运筹学_整数规划(中科院胡晓东)

xdhu 12
5.7 最大权可满足（续一）
我们来说明，如何用整数线性规划方法处理该问题的一般 形式（即所有权值 wj 不一定都相等）。为此，我们先将该问 题表述为一个整数线性规划问题。用 cj+ 表示变量 xi 在子句cj 中以 xi 出现的指标集合， 用 cj- 表示变量 xi 在子句 cj 中以 xi 的非出现的指标集合。 (ILP) Max ∑cj∈C wj zj s.t. ∑i∈c+ yi + ∑i∈cj (1－yi) ≥ zj, 所有 cj∈C; j yi = 0 或 1, 1 ≤ i ≤ n, zj = 0 或 1, 1 ≤ j ≤ m. 练习 验证布尔变量 X 的赋值 f 与整数线性规划问题 ILP 之间 存在这样一个一一对应：yi =1 当且仅当变量 xi 赋值为真 且 zj =1 当且仅当子句 c j 被满足。
xdhu 14
5.7 最大权可满足（续三）
注意，如果可以在多项式时间内计算出函数 g 的值，那 么上述算法就是一个多项式时间的算法。此外，该算法输出的 解的性能也取决于函数 g 的选取。最简单的一个选取方法是， 令g(yi ) := y*，i = 1, 2, … , n，亦即，以概率 y* 独立地将每一 i i 个变量 xi 赋值“真”。
vi∈V
(LP) Min ∑ wi xi s.t. xi + xj ≥ 1, (vi, vj)∈E
vi∈V
如果将上面（左侧）的整数约束用简单的约束 xi ≥ 0， 对所 有 vi∈V 替换掉，我们就可以得到上面（右侧）的线性规划。
xdhu 5
5.7 最小权顶点覆盖（续二）
应用求解线性规划的算法，我们即可得到上述松弛线性 * * 规划问题的一个最优解 xLP(G)。注意，xLP(G) 的某些分量可能 不是整数，因而它不一定是整数规划的一个可行解；但是它的 目标函数值不会超过整数规划问题的最优解的目标函数值。 要得到一个整数规划的可行解，一个非常简单的方法就 * 是将 xLP(G) 中足够大的分量都取整为1，而其他分量取整为0； * 亦即，如果一个顶点在 xLP(G) 中相应的分量至少是 1/2 ，则将 该顶点包括在顶点覆盖中。 注意，求解最小权顶点覆盖问题的这一方案（可能）需 要求解带有很多约束的一个线性规划问题；实际上，松弛线性 规划问题的约束个数等于给定图的边的条数，因而这一方案可 能比较费时（尽管仍然是多项式时间可完成的）。
我们可以证明：如果给定的最大权可满足问题的实例 中的每一个子句最多含有 k 个“字”时，那么算法输出的解的 权值与最优解的权值之比的期望值至少是 3/4 当 k ≤ 2，或者 1－1/e 当 k ≥ 3。
xdhu
15
5.7 最大割
我们前面讲述了，如何先通过松弛整数线性规划问题 ILP 的整数约束条件，再对松弛线性规划问题 LP 的最优解进行取 整，来找的最小权顶点覆盖问题的一个好的近似解。事实上， 这一技巧还可以应用于处理其他许多组合优化问题。
xdhu 2
5.7 整数规划方法
整数规划是组合优化领域的一个非常重要的研究方向。 一般来讲，绝大多数组合优化问题都可以比较容易地表述为等 价的整数规划问题，有时候是线性的，有时候是非线性的。这 样借助一些商业软件，就可以求解这些组合优化问题了。基于 整数规划的求解组合优化问题的方法包括如下几个步骤:
2 2 3 2 2 2 1 顶点赋权图 2 2 2 1 权值为 11 的 顶点覆盖
xdhu
1
2 2 3
1 2
2 2 3 2 2 1 权值为 9的 顶点覆盖
1
4
5.7 最小权顶点覆盖（续一）
在前面我们已经证明了，基于最大匹配的算法是求解最 小顶点覆盖问题的一个2-近似算法，然而它无法处理该问题的 一般情形。我们下面就说明如何用整数规划方法求解最小权顶 点覆盖问题。为此，我们先将该问题化成一个整数（线性）规 划问题。 (ILP) Min ∑ wi xi s.t. xi + xj ≥ 1, (vi, vj)∈E, xi =0 或者 1, vi∈V.
xdhu 13
5.7 最大权可满足（续二）
现在将整数约束替换为如下约束 0 ≤ yi ≤ 1, 1 ≤ i ≤ n, 0 ≤ zj ≤ 1, 1 ≤ j ≤ m, 即可得到一个线性规划问题 LP，另设 y*=(y*, y*,…, y*), z*=(z*, z*,…, z*), m 1 2 n 1 2 是该线性规划问题 LP 的一个最优解。 我们可以应用整数规划方法设计求解最大权可满足问题 的如下算法：给定问题的一个实例 I，求出其松弛线性规划问 题 LP 的一个最优解 ( y*, z*)。然后，对每一个 i =1, 2, … , n, 计算概率 pi = g (y*)，并以此概率给变量 xi, 赋值“真”，其中函 i 数 g 可以以多种方式定义。
5.7 最小权顶点覆盖（续五）
* * xDLP =xLP x* ILP
DLP 可行解的目标函数值
ILP 可行解的目标函数值 LP 可行解的目标函数值
给定最小权顶点覆盖问题的一个实例， 其松弛线性规划 问题 LP 的对偶问题是如下求最大值线性规划问题： (DLP) Max ∑
(vi ,vj)∈E
yi j yi j ≤ wi, vi∈V; yi j ≥ 0, (vi, vj)∈E
xdhu
(LP) Min ∑ wi xi s.t. xi