第7节 利用等价无穷小量代换求极限
等价无穷小量代换及泰勒公式在极限运算中的应用
＝ １.
通过定理 ２ꎬ很大程度上给极限运算中的代数和带来了
方便.
例 ３ 求 ｌｘｉ→ｍ０ ｔａｎａｒｘｃ－ｔａｎｓｉｘｎｘ.
错误解法 当 ｘ→０ 时ꎬｔａｎｘ ~ ｘꎬｓｉｎｘ ~ ｘꎬ
∴
原式
＝
ｌｉｍｘ
ｘ→０
－ ｘ
ｘ
＝
０.
正确解法
当 ｘ→０
时ꎬｔａｎｘ ~ ｘꎬ１ － ｃｏｓｘ ~
１ ２
ｘ２ ꎬ
高等数学的研究对象是变量ꎬ研究方法是无穷小分析
法ꎬ也就是极限方法ꎬ掌握好极限概念与极限运算是从初等
数学迈入高等数学的一个重要阶梯. 求解极限的方法有很
多ꎬ但选择适当的 方 法 直 接 关 系 到 运 算 过 程 的 简 便 程 度 和
运算结果的正确性. 利用等价代换求解极限是指将一些无
穷小量用与其等价的无穷小量来替代ꎬ从而简化运算[１ －３] ꎬ
ｘ３ ２
＋
ｏ( ｘ３ ) .
根据上例ꎬ我们得到一个有用的定理.
定理
αꎬβꎬ
α~
ꎬ
~
β
为 同 一 变 化 过 程 中 的 无 穷 小 量ꎬ 且
αꎬβ 为同阶无穷小ꎬ又 α ~ α~ ꎬβ ~ β~ .
(１) 当 ｌｉｍ
β α
≠
－
１
时ꎬ则α
＋ γ
β
~
α~
＋ γ
~
βꎻ
(２) 当 ｌｉｍ
β α
≠１
时ꎬ则α
高教视野
ＧＡＯＪＩＡＯ ＳＨＩＹＥ
７
等价无穷小量代换及泰勒公式在极限运算中的应用
◎李 珊 栗巧玲 余旭洪 ( 上海理工大学理学院ꎬ上海 ２０００９３)
等价无穷小求极限
证明 因为0→x 时，01→-x e .解 令x tan =α，x sin =β. 在0→x 时， αα'==x x sin ~tan ，ββ'==x x tan ~sin .解 令x tan =α，x sin =β，32x =γ ．在0→x 时，有αα'==x x sin ~tan ，当α、β为无穷小量，αα'~，ββ'~，且()A =+βα11lim ．则()()ββαα111lim 1lim +='+'A =．证 ()()()()ββαββααα111ln 1ln 1ln lim1ln lim +⋅'⋅+'+='+'()()()βααααααα11ln 1ln 1ln lim +⋅⋅+'⋅''+= ()βααα11ln lim +⋅'=()βα11ln lim +=A ln lim =．所以 ()()ββαα111lim 1lim +='+'A =．例14 求()xx x sin 31021lim +→．其中，当α、β为无穷小量，αα'~，ββ'~，且βα⎪⎭⎫⎝⎛1lim 存在．则ββαα'⎪⎭⎫⎝⎛'=⎪⎭⎫ ⎝⎛1lim 1lim ．证 βα⎪⎭⎫ ⎝⎛1ln lim βααβαβ'⎪⎭⎫ ⎝⎛'⋅''--=1ln ln ln lim βααα'⎪⎭⎫ ⎝⎛'⋅'=1ln 11lim βα'⎪⎭⎫⎝⎛'=1ln lim所以 ββαα'⎪⎭⎫⎝⎛'=⎪⎭⎫ ⎝⎛1lim 1lim .例15 ()xx x ln 1cot lim +→ （它是0∞型）解 当0→x 时，x x ~tan ．根据4.1.2可知，()xx x ln 10cot lim +→=xx x xx xx ex x 1ln ln 10ln 10ln 10lim 1lim tan 1lim +→→→=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=1ln ln 1lim -⋅-→=+e ex xx ．当0→x 时，越计算过程越复杂．这时，我们可以把洛必达法则和等价无穷小的代换结合起来使用，这样就可以简化计算，方便问题求出．我们通过大量的例题，分别从等价无穷小的概念及其重要性质，等价无穷小的应用这几个方面研究了等价无穷小在求函数极限中的作用，通过我们做题可知：计算函数极限的方法是多种多样的，但是方法的选择是否恰当，直接关系到计算过程是否简洁和计算结果是否正确．本文通过对大量例题的分析和做题方法的比较，体现了等价无穷小代换求极限是一种行之而有效的方法．用无穷小量的等价代换来计算极限虽然很方便，但在计算过程中并非所有的无穷小量都能用其等价无穷小量来代换．