 2+ y 2> 4易证，所以充分性满足，反之，不成立，如 x = y=7，满足x 2 + y 2> 4,但不满足x > 2且y 》2，所以“ x > 2且y 》2”是“x 2+ y 2 > 4”的充4 分而不必要条件.答案：Aa c7•命题甲：“ a , b , c 成等差数列”是命题乙：“ b + b = 2”的( )A •必要而不充分条件 C •充要条件解析：当a , b , c 成等差数列时, 若b =°,则b +討2不成立, 反之当即 a + c = 2b 时，b — a = c — b , 所以a , b, c 成等差数列. 答案：A8.下列命题是真命题的是 ( )A. “若x = 0，则xy = 0”的逆命题B.“若x = 0,贝U xy = 0”的否命题C .若 x > 1,贝y x > 2D .“若x = 2，则(x — 2)(x — 1) = 0”的逆否命题B .充分而不必要条件 D .既不充分也不必要条件=2,解析：D中，x= 2时，(x—2)(x—1) = 0成立，即原命题为真命题，那么逆否命题也是真命题.答案：D9. 命题甲：1 x,21—x,2x2成等比数列，命题乙：lg x, lg(x + 1), lg(x+ 3)成等差数列，则甲是乙的()A •充分而不必要条件B •必要而不充分条件C •充要条件D •既不充分也不必要条件解析：由gr21x，2x2成等比数列可得x=—2或x= 1，由lg x, lg(x+ 1), lg(x+ 3)成等差数列可得x= 1，所以甲是乙的必要而不充分条件.答案：B10. 设x€ R，贝U “1<v2”是“ |x —2|<1 ”的()A •充分而不必要条件B •必要而不充分条件C •充要条件D •既不充分也不必要条件解析：|x —2|<1? 1<x<3.由于｛x|1<x<2｝是｛x|1<x<3｝的真子集，所以1<x<2"是“ |x—2|<1”的充分而不必要条件.答案：A11. 已知p(x)：x2+ 2x —m>0,如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围为()A. [3 ,+^ )B.(―汽8)C.(―汽3] U (8,+^ )D. [3,8)解析：因为p(1)是假命题，所以1+ 2—m W 0,解得m> 3;又p(2)是真命题，所以4 +4—m >0，解得m v 8.故实数m的取值范围为[3,8).答案：D12. 已知命题p：存在x € R，使tan x= 2，命题q：x2—3x + 2v 0的解集是｛x|1v x v 2｝,下列结论：①命题“ p且q”是真命题；②命题“ p且綈q”是假命题；③命题“綈p 或q”是真命题；④命题“綈p或綈q”是假命题，其中正确的是()A .②③B .①②④C .①③④D .①②③④解析：T p, q都是真命题，•••①②③④均正确.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上 )13. 命题"若x>y ,则x 3>y 3— 1”的否命题为 ____________•解析：将命题的条件和结论分别否定即得原命题的否命题，即“若x < y,则x 3w y 3— 1 ”. 答案：若 x < y ,贝U x 3w y 3— 114. _________________________________________________________________ 若“？ x € R , x 2— 2x — m>0 ”是真命题，则实数 m 的取值范围是 _______________________ .解析：•/ ? x € R , x 2— 2x — m>0是真命题，••• △= (— 2)2+ 4m<0 恒成立.二 m< — 1.答案：(—8, — 1)15. 设 p ： 2x 2 — 3x + 1 w 0, q ： x 2— (2a + 1)x + a(a + 1)w 0若綈 p 是綈 q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是 __________ .1解析：当命题p 为真时，由2x 2— 3x + 1 w 0得x < 1;当命题q 为真时，可知a < x w a + 1,又綈p 是綈q 的必要不充分条件等价于p 是q 的充分不必要条件，所以 :，1丨[a , a + 1], a € 0,.16.有下列四个命题：①“若 xy = 1,贝U x , y 互为倒数”的逆命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“若 b w — 1,则方程x 2— 2bx + b 2+ b = 0有实根”的逆否命题； ④若p V q 为假命题，则p, q 均为假命题.其中真命题的序号是 _________ .(把所有正确命题的序号都填上 )解析：对①，逆命题“若x , y 互为倒数，则xy = 1”是真命题；对②，否命题 “不相似的三角形的周长不相等 ”是假命题；对③，A= 4b 2— 4(b 2+ b) > 0,即b w 0, • b w — 1时, 方程有实根，即命题为真命题，逆否命题也为真命题；对④，p V q 假时，p , q 一定均假，•④正确.故①③④正确.答案：①③④三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17. (本小题满分10分)写出命题“若 v'x — 2 + (y + 1)2= 0，贝V x = 2且y =— 1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.解：逆命题：若x = 2且y =— 1,^U .x — 2+ (y + 1)2= 0,真命题.答案:否命题：若.x —2+ (y+ 1)2工0,贝U x丰2或y z—1，真命题.逆否命题：若 X M 2或萨一1,则・x — 2 + (y + 1)2工0，真命题.18. (本小题满分12分)写出由下列各组命题构成的“ p 或q ” “ p 且q ” “非p”形式的命题，并判断它们的真假.(1) p ： 3是素数，q ： 3是偶数；(2) p ： x =— 2 是方程 x 2+ x — 2 = 0 的解，q ： x = 1 是方程 x 2+ x — 2= 0 的解. 解：(1)p 或q ： 3是素数或3是偶数；p 且q ： 3是素数且3是偶数；非p ： 3不是素数.因为p 真，q 假，所以“p 或q ”为真命题，“ p 且q ”为假命题，“非p ”为假命题.(2)p 或q ： x = — 2是方程x 2+ x — 2 = 0的解或x = 1是方程x 2+ x — 2= 0的解； p 且q ： x =— 2是方程x 2+ x — 2 = 0的解且x = 1是方程x 2 + x — 2= 0的解；非p ： x =— 2不是方程x 2+ x — 2 = 0的解.因为p 真，q 真，所以“p 或q ”为真命题，“ p 且q ”为真命题，“非p ”为假命题.1 119. (本小题满分12分)已知c>0,设命题p ： y = c x 为减函数，命题q ：函数f(x)= x +- x c1在x € , 2上恒成立.若p V q 为真命题，p A q 为假命题，求c 的取值范围.解：由p V q 真，p A q 假，知p 与q 为一真一假，对 p , q 进行分类讨论即可.若p 真，由y = c x 为减函数，得0<c<1.当x € £ 2时，由不等式x +1 > 2(x = 1时取等号)知，f(x) = x +1在1, 2上的最小值为 2 x x 22.若q 真，则【<2，即c>1. c 2若 p 真 q 假，则 0vcv1, c <2，所以 0<c w 2；1若p 假q 真，贝U c > 1, c>2，所以c > 1.(1)求直线I// 12的充要条件;⑵当x € [— 1,2]时，直线I 1恒在x 轴上方，求k 的取值范围.r k = 1I 2= k — 1，解：（1）由题意得 .d c 解得k = 2. i 0，—k 半 1,1综上可得，c € 0, ?U [1,+).20.(本小题满分 k12分)已知k € R 且k 丰1,直线11： y =* +1和12： y =1 k — 1 x — k.当 k = 2 时，l i : y = x + 1, I 2： y = x — 2，此时 I 1//I 2, •••直线l i / I 2的充要条件为k = 2.解得—1vk<2.，2X 2+ 1>0 ,• k 的取值范围是(—1,2).21.(本小题满分12分)已知a > 0且a 丰1,设命题p ：函数y = log a (x + 1)在区间(—1, + m )内单调递减；q ：曲线y = x 2 3 + (2a — 3)x +1与x 轴有两个不同的交点，如果 p V q 为真命题，求a 的取值范围.解：由y = log a (x + 1)在区间(一1,+ g )上单调递减知 0<a<1 ,•••曲线y = x 2 + (2a — 3)x + 1与x 轴交于两个不同的点，1 5• △= (2a — 3)4 5 — 4X 1X 1>0，解得 avg 或 a>[• p 真对应集合 A = {a|0va<1},由于p V q 真，即p , q 中至少有一个为真命题.1p 真q 假时，g a<1;2q 真q 真时，0<a<2.综上得，a 的取值范围为(一g, 1) U 5,+ g .22.(本小题满分12分)已知命题：“ ？ x € {x|— 1w x < 1}，都有不等式 x 2— x — m<0成立”是真命题.(1) 求实数m 的取值集合B ;⑵设不等式(x — 3a)(x — a — 2)<0的解集为 A ,若x € A 是x € B 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.解：(1)命题：“？ x € {x|— 1w x < 1},都有不等式 x 2 — x — m<0成立”是真命题，得x 2 —x — m<0在—1 w x < 1时恒成立，• m>(x 2 — x)max ，得 m>2，即 B = {m|m>2}.k(2)设f(x)=尹+ 1.由题意，得 f2>0,q 真对应集合5p假q真时，a>6或a w 0;①当3a>2 + a,即a>1时，解集A= {x|2 + a<x<3a}，若x€ A是x€ B的充分不必要条件，则A B,••• 2+ a>2,此时a€ (1, );②当3a= 2+ a,即a= 1时，解集A = ?，若x € A是x€ B的充分不必要条件，则A B 成立；③当3a<2 + a,即a<1时，解集A= {x|3a<x<2 + a}，若x€ A是x€ B的充分不必要条件，贝U A B成立，2•- 3a> 2,此时 a €( —, 1).32综上①②③可得 a €( 3,+ a).3(2) 不等式(x—3a)(x —a —2)<0,。

