高二数学下学期期末考试试题理 (10)

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2021-2022学年高二下学期期末考试数学试题含答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．78915⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯可表示为（） A ．915AB ．815AC ．915CD ．815C2．从1~7这七个数字中选3个数字，组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为（） A ．210B ．120C ．90D ．453．()91x -的展开式的第6项的系数为（） A ．69CB ．69C -C ．59CD ．59C -4．日常生活中的饮用水是经过净化的，随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1t 水净化到纯净度为x %时所需费用（单位：元）为()()528480100100c x x x=<<-，则净化到纯净度为98%左右时净化费用的变化率，大约是净化到纯净度为90%左右时净化费用变化率的（） A ．30倍B ．25倍C ．20倍D ．15倍5．根据分类变量X 与Y 的成对样本数据，计算得到26.147χ=．根据小概率值0.01α=的独立性检验（0.016.635x =），结论为（）A ．变量X 与Y 不独立B ．变量X 与Y 不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01 C ．变量X 与Y 独立 D ．变量X 与Y 独立，这个结论犯错误的概率不超过0.016．已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为X ，则()E X =（）A ．2B ．1C ．43D ．237．某人在11次射击中击中目标的次数为X ，若()~11,0.8X B ，若()P X k =最大，则k＝（） A ．7 B ．8C ．9D ．108．已知函数()()1e x f x x =+，过点M （1，t ）可作3条与曲线()y f x =相切的直线，则实数t 的取值范围是（） A ．24,0e ⎛⎫-⎪⎝⎭B ．242,e e ⎛⎫-⎪⎝⎭ C ．36,2e e ⎛⎫-⎪⎝⎭D ．36,0e ⎛⎫-⎪⎝⎭二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．对经验回归方程，下列正确的有（） A ．决定系数2R 越小，模型的拟合效果越好 B ．经验回归方程只适用于所研究的样本的总体C ．不能期望经验回归方程得到的预报值就是响应变量的精确值D ．残差平方和越小，模型的拟合效果越好10．甲、乙两地举行数学联考，统计发现：甲地学生的成绩()()2111~,0X N μσσ>，乙地学生的成绩()()2222~,0Y N μσσ>．下图分别是其正态分布的密度曲线，则（）A ．甲地数学的平均成绩比乙地的低B ．甲地数学成绩的离散程度比乙地的小C ．()()90948290PX P X ≤<>≤< D ．若28σ=，则()921240.84P Y ≤<≈（附：若随机变量()()2~,0X N μσσ>，则()0.6827P X μσμσ-<≤+≈，()220.9545P X μσμσ-<≤+≈，()330.9973P X μσμσ-<≤+≈）11．下列命题正确的有（）A ．现有1、3、7、13四个数，从中任取两个相加得到m 个不相等的和；从中任取两个相减得到n 个不相等的差，则m ＋n ＝18B ．在()()()567111x x x +++++的展开式中，含3x 的项的系数为65 C ．若(5122a b =-（a ，b 为有理数），则b ＝－29D ．02420202022202020222022202220222022C C C C C 2+++⋅⋅⋅++= 12．已知函数()()()ln 2f x x x ax a a =-+∈R 有两个极值点1x ，()212x x x <，则（）A ．104a <<B ．122x x +>C ．()112f x >D ．()20f x >三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知函数()3f x x =，则曲线()y f x =在点（1，1）处的切线的方程为______．14．将4名博士分配到3个不同的实验室，每名博士只分配到一个实验室，每个实验室至少分配一名博士，则不同的分配方案有______种．15．某小微企业制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是21.6r π分，其中r （单位：cm ）是瓶子的半径，已知每出售1mL 的饮料，可获利0.4分，且能制作的瓶子的最大半径为6cm ，当每瓶饮料的利润最大时，瓶子的半径为______cm ． 16．已知离散型随机变量X 的取值为有限个，()72E X =，()3512D X =，则()2E X =______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）两批同种规格的产品，第一批占40%，次品率为5%；第二批占60%，次品率为4%．将两批产品混合，从混合产品中任取一件．（Ⅰ）求这件产品是次品的概率；（Ⅱ）已知取到的是次品，求它取自第一批产品的概率． 18．（本小题满分12分）若()*,0,na x a a n x ⎛⎫-∈≠∈ ⎪⎝⎭R N 的展开式中只有第4项的二项式系数最大，且展开式中的常数项为－20．（Ⅰ）求n ，a 的值；（Ⅱ）若()()()()220212022202220212020012202120221111a x a x x a x x a x x a x a +-+-+⋅⋅⋅+-+-=，求1232022a a a a +++⋅⋅⋅+．19．（本小题满分12分）某校组织数学知识竞赛活动，比赛共4道必答题，答对一题得4分，答错一题扣2分．学生甲参加了这次活动，假设每道题甲能答对的概率都是34，且各题答对与否互不影响．设甲答对的题数为Y ，甲做完4道题后的总得分为X ．（Ⅰ）试建立X 关于Y 的函数关系式，并求()0P X <；（Ⅱ）求X 的分布列及()E X ．20．（本小题满分12分）已知函数()e ln x m f x x +=-．（Ⅰ）若()f x 在[)1,+∞上单调递增，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）求证：2m ≥-时，()0f x >．21．（本小题满分12分）某公司对其产品研发的年投资额x （单位：百万元）与其年销售量y （单位：千件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表：（Ⅰ）求变量x 和y 的样本相关系数r （精确到0.01），并推断变量x 和y 的线性相关程度（参考：若0.75r ≥，则线性相关程度很强；若0.300.75r ≤<，则线性相关程度一般；如果0.25r ≤，则线性相关程度较弱）；（Ⅱ）求年销售量y 关于年投资额x 的线性回归方程；（Ⅲ）当公司对其产品研发的年投资额为600万元时，估计产品的年销售量．参考公式：对于变量x 和变量y ，设经过随机抽样获得的成对样本数据为()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中1x ，2x ，…，n x 和1y ，2y ，…，n y 的均值分别为x 和y ．称()()niix x y y r --=∑x 和y 的样本相关系数．线性回归方程ˆˆˆybxa =+中，()()()121ˆniii n i i x x yy b x x ==--=-∑∑，ˆˆay bx=-． 7.14≈．22．（本小题满分12分）已知函数()()()sin ln 1f x a x x a =-+∈R 在区间（－1，0）内存在极值点．（Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）判断关于x 的方程()0f x =在()1,π-内实数解的个数，并说明理由．参考答案一、单项选择题（每小题5分，共40分）1．A 2．C 3．D 4．B 5．C 6．A 7．C 8．D 二、多项选择题（每小题5分，共20分） 9．BCD10．AD11．BC12．BD三、填空题（每小题5分，共20分）13．y ＝3x －2 14．36 15．6 16．916四、解答题（共70分） 17．（本小题满分10分）解：设事件B 为“取到的产品是次品”，()1,2A i =为“取到的产品来自第i 批”．（Ⅰ）由全概率公式，所求概率为()()()()()1122||P B P A P B A P A P B A =+40%5%60%4%0.044=⨯+⨯=．（Ⅱ）所求概率为()()()()()()1111||P BA P A P B A P A B P B P B ==40%5%50.04411⨯==．18．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：由题意，n ＝6．展开式的通项()662166C C kk kkkk k a T x a x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，k ＝0，1，…，6．令6－2k ＝0，得k ＝3．由题意，得()336C 20a -=-，即32020a -=-．解得a ＝1．（Ⅱ）解法1：()202211x x ⎡⎤=+-⎣⎦()()()()2202120220202212021220202021202220222022202220222022C C 1C 1C 1C 1x x x x x x x x =+-+-+⋅⋅⋅+-+-又()()()2202220222021202001220221111a x a x x a x x a x +-+-+⋅⋅⋅+-=，所以202201220212022202220222022202220222022C C C C C 2ii a==+++++=∑．解法2：由（Ⅰ），知()()()2202220222021202001220221111a x a x x a x x a x +-+-+⋅⋅⋅+-=．令12x =，得2022202120202202201220221111111111222222a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+-= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即20222022202220220122022111112222a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．上式两边同乘以20222，得202220222i i a ==∑．由()()()2202220222021202001220221111a x a x x a x x a x +-+-+⋅⋅⋅+-=，令1x =，得01a =．所以2022202220220121i ii i a a a===-=-∑∑．19．（本小题满分12分）（Ⅰ）由题意，X ＝4Y －2（4－Y ）＝6Y －8．由X ＝6Y －8<0，得43Y <．所以Y ＝0，1．所以()()()431413113001C 444256P X P Y P Y ⎛⎫⎛⎫<==+==+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（Ⅱ）由题意，知3~4,4Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭． X 与Y 的对应值表为：于是，()()4318014256P X P Y ⎛⎫=-===-= ⎪⎝⎭；()()31433321C 14464P X P Y ⎛⎫=-===⨯-⨯=⎪⎝⎭； ()()2224332742C 144128P X P Y ⎛⎫⎛⎫====⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()()3343327103C 14464P X P Y ⎛⎫⎛⎫====⨯-⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()()43811644256P X P Y ⎛⎫===== ⎪⎝⎭．法1：()()()132727818241016102566412864256E X =-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯=．法2：()()()36868648104E X E Y E Y ⎛⎫=-=-=⨯⨯-= ⎪⎝⎭．20．（本小题满分12分）（Ⅰ）因为()f x 在[)1,+∞单调递增，所以()1e 0x m f x x +'=-≥在[)1,+∞恒成立，即1ln x m x+≥．所以1ln ln m x x x x≥-=--．令()ln gx x x =--，显然()g x 在[)1,+∞上单调递减，所以()g x 在[)1,+∞上的最大值为()()max 11g x g ==-．因此，1m ≥-．（Ⅱ）当2m ≥-时，()2e ln e ln x m x f x x x +-=-≥-．只需证明2e ln 0x x -->．证法1：令()2e ln x gx x -=-，则函数()g x 的定义域为()0,+∞．()21e x g x x -'=-．因为2e x y -=是增函数，1y x=-在()0,+∞上单调递增，所以()21e x g x x -'=-在()0,+∞上单调递增．又因为()101e e 0g -'=-<，()e 211e e 10e eg -'=->->，由零点存在性定理，存在唯一的()01,e x ∈，使得()02001e 0x g x x-'=-=．当()00,x x ∈时，()()00g x g x ''<=，()g x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()()00g x g x ''>=，()g x 单调递增．所以，()()0200min e ln x gx g x x -==-．由()02001e 0x g x x -'=-=，得0201e x x -=，002ln x x -=-．于是()()00min01220g x g x x x ==+->=．所以，()2e ln 0x gx x -=->．证法2：要证2e ln 0x x -->，即证2e ln x x x x -->-．设()21e x h x x -=-，则()21e1x h x -='-．()210e 12x h x x ->⇔>⇔>'；()102h x x '<⇔<，所以()1h x 在（0，2）上单调递减，在()2,+∞上单调递增．所以()()11min 21h x h ==-．设()2ln h x x x =-，则()2111x h x xx-'=-=．()2001h x x '>⇔<<；()201h x x '<⇔>，所以()2h x 在（0，1）上单调递增，在()1,+∞上单调递减．所以()()22max 11h x h ==-．可见，()()12h x h x >．所以原结论成立．证法3：要证明2e ln 0x x -->，而()2e121x x x -≥+-=-，当且仅当2x =时取等号；1ln x x -≥，当且仅当1x =时取等号．所以2e ln x x ->，即2e ln 0x x -->．注：证明2e 1x x -≥-，1ln x x -≥各得3分，给出取等的条件各得1分． 21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意，3x =，6y =，52155ii x==∑，51123i i i x y ==∑，521307.5i i y ==∑．()()nniii i x x y y x y nxyr ---==∑∑=0.92=≈．因为0.75r ≥，所以变量x 和y 的线性相关程度很强．（Ⅱ）()()()1122211ˆnniii ii i nniii i x x yy x ynxybx x xnx ====---==--∑∑∑∑21235363.35553-⨯⨯==-⨯． ˆ6 3.33 3.9a=-⨯=-．所以年销售量y 关于年投资额x 的线性回归方程为ˆ 3.3 3.9y x =-．（Ⅲ）当x ＝6时，由（Ⅱ），ˆ 3.36 3.915.9y =⨯-=．所以研发的年投资额为600万元时，产品的年销售量约为15.9千件． 22．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：()()1cos 101f x a x x x'=--<<+． ①当1a ≤时，因为0cos 1x <<，所以()11011x f x x x'<-=<++．所以()f x 在（－1，0）上单调递减，所以()f x 在（－1，0）上无极值点．故1a ≤不符合题意．②当a >1时，因为cos y a x =在（－1，0）上单调递增，11y x=-+在（－1，0）上单调递增，所以()f x '在（－1，0）上单调递增．又()111,0a -∈-，111cos 10f a a a a ⎛⎫⎛⎫'-=--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()010f a '=->，所以存在唯一的111,0x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得()10f x '=．当()11,x x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()1,0x x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增．所以()f x 在（－1，0）内存在极小值点1x ．满足题意．综上，a 的取值范围是()1,+∞．（Ⅱ）当02x π<<时，()()2sin 11x f x a x ''=-++单调递减．又()010f ''=>，()24022f a ππ⎛⎫''=--< ⎪⎝⎭+，所以存在唯一的00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x ''=．当00x x <<时，()0f x ''>，()f x '单调递增；当02x x π<<时，()0f x ''<，()f x '单调递减，又()()0010f x f a ''>=->，2022f ππ⎛⎫'=-< ⎪+⎝⎭，所以存在唯一的0,2x πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0f α'=．当()0,x α∈时，()0f x '>；当,2x πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．又当2x ππ≤<时，()0f x '<恒成立，。

