[学习资料]高考高中复习数学第三章函数的应用3.1.2用二分法求方程的近似解课堂导学案
高一数学必修一第三章第二节用二分法求方程的近似解公开课一等奖优秀课件
反思与感悟
用二分法求函数零点的近似值关键有两点：一是初始区间的选取， 符合条件(包括零点)，又要使其长度尽量小；二是进行精确度的判断， 以决定是停止计算还是继续计算.
3 • 题型探究
跟踪训练1 用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1,1.5]内的一个零 点.(精确度0.01)
0.261 0 0.103 3 0.027 3 －0.010 0
由于1.265 625－1.257 812 5＝0.007 812 5<0.01， 所以 1.265 625 是函数的零点的近似值，即3 2的近似值是 1.265 625.
反思与感悟
“二分法”与判定函数零点的定义密切相关，只有满足函数图象在零点 附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点.
2＋4 f(2)·f(4)<0，取区间(2,4)的中点 x1＝ 2 ＝3，计算得 f(2)·f(x1)<0，则此
时零点 x0 所在的区间是( B )
A.(2,4) C.(3,4)
B.(2,3) D.无法确定
规律与方法
1.二分就是平均分成两部分.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间 的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度， 用此区间的某个数值近似地表示真正的零点.
二分法的概念： 对于在区间[a，b]上连续不断且 f(a)·f(b)<0 的函数y＝f(x)，通过不断 地把函数f(x)的零点所在的区间 一分为二 ， 使 区 间 的 两 个 端 点 逐步逼近零，点进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求 方程的近似解 .
2 • 问题导学
3-1-2 用二分法求方程的近似解
[答案]
B
第三章
3.1
3.1.2
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[解析] (1.25,1.5)内．
由 于 f(1.5)· f(1.25)<0 ， 故 方 程 的 根 落 在 区 间
第三章
3.1
3.1.2
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4．根据表中的数据，可以判定方程 ex－x－2＝0 的一个 根所在的区间为( x ex x＋2 A.(－1,0) C．(1,2)
(4)判断是否达到精确度 ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似 值 a 或 b，否则重复(2)～(4)
第三章
3.1
3.1.2
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思路方法技巧
第三章
3.1
3.1.2
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命题方向 1 二分法的概念
[例 1]
下列函数图象与 x 轴均有交点， 其中不能用二分 )
[答案]
D
第三章
3.1
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2．下列函数中，不能用二分法求零点的是(
)
第三章
3.1
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[答案]
B
第三章
3.1
3.1.2
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3．设 f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程 3x＋3x－8＝0 在 (1,2)内近似解的过程中得 f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程 的根落在区间( A．(1,1.25) C．(1.5,2) ) B．(1.25,1.5) D．不能确定
高一数学 3.1.2 用二分法求方程的近似解 3课件 新人教A版必修1
第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 第9次 第10次 第11次
左端点
0 0 0.5 0.5 0.625 0.6875 0.71875 0.734 375 0.742 1875 0.742 1875 0.742 1875
右端点
2 1 1 0.75 0.75 0.75 0.75 0.75 0.75 0.746 093 75 0.744 140 675
值α满足|a-α|<ε或|b-α|<ε，所以只需取零点近似解x0=a或(b).
（2）若在区间［an,bn］上，|an-bn|<2ε，取零点近似解x0=
，
则|x0-a|< |an-bn|<ε.
返回
［1.437 5,1.463 125］
x7 1.4453125
f(x7)>0
［1.437 5,1.445 312 5］
返回
∵1.445 312 5-1.437
1.4375 1.4453125
5=02.007 812 5<0.01,
∴
【 确评定≈近1似.析要44解使】为.函区此数间类的长问一度题个 小的，求否解则，会首增先加是运大算致次区数间和的
元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，
猜中了.表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际
上，游戏报价过程体现了“逼近”的数学思想，你能设
计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？
价格区间［500,1 000］的中点750,如果主持人说低了，就
再取［750,1 000］的中点875；否则取另一个区间
返回
学点一 用二分法求零点的近似值 求函数f(x)=x3-3的一个正零点（精确到0.01）.