湘教版高中数学选修2-1：椭圆的定义与标准方程

D.7x52 ＋2y52 ＝1
解析
设椭圆方程为ay22＋bx22＝1(a＞b＞0)，由3ay2x2＋－bxy22－＝21＝，0得
(a2＋9b2)x2－12b2x＋4b2－a2b2＝0，x1＋x2＝a21＋2b92b2＝1，所以 a2
＝3b2 ①.又由焦点为(0，±5 2)知，a2－b2＝50 ②，由①②得
3．椭圆的方程中，a，b，c 三者之中 a 最大，且满足 a2＝b2＋c2 ． 4．如图所示，在△OF2B 中，|OF2|＝c，|OB|＝b，则|BF2|＝a．
自主探究 1．椭圆的两种标准方程，能否合为一种一般形式？
提示椭圆的两种标准方程都是关于 x2，y2 的二元二次方程，当焦点在 x 轴时，标准方程为ax22＋by22＝1，当焦点在 y 轴时，标准方程为：ay22＋bx22＝1，其中的 a＞b＞0，若焦点位置不能确定时，可将方程设为 mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)或xm2＋yn2＝1(m＞0， n＞0，m≠n)都可以．
椭圆的定义与标准方程
1．进一步掌握椭圆的定义、标准方程，会用定义、标准方程解决问题．
2．会求与椭圆有关的点的轨迹和方程．
自学导引 1.方程 Ax2＋By2＝C(A、B、C 均不为零)表示椭圆的条件是 A、B、C 同号，且 A≠B ． 2．椭圆的两种标准方程中，如果 x2 的分母大，焦点就在 x 轴上，如果 y2 的分母大，焦点就在 y 轴上．
质，看能否确定轨迹的类型，而不要起步就代入坐标，以致陷入
繁琐的化简运算之中
1．△ABC的三边a＞b＞c且成等差数列，A、C两点的坐标分别是(－1，0)、 (1，0)，求顶点B的轨迹方程．
解设 B(x，y)，因为 a，b，c 成等差数列，所以 a＋c＝2b＝4，即|BA|＋|BC|＝4，且 4＞2，故点 B 应在椭圆x42＋y32＝1 上．又 a＞c，即（x－1）2＋y2＞（x＋1）2＋y2，所以 x＜0. 当 x＝－2 时，B、A、C 共线，故排除，所以顶点 B 的轨迹方程为x42＋y32＝1(－2＜x＜0)．

湘教版高中数学选修2-1课件1.1.3充分与必要条件.pptx

解：命题（1）（2）的逆命题都是真命题，所以命题（1）（2）中的p是q的必要条件。
二、新课
练习4，判断下列命题的真假：（1）x=2是x2–4x+4=0的必要条件；（2）圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的必要条件；
（3）sin=sin是=的充分条件；
（4）ab0是a0的= 充分条=件。
2、如果命题“若p则q”为假，则记作pq。
练习1用符号与填空。
（1）x2=y2x=y；（2）内错角相等两直线平行；（3）整数a能被6整除a的个位数字为偶数；（4） ac=bca=b
二、新课
1、定义1：如果已知pq，则说p是q的充分条件。
定义2：如果已知qp，则说p是q的必要条件。
定义3：如果既有pq，又有qp，就记作
pq，
则说p是q的充要条件。
2、从集合角度理解：
①pq，相当于PQ，即PQ或P、Q
有它就行
②qp，相当于QP，即QP或P、Q
缺它不行
③pq，相当于P=Q，即P、Q
同一事物
二、新课
3、简如化定果义已：知pq，则说p是q的充分条件，q是p的必要条件。
例1，下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？（1）若x=1，则x2–4x+3=0；（2）若f（x）=x，则f（x）为增函数；（3）若x为无理数，则x2为无理数
解：命题（1）（2）是真命题，命题（3）是假命题，所以命题（1）（2）中的q是p的必要条件。
二、新课
练习3下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的 p是q的必要条件？ (1)若a+5是无理数，则a是无理数。
(2)若（x-a）（x-b）=0，则x=a。

【原创课件】湘教版选修2-3复习课件

则称 E x1 p1 x2 p2 L xi pi L xn pn 为的数学期望或均值，简称为期望.
它反映了离散型随机变量取值的平均水平. 根据定义可推出下面两个结论:
结论1：若 a b, 则 E aE b ;
结论2：若ξ~B(n，p)，则Eξ= np.
统计与概率
3.定义:概率分布（分布列）设离散型随机变量ξ可能取的值为 x1, x2 , x3 ,L , xi L ξ取每一个值��（�� = 1,2 … … ）的概率�� = �� = ��
则称表 ξ x1 x2 … xi … p p1 p2 … pi …
统计与概率
（2）正态曲线性质： f (x)
1
e
( x )2 2 2
2
x (,)
（5）当 x<μ时,曲线上升;当x>μ时,曲线下降.
并且当曲线向左、右两边无限延伸时,以x轴
Y
为渐近线,向它无限靠近.
（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定 .
σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；
高二数学选修2-3复习
第一章第二章
计数原理统计与概率
计数原理
1.分类计数与分步计数原理的区别和联系：
联系
区别一
加法原理
乘法原理
分类计数原理和分步计数原理，回答的都是关于
完成一件事情的不同方法的种数的问题。完成一件事情共有n类完成一件事情,共分n个办法，关键词是“分类” 步骤，关键词是“分步”
为随机变量x的方差. 称 D 为随机变量x的标准差.
注：�� + �� = ��2��

湘教版高中数学选修2-1课件3.6.3综合问题

求（1）AC 的长；
（2）直线 BD与AC夹角的余弦值。
D
A
B
D
C
C
A
B
解：如图建立坐标系C xyz,则C(0,0,0), E(1,1,0), A(2,0,0), B1(0,2,4).