上海市建平中学2022-2023学年高二下学期期末数学试题

所以甲、乙两人在五分钟内均独立复原魔方的概率为： 0.7 ´ 0.5 = 0.35 ，故答案为：0.35.
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5． 1 /0.5 2
【详解】设第一次取到新球为事件 A ，第二次取到新球为事件 B ，
则 P(B
A)
=
P( AB) P( A)
=
3 5
´
3
2 4
=
1 2
.
5
故答案为：
59
+
61
+
65 5
+
67
+
78
=
66
，
则甲组工人产量的平均值为
56
+
65
+
62 + 5
74
+
70
+
x
=
66
，解得：
x
=
3
，
\x+ y =3+5=8.
故答案为：8 . 8．29
【分析】由数学期望和方差的公式求出 E [ X ] ， D[ X ] ，再由方差的的性质即可求出 D[Y ] .
X
æ1 2 3ö
AB
= 0.1% ，解得 P
AB
=
1 1800
．
故答案为： 1 . 1800
12．
0
<
m
<
1 3
【分
x
x2 - e ln
x
+
3mx
=
0
化为
4e
ln x x
-
1-
1
e
ln x x
+

2017-2018年福建省师大附中高二(下)期末数学试卷含答案解析02

方法有 (
)
A. 360 种 B. 432 种 C. 456 种 D. 480 种
14．已知函数 f x {
x ex
1 x
0
，若函数 y f f x a 1有三个零点，则实数 a 的取值范围是
x2 2x 1(x 0)
（）
A.
1，12，3
3
1 e
PB A （）
A． 1
B． 4
C. 5
3
9
9
5. 设 0<p<1，随机变量 ξ 的分布列是
D． 2 3
ξ
0
1
2
P
则当 p 在（0，1）内增大时，( )．
A. D（ξ）减小 B. D（ξ）增大 C. D（ξ）先减小后增大 D. D（ξ）先增大后减小
6. 若 (1 2x)2018 a0 a1x
a x2018 2018
19. (本小题满分10分)
已知复数
z1
a
1
2
(a2
1)i
，
z2
2
(a
1)i(a
R,i
是虚数单位）.
（Ⅰ）若复数 z1 z2 在复平面内对应的点在第四象限，求实数 a 的取值范围；
（Ⅱ）若虚数 z1 是实系数一元二次方程 4x2 4x m 0 的根，求实数 m 的值.
20. (本小题满分 10 分)已知极坐标的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与 x 轴的正半轴重合，且长度
C.
1，1
1 e
2，3
3
1 e
D.
1，1
2 e
2，3
二、填空题（每小题5分，共20分） 15. 从 1，3，5，7，9 中任取 2 个数字，从 0，2，4，6 中任取 2 个数字，

湖南省岳阳市2023-2024学年高二下学期教学质量监测暨6月期末考试数学试题卷

岳阳市2024年高二教学质量监测数学本试卷共4页，19道题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、考号和姓名填写在答题卡指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡对应的标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，只交答题卡．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}4,3,2,1{=A ，{|230}2≤--=B x x x ，则集合B A 的子集个数为A ．2B ．4C ．8D ．162.设数列}{n a 为等比数列，若11=a ，43=a ，则A ．B ．C ．D ．3．已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量为A ．(2,1)-B ．)0,5(C ．)52,54(-D ．(4,2)-4．已知α，β均为锐角，，，则的值为A ．22-B ．22C ．102D ．102-5．已知椭圆1:2222+=by a x E （0>>a b ）的左右焦点分别为1F ,2F ，P 为椭圆E 上一点，且直线2PF 的一个方向向量为，则椭圆E 的离心率为A ．31-B ．23C ．21D ．366．将甲、乙等6人安排到三个景点做环保宣传工作，每个景点安排2人，其中甲、乙不能安排去同一个景点，不同的安排方法数有A ．84B ．90C ．72D ．78a b -b )0,5(=a (2,1)=-b 2024220242±2023220232±=2024a 012⋅=PF PF (3,3)-55)2sin(-=βα1010)2sin(-+=βα2cos βα+7．设1ln1.03+=a ，0.031.03e b =， 1.03=c ，则A ．a b c<<B ．b a c <<C ．c b a<<D ．c a b<<8.已知函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-≤<≥=03sin(,02()x x x e xf x x ππω，()4()(222)()22=-++f x g x f x ，若函数()y g x =有8个零点，则正数ω的取值范围是A ．]27,613[B ．)27,613[C ．]1225,1219[D ．1225,1219[二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．根据国家统计局统计，我国2018—2023年的出生人口数（单位：万人）分别为：1523，1465，1202，1062，956，902．将年份减去2017记为x ，出生人口数记为y ，得到以下数据：x123456y（单位：万人）1523146512021062956902已知11856161==∑=i i y y ，由最小二乘法求得y 关于x 的经验回归方程为yx a ˆ136ˆ+-=，则A ．1661ˆ=aB ．这6年出生人口数的下四分位数为1465C ．样本相关系数0<r D ．样本点（4，1062）的残差为5510．已知菱形ABCD 的边长为2，3π∠=ABC ,E 、F 、G 分别为AD 、AB 、BC 的中点，将△DAC 沿着对角线AC 折起至△D AC '，连结D B '，得到三棱锥D ABC -'．设二面角D AC B --'的大小为θ，则下列说法正确的是A ．AC BD '⊥B ．当平面EFG 截三棱锥D ABC -'的截面为正方形时，3πθ=C ．三棱锥D ABC -'的体积最大值为1D ．当32πθ=时，三棱锥D ABC -'的外接球的半径为32111．已知函数()f x ，()g x 对任意的实数x ，y 都有2)(2()()2(x yg x y f x f y f -++=成立，(1)1=f ，(1)0=g ，则A ．()f x 为偶函数B ．(0)1=g C ．2(1)(1)()f x f x g x -++=D ．4为()g x 的一个周期三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知i 为虚数单位，则ii-+492的共轭复数为____________；13．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c B b C a Acos cos 2cos +=且2=a ，则△ABC 面积的最大值为___________；14．抛物线C y x :82=的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，抛物线C 在A 、B 处的切线交于点P ，则2||16||PF AB +的最小值为____；四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(13分)如图，在圆锥SO 中，AD 为圆O 的直径，B 、C 为圆弧AD ⌒的两个三等分点，M 为SD的中点，3==SO OA ；（1）求证：平面⊥SBD 平面SOC ；（2）求直线SD 与平面ABM 所成角的正弦值．16．(15分)某企业使用新技术生产某种产品，该产品在出厂前要经历生产和检测两道工序．生产工序的次品率为201．检测工序包括智能自动检测和人工抽查检测，智能自动检测为合格品则进入流水线并由人工抽查检测．（1）从经过生产工序但未经检测工序的产品中随机抽取10件进行检测，求这10件产品中的次品数X 的分布列和数学期望；（2）若智能自动检测的准确率为98%，求一件产品进入人工抽查检测环节的概率.17．（15分）已知函数()(ln )f x e a x x=+，其中a R ∈．（1）若1=a ，求()y f x =在1=x 处的切线方程；（2）当(0,ln 2)∈a 时，设()()g x f x '=．求证：g()y x =存在极小值点．18．(17分)定义：对于一个无穷数列{}n a ，如果存在常数a ，对于任意给定的正数ε，总存在正整数N ，使得对于任意大于N 的正整数n ，都有ε-<||a a n ．则称常数a 为数列{}n a 的极限，记作a a n n =→∞lim ．根据上述定义，完成以下问题：（1）若n n a )213(=+-，log (21)2=-n b n ，判断数列{}n a 和{}n b 是否存在极限；如果存在，请写出它的极限（不需要证明）；（2）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，21=a ，数列是公差为的等差数列；①求数列{}n a 的通项公式；②若，证明：．19．(17分)已知平面内两个定点(2,0)-A ，)0,2(B ，满足直线PA 与PB 的斜率之积为的动点P 的轨迹为曲线C ，直线l 与曲线C 交于不同两点M ，N ；（1）求曲线C 的轨迹方程；（2）若直线AM 和AN 的斜率之积为，求证：直线l 过定点；（3）若直线l 与直线:201=+l x y ，:202=-l x y 分别交于R ，S ，求证：||||M NS R =．4112131{}nn a S nn a a a a T 1111123=++++ l 1im =→∞n n T。

江都中学09-10高二下学期期末考试数学

江苏省江都中学09-10学年个高二下学期期末考试高数学1 •若集合 A {y | y 2x }, B {y | y . x 1}，则 AI B3 •命题“若x 0,贝U x 20 ”的否命题为4 .函数y tan(x —)的单调递增区间为6 •将函数y lg(2x 1)的图象向左平移1个单位，所得函数的解析式为7 •设 ABC 的内角代B,C 所对的边长分别为 a,b,c ，则“ a 2 b 2 c 2 ”是“ ABC 为锐角三角形” 成立的条件(填充分不必要；必要不充分；充要；既不充分也不必要) &满足 3 cosx 3sinx 3的锐角x ____________ .x 2a9.若函数f(x) 在x 1处取得极值，则实数 a _________x 11 2x 13•已知函数f (x) lg,x ( b,b)为奇函数，则a b 的取值范围是 _____________a 2x、解答题：本大题共 6小题，共计90分•请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15 .(本小题满分14分)10 .已知函数 f (x) ln(x 2ax3)在区间(,a ］上单调递减，则实数 a 的取值范围是 211 .已知sincos1，且(,2 ),则 sin cos.512 •设 ABC 的内角代B, C 所对的边长分别为、填空题：本大题共14小题，每小题 5分，共计70分•请把答案填写在答题卡相应位置上2 .若函数 y cos( x -)(0)的最小正周期为—，则5. f(x)c x 1 2e logs(x 21),，则 f(f(2))= ______a, b, c ，且 a cos B b cos A - c 贝U tan A 的值为 5tan B14 .设函数f (x)x 2,x 0 f (x 1),x0，若 f(x)kx 有三个不同的根，则实数 k 的取值范围是已知tan —42(1)求tan 的值；(2)求sin2 cos 2 的值.16 .(本小题满分14分)2 2已知命题p :方程x 2ax 1 0有两个不相等的负实数根；命题q :函数y x a 2 x 1无零点.(1 )若p为真命题，求实数a的取值范围；(2)若p或q为真，p且q为假，求实数a的值的集合.17.(本小题满分15分)已知函数f x2x 2 xX X ,g x 2 2 .2(1 )求f x g 2x的值；(2)证明f x g x f 2x ；(3 )若f x y 2 , f x y 4，求fxgy的值圆心的一段圆弧D E .顶点在扇形半径OD上.记POE ，求当“矩形草坪”的面积最大时象,且图象的最高点为1,3、2 ；赛道的中间部分为 3 千米的水平跑道CD ;赛道的后一部分为以(1)求，的值和角DOE的值;(2)若要在圆弧赛道所对应的扇形区域内建一个“矩形草坪”，如图示, 矩形的一边在道路AE上，一个的值.19、(本小题满分16分)已知f (x)、g(x)都是定义在R上的函数，如果存在实数m、n使得h (x) = m f(x)+ng(x),那么称h (x)为f (x)、g(x)在R上生成的一个函数.设 f (x)=x2+ax, g(x)=x+b(a,b R)，l(x) = 2x2+3x-1，h (x)为f (x)、g(x)在R上生成的一个二次函数(1 )设a 1,b 2，若h (x)为偶函数，求h( . 2)；(2)设b0 ,若h (x)同时也是g(x)、l(x)在R上生成的一个函数，求a+b的最小值;20、(本小题满分16分)1 2已知函数f(x) —x2aln x(a R)2(1)若函数f (x)在x 1处的切线方程为y 2x b，求a,b的值；(2)任取x1, x2 (1,)，且x1 x2，恒有一芈仓1，求a的取值范围;(3)讨论方程f(x) ax的解的个数，并说明理由。

