华中师大一附中2018年自主招生考试数学试题
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湖北省华中师大一附中2018－2018学年度第一学期期中检测高一年级数学试题考试限时：120分钟 卷面满分：150分 命题人： 高一数学备课组一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
请把正确选项写在答题卡中相应的题号下。
1．全集U ＝R ，A ＝{x |x 2－x <0}，B ＝{x |1x≤1}，则 A ．A C U BB ．C U B AC ．A ＝C U BD ．（C U A ）∪B ＝R2．“p 或q 为真命题”是“p 且q 为真命题”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数f （x ）＝x 2＋2（a －1）x ＋2在区间（－∞，4）上是减函数，则A ．a ≥3B ．a ≤－3C ．a ≤5D ．a ＝－34．2115113366221()(3)()3a b a b a b -÷的结果是A ．6aB ．－aC ．－9aD ．9a5．函数y1（x ≥1）的反函数是A ．y ＝x 2－2x ＋2（x <1）B ．y ＝x 2－2x ＋2（x ≥1）C ．y ＝x 2－2x （x <1）D ．y ＝x 2－2x （x ≥1）6．f （x ）＝1221(0)(0)x x xx -⎧-≤⎪⎨⎪>⎩若f （x 0）>1，则x 0的取值范围是A ．（－1，1）B ．（－1，＋∞）C ．（－∞，－2）∪（0，＋∞）D ．（－∞，－1）∪（1，＋∞）7．函数y ＝a x （a >0且a ≠1），在[1，2]上的最大值与最小值的差为2a，则a 的值为 A ．12B ．32C ．23或2 D ．12或328．若不等式5－x >7|x ＋1|与不等式ax 2＋bx －2>0的解集相同，则a 、b 的值分别是A ．a ＝－4，b ＝－9B ．a ＝－1，b ＝9C ．a ＝－8，b ＝－10D ．a ＝－1，b ＝2≠ ⊂ ≠ ⊂9．已知函数f （x ）的图象过点（0，1），则y ＝f （x －4）的反函数图象过点A ．（1，4）B ．（4，1）C ．（3，0）D ．（0，3）10．已知定义域为R 的函数f （x ）满足f （2－x ）＝－f （x ），x >1时f （x ）单调递增，如果x 1<x 2，x 1＋x 2<2，且（x 1－1）（x 2－1）<0，则f （x 1）＋f （x 2）的值A ．恒小于0B ．恒大于0C ．可能为0D ．可正可负二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把答案写在答题卡中相应的横线上。
华中师大一附中2017年自主招生考试数学试题(word版附答案)
华中师大一附中2017年高中招生考试数学试题考试时间：80分钟卷面满分：150分说明：所有答案一律书写在答题卡上，写在试卷上作答无效．一、选择题(本大题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的．)1．实数a，b，c在数轴上对应的点如右图所示，化简代数式√a2−2a＋1＋∣b−c∣－√a2−2ab＋b2的结果为( )A．2b－c－1 B．－1 C．2a－c－1 D．b－c＋12．已知点A，B分别是双曲线y=4x和直线y=－x上任意一点，则AB的最小值为( ) A．2 B．4√2C．4 D．2√23．如图，反比例函数y=kx(k为非零常数)的图象经过二次函数y=ax2＋bx(a，b为常数，且a≠0)的图象的顶点(－12，m) (m>0)则( )A．a=b＋2k B．a=b－2kC．k＜b＜0 D．a＜k＜04．若实数a，b满足a2＋b2=4，则√a(b−4)3＋√ab−3a+2b−6=( )A．－2 B．0 C．2 D．45．已知y=f(x)满足：(1)f(1)=1(f(1)表示x=1时对应的y的值，下同) ；(2)当0<x<1时f(x)>0；(3)对任意实数x，y有f(x＋y)－f(x－y)=2 f(1－x) f(y)，则f(13)=( )A．1 B．12C．√22D．√336．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点E，F分别是AB，BC边上的两动点，且EF=2，点G为EF的中点，点H为AD边上一动点，连接CH，GH，则GH＋CH的最小值为( )A．4√5B．9C．√83D．√85二、填空题(本大题共6小题，每小题7分，共42分)7．x=b−√b2−4122(b＞21)，则x2－bx＋103=__________．8．已知关于x的方程x−1x−2−xx+1=ax+1x2−x−2无解，则a的值为__________．9．已知√x2−1+√x2+6=7，则√x2−9+√x2−6=__________．10．如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，若折痕AE=5√5，且tan∠EFC=34，连接DF．则点A到DF的距离为__________．第10题图第11题图11．如图，PA，PB分别切⊙O于点A、点B，AC是⊙O的直径，AC，PB的延长线交于点E，F为AP的中点，AB分别交OP、EF于点T、点S．若BEBP =23，则ATSB=__________．12．定义：使函数y=f(x)的函数值为零的x的值叫函数y=f(x)的幸运点(如：y=x2－2x+1 的幸运点为x=1；y=x2－2x－3的幸运点为x=3，x=－1；y=x＋1的幸运点为x=－1)．设f(x) ={(x+1)2−3(x≤1)1x(x＞1)，若g(x) =f(x)－b恰好有两个幸运点，则实数b的取值范围为__________．三、解答题(本大题共4小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤) 13．(本小题满分16分)如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，连接AC交⊙O于点E，连接BC交⊙O于点D，AD、BE交于点F，连接DE．(1)求证：点F在△ABC的AB边的高上；(2)若AB=√2DE，求∠AFB的度数．14．(本小题满分16分)(1)设k，t为常数，解关于x的方程kx2＋(3－3k)x＋2k－6=0…①(2)在(1)的条件下，若方程①只有整数根，且关于y的一元二次方程(k＋3)y2－15y＋t=0…②有两个正整数根y1，y2，则t为何值时，y21+y22有最小值？15．(本小题满分16分)已知ABCD 的对角线AC 、BD 相交于E 点，∠CAD=a ，∠BAC=β． (1)如图1，若a =2β，BD=10，AD=8，求AC 的长；(2)如图2，若a =β=45°，点M 为线段AB 上一动点，连接DM ，将DM 绕D 点逆时针旋转60°得线段DN ，连接BN ．若点M 由A →E 匀速运动，点M 到达E 点后运动停止，在点M 运动的过程中，∠CBN 的度数是否变化？若变化，求其取值范围；若不变，求其值．16．（本小题满分18分）已知抛物线y ＝x 2的图象如图1所示，A （0，a ）（a ＞0），直线l ：y ＝−14，点B 为抛物线上的任意一点且恒满足点B 到A 点距离与点B 到l 的距离相等． (1)求a 的值；(2)如图2，若直线l 1：y ＝kx ＋14交抛物线于E ，D 两点，连接DO 、OE ． ①过点E 作EC ⊥x 轴于点C ，过点D 作DF ⊥x 轴于点F ，求tan ∠OEC tan ∠DOF的值；②过点E 作EM ⊥l 于点M ，过点D 作DN ⊥l 于点N ，点G 为MN 的中点，若点G 到DE 的距离为√52，求k 值．ABCDE MA BDCEN 图1图2华中师大一附中2017年高中招生考试数学试题参考答案考试时间：80分钟 卷面满分：150分说明：所有答案一律书写在答题卡上，写在试卷上作答无效．一、选择题(本大题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的．)7．08．1，2，49．310．4√511．7412．－3<b ≤0或b =1三、解答题(本大题共4小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤) 13．（1）∵AB 为直径，∴∠ADB ＝90°，∠AEB ＝90° ∴AD 、BE 是△ABC 的两条高， ∴F 是△ABC 的AB 边上的高．（2）∵∠CDE ＝∠CAB ，∠C ＝∠C ，∴△CDE ∽△CAB ， ∴CD AC=DE AB=√22=cosC ，∴∠C=45°，∵∠C ＋∠EFD ＝180°，∴∠AFB ＝∠EFD ＝135°． 14．（1）当k ＝0时，x ＝2符合题意；当k ≠0时，则(x －2)(kx ＋3－k )＝0，∴x 1＝2，x 2＝k−3k（2）由（1）得，k ＝0时，x ＝2∴y 1＋y 2＝5，y 1·y 2＝tk+3，∴(y 1，y 2，t )＝(4，1，12)或(3，2，18)或(1，4，12)或(2，3，8) ∴y 21+y 22＝17或13 当k ≠0时，x 1＝2，x 2＝k−3k∴k ＝31−x 2，则k ＋3＝6−3x 21−x 2，y 1＋y 2＝5(1−x 2)2−x 2＝5＋5x 2−2≥2，∴x 2－2＝－5，1，5，∴x 2＝－3，3，7 ∴k ＝34，−32，12，∴y 1＋y 2＝4，10，6当y 1＋y 2＝4时，(y 1，y 2)＝(3，1)或（2，2）或（1，3），y 21+y 22＝8或10 当y 1＋y 2＝6时，y 21+y 22＝(6－y 2)2＋y 22＝2(y 2－3)2＋18≥18 当y 1＋y 2＝10时，y 21+y 22＝(10－y 2)2＋y 22＝2(y 2－5)2＋50≥50∴(y 21+y 22)min ＝8，∴y 1＝y 2＝2，k ＝34，又y 1·y 2＝tk+3，∴t ＝(k ＋3)y 1·y 2＝15 综上，当t ＝15时，y 21+y 22有最小值．15．（1）以B 为圆心，BC 为半径画弧交AC 于C ，F 两点，连接BF ，作BS ⊥AC 于S ∵a =2β，∠BCA ＝∠DAC ＝∠BFC ，∴∠ABF ＝∠BAF ∴BC ＝AD ＝BF ＝AF ＝8∴ES ＝CE －CS ＝12AC －12CF=12AF ＝4∴BS ＝√52−42＝3，∴CS ＝√82−32＝√55，∴CE ＝4＋√55 ∴AC=8+2√55或延长EC 至T ，使CT ＝BC ，连接BT ，做法与上法类似． （2）法1：以AD 为边作等边△AFD ，以DE 为边作等边△DEG （如图所示），连NG ，FG ∵a =β=45°，易证四边形ABCD 为正方形， 易证△MDE ≌△NDG ，△ADE ≌△FDG ， ∠FGD ＝∠AED ＝∠NGD ＝90°， ∴F ，N ，G 三点共线∠ABF ＝∠AFB ＝75°，∠DBF ＝30°延长BF 交直线DG 于G ′，∴∠BG ′D ＝90°， ∴BD ＝2DG ′＝2DG ，∴G 与G ′重合，∴B 、F 、N 、G 四点共线，∴∠NBD ＝30°，∠CBN ＝15°不变． 法2：作等边△DEG ，连接NG ，易证△MDE ≌△NDG ，∴∠MED ＝∠NGD ＝90°，∠EDG ＝60°，延长GN 交直线BD 于B ′，则DB ′＝2DG ， 又∵BD ＝2DG ，∴BD ＝DB ′，∴B 与B ′重合，∴∠DBG ＝30°，∴∠CBN ＝15°． 16．（1）设B(x ，y )，∴y ＝x 2，∴x 2＋(y －a )2＝(y ＋14)2，∴(12－2a )y ＋a 2－116＝0， ∴{12－2a =0a 2－116=0，∴a ＝14，或B 与O 重合，a ＝14，再证BA 与B 到直线l 的距离相等． （2）①作BC ⊥x 轴于C ，DF ⊥x 轴于F ，设ED 的解析式为y ＝kx ＋14，E(x 1，y 1)，D(x 2，y 2)，{y =x 2y ＝kx ＋14，∴x 2－kx －14＝0，∴x 1＋x 2＝k ，x 1·x 2＝－14，∴y 1＝x 21，y 2＝x 22 ∴tan ∠OEC ＝−x 1y 1，tan ∠DOF ＝y 2x 2，∴tan ∠OECtan ∠DOF＝−x 1y 1·y 2x 2＝4（3）∵EA ＝EM ，DN ＝DA ，∴∠EAM ＋∠DAN ＝12（180°－∠AEM ＋180°＋∠ADM ）＝90°，∴∠MAN ＝90°∴GA ＝GM ＝GN ，∴△GME ≌△GAE ，∴∠GAE ＝∠GMA ＝90°，∴GA ⊥DE ，MN ＝∣x 1－x 2∣＝√(x 1−x 2)2−4x 1x 2＝√k 2+1＝2GA ＝√5，∴k ＝±2．。
华师一附中2018届高三10月调考理科数学