CE (1,1,0), AB1 (2,2,4),

z
C1
设CE, n
AB1的公垂线的方向向量为n
CE 0 即 x y 0

( x,
y, z).则
A1
2) ( 3
1 ,1 , 12 2
2) ( 3

1 ,0, 3
2 3
)

200(0
,0
,
6)
这说明，作用在钢板的合力方向向上,大小为 200 6kg ,作用点为 O .
由于 200 6 500 ,所以钢板仍静止不动
要提起这块钢板,设 F1 F2 因此,要提起这块钢板,
F3 = x ,则需 6x 500 ,解得
B’ A’
（2）当三棱锥 B'BEF的体积取最大值时，求二
面角 B'EF B 的正切值。
O
C F
图6
B E A
C’ O’
B’ A’
C
F
B
E
O
图6
A
5、如图，平行六面体 ABCD ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA 的长为b ,且 AAB AAD 1200.
【课后作业】
如图，已知：直角梯形OABC中， OA∥BC,∠AOC=90°，SO⊥面 OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2。求： (1)异面直线SA和OB所成的角的余 A 弦值 (2)OS与面SAB所成角的余弦值 x (3)二面角B－AS－O的余弦值

2014年湘教版选修1-2 4

1.古诗文默写。

（4分）（1）足蒸暑土气，__________________________________。

（2）__________________________________，只有香如故。

（3）《沁园春雪》一词中，起承上启下作用的句子是______________，______________。

《商山早行》中满足“音韵铿锵”、“意象具足”的特征的脍炙人口的名句是______________，（4）______________。

1.阅读下文，完成文后各题。

（共11分）“毒胶囊”有多毒？①自央视曝光“毒胶囊”事件以来，不少人都开始谈药色变。

药用胶囊是一种药品辅料，主要是供给药厂用于生产各种胶囊类药品。

某些企业用生石灰浸渍膨胀、工业强酸强碱中和脱色等手段清洗处理皮革废料，熬制成工业明胶，卖给药用胶囊生产企业，制成毒胶囊，流向药品企业。

②那么，这种胶囊会对人体产生怎样的危害呢？它的毒到底有多毒？③经检测__________，药品胶囊中的铬含量严重超标。

胶囊之所以胶囊中会发生铬超标，是因为黑心企业在制作胶囊时，用工业明胶代替了药用明胶。

合格的药用明胶所用的猪皮和牛皮应是未经铬盐鞣制或未经有害金属污染的制革生皮或新鲜皮、冷冻皮，而制革厂的边角料只能用来生产工业明胶。

④铬是一种化学元素，在元素周期表中属ⅥB族，常见化合价为+3、+6和+2，其中三价和六价化合物较常见。

三价铬，就是用来鞣制的铬，它是阳离子，带三个正电荷。

而六价铬就是如今臭名昭着的“毒素”了。

它和氧原子抱着一起形成原子团，以铬酸根的形式存在。

六价铬有很强的生物毒性，长期接触有致癌性，急性毒性剂量范围在50-150微克千克。

即使在皮革行业中，六价铬也是人见人厌的化学物质。

各国对皮革中的六价铬含量都有明确要求，最严格的是德国，201法令规定，皮革中不得含有六价铬。

⑤准确评估工业明胶的健康风险比较困难，原因有两个，第一，鞣制虽然使用的是三价铬，但是工业用鞣制试剂并不纯，不可避免地含有六价铬；第二，毒性较小，三价铬和毒性剧烈六价铬在使用和保存中可以互相转化。