湖北省十堰市2023-2024学年高二下学期6月期末调研考试数学试卷含答案

十堰市2023—2024学年度下学期期末调研考试高二数学（答案在最后）本试题卷共4页，共19道题，满分150分，考试时间120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡和试卷指定位置上，并将考号条形码贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答在试题卷、草稿纸上无效。

3．非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试题卷、草稿纸上无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，只交答题卡。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．某运动物体的位移s （单位：米）关于时间t （单位：秒）的函数关系式为24s t t =+，则该物体在1t =秒时的瞬时速度为（）A ．9米/秒B ．8米/秒C ．7米/秒D ．6米/秒2．已知一系列样本点()(),1,2,3i i x y i = 的一个经验回归方程为9y x a =+，若10,22x y ==，则 a =（）A ．67B ．68C ．67-D ．68-3．已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为10100C q =+，单价p 与产量q 的函数关系式为2128009p q =-，则利润最大时，q =（）A ．80B ．90C ．100D ．1104．3000的不同正因数的个数为（）A ．36B ．45C ．32D ．545．已知直线2y x a =-+与函数()24ln f x x x =-的图象有两个不同的交点，则实数a 的取值范围为（）A ．()3,+∞B ．[)3,+∞C ．1,32⎛⎫⎪⎝⎭D ．()2,36．假定生男孩和生女孩是等可能的，现随机选择一个有三个孩子的家庭，若已知该家庭有女孩，则三个小孩中恰好有两个女孩的概率为（）A ．18B ．37C ．16D ．147．已知样本数据0，1，2，3，4，5，6，7，8，9的第25百分位数为a ，第75百分位数为b ，从样本数据落在区间()0,,,,,9a a b b ⎡⎤⎤⎡⎦⎣⎣⎦内的数据中各取一个数组成一个三位数，则所组成的三位数中能被3整除的个数为（）A ．54B ．60C ．64D ．728．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，此定理讲的是关于同余的问题．用m x 表示整数x 被m 整除，设*,,a b m ∈∈Z N 且1m >，若()m a b -，则称a 与b 对模m 同余，记为()mod a b m ≡．已知916161521431341215161616161616C 5C 5C 5C 5C 5C 52a =⨯-⨯+⨯-⨯++⨯-⨯- ，则（）A ．()2024mod7a ≡B ．()2025mod7a ≡C ．()2026mod7a ≡D ．()2027mod7a ≡二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．为普及航天知识，弘扬航天精神，某学校举办了一次航天知识竞赛．统计结果显示，学生成绩（满分100分）()270,X N σ~，其中不低于60分为及格，不低于80分为优秀，且优秀率为20%．若从全校参与竞赛的学生中随机选取5人，记选取的5人中优秀的学生人数为Y ，则（）A ．估计知识竞赛的及格率为80%B ．()1225P Y ==C ．()1E Y =D ．()45D Y =10．已知2012(31)n n n x a a x a x a x -=++++ ，且第5项与第6项的二项式系数相等，则（）A ．01a =B ．123513n a a a a ++++=C ．57a a >D ．231213333n n a a a a -++++= 11．已知函数()()()e ,1ln axf x axg x x x ax ==+-，则下列说法正确的是（）A ．若()f x 有极小值，则(),0a ∈-∞B ．若()g x 在()0,+∞上单调递增，则(],2a ∈-∞C ．对任意的(),a g x ∈R 存在唯一零点D ．若()()f x g x ≥恒成立，则1,e a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．随机变量112,4X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，则()23X σ-=______________．13．已知一系列样本点()(),1,2,3,,9i i x y i = 满足5y =，21265nii y==∑，由最小二乘法得到y 与()1,2,3,,9x 的回归方程，现用决定系数2R 来判断拟合效果（2R 越接近1，拟合效果越好），若()9211.60iii yy =-=∑，则2R =______________．（参考公式：决定系数 ()(221211ni ii n ii y y R yy==-=--∑∑）14．已知函数()()22ln 1f x x x ax =---，若对任意的()()1,,0x f x ∈+∞≥恒成立，则实数a 的取值范围为______________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）民航招飞是指普通高校飞行技术专业（本科）通过高考招收飞行学生，报名的学生需参与预选初检、体检鉴定、飞行职业心理学检测、背景调查、高考选拔共5项流程，其中前4项流程选拔均通过，则被确认为有效招飞申请，然后参加高考，由招飞院校择优录取．据统计，某校高三在校学生有1000人，其中男生600人，女生400人，各有100名学生有民航招飞意向．（1）完成以下22⨯列联表，并根据小概率值0.001α=的独立性检验，能否认为该校高三学生是否有民航招飞意向与学生性别有关？对民航招飞有意向对民航招飞没有意向合计男生女生合计（2）若每名报名学生通过前4项流程的概率依次约为321,,432，1，假设学生能否通过这4项流程相互独立，估计该校高三学生被认为有效招飞的人数．附：()()()()22(),n ad bc n a b c d a b c d a c b d χ-==+++++++．α0.0500.0100.001x α3.8416.63510.82816．（15分）某地五一假期举办大型促销活动，汇聚了各大品牌新产品的展销．现随机抽取7个品牌产品，得到其促销活动经费x （单位：万元）与销售额y （单位：万元）的数据如下：品牌代号1234567促销活动经费x 1246101320销售额y12204440566082若将销售额y 与促销活动经费x 的比值称为促销效率值μ，当10μ≥时，称为“有效促销”，当5μ≤时，称为“过度促销”．（1）从这7个品牌中随机抽取4个品牌，求取出的4个品牌中“有效促销”的个数比“过度促销”的个数多的概率；（2）从这7个品牌中随机抽取3个，记这3个品牌中“有效促销”的个数为X ，求X 的分布列与期望．17．（15分）设曲线()2e xf x =在点()(),P m f m 处的切线l 与坐标轴所围成的三角形面积为()S m ．（1）当切线l 与直线210x y -+=平行时，求实数m 的值；（2）当0m <时，求()S m 的最大值．18．（17分）为加深学生对新中国成立以来我国在经济建设、科技创新、精神文明建设等方面取得成就的了解，某学校高二年级组织举办了知识竞赛．选拔赛阶段采用逐一答题的方式，每位选手最多有5次答题机会，累计答对3道题则进入初赛，累计答错3道题则被淘汰．初赛阶段参赛者每两人一组进行比赛，组织者随机从准备好的题目中抽取2道试题供两位选手抢答，每位选手抢到每道试题的机会相等，得分规则如下：选手抢到试题且回答正确得10分，对方选手得0分，选手抢到试题但没有回答正确得0分，对方选手得5分，2道试题抢答完毕后得分少者被淘汰，得分多者进入决赛（若分数相同，则同时进入决赛）．（1）已知选拔赛中选手甲答对每道试题的概率为23，且回答每道试题是否正确相互独立，求甲进人初赛的概率；（2）已知初赛中选手甲答对每道试题的概率为45，对手答对每道试题的概率为34，两名选手回答每道试题是否正确相互独立，求初赛中甲的得分Y 的分布列与期望；（3）进入决赛后，每位选手回答4道试题，至少答对3道试题胜出，否则被淘汰，已知选手甲进入决赛，且决赛中前3道试题每道试题被答对的概率都为()()0,1p ∈，若甲4道试题全对的概率为116，求甲能胜出的概率的最小值．19．（17分）已知函数()21ln 2f x x x ax =+-．（1）若()f x 在()0,+∞上单调递增，求实数a 的最大值；（2）讨论()f x 的单调性；（3）若存在12,x x 且12x x <，使得()()1212f x f x a +=-，证明：122x x +>．十堰市2023—2024学年度下学期期末调研考试高二数学参考答案1．A 由()24s t t t =+，得()81s t t '=+，则物体在1t =秒时的瞬时速度19t v s ='==米/秒．2．D 由题意得 22910a=⨯+，得 68a =-．3．B设利润为y ，则()231128001010027001099y pq C q q q q q ⎛⎫=-=--+=-+- ⎪⎝⎭．因为2127003y q +'=-，所以当090q <<时，0y '>，当90q >时，0y '<，故利润最大时90q =．4．C因为333000235=⨯⨯，所以3000的正因数为235αβγ⨯⨯，其中0,1,2,3,0,1,0,1,2,3αβγ===，所以3000的不同正因数有42432⨯⨯=个．5．A 因为()()22242x f x x x x='-=-，所以()f x 在(上单调递减，在)+∞上单调递增．令()2f x '=-，得1x =，所以直线2y x a =-+与()f x 的图象相切时的切点为()1,1，此时3a =，所以当3a >时，直线2y x a =-+与()f x 的图象有两个不同的交点．B 用X 表示女孩，Y 表示男孩，则样本空间{}Ω,,,,,,,XXX XXY XYX XYY YXX YXY YYX YYY =．分别设“选择的家庭中有女孩”和“选择的家庭中三个小孩恰好有两个女孩”为事件A 和事件B ，则{}{}()()()3,,,,,,,,,,,7n AB A XXX XXY XYX XYY YXX YXY YYX B YXX XYX XXY P B A n A ====．7．C由题意知2,7a b ==，即从()()()0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中各取一个数．因为所组成的三位数能被3整除，所以所取的三个数字可以为()()()0,3,9,0,4,8,0,5,7，()()()()()()()()()0,6,9,1,3,8,1,4,7,1,5,9,1,6,8,2,3,7,2,4,9,2,5,8,2,6,7，其中含0的每组可组成4个不同的三位数，不含0的每组可组成6个不同的三位数，所以共有448664⨯+⨯=个不同的三位数．8．A由二项式定理，得0160115115151601616161616C 5(1)C 5(1)C 5(1)C 5(1)3a =⨯⨯-+⨯⨯-++⨯⨯-+⨯⨯--=161680801717178088888(51)343(142)3C 142C 142C 142C 1423--=-=+-=⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯- ．因为能够被7整除，8088C 1423253⨯⨯-=被7除余1，所以()1mod7a ≡．因为2024除以7余1，2025除以7余2，2026除以7余3，2027除以7余4，所以()2024mod7a ≡．9．ACD因为()270,X N σ~，且()8020%P X ≥=，所以()6080%P X ≥=，故A 正确；因为15,5Y B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，所以()2325141282C 55625P Y ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误；因为()()41,5E Y D Y ==，所以C ，D 正确．10．BD因为第5项与第6项的二项式系数相等，所以45C C n n =，则9n =，令0x =，得01a =-，故A 不正确；令1x =，得901292512a a a a ++++== ，所以1239513a a a a ++++= ，故B 正确；因为4572775979C 3143,C 3363a a =⨯=⨯=⨯=⨯，所以57a a <，故C 不正确；令13x =，得912902913103333a a a a ⎛⎫++++=⨯-= ⎪⎝⎭ ，所以129291333a a a +++= ，所以2391283333a a a a ++++= ，故D 正确．11．BCD对于A ，()()2ee e 1axax ax f x a a x a ax =+='+，当0a >时，()f x 在1,a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()f x 有极小值，故A 错误．对于B ，若()g x 在()0,+∞上单调递增，则()0g x '≥在()0,+∞上恒成立，所以()1ln 0x g x x a x +=+-≥'，即1ln x a x x+≤+．令()1ln x h x x x +=+，则()22111x h x x x x='-=-，所以()h x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以()min ()12h x h ==，所以2a ≤，故B 正确．对于C ，令()()1ln 0g x x x ax =+-=，则()1ln x x a x+=．令()()1ln x x m x x+=，则()21ln 0x xm x x+-'=>，所以()m x 在()0,+∞上单调递增．因为()10m =，且当0x →时，()m x →-∞，当x →+∞时，()m x →+∞，所以y a =与曲线()y m x =只有一个交点，即()g x 存在唯一零点，故C 正确．对于D ，由()()f x g x ≥，得()e1ln axax x x ax ≥+-，即()()()ln e 11ln e 1ln ax x ax x x x +≥+=+．令()()e 1x n x x =+，则()()ln n ax n x ≥．因为()e 1e 0xxn x x =++>'，所以()()2e xn x x +'='，所以()n x '在(),2-∞-上单调递减，在()2,-+∞上单调递增，所以()()21210en x n ≥-=-'>'，所以()n x 在R 上单调递增．因为()()ln n ax n x ≥，所以ln ax x ≥，所以ln x a x ≥，所以1ea ≥，故D 正确．12．3因为112,4X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，所以()()132********D X D X -==⨯⨯⨯=，所以()233X σ-==．13．0.96因为()()()992221199222211ˆˆ 1.601110.96265959i i i i i i i ii i y yy yR y y yy ====--=-=-=-=-⨯--∑∑∑∑．14．(],2-∞因为()()22ln 10f x x x ax =---≥，所以()22ln 1ax x x ≤--，即a x ≤-()2ln 1x x-．令()()2ln 1x g x x x -=-，则()()()222222ln 12ln 1111x x x x x x x g x x x ---+---=-='．令()()222ln 11x h x x x x =-+--，则()22220(1)1h x x x x =++>--'，所以()h x 在()1,+∞上单调递增．因为()20h =，所以当()1,2x ∈时，()0h x <，当()2,x ∈+∞时，()0h x >，则当()1,2x ∈时，()0g x '<，当()2,x ∈+∞时，()0g x '>，所以()g x 在()1,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，所以()min ()22g x g ==，故实数a 的取值范围为(],2-∞．15．解：（1）列联表如下：对民航招飞有意向对民航招飞没有意向合计男生100500600女生100300400合计2008001000零假设0H ：该校高三学生是否有民航招飞意向与学生性别无关联．因为21000200002000012510.41710.82820080060040012χ⨯⨯==≈<⨯⨯⨯，所以假设成立，所以根据小概率值0.001α=的独立性检验，认为该校高三学生是否有民航招飞意向与学生性别无关．（2）因为每名报名学生通过前4项流程的概率依次约为321,,,1432，且能否通过相互独立，所以估计每名报名学生被确认为有效招飞申请的概率321114324P =⨯⨯⨯=．因为该校有200名学生有民航招飞意向，所以估计有1200504⨯=人被确认为有效招飞申请．16．解：（1）由题知7个品牌中“有效促销”有3个，“过度促销”有2个．设取出的4个品牌中“有效促销”的个数比“过度促销”的个数多为事件A ，则()()31221134322247C C C C C C 19C 35P A ++==．（2）由题知，7个品牌中有3个品牌是“有效促销”，X 的可能取值是0，1，2，3，()()3124343377C 4C C 180;1C 35C 35P X P X ======；()()2133433377C C 12C 12;3C 35C 35P X P X ======．X 的分布列为X 0123P43518351235135所以()41812190123353535357E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．17．解：（1）因为()2e xf x =，所以()22exf x '=．因为切线l 与直线210x y -+=平行，所以()22e 2mf m ='=，得0m =．（2）因为()22e xf x '=，所以()22emf m '=，所以切线方程为()22e 2e mm y x m -=-．令0x =，得()2e12my m =-；令0y =，得12x m =-．因为0m <，所以()22211112e (21)e 224m m S m m m m =--=-．因为()()()()22221121e(21)e 2121e 22mm m S m m m m m -'=-+-=+，所以当12m <-时，()0S m '>，当102m -<<时，()0S m '<，所以()S m 在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上单调递增，在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，故max 11()2eS m S ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭．18．解：（1）设X 为甲的答题数，则X 可能取3，4，5．()3283327P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()22321284C 33327P X ⎛⎫==⨯⨯⨯=⎪⎝⎭；()2224212165C 33381P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以甲进人初赛的概率为88166427278181++=．（2）Y 可能取0，5，10，15，20．()1414420252525P Y ==⨯⨯⨯=；()14111152252410P Y ==⨯⨯⨯⨯=；()14131411111163310222524252524241600P Y ==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=；()111113111952225242424160P Y ==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=；()111111131313361022525252424241600P Y ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=．Y 的分布列为Y05101520P 3611600191606331600110425所以()374E Y =．（3）因为甲4道试题全对的概率为116，所以第4道试题答对的概率为3116p ，所以甲能胜出的概率()()3223331111C 1161616f p p p p p p ⎛⎫=+-+- ⎪⎝⎭，即()3331616f p p p =+-．因为()()()2222234141331616p p f p p p p-+='-=，所以()f p 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以min 15()216f p f ⎛⎫==⎪⎝⎭．19．（1）解：因为函数()f x 在()0,+∞上单调递增，所以()0f x '≥在()0,+∞上恒成立．因为()1f x x a x +'=-，所以10x a x +-≥，即1a x x≤+对()0,x ∈+∞恒成立．因为12x x +≥=，所以2a ≤，即实数a 的最大值是2．（2）解：()211x ax f x x a x x-+=+-='．①当0a ≤时，()0f x '>，则()f x 在()0,+∞上单调递增；②当02a <≤时，()0f x '>，则()f x 在()0,+∞上单调递增；③当2a >时，令()0f x '=，得42a x ±=，则()f x 在0,,,22a a ⎛⎛⎫-++∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递增，在,22a a ⎛-+ ⎝⎭上单调递减．综上所述，当2a ≤时，()f x 在()0,+∞上单调递增；当2a >时，()f x 在0,2a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，,2a ⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在,22a a ⎛-+ ⎪⎝⎭上单调递减．（3）证明：因为()112f a =-，所以()()()121221f x f x a f +=-=，因为()f x 在()0,+∞上单调递增，所以1201x x <<<．要证122x x +>，即证2121x x >->．因为()f x 在()0,+∞上单调递增，所以只需证()()212f x f x >-．又因为()()1212f x f x a +=-，所以只需证()()11122a f x f x -->-，即证()()()11121201f x f x a x +-<-<<．记()()()()2,0,1F x f x f x x =+-∈，则()()()()()3112(1)22022x F x f x f x x a x a x x x x --=--=+----+=>--'''，所以()F x 在()0,1上单调递增，所以()()()12112F x F f a <==-，故122x x +>成立．。