而在做题的过程中，相当一部分学生往往不清楚在什么情况下才能进行代换，以至于不可避免地会出现这样或那样的错误，所以我在本文针对这些问题给出了大量的例题来解释．参考文献：[1] 华东师范大学数学系编．数学分析[M]．北京：高等教育出版社，1991[2] 田婷．等价无穷小求极限问题的探讨[J]．苏州工业职业技术学院．2007，06[3] 李秀敏，王灵色．等价无穷小代换在求极限过程中的应用[J]．高等数学研究，2002，03[4] 杨明顺．利用等价无穷小求极限方法的一个推广[J]．商洛师范专科学校学报，2003，01[5] 伍华健．在求函数极限过程中使用等价无穷小[J]．广西师范学校（自然学科）.1999，02[6] 王建平．无穷小量的等价代换在代数和极限运算中的应用[J]．河南教育学院报（自然科学版），2005，04[7] 姜玉秋．巧用等价无穷小替换求解复杂极限的研究[J]．吉林师范大学学报（自然科学版），2005，04[8] 胡景明．用等价无穷小代换求极限时常犯的错误[J]．河北工程技术高等专科学校学报，1997，01[9] 同济大学数学教研室主编．高等数学[M]．北京：高等教育出版社，1988[10] 吕祥凤，王艳．等价无穷小的性质及应用[J]．重庆师范学院学报（自然科学版），2000，06[11]Walter Rudin．Principles of Mathematical Analysis [M]．McGraw-Hill PublishingCo，197611。
有理运算求极限和等价无穷小代换
墩台、墩柱施工方案及工艺墩台、墩柱施工工艺流程图墩台、墩柱施工放样采用一次性放线以保证墩柱在横向处于同一个轴线上，同时墩柱放线也可用以对承台进行复核。
测量放线任务有两点：一是定出各墩柱的纵横轴线，二是作好标高控制。
此两方面均是为了保证钢筋、预埋件及模板的精确安装。
(一)模板设计1、模板采用板厚5.5mm 定型钢模板施工，法兰采用φ12铁板，背筋采用100棱钢，模板在生产厂家定做，模板拼装以螺栓相连接。
2、模板安装前，需做好安装面找平和模板定位基准面的设置，安装面找平可沿模板内边线用1:3的水泥砂浆粉成条带并通过水准仪校正水平。
3、安装时先根据墩柱高度，将每节模板预拼，上下模板间用高强螺栓进行加固连接。
为保证拼缝严密，模板拼缝处贴双面胶，以保测量定位放线钢筋绑扎模板安装 砼施工 砼养护 预埋件安装验收模板拆除证其密实性。
拼装完成后，在模板四方加设揽绳，四个1吨葫芦采用吊锤校正柱垂直度，揽绳与地面夹角应小于60°。
4、模板安装时，为确保精度及质量，采取如下措施：（1）模板接缝处，贴双面胶，以防漏浆；（2）采用脱模剂用轻机油（或用柴油调和普通机油），严禁使用废机油；（3）在钢筋笼上焊十字撑，作为钢筋固定位置及保护层之用，但钢筋骨架须严格对中；（4）钢模要做好临时固定措施，确保稳定，顶节模板的顶端要加缆风绳固定确保模板稳定；（5）安装时可采用分片拼装方式，底节模板须准确对中，模板须确保垂直。
（6）墩台、墩柱模板安装质量要符合施工验收规范标准。
模板安装完毕经监理工程师检查签认后方可进行下道工序施工。
(二)作业平台搭设作业平台全部采用φ48钢管搭设，作业平台的搭设均在模板就位之后进行，然后进行模板的加固，作业平台不应与模板连接在一起。
(三)钢筋工程（1）钢筋工程施工方法①主筋采用闪光对焊。
钢筋骨架由于高度不大，采用现场绑扎。
②为保证保护层厚度，应在箍筋上绑扎砼块，砼块每隔1m设一道，每道对称设置不小于八块。
等价无穷小在求极限中的应用
等价无穷小在求极限中的应用摘要：在数学分析中，极限的计算占据着重要的地位，合理的应用等价无穷小的代换，在某些极限运算中可以使计算更加简便。
本文主要对无穷小代换中的四则运算、幂运算、特殊等价无穷小及误区进行介绍，并总结代换定理加以证明。
关键词：极限等价无穷小代换引言：利用等价无穷小的代换求极限，在求函数极限中是一种比较重要的方法，也是数学分析学习中重要的知识点，而在函数极限运算过程中趋近方式有多种，计算方法比较类似，本文主要对的情况进行介绍，那么了解什么是极限、什么是无穷小和什么是等价无穷小就非常重要了，接下来我们就对极限、无穷小和等价无穷小进行介绍。