高中数学新湘教版选修2-1 空间向量与立体几何章末小结复习

1．空间向量基本定理设e1，e2，e3是空间中的三个不共面的单位向量，则(1)空间中任意一个向量v可以写成这三个向量的线性组合：v＝xe1＋ye2＋ze3.(2)上述表达式中的系数x，y，z由v唯一决定，即：如果v＝xe1＋ye2＋ze3＝x′e1＋y′e2＋z′e3，则x＝x′，y＝y′，z＝z′.2．空间向量的坐标运算公式(1)加减法：(x1，y1，z1)±(x2，y2，z2)＝(x1±x2，y1±y2，z1±z2)．(2)与实数的乘法：a(x，y，z)＝(ax，ay，az)．(3)数量积：设v＝(x，y，z)，则|v|＝x2＋y2＋z2.(4)向量的夹角：cos θ＝v1·v2 |v1|·|v2|＝x1x2＋y1y2＋z1z2x21＋y21＋z21·x22＋y22＋z22.3．空间向量在立体几何中的应用设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，ν，则[例1]M ，N 分别为AB ，PC 的中点．求证：(1)MN ∥平面PAD ； (2)平面PMC ⊥平面PDC .[证明] 如图所示，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A -xyz .设PA ＝AD ＝a ，AB ＝b .则有，(1)P (0,0，a )，A (0,0,0)，D (0，a,0)，C (b ，a,0)，B (b,0,0)． ∵M ，N 分别为AB ，PC 的中点， ∴M ⎝⎛⎭⎫b 2，0，0，N ⎝⎛⎭⎫b 2，a 2，a 2. ∴MN ―→＝⎝⎛⎭⎫0，a 2，a 2，AP ―→＝(0,0，a )，AD ―→＝(0，a,0)， ∴MN ―→＝12AD ―→＋12AP ―→.又∵MN ⊄平面PAD ，∴MN ∥平面PAD . (2)由(1)可知：PC ―→＝(b ，a ，－a )，PM ―→＝⎝⎛⎭⎫b2，0，－a ， PD ―→＝(0，a ，－a )．设平面PMC 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n 1·PC ―→＝0⇒bx 1＋ay 1－az 1＝0，n 1·PM ―→＝0⇒b 2x 1－az 1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2a b z 1，y 1＝－z 1，令z 1＝b ，则n 1＝(2a ，－b ，b )．设平面PDC 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n 2·PC ―→＝0⇒bx 2＋ay 2－az 2＝0，n 2·PD ―→＝0⇒ay 2－az 2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2＝z 2.令z 2＝1，则n 2＝(0,1,1)， ∵n 1·n 2＝0－b ＋b ＝0，∴n 1⊥n 2. ∴平面PMC ⊥平面PDC .(1)用向量法证明立体几何中的平行或垂直问题，主要应用直线的方向向量和平面的法向量，同时也要借助空间中已有的一些关于平行或垂直的定理．(2)用向量法证明平行或垂直的步骤：①建立空间图形与空间向量的关系(通过取基或建立空间直角坐标系的方法)，用空间向量或以坐标形式表示问题中涉及的点、直线和平面；②通过向量或坐标，研究向量之间的关系；③根据②的结论得出立体几何问题的结论．(3)在用向量法研究线面平行或垂直时，上述判断方法不唯一，如果要证直线l ∥平面α，只需证l ＝λa ，l ⊄α，其中l 是直线l 的方向向量，a ⊂α；如果要证l ⊥α，只需在平面α内选取两个不共线向量m ，n ，证明⎩⎪⎨⎪⎧l ·m ＝0，l ·n ＝0，即可．1.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 与BD 的交点，G 为CC 1的中点，求证：A 1O ⊥平面GBD .证明：法一：设A 1B 1―→＝a ，A 1D 1―→＝b ，A 1A ―→＝c ，则a ·b ＝0，b ·c ＝0，a ·c ＝0， A 1O ―→＝A 1A ―→＋AO ―→＝A 1A ―→＋12(AB ―→＋AD ―→)＝c ＋12(a ＋b )，BD ―→＝AD ―→－AB ―→＝b －a ，OG ―→ ＝OC ―→ ＋CG ―→ ＝12(AB ―→＋AD ―→ )＋12CC 1―→＝12(a ＋b )－12c ，∴A 1O ―→·BD ―→＝⎝⎛⎭⎫c ＋12a ＋12b ·(b －a ) ＝c ·(b －a )＋12(a ＋b )·(b －a )＝c ·b －c ·a ＋12(b 2－a 2)＝12(|b |2－|a |2)＝0，∴A 1O ―→⊥BD ―→.∴A 1O ⊥BD . 同理可证A 1O ―→⊥OG ―→.∴A 1O ⊥OG . 又OG ∩BD ＝O ， ∴A 1O ⊥平面GBD .法二：如图所示，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，B (2，2,0)，A 1(2,0,2)，G (0,2,1)，O (1，1,0)，所以A 1O ―→＝(－1,1，－2)，DB ―→＝(2,2,0)， DG ―→＝(0,2,1)，则A 1O ―→·DB ―→＝(－1,1，－2)·(2,2,0)＝0， A 1O ―→·DG ―→＝(－1,1，－2)·(0,2,1)＝0，所以A 1O ―→⊥DB ―→，A 1O ―→⊥DG ―→.即A 1O ⊥DB ，A 1O ⊥DG . 又DB ∩DG ＝D ，故A 1O ⊥平面GBD .法三：以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，B (2,2,0)，A 1(2,0,2)，G (0,2,1)，O (1,1,0)，所以A 1O ―→＝(－1,1，－2)，DB ―→＝(2,2,0)，DG ―→＝(0,2,1)．设向量n ＝(x ，y ，z )为平面GBD 的一个法向量，则n ⊥DB ―→，n ⊥DG ―→. 即n ·DB ―→＝0，n ·DG ―→＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＝0，2y ＋z ＝0.令x ＝1，则y ＝－1，z ＝2，所以n ＝(1，－1,2)．所以A 1O ―→＝－n .即A 1O ―→∥n . 所以A 1O ⊥平面GBD .2.如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为AB ，B 1C 的中点． (1)用向量法证明平面A 1BD ∥平面B 1CD 1；(2)用向量法证明MN ⊥平面A 1BD . 证明：(1)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中， BD ―→＝AD ―→－AB ―→，B 1D 1―→＝A 1D 1―→－A 1B 1―→，又∵AD ―→＝A 1D 1―→，AB ―→＝A 1B 1―→，∴BD ―→＝B 1D 1―→， ∴BD ∥B 1D 1. 同理可证A 1B ∥D 1C ，又BD ∩A 1B ＝B ，B 1D 1∩D 1C ＝D 1，所以平面A 1BD ∥平面B 1CD 1.(2)MN ―→＝MB ―→＋BC ―→＋CN ―→＝12AB ―→＋AD ―→＋12(CB ―→＋BB 1―→)＝12AB ―→＋AD ―→＋12(－AD ―→＋AA 1―→) ＝12AB ―→＋12AD ―→＋12AA 1―→.设AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AA 1―→＝c ，则MN ―→＝12(a ＋b ＋c )．又BD ―→＝AD ―→－AB ―→＝b －a ， ∴MN ―→·BD ―→＝12(a ＋b ＋c )·(b －a )＝12(b 2－a 2＋c ·b －c ·a )．又∵A 1A ⊥AD ，A 1A ⊥AB ，∴c ·b ＝0，c ·a ＝0. 又|b |＝|a |，∴b 2＝a 2.∴b 2－a 2＝0. ∴MN ―→·BD ―→＝0.∴MN ⊥BD . 同理可证MN ⊥A 1B . 又A 1B ∩BD ＝B ， ∴MN ⊥平面A 1BD .[例2] 四棱锥＝AD ＝2，点M ，N 分别在棱PD ，PC 上，且PC ⊥平面AMN .(1)求AM 与PD 所成的角； (2)求二面角P -AM -N 的余弦值；(3)求直线CD 与平面AMN 所成角的余弦值．[解] 建立如图所示的空间直角坐标系． ∵A (0,0,0)，C (2,2,0)，P (0,0,2)，D (0，2,0)， ∴PC ―→＝(2,2，－2)，PD ―→＝(0,2，－2)．设M (x 1，y 1，z 1)，PM ―→＝λPD ―→，则(x 1，y 1，z 1－2)＝λ(0,2，－2)． ∴x 1＝0，y 1＝2λ，z 1＝－2λ＋2. ∴M (0,2λ，2－2λ)．∵PC ⊥平面AMN ，∴PC ―→⊥AM ―→， ∴PC ―→·AM ―→＝0.∴(2,2，－2)·(0,2λ，2－2λ)＝0⇒4λ－2(2－2λ)＝0. ∴λ＝12.∴M (0,1,1)．设N (x 2，y 2，z 2)，PN ―→＝t PC ―→，则(x 2，y 2，z 2－2)＝t (2,2，－2)．∴x 2＝2t ，y 2＝2t ，z 2＝－2t ＋2. ∴N (2t,2t,2－2t )．∵PC ―→⊥AN ―→，∴AN ―→·PC ―→＝0. ∴(2t,2t,2－2t )·(2,2，－2)＝0. ∴4t ＋4t －2(2－2t )＝0， ∴t ＝13.∴N ⎝⎛⎭⎫23，23，43. (1)∵cos 〈AM ―→，PD ―→〉＝(0，1，1)·(0，2，－2)0＋1＋1×0＋4＋4＝0，∴AM 与PD 所成角为90°.