上海市浦东新区高二数学下学期期末试卷(含解析)-人教版高二全册数学试题

2015-2016学年某某市浦东新区高二（下）期末数学试卷一、填空题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．抛物线x2=﹣8y的准线方程为．2．如果直线ax+y+1=0与直线3x﹣y﹣2=0垂直，则系数a=．3．双曲线9x2﹣4y2=﹣36的渐近线方程是．4．已知复数z=（3+i）2（i为虚数单位），则|z|=．5．已知点A（﹣4，﹣5），B（6，﹣1），则以线段AB为直径的圆的方程为．6．设复数z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位），则z=．7．若椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线的顶点和焦点，则椭圆C的方程是．8．一动点在圆x2+y2=1上移动时，它与定点B（3，0）连线的中点轨迹方程是．9．若复数z满足|z+3i|=5（i是虚数单位），则|z+4|的最大值=．10．设F1和F2是双曲线﹣y2=1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积是．11．已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2米时，测量水的宽为8米，当水面上升米后，水面的宽度是米．12．已知圆x2+y2+2x﹣4y+a=0关于直线y=2x+b成轴对称，则a﹣b的取值X围是．二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．直线倾斜角的X围是（）A．（0，]B．[0，]C．[0，π） D．[0，π]14．平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙：“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”，则甲是乙的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件15．若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（）A．b=2，c=3 B．b=﹣2，c=3 C．b=﹣2，c=﹣1 D．b=2，c=﹣116．对于抛物线C：y2=4x，我们称满足y02＜4x0的点M（x0，y0）在抛物线的内部．若点M（x0，y0）在抛物线内部，则直线l：y0y=2（x+x0）与曲线C （）A．恰有一个公共点B．恰有2个公共点C．可能有一个公共点，也可能有两个公共点D．没有公共点三、解答题（共5小题，满分52分）17．已知直线l平行于直线3x+4y﹣7=0，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线l的方程．18．设复数z满足|z|=1，且（3+4i）•z是纯虚数，求．19．已知圆C和y轴相切，圆心在直线x﹣3y=0上，且被直线y=x截得的弦长为，求圆C的方程．20．已知F1，F2为椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左右焦点，O是坐标原点，过F2作垂直于x轴的直线MF2交椭圆于M，设|MF2|=d．（1）证明：b2=ad；（2）若M的坐标为（，1），求椭圆C的方程．21．已知双曲线C1：．（1）求与双曲线C1有相同焦点，且过点P（4，）的双曲线C2的标准方程；（2）直线l：y=x+m分别交双曲线C1的两条渐近线于A、B两点．当•=3时，某某数m 的值．2015-2016学年某某市浦东新区高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．抛物线x2=﹣8y的准线方程为y=2 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由于抛物线x2=﹣2py的准线方程为y=，则抛物线x2=﹣8y的准线方程即可得到．【解答】解：由于抛物线x2=﹣2py的准线方程为y=，则有抛物线x2=﹣8y的准线方程为y=2．故答案为：y=2．2．如果直线ax+y+1=0与直线3x﹣y﹣2=0垂直，则系数a=．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】利用相互垂直的直线的斜率之间关系即可得出．【解答】解：由ax+y+1=0得y=﹣ax﹣1，直线3x﹣y﹣2=0得到y=3x﹣2，又直线ax+y+1=0与直线3x﹣y﹣2=0垂直，∴﹣a•3=﹣1，∴a=，故答案为：3．双曲线9x2﹣4y2=﹣36的渐近线方程是y=±x ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的标准方程，结合双曲线渐近线的方程进行求解即可．【解答】解：双曲线的标准方程为﹣=1，则双曲线的渐近线方程为y=±x，故答案为：y=±x4．已知复数z=（3+i）2（i为虚数单位），则|z|= 10 ．【考点】复数求模；复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的模的平方等于复数的模的乘积，直接计算即可．【解答】解：复数z=（3+i）2（i为虚数单位），则|z|=|3+i||3+i|==10．故答案为：10．5．已知点A（﹣4，﹣5），B（6，﹣1），则以线段AB为直径的圆的方程为（x﹣1）2+（y+3）2=29 ．【考点】圆的标准方程．【分析】由点A和点B的坐标，利用中点坐标公式求出线段AB的中点C的坐标，因为线段AB为所求圆的直径，所以求出的中点C的坐标即为圆心坐标，然后由圆心C的坐标和点A 的坐标，利用两点间的距离公式求出|AC|的长即为圆的半径，根据圆心和半径写出圆的标准方程即可．【解答】解：由中点坐标公式得线段AB的中点坐标为C（1，﹣3），即圆心的坐标为C（1，﹣3）；，故所求圆的方程为：（x﹣1）2+（y+3）2=29．故答案为：（x﹣1）2+（y+3）2=29．6．设复数z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位），则z= 3+5i ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】等式两边同乘2+i，然后化简，即可求出复数z．【解答】解：因为z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位），所以z（2﹣i）（2+i）=（11+7i）（2+i），即5z=15+25i，z=3+5i．故答案为：3+5i．7．若椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线的顶点和焦点，则椭圆C的方程是．【考点】椭圆的标准方程；双曲线的简单性质．【分析】先确定双曲线的顶点和焦点坐标，可得椭圆C的焦点和顶点坐标，从而可得椭圆C 的方程【解答】解：双曲线的顶点和焦点坐标分别为（±，0）、（±3，0）∵椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线的顶点和焦点，∴椭圆C的焦点和顶点坐标分别为（±，0）、（±3，0）∴a=3，c=∴∴椭圆C的方程是故答案为：8．一动点在圆x2+y2=1上移动时，它与定点B（3，0）连线的中点轨迹方程是x2+y2﹣3x+2=0 ．【考点】轨迹方程；中点坐标公式．【分析】设出中点坐标，利用中点坐标公式求出与之有关的圆上的动点坐标，将圆上的动点坐标代入圆的方程，求出中点轨迹方程．【解答】解：设中点坐标为（x，y），则圆上的动点坐标为（2x﹣3，2y）所以（2x﹣3）2+（2y）2=1即x2+y2﹣3x+2=0故答案为：x2+y2﹣3x+2=09．若复数z满足|z+3i|=5（i是虚数单位），则|z+4|的最大值= 10 ．【考点】复数求模．【分析】由复数模的几何意义可得复数z对应的点在以（0，﹣3）为圆心，以5为半径的圆周上，由此可得|z+4|的最大值是点（0，﹣3）与点（﹣4，0）的距离加上半径 5．【解答】解：由|z+3i|=5，所以复数z对应的点在以（0，﹣3）为圆心，以5为半径的圆周上，所以|z+4|的最大值是点（0，﹣3）与点（﹣4，0）的距离加上半径5，点（0，﹣3）与点（﹣4，0）的距离： =5．|z+4|的最大值：5+5=10故答案为：10．10．设F1和F2是双曲线﹣y2=1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积是 1 ．【考点】双曲线的应用；双曲线的简单性质．【分析】设|PF1|=x，|PF2|=y，根据根据双曲线性质可知x﹣y的值，再根据∠F1PF2=90°，求得x2+y2的值，进而根据2xy=x2+y2﹣（x﹣y）2求得xy，进而可求得△F1PF2的面积．【解答】解：设|PF1|=x，|PF2|=y，（x＞y）根据双曲线性质可知x﹣y=4，∵∠F1PF2=90°，∴x2+y2=20∴2xy=x2+y2﹣（x﹣y）2=4∴xy=2∴△F1PF2的面积为xy=1故答案为：1．11．已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2米时，测量水的宽为8米，当水面上升米后，水面的宽度是4米．【考点】双曲线的标准方程．【分析】以拱顶为坐标原点，拱的对称轴为y轴，水平轴为x轴建立平面直角坐标系，设抛物线方程为：x2=ay，由x=4，y=﹣2，解得a=﹣8，由此能求出当水面上升米后，水面的宽度．【解答】解：以拱顶为坐标原点，拱的对称轴为y轴，水平轴为x轴建立平面直角坐标系，设抛物线方程为：x2=ay，由x=4，y=﹣2，解得a=﹣8，当水面上升米后，y=﹣2+=﹣，x2=（﹣8）•（﹣）=12．解得x=2，或x=﹣2，∴水面宽为4（米）．故答案为：4．12．已知圆x2+y2+2x﹣4y+a=0关于直线y=2x+b成轴对称，则a﹣b的取值X围是（﹣∞，1）．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】求出圆的圆心，由题意圆心在直线上，求出a，b的关系，然后确定a﹣b的X围．【解答】解：圆的方程变为（x+1）2+（y﹣2）2=5﹣a，∴其圆心为（﹣1，2），且5﹣a＞0，即a＜5．又圆关于直线y=2x+b成轴对称，∴2=﹣2+b，∴b=4．∴a﹣b=a﹣4＜1．故答案为：（﹣∞，1）二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．直线倾斜角的X围是（）A．（0，]B．[0，]C．[0，π） D．[0，π]【考点】直线的倾斜角．【分析】根据直线倾斜角的定义判断即可．【解答】解：直线倾斜角的X围是：[0，π），故选：C．14．平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙：“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”，则甲是乙的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】结合椭圆的定义，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：若点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，则根据椭圆的定义可知动点P到两定点A，B的距离之和|PA|+|PB|=2a （a＞0，且a为常数）成立是定值．若动点P到两定点A，B的距离之和|PA|+|PB|=2a （a＞0，且a为常数），当2a≤|AB|，此时的轨迹不是椭圆．∴甲是乙的必要不充分条件．故选：B．15．若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（）A．b=2，c=3 B．b=﹣2，c=3 C．b=﹣2，c=﹣1 D．b=2，c=﹣1【考点】复数相等的充要条件．【分析】由题意，将根代入实系数方程x2+bx+c=0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a，b的方程组，解方程得出a，b的值即可选出正确选项【解答】解：由题意1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0∴1+2i﹣2+b+bi+c=0∴，解得b=﹣2，c=3故选B16．对于抛物线C：y2=4x，我们称满足y02＜4x0的点M（x0，y0）在抛物线的内部．若点M（x0，y0）在抛物线内部，则直线l：y0y=2（x+x0）与曲线C （）A．恰有一个公共点B．恰有2个公共点C．可能有一个公共点，也可能有两个公共点D．没有公共点【考点】抛物线的简单性质．【分析】先把直线与抛物线方程联立消去y，进而根据y02＜4x0判断出判别式小于0进而判定直线与抛物线无交点．【解答】解：由y2=4x与y0y=2（x+x0）联立，消去x，得y2﹣2y0y+4x0=0，∴△=4y02﹣4×4x0=4（y02﹣4x0）．∵y02＜4x0，∴△＜0，直线和抛物线无公共点．故选D三、解答题（共5小题，满分52分）17．已知直线l平行于直线3x+4y﹣7=0，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线l的方程．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】设直线l的方程为：3x+4y+m=0，分别令x=0，解得y=﹣；y=0，x=﹣．利用l 与两坐标轴围成的三角形的面积为24，可得=24，解得m即可．【解答】解：设直线l的方程为：3x+4y+m=0，分别令x=0，解得y=﹣；y=0，x=﹣．∵l与两坐标轴围成的三角形的面积为24，∴=24，解得m=±24．∴直线l的方程为3x+4y±24=0．18．设复数z满足|z|=1，且（3+4i）•z是纯虚数，求．【考点】复数的基本概念；复数求模．【分析】设出复数z，|z|=1可得一个方程，化简（3+4i）•z是纯虚数，又得到一个方程，求得z，然后求．【解答】解：设z=a+bi，（a，b∈R），由|z|=1得；（3+4i）•z=（3+4i）（a+bi）=3a﹣4b+（4a+3b）i是纯虚数，则3a﹣4b=0，，．19．已知圆C和y轴相切，圆心在直线x﹣3y=0上，且被直线y=x截得的弦长为，求圆C的方程．【考点】圆的标准方程；直线与圆的位置关系．【分析】由圆心在直线x﹣3y=0上，设出圆心坐标，再根据圆与y轴相切，得到圆心到y轴的距离即圆心横坐标的绝对值等于圆的半径，表示出半径r，然后过圆心作出弦的垂线，根据垂径定理得到垂足为弦的中点，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线y=x的距离d，由弦长的一半，圆的半径r及表示出的d利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解得到t的值，从而得到圆心坐标和半径，根据圆心和半径写出圆的方程即可．【解答】解：设圆心为（3t，t），半径为r=|3t|，则圆心到直线y=x的距离d==|t|，由勾股定理及垂径定理得：（）2=r2﹣d2，即9t2﹣2t2=7，解得：t=±1，∴圆心坐标为（3，1），半径为3；圆心坐标为（﹣3，﹣1），半径为3，则（x﹣3）2+（y﹣1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=9．20．已知F1，F2为椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左右焦点，O是坐标原点，过F2作垂直于x轴的直线MF2交椭圆于M，设|MF2|=d．（1）证明：b2=ad；（2）若M的坐标为（，1），求椭圆C的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）x=c代入椭圆方程求得y，进而求得d，可知d×a=b2，原式得证；（2）由M坐标可得c，再把M再把代入椭圆方程求得a和b的关系，结合隐含条件得到a 和b的方程组，求得a，b，则椭圆的方程可求．【解答】（1）证明：把x=c代入椭圆方程： +=1，得，则d=|y|=，∴d×a=b2，即b2=ad；（2）解：∵M的坐标为（，1），∴c=，则，解得b2=2，a2=4．故椭圆的方程为．21．已知双曲线C1：．（1）求与双曲线C1有相同焦点，且过点P（4，）的双曲线C2的标准方程；（2）直线l：y=x+m分别交双曲线C1的两条渐近线于A、B两点．当•=3时，某某数m 的值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的标准方程．【分析】（1）先确定双曲线C1：的焦点坐标，根据双曲线C2与双曲线C1有相同焦点，且过点P（4，），建立方程组，从而可求双曲线C2的标准方程；（2）直线方程与双曲线C1的两条渐近线联立，求出A、B两点的坐标用坐标，利用数量积，即可求得实数m的值．【解答】解：（1）∵双曲线C1：，∴焦点坐标为（，0），（，0）设双曲线C2的标准方程为（a＞0，b＞0），∵双曲线C2与双曲线C1有相同焦点，且过点P（4，）∴，解得∴双曲线C2的标准方程为（2）双曲线C1的两条渐近线为y=2x，y=﹣2x由，可得x=m，y=2m，∴A（m，2m）由，可得x=﹣m，y=m，∴B（﹣m， m）∴∵∴m2=3∴。

广东省佛山市2023-2024学年高二下学期期末教学质量检测数学试题(原卷版)

2023~2024学年下学期佛山市普通高中教学质量检测高二数学2024.7本试卷共4页，19小题.满分150分.考试用时120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必要填涂答题卡上的有关项目.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案涂在答题卡相应的位置上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.4.请考生保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.6(2)x −展开式中3x 的系数是（）A.20 B.20− C.160D.160−2.甲、乙两校各有3名教师报名支教，现从这6名教师中随机派2名教师，则被派出的2名教师来自同一所学校的概率为（）A.15 B.25C.12D.353.函数()32616f x x x =−+，[]0,5x ∈的最小值为（）A.16− B.9− C.9D.164.若将文盲定义为0，半文盲定义为1，小学定义为2，初中定义为3，职中定义为4，高中定义为5，大专定义为6，大学本科定义为7，硕士及以上学历定义为8，根据调查，某发达地区教育级别与月均纯收入（单位：万元）的关系如下表：学历初中职中高中大专本科教育级别 3 4 5 6 7 月均纯收入0400.550.701.151.20由回归分析，回归直线方程的斜率0.22b= ，可预测该地区具有硕士及以上学历的月平均纯收入为的.（） A. 1.40万元 B. 1.42万元 C. 1.44万元D. 1.46万元5. 某小组5人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中抽取一张，则恰有1人抽到自己写的贺年卡的不同分配方式有（） A. 9种B. 11种C. 44种D. 45种6. 给定两个随机事件,A B ，且()0P A >，()0P B >，则()()||P A B P A B =的充要条件是（） A. ()1|2P A B =B. ()1|2P A B =C. ()()()P AB P A P B =D. ()()()|P AB P A P B =+ 7. 若11ea b <<<，则（） A. a b a b b b a a <<< B. a a b b b a b a <<< C. b a b a a a b b <<<D. b b a a a b a b <<<8. 佛山第一峰位于高明区皂幕山，其海拔最高达到804.5米.要登上皂幕山的最高峰，一共需要走6666级阶梯.小明和小吉同时从第1级阶梯出发登峰，假设他们在前30分钟中，每分钟走50级阶梯，由于体力有限，小明每隔305级，而小吉每隔30分钟，其速度降低10%，直到登上最高峰，则（）（参考数据：40.90.66≈，50.90.59≈，60.90.53≈，70.90.48≈） A. 小明到达最高峰的时间比小吉早超过30分钟 B. 小吉到达最高峰的时间比小明早超过30分钟C. 小明到达最高峰的时间比小吉早，但差距不超过30分钟D. 小吉到达最高峰时间比小明早，但差距不超过30分钟二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 在平面直角坐标系xOy 中，过点P 有且只有一条直线与曲线ln y x =相切，则点P 的坐标可以是（） A. ()0,1B. ()1,0C. ()2,0D. ()1,110. 已知数列{}()*n a n ∈N的前n 项和为nS，则下列选项中，能使{}n a 为等差数列的条件有（）的A. ()()11n S n n =+−B. n n S a =C. 对*,m n ∀∈N ，有()2n m a a n m =+− D. *43,21,41,2nk n k a k k n k −=− ∈−=N 11. 甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三个人中的任何一人.下列说法正确的是（）A. 已知第2次传球后球在甲手中，则球是由乙传给甲的概率为13 B. 已知第2次传球后球在丙手中，则球是由丁传给丙的概率为13C. 第n 次传球后球回到甲手中的不同传球方式共有()13314nn +⋅−种D. 第n 次传球后球在乙手中概率为11143n−−三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.其中第14题对一空得3分，全对得5分.12. 某厂家生产的产品质量指标服从正态分布()2171,N σ.质量指标介于162至180之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到99.73%，则需调整生产工艺，使得σ至多为______.（若()2,X Nµσ ，则()30.9973P X µσ−<=）13. 数列{}n a 满足11a =，且()*11n n a a n n +=++∈N，则数列1{}na 的前2024项和为______. 14. 已知()f x 是定义域为()(),00,∞−+∞ 的偶函数，当0x >时，有()()()'22e 2−=−+x xfx f x x ，且()1e 2f =−，则()f x =__________；不等式()3e 10f x >−的解集为______________.四、解答题：本题共5小题.共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 某工厂制造甲、乙、丙三件产品，制造过程必须先后经过两道工序.当第一道工序完成并合格后方可进入第二道工序，两道工序过程相互独立.根据该厂现有的技术水平，经过第一道工序后，甲、乙、丙三件合格的概率依次为45，3423，经过第二道工序后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为34，45，910.（1）求第一道工序完成后至少有一件产品合格的概率；（2）若前后两道工序均合格的产品为合格产品，记合格产品的个数为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期的望.16. 已知数列{}()*n a n ∈N的前n 项和为nS，11a =，2332a a =+，且当2n ≥时，1132n n n S S S +−=−. （1）证明：{}n a 是等比数列，并求出{}n a 的通项公式；（2）设()2log 4n n b a =，数列{}n n a b 的前n 项和为n T ，求n T .17. 高考招生制度改革后，我省实行“3+1+2”模式，“3”为语文、数学、外语3门统一科目，“1”为考生在物理、历史两门科目中选择1门作为首选科目，“2”为考生在思想政治、地理、化学、生物学4门科目中选择2门作为再选科目.有人认为高考选考科目的确定与性别有关，为此，某教育机构随机调查了一所学校的n 名学生，其中男生占调查人数的12，已知男生有910的人选了物理，而女生有710的人选物理.（1）完成下列22×列联表：物理历史总计男生女生总计n（2）若在犯错误的概率不超过0.01的前提下，可认为“性别与选科有关”，那么本次被调查的人数至少有多少？（3）从物理类考生和历史类考生中各抽取1人，若抽取的2人性别恰好相同，求这2人是女生的概率. 附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ−=++++α0.05 0.01 0.005 0.001αχ38416.6357.879 10.82818. 已知函数()ln 1f x x x =+，()sin g x x =. （1）求曲线()y f x =在点()1,1处的切线方程；（2）证明：函数()()()hx f x g x =−在区间()0,1内有且只有一个极值点；.（3）证明：()()f x g x >.19. 已知函数()()()()1e 10x f x x a a =−−−>，证明：（1）()f x 在(),0∞−上单调递减，在()1,+∞上单调递增；（2）若()f x 的两个零点为1x ，()212x x x <，则（i ）121x x +<；（ii ）21e1e 1a x x −<+−.。