312用二分法求方程的近似解教案及教案说明(第四届全国高中数学青年教师观摩与评比活动--山东杨明)
课题：§3.1.2用二分法求方程的近似解临沂市郯城县美澳学校杨明一、教材背景分析本节内容位于数学必修1第三章第一节“函数与方程”，共分三个课时。
第一课时学习了“方程的根与函数零点的关系”，第二课时学习了“函数零点的存在性”，学生通过前面两节的学习，对方程的根的存在性以及函数零点和方程的根的关系有了一定的认识。
掌握了基本初等函数的图像和性质并具有了一定的数形结合的思想，这为理解函数零点附近的函数值符号提供了直观认识，在此基础上介绍用二分法求函数零点近似值，也就水到渠成。
本节是第三课时，二分法是求方程近似解的常用方法，它体现了函数的思想以及函数与方程的联系。
为高中数学中函数与方程思想、数形结合思想、二分法的算法思想打下了基础，为数学3中算法内容的学习做了铺垫。
二分法体现了数学的逼近思想，对学生以后学习圆周的计算，球的面积体积公式的由来等微积分的知识起了奠基的作用。
因此决定了它的重要地位。
二、教学目标：知识与技能――体会二分法的思想，掌握二分法求方程近似解的一般步骤;会用二分法求方程的近似解，并能用计算机辅助求解;会用二分法思想解决其他的实际问题。
过程与方法――通过对二分法原理的探索，引导学生用联系的观点理解函数与方程，形成用函数的观点处理问题的意识;2.通过求具体方程近似解介绍二分法并总结其步骤，体现了从具体到一般的认知过程;利用逼近求解，渗透从有限到无限的数学思想。
情感与态度――通过创设情境调动学生参与课堂的热情，激发学生学习数学的情感;在二分法步骤的探索、发现过程中，获得成功的体验，锻炼了克服困难的意志，建立学习数学的自信心。
三、教学重难点：重点――通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．难点――恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．四、教学方法：问题导学、数学探究：通过问题引导学生自主探究二分法的原理与步骤，以师生互动为主的教学方法。
2013-2014学年高中数学(新课导入+课堂探究+课堂训练)3.1.2 用二分法求方程的近似解课件 新人教A版必修1
取区间(0,1)的中点 x1 0.5, 得f (0.5) 0.55
因为f (0.5) f (1) 0, 所以x 0 (0.5,1).
再取区间(0.5,1)的中点 x 2 0.75, 得f (0.75) 0.32
因为f (0.5) f (0.75) 0, 所以x 0 (0.5,0.75).
4.判断是否达到精确度 ：
即若 a b ，则得到零点近似值a(或b）； 否则重复步骤2～4．
【提升总结】
用二分法求方程 f(x)=0（或g(x)=h(x)）近似解
寻找解所在区间的方法： （1）图象法:先画出y = f(x)的图象，观察图象与x轴 的交点横坐标所处的范围；或画出y=g(x)和y=h(x)的 图象,观察两图象的交点横坐标所处的范围.
f(2.5)<0，f(3)>0
中点值 中点函数值符号 2.5
2.75
f(2.5)<0
f(2.75)>0
（2.5，2.75）
（2.5，2.625）
f(2.5)<0，f(2.75)>0
2.625
f(2.625)>0
f(2.562 5)<0
f(2.5)<0，f(2.625)>0 2.562 5
f(2.562 5)<0， （2.562 5，2.625） f(2.625)>0
取区间（1，1.5）的中点x2=1.25 ,
f(1.25)≈-0.87，因为f(1.25)·f(1.5)<0，
所以x0∈（1.25，1.5）同理可得，
x0∈（1.375，1.5），x0∈（1.375，1.437 5），
由于|1.375-1.437 5|=0.062 5<0.1
《红对勾》2015-2016学年人教版高中数学必修一课件第3章3.1.2用二分法求方程的近似解
6．你知道为什么当|a－b|<ε时，可将a或b的值看成方 程的近似解吗？
提示：当|a－b|<ε时，由于方程根的真实值x0∈[a， b]，所以|a－x0|<|a－b|<ε，所以a与方程根的真实值x0的误差 不超过精确度ε，故可用a来作为方程的近似解．用b的原因 同样．
1．二分法的实质 二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，逐步逼 近零点的方法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求 的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．
【答案】 C
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通法提炼 1.本题给出了各个函数的图象，可根据图象与x轴有交 点，且交点左右的函数值异号才能用二分法求零点． 2．判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其 图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因 此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号 零点适用，对函数的不变号零点不适用．
答案：B
(2)借助计算器，用二分法求出 ln(2x＋6)＋2＝3x 在区间 (1,2)内的近似解(精确度 0.2)．
解：原方程即 ln(2x＋6)－3x＋2＝0.