、极限：设在某个空心邻域内的函数，现在讨论当时。
对应的函数值能否趋于某个定数 .这类函数极限的精准定义如下:设在某个空心邻域内有定义,为定数,若对任给的 ,存在正数使得当时有 ,则称函数当时的极限为记作:或者、无穷小：设在某个空心邻域上有定义，若则称为当时的无穷小、等价无穷小:设当时与均为无穷小量，若，则称与是当时的等价无穷小记作：、常用的等价无穷小当时以下常用无穷小相互等价、、一、无穷小代换中的四则运算1.1乘法运算定理1设函数在上有定义且，若证明：1.2除法运算定理2设函数在上有定义若则二、特殊等价无穷小当时接下来我们对进行证明证明：利用公式求解，因为所以因为 ,所以证明利用公式求解,因为所以又因为，所以结束语这篇文章我主要对等价无穷小代换中的四则运算、幂运算、特殊等价无穷小代换以及误区进行了介绍，并总结了代换定理，等价无穷小的代换在我们的极限运算过程中比较重要合理利用使我们的计算更加简便，但是并不是所有的极限计算都能利用等价无穷小代换，比如加减法的运算过程有时候就不能直接运用等价无穷小的代换，而且是一个非常容易出错的地方，所以在运用等价无穷小代换的时候一定要看该题是否满足等价无穷小代换定理。
参考文献[1]同济大学应用数学系高等数学上[M].5版.北京.高等教育出版社.2000[2]华东师范大学数学系.数学分析上[M].2版.北京.高等教育出版社.1991[3]唐加冕.等价无穷小代换在求极限中的应用[J].赤峰学院学报.2010.2。
等价无穷小在求函数极限中的应用
等价无穷小在求函数极限中的应用XX(XX 学院XX 学院 山西XX )摘要：等价无穷小替换是求函数极限的常用方法之一，本文讨论了等价无穷小在四则运算、变上限积分、幂指运算中的应用，并通过实例分析了等价无穷小求极限的优势及常见错误．关键词：等价无穷小；替换；极限 1 引言在微积分中极限处于十分重要的地位，极限求法众多，而等价无穷小替换是一类重要的方法．在求极限时，灵活运用等价无穷小，往往会使一些复杂的问题简单化．但现在的高等数学和数学分析教材中，只给出积、商运算中等价无穷小因子的替换规则，对四则运算、变上限积分及幂指运算等广泛使用的情况未能提及．本文作了一个比较系统和全面的总结及适当的拓展，并对等价无穷小求极限的优势和常见错误举例分析，以加深对等价无穷小性质的认识和理解． 2 等价无穷小的定义及性质定义1 如果函数)(x f 当0x x →(或∞→x )时的极限为零，那么称函数)(x f 为当0x x →(或∞→x )时的无穷小．定义2 设)(x f 与)(x g 都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小，且0)(≠x g ，如果1)()(lim=x g x f ，就说)(x f 与)(x g 是等价无穷小，记作)(~)(x g x f ． 常用的等价无穷小：当0→x 时，x x ~sin ，x x ~arcsin ，x x ~tan ，x x ~arctan ，x x ~)1ln(+，x e x~1-，221~cos 1x x -，x n x n 1~1)1(1-+．关于等价无穷小，有三个重要性质：性质1 β与α是等价无穷小的充分必要条件为)(ααβo +=．性质2 设αα'~，ββ'~，且αβ''lim存在，则 αβαβ''=lim lim ． 性质3 βα~，)(~)(~a x a x →⇒→γαγβ． 3 等价无穷小在求函数极限中的应用 含四则运算的等价无穷小替换定理2表明求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可用等价无穷小来代替．因此，如果用来代替的无穷小选得适当的话，可以使计算简化．例1 求极限20sin )1()cos 1(limx e x x x x --→．解 当0→x 时，221~cos 1x x -，x e x --~1，22~sin x x ，因此 20sin )1()cos 1(lim x e x x x x --→＝22021lim x x x x x ⋅-⋅→＝21-． 