(2)∵AB ⊥平面PAD ，PC ⊥平面AMN ，∴AB ―→，PC ―→分别是平面PAD ，平面AMN 的法向量． ∵AB ―→·PC ―→＝(2,0,0)·(2,2，－2)＝4， |AB ―→|＝2，|PC ―→|＝23， ∴cos 〈AB ―→，PC ―→〉＝443＝33.∴二面角P -AM -N 的余弦值为33. (3)∵PC ―→是平面AMN 的法向量，∴CD 与平面AMN 所成角即为CD 与PC 所成角的余角． ∵CD ―→·PC ―→＝(－2,0,0)·(2,2，－2)＝－4， ∴cos 〈CD ―→，PC ―→〉＝－42×23＝－33.∴直线CD 与PC 所成角的正弦值为63，即直线CD 与平面AMN 所成角的余弦值为63.(1)求异面直线所成的角：设两异面直线的方向向量分别为n 1，n 2，那么这两条异面直线所成的角为θ＝〈n 1，n 2〉或θ＝π－〈n 1，n 2〉，∴cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|. (2)求二面角的大小：如图，设平面α，β的法向量分别为n 1，n 2.因为两平面的法向量所成的角就等于平面α，β所成的锐二面角θ，所以cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|.(3)求斜线与平面所成的角：如图，设平面α的法向量为n 1，斜线OA 的方向向量为n 2，斜线OA 与平面所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|.3.如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，沿对角线AC折起，使D 在平面ABC 上的射影E 恰好落在AB 上，求这时二面角B -AC -D 的余弦值．解：如图所示，作DG ⊥AC 于G ，BH ⊥AC 于H .在Rt △ADC 中， AC ＝AD 2＋DC 2＝5， cos ∠DAC ＝AD AC ＝35.在Rt △AGD 中，AG ＝AD ·cos ∠DAC ＝3×35＝95，DG ＝AD 2－AG 2＝9－8125＝125. 同理，cos ∠BCA ＝35，CH ＝95，BH ＝125.AD ―→·BC ―→＝(AE ―→＋ED ―→)·BC ―→＝AE ―→·BC ―→＋ED ―→·BC ―→＝0， GD ―→·HB ―→＝(GA ―→＋AD ―→)·(HC ―→＋CB ―→) ＝GA ―→·HC ―→＋GA ―→·CB ―→＋AD ―→·HC ―→＋AD ―→·CB ―→ ＝－95×95＋95×3×35＋3×95×35＋0＝8125.又|GD ―→|·|HB ―→|＝14425，∴cos 〈GD ―→，HB ―→〉＝916.因此所求二面角的余弦值为916.4.如图，ABCD -A 1B 1C 1D 1是正四棱柱． (1)求证：BD ⊥平面ACC 1A 1；(2)二面角C 1-BD -C 的大小为60°，求异面直线BC 1与AC 所成角的余弦值．解：(1)证明：建立空间直角坐标系D -xyz ，如图．设AD ＝a ，DD 1＝b ，则有D (0,0,0)，A (a ，0,0)，B (a ，a,0)，C (0，a,0)，C 1(0，a ，b )，∴BD ―→＝(－a ，－a,0)，AC ―→＝(－a ，a,0)，CC 1―→＝(0,0，b )， ∴BD ―→·AC ―→＝0，BD ―→·CC 1―→＝0. ∴BD ⊥AC ，BD ⊥CC 1.又∵AC ，CC 1⊂平面ACC 1A 1，且AC ∩CC 1＝C ， ∴BD ⊥平面ACC 1A 1.(2)设BD 与AC 相交于点O ，连接C 1O ，则点O 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，0，OC 1―→＝⎝⎛⎭⎫－a 2，a 2，b . ∵BD ―→·OC 1―→＝0，∴BD ⊥C 1O . 又BD ⊥CO ，∴∠C 1OC 是二面角C 1-BD -C 的平面角， ∴∠C 1OC ＝60°， ∵tan ∠C 1OC ＝CC 1OC ＝b22a ＝3， ∴b ＝62a . ∵AC ―→＝(－a ，a,0)，BC 1―→＝(－a,0，b )， ∴cos 〈AC ―→，BC 1―→〉＝AC ―→·BC 1―→|AC ―→|·|BC 1―→|＝55. ∴异面直线BC 1与AC 所成角的余弦值为55.(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知l ∥π，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面π的法向量为⎝⎛⎭⎫1，12，2，则m ＝( ) A ．－8 B ．－5 C ．5D ．8解析：∵l ∥π，∴直线l 的方向向量与平面π的法向量垂直． ∴2＋m2＋2＝0，m ＝－8.答案：A2．在空间四边形ABCD 中，连接AC ，BD ，若△BCD 是正三角形，且E 为其中心，则AB ―→＋12BC ―→－32DE ―→－AD ―→的化简结果为( )A ．AB ―→B ．2BD ―→C ．0D ．2DE ―→解析：如图，F 是BC 的中点，E 是DF 的三等分点，∴32DE ―→＝DF ―→. ∵12BC ―→＝BF ―→，则AB ―→＋12BC ―→－32DE ―→－AD ―→＝AB ―→＋BF ―→－DF ―→－AD ―→＝AF ―→＋FD ―→－AD ―→＝AD ―→－AD ―→＝0.答案：C3．在以下命题中，不正确的个数为( ) ①|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件； ②若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb ；③对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP ―→＝2OA ―→－2OB ―→－OC ―→，则P ，A ，B ，C 四点共面；④若{a ，b ，c }为空间的一组基，则{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }构成空间的另一组基； ⑤ |(a ·b )·c |＝|a |·|b |·|c |. A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：①|a |－|b |＝|a ＋b |⇒a 与b 的夹角为π，故是充分不必要条件，故不正确；②b 需为非零向量，故不正确；③因为2－2－1≠1，由共面向量定理知，不正确；④由基的定义知正确；⑤由向量的数量积的性质知，不正确．答案：C4．直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若CA ―→＝a ，CB ―→＝b ，CC 1―→＝c ，则A 1B ―→＝( ) A ．a ＋b －c B ．a －b ＋c C ．－a ＋b ＋cD ．－a ＋b －c解析：A 1B ―→＝CB ―→－CA 1―→＝CB ―→－(CA ―→＋CC 1―→)＝b －a －c . 答案：D5．已知四面体ABCD 的各边长都是a ，点E ，F 分别为BC ，AD 的中点，则AE ―→·AF ―→的值是( )A ．a 2 B.12a 2 C.14a 2 D.34a 2 解析：由已知得ABCD 为正四面体，因为AE ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)，AF ―→＝12AD ―→，所以AE ―→·AF―→＝12(AB ―→＋AC ―→)·12AD ―→＝14(AB ―→·AD ―→＋AC ―→·AD ―→) ＝14(a 2cos 60°＋a 2cos 60°)＝14a 2. 答案：C6．已知正四棱锥S -ABCD 的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE 与SD 所成角的余弦值为( )A.13B.23C.33D.23解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设A (1,0,0)，则B (0,1,0)，D (0，－1,0)，AB ＝2，SD ＝2，∴SO ＝1，∴S (0,0,1)，∴E ⎝⎛⎭⎫0，12，12，AE ―→＝－1，12，12，SD ―→＝(0，－1，－1)．∴cos 〈AE ―→， SD ―→〉＝AE ―→·SD ―→|AE ―→||SD ―→|＝－12－1262×2＝－33， ∴AE 与SD 所成角的余弦值为33. 答案：C7．在平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，若AC ′―→＝x AB ―→＋2y BC ―→＋3zC ′C ―→，则x ＋y ＋z 等于( )A ．1 B.76 C.56D.23解析：如图，AC ′―→＝AB ―→＋BC ―→＋CC ′―→＝AB ―→＋BC ―→－C ′C ―→，所以x ＝1,2y ＝1，3z ＝－1，所以x ＝1，y ＝12，z ＝－13，因此x ＋y ＋z ＝1＋12－13＝76.答案：B8.如图所示，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ＝AC ，AB ⊥AC ，M 是CC 1的中点，Q 是BC 的中点，P 是A 1B 1的中点，则直线P Q 与AM 所成的角为( )A.π6 B.π4 C.π3D.