2023-2024学年湖南省益阳市高二下学期期末质量检测数学试题+答案解析(附后)

2023-2024学年湖南省益阳市高二下学期期末质量检测数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知点，，则直线AB的斜率为( )A. B. C. D. 32.已知两个向量，，则( )A. B. C. D.3.已知直线和互相平行，则m的值是( )A. B. C. 1 D. 44.已知双曲线，则下列结论正确的是( )A. C的实轴长为4B. C的焦距为10C. C的离心率D. C的渐近线方程为5.已知空间向量，，，，则( )A. 3B.C.D. 216.在平行六面体中，点P是线段的中点，设，，，则( )A. B. C. D.7.已知，是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线C上，，且，则m的值为( )A. B. 4 C. 5 D. 88.若直线上存在点P，过点P作圆的两条切线，A，B为切点，满足，则k的取值范围是( )A. B.C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知圆，则( )A. 圆C的圆心是B. 圆C关于y轴对称C. 圆C上的点到原点的最大距离为3D. 直线与圆C有两个交点10.已知曲线，则( )A. 若，则C是圆，其半径为B. 若，，则C是两条平行于x轴的直线C. 若，则C是椭圆，其焦点在x轴上D. 若，则C是双曲线，其焦点在x轴上11.如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，且，E，F分别为PB，PD的中点，则( )A.B.C. 直线AB与CE夹角的余弦值为D. 直线PB与平面PAC所成角的余弦值为12.已知数列满足，，，则( )A. 的最大值为1B. 若，则C. D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知两个向量，，且，则__________.14.已知等比数列中，，，则数列的公比等于__________.15.已知正方体的棱长为1，与平面的交点为P，则__________.16.已知抛物线的焦点为F，过F的直线与抛物线交于A，B两点，为坐标原点，则分别过点A，B的抛物线的切线交点轨迹方程是__________.四、解答题：本题共6小题，共70分。

安徽省黄山市2023-2024学年高二下学期7月期末质量检测数学试题(解析版)