湖北华师一附中2018届高三9月调考理科数学一.选择题： 1．已知2(π-∈x ，0），54cos =x ，则tan 2x = （ ） （A ）247 （B ）247- （C ）724 （D ）724-2．圆锥曲线θθρ2cos sin 8=的准线方程是 （ ） （A ）2cos -=θρ （B ）2cos =θρ （C ）2sin =θρ （D ）2sin -=θρ 3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-2112)(xx f x 00>≤x x ，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是 （ ） （A ）(1,1)- （B ）(1,)-+∞ （C ）(,2)(0,)-∞-⋃+∞ （D ）(,1)(1,)-∞-⋃+∞ 4．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为 （ ） （A ）21+ （B ）12- （C ）2 （D ）25．已知圆C ：4)2()(22=-+-y a x （0>a ）及直线l ：03=+-y x ，当直线l 被C 截得的弦长为32时，则a = （ ）（A ）2 （B ）22- （C ）12- （D ）12+6．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）（A ）22R π （B ）249R π （C ）238R π （D ）223R π7．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的的等差数列，则=-||n m （ ）（A ）1 （B ）43 （C ）21 （D ）838．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0），直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是 （ ） （A ）14322=-y x （B ）13422=-y x （C ）12522=-y x （D ）15222=-y x 9．若O 为ABC ∆所在平面内任一点，且满足0)2()(=-+⋅-OA OC OB OC OB ，则ABC ∆ 一定是（ ）A.正三角形B.等腰三角形C.直角三角形 D ．等腰直角三角形10．已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点0P 沿与AB 的夹角θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角），设4P 的坐标为（4x ，0），若214<<x ，则tan θ的取值范围是 （ ） （A ）（31，1） （B ）（31，32） （C ）（52，21） （D ）（52，32）11. 定义在R 上的函数()f x 满足：()1()f x f x '>-，(0)6f =，()f x '是()f x 的导函数，则不等式()5xxe f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为( )A ．()0,+∞B ．()(),03,-∞+∞ C ．()(),01,-∞+∞ D ．()3,+∞12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则些球的表面积为（ ） （A ）π3 （B ）π4 （C ）π33 （D ）π6 二.填空题： 13．92)21(xx -的展开式中9x 系数是 14．使1)(log 2+<-x x 成立的x 的取值范围是15．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种（以数字作答）16．下列5个正方体图形中，l 是正方体的一条对角线，点M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出⊥l 面MNP 的图形的序号是 （写出所有符合要求的图形序号）三、解答题17.(本小题满分12分)已知数列{}n a 中，411=a ，其前n 项的和为n S ，且满足2221n n n S a S =-(2)n ≥. (Ⅰ) 求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； (Ⅱ) 证明：1231113...232n S S S S n ++++< 2118．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形，︒=∠90ACB ，侧棱21=AA ，D 、E 分别是1CC 与B A 1的中点，点E 在平面ABD 上的射影是ABD ∆的重心G（I ）求B A 1与平面ABD 所成角的余弦值 （II ）求点1A 到平面AED 的距离19.（本小题满分12分）已知0>c ，设P ：函数x c y =在R 上单调递减，Q ：不等式1|2|>-+c x x 的解集为R 。
推荐-华中师大一附中2018学年度下学期期末考试高一数学试题答案 精品
华中师大一附中2018—2018学年度第二学期期末检测高一年级数学试题答案一、选择题 (本大题共12小题，每小题5分，共60分)二、填空题 (本大题共4小题，每小题4分，共16分) 13．172514. 1 15。
. 16。
2-三、解答题 (本大题共6小题，共74分)17．(满分12分) Q a b 、和x y 、都是正数，L L L L L L L L L L L L L 2分22222222222()().10a b a y b x x y a b x y x ya b a b \++=+++?+=++L L L L L L L L L L L L 分222().a b a b x y x y+\+?+L L L L L L L L L L L L L L L L 12分 1.8．(满分12分)(1) (2,),(4,0),4(2).AP x y AB AP ABx =+=?+u u u r uu u r u u u r u u u r(4,0),(2,),4(2).BA BP x y BA BPx =-=-?-u u r u u r u u r u u r22(2,),(2,), 4.PA x y PB x y PA PBx y =---=--?+-u u r u u r u u r u u r L L L L L L 6分222,12.AP AB BA BP PA PB x y ???\+=uu u r uu u r uu r uu r uu r uu r Q||OP \=uu u r L L L L L L L L L L L L L L L L L 8分(2) 当2y =-时，28.x =22cos ||||PA PBθPA PB ?\==×uu r uu r uu r uu r2==L L L L L L L L L L L L L L L L L L L11分∴PAuu r与PBuu r的夹角4πθ=. L L L L L L L L L L L L L L L L12分19．(满分12分) (1){410,220.2(2)(2)0,320.xxxx xx+?-+鄢-+-?Û-?L L L L L L L L L L L L L L L L L L由分函数的定义域(,2](2,).A=-?+?U L L L L L L L L L L L L6分(2 ) 2(31)(21)0x a x a a-++-+>由2(31)(21)0.x a x a a?+++<∵1,a≠-于是①当1a>-时，(,21).B a a=+由, 2.B A a娃?2.a\?L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L9分②当1a<时，(21,).B a a=+由, 2.B A a娃?2.a\?综合得， 2.a?或 2.a³L L L L L L L L L L L L L L L L12分20 。
湖北省华中师范大学第一附属中学2018届高三上学期期中考试数学(文)试题Word版含答案
华中师大一附中2017—2018学年度上学期高三期中检测数学试题（文科）第Ι卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡相应位置上）1．已知集合{}{}222320,ln(1)A x x x B x y x =-->==-，则A B =A ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．()(),21,-∞-+∞C ．()2,1--D ．()()2,11,--+∞2．已知i 是虚数单位，,a b R ∈，则“1a b ==”是“2()2a bi i +=”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．已知βα,是两相异平面，n m ,是两相异直线，则下列错误．．的是 A ．若m ∥α⊥m n ,，则α⊥n B ．若⊥m βα⊥m ,，则α∥βC ．若⊥m βα⊂m ,，则⊥αβD ．若m ∥,n ααβ= ，则m ∥n4．两次抛掷一枚骰子，则向上的点数之差的绝对值等于2的概率是 A ．19B ．29C ．13D ．495.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知175100,5770a S S =--=，则 101S 等于 A ．100 B ．50C ．0D ．50-6．已知(,)P x y 为区域2200y x x a⎧-≤⎨≤≤⎩内的任意一点，当该区域的面积为4时，2z x y =-的最大值是A ．6B ．0C ．2D ．7．设120172016,log log a b c ===，则,,a b c 的大小关系为A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c b a >> 8．执行如下图的程序框图，如果输入的0.01t =，则输出的n =A ．5B ．6C ．7D ．89．如下图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为A. 8π B ．16π C ．32π D ．64π10．若向量,a b满足22a a b =+= ，则a 在b 方向上投影的最大值是AB． CD．11．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>与函数y =P，若函数y =图象在点P 处的切线过双曲线的左焦点F （-1,0），则双曲线的离心率是ABCD ．3212．若对于任意的正实数,x y 都有(2)ln y y xx e x me-≤ 成立，则实数m 的取值范围为 A.1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．210,e ⎛⎤⎥⎝⎦ C ．()0,1D ．10,e⎛⎤⎥⎝⎦第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置上）13．已知1cos()44x π+=，则sin 2x 的值为__________．14．已知31,,4OA OB m AOB π==∠= ，点C 在AOB ∠内且0O AO C = ．若2(0)O C O A O B λλλ=+≠ ，则m =__________．第8题图主视图 侧视图 俯视图 第9题图15．已知函数())4f x x π=+，把()f x 的图象按向量(),0(0)v m m =>平移后，所得图象恰好为函数()y f x '=的图象，则m 的最小值为__________．16．在锐角ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知24a b +=，sin 4sin 6sin sin a A b B a B C +=，则ABC ∆的面积取最小值时有2c =__________．三、解答题（本大题共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）设数列n a 的前n 项和为n S ，且1212--=n n S ，{}n b 为等差数列，且()112211,a b b a b a =-=.（1）求数列n a 和{}n b 的通项公式；（2）设nnn a b c =，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 18．（本小题满分12分）近年来,我国许多省市雾霾天气频发,为增强市民的环境保护意识,某市面向全市征召n 名义务宣传志愿者,成立环境保护宣传组织.现把该组织的成员按年龄分成5组:第1组[20,25),第2组[25,30),第3组[30,35),第4组[35,40),第5组[40,45],得到的频率分布直方图如图所示,已知第2组有35人．（1）求该组织的人数； （2）若在第3,4,5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加某社区的宣传活动,应从第3,4,5组各抽取多少名志愿者? （3）在（2）的条件下,该组织决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验,求第3组至少有1名志愿者被抽中的概率． 19．（本小题满分12分）如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是菱形，其对角线的交点为O ，且,SA SC SA BD =⊥． （1）求证：SO ⊥平面ABCD ；（2）设60BAD ︒∠=，2AB SD ==，P 是侧棱SD 上的一点，且SB ∥平面APC ，求三棱锥A PCD -的体积．20．（本小题满分12分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为22，且以原点为圆心，椭圆的焦距为直径的圆与直线01cos sin =-+θθy x 相切（θ为常数）． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，若椭圆C 的左、右焦点分别为21F F 、，过2F 作直线l 与椭圆分别交于两点N M 、，求F F 11⋅的取值范围．21．(本小题满分12分)函数2()ln ,()f x x g x x x m ==--.（1）若函数()()()F x f x g x =-，求函数()F x 的极值；（2）若2()()(2)x f x g x x x e +<--在(0,3)x ∈恒成立，求实数m 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设曲线C 参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)，直线l 的极坐标方程为cos()4πρθ-=（1）写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）求曲线C 上的点到直线l 的最大距离，并求出这个点的坐标．23．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 设函数()|1|||()f x x x a a R =-+-∈．（1）当4a =时，求不等式()5f x ≥的解集； （2）若()4f x ≥对x R ∈恒成立，求a 的取值范围．华中师大一附中2017—2018学年度上学期高三期中考试数学试题（文科）参考答案与评分标准一、选择题 CADBC AACCB AD 二、填空题 13．78； 14． 15．32π； 16．5三、解答题17.