令 f(x)＝ln(2x＋6)－3x＋2，
用计算器做出如下对应值表
x －2
－1
0
1
2
f(x) 2.582 0 3.053 0 2.791 8 1.079 4 －4.697 4
【解】 因为f(1)＝－1<0, f(1.5)＝0.875>0，且函数y＝ x3－x－1的图象是连续的曲线，所以它在区间(1,1.5)内有零 点，用二分法逐次计算，列表如下：
区间
中点值 中点函数近似值
(1,1.5)
1.25
－0.3
3.1.2用二分法求方程的近似解
高中数学新课标教学设计必修一 3.1.2用二分法求方程的近似解一、设计思路（一）指导思想学生学习了方程的根、函数的零点的概念、函数图象与x轴交点、一元二次方程的根的求法、及函数零点的判定方法。
但是对于高次多项式方程，在十六世纪已找到了三次和四次方程的求根公式，但对于高于4次的方程，类似的努力却一直没有成功. 到了十九世纪，根据阿贝尔（Abel）和伽罗瓦（Galois）的研究，人们认识到高于4次的代数方程不存在求根公式，即不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解．同时，即使对于3次和4次的代数方程，其公式解的表示也相当复杂，一般来讲并不适宜作具体计算，对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法。
本节我们将为学生介绍求函数近似解的一种方法—二分法。
培养学生运用所学知识解决问题的能力,加强对所学知识的理解。
在教学过程中教师可以鼓励学生采用独立思考与小组活动相结合的办法解决问题，倡导合作学习，并且让学生进行模仿练习，能及时的巩固所学知识与方法。
（二）理论依据创设有趣且适合学生学习的教学情景，激励学生主动学习和探索，在交流和亲自参与中获得知识。
（三）设计特色利用几何画板制作用二分法求函数零点的近似解和小组讨论合作共同解决问题。
二、教材分析与学情分析（一）教材分析《用二分法求方程的近似解》选自《普通高中课程标准数学教科书·数学（1）》（人教A版）第三章第1节第二课时,是函数的应用这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如幸运52中的竞猜商品的价格，故障线路中的检测等等，而且用二分法求方程的近似解过程总结中所渗透的归纳、类比、分类讨论、变换等思想方法和计算机（或计算器）的使用，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。
（2）从知识的体系来看：用二分法求方程的近似解是方程的根和函数零点、函数零点的判定的具体应用。
它是学生真正体会知识的由一般到特殊，抽象到具体的实例。
人教版高中数学必修一第三章函数的应用3.1函数与方程(教师版)【个性化辅导含答案】
函数与方程__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1、 掌握函数的零点和二分法的定义．2、 会用二分法求函数零点的近似值。
一、函数的零点：定义：一般地，如果函数()y f x =在实数a 处的值等于零即()0f a =，则a 叫做这个函数的零点。
对于任意函数，只要它的图像是连续不间断的，其函数的零点具有下列性质：当它通过零点（不是偶次零点）时函数值变号；相邻两个零点之间的所有的所有函数值保持同号。
特别提醒：函数零点个数的确定方法：1、判断二次函数的零点个数一般由判别式的情况完成；2、对于二次函数在某个闭区间上零点的个数以及不能用判别式判断的二次函数的零点，则要结合二次函数的图像进行；3、对于一般函数零点的个数的判断问题不仅要在闭区间[],a b 上是连续不间断的，且f(a)∙f （b ）＜0，还必须结合函数的图像和性质才能确定。
函数有多少个零点就是其对应的方程有多少个实数解。
