2020版高考数学一轮复习课后限时集训42直线的倾斜角与斜率直线方程文含解析北师大版

课后限时集训(四十二)
(建议用时：60分钟) A 组 基础达标
一、选择题
1．(2018·江西抚州检测)点(3，4)在直线l ：ax －y ＋1＝0上，则直线l 的倾斜角为( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．120°
C [∵点(3，4)在直线l ：ax －y ＋1＝0上，∴3a －4＋1＝0， ∴a ＝3，即直线l 的斜率为3，直线l 的倾斜角为60°.] 2．过点(2,1)且倾斜角比直线y ＝－x －1的倾斜角小π
4
的直线方程是( ) A ．x ＝2 B ．y ＝1 C ．x ＝1
D ．y ＝2
A [直线y ＝－x －1的斜率为－1，故其倾斜角为3π4，故所求直线的倾斜角为π
2，直线
方程为x ＝2.]
3．(2019·广东惠州质检)直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率k 的取值范围是( )
A ．－1＜k ＜1
5
B ．－1＜k ＜1
2
C ．k ＞1
5
或k ＜－1
D ．k ＜－1或k ＞1
2
D [设直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)，直线在x 轴上的截距为1－2
k
.令
－3＜1－2k ＜3，解不等式得k ＜－1或k ＞1
2
.]
4．(2019·广东深圳调研)在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：
bx ＋y ＋a ＝0有可能是( )
A B C D
B [当a ＞0，b ＞0时，－a ＜0，－b ＜0，选项B 符合．]
5．(2019·江西九江月考)经过点A (1,2)且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为( )
A ．y ＝2x 或x －y ＋1＝0
B ．y ＝2x 或x ＋y －3＝0
C ．x ＋y －3＝0或x －y ＋1＝0
D ．y ＝2x 或x ＋y －3＝0或x －y ＋1＝0
D [经过点A (1,2)且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有以下几种情况： ①当截距为0时，直线过原点，得y ＝2x ； ②当斜率为－1时，直线方程为x ＋y －3＝0； ③当斜率为1时，直线方程为x －y ＋1＝0.
综上所述，直线方程为y ＝2x 或x ＋y －3＝0或x －y ＋1＝0.故选D.] 二、填空题
6．过点A (1,3)，斜率是直线y ＝－4x 的斜率的1
3的直线方程为________．
4x ＋3y －13＝0 [所求直线斜率为－4
3，又过点A (1,3)
故所求直线方程为y －3＝－4
3
(x －1)，即4x ＋3y －13＝0.]
7．已知三角形的三个顶点A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，则BC 边上中线所在的直线方程为________．
x ＋13y ＋5＝0 [BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫3
2，－12，∴BC 边上中线所在直线方程为y －0－1
2
－0＝
x ＋5
32
＋5，即x ＋13y ＋5＝0.]
8．设直线l ：(a －2)x ＋(a ＋1)y ＋6＝0，则直线l 恒过定点________． (2，－2) [直线l 的方程变形为a (x ＋y )－2x ＋y ＋6＝0，
由⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋y ＝0，－2x ＋y ＋6＝0，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2，
y ＝－2，
所以直线l 恒过定点(2，－2)．] 三、解答题
9．设直线l 的方程为x ＋my －2m ＋6＝0，根据下列条件分别确定m 的值： (1)直线l 的斜率为1；
(2)直线l 在x 轴上的截距为－3.
[解] (1)因为直线l 的斜率存在，所以m ≠0， 于是直线l 的方程可化为y ＝－1m x ＋2m －6
m
.
由题意得－1
m
＝1，解得m ＝－1.
(2)法一：令y ＝0，得x ＝2m －6. 由题意得2m －6＝－3，解得m ＝3
2
.
法二：直线l 的方程可化为x ＝－my ＋2m －6.由题意得2m －6＝－3，解得m ＝3
2.
10．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：
(1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为1
6
.
[解] (1)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4
k
－3,3k
＋4，
由已知，得⎪
⎪
⎪⎪
⎪⎪k ＋
⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k －3＝6， 解得k 1＝－23或k 2＝－8
3
.
故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0. (2)设直线l 在y 轴上的截距为b ， 则直线l 的方程是y ＝1
6x ＋b ，
它在x 轴上的截距是－6b ，
由已知，得|(－6b )·b |＝6，∴b ＝±1. ∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.
B 组 能力提升
1．直线2x cos α－y －3＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3
B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3 C ．⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π4，π2 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4
，2π3
B [由题意知，直线的斜率k ＝2cos α，又
π6≤α≤π3，所以12≤cos α≤3
2
，即1≤k ≤3，设直线的倾斜角为θ，则1≤tan θ≤3，故θ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π4，π3.]
2．(2019·福建福州模拟)若直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，则该直线在x 轴、
y 轴上的截距之和的最小值为( )
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
C [∵直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)， ∴a ＋b ＝ab ，即1a ＋1
b
＝1，
∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a ＋1b
＝2＋b a ＋a
b ≥2＋2
b a ·a
b
＝4， 当且仅当a ＝b ＝2时上式等号成立．
∴直线在x 轴、y 轴上的截距之和的最小值为4.]
3．在平面直角坐标系xOy 中，设A 是半圆O ：x 2
＋y 2
＝2(x ≥0)上一点，直线OA 的倾斜角为45°，过点A 作x 轴的垂线，垂足为H ，过H 作OA 的平行线交半圆于点B ，则直线AB 的方程是________．
3x ＋y －3－1＝0 [直线OA 的方程为y ＝x ，代入半圆方程得A (1,1)， ∴H (1,0)，直线HB 的方程为y ＝x －1， 代入半圆方程得B ⎝
⎛⎭
⎪⎫
1＋32，－1＋32.
所以直线AB 的方程为y －1－1＋32－1＝x －1
1＋3
2
－1，即3x ＋y －3－1＝0.]
4．如图所示，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1,0)做直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝1
2
x 上时，求直线AB 的方程．
[解] 由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，
k OB ＝tan (180°－30°)＝－
33， 所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33
x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )，
所以AB 的中点C ⎝
⎛⎭⎪⎫
m －3n 2
，m ＋n 2，
由点C 在直线y ＝1
2
x 上，且A ，P ，B 三点共线得
⎩⎪⎨⎪⎧
m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，
解得m ＝3，所以A (3，3)． 又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝
33－1
＝
3＋3
2
， 所以l AB ：y ＝3＋3
2
(x －1)，
即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.。