解：（Ⅰ）当1=n 时，111==S a ， 当2≥n 时，121121212212----=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=n n n n n n S S a ， 经验证当1=n 时，此式也成立，所以121-=n n a ， 从而2,1211211==-==a a b b a b ， 又因为{}n b 为等差数列，所以公差()12211,2-=⋅-+=∴=n n b d n ， 故数列{}n a 和{}n b 通项公式分别为：12,211-==-n b a n n n . ……………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知()112122112--⋅-=-=n n n n n c ，所以()1210212252321-⋅-++⨯+⨯+⨯=n n n T ……①①2⨯得()()n n n n n T 21223225232121321⋅-+⋅-++⨯+⨯+⨯=- ……② ①-②得：()()n n n n T 2122222112⋅--++++=--()()()()n n n n n n n n 2323212421212212122111∙---=∙---+=∙----+=+-.∴数列{}n c 的前n 项和()nn n T 2323∙-+=. …………………12分18．解： (1)由题意第2组的人数为35=5×0.07×n ,得到n=100,故该组织有100人.………………… 2分(2)第3组的人数为0.06×5×100=30，第4组的人数为0.04×5×100=20，第5组的人数为0.02×5×100=10，所以第3,4,5组共有60名志愿者，所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，每组抽取的人数分别为：第3组366030=⨯；第4组266020=⨯；第5组166010=⨯． 所以应从第3,4,5组中分别抽取3人，2人，1人． ………………6分(3)记第3组的3名志愿者为A 1,A 2,A 3,第4组的2名志愿者为B 1,B 2,第5组的1名志愿者为C 1,则从6名志愿者中抽取2名志愿者有(A 1,A 2),(A 1,A 3),(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 1,C 1),(A 2,A 3),(A 2,B 1),(A 2,B 2),(A 2,C 1),(A 3,B 1),(A 3,B 2),(A 3,C 1),(B 1,B 2),(B 1,C 1),(B 2,C 1),共有15种．其中第3组的3名志愿者A 1,A 2,A 3至少有一名志愿者被抽中的有(A 1,A 2),(A 1,A 3),(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 1,C 1),(A 2,A 3),(A 2,B 1),(A 2,B 2),(A 2,C 1),(A 3,B 1),(A 3,B 2),(A 3,C 1),共有12种．则第3组至少有1名志愿者被抽中的概率为541512=． …………………12分19．（1）证明： 底面ABCD 是菱形，∴对角线AC BD ⊥，又A AC SA SA BD =⋂⊥，，⊥∴BD 平面SAC ，⊂SO 平面SAC ，⊥∴BD SO ， 又O SC SA ,=为AC 中点，,O BD AC AC SO =⋂⊥∴，⊥∴SO 平面ABCD ．…………………6分（2）连 ,PO SB ∥平面APC ，SB ⊂平面SBD ，平面SBD ⋂平面APC PO =，SB ∴∥PO ，在三角形SBD 中，O 是BD 的中点，P ∴是SD 的中点．取OD 的中点E ，连PE ，则PE ∥SO ，⊥PE 底面ACD ，且SO PE 21=，在直角三角形ADO 中，1,302=∴︒=∠=DO DAO AD ，在直角三角形SDO 中，，，23,32=∴==PE SO SD 3120sin 2221=︒⨯⨯⨯=ACD S 三角形 2123331=⨯⨯==∴--ACD P PCD A V V 三棱锥三棱锥． …………………12分20．（1）由题意，⎪⎩⎪⎨⎧===⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+==+=121cos sin 1222222222b a c c b a c a c θθ 故椭圆1222=+y x C ：． …………………4分（2）①若直线l 斜率不存在，则可得x l ⊥轴，方程为1=x ，)22,1()22,1(-N M 、 ∴)22,2(1=F ，)22,2(1-=N F ，故2711=⋅N F M F .②若直线l 斜率存在，设直线l 的方程为)1(-=x k y ，由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=12)1(22y x x k y 消去y 得：0224)21(2222=-+-+k x k x k ，设),(11y x M ，),(22y x N ，则2221214k k x x +=+,22212122k k x x +-=.),1(111y x F +=，),1(221y x F +=，则)1()1()1)(1()1)(1(2121212111-⋅-+++=+++=⋅x k x k x x y y x x F F 2212212111))(1()1(k x x k x x k F F +++-++=⋅⇒代入韦达定理可得12292712171124412)1(222222422411+-=+-=+++-++-=⋅k k k k k k k k k F F 由02≥k 可得)27,1[11-∈⋅N F M F ，结合当k 不存在时的情况，得]27,1[11-∈⋅N F M F21．解：（1）2()ln F x x x x m =-++，定义域(21)(1)(0,),(),x x F x x+-'+∞=-由()0F x '>得01x <<, 由()0F x '<得1x >,()F x ∴在(0,1)递增,在(1,)+∞递减,()(1),F x F m ∴==极大没有极小值. …………………4分（2）由2()()(2)xf xg x x x e +<--在(0,3)x ∈恒成立，整理得(2)ln xm x e x x>-+-在(0,3)恒成立,设()(2)ln xh x x e x x =-+-,则1()(1)()x h x x e x'=--, …………………6分1x >时,10x ->,且11,1,0,()0x x e e e h x x x'><∴->∴>, 01x <<时,10x -<,设211(),()0,x x u x e u x e x x'=-=+>()u x ∴在(0,1)递增,又011()20,(1)10,(,1)22u u e x =<=->∴∃∈使得0()0.u x =0(0,)x x ∴∈时,()0u x <,0(,1)x x ∈时,()0u x >, 0(0,)x x ∴∈时,()0h x '>,0(,1)x x ∈时,()0h x '<.∴函数()h x 在0(0,)x 递增,0(,1)x 递减,(1,3)递增, …………………9分又000000001()(2)ln (2)2,xh x x e x x x x x =-+-=--00000022(0,1),2,()12121,x h x x x x x ∈∴-<-∴=--<--<- 3(3)ln330h e =+->，(0,3)x ∴∈时，()(3)h x h <， …………………11分(3)m h ∴≥,即m 的取值范围是)3ln 33,.e ⎡+-+∞⎣ …………………12分22．解：（1）曲线21y +=，直线l 的方程为40x y +-=. …………………5分（2）在cos:sin x C y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩上任取一点cos ,sin ),θθ 则点P 到直线l 的距离为d =≤∴当sin()13πθ+=-时，m a x d =31,).22-- 10分23.解:（1）)541≥-+-x x 等价于1255x x <⎧⎨-+≥⎩ 或1435x ≤≤⎧⎨≥⎩ 或4255x x >⎧⎨-≥⎩，解得：0x ≤或5x ≥．故不等式()5f x ≥的解集为{0x x ≤或5}x ≥．………………5分 （2）因为: ()1(1)()1f x x x a x x a a =-+-≥---=- 所以min()1f x a =-,由题意得：14a -≥， 解得3-≤a 或5≥a ．…………………10分。
湖北省华师一附中2018届高三9月调研考试理科数学
第1页 共8页 第2页 共8页绝密★启用前湖北省华师一附中2018届高三9月调研考试理科数学学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、已知且，则=（ ）A ．B ．C ．D ．2、圆锥曲线的准线方程是（ ） A ．B ．C ．D ．3、设函数 ，若，则的取值范围是（ ）A ．（，1）B ．（，）C ．（，）（0，） D ．（，）（1，）4、函数的最大值为 （ ）A ．B ．C ．D ．25、已知圆C ：（）及直线：，当直线被C 截得的弦长为时，则= （ ） A ．B ．C ．D ．6、已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）A ．B ．C ．D ．7、已知方程的四个实根组成一个首项为的等差数列，则等于（ ）A ．1B ．C ．D ．8、已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （，0），直线与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为，则此双曲线的方程是 （ ）A ．B ．C ．D ．9、若为所在平面内任一点，且满足，则一定是（ ）A ．正三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形10、已知长方形的四个顶点A （0,0）,B （2,0）,C （2,1）和D （0,1），一质点从AB 的中点沿与AB 夹角为的方向射到BC 上的点后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点、和（入射角等于反射角），设坐标为（），若，则tan 的取值范围是（ ）A ．（） B ．（） C ．（） D ．（）第3页 共8页 ◎ 第4页 共8页11、定义在上的函数满足：，，是的导函数，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为( )A ．B ．C ．D ．12、一个四面体各棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A ．B ．C ．D ．13、下列五个正方体图形中，是正方体的一条对角线，点M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，求能得出⊥面MNP 的图形的序号(写出所有符合要求的图形序号)第5页 共8页 第6页 共8页第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）14、的展开式中的系数是 。
湖北省华中师范大学第一附属中学2018届高三上学期期中考试数学(理)试题Word版含答案
华中师大一附中2017-2018学年度上学期高三年级期中检测数学（理）试题第I 卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数2z1i，则下列命题中正确的个数为①2=z ②i z -=1 ③z 的虚部为i ④z 在复平面上对应点在第一象限 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．下列函数为偶函数且在(0，＋∞)上为增函数的是A ．20()(cos )x f x tdt B ．223()f x x x C ．21()2f x x x D ．()()xx f x x e e3．已知集合2lg 2x A x y x ⎧-⎫==⎨⎬+⎩⎭，集合{}21B y y x ==-，则集合{x x A B 且}x A B 为A ．[]()2,12,-+∞ B ．()()2,12,-+∞C ．()[),21,2-∞-D ．(](),21,2-∞-4．下列说法正确的是 A ．“,x yR ，若0xy，则1x且1y ”是真命题B ．在同一坐标系中，函数(1)y f x =+与(1)y f x =-的图象关于y 轴对称．C ．命题“x R ，使得2230x x ”的否定是“x R ，都有2230x x ”D ．aR ，“11a”是“1a ”的充分不必要条件5．如图，在ABC 中，13AN NC ，P 是BN 上的一点， 若29AP mABAC ，则实数m 的值为 A ．19 B ．13C ．1D ．3 第5题图6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织七匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了七匹三丈，问每天增加多少尺布？”若这一个月有31天，记该女子一个月中的第n 天所织布的尺数为n a ，则132931242830a a a a a a a a ++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++的值为A ．2930 B ．1615 C ．13D ．15 7．若13tan ,(,)tan 242ππααα-=∈，则sin(2)4πα+的值为 A ．210±B ．25C ．210D ．25±8．某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储存温度x （单位：C ）满足函数关系bkx ey +=（ 718.2=e 为自然对数的底数，,k b 为常数），若该食品在0C 的保鲜时间是192小时，在22C 的保鲜时间是48小时，则该食品在33C 的保鲜时间是( )小时．A ．22B ．23C ．24D ．33 9．已知函数()sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><的部分图像如所示，为了得到()y f x 的图像需将cos 2yx 的图像A ．向右平移3π个单位长度 B ．向左平移3π个单位长度 C ．向右平移6π个单位长度D ．向左平移6π个单位长度 10．已知定义在R 上的偶函数)(x f ，满足)()4(x f x f =+，且]2,0[∈x 时，()sin 2sin f x x xππ=+，则方程0lg )(=-x x f 在区间[0,10]上根的个数是A ．18B ．19C ．10D ．9 11．