例2 求极限)cos 1cos(11lim4x x e x x ---→．解 )cos 1cos(11lim 4x x e x x ---→＝42121lim )cos 1(21lim2240240=⋅=-→→xx x x x x x x ． 注意0→x 时，4241~)cos 1(21~)cos 1cos(1x x x x x ---．用到了性质3． 利用等价无穷小因子替换求极限，可以大大减少计算量，但利用等价无穷小因子替换求极限应注意在求极限的乘除运算中可以使用等价无穷小因子替换，在加减运算中，等价无穷小的替换是有条件的．关于加减运算能否用等价无穷小来替换求极限，很多教材上都没有涉及到，只是强调加减情况不能随意使用，这就会使人产生困惑，下面就加减项的等价无穷小替换作一些补充．性质4 设αα'~，ββ'~，且C =αβlim ，若1≠C ，则βαβα'-'-~；若1-≠C ，则βαβα'+'+~．证明 若1≠C ，βββββαβαβββαβαβαβα'-'⋅''-='-'-='-'-1lim 1lim lim ，因为ββ'~，所以1lim='ββ，又由定理2，C =''=αβαβlim lim ，所以111lim lim =--='-'-C C βαβα，即βαβα'-'-~．同理，若1-≠C ，111lim 1lim 1lim lim=++='+'⋅''+='+'+='+'+C C βββββαβαβββαβαβαβα，即βαβα'+'+~．定理3说明，在求极限时，若某个因子是两个无穷小之差（或和）时，只要这两个无穷小不等价，这个因子就可以用相应的等价无穷小之差（或和）替换．推论 设αα'~，ββ'~，γγ'~，μμ'~，且1lim≠βαb a ，1lim ≠μγd c ， a ，b ，c ，d 为常数，则当μγβα'±''±'d c b a lim 存在时，有=±±μγβαd c b a lim μγβα'±''±'d c b a lim ．例3 求极限xxx x 3sin sin 2tan 3lim0-→．解 当0→x 时，x x ~tan ，x x ~sin ，12323lim sin 2tan 3lim00≠==→→x x x x x x ，所以31323lim 3sin sin 2tan 3lim 00=-=-→→x x x x x x x x ． 例4 求极限222203sin 2tan lim x x x x x +-→．解 当0→x 时，222~2tan x x ，22~sin x x ，122lim 2tan lim220220≠==→→x x x x x x ，1313lim 3sin lim 220220-≠==→→x x x x x x ，所以414lim 32lim 3sin 2tan lim 2202222022220==+-=+-→→→x x x x x x x x x x x x x ． 例5 求极限xx x x 220sin )cos 1(sin lim --→．解 因为当0→x 时，221~cos 1x x -，22~sin x x ，22~sin x x ，且 12cos 1sin lim 20≠=-→x x x ，所以2121lim sin )cos 1(sin lim 2220220=-=--→→xx x x x x x x ． 注 当α与β等价，则未必有βαβα'-'-~．以上三例说明了加减运算并不是绝对不能作等价无穷小替换，只要满足一定条件即可．在很多题目中，往往需要综合运用等价无穷小、洛必达法则、重要极限和泰勒公式等相关知识才能达到简化运算的目的．例12 求极限)111(lim 0--→x x e x ．解 212lim 21lim 1lim )1(1lim )111(lim 002000==-=--=---=--→→→→→x x x e x x e e x x e e x x x x x x x x x x x ． 例13 求极限[]4sin )sin(sin sin limx x x x x -→．