二、二分法：定义：对于区间[],a b 上连续的，且()()0f a f b -<的函数()y f x =，通过不断地把函数()f x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而等到零点近似值的方法，叫做二分法。
特别提醒：用二分法求函数零点的近似值第一步：确定区间[],a b ，验证：f(a)∙f （b ）＜0，给定精确度；第二步：求区间[],a b 得中点1x ；第三步：计算()1f x ；若()1f x =0，则1x 就是函数零点；若f(a)∙f （x 1）＜0，则令1b x =；若f(x 1)∙f （b ）＜0，则令1a x =第四步：判断是否达到精确度ε，即若a b ε-<，则得到零点近似值a ()b 或，否则重复第二、三、四步。
高中数学第3章函数的应用3.1.2用二分法求方程的近似解aa高一数学
(－1.937 5，－1.906 25)
2021/12/8
第十七页，共三十二页。
x5＝－1.937
5－1.906 2
25＝－1.921
875
f(x5)≈0.117 4>0
(－1.937 5，－1.921 875)
x6＝－1.937
5－1.921 2
875＝－
1.929 687 5
f(x6)≈0.010 5>0 (－1.937 5，－1.929 687 5)
所以可以取区间(1,2)作为计算的初始区间，
用二分法逐步计算，列表如下：
端点(中点)
端点或中点的函数值
取值区间
f(1)＝－6<0，f(2)1/12/8
第二十一页，共三十二页。
x1＝1＋2 2＝1.5
f(1.5)＝－2.625<0
(1.5,2)
x2＝1.52＋2＝1.75
f(1.75)≈0.234 4>0
f(x1)≈2.203>0
(－2，－1.75)
x2＝－1.725－2＝－1.875
f(x2)≈0.736>0
(－2，－1.875)
x3＝－1.8275－2＝－1.937 5 f(x3)≈－0.097 4<0 (－1.937 5，－1.875)
由于|－1.875＋1.937 5|＝0.062 5<0.1，所以函数在区间[－2，－1]内的一个近似
(1.5,1.75)
x3＝1.5＋21.75＝1.625
f(1.625)≈－1.302 7<0
(1.625,1.75)
x4＝1.6252＋1.75＝1.687 5
f(1.6875)≈－0.561 8<0
二分法
§3.1.2 用二分法求方程的近似解一 学习目标：1．理解求方程近似解的二分法的基本思想.2.能够借助科学计算器用二分法求给定方程的满足一定精确度要求的近似解. 学习重难点：1.学习重点：二分法基本思想的理解；借助计算器用二分法求给定方程近似解的步骤和过程的掌握；2.学习难点：精确度概念的理解，求方程近似解的一般步骤的概括和理解. 三 新课导入讨论：对于一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 可以用公式求根，但没有公式可用来求方程062ln =-+x x 的根．联系函数的零点与相应方程根的关系，能否利用函数的有关知识来求它的根呢？四 新课进展一、二分法的定义：我们知道，函数)(x f 的图象与直角坐标系中x 轴交点的横坐标就是方程0)(=x f 的解，利用上节课学过的函数零点存在的条件，我们用逐步逼近的方法，来求方程的近似解．1．在区间（2，3）内，方程 （有/无）解，取区间（2，3）中点 ；2用计算器计算084.0)5.2(-≈f ，因为)3()5.2(f f ⋅ 0所以零点在区间 内； 3．再取区间)3,5.2(中点 ，用计算器计算512.0)75.2(≈f ，因为0)75.2()5.2(<⋅f f ，所以零点在区间内．4．重复上面的过程，在有限次重复相同步骤后，零点所在区间长度在一定精度控制范围内，零点所在区间内的任意一点都可以作为函数零点的近似值，特别地，可以将区间端点作为零点的近似值．