在ABC 和AEF 中，B 是EF 的中点，1633AB EF BC CA ，，，若2AB AE AC AF ，则EF 与BC 的夹角的余弦值为第9题图A ．12 B ．23 C ．34 D ．1312．设函数()()x x f x e x ae （其中e 为自然对数的底数）恰有两个极值点12,x x 12()x x ，则下列说法中正确的是A ．103aB ．21x C ．1(0)02f -<< D ．12()()0f x f x第II 卷二、填空题（每题5分，共20分，将答案填在答题纸上） 13．函数2lg(23)y x x =--+的单调递增区间是________．14．已知向量(6,2)a =-，(1,)b m =，且a b ⊥，则2a b -= ． 15．已知数列{}n a 的通项公式为219104na n n，当123234a a a a a a 345a a a12n n n a a a 取得最大值时，n 的值为_________．16．若函数()y f x =满足b x a f x a f 2)()(=-++（其中220ab ），则称函数)(x f y =为“中心对称函数”，称点),(b a 为函数()f x 的“中心点”．现有如下命题：①函数()sin 1f x x =+是“中心对称函数”；②若“中心对称函数”()y f x =在R 上的“中心点”为()(),a f a ，则函数()()()F x f x a f a =+-是R 上的奇函数；③函数()32362f x x x x =-+-是“中心对称函数”，且它的“中心点”一定为()1,2；④函数x x x f cos 2)(-=是“中心对称函数”，且它的“中心点”一定为(,)2ππ．其中正确的命题是___ _____．（写出所有正确命题的序号）三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分10分）已知向量(,cos())a sinx x π=-，(2cos ,2cos )b x x ，函数()1f x a b ．（Ⅰ）求()f x 的对称中心； （Ⅱ）求函数()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值，并求出相应x 的值．18．（本小题满分12分)已知函数()f x ＝4log (41)x+＋kx (k R ∈)．（Ⅰ）当12k时，若方程()f x －m ＝0有解，求实数m 的取值范围； （Ⅱ）试讨论()f x 的奇偶性．19．(本小题满分12分)已知数列{}n a ，{}n b ，n S 为数列{}n a 的前n 项和，且满足214a b =，22n n S a =-，21(1)n n nb n b n n +-+=+（*n N ∈）．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）试问{}nb n能否为等差数列，请说明理由； （III ）若数列{}n c 的通项公式为,24n n n n n a b n c a b n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数，为偶数，令n T 为{}n c 的前n 项的和，求2n T ．20．（本小题满分12分)已知函数()-xf x e ax =（a R ∈，e 为自然对数的底数）．（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）若1a =，函数()()()2xg x x m f x e x x =--++在()2,+∞上为增函数，求实数m 的取值范围．21．(本小题满分12分)如图所示，某住宅小区一侧有一块三角形空地ABO ，其中3,OA km 33,OBkm90AOB ．物业管理拟在中间开挖一个三角形人工湖OMN ，其中,M N 都在边AB 上（,M N 不与,A B 重合，M 在,A N 之间），且30MON ．（Ⅰ）若M 在距离A 点2km 处，求点,M N 之间的距离；（Ⅱ）为节省投入资金，三角形人工湖OMN 的面积要尽可能小．试确定M 的位置，使OMN 的面积最小，并求出最小面积．22．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足1n na t =+(,,3,)n t N t t n t *∈≥≤，为常数． （Ⅰ）设1121111nni inS a a a a ，*n N ，证明：(1)ln(1)nS t n ；（Ⅱ）证明：1n a na e -<（e 为自然对数底数）；（Ⅲ）设1231()=()()()()nttt t t n kn k T a a a a a ==+++∑ ，*nN ，试比较与n T 与1的大小关系，并说明理由．第21题图1． C 2． D 3． D 4． B 5． A 6． B 7． C 8． C 9． A 10． B 11． B 12． C第II 卷二、填空题：每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上． 13． (3,1]或(3,1) 14． 45 15． 9n16．①②③三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．解：（I ）因为()1f x a b =2sin cos cos(π)2cos 1x x x x +-⋅+22sin cos 2cos 1x x x =-+=sin 2cos2x x -=2sin(2)4x………4分所以()f x 的对称中心为(,0)()28k k Z ππ+∈ ……………5分 （II ）由（I ）得，()f x =sin 2cos2x x -=2sin(2)4x π-， …………7分因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π3π2,444x π⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以当242x ππ-=时，即8x 3π=时，()f x； 当244x ππ-=-时，即0x =时，()f x 的最小值是1-． …………10分 18．（本小题满分12分)解：（Ⅰ）由m ＝()f x ＝4log (41)x+－12x ，∴m ＝441log 2x x +＝41log (2)2xx+． ∵1222xx，∴m ≥12． ……………………………………6分 （Ⅱ）依题意得定义域为R ,关于原点对称∵()f x 4log (41)x +＋kx ，()f x 4log (41)x -+－kx ，令()()f x f x ，得441log 41x x-++＝2kx -，即4log 4x＝2kx -， ∴2x kx 对一切k R ∈恒成立．∴12k时()()f x f x ，此时函数()f x 是偶函数……………………9分∵0441(0)log (41)0log 22f k =+-⨯==，∴函数()f x 不是奇函数， 综上，当12k时，函数()f x 是偶函数；当12k 时，函数()f x 是非奇非偶函数． …………12分 19、(本小题满分12分)解：（Ⅰ）当1n =时，111222S a a =-⇒=，当2n ≥时，由112222n n n n S a S a --=-⎧⎨=-⎩，得：122n n n a a a -=-，则12n n a a -=，综上，{}n a 是公比为2，首项为2的等比数列，2nn a =；………………3分（Ⅱ）{}nb n是等差数列，理由如下： ∵214a b =，∴11b =，∵21(1)n n nb n b n n +-+=+，∴111n nb b n n+-=+ 综上，{}n b n 是公差为1，首项为1的等差数列，且211n n bn b n n=+-⇒=；…7分 （Ⅲ）令212n n n p c c -=+22122221(21)2(2)2(41)2(41)424n nn n n n n n ----⋅⋅=-+=-⋅=-⋅01212123123474114(41)443474114(45)4(41)4n n n nn T n T n n --⎧=⨯+⨯+⨯++-⨯⎪⎨=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯⎪⎩ ①② ①-②，得：012121644334444444(41)43(41)414nn nnn T n n --⋅-=⋅+⋅+⋅++⋅--⋅=+--⋅- 所以27127499nn n T -=+⋅． ……………… ………12分20．（本小题满分12分)解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为R ，()xf x e a '=-．当0a ≤时，()0f x '>，∴()f x 在R 上为增函数； 当0a >时，由()0f x '=得ln x a =，当(),ln x a ∈-∞时，()0f x '<，∴函数()f x 在(),ln a -∞上为减函数， 当()ln ,x a ∈+∞时，()0f x '>，∴函数()f x 在()ln ,a +∞上为增函数……4分 （Ⅱ）当1a =时，()()()2x x g x x m e x e x x =---++，∵()g x 在()2,+∞上为增函数；∴()10xxg x xe me m '=-++≥在()2,+∞上恒成立，即11x x xe m e +≤-在()2,+∞上恒成立， …………………………6分令()11xx xe h x e +=-，()2,x ∈+∞，则()()()2221x x xxe xe e h x e --'==-()()221x x xe e x e---，令()2xL x e x =--，()10xL x e '=->在()2,+∞上恒成立，即()2xL x e x =--在()2,+∞上为增函数，即()()2240L x L e >=->，∴()0h x '>，即()11x x xe h x e +=-在()2,+∞上为增函数，∴()()222121e h x h e +>=-，∴22211e m e +≤-，所以实数m 的取值范围是2221,1e e ⎛⎤+-∞ ⎥-⎝⎦． ………………12分21．(本小题满分12分)解：（Ⅰ）在ABO 中，因为33390OAOBAOB ，，，所以60OAB ， 在OAM 中，由余弦定理得：2222cos 7OM AO AM AO AM A，所以7OM，所以22227cos 27OA OM AM AOM AO AM， 在OAN 中，sin sin()sin(90)ONA A AON AOM 27cos 7AOM， 在OMN 中，由sin 30sin MN OMONA，得7172427MN；… ………6分 （Ⅱ）解法1：设,060AOM，在OAM 中，由sin sin OM OAOAB OMA ，得332sin(60)OM，在OAN 中，由sin sin ONOA OAB ONA ，得32sin(90)2cos ON θθ==+， 所以11sin 22OMNSOM ONMON 2sin(60)θ⋅+12＝2716sin(60)cos θθ+6060)4θ<<+．当26090θ+=，即15θ=时，OMN S27(23)4．所以应设计15AOM ，可使△OMN 27(23)4km 2…12分解法2：设AM ＝x ，0＜x ＜3．在△OAM 中，由余弦定理得OM 2＝AO 2＋AM 2－2AO ·AM ·cos A ＝x 2－3x ＋9，所以OM ＝x 2－3x ＋9，所以cos ∠AOM ＝OA 2＋OM 2－AM 22OA ·OM ＝6－x2x 2－3x ＋9，在△OAN 中，sin ∠ONA ＝sin(∠A ＋∠AON )＝ sin(∠AOM ＋90°)＝cos ∠AOM ＝6－x2x 2－3x ＋9， 由ON sin ∠OAB ＝OA sin ∠ONA，得ON ＝36－x2x 2－3x ＋9·32＝33x 2－3x ＋96－x， 所以S △OMN ＝12OM ·ON ·sin ∠MON ＝12·x 2－3x ＋9·33x 2－3x ＋96－x ·12＝33(x 2－3x ＋9)4(6－x )，0＜x ＜3，令6－x ＝t ，则x ＝6－t ，3＜t ＜6，则：S △OMN ＝33(t 2－9t ＋27)4t ＝334(t －9＋27t )≥334·(2t ·27t －9)＝27(2－3) 4．当且仅当t ＝27t ，即t ＝33，x ＝6－33时等号成立，S △OMN 的最小值为27(2－3) 4，所以M 的位置为距离A 点6－3 3 km 处，可使△OMN 的面积最小，最小面积是27(2－3) 4km 2．22．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）即证：12111ln(1)(1)(1)(1)nn t a t a t a +++>++++，即证：1111ln(1)23n n++++>+， 设()ln(1)g x x x =-+，1()111xg x x x '=-=++， ∵当0x >时，()0g x '>，()g x 在(0,)+∞上单调递增， 当10x -<<时，()0g x '<，()g x 在(1,0)-上单调递减， ∴()ln(1)(0)0g x x x g =-+≥=（当且仅当0x =时等号成立）， 即0x >时，有ln(1)x x >+， ∴1113411ln 2ln ln lnln(1)2323n n n n+++++>++++=+， ∴12111(1)ln(1)n t n a a a +++>++ ……………………………4分（用数学归纳法给分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知：当1x >-且0x ≠时，有ln(1)x x >+，即当0x >且1x ≠时，有1ln x x ->， 因为0111n n t a t t <=≤<++，所以 1ln n n a a ->， 即1n a na e -<………………………………………8分（Ⅲ）1231()=()()()()1nt t t t tnk n k T a a a a a ，理由如下：解法一：由（Ⅱ）知：123()()()()t t tt n a a a a ++++3121111()()()()n a a a a t t t t e e e e 3121111()()()()n a a a a t t t t e e e e2111(1)1t tn t t t t ee e-+++-=-22211111(1)111t t t t t t t t t t ee e e e--+++++--≤=--，设 1t t eq +=，因为3142t t q ee +=≥>，21111t t t t ee-++-∴=-1111111t t q q q q q ----=<<---， 所以1231()=()()()()1nttt t t n kn k T a a a a a ==++++<∑ ………………12分解法二：因为,*n t N ∈， 且n t ≤，所以1231231()=()()()()()()()()nt t t t t t t t t nk n t k T a a a a a a a a a12()()()111tt t t t t t下面用数学归纳法证明：*3,t tN 时，12()()()1111tt t t t t t，即12(1)tt t t t t ，①当3t时，左边333312336(13)，即当3t 时不等式成立；②假设当(3)t k k时不等式成立，即12(1)kkkk k k ，则当1tk时，111112(1)k kkk k k 11122(1)k k k k k k k 1(1)(12)(1)k k k k k k k11(1)(1)(1)2(1)kkk kkkk，11111112111()(1)1()()1111k k k k k k k C C k kk k111121kC k，11(2)2(1)k k k k，11111112(1)2(1)(2)kkkkkk k kkk，所以当1t k时，不等式也成立；综合①②*3,t tN 时，12(1)tttt t t ，即12()()()1111tt t t tt t成立，所以1231()=()()()()1nt t t t t n kn k T a a a a a ==++++<∑．。