解 []40sin )sin(sin sin limx x x x x -→[]40)sin(sin sin lim x x x x x -=→30)sin(sin sin lim x x x x -=→203cos )cos(sin cos lim x x x x x -=→203)cos(sin 1lim xx x -=→ 613sin 21lim 220==→x xx ．极限计算是《微积分理论》中的一个重要内容，等价无穷小量替换又是极限运算中的一个重要的方法，以其快捷、简便、适用性强等优点成为一类代表算法．利用等价无穷小量替换计算极限，主要是指在求解有关无穷小的极限问题时利用等价无穷小量的性质、定理施行的等价无穷小量替换的计算方法，通常与洛必达法则一起使用，目的是使解题步骤简化，减少运算错误．进行等价无穷小量代换的原则是整体代换或对其中的因子进行代换，而在加减运算中的替换是有条件的．参考文献[1] 同济大学数学系．高等数学．第六版[M]．北京：高等教育出版社．2007 ．[2] 刘玉莲，傅沛仁，林玎等．数学分析讲义．第四版[M]．北京：高等教育出版社．2003．[3] 屈红萍，赵文燕．等价无穷小代换求极限的方法推广[J]．保山学院学报．2011(2):54~57[4] 雷开洪．利用泰勒公式理解等价无穷小替换的实质[J]．宜宾学院学报．(6):112~114。
第二章 5 两个重要极限和利用等价无穷小求极限
1
例2. 求 解
e ⋅1 ⋅ e ⋅1 = 1
−1
第二章
利用等价无穷小量 §2.7 利用等价无穷小量 代换求极限
lim lim 定理1 定理 设 x → x α ( x) = x → x α1 ( x) = 0, 且 α ( x) ~ α1 ( x),
0 0
则 lim α ( x) f ( x) = lim α1 ( x) f ( x)
x4
解: 因为当 x → 0 时， e − 1 ~
x4
x4 ,
x ϕ x 若当 → x0时， (x) →0, 则当 → x0时 sin ϕ ( x) ~ ϕ ( x), tan ϕ ( x) ~ ϕ ( x),
tan ϕ ( x) ~ sin ϕ ( x), arcsin ϕ ( x) ~ ϕ ( x) ϕ 2 ( x) (1 − cos ϕ ( x)) ~ ,
1 sin x 1 − cos x = lim ⋅ ⋅ 2 x →0 cos x x x
1 sin x 1 − cos x = lim ⋅ lim ⋅ lim x →0 cos x x →0 x x →0 x 2
由上面几个例题可知下面几个等价的无穷小量 由上面几个例题可知下面几个等价的无穷小量. 等价的无穷小量 趋于0时 当x 趋于 时
1 x
2 + e sin x 2 + e sin x = lim = 1 lim− 4 + 4 − x→0 1+ e x x x→0− 1+ ex x
1 x 1 x
原式 = 1
e −1 3. 求 lim x→0 1− cos( x 1− cos x )
(x →∞)
关于等价无穷小代换求极限的一点注记
关于等价无穷小代换求极限的一点注记摘要：本文通过一个例题提出问题，进而给出求极限对非乘积因子使用等价无穷小代换的几种特殊情形并给出若干充分条件。
关键词：极限; 无穷小；等价无穷小1. 问题的提出极限理论贯穿于高等数学教学的全过程，极限运算的方法和技巧也就成了教学的重要内容之一，在众多极限计算方法中，等价无穷小代换就是一种非常有效的方法，因为它能将复杂的极限化繁为简，化难为易，从而达到快捷，准确的目的。
但目前大多数的《高等数学》教材对这种方法都没有详细的阐述，甚至教师在教学中也只是强调只有乘积因子才能进行等价无穷小代换，但是学生在实际计算过程中，却又感到似乎还有一些其它情形也可以使用等价无穷小代换，从而他们经常感到非常困惑，以至于只能模仿例题“机械地套用”，使用时经常忽略代换的条件，从而导致错误的结果。
上课时讲了一道求极限的例题：当时, ，将其代入上式得：，所以。
这时有学生马上就提出了另一种解法：因为当时，，将其代入得.同一个函数的极限，怎么出现两个不同的结果呢？根据极限存在原理：一个函数的极限如果存在，那么其极限值一定是唯一的，所以这其中一定有一个结果是错误的。