π2解析：以A 为坐标原点，AB ，AC ，AA 1所在直线为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AA 1＝AB ＝AC ＝2，则AM ―→＝(0,2,1)，Q (1,1,0)，P (1,0,2)，Q P ―→＝(0，－1,2)，所以Q P ―→·AM ―→＝0，所以Q P 与AM 所成角为π2.答案：D9．如图，在长方体ABCD -A1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为( )A.63B.255C.155D.105解析：以D 点为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2,1)，∴BC 1―→＝(－2,0,1)，AC ―→＝(－2,2,0)，且AC ―→为平面BB 1D 1D 的一个法向量． ∴cos 〈BC 1―→，AC ―→〉＝BC 1―→·AC ―→|BC 1―→|·|AC ―→|＝45·8＝105.∴BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为105. 答案：D10．已知OA ―→＝(1,2,3)，OB ―→＝(2,1,2)，OP ―→＝(1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，则当Q A ―→·Q B ―→取得最小值时，点Q 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫12，34，13B.⎝⎛⎭⎫12，32，34 C.⎝⎛⎭⎫43，43，83D.⎝⎛⎭⎫43，43，73解析：∵Q 在OP 上，∴可设Q (x ，x,2x )，则Q A ―→＝(1－x ，2－x,3－2x )， Q B ―→＝(2－x,1－x,2－2x )．∴Q A ―→·Q B ―→＝6x 2－16x ＋10，∴x ＝43时，Q A ―→·Q B ―→取得最小值，这时Q ⎝⎛⎭⎫43，43，83. 答案：C11.如图，在四面体P -ABC 中，PC ⊥平面ABC ，AB ＝BC ＝CA ＝PC ，那么二面角B -AP -C 的余弦值为( )A.22 B.33C.77D.57解析：如图，作BD ⊥AP 于点D ，作CE ⊥AP 于点E .设AB ＝1，则易得CE ＝22，EP ＝22，PA ＝PB ＝2，可以求得BD ＝144，ED ＝24. ∵BC ―→＝BD ―→＋DE ―→＋EC ―→，∴BC ―→2＝BD ―→2＋DE ―→2＋EC ―→2＋2BD ―→·DE ―→＋2DE ―→·EC ―→＋2EC ―→·BD ―→， ∴EC ―→·BD ―→＝－14，∴cos 〈BD ―→，EC ―→〉＝－77.故二面角B -AP -C 的余弦值为77. 答案：C12.如图，在三棱柱ABC -A1B 1C 1中，底面ABC 为正三角形，且侧棱AA 1⊥底面ABC ，且底面边长与侧棱长都等于2，O ，O 1分别为AC ，A 1C 1的中点，则平面AB 1O 1与平面BC 1O 间的距离为( )A.355B.255C.55D.510解析：如图，连接OO 1，根据题意，OO 1⊥底面ABC ，则以O 为原点，分别以OB ，OC ，OO 1所在的直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．∵AO 1∥OC 1，OB ∥O 1B 1，AO 1∩O 1B 1＝O 1，OC 1∩OB ＝O ，∴平面AB 1O 1∥平面BC 1O .∴平面AB 1O 1与平面BC 1O 间的距离即为O 1到平面BC 1O 的距离．∵O (0，0,0)，B (3，0,0)，C 1(0,1,2)，O 1(0,0,2)，∴OB ―→＝(3，0,0)，OC 1―→＝(0,1,2)，OO 1―→＝(0,0,2)，设n ＝(x ，y ，z )为平面BC 1O 的法向量，则n ·OB ―→＝0，∴x ＝0.又n ·OC 1―→＝0，∴y ＋2z ＝0，∴可取n ＝(0,2，－1)．点O 1到平面BC 1O 的距离记为d ，则d ＝|n ·OO 1―→||n |＝25＝255.∴平面AB 1O 1与平面BC 1O间的距离为255.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．若空间三点A (1,5，－2)，B (2,4,1)，C (p,3，q )共线，则p ＋q ＝________. 解析：由已知得AB ―→＝(1，－1,3)，AC ―→＝(p －1，－2，q ＋2)，因为AB ―→∥AC ―→，所以p －11＝－2－1＝q ＋23，所以p ＝3，q ＝4，故p ＋q ＝7.答案：714.已知空间四边形OABC ，如图所示，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别为OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG ―→＝3GN ―→，现用基向量OA ―→，OB ―→，OC ―→表示向量OG ―→，并设OG ―→＝x OA ―→＋y OB ―→＋z OC ―→，则x ，y ，z 的和为________．解析：OG ―→＝OM ―→＋MG ―→＝12OA ―→＋34MN ―→＝12OA ―→＋34⎝⎛⎭⎫－12 OA ―→＋OC ―→＋12 CB ―→＝12OA ―→－38OA ―→＋34OC ―→＋38OB ―→－38OC ―→＝18OA ―→＋38OB ―→＋38OC ―→， ∴x ＝18，y ＝38，z ＝38.∴x ＋y ＋z ＝78.答案：7815．已知空间三点O (0,0,0)，A (－1,1,0)，B (0,1,1)，在直线OA 上有一点H 满足BH ⊥OA ，则点H 的坐标为______________．解析：由OA ―→＝(－1,1,0)，且点H 在直线OA 上，可设H (－λ，λ，0)，则BH ―→＝(－λ，λ－1，－1)．又BH ⊥OA ，∴BH ―→·OA ―→＝0，即(－λ，λ－1，－1)·(－1,1,0)＝0，即λ＋λ－1＝0，解得λ＝12， ∴H ⎝⎛⎭⎫－12，12，0. 答案：⎝⎛⎭⎫－12，12，0 16.如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，底面ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，侧棱AA 1＝2，D ，E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G .则A 1B 与平面ABD 所成角的正弦值为________．解析：以C 为坐标原点，CA 所在的直线为x 轴，CB 所在的直线为y 轴，CC 1所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．设CA ＝CB ＝a ，则A (a,0,0)，B (0，a,0)，A 1(a,0,2)，D (0,0,1)，∴E ⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，1，G ⎝⎛⎭⎫a 3，a 3，13， GE ―→＝⎝⎛⎭⎫a 6，a 6，23，BD ―→＝(0，－a,1)． ∵点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G ， ∴GE ―→⊥平面ABD ，∴GE ―→·BD ―→＝0，解得a ＝2. ∴GE ―→＝⎝⎛⎭⎫13，13，23，BA 1―→＝(2，－2,2)， ∵GE ―→⊥平面ABD ，∴GE ―→为平面ABD 的一个法向量．又cos 〈GE ―→，BA 1―→〉＝GE ―→·BA 1―→|GE ―→||BA 1―→|＝4363×23＝23， ∴A 1B 与平面ABD 所成角的正弦值为23. 答案：23三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知向量a ＝(1，－3,2)，b ＝(－2,1,1)，点A (－3，－1,4)，B (－2，－2,2)．(1)求|2a ＋b |；(2)在直线AB 上，是否存在一点E ，使得OE ―→⊥b ？(O 为原点)解：(1)2a ＋b ＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，故|2a ＋b |＝02＋(－5)2＋52＝5 2. (2)OE ―→＝OA ―→＋AE ―→＝OA ―→＋t AB ―→ ＝(－3，－1,4)＋t (1，－1，－2) ＝(－3＋t ，－1－t,4－2t )．若OE ―→⊥b ，则OE ―→·b ＝0，所以－2(－3＋t )＋(－1－t )＋(4－2t )＝0，解得t ＝95，因此存在点E ，使得OE ―→⊥b ，此时E 点坐标为⎝⎛⎭⎫－65，－145，25.18．(本小题满分12分)如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝AA 1＝1，∠BAD ＝60°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝45°.(1)求|BD 1―→|；(2)求证：BD ⊥平面ACC 1A 1. 解：(1)∵BD 1―→＝BA ―→＋BC ―→＋BB 1―→∴|BD 1―→|2＝(BA ―→＋BC ―→＋BB 1―→)2＝BA ―→2＋BC ―→2＋BB 1―→2＋2(BA ―→·BC ―→＋BA ―→·BB 1―→＋BC ―→·BB 1―→)＝1＋1＋1＋2⎝⎛⎭⎫－12－22＋22＝2，∴|BD 1―→|＝ 2.