湖北省武汉市华中师大一附中2017-2018学年高考数学适应性试卷(理科)(10月份) Word版含解析
2017-2018学年湖北省武汉市华中师大一附中高考数学适应性试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知A={x|x2﹣8x+15=0}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，则a=（）A．B．C．或D．或或02．设复数z1=+i，z2=3+4i，则=（）A．B．C．D．3．武汉市2015年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如图所示，则这组数据的中位数是（）A．25.5 B．22 C．20.5 D．204．设等比数列{a n}的前n项和为S n．则“a1＞0”是“S3＞S2”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件5．在平行四边形ABCD中，AB⊥BD，4AB2+2BD2=1，将此平行四边形沿BD折成直二面角，则三棱锥A﹣BCD外接球的表面积为（）A．B．πC．2πD．4π6．对于函数f（x）=（sin x+cos x），给出下列四个：①存在a∈，使f（α）=；②存在α∈，使f（x﹣α）=f（x+α）恒成立；③存在φ∈R，使函数f（x+φ）的图象关于坐标原点成中心对称；④函数f（x）的图象关于直线x=对称；⑤函数f（x）的图象向左平移个单位长度就能得到y=﹣2cos x的图象．其中正确的序号是（）A．①②③ B．③④⑤ C．③④D．②③⑤7．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入某个正整数n后，输出的S∈（10，20），那么n的值为（）A．3 B．4 C．5 D．68．已知f（x），g（x）是定义在R上的两个函数，且对∀x1，x2∈R，|f（x1）﹣f（x2）|≥|g（x1）﹣g（x2）|恒成立，P1：若f（x）为偶函数，则g（x）也为偶函数；P2：若x≠0时，x•f′（x）＞0在R上恒成立，则f（x）+g（x）为R上的单调函数，则下列正确的是（）A．P1∧（￢P2）B．（￢P1）∧P2C．（￢P1）∧￢P2D．P1∧P29．已知P是抛物线y2=4x上的一个动点，Q是圆（x﹣3）2+（y﹣1）2=1上的一个动点，N （1，0）是一个定点，则|PQ|+|PN|的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D． +110．若P是锐角△AOB所在的平面内的动点，且•=•．给出下列：①||=||恒成立②||的最小值为||③点P的轨迹是一条直线④存在P使|+|=||其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．411．如图：网格上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各面面积中的最大值为（）A．16 B．8 C．2D．612．已知e=2.71828…，设函数f（x）=x2﹣bx+alnx存在极大值点x0，且对于b的任意可能取值，恒有极大值f（x0）＜0，则下列结论中正确的是（）A．存在x0=，使得f（x0）＜﹣B．存在x0=，使得f（x0）＞﹣eC．a的最大值为e2D．a的最大值为e3二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若（1﹣2x）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则|a0|+|a1|+|a3|=______．14．给定双曲线C：x2﹣=1，若直线l过C的中心，且与C交M，N两点，P为曲线C上任意一点，若直线PM，PN的斜率均存在且分别记为k PM、k PN，则k PM•k PN=______．15．已知，点P（x，y）的坐标满足，则的取值范围为______．16．在数列{a n}中，a1=1，3n﹣1a n=3n﹣2a n﹣2•3n﹣2+2（n≥2），S n是数列{}的前n项﹣1和，当不等式（m∈N*）恒成立时，m•n的所有可能取值为______．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气象仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气象观测．如图所示，A，B，C三地位于同一水平面上，这种仪器在C地进行弹射实验，观测点A，B两地相距100米，∠BAC=60°在A地听到弹射声音的时间比B地晚秒．在A地测得该仪器至最高点H处的仰角为30°．（1）求A，C两地的距离；（2）求这种仪器的垂直弹射高度HC（已知声音的传播速度为340米∕秒）18．如图，PA⊥平面ADE，B，C分别是AE，DE的中点，AE⊥AD，AD=AE=AP=2．（Ⅰ）求二面角A﹣PE﹣D的余弦值；（Ⅱ）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．19．某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图．（1）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；（2）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1～50名和951～1000名的学生进行了调查，得到右表中（3）在（2）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在1～50的学生人数为X，求X的分布列和数学期望．．20．如图，曲线Γ由两个椭圆T1：和椭圆T2：组成，当a，b，c成等比数列时，称曲线Γ为“猫眼曲线”．（1）若猫眼曲线Γ过点，且a，b，c的公比为，求猫眼曲线Γ的方程；（2）对于题（1）中的求猫眼曲线Γ，任作斜率为k（k≠0）且不过原点的直线与该曲线相交，交椭圆T1所得弦的中点为M，交椭圆T2所得弦的中点为N，求证：为与k无关的定值；（3）若斜率为的直线l为椭圆T2的切线，且交椭圆T1于点A，B，N为椭圆T1上的任意一点（点N与点A，B不重合），求△ABN面积的最大值．21．已知函数f（x）=ae x﹣x+b，g（x）=x﹣ln（x+1），（a，b∈R，e为自然对数的底数）．（1）若曲线y=f（x）与y=g（x）在坐标原点处的切线相同，问：（ⅰ）求f（x）的最小值；（ⅱ）若x≥0时，f（x）≥kg（x）恒成立，试求实数k的取值范围；（2）若f（x）有两个不同的零点x1，x2，对任意a∈（0，+∞），b∈R，证明：f′（）＜0（f′（x）为f（x）的导函数）．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，锐角三角形ABC的内心为I，过点A作直线BI的垂线，垂足为H，点E为圆I与边CA的切点．（1）求证A，I，H，E四点共圆；（2）若∠C=50°，求∠IEH的度数．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知圆C：（θ为参数）和直线θl：（其中t为参数，α为直线l的倾斜角）（1）当时，求圆上的点到直线l的距离的最小值；（2）当直线l与圆C有公共点时，求α的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]24．已知m，n∈R+，f（x）=|x+m|+|2x﹣n|．（1）求f（x）的最小值；（2）若f（x）的最小值为2，求的最小值．2016年湖北省武汉市华中师大一附中高考数学适应性试卷（理科）（5月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知A={x|x2﹣8x+15=0}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，则a=（）A．B．C．或D．或或0【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】化简A={3，5}，从而可得B=∅，{3}或{5}，再分类讨论求值即可．【解答】解：A={x|x2﹣8x+15=0}={3，5}，∵B⊆A，∴B=∅，{3}或{5}，若B=∅时，a=0，若B={3}，则a=，若B={5}，则a=；故a=或或0，故选D．2．设复数z1=+i，z2=3+4i，则=（）A．B．C．D．【考点】复数求模．【分析】由于复数z1=+i=，可得=+i=1，=|3﹣4i|=5．即可得出．【解答】解：∵复数z1=+i=，∴=+i=cos336π+isin336π=1，=|3﹣4i|==5．∴=．故选：D．3．武汉市2015年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如图所示，则这组数据的中位数是（）A．25.5 B．22 C．20.5 D．20【考点】众数、中位数、平均数．【分析】把茎叶图中的数据按照从小到大的顺序排列，求出排在中间的两个数的平均数即可．【解答】解：把茎叶图中的数据按照从小到大的顺序排列为：8，9，12，16，17，20，21，23，23，28，31，32；排在中间的两个数是20和21，所以这组数据的中位数是=20.5．故选：C．4．设等比数列{a n}的前n项和为S n．则“a1＞0”是“S3＞S2”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】分公比q=1和q≠1两种情况，分别由a1＞0推出S3＞S2成立，再由S3＞S2也分q=1和q≠1两种情况推出a1＞0，从而得出结论．【解答】解：当公比q=1时，由a1＞0可得s3=3a1＞2a1=s2，即S3＞S2成立．当q≠1时，由于=q2+q+1＞1+q=，再由a1＞0可得＞，即S3＞S2成立．故“a1＞0”是“S3＞S2”的充分条件．当公比q=1时，由S3＞S2成立，可得a1＞0．当q≠1时，由S3＞S2成立可得＞，再由＞，可得a1＞0．故“a1＞0”是“S3＞S2”的必要条件．综上可得，“a1＞0”是“S3＞S2”的充要条件，故选C．5．在平行四边形ABCD中，AB⊥BD，4AB2+2BD2=1，将此平行四边形沿BD折成直二面角，则三棱锥A﹣BCD外接球的表面积为（）A．B．πC．2πD．4π【考点】球的体积和表面积．【分析】利用折成直二面角推出AB⊥BC，CD⊥AD．取AC的中点O，说明外接球的球心是O，求出外接球的半径，然后求解表面积．【解答】解：如图，因为平面BDC⊥平面ABD（折成直二面角），所以AB⊥平面BDC，CD⊥平面ABD，得AB⊥BC，CD⊥AD．取AC的中点O，则OA=OB=OC=OD．于是外接球的球心是O，OA=AC．而AC2=AB2+BC2=（4AB2+2BD2）=．所以半径OA=．于是外接球的表面积为S=4π•OA2=．故选：A．6．对于函数f（x）=（sin x+cos x），给出下列四个：①存在a∈，使f（α）=；②存在α∈，使f（x﹣α）=f（x+α）恒成立；③存在φ∈R，使函数f（x+φ）的图象关于坐标原点成中心对称；④函数f（x）的图象关于直线x=对称；⑤函数f（x）的图象向左平移个单位长度就能得到y=﹣2cos x的图象．其中正确的序号是（）A．①②③ B．③④⑤ C．③④D．②③⑤【考点】两角和与差的正弦函数；的真假判断与应用；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的单调性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用辅助角公式，我们可将函数f（x）的解析式化为正弦型函数的形式，由正弦型函数的值域，可以判断①的真假；根据正弦型函数的周期性，可以判断②的真假；根据正弦函数的对称性，可以判断③④的真假；根据正弦型函数的图象的平移变换法则，及诱导公式，可以判断⑤的真假，进而得到答案．【解答】解：∵f（x）=（sinx+cosx）=2sin（x+），当α∈，α+∈（﹣，）此时f（α）∈（﹣，），故①错误；若f（x﹣α）=f（x+α）恒成立，则2α为函数的一个周期，则2α=2kπ，k∈N*，即α=kπ，k ∈N*，故②错误；存在φ=﹣+kπ，k∈Z，使函数f（x+ϕ）的图象关于坐标原点成中心对称，故③正确；函数图象的对称轴为x=+kπ，k∈Z，当k=﹣1时，x=，故④正确；函数f（x）的图象向左平移个单位长度得到y=2sin（x++）=2sin（x+）=2cosx的图象，故⑤错误．故选：C．7．