本例中，把取中点和判断零点的过程，用表格列出（课本第89页表3-2）．当精确度为0.01时，由于0078125.053125.25390625.2=-01.0<，所以，我们可将53125.2=x 作为函数62ln )(-+=x x x f 零点的近似值，也即方程062ln =-+x x 根的近似值．对于在区间],[b a 上连续不断且0)()(<⋅b f a f 的函数)(x f y =，通过不断地把函数)(x f 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection ）． 二、二分法的计算步骤给定精确度ε，用二分法求函数)(x f 零点近似值的步骤如下： 1．确定区间],[b a ，验证0)()(<⋅b f a f ，给定精确度ε； 2．求区间),(b a 的中点c ； 3．计算)(c f ；4．判断：（1）若0)(=c f ，则c 就是函数的零点；（2）若0)()(<⋅c f a f ，则令c b =（此时零点),(0c a x ∈）；（3）若0)()(<⋅b f c f ，则令c a =（此时零点),(0b c x ∈）． 5．判断：区间长度是否达到精确度ε？即若ε<-b a ，则得到零点近似值；否则重复上述步骤2—5． 五 例题讲解例1 借助计算器或计算机用二分法求方程732=+x x 的近似解.例2 求方程03323=-+x x 的一个近似解（误差不超过0.1）．六课堂练习1.借助计算器或计算机，用二分法求函数4.19.01.1)(23-++=x x x x f 在区间（0,1）内的零点（精确度0.1）2.借助计算器或计算机，用二分法求函数x x lg 3-=在区间（2,3）内的近似解（精确度0.1）七 课堂小结八 布置作业课本第92页习题3.1A 组3、4、5题； 课本第92页习题3.1B 组1、2、3题． 九 备选练习1.当a 为何值时，方程02ln =-+a x x 在（1,2）内有实数解？。
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小初高K12学习教材 小初高K12学习教材 3.1.2 用二分法求方程的近似解 课堂导学 三点剖析 一、用二分法求相应方程的近似解 【例1】 证明方程x3-3x+1=0在区间（1，2）内必有一根，并求出这个根的近似值（精确到0.01）. 证明：令f(x)=x3-3x+1，则f(x)在区间［1，2］上的图象是一条连续不断的曲线. ∵f(1)=1-3+1=-1＜0, f(2)=8-6+1=3＞0, ∴f(1)·f(2)＜0, ∴函数f(x)在区间（1，2）内必有一零点， ∴方程x3-3x+1=0在区间（1，2）内必有一根x0. 取区间(1,2)的中点x1=1.5， 用计算器算得f(1.5)=-0.125. 因为f(1.5)·f(2)＜0, 所以x0∈(1.5,2). 再取(1.5,2)的中点x2=1.75， 用计算器算得f(1.75)=1.109 375. 因为f(1.5)·f(1.75)＜0， 所以x0∈（1.5,1.75）. 又取（1.5,1.75）的中点x3=1.625. 用计算器算得f(1.625)=0.416 015 625. 因为f(1.5)·f(1.625)＜0, 所以x0∈(1.5,1.625). 取（1.5,1.625）的中点x4=1.562 5, 用计算器算得f(1.562 5)=0.127 197 265 625. 因为f(1.5)·f(1.562 5)＜0, 所以x0∈(1.5,1.562 5). 取（1.5,1.562 5）的中点x5=1.531 25时， 用计算器算得 f(1.531 25)=-0.003 387 451 171 875. 