黄山市2023-2024学年度第二学期期末质量检测高二数学试题考试时间：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1. 已知集合{}{}2|10,2,3,4,5A x x B =∈<=R 则A B ⋂=（）A. {}2B. {}2,3 C. {}3,4 D. {}2,3,4【答案】B 【解析】【分析】由题意可得{A x x =∈-<<R ，结合交集的定义与运算即可求解.【详解】由题意知，2{10}{A x x x x =∈<=∈-<<R R ，又{2,3,4,5}B =，所以{2,3}A B = .故选：B2. 已知复数11i z =-，2i z =，则复数12z z 的虚部为（）A. 1B. i- C. iD. 1-【答案】D 【解析】【分析】利用复数四则运算化简复数12z z ，结合复数虚部的定义求解即可.【详解】因为复数11i z =-，2i z =，则复数()121i (i)1i i i i (i)1z z ---⋅-⋅===--，所以复数12z z 的虚部为1-；故选：D3. 6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为（）A. 60B. -60C. 120D. -120【答案】A 【解析】【分析】根据二项式定理通项公式当4r =时，代入通项公式可得到答案.【详解】依题意有()()6261231661C212C ,0,1,,6rrr r r r rr T x x r x ---+⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭，令12304r r -=⇒=，所以常数项为()424612C 60-⨯=，故选：A.4. 函数()21sin 1e xf x x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭图象大致是（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】根据奇偶性和()2f 的符号，使用排除法可得.【详解】()f x 的定义域为R ，因为()e 12122e e 1sin()1sin sin 11e e x x xx x f x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪++++⎭⎝-⎝⎝⎭⎭1sin 1sin ()e e 2211x x x x f x ⎛⎫⎛⎫=--=-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，所以()f x 为偶函数，故CD 错误；又因为()2221sin 21e f ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，2210,sin 201e -<>+，所以()20f <，故B 错误.故选：A5. 双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率2e =，且点P 在双曲线C 上，则双曲线C 的标准方程为（）的A. 221412x y -= B. 22126x y -= C. 22139x y -= D. 2213y x -=【答案】C 【解析】【分析】由题意设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，则将P 代入双曲线方程，再结离心率2c a=和222c a b =+可求出22,a b ，从而可求出双曲线方程.【详解】由题意设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，因为点P 在双曲线C 上，所以22691(0,0)a b a b -=>>，因为离心率2e =，所以2ca=，得2c a =，所以224c a =，则2224a b a +=，所以223b a =，所以261a ，得23a =，则29b =，所以双曲线方程为22139x y -=.故选：C6. 如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，底面四边形ABCD 为菱形，111112AA A B AB ===，∠ABC =60°，AA 1⊥平面ABCD ，M 是AD 的中点，则直线AD 1与直线C 1M 所成角的正弦值为（）A.14B.C. 1D.【答案】B 【解析】分析】建立空间坐标系，即可利用向量夹角求解.【详解】取BC 中点Q ，连接AQ ，AC ，【由菱形得ABC 为等边三角形，Q 为中点，AQ BC ∴⊥，又AD //BC ，AQ AD ∴⊥，又1AA ⊥ 平面ABCD ，∴以A 为坐标原点，以AQ 、AD 、1AA 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立直角坐标系，如图：(0A ,0,10),(0,A 0,1),1(0D ,1,1),Q ,0,0),C 0),1,0)B -，1C 12,1)，(0M ,1,0)，∴11(,1)2C M =- ，()10,1,1AD = ,所以1111111cos ,4C M AD C M AD C M AD ⋅===⋅ ,故11sin ,C M AD = ,故直线AD 1与直线C 1M故选：B7. 第33届夏季奥林匹克运动会预计2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办.假设这届奥运会将新增4个表演项目，现有A ，B ，C 三个场地申请承办这4个新增项目的比赛，每个场地至多承办其中3个项目，则不同的安排方法有（）A. 144种 B. 84种 C. 78种 D. 60种【答案】C 【解析】【分析】分3,1,0，2,2,0,和2,1,1三种情况，结合排列组合知识进行求解.【详解】若三个场地分别承担3,1,0个项目，则有3343C A 24=种安排，若三个场地分别承担220，，个项目，则有22342322C C A 18A ⋅=种安排，若三个场地分别承担2,1,1个项目，则有2113421322C C C A 36A ⋅=种安排，综上，不同的安排方法有24183678++=种.故选：C.8. 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，426a a -=，5312a a -=，当92()1n n T S +最小时，n 的值为（）A. 3 B. 4C. 5D. 6【答案】C 【解析】【分析】先根据基本量运算得出通项公式，再化简已知式子结合单调性求最值即可求参.【详解】因为{}n a 是等比数列，所以53421226a a q a a -===-,又因为()242222613,2,a a a q a a -==-==所以111,2n n a a -==,()()1012101212222222n nn n n T -++++--=⨯⨯⨯⨯== ,()1122112nnn S ⨯-==--,()()()21102299222212n n n n nn n T S --==+,因为2ty =单调递增，2102n nt -=开口向上5n =取最小值，当5n =时()21029221n n nn T S -=+取最小值.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下列命题为真命题的是（）A. 将一组数据中的每一个数据都加上同一个正数后，方差变大B. 若变量y 和x 之间的相关系数0.9362r =-，则变量y 和x 之间的负相关性很强C. 在回归分析中，决定系数20.80R =的模型比决定系数20.98R =的模型拟合的效果要好D. 某人每次射击击中靶心的概率为25，现射击10次，设击中次数为随机变量X ，则(23)11E X +=【答案】BD 【解析】【分析】根据方差的性质可判断A ，根据相关系数与决定系数的定义可判断B 、C ，由2(10,5X B ，可判断D ，【详解】对于A ，将一组数据中的每一个数据都加上同一个正数后，其方差不变，故A 错误；对于B ，由相关系数的意义，当r 越接近1时，表明变量y 和x 之间的相关性很强，由于变量y 和x 之间的相关系数0.9362r =-，则变量y 和x 之间的负相关性很强，故B 正确；对于C ，用决定系数2R 的值判断模型的拟合效果，2R 越大，模型拟合效果越好，故C 错误；对于D ，由于2(10,5X B ，则2()1045E X =⨯=，所以(23)2()311E X E X +=+=，故D 正确；故选：BD10. 已知点(5,0)A ，()5,0B -，动点P 在圆C ：22(3)(4)8x y ++-=上，则（）A. 直线AB 截圆CB. PAB 的面积的最大值为151C. 满足到直线AB 的P 点位置共有3个D. PA PB ⋅的取值范围为[22---+【答案】CD 【解析】【分析】根据点到直线的距离公式，结合勾股定理即可求解弦长判断A ，根据三角形的面积公式，结合圆的性质即可求解B ，根据圆上的点到直线的距离的范围，即可求解C ，根据向量的数量积的运算量，结合坐标运算即可求解D.【详解】对于A ，因为()0,5A ，()5,0B -，所以直线AB 的方程为50x y -+=，圆心()3,4C -到直线AB 的距离为d又因为圆C的半径r =AB 截圆C所得的弦长为2=，A 错误．对于B，易知AB =PAB 的面积最大，只需点P 到直线AB 的距离最大，而点P 到直线AB的距离的最大值为r d +=，所以PAB的面积的最大值为1152⨯=，B 错误．对于C ，当点P 在直线AB 上方时，点P 到直线AB的距离的范围是(0,r +，即(，由对称性可知，此时满足到直线AB的P 点位置有2个．当点P 在直线AB 下方时，点P 到直线AB距离的范围是(0,r -，即(，此时满足到直线AB的P 点位置只有1个．综上所述，满足到直线AB的P 点位置共有3个，C 正确．对于D ，由题意知2()()()PA PB PC CA PC CB PC PC CA CB CA CB ⋅=+⋅+=+⋅++⋅．又因为()0,5A ，()5,0B -，()3,4C -，所以(3,1)CA = ，(2,4)CB =--，故10CA CB ⋅=-，(1,3)CA CB +=-．设点00(,)D x y 满足CA CB CD += ，则00(3,4)CD x y =+- ，故003143x y +=⎧⎨-=-⎩，解得0021x y =-⎧⎨=⎩，即(2,1)-D，CD =．所以()28cos ,10PA PB PC PC CA CB CA CB PC CD PC CD ⋅=+⋅++⋅=+⋅⋅-2,2,PC CD PC CD =-+=-+．又因为,PC CD ⎡∈-⎣，的所以2,22PC CD ⎡-+∈---+⎣ ，即PA PB ⋅的取值范围为[2--,2-+，D 正确．故选：CD11. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出去.反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.如图，已知抛物线2:4C y x =焦点为F ，O 为坐标原点，一束平行于x 轴的光线1l 经过抛物线内一点(,1)P t 射入，经过C 上的点11(,)A x y 反射后，再经过C 上另一点22(,)B x y 沿直线2l 反射出且经过点Q ，则下列结论正确的是（）A. 124y y =-B. 延长AO 交直线2x =-于点C ，则C ，B ，Q 三点共线C. 若点A 关于直线BP 的对称点恰在射线BQ 上，则132t =D. 从点P 向以线段BF 为直径的圆作切线，则切线长最短时52t =【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ，利用抛物线的光学性质求出点A ，B 的坐标，从而得以判断；对于B ，利用直线相交求得点C 的坐标，从而得以判断；对于C ，利用点关于直线对称求得132t =，从而得以判断；对于D ，利用直径两端点坐标求得圆的圆心与半径，从而利用切线长公式即可得解.【详解】对于A ，1y =代入24y x =得14x =，所以1(,1)4A ，又(1,0)F ，直线AF 方程为10(1)114y x -=--，即4340x y +-=，由244340y x x y ⎧=⎨+-=⎩，解得141x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩或44x y =⎧⎨=-⎩，所以(4,4)B -，即11y =，24y =-，124y y =-，A 正确；对于B ，直线AO 方程为：4y x =，则()2,8C --，因为BQ 方程为：4y =-，所以C ，B ，Q 三点不共线，故B 错误；对于C ，BQ 方程为：4y =-，则点A 关于直线BP 的对称点(,4)A m '-(0)m >，54BP k t =-，直线BP 方程为：54(4)4y x t +=--，根据对称性可得551144141544(4)242t m m t ⎧⨯=-⎪--⎪⎪⎨⎪+-+⎪+=-⎪-⎩，解得414132m t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故C 正确；对于D ，因为(1,0)F ，(4,4)B -，所以以线段BF 为直径的圆的方程为22525()(2)24x y -++=，其圆心N 5(,2)2-，半径52r =，从点P 向以线段BF=所以要使切线长最短，即点P 到圆心的距离最小，而222255(12)922PN t t ⎛⎫⎛⎫=-++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以52t =时，2PN 最小，则此时切线长最小；故D 正确；故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，充分利用抛物线的光学性质，结合抛物线的相关性质即可得解.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡的相应位置上.12. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，286a a +=，1217a =，则16S =________.【答案】160【解析】【分析】先根据等差数列项的性质求5a ,再结合等差数列求和公式计算即可.【详解】由{}n a 是等差数列可得28526a a a +==，所以53a =，所以()()()11651216161616317160222a a a a S ++⨯+====.故答案为：160.13. “双碳”再成今年两会热点，低碳行动引领时尚生活，新能源汽车成为人们代步车的首选．某工厂生产的新能源汽车的某一部件质量指标ξ服从正态分布()280,(0)N σσ>，检验员根据该部件质量指标将产品分为正品和次品，其中指标()79.94,80.06ξ∈的部件为正品，其他为次品，要使次品率不高于0.3%，则σ的一个值可以为__________．（若()2,N ξμσ ，则(22)95.4%,(33)99.7%)P P μσξμσμσξμσ-<<+=-<<+=【答案】0.01（答案不唯一，小于等于0.02即可）【解析】【分析】根据题意和正态曲线的特征可得到()()803,80379.94,80.06ξσσ∈-+⊆，再根据集合的包含关系列出不等式组，求解即可．【详解】依题意可得80μ=，要使次品率不高于0.3%，则正品率不低于99.7%，又根据正态曲线的特征知，803ξσ-<，所以()()803,80379.94,80.06ξσσ∈-+⊆，所以80379.9480380.06σσ-≥⎧⎨+≤⎩，解得0.02σ≤．故答案为：0.01（答案不唯一，小于等于0.02即可）．14. 已知函数333ln ,0e ()e 3,e x x f x x x ⎧<≤=⎨-++>⎩，存在123x x x <<，123()()()f x f x f x ==，则32()f x x 的最大值为_________.【答案】1e##1e -【解析】【分析】根据解析式及已知有312301e x x x <<<<<且3222()()f x f x x x =，构造ln xy x=并利用导数求最值.