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入某个正整数n后，输出的S∈（10，20），那么n的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】循环结构．【分析】框图在输入n的值后，根据对S和k的赋值执行运算，S=1+2S，k=k+1，然后判断k是否大于n，不满足继续执行循环，满足跳出循环，由题意，说明当算出的值S∈（10，20）后进行判断时判断框中的条件满足，即可求出此时的n值．【解答】解：框图首先给累加变量S赋值0，给循环变量k赋值1，输入n的值后，执行S=1+2×0=1，k=1+1=2；判断2＞n不成立，执行S=1+2×1=3，k=2+1=3；判断3＞n不成立，执行S=1+2×3=7，k=3+1=4；判断4＞n不成立，执行S=1+2×7=15，k=4+1=5．此时S=15∈（10，20），是输出的值，说明下一步执行判断时判断框中的条件应该满足，即5＞n满足，所以正整数n的值应为4．故选：B．8．已知f（x），g（x）是定义在R上的两个函数，且对∀x1，x2∈R，|f（x1）﹣f（x2）|≥|g（x1）﹣g（x2）|恒成立，P1：若f（x）为偶函数，则g（x）也为偶函数；P2：若x≠0时，x•f′（x）＞0在R上恒成立，则f（x）+g（x）为R上的单调函数，则下列正确的是（）A．P1∧（￢P2）B．（￢P1）∧P2C．（￢P1）∧￢P2D．P1∧P2【考点】复合的真假．【分析】分别求出P1、P2的真假，从而求出复合的真假即可．【解答】解：令x2=﹣x1，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≥|g（x1）﹣g（x2）|恒成立，∴不等式|f（x1）﹣f（﹣x1）|≥|g（x1）﹣g（﹣x1）|恒成立，∵f（x）是偶函数，∴f（﹣x1）=f（x1），∴f（x1）﹣f（﹣x1）=0，∴不等式0≥|g（x1）﹣g（﹣x1）|恒成立，又|g（x1）﹣g（﹣x1）|≥0，∴g（x1）﹣g（﹣x1）=0，∴g（﹣x1）=g（x1），∴函数g（x）是偶函数，故P1是真；若x≠0时，x•f′（x）＞0在R上恒成立，则f（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增，∵|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|恒成立，设x1＜x2，x＞0时，∴f（x1）﹣f（x2）＜g（x1）﹣g（x2）＜f（x2）﹣f（x1），∴h（x1）﹣h（x2）=f（x1）﹣f（x2）+g（x1）﹣g（x2）＜f（x1）﹣f（x2）+f（x2）﹣f（x1），∴h（x1）﹣h（x2）＜0，x＜0时，h（x1）﹣h（x2）＞0，∴函数h（x）=f（x）+g（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）上是增函数，故P2是假；故选：B．9．已知P是抛物线y2=4x上的一个动点，Q是圆（x﹣3）2+（y﹣1）2=1上的一个动点，N （1，0）是一个定点，则|PQ|+|PN|的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D． +1【考点】圆与圆锥曲线的综合．【分析】由题意画出图形，根据N为抛物线的焦点，可过圆（x﹣3）2+（y﹣1）2=1的圆心M作抛物线的准线的垂线MH，交圆于Q交抛物线于P，则|PQ|+|PN|的最小值等于|MH|﹣1．【解答】解：如图，由抛物线方程y2=4x，可得抛物线的焦点F（1，0），又N（1，0），∴N与F重合．过圆（x﹣3）2+（y﹣1）2=1的圆心M作抛物线的准线的垂线MH，交圆于Q交抛物线于P，则|PQ|+|PN|的最小值等于|MH|﹣1=3．故选：A．10．若P是锐角△AOB所在的平面内的动点，且•=•．给出下列：①||=||恒成立②||的最小值为||③点P的轨迹是一条直线④存在P使|+|=||其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】平面向量数量积的运算．【分析】①由•=•，可得，利用向量垂直与数量积的关系可得：，||=||不一定成立；②根据①，及由于△AOB是锐角三角形，可得||＜||；③由①可知：，可知：点P的轨迹是一条直线；④当时，以PO、PB为邻边所作的平行四边形是矩形，利用矩形的对角线的性质即可得出．【解答】解：①由•=•，可得，即，||=||不一定成立，因此不正确；②根据①，及由于△AOB是锐角三角形，可得||＜||，因此②不正确；③由①可知：，因此点P的轨迹是一条直线，正确；④当时，以PO、PB为邻边所作的平行四边形是矩形，因此存在P使|+|=| |，正确．综上可知：只有③④正确．故选：B．11．如图：网格上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各面面积中的最大值为（）A ．16B ．8C ．2D ．6【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是一个三棱锥，由三视图判断长线面的位置关系、由勾股定理求出棱长，由余弦定理、平方关系，三角形的面积公式求出各个面的面积，即可得到答案．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个三棱锥， 其中SC ⊥平面ABC ，直观图如图所示：由三视图得，SC=4，AC=4，AB=，BC=，∵SC ⊥BC ，∴SB=，同理可得SA=4，∴S △ABC =4，S △ASC =8，，在△SAB 中，由余弦定理得cos ∠SAB==，则sin ∠SAB==，∴=6，综上可得，各面面积中的最大值为8． 故选：B ．12．已知e=2.71828…，设函数f （x ）=x 2﹣bx +alnx 存在极大值点x 0，且对于b 的任意可能取值，恒有极大值f （x 0）＜0，则下列结论中正确的是（ ）A ．存在x 0=，使得f （x 0）＜﹣B ．存在x 0=，使得f （x 0）＞﹣eC ．a 的最大值为e 2D ．a 的最大值为e 3 【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求函数的导数，根据函数存在极小值等价为f ′（x ）=0有解，转化为一元二次方程，根据一元二次方程根与判别式△之间的关系进行转化求解即可． 【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），则函数的导数f ′（x ）=x ﹣b +， 若函数f （x ）存在极大值点x 0，则f′（x）=0有解，即x2﹣bx+a=0有两个不等的正根，则，得b＞2，（a＞0），由f′（x）=0得x1=，x2=，分析易得f（x）的极大值点为x1=x0，∵b＞2，（a＞0），∴x1=x0==∈（0，），=f（x0）=）=﹣bx0+alnx0=x02﹣x02﹣a+alnx0=﹣+alnx0﹣a，则f（x）极大值设g（x）=alnx﹣x2﹣a，x∈（0，），f（x）的极大值恒小于0等价为g（x）恒小于0，∵g′（x）=﹣x=＞0，∴g（x）在（0，）上单调递增，故g（x）＜g（）=aln﹣a≤0，得ln≤，即a≤e3，故a的最大值为是e3，故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若（1﹣2x）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则|a0|+|a1|+|a3|=41．【考点】二项式定理的应用．【分析】令x=0，可得：a0=1．对（2x﹣1）4=（1﹣2x）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，两边求导即可得出．【解答】解：令x=0，可得：a0=1．对（2x﹣1）4=（1﹣2x）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，两边求导可得：4（2x﹣1）3×2=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3，令x=0，可得：a1=8．上式两边再两次求导可得：4×3×2（2x﹣1）×2×2×2=3×2×1×a3+4×3×2a4x，令x=0，可得a3=﹣32．∴|a0|+|a1|+|a3|=41．故答案为：41．14．给定双曲线C：x2﹣=1，若直线l过C的中心，且与C交M，N两点，P为曲线C上任意一点，若直线PM，PN的斜率均存在且分别记为k PM、k PN，则k PM•k PN=．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设M（x0，y0），由双曲线的对称性，可得N的坐标，设P（x P，y P），结合题意，又由M，P在双曲线上，可得x2﹣=1，将其坐标代入k PM•k PN中，计算可得答案．【解答】设M（x0，y0），由双曲线的对称性，可得N（﹣x0，﹣y0）．设P（x P，y P），则，又∵x2﹣=1，∴x2=+1，则x02=y02+1．同理x P2=y P2+1，两式作差得x P2﹣x02=（y P2﹣y02），即y P2﹣y02=（x P2﹣x02），则=，故答案为：15．已知，点P（x，y）的坐标满足，则的取值范围为[﹣）．【考点】简单线性规划的应用．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，P（x，y）为内部一点，设A（，），可得向量、的夹角θ∈（，]，由向量的夹角公式可得=2cosθ，由此结合余弦函数的单调性即可得到本题的答案．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的平面区域，其中B（﹣2，0），C（1，）设A（，），P（x，y）为区域内一个动点，向量、的夹角为θ∵||=，•=x+y∴cosθ===×∵当P运动到C点时，θ达到最小值；P运动到与x轴负半轴上一点重合时，θ达到最大值∴∠AOC＜θ≤∠AOB，由直线OA、OC的倾斜角分别为、，可得θ∈（，]由此可得：﹣≤cosθ＜，即﹣≤×＜∴﹣≤＜，即的取值范围为[﹣）故答案为：[﹣）16．在数列{a n}中，a1=1，3n﹣1a n=3n﹣2a n﹣2•3n﹣2+2（n≥2），S n是数列{}的前n项﹣1和，当不等式（m∈N*）恒成立时，m•n的所有可能取值为1，2，4．【考点】数列的求和．【分析】由3n﹣1a n=3n﹣2a n﹣1﹣2•3n﹣2+2（n≥2），可得：3n a n﹣3n﹣1a n﹣1=6﹣2×3n﹣1．利用“累加求和”与等比数列的前n项和公式可得：a n=，于是=．可得数列{}的前n项和S n=．不等式（m∈N*）化为：＜1，对m分类讨论即可得出．【解答】解：∵3n﹣1a n=3n﹣2a n﹣1﹣2•3n﹣2+2（n≥2），∴3n a n﹣3n﹣1a n﹣1=6﹣2×3n﹣1．∴3n a n=（3n a n﹣3n﹣1a n﹣1）++…+（32a2﹣3a1）+3a1=（6﹣2×3n﹣1）+（6﹣2×3n﹣2）+…+（6﹣2×3）+3=6（n﹣1）﹣2×+3=6n﹣3n，∴a n=（n=1时也成立）．∴=．∴数列{}的前n项和S n==．不等式（m∈N*）化为：＜1（*），m=1时，化为：2•3n﹣1＜3，n=1时成立．此时mn=1．m=2时，化为：3n＜21，n=1，2时成立．此时mn=2，或4．m≥3时，3m+1＞3m，=＞1，∴＞1，因此上式（*）不成立．综上可得：m•n的所有可能取值为1，2，4．故答案为：1，2，4．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气象仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气象观测．如图所示，A，B，C三地位于同一水平面上，这种仪器在C地进行弹射实验，观测点A，B两地相距100米，∠BAC=60°在A地听到弹射声音的时间比B地晚秒．在A地测得该仪器至最高点H处的仰角为30°．（1）求A，C两地的距离；（2）求这种仪器的垂直弹射高度HC（已知声音的传播速度为340米∕秒）【考点】解三角形的实际应用．【分析】（1）利用在A地听到弹射声音的时间比B地晚秒，求出BC，利用余弦定理，即可求得结论；（2）在△ACH中，AC=420，∠CAH=30°，利用正弦函数，可得结论．【解答】解：（1）由题意，设AC=x，则∵在A地听到弹射声音的时间比B地晚秒∴BC=x﹣×340=x﹣40，在△ABC内，由余弦定理：BC2=BA2+CA2﹣2BA•CA•cos∠BAC，即（x﹣40）2=x2+10000﹣100x，解得x=420．（2）在△ACH中，AC=420，∠CAH=30°，∴CH=AC•tan∠CAH=140米．答：该仪器的垂直弹射高度CH为140米．18．如图，PA⊥平面ADE，B，C分别是AE，DE的中点，AE⊥AD，AD=AE=AP=2．（Ⅰ）求二面角A﹣PE﹣D的余弦值；（Ⅱ）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．【考点】用空间向量求平面间的夹角；二面角的平面角及求法．【分析】以{，， }为正交基底建立空间直角坐标系Axyz，由题意可得B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）（Ⅰ）易得=（0，2，0）是平面PAB的一个法向量，待定系数可求平面PED的法向量为坐标，由向量的夹角公式可得；（Ⅱ）设=λ=（﹣λ，0，2λ）（0≤λ≤1），由夹角公式和二次函数的值域以及余弦函数的单调性可得．【解答】解：以{，， }为正交基底建立空间直角坐标系Axyz，则各点的坐标为B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）（Ⅰ）∵AD⊥平面PAB，∴是平面PAB的一个法向量，=（0，2，0）．∵=（1，1，﹣2），=（0，2，﹣2）．设平面PED的法向量为=（x，y，z），则•=0，•=0，即，令y=1，解得z=1，x=1．∴=（1，1，1）是平面PCD的一个法向量，计算可得cos＜，＞==，∴二面角A﹣PE﹣D的余弦值为；（Ⅱ）∵=（﹣1，0，2），设=λ=（﹣λ，0，2λ）（0≤λ≤1），又=（0，﹣1，0），则=+=（﹣λ，﹣1，2λ），又=（0，﹣2，2），∴cos＜，＞==，设1+2λ=t，t∈[1，3]，则cos2＜，＞==≤，当且仅当t=，即λ=时，|cos＜，＞|的最大值为．