因为f(1.531 25)·f(1.562 5)＜0, 所以x0∈(1.531 25,1.562 5). 取（1.531 25,1.562 5）的中点 x6=1.546 875时， 用计算器算得 f(1.546 875)=0.060 771 942 138 671 875. 因为f(1.531 25)·f(1.546 875)＜0, 所以x0∈(1.531 25,1.546 875). 同理，可算得 f(1.531 25)·f(1.539 062 5)＜0， x0∈(1.531 25,1.539 062 5);f(1.531 25)· f(1.535 156 25)＜0,x0∈(1.531 25,1.535 156 25). 又当取（1.531 25,1.535 156 25）的中点x9=1.533 203 125时， 小初高K12学习教材 小初高K12学习教材 f(1.531 25)·f(1.533 203 125)＜0， 即x0∈(1.531 25,1.533 203 125). 由于|1.531 25-1.533 203 125|=0.001 953 125＜0.01, 此时区间（1.531 25,1.533 203 125）的两个端点精确到0.01的近似值都是1.53，所以原方程精确到0.01的近似值为1.53. 二、对二分法再理解 【例2】有一块边长为30 cm的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x cm的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，如果要做成一个容积是1 200 cm3的无盖盒子，那么截去的小正方形的边长x是多少厘米（精确到0.1 cm）？
解析：盒子的体积y和以x为自变量的函数解析式为y=(30-2x)2x. 如果要做成一个容积是1 200 cm3的无盖盒子，那么有方程(30-2x)2x=1 200,其定义域为{x|0＜x＜15＝. 令f(x)=(30-2x)2x-1 200，借助计算机画出函数图象.由图象可以看出，函数f(x)分别在区间（1，2）和（9，10）内各有一个零点，即方程(30-2x)2x=1 200分别在区间（1，2）和（9，10）内各有一个解.下面用二分法求方程的近似解. 取区间（1，2）的中点x1=1.5，用计算器算得f(1.5)=-106.5＜0. 因为f(1.5)·f(2)＜0，所以x0∈(1.5,2). 同理可得x0∈(1.5,1.75)，x0∈(1.625,1.75),x0∈(1.687 5,1.75),x0∈(1.687 5,1.718 75),x0∈(1.687 5,1.703 125),x0∈(1.687 5,1.695 312 5). 由于|1.695 312 5-1.687 5|=0.007 812 5＜0.1， 此时区间（1.687 5,1.695 312 5）的两个端点精确至0.1的近似值都是1.7，所以方程在区间（1，2）内精确到0.1的近似解为1.7.同理可得方程在区间（9，10）内精确到0.1的解为9.4. 故如果要做成一个容积是1 200cm3的无盖盒子，截去的小正方形的边长大约是1.7 cm或9.4 cm. 温馨提示 用二分法求方程的近似解的过程有两点须注意：1.计算量大；2.重复相同的计算步骤.因此，常借助计算器或通过设计一定的计算程序，借助计算机完成计算，在模块三同学们可以学到. 三、“精确度为ε”与“精确到ε”
【例3】 借助计算器，分别按下面两种要求，用二分法求函数f(x)=lnx-x2在区间（2，3）内的零点： （1）精确度为0.1；（2）精确到0.1. 解析：可证得函数在区间（2，3）上为增函数，由题设有f(2)≈-0.31＜0,f(3)≈0.43＞0, 由于f(2)·f(3)＜0，故函数f(x)在区间（2，3）内有一个零点x0，即x0∈(2,3).