哪种方法是错误的呢？我们用洛必达法则去验证，得知学生的方法是错误的，那么问题又出在哪呢？这是因为学生在计算极限时只注意利用等价无穷小代换这一性质, 而没有考虑到利用等价无穷小代换是有一定条件的，从而导致错误的结果。
因此本文将对等价无穷小代换求极限这一方法作进一步的分析和补充, 并指出求极限时对非乘积因子在某种条件下也可使用其等价无穷小代换。
2. 等价无穷小代换的条件设为同一变化过程中的非零无穷小，且定理1：如果存在，则=。
现在我们就可以回答为什么，这是因为当时，与并不是等价无穷小，所以导致错误结果。
下面给出求极限时可以使用等价无穷小代换的几种特殊情形，并加以证明。
定理2: 如果存在，则=。
证明：因为，所以，故=..=注：该此定理说明求极限时，分子或分母的因子可以用其等价无穷小代换。
无穷小量替换
若 c≠0, 则 lim
ΑΑ′-
ΒΒ′=
lim
Α ΒΑ′Β-
Β′1 Β=
cc-
11= 1。
若 c= 0, 则 lim
ΑΑ′-
ΒΒ′=
lim
Α ΒΑ′Β-
Β′1 Β=
00-
11= 1。
若 lim
ΒΑ=
0, 则 lim
ΑΑ′-
ΒΒ′=
lim
1Α′Α-
ΒΒ′ΑΑ=
11-
00= 1。
(2) 以例 2 为例, 当 x →0 时, tanx 与 x 等价, sinx 与 x 等价, 但 tanx - sinx 与 x - x 并不等
解 利用定理 2, 于是
Ξ 收稿日期: 2001—06—12。 © 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
第 5 卷第 3 期 李秀敏、王灵色: 等价无穷小在求极限过程中的应用 37
x →∞
1 2x
2
)
2x
2
]
1 2
=
e-
1
2.
例
5 求lim x →0
co sx - ex4
x2 2
解 co sx～ 1-
x2 2
+
xx2
2.
+
1 4
· x4 2.
,
所以
co sx -
～ e-
x2 2
(
1 4.
-
4
1 2.
)x4
原式=
lim
x →0
(
1 4.
原式=
lim
求极限方法的总结与归纳
6．用罗必塔法则求极限
ln cos 2 x ln(1 sin 2 x) 例 9：求极限 lim x 0 x2
【说明】
0 或 型的极限,可通过罗必塔法则来求。 0
2 sin 2 x sin 2 x ln cos 2 x ln(1 sin 2 x) 1 sin 2 x lim cos 2 x 【解】 lim 2 x 0 x 0 2x x
求极限方法的总结与归纳
1．约去零因子求极限 例 1：求极限 lim
x 1
x4 1 x 1
【说明】 x 1 表明 x与1 无限接近，但 x 1 ，所以 x 1 这一零因子可以约去。 【解】 lim
( x 1)( x 1)( x 2 1) lim ( x 1)( x 2 1) 6 =4 x 1 x 1 x 1
x
0
例 4：求极限 lim
x 0
1 tan x 1 sin x x3
【解】 lim
x 0
1 tan x 1 sin x tan x sin x lim 3 3 x 0 x x 1 tan x 1 sin x
lim
x 0
1 tan x sin x 1 tan x sin x 1 lim lim 3 2 x0 4 x x3 1 tan x 1 sin x x0
n
)
x xn2 （Ⅱ）计算 lim n 1 . n xn
【分析】 一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在. 【详解】 （Ⅰ）因为 0 x1 ，则 0 x2 sin x1 1 . 可推得
1
0 xn 1 sin xn 1 , n 1, 2,
用等价无穷小替换求极限使用条件的探讨
用等价无穷小替换求极限使用条件的探讨作者：冉金花
来源：《科技资讯》2019年第27期
摘; 要：等价无穷小替换是求极限中常用的方法之一，正确的使用可以大量地减少计算量。
该文探讨了函数乘积、商的极限和商的极限中分子、分母为和差项时等价无穷小替换的使用条件，特别给出了3项无穷小的和项的等价替换条件并给出了证明，还给出了相应的实例。