因为y=cosx在（0，）上是减函数，此时直线CQ与DP所成角取得最小值，又∵BP==，∴BQ=BP=19．某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图．（1）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；（2）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1～50名和951～1000名的学生进行了调查，得到右表中能否在犯错的概率不超过的前提下认为视力与学习成绩有关系？（3）在（2）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在1～50的学生人数为X，求X的分布列和数学期望．．【考点】离散型随机变量及其分布列；独立性检验；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）设各组的频率为f i（i=1，2，3，4，5，6），由已知得后四组频数依次为27，24，21，18，由此能求出估计全年级视力在5.0以下的人数．（2）求出K2，由此能求出在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系．（Ⅲ）依题意9人中年级名次在1～50名和951～1000名分别有3人和6人，X可取0、1、2、3，分别求出相应在的概率，由此能求出X的分布列和X的数学期望．【解答】解：（1）设各组的频率为f i（i=1，2，3，4，5，6），由图可知，第一组有3人，第二组7人，第三组27人，…因为后四组的频数成等差数列，所以后四组频数依次为27，24，21，18…所以视力在5.0以下的频率为：=0.82，故全年级视力在5.0以下的人数约为…（2）因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系．…（Ⅲ）依题意9人中年级名次在1～50名和951～1000名分别有3人和6人，X可取0、1、2、3，…，，，，XX的数学期望…20．如图，曲线Γ由两个椭圆T1：和椭圆T2：组成，当a，b，c成等比数列时，称曲线Γ为“猫眼曲线”．（1）若猫眼曲线Γ过点，且a，b，c的公比为，求猫眼曲线Γ的方程；（2）对于题（1）中的求猫眼曲线Γ，任作斜率为k（k≠0）且不过原点的直线与该曲线相交，交椭圆T1所得弦的中点为M，交椭圆T2所得弦的中点为N，求证：为与k无关的定值；（3）若斜率为的直线l为椭圆T2的切线，且交椭圆T1于点A，B，N为椭圆T1上的任意一点（点N与点A，B不重合），求△ABN面积的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意知，==，从而求猫眼曲线Γ的方程；（2）设交点C（x1，y1），D（x2，y2），从而可得，联立方程化简可得，k•k ON=﹣2；从而解得；（3）设直线l的方程为，联立方程化简，从而可得，同理可得，从而利用两平行线间距离表示三角形的高，再求；从而求最大面积．【解答】解：（1）由题意知，，==，∴a=2，c=1，∴，∴；（2）证明：设斜率为k的直线交椭圆T1于点C（x1，y1），D（x2，y2），线段CD中点M （x0，y0），∴，由得，∵k存在且k≠0，∴x1≠x2，且x0≠0，∴，即；同理，k•k ON=﹣2；∴；（3）设直线l的方程为，联立方程得，化简得，，由△=0化简得m2=b2+2c2，，联立方程得，化简得，由△=0得m2=b2+2a2，，两平行线间距离：，∴；∴△ABN的面积最大值为．21．已知函数f（x）=ae x﹣x+b，g（x）=x﹣ln（x+1），（a，b∈R，e为自然对数的底数）．（1）若曲线y=f（x）与y=g（x）在坐标原点处的切线相同，问：（ⅰ）求f（x）的最小值；（ⅱ）若x≥0时，f（x）≥kg（x）恒成立，试求实数k的取值范围；（2）若f（x）有两个不同的零点x1，x2，对任意a∈（0，+∞），b∈R，证明：f′（）＜0（f′（x）为f（x）的导函数）．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）（i）根据导数的几何意义和最值和函数的单调性的关系即可求出，（ii）构造函数，再分类讨论，根据导数和单调性的关系即可求出，（2）依题意，不妨设x2＞x1，求出f′（），构造函数令t=x2﹣x1＞0，设，利用导数求出函数的单调性，即可证明．【解答】解：（1）（ⅰ）∵f'（x）=ae x﹣1，，依题意，f（0）=0，且f（0）=0，解得a=1，b=﹣1，∴f'（x）=e x﹣1，当f'（x）＜0时，即x＜0时，f（x）单调递减，当f'（x）＞0时，即x＞0时，f（x）单调递增，∴当x=0时，f（x）取得最小值0．（ⅱ）由（ⅰ）知，f（x）≥0，即e x≥x+1，从而x≥ln（x+1），即g（x）≥0．设F（x）=f（x）﹣kg（x）=e x+kln（x+1）﹣（k+1）x﹣1，则，①当k=1时，因为x≥0，∴（当且仅当x=0时等号成立），此时F（x）在[0，+∞）上单调递增，从而F（x）≥F（0）=0，即f（x）≥kg（x）．②当k＜1时，由于g（x）≥0，∴g（x）≥kg（x），又由（1）知f（x）﹣g（x）≥0，∴f（x）≥g（x）≥kg（x），故F（x）≥0，即f（x）≥kg（x）．③当k＞1时，令h（x）=e x+﹣（k+1），则，显然h′（x）在[0，+∞）上单调递增，又，∴h′（x）在上存在唯一零点，当x∈（0，x0）时，h′（x）＜0，∴h（x）在[0，x0]上单调递减，从而F（x）＜F（0）=0，即F′（x）＜0，∴F（x）在[0，x0]上单调递减，从而当x∈（0，x0）时，F（x）＜F（0）=0，即f（x）＜kg（x），不合题意．综上，实数k的取值范围为（﹣∞，1]．（2）证明：依题意，不妨设x2＞x1，有，，两式相减得：，整理得，则，于是，令t=x2﹣x1＞0，则设，则，∴y=G（t）在（0，+∞）上单调递增，则，于是有，即，∴．即f′（）＜0．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，锐角三角形ABC的内心为I，过点A作直线BI的垂线，垂足为H，点E为圆I与边CA的切点．（1）求证A，I，H，E四点共圆；（2）若∠C=50°，求∠IEH的度数．【考点】圆內接多边形的性质与判定；圆周角定理．【分析】（1）由于⊙I切AC于点E，可得IE⊥AC，又AH⊥IH，可得A、I、H、E四点共圆；（2）在此圆中∠IEH与∠IAH对同弧．再利用三角形内角平分线的性质和三角形的内角和定理即可得出．【解答】（1）证明：由圆I与AC相切于点E得IE⊥AC，结合HI⊥AH，得∠AEI=∠AHI=90°，所以A，I，H，E四点共圆．（2）解：由（1）知A，I，H，E四点共圆，在此圆中∠IEH与∠IAH对同弧，∴∠IEH=∠HAI．∵锐角△ABC的内心为I，∴AI、BI分别是∠BAC、∠ABC的平分线，可得∠HIA=∠ABI+∠BAI=∠ABC+∠BAC=（∠ABC+∠BAC）==90°﹣∠C，结合IH⊥AH，得∠HAI=90°﹣∠HIA=90°﹣（90°﹣∠C）=∠C，所以∠IEH=∠C．由∠C=50°得∠IEH=25°．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知圆C：（θ为参数）和直线θl：（其中t为参数，α为直线l的倾斜角）（1）当时，求圆上的点到直线l的距离的最小值；（2）当直线l与圆C有公共点时，求α的取值范围．【考点】参数方程化成普通方程；直线与圆的位置关系．【分析】（1）圆C、直线l化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离，再根据圆上点到直线的距离最小值一般为圆心到直线的距离减半径可求出所求．（2）把直线的参数方程化为普通方程，把圆的参数方程化为直角坐标方程，根据圆心到直线的距离小于或等于半径，求得tanα≥，由此求出倾斜角α的范围．【解答】解：（1）圆C：（θ为参数）的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1，当时，直线直线l：的直角坐标方程为x+y﹣3=0圆心到直线的距离为：=所以圆上的点到直线的距离的最小值为﹣1．（2）∵直线l的参数方程为l：（t为参数，α为直线l的倾斜角），消去参数t化为普通方程为tanα•x﹣y﹣2tanα+=0．圆C化为直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1，表示以C（1，0）为圆心，以1为半径的圆．根据圆心C到直线的距离d=≤1，解得tanα≥．再由倾斜角α∈[0，π）可得，≤α＜，故α的取值范围为[，]．[选修4-5：不等式选讲]24．已知m，n∈R+，f（x）=|x+m|+|2x﹣n|．（1）求f（x）的最小值；（2）若f（x）的最小值为2，求的最小值．【考点】分段函数的应用．【分析】（1）化绝对值函数为f（x）=，从而判断函数的单调性及最值即可；（2）由基本不等式可得．【解答】解：（1）∵f（x）=，∴f（x）在是减函数，在是增函数；∴当x=时，f（x）取最小值=．（2）由（1）知，f（x）的最小值为，∴=2，∵m，n∈R+，，（当且仅当，即m=1，n=2时，取等号），∴的最小值为2．2016年9月27日。
华中师大一附中2017年自主招生考试数学试题(word版附答案)
华中师大一附中2017年高中招生考试数学试题考试时间：80分钟卷面满分：150分说明：所有答案一律书写在答题卡上，写在试卷上作答无效．一、选择题(本大题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的．)1．实数a，b，c在数轴上对应的点如右图所示，化简代数式√a2−2a＋1＋∣b−c∣－√a2−2ab＋b2的结果为( )A．2b－c－1 B．－1 C．2a－c－1 D．b－c＋12．已知点A，B分别是双曲线y=4x和直线y=－x上任意一点，则AB的最小值为( ) A．2 B．4√2C．4 D．2√23．如图，反比例函数y=kx(k为非零常数)的图象经过二次函数y=ax2＋bx(a，b为常数，且a≠0)的图象的顶点(－12，m) (m>0)则( )A．a=b＋2k B．a=b－2kC．k＜b＜0 D．a＜k＜04．若实数a，b满足a2＋b2=4，则√a(b−4)3＋√ab−3a+2b−6=( )A．－2 B．0 C．2 D．45．已知y=f(x)满足：(1)f(1)=1(f(1)表示x=1时对应的y的值，下同) ；(2)当0<x<1时f(x)>0；(3)对任意实数x，y有f(x＋y)－f(x－y)=2 f(1－x) f(y)，则f(13)=( )A．1 B．12C．√22D．√336．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点E，F分别是AB，BC边上的两动点，且EF=2，点G为EF的中点，点H为AD边上一动点，连接CH，GH，则GH＋CH的最小值为( )A．4√5B．9C．√83D．√85二、填空题(本大题共6小题，每小题7分，共42分)7．x=b−√b2−4122(b＞21)，则x2－bx＋103=__________．8．已知关于x的方程x−1x−2−xx+1=ax+1x2−x−2无解，则a的值为__________．9．已知√x2−1+√x2+6=7，则√x2−9+√x2−6=__________．10．如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，若折痕AE=5√5，且tan∠EFC=34，连接DF．则点A到DF的距离为__________．第10题图第11题图11．如图，PA，PB分别切⊙O于点A、点B，AC是⊙O的直径，AC，PB的延长线交于点E，F为AP的中点，AB分别交OP、EF于点T、点S．若BEBP =23，则ATSB=__________．12．定义：使函数y=f(x)的函数值为零的x的值叫函数y=f(x)的幸运点(如：y=x2－2x+1 的幸运点为x=1；y=x2－2x－3的幸运点为x=3，x=－1；y=x＋1的幸运点为x=－1)．设f(x) ={(x+1)2−3(x≤1)1x(x＞1)，若g(x) =f(x)－b恰好有两个幸运点，则实数b的取值范围为__________．三、解答题(本大题共4小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤) 13．(本小题满分16分)如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，连接AC交⊙O于点E，连接BC交⊙O于点D，AD、BE交于点F，连接DE．(1)求证：点F在△ABC的AB边的高上；(2)若AB=√2DE，求∠AFB的度数．14．(本小题满分16分)(1)设k，t为常数，解关于x的方程kx2＋(3－3k)x＋2k－6=0…①(2)在(1)的条件下，若方程①只有整数根，且关于y的一元二次方程(k＋3)y2－15y＋t=0…②有两个正整数根y1，y2，则t为何值时，y21+y22有最小值？15．(本小题满分16分)已知ABCD 的对角线AC 、BD 相交于E 点，∠CAD=a ，∠BAC=β． (1)如图1，若a =2β，BD=10，AD=8，求AC 的长；(2)如图2，若a =β=45°，点M 为线段AB 上一动点，连接DM ，将DM 绕D 点逆时针旋转60°得线段DN ，连接BN ．若点M 由A →E 匀速运动，点M 到达E 点后运动停止，在点M 运动的过程中，∠CBN 的度数是否变化？若变化，求其取值范围；若不变，求其值．16．（本小题满分18分）已知抛物线y ＝x 2的图象如图1所示，A （0，a ）（a ＞0），直线l ：y ＝−14，点B 为抛物线上的任意一点且恒满足点B 到A 点距离与点B 到l 的距离相等． (1)求a 的值；(2)如图2，若直线l 1：y ＝kx ＋14交抛物线于E ，D 两点，连接DO 、OE ． ①过点E 作EC ⊥x 轴于点C ，过点D 作DF ⊥x 轴于点F ，求tan ∠OEC tan ∠DOF的值；②过点E 作EM ⊥l 于点M ，过点D 作DN ⊥l 于点N ，点G 为MN 的中点，若点G 到DE 的距离为√52，求k 值．ABCDE MA BDCEN 图1图2华中师大一附中2017年高中招生考试数学试题参考答案考试时间：80分钟 卷面满分：150分说明：所有答案一律书写在答题卡上，写在试卷上作答无效．