【详解】由题意，()f x 在(0,1)，3(e ,)+∞上递减，在3(1,e )上递增，存在123x x x <<，123()()()f x f x f x ==，则312301e x x x <<<<<，所以3222()()f x f x x x =，且321e x <<，令2ln 1ln x xy y x x-'=⇒=，所以3(1,e),0,(e,e ),0x y x y ''∈>∈<，所以函数在(1,e)上单调递增，在3(e,e )上单调递减，所以e x =时，函数取得最大值1e ，所以32()f x x 的最大值为1e．故答案为：1e四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知函数32()231f x x ax =-+.（1）若对任意x ∈R ，都有()(2)6f x f x +-=-，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线方程；（2）若函数()f x 在1x =处有极小值，求函数()f x 在区间1[,2]2上的最大值.【答案】（1）630x y +-= （2）5【解析】【分析】（1）由()(2)6f x f x +-=-，得到(1)3f =-，从而求出a ，再结合导数的几何意义求出切线斜率，即可求解；（2）根据函数()f x 在1x =处有极小值，得到()01f '=，从而解得a 的值，利用导数研究函数的单调性，从而求得函数()f x 在区间1[,2]2上的最大值..【小问1详解】因为()(2)6f x f x +-=-，令1x =，可得(1)3f =-，即2313a -+=-，解得：2a =，所以32()261f x x x =-+，则2()612f x x x '=-，所以(1)6f '=-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线方程为：36(1)y x +=--，即630x y +-=【小问2详解】由题可得2()66f x x ax '=-因为函数()f x 在1x =处有极小值，则(1)660f a '=-=，解得：1a =，所以32()231f x x x =-+，2()666(1)f x x x x x '=-=-，令()0f x '=，解得：10x =，21x =当0x <或1x >时，()0f x '>，当01x <<时，()0f x '<，所以()f x 的单调增区间为(,0)-∞，(1,)+∞，减区间为(0,1)，则1a =时，函数()f x 在1x =处有极小值，满足题意；则当1[,2]2x ∈时，()f x 在1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭单调递减，在[]1,2上单调递增，由于11()22f =，(1)0f =，(2)5f =，所以max ()(2)5f x f ==16. 如图，已知1AA ⊥平面ABC ，11//BB AA ，AB AC =，BC =，1112AA BB ==E 为BC 中点.（1）求证：平面1AEA ^平面1BCB ；（2）试判断1B CB ∠的大小是否等于平面ABC 与平面11A B C 夹角的大小，请说明理由，并求出平面ABC与平面11A B C 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）1B CB ∠的大小等于平面ABC 与平面11A B C 【解析】【分析】（1）由题意得到⊥AE 平面1BCB ，根据面面垂直的判定定理即可得证；（2）取1BB 中点M ，1CB 的中点N ，连接1A M ，1A N ，NE ,MN ，可证明平面1//A MN 平面ABC ，即平面ABC 与平面11A B C 夹角等价于平面1A MN 与平面11A B C 夹角，由(1)可得 11A N B C ⊥，1A N MN ⊥，即可知1MNB ∠为平面1A MN 与平面11A B C 夹角，根据平行可得11B CB MNB ∠=∠，即可求解.【小问1详解】因为AB AC =，点E 为BC 中点，所以AE BC ⊥，因为1AA ⊥平面ABC ，11//BB AA ，所以1BB ⊥平面ABC ，又因为AE ⊂平面ABC ，所以⊥AE 1BB ，又1BC BB B = ，BC ，1BB ⊂平面 1BCB ，所以⊥AE 平面1BCB ，又AE ⊂平面1AEA ，所以平面1AEA ^平面1BCB .【小问2详解】1B CB ∠的大小等于平面ABC 与平面11A B C 夹角的大小，理由如下：取1BB 中点M ，1CB 的中点N ，连接1A M ，1A N ，NE ，MN ，因为M ，N 分别为1BB ，1CB 的中点，所以//BC MN ，且12MN BC ==，又MN ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以//MN 平面ABC ，因为N ，E 分别为1B C ，BC 的中点，所以1//NE BB ，12NE BB =又因为11//BB AA ，1112AA BB ==，所以1//NE AA ，且1NE AA =，所以四边形1AENA 为平行四边形，则1//A N AE ，又1A N ⊄平面ABC ，AE ⊂平面ABC ，所以1//A N 平面ABC ，又1A N MN N = ，1A N ，MN ⊂平面1A MN ，所以平面1//A MN 平面ABC ，所以平面ABC 与平面11A B C 夹角等价于平面1A MN 与平面11A B C 夹角，且平面1A MN ⋂平面111A B C A N =，由(1)知道⊥AE 平面1BCB ，又1//A N AE ，所以1A N ⊥平面1BCB ，又1B C ⊂平面1BCB ，MN ⊂平面1BCB 所以11A N B C ⊥，1A N MN ⊥，根据二面角的定义可知1MNB ∠为平面1A MN 与平面11A B C 夹角，又因为//BC MN ，所以11B CB MNB ∠=∠，即1B CB ∠的大小等于平面ABC 与平面11A B C 夹角的大小，因为1BB BC ⊥，所以1CB ==所以11cos BC B CB B C ∠===，17. 暑假即将开启，甲、乙两名同学计划7月中旬一起外出旅游体验生活，甲同学了解到黄山北站自6月15日零时起开通了黄山直达重庆的动车组列车，于是想去山城重庆游玩，但乙同学觉得重庆温度太高，想去四季如春的昆明，两人决定用“石头、剪刀、布”的游戏决定胜负，比对方多得2分者胜出，游戏结束，获胜者决定去哪里.规定：每局获胜者得1分，负者和平局均得0分.设每局甲获胜的概率为12，乙获胜的概率为14，平局的概率为14，且每局结果相互独立.（1）记前两局游戏中，甲所得总分为X ，求X 的分布列和期望；（2）记“游戏恰好进行三局结束”为事件A ，“乙获胜”为事件B ，求(|)P B A .【答案】（1）分布列见解析，期望为1 （2）15【解析】【分析】（1）写出X 的可能取值及对应的概率，得到分布列，求出期望值；（2）先求出()11583232P A =+=，()132P AB =，利用条件概率公式求出答案.【小问1详解】X 的可能取值为0，1，2，()1110224P X ==⨯=，()121111C 1222P X ⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎝⎭，()211224P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，故X 的分布列为，X012P141214期望为()1110121424E X =⨯+⨯+⨯=；【小问2详解】“游戏恰好进行三局结束”，即前两局，甲胜一局，平一局，第三局甲胜，或前两局，乙胜一局，平一局，第三局乙胜，故甲同学胜出的概率为121111C 2428⨯⨯⨯=，乙同学获胜的概率为121111C 44432⨯⨯⨯=，故()11583232P A =+=，又()132P AB =，故()()()11325532P AB P B A P A ===.18. 如图，在矩形OFHG （O 为坐标原点）中，02F =，OG =，点(0,E ，点i A ，i B （1,2,3,,1i n =- ）分别是OF ，FH 的(2)n n ≥等分点，直线i EA 和直线i GB 的交点为i M .（1）分别写出点i A ，i B 的坐标；（2）试证明点i M （1,2,3,,1i n =- ）在椭圆22:143x y C +=上；（3）设直线10x ty +-=与椭圆C 分别相交于P ，Q 两点，直线PO 与椭圆C 的另一个交点为E ，求PQE V 的面积S 的最大值.【答案】（1）2,0i i A n ⎛⎫⎪⎝⎭，i B ⎛ ⎝ （2）证明见解析（3）3【解析】【分析】(1) 由题意可以直接写出i A ，i B 的坐标.（2）设(),i M x y ，写出直线i EA ，i GB 的方程，根据点(),i M x y 的坐标是两条直线的交点，可证(),i M x y 在椭圆上.（3）把直线方程与椭圆方程联立，消去x 得到关于y 的一元二次方程，根据一元二次方程根与系数的关系，得到12y y +，12y y ，并用它们表示出PQE V 的面积，换元，利用导数分析单调性，可求PQE V 的面积的最大值.【小问1详解】由题意2,0i i A n ⎛⎫⎪⎝⎭，i B ⎛ ⎝（1,2,3,,1i n=- ）.【小问2详解】设(),i M x y ，又2,0i i A n ⎛⎫⎪⎝⎭，i B ⎛ ⎝（1,2,3,,1i n =- ）.则直线i EA：y x +=，①直线i GB：y x =，②点(),i M x y 的坐标是方程①②的解，①⨯②可得：(234y y x +=-，化简得：22143x y +=，所以(),i M x y 椭圆22143x y +=上.【小问3详解】如图：设()11,P x y ，()22,Q x y 10y >，20y <.由2210143x ty x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得：()2234690t y ty +--=，则122634ty y t +=+，122934y y t =-+.因为,P E 关于原点O 对称，所以2PQE PQO S S = ，直线10x ty +-=与x 轴的交点为()1,0，记为点N ，则：PQO PNO QNO S S S =+ 1212ON y y =⋅-====.所以2PQE PQOS S ==.在m =，m 1≥，则221t m =-，所以21231PQE m S m =+ 1213m m=+，设()()13,1f x x x x =+≥，则()2130f x x =->'在[)1,+∞上恒成立，所以()13f x x x =+[)1,+∞上单调递增，所以()()14f x f ≥=.所以1234PQE S ≤= （当1m =即0=t 时取“=”）.【点睛】关键点点睛：第（3）问中，得到PQES=m =，转化成求1213PQE S m m=+ （m 1≥）的最大值，再设()()13,1f x x x x=+≥，利用导数分析函数的单调性，即可解决问题.19. 对于无穷数列{}n a ，若满足：*N ∃∈m ，对*00(N )n n n ∀≥∈，都有n mna q a +=（其中q 为常数），则称{}n a 具有性质“0(),,W m n q ”.（1）若{}n a 具有性质“(4,2,3)W ”，且31a =，52a =，891120a a a ++=，求4a ；（2）若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 具有性质“(1,1,2)W ”，234b c ==，112b c c +=，134n n n nn a b b c ++=，试求数列{}n a 的前n （3）设{}n a 既具有性质“1(,1,)W i q ”，又具有性质“2(,1,)W j q ”，其中*,N i j ∈，i j <，求证：{}n a 具有性质“2,1,j ij W j i i q -⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭”.【答案】（1）53（2）112(31)2n n --+⋅（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由{}n a 具有性质“(4,2,3)W ”，，可得当2n ≥时，43n na a +=，结合题意计算即可;（2）根据无穷数列{}n c 具有性质“(1,1,2)W ”可得当1n ≥时，12n nc c +=，从而得到{}n c 和{}n b 的通项公式，在可得134(32)(31)2n n n a n n -+=-+,利用裂项相消求出数列{}n a 的前n 项和即可.（3）借助{}n a 既具有性质“1(,1,)W i q ”，又具有性质“2(,1,)W j q ”，则当1n ≥时，1n i n a q a +=，2n j n a q a +=，则有12112j i j i i j a a a q a a a +++⨯⨯⨯= ，12212j j i j iia a a q a a a +++⨯⨯⨯= ，通过运算得到12j iq q =，从而可验证对任意的1n i ≥+时，是否有2j in j i j na qa -+-=即可.【小问1详解】因为{}n a 具有性质“(4,2,3)W ”，则当2n ≥时，43n na a +=又因为31a =，52a =，891120a a a ++=，则1173399a a a ===，843a a =，9536a a ==，所以436920a ++=，解得：453a =【小问2详解】因为无穷数列{}n c 具有性质“(1,1,2)W ”，所以当1n ≥时，12n nc c +=，即{}n c 为公比为2的等比数列；又因为234b c ==，112b c c +=，则11c =，22c =，11b =，所以12n n c -=，又因为无穷数列{}n b 是等差数列，则213d b b =-=，所以32n b n =-，则1211343411(32)(31)2(32)2(31)2n n n n n n n n n a b b c n n n n ---+++===--+-⋅+⋅，所以数列{}n a 的前n 项和2101121011(32)211111112424273271022(1)2n n n S n n ---⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝--⋅+⎝⎭⎣⋅⎭⎦ ，所以111112(31)2(31)1221n n n S n n ---=-+=⋅⋅⨯+-【小问3详解】因为{}n a 既具有性质“1(,1,)W i q ”，又具有性质“2(,1,)W j q ”，其中*,N i j ∈，i j <则当1n ≥时，1n in a q a +=，2n j na q a +=，则有12112j i j i i j a a a q a a a +++⨯⨯⨯= ，12212j j i j iia a a q a a a +++⨯⨯⨯= ，由i j <，故121212112212121j i i ij j i i ji j j i j i i jia a a a a a a a a q a a a q a a a a a a ++++++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯ ，所以12j iq q =，即12ij q q =，由1n in a q a +=，2n j n a q a +=，则21n j n i a q a q ++=，当1n i ≥+，即1n i -≥时，有1222212ij in i jn j ij j i n i in ja a q q q q a a q q ---++--+=====，即对任意的1n i ≥+2j i j q-，即{}n a 具有性质“2,1,j ij W j i i q -⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭，证毕.【点睛】关键点睛：本题关键点在于通过对数列新定义的分析，从而得到1n in a q a +=，2n j na q a +=，并由此得到12112j i j i i j a a a q a a a +++⨯⨯⨯= ，12212j j i j i ia a a q a a a +++⨯⨯⨯= ，从而得出.12j iq q =。