下面用二分法求函数f(x)=lnx-x2在区间（2，3）内零点的近似值： 取区间（2，3）的中点x1=2.5，用计算器算得f(2.5)≈0.12＞0，由于f(2)·f(2.5)小初高K12学习教材 小初高K12学习教材 ＜0,所以x0∈(2,2.5); 再取区间（2，2.5）的中点x2=2.25，用计算器算得f(2.25)≈-0.08＜0,由于f(2.25)·f(2.5)＜0，所以x0∈(2.25,2.5). 同理可得x0∈(2.25,2.375)， x0∈(2.312 5,2.375).(*) （1）由于|2.312 5-2.375|=0.062 5＜0.1，所以区间［2.312 5,2.375］上任意一个实数x0′均可作为f(x)在区间（2，3）内且精确度为0.1的零点的近似值（比如，可取x0′=2.35,2.342,2.375等）； （2）接（*），同理可得，x0∈(2.343 75,2.375),x0∈(2.343 75,2.359 375), x0∈(2.343 75,2.351 562 5),x0∈(2.343 75,2.347 656 25). 由于区间(2.343 75,2.347 656 25)的两个端点精确到0.1的近似值都是2.3，所以函数f(x)在区间（2，3）内精确到0.1的零点的近似值为2.3. 各个击破 类题演练1 求方程x3+x2-2x-2=0的一个正实数解（精确到0.1）. 解析：列表： x 0 1 2 3 4 … f(x) -2 -2 6 28 70 … 由表可知，f(1)·f(2)＜0，说明该方程在区间（1，2）内有正实数解. 取区间（1，2）的中点x1=1.5，由计算器可算得f(1.5)=0.625＞0,因为f(1)·f(1.5)＜0，所以x0∈(1,1.5). 再取(1,1.5)的中点x2=1.25,由计算器可算得f(1.25)=-0.984＜0，因为f(1.25)·f(1.5)＜0,所以x0∈(1.25,1.5). 同理可知x0∈(1.375,1.5),x0∈(1.375,1.438),而|1.375-1.438|=0.063＜0.1，此时区间（1.375,1.438）的两个端点精确到0.1的近似值都为1.4，所以方程的一个正实数解为1.4. 变式提升1
用二分法求33的近似值（精确到0.01）. 解析：设y=x3-3，则y=x3-3在（1，2）上是一条连续不断的曲线，∴y=x3-3在（1，2）上必有一零点x0. 取（1，2）的中点x1=1.5, f(1.5)=0.375＞0,∴x0∈(1,1.5). 再取（1，1.5）的中点x2=1.25, f(1.25)=-1.046 875＜0,∴x0∈(1.25,1.5). 再取（1.25,1.5）的中点x3=1.375, f(1.375)=-0.400 390 625＜0, ∴x0∈(1.375,1.5). 这样反复计算下去，直到x0∈(1.441 406 25,1.443 359 375). ∵区间两个端点精确到0.01都是1.44，
∴y=x3-3的一个零点为1.44.即33精确到0.01的近似值为1.44. 温馨提示 1.使用二分法的前提是：y=f(x)在［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线，且f(a)·f(b)小初高K12学习教材 小初高K12学习教材 ＜0. 2.使用二分法求函数零点的步骤：①可以结合函数图象来初步判断根的分布区间；②利用二分法算下去，直到满足题目的精确度要求为止；③根据精确度要求写出方程的近似解. 3.二分法求解零点的缺点：二分法的思想虽然简单，但是一方面若函数y=f(x0)在［a,b］上有几个零点时，只算出其中一个零点；另一方面，即使函数y=f(x)在［a,b］上有零点，也未必有f(a)·f(b)＜0，即用二分法不能求函数的不变号零点，这就限制了二分法的使用范围. 类题演练2 一元二次方程可以用求根公式求根，但在没有求根公式的情况下，如何求方程2x3+3x-3=0的一个实数解？(精确度为0.01) 解析:∵f(0)=-3<0,f(2)=19>0, ∴函数f(x)=2x3+3x-3在［0,2］内存在零点，即方程2x3+3x-3=0在(0,2)内有解. 取(0,2)的中点1，f(1)=2>0. 又f(0)<0,∴2x3+3x-3=0在(0,1)内有解. 如此继续下去，得到方程2x3+3x-3=0的解在区间［0.742 187 5,0.746 093 75］，而|0.746 093 75-0.742 187 5|=0.003 906 25<0.01. ∴方程2x3+3x-3=0精确度为0.01的近似解是0.74. 变式提升2
已知函数f(x)=ax+12xx(a＞1), (1)求证:f(x)在(-1,+∞)上为增函数; （2）求证当a=3时，f(x)=ax+12xx在（0，1）内必有零点； (3)若a=3,求方程f(x)=0的正根.(精确到0.01) 解析：（1）可设g(x)=ax,h(x)=12xx， 由指数函数的性质可知： 当a＞1时，y=ax在（-1，+∞）上单调递增.