(2)证明：∵BD ―→＝AD ―→－AB ―→， ∴AA 1―→·BD ―→＝AA 1―→·(AD ―→－AB ―→)＝0， ∴BD ⊥AA 1，又BD ⊥AC ，AA 1∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面ACC 1A 1.19．(本小题满分12分)如图，已知点P 在正方体ABCD -A1B 1C 1D 1的对角线BD 1上，∠PDA ＝60°.(1)求DP 与CC 1所成角的大小； (2)求DP 与平面AA 1D 1D 所成角的大小．解：如图，以D 为原点，DA 为单位长建立空间直角坐标系Dxyz .则DA ―→＝(1,0,0)，CC 1―→＝(0,0,1)．连接BD ，B 1D 1.在平面BB 1D 1D 中，延长DP 交B 1D 1于H . 设DH ―→＝(m ，m,1)(m ＞0)，由已知〈DH ―→，DA ―→〉＝60°，由DH ―→·DA ―→＝|DA ―→||DH ―→|cos 〈DA ―→，DH ―→〉，可得2m ＝2m 2＋1. 解得m ＝22，所以DH ―→＝⎝⎛⎭⎫22，22，1.(1)因为cos 〈DH ―→，CC 1―→〉＝22×0＋22×0＋1×11×2＝22，所以〈DH ―→，CC 1―→〉＝45°. 即DP 与CC 1所成的角为45°.(2)平面AA 1D 1D 的一个法向量是DC ―→＝(0,1,0)．因为cos 〈DH ―→，DC ―→〉＝22×0＋22×1＋1×01×2＝12，所以〈DH ―→，DC ―→〉＝60°，可得DP 与平面AA 1D 1D 所成的角为30°.20．(本小题满分12分)如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点．(1)求直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值；(2)在棱C 1D 1上是否存在一点F ，使B 1F ∥平面A 1BE ？证明你的结论．解：设正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1.如图所示，以AB ―→，AD ―→，AA 1―→为单位正交基底建立空间直角坐标系．(1)依题意，得B (1,0,0)，E ⎝⎛⎭⎫0，1，12，A (0,0,0)，D (0,1,0)，所以BE ―→＝⎝⎛⎭⎫－1，1，12，AD ―→＝(0,1,0)．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，因为AD ⊥平面ABB 1A 1，所以AD ―→是平面ABB 1A 1的一个法向量，设直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角为θ，则 sin θ＝|BE ―→·AD ―→||BE ―→|·|AD ―→|＝132×1＝23. 即直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值为23.(2)依题意，得A 1(0,0,1)，BA 1―→＝(－1,0,1)，BE ―→＝⎝⎛⎭⎫－1，1，12. 设n ＝(x ，y ，z )是平面A 1BE 的一个法向量，则由n ·BA 1―→＝0，n ·BE ―→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0，－x ＋y ＋12z ＝0. 所以x ＝z ，y ＝12z .取z ＝2，得n ＝(2,1,2)．设F 是棱C 1D 1上的点，连接B 1F ，则F (t,1,1)(0≤t ≤1)，又B 1(1,0,1)，所以B 1F ―→＝(t －1,1,0)．而B 1F ⊄平面A 1BE ，于是B 1F ∥平面A 1BE ⇔B 1F ―→·n ＝0⇔(t －1,1,0)·(2,1,2)＝0⇔2(t －1)＋1＝0⇔t ＝12⇔F 为C 1D 1的中点．这说明在棱C 1D 1上存在点F (C 1D 1的中点)，使B 1F ∥平面A 1BE .21．(本小题满分12分)(2017·全国卷Ⅲ)如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD ＝∠CBD ，AB ＝BD .(1)证明：平面ACD ⊥平面ABC ；(2)过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角D -AE -C 的余弦值．解：(1)证明：由题设可得，△ABD ≌△CBD ，从而AD ＝DC . 又△ACD 是直角三角形，所以∠ADC ＝90°.取AC 的中点O ，连接DO ，BO ，则DO ⊥AC ，DO ＝AO .又因为△ABC 是正三角形，所以BO ⊥AC .所以∠DOB 为二面角D -AC -B 的平面角．在Rt △AOB 中，BO 2＋AO 2＝AB 2. 又AB ＝BD ，所以BO 2＋DO 2＝BO 2＋AO 2＝AB 2＝BD 2，故∠DOB ＝90°.所以平面ACD ⊥平面ABC .(2)由题设及(1)知，OA ，OB ，OD 两两垂直．以O 为坐标原点，OA ―→的方向为x 轴正方向，|OA ―→|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz ，则A (1,0,0)，B (0，3，0)，C (－1,0,0)，D (0,0,1)．由题设知，四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的12，从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的12，即E 为DB 的中点，得E ⎝⎛⎭⎫0，32，12.故AD ―→＝(－1,0,1)，AC ―→＝(－2,0,0)，AE ―→＝⎝⎛⎭⎫－1，32，12.设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面DAE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AD ―→＝0，n ·AE ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＋z 1＝0，－x 1＋32y 1＋12z 1＝0. 可取n ＝⎝⎛⎭⎫1，33，1. 设m ＝(x 2，y 2，z 2)是平面AEC 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ·AC ―→＝0，m ·AE ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＝0，－x 2＋32y 2＋12z 2＝0，可取m ＝(0，－1，3)．则cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝－33＋3213×2＝77.由图知二面角D -AE -C 为锐角，所以二面角D -AE -C 的余弦值为77.22.(本小题满分12分)如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB ＝5，AC ＝6，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE ＝CF ＝54，EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△D ′EF的位置，OD ′＝10.(1)证明：D ′H ⊥平面ABCD ； (2)求二面角B -D ′A -C 的正弦值．解：(1)证明：由已知得AC ⊥BD ，AD ＝CD . 又由AE ＝CF ，得AE AD ＝CFCD ，故AC ∥EF .因此EF ⊥HD ，从而EF ⊥D ′H .由AB ＝5，AC ＝6，得DO ＝BO ＝AB 2－AO 2＝4. 由EF ∥AC ，得OH DO ＝AE AD ＝14. 所以OH ＝1，D ′H ＝DH ＝3.于是D ′H 2＋OH 2＝32＋12＝10＝D ′O 2，故D ′H ⊥OH . 又D ′H ⊥EF ，而OH ∩EF ＝H ，所以D ′H ⊥平面ABCD . (2)如图，以H 为坐标原点， HF ―→的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系H -xyz ，则H (0,0,0)，A (－3，－1,0)，B (0，－5,0)，C (3，－1,0)，D ′(0,0,3)，故AB ―→＝(3，－4,0)，AC ―→＝(6,0,0)，AD ′―→＝(3,1,3)．设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面ABD ′的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AB ―→＝0，m ·AD ′―→＝0即⎩⎪⎨⎪⎧3x 1－4y 1＝0，3x 1＋y 1＋3z 1＝0，所以可取m ＝(4,3，－5)．设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面ACD ′的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC ―→＝0，n ·AD ′―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧6x 2＝0，3x 2＋y 2＋3z 2＝0，所以可取n ＝(0，－3,1)．于是cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m||n|＝－1450×10＝－7525.故sin 〈m ，n 〉＝29525. 因此二面角B -D ′A -C 的正弦值是29525.。