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- 1 - 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本大题共12个小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.下列运算正确的为（） A．'1C（C为常数） B．211()'xx C．()'xxee D．(sin)'cosxx 2.已知21zii，则复数z（） A．13i B．13i C．13i D．13i 3.已知曲线31yxx在点P处的切线平行于直线2yx，那么点P的坐标为（） A．(1,0)或(1,1) B．(1,1)或(1,1) C．(1,1) D．(1,1) 4.随机变量2~(2,3)XN，且(1)0.20PX，则(23)PX（） A．0.20 B．0.30 C．0.70 D．0.80 5.设*111()()122fnnNnnn，那么(1)()fnfn（） A．121n B．122n C．112122nn D．112122nn 6.从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A“第一次取到的是偶数”，B“第二次取到的是偶数”，则(|)PBA（）

A．15 B．38 C．25 D．12 7.用反证法证明命题“已知函数()fx在[,]ab上单调，则()fx在[,]ab上至多有一个零点”时，要做的假设是（） A．()fx在[,]ab上没有零点 B．()fx在[,]ab上至少有一个零点 C．()fx在[,]ab上恰好有两个零点 D．()fx在[,]ab上至少有两个零点

8.在3()nxx的展开式中，各项系数与二项式系数和之比为128，则4x的系数为（） A．21 B．63 C．189 D．729 9.如图是函数()yfx的导函数'()fx的图象，则下面判断正确的是（）专业的教育资料 - 2 - A．在(3,1)上()fx是增函数 B．在(1,3)上()fx是减函数 C．在(1,2)上()fx是增函数 D．在4x时，()fx取极大值 10.若X是离散型随机变量，12()3PXx，21()3PXx，又已知4()3EX，2()9DX，则12xx的值为（）

A．53 B．23 C．3 D．1 11.已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡.若顾客甲没有银联卡，顾客乙只带了现金，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中的三种结账方式，那么他们结账方式的可能情况有（）种 A．19 B．26 C．7 D．12 12.已知在R上的可导函数()fx的导函数为'()fx，满足'()()fxfx，且(5)fx为偶函

数，(10)1f，则不等式()xfxe的解集为（） A．(0,) B．(1,) C．(5,) D．(10,) 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每小题5分，共计20分） 13.某研究性学习小组调查研究学生玩手机对学习的影响，部分统计数据如表玩手机不玩手机合计学习成绩优秀 4 8 12 学习成绩不优秀 16 2 18 合计 20 10 30 - 3 -

经计算2K的值，则有 %的把握认为玩手机对学习有影响．附： 20()PKk

0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

0k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

2

2nadbcKabcdacbd

，nabcd.

14.由曲线3yx与13yx围成的封闭图形的面积是． 15.对于三次函数32()(0)fxaxbxcxda，定义：设''()fx是函数()yfx的导数'()yfx的导数，若方程''()0fx有实数解0x，则称点00(,())xfx为函数()yfx的“拐

点”，有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心.”根据此发现，若函数3231()324fxxxx，计算1232018()()()()2019201920192019ffff ．

16.对于函数()yfx，若存在区间[,]ab，当[,]xab时，()fx的值域为[,](0)kakbk，则称()yfx为k倍值函数.下列函数为2倍值函数的是（填上所有正确的序号）． ①2()fxx ②32()22fxxxx ③()lnfxxx ④()xxfxe 三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知2zi，a，b为实数. （Ⅰ）若2312zz，求；

（Ⅱ）若522azbziz，求实数a，b的值. 18.已知函数3211()(1)()32fxxaxaxaR. （Ⅰ）若()fx在13x处取得极值，求()fx的单调递减区间；（Ⅱ）若()fx在区间(0,1)内有极大值和极小值，求实数a的取值范围. 专业的教育资料 - 4 - 19.某校倡导为特困学生募捐，要求在自动购水机处每购买一箱矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱.现统计了连续5天的售出矿泉水箱数和收入情况，列表如下：售出水量x（单位：箱） 7 6 6 5 6 收入y（单位：元） 165 142 148 125 150

学校计划将捐款以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生综合考核前20名，获一等奖学金500元；综合考核21～50名，获二等奖学金300元；综合考核50名以后的不获得奖学金. （Ⅰ）若售出水量箱数x与y成线性相关，则某天售出9箱水时，预计收入为多少元？

（Ⅱ）甲乙两名学生获一等奖学金的概率均为25，获二等奖学金的概率均为13，不获得奖学金的概率均为415，已知甲乙两名学生获得哪个等级的奖学金相互独立，求甲乙两名学生所获得奖学金之和X的分布列及数学期望.

附：回归直线方程ybxa，其中121()()()niiiniixxyybxx，aybx. 20.如图（1）是一个仿古的首饰盒，其左视图是由一个半径为r分米的半圆和矩形ABCD组成，其中AD长为a分米，如图（2）.为了美观，要求2rar.已知该首饰盒的长为4r分米，容积为4立方分米（不计厚度），假设该首饰盒的制作费用只与其表面积有关，下半部分的制作费用为每平方分米2百元，上半部制作费用为每平方分米4百元，设该首饰盒的制作费用为y百元.

（Ⅰ）写出y关于r的函数解析式；（Ⅱ）当r为何值时，该首饰盒的制作费用最低？ 21.已知函数2()1ln()fxaxxxaR在点11(,())22f处的切线与直线210xy垂直. - 5 -

（Ⅰ）求函数()fx的极值；（Ⅱ）若2()mfxmxx在[1,)上恒成立，求实数m的取值范围. 22.选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为1cos23sin2xtyt（t为参数，02），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为22cos30

（Ⅰ）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A、B两点，求AB的最小值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数2()3fxxax，()1gxxxa. （Ⅰ）若()1gx恒成立，求a的取值范围；（Ⅱ）已知1a，若(1,1)x使()()fxgx成立，求实数a的取值范围. - 6 -

高二数学（理科）试题参考答案一、选择题 1-5: CABBD 6-10: BDCCD 11、12：BA 二、填空题 13. 99.5 14. 1 15. 2018 16. ①②④ 三、解答题

17.解：（Ⅰ）∵2zi，∴2zi. ∴2312zz2(2)3(2)123iii， ∴22(3)110；（Ⅱ）∵2zi，

∴(2)(2)22(2)azbzaibizi

22()()[2()()]ababiiababiii



2()52baabii.

∴51baab，解得32ab， ∴a，b的值为：-3，2. 18.解：2'()(1)fxxaxa，（Ⅰ）∵()fx在13x处取得极值， ∴1'()03f，∴11(1)093aa，∴23a， ∴2521'()()(2)333fxxxxx，令'()0fx，则1()(2)03xx， ∴123x， ∴函数()fx的单调递减区间为1(,2)3. （Ⅱ）∵()fx在(0,1)内有极大值和极小值， - 7 -

∴'()0fx在(0,1)内有两不等实根，对称轴12ax， ∴01012'(0)0'(1)0aff，

即2(1)40110110aaaaaa322322110aaaa或， ∴0322a. 19.解：（Ⅰ）7665665x，1651421481251501465y， 1921202b，

14620626a，

所以线性回归方程为2026yx，当9x时，y的估计值为206元；（Ⅱ）甲乙两名同学所获得奖学金之和X的可能取值为0，300，500，600，800，1000； 4416(0)1515225PX；

148(300)231545PX；

2416(500)251575PX；

111(600)339PX；

214(800)25315PX；

224(1000)5525PX.

X 0 300 500 600 800 1000

P 16225 845 1675 19 415 425

所以X的数学期望()600EX.