关键词：等价无穷小; 替换; 极限; 和差项
中图分类号：G64 ; ;文獻标识码：A 文章编号：1672-3791（2019）09（c）-0222-02
等价无穷小替换是求极限中常用的方法之一，正确地使用等价无穷小替换求极限可以大量地减少计算量，但在使用时往往也会出现一些常见的误区，该文主要从函数乘积、商的极限和分式极限中分子、分母为和差项时对等价无穷小的替换条件进行探讨。
3; 结语
综上，可以知道使用等价无穷小替换求极限时需要遵循以下规则。
（1）乘除项等价替换时，是分子或分母的整体代换，或因式替换，即替换后不可出现和差的情形。
（2）和差项等价替换时需替换的几个无穷小的等价无穷小应该是同阶或等价的，且最终的和差项不能被抵消为0。
总之，等价无穷小替换求极限虽然方便，但在替换之前需验证是否满足定理及推论里的条件，否则将会产生错误。
参考文献
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[2] 魏国祥，张隆辉，成明山.关于等价无穷小替换求极限方法的推广[J]. 四川教育学院学报，2008，24（5）：111-112.
[3] 吴维峰.对等价无穷小代换与洛必达法则求极限的探讨[J].潍坊教育学院学报，2008，21（2）：22-23.。
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常用等价无穷小量: 常用等价无穷小量: 当x → 0时, 时
sin x ~ x , tan x ~ x , ln(1 + x ) ~ x ,
arcsin x ~ x , arctan x ~ x , e − 1 ~ x,
x
1 2 1 − cos x ~ x . 2
用等价无穷小量可给出函数的近似表达式: 用等价无穷小量可给出函数的近似表达式 β α−β Q lim = 1, ∴ lim α = 0, 即 α − β = o(α ), α α
于是有 α = β + o(α ). α
例如, 例如 sin x = x +o( x ),
1 2 cos x = 1 − x + o( x 2 ). 2
tan x ln(1 + x ) 例1 求 lim x→0 sin x 2
解
当x → 0时, sin x 2 ~ x 2 , tan x ~ x , ln(1 + x ) ~ x .
tan x ln(1 + x ) x⋅ x = lim 2 = 1. 2 所以 lim x→0 x→0 x sin x
tan 2 x 例2 求 lim . x →0 1 − cos x
1 2 解 当x → 0时, 1 − cos x ~ x , tan 2 x ~ 2 x . 2
2
(2 x )2 原式 = lim =8 x →0 1 2 x 2
§2.7 利用等价无穷小量代换求极限
定理(等价无穷小量替换定理) 定理(等价无穷小量替换定理)
β′ β β′ , 设α ~ α′, β ~ β ′且lim 存在 则lim = lim . α′ α α′
证
β β β′ α′ lim = lim( ⋅ ⋅ ) α β′ α′ α β β′ α′ = lim ⋅ lim ⋅ lim α β′ α′ β′ = lim . α′
不能滥用等价无穷小量代换. 注意 不能滥用等价无穷小量代换 对于代数和中各无穷小量不能分别替换. 对于代数和中各无穷小量不能分别替换.
tan x − sin x 例3 求 lim . 3 x →0 sin 2 x
错 解 当x → 0时, tan x ~ x , sin x ~ x .
x− x 原式 = lim 3 = 0. x →0 (2 x )
解
当x → 0时, sin 2 x ~ 2 x , 时
1 3 tan x − sin x = tan x (1 − cos x ) ~ x , 2 1 3 x 2 = 1. 原式 = lim x→0 → ( 2 x )3 16
小结
等价无穷小量的替换: 等价无穷小量的替换
求极限的一种方法, 注意适用条件. 求极限的一种方法 注意适用条件