一、选择题(本大题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的．)7．08．1，2，49．310．4√511．7412．－3<b ≤0或b =1三、解答题(本大题共4小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤) 13．（1）∵AB 为直径，∴∠ADB ＝90°，∠AEB ＝90° ∴AD 、BE 是△ABC 的两条高， ∴F 是△ABC 的AB 边上的高．（2）∵∠CDE ＝∠CAB ，∠C ＝∠C ，∴△CDE ∽△CAB ， ∴CD AC=DE AB=√22=cosC ，∴∠C=45°，∵∠C ＋∠EFD ＝180°，∴∠AFB ＝∠EFD ＝135°． 14．（1）当k ＝0时，x ＝2符合题意；当k ≠0时，则(x －2)(kx ＋3－k )＝0，∴x 1＝2，x 2＝k−3k（2）由（1）得，k ＝0时，x ＝2∴y 1＋y 2＝5，y 1·y 2＝tk+3，∴(y 1，y 2，t )＝(4，1，12)或(3，2，18)或(1，4，12)或(2，3，8) ∴y 21+y 22＝17或13 当k ≠0时，x 1＝2，x 2＝k−3k∴k ＝31−x 2，则k ＋3＝6−3x 21−x 2，y 1＋y 2＝5(1−x 2)2−x 2＝5＋5x 2−2≥2，∴x 2－2＝－5，1，5，∴x 2＝－3，3，7 ∴k ＝34，−32，12，∴y 1＋y 2＝4，10，6当y 1＋y 2＝4时，(y 1，y 2)＝(3，1)或（2，2）或（1，3），y 21+y 22＝8或10 当y 1＋y 2＝6时，y 21+y 22＝(6－y 2)2＋y 22＝2(y 2－3)2＋18≥18 当y 1＋y 2＝10时，y 21+y 22＝(10－y 2)2＋y 22＝2(y 2－5)2＋50≥50∴(y 21+y 22)min ＝8，∴y 1＝y 2＝2，k ＝34，又y 1·y 2＝tk+3，∴t ＝(k ＋3)y 1·y 2＝15 综上，当t ＝15时，y 21+y 22有最小值．15．（1）以B 为圆心，BC 为半径画弧交AC 于C ，F 两点，连接BF ，作BS ⊥AC 于S ∵a =2β，∠BCA ＝∠DAC ＝∠BFC ，∴∠ABF ＝∠BAF ∴BC ＝AD ＝BF ＝AF ＝8∴ES ＝CE －CS ＝12AC －12CF=12AF ＝4∴BS ＝√52−42＝3，∴CS ＝√82−32＝√55，∴CE ＝4＋√55 ∴AC=8+2√55或延长EC 至T ，使CT ＝BC ，连接BT ，做法与上法类似． （2）法1：以AD 为边作等边△AFD ，以DE 为边作等边△DEG （如图所示），连NG ，FG ∵a =β=45°，易证四边形ABCD 为正方形， 易证△MDE ≌△NDG ，△ADE ≌△FDG ， ∠FGD ＝∠AED ＝∠NGD ＝90°， ∴F ，N ，G 三点共线∠ABF ＝∠AFB ＝75°，∠DBF ＝30°延长BF 交直线DG 于G ′，∴∠BG ′D ＝90°， ∴BD ＝2DG ′＝2DG ，∴G 与G ′重合，∴B 、F 、N 、G 四点共线，∴∠NBD ＝30°，∠CBN ＝15°不变． 法2：作等边△DEG ，连接NG ，易证△MDE ≌△NDG ，∴∠MED ＝∠NGD ＝90°，∠EDG ＝60°，延长GN 交直线BD 于B ′，则DB ′＝2DG ， 又∵BD ＝2DG ，∴BD ＝DB ′，∴B 与B ′重合，∴∠DBG ＝30°，∴∠CBN ＝15°． 16．（1）设B(x ，y )，∴y ＝x 2，∴x 2＋(y －a )2＝(y ＋14)2，∴(12－2a )y ＋a 2－116＝0， ∴{12－2a =0a 2－116=0，∴a ＝14，或B 与O 重合，a ＝14，再证BA 与B 到直线l 的距离相等． （2）①作BC ⊥x 轴于C ，DF ⊥x 轴于F ，设ED 的解析式为y ＝kx ＋14，E(x 1，y 1)，D(x 2，y 2)，{y =x 2y ＝kx ＋14，∴x 2－kx －14＝0，∴x 1＋x 2＝k ，x 1·x 2＝－14，∴y 1＝x 21，y 2＝x 22 ∴tan ∠OEC ＝−x 1y 1，tan ∠DOF ＝y 2x 2，∴tan ∠OECtan ∠DOF＝−x 1y 1·y 2x 2＝4（3）∵EA ＝EM ，DN ＝DA ，∴∠EAM ＋∠DAN ＝12（180°－∠AEM ＋180°＋∠ADM ）＝90°，∴∠MAN ＝90°∴GA ＝GM ＝GN ，∴△GME ≌△GAE ，∴∠GAE ＝∠GMA ＝90°，∴GA ⊥DE ，MN ＝∣x 1－x 2∣＝√(x 1−x 2)2−4x 1x 2＝√k 2+1＝2GA ＝√5，∴k ＝±2．。
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华中师大一附中2018年高中招生考试 数学试题 考试时间：70分钟 卷面满分：120分 说明：所有答案一律书写在答题卡上，写在试卷上作答无效． 一、选择题 (本大题共5小题，每小题7分，共35分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的．) 1．二次函数y=x2＋2x＋c的图象与x轴的两个交点为A(x1，0)，B(x2，0)，且x1＜x2，点P(m，n)是图象上一点，那么下列判断正确的是( )
A．当n＞0时，m＜x1 B．当n＞0时，m＞x2 C．当n＜0时，m＜0 D．当n＜0时，x1＜m＜x2 2．已知实数a、b、c满足a＜b＜c，并目k=，则直线y=－kx＋k一定经过( ) A．第一、三、四象限 B．第一、二、四象限 C．第一、二、三象限 D．第二、三、四象限 3．下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a、b分别为16、22，则输出的a=(a←a－b的含义：将a－b的结果赋给a)( ) A．0 B．2 C．4 D．14 4．直线l：kx－y－2k－1=0被以A(1，0)为圆心，2为半径的⊙A所截得的最短弦长为( ) A． B．2 C．2 D．4
5．如图，△ABC中，AB=AC=8，BC=4，BF⊥AC于F，D是AB的中点，E为AC上一点，且2EF=AC，则tan∠DEF=( ) A． B． C． D．
二、填空题(本大题共5小题，每小题7分，共35分)． B A C
D
E F 6．若a＋b－2=3c5，则(bc)a的值为__________． 7．已知△ABC的一边长为4，另外两边长恰是方程2x212x＋m＋1=0的两实根，则实数m的取值范围是__________． 8．如图，D是△ABC的边AB上的一点，且AB=3AD，P是△ABC外接圆上一点，使得
∠ADP=∠ACB，则=__________． 9．有十张正面分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同，将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，以卡片上的数字作为关于x的不等式5xa≤5中的系数a，使得该不等式的正整数解只有1和2的概率为__________． 10．若四个互不相等的正实数a，b，c，d满足(a2018c2018)(a2018d2018)=2018，(b 2018c2018)(b2018d2018)=2018，则(ab)2018(cd)2018的值为__________．
三、解答题(本大题共3小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤) 11．(本小题满分16分)如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE． (1)求证：CE=CF； (2)在图1中，若G在AD上， 且∠GCE=45°，则GE、BE、GD有什么数量关系？说明理由； (3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识，完成下题： 如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC(BC＞AD)，∠B=90°，AB=BC=6，E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=2，求DE的长．
12．(本小题满分16分)如图1，在平面直角坐标系xOy内，已知点A(1，0)，B(1，1)，C(1，0)，D(1，1)，记线段AB为L1，线段CD为L2，点P是坐标系内一点．给出如下定义：若存在过点P的直线l与L1，L2都有公共点，则称点P是L1L2相关点，例如，点P(0，1)是L1－L2相关点． (1)以下各点中，__________是L1－L2相关点(填出所有正确的序号)； ①(1，2)；②(5，2)；③(4，2)． (2)直接在图1中画出所有L1－L2相关点所组成的区域，用阴影部分表示； (3)已知点M在y轴上，以M为圆心，r为半径画圆，若⊙M上有且只有一个点为L1L2相关点． ①当r=1时，求点M的纵坐标； ②求r的取值范围．
13．(本小题满分18分)定义：点P(x，y)为平面直角坐标系中的点，若满足x=y时，则称该点为“平衡点”，例如点(－1，－1)，(0，0)，(，)都是“平衡点”． ①当－1≤x≤3时，直线y=2x＋m上存在“平衡点”，则实数m的取值范围是__________． (2)直线y=3mx＋n－1上存在“平衡点”吗？若存在，请求出“平衡点”的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若抛物线y=ax2＋bx＋1(a＞0)上存在两个不同的“平衡点”A(x1，x1)，B(x2，x2)，且满足0＜x1＜2，=2，令t=b2－2b＋，试求实数t的取值范围． 华中师大一附中2018年高中招生考试 数学试题参考答案 考试时间：70分钟 卷面满分：120分 说明：所有答案一律书写在答题卡上，写在试卷上作答无效． 一、选择题(本大题共5小题，每小题7分，共35分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的．) 题号 1 2 3 4 5 答案 D A B C A 二、填空题(本大题共5小题，每小题7分，共35分)． 6．36 7．9三、解答题(本大题共3小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．) 11．(1)证明：在正方形ABCD中， ∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，∴△ACBE≌△CDF． ∴CE=CF．……………………………4分 (2)GE=BE＋GD．理由如下： ∵△CBE≌△CDF，∴∠BCE=∠DCF． ∴∠ECD＋∠ECB=∠ECD＋∠FCD．即∠ECF=∠BCD=90°． 又∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°． ∵CE=CF，∠GCF=∠GCE，GC=GC，∴△ECG≌△FCG． ∴EG=EF．∴GE=DF＋GD=BE＋GC．……………………………10分 (3)过C作CG⊥AD，交AD延长线于G， 在直角梯形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠A=∠B=90°， 又∠CGA=90°，AB=BC， ∴四边形ABCG为正方形． ∴AG=BC=6． 已知∠DCE=45°，根据(1)(2)可知，ED=BE＋DG， 设DE=x，则DG=x－2， ∴AD=AG－DG=8－x，AE=AB－BE=6－2=4． 在Rt△AED中 ∵DE2=AD2＋AE2，即x2=(8－x)2＋42 解得x=5． ∴DE=5……………………………16分 12．(1)②，③是L1－L2相关点。(写出一个给2分)……………………………4分 (2)所有L1－L2相关点所组成的区域为图中阴影部分(含边界)．……………………………8分
(3)①∵点M在y轴上，⊙M上只有一个点为L1－L2相关点，阴影部分关于y轴对称， ∴⊙M与直线AC相切于(0，0)，或与直线BD相切于(0，1)，如图所示． 又∵⊙M的半径r=1， ∴点M的坐标为(0，－1)或(0，2)， 经检验：此时⊙M与直线AD，BC无交点， ⊙M上只有一个点为L1－L2相关点，符合题意． ∴点M的坐标为(0，－1)或(0，2)． ∴点M的纵坐标为－1或2． (求出一个给1分，不检验不扣分)……………………………10分 ②阴影部分关于直线y=对称， 故不妨设点M位于阴影部分下方， ∵点M在y轴上，⊙M上只有一个点为L1－L2相关点，阴影部分关于y轴对称， ∴⊙M与直线AC相切于O(0，0)，且⊙M与直线AD相离． 作ME⊥AD于E，设AD与BC的交点为F， ∴MO=r，ME＞r，F(0，)． 在Rt△AOF中，∠AOF=90°，AO=1，OF=， ∴AF==，sin∠AFO==． 在Rt△FEM中，∠FEM=90°， FM=FO＋OM=r＋ sin∠EFM=sin∠AFO=， ∴ME=FM·sin∠EFM=， ∴＞r， 又∵r＞0，∴0＜r＜＋2．……………………………16分 13．(1)－3≤m≤1 (2)由y=3mx＋n－1，当y=x时，3mx＋n－1=x 即(3m－1)x=1－n 当3m－1=0，1－n=0，即m=，n=1时，方程有无数个解， 此时直线y=x上所有点都是“平衡点”，坐标为(x，x)，x为任意实数……………………6分 当3m－1=0，1－n≠0，即m=，n≠1时，方程无解， 此时直线y=x上不存在“平衡点”，………………………………8分 当3m－1≠0，即m≠时，方程有唯一解x=， 此时直线y=x上只有一个“平衡点”，其坐标为(，)，x为任意实数…………10分 (3)联立，消去y并整理得：ax2＋(b－1)x＋1=0 ∵抛物线上存在两个不同的“平衡点”A(x1，x1)，B(x2，x2) ∴x1，x2是方程ax2＋(b－1)x＋1=0两个不相等的实数根 ∴x1＋x2=，x1·x2=，△=(b－1)2－4a＞0……………………………12分 ∵a＞0，∴x1x2=∴x1、x2同号 ∵0＜x1＜2，=2，∴2＜x2＜4 ∴0＜x1x2＜8，0＜∴a＞……………………………16分 t=b2－2b＋=(b－1)2＋=4a2＋4a＋=4(a＋)2＋，
∵当a＞－时，t随a的增大而增大，a＞＞－ ∴t＞4()2＋=2 即t＞2……………………………18分