数学选修2-1(湘教版)1.1.3充分条件与必要条件

练习：P13 习题5
试证“a>0,b>0”的充要条件是“a+b>0,ab>0”
证明：记p:a+b>0,ab>0 q:a>0,b>0 充分性（p q): ab 0,a与b同号又a b 0,所以a与b同为正数，即a 0,b 0
必要性(q p): 因为a>0,b>0,所以a+b>0,ab>0
则“四边形的两组对边分别平行且有一组对角互补”是“四边形是矩形”的充分条件.
(1) xy≠0x＋y＝0，则“x＋y＝0”不是“xy≠0”的必要条件； (.2) xy≠0x＋y＝0，则“x2＋y2＞0”是“xy≠0”的必要条件；
(3)xy≠0x2＋y2≠0，则“x2＋y2≠0”是“xy≠0”的必要条件；
练习：书本P12 练习的第3题习题3的第1题
(1)取x＝1 ，y＝－2 ，满足x＞y，但|x|＜|y|，即pq；取x＝－2 ，y＝1，满足|x|＞|y|，但x＜y，即qp；所以 p是q的既不充分又不必要条件；
（2）设△ABC的边BC的中线为AM，则S△ABM ＝S△ACM, 又DM是△DBC的中线，则S△DBM ＝S△DCM, 从而S△ABD ＝S△ACD,即pq，
则“四边形的对角线相等”不是“四边形是矩形”的充分条件； (2) 四边形的两组对边分别相等四边形是矩形，
则“四边形的两组对边分别相等”不是“四边形是矩形”的充分条件.
(3)四边形有三个内角都为直角四边形是矩形，
则“四边形有三个内角都为直角”是“四边形是矩形”的充分条件； (4)四边形的两组对边分别平行且有一组对角互补四边形是矩形，
由 x∈P 是 x∈S 的必要条件，知 S P.则1－m≥－2， 1＋m≤10，

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1.古诗文默写。

（10分）
（1）关关雎鸠，在河之洲。

，。

（《关雎》）
（2），白露为霜。

所谓伊人，在水一方。

（3）《曹刿论战》中体现取信于民的句子是：，，。

（4）生，亦我所欲也；义，亦我所欲也。

，者也。

（5）得道者多助，。

（6）令初下，群臣进谏，。

2.按课文默写古诗(4分)
（1）《望江南》中表明思妇从希望到失望的心理变化产生的原因的句子是：。

（2）范仲淹在《渔家傲秋思》，揭示自己和征夫们想家却又不甘无功而返的矛盾心理的句子是：
__________，。

（3）《武陵春》中被词论家称赞为写愁“创意出奇”的句子是：__________，。

（4）苏轼的《江城子密州出猎》中抒写人到中年的主人公，壮志未酬的感叹的诗句是：
，__________，。

1.《论语》十二章（节选）（13分）
①子曰：“学而不思则罔，思而不学则殆。

”
②子曰：“吾十有五而志于学，三十而立，四十而不惑，五十而知天命，六十而耳顺，七十而从心所欲，不逾矩。

”
③子曰：“温故而知新，可以为师矣。

”
④子曰：“博学而笃志,切问而近思，仁在其中矣。

⑤子曰：“贤哉，回也！一箪食，一瓢饮，在陋巷人不堪其忧回也不改其乐。

贤哉，回也！”
⑥子曰：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。

”
【小题1】解释下列句中加点的词（4分）
（1）吾十有五而志于学（）（2）不逾矩（）
（3）博学而笃志（）（4）知之者不如好之者（）
【小题2】用“”给以下句子断句。

（2分）
在陋巷人不堪其忧回也不改其乐。

【小题3】翻译下列句子（4分）
（1）学而不思则罔，思而不学则殆。

（2）温故而知新，可以为师矣。

【小题4】上述节选的内容对你有帮助吗?请选择其中的一点，结合生活实际谈谈你的体会。

（3分）
2.玉不琢，不成器。

人不学，不知道。

是故古之王者，建国君民，教学为先。

《兑命》曰：“念终始典于学。

”其此之谓乎？
虽有嘉肴，弗食，不知其旨也；虽有至道，弗学，不知其善也。

是故学然后知不足，教然后知困。

知不足，然后能自反也；知困，然后能自强也。

故曰：教学相长也。

《兑命》曰：“学
学半。

”其此之谓乎？
【小题1】解释下列句中加点的词（4分）
⑴不知道（）⑵虽有嘉肴（）
⑶教然后知困（）⑷其此之谓乎（）
【小题2】翻译下列句子。

（6分）
⑴是故古之王者，建国君民，教学为先。

⑵《兑命》曰：“学学半。

”
【小题3】用“”给下列句子划分停顿。

（停三处）（3分）
是故学然后知不足
【小题4】“人不学，不知道”和“教学相长”各强调了什么？有什么异同点？（5分）
3.《<论语>十二章》节选（11分）
①子曰：“学而时习之，不亦说乎？有朋自远方来，不亦乐乎？人不知而不愠，不亦君子乎？”
②曾子曰：“吾日三省吾身：为人谋而不忠乎？与朋友交而不信乎？传不习乎？”
③子曰：“温故而知新，可以为师矣。

”
④子曰：“贤哉，回也！一箪食，一瓢饮，在陋巷，人不堪其忧，回也不改其乐。

贤哉，回也！”
⑤子曰：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。

”
⑥子曰：“饭疏食饮水，曲肱而枕之，乐亦在其中矣。

不义而富且贵，于我如浮云。

”
⑦三人行，必有我师焉。

择其善者而从之，其不善者而改之。

⑧子曰：“三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。

”
【小题1】解释下列各句中加点的词。

（4分）
（1）不亦说乎________ （2）传不习乎________
（3）好之者不如乐之者_______（4）曲肱而枕之 ________
【小题2】下面句中“而”字用法不同于其它三项的是（）（2分）A．学而时习之B．温故而知新C．人不知而不愠D．择其善者而从之【小题3】翻译下列句子。

（2分）
三人行，必有我师焉。

___________________________________
【小题4】经过了两千多年，孔子的话仍然闪烁着夺目的光彩。

请从选文中选择一章，结合生活体验谈谈对你的启发。

（3分）
1.（50分）________是我飞翔的翅膀
要求：①请先把题目补充完整，然后作文。

②自选文体，不少于500字。

③文中不得出现真实的人名、校名、地名等。

④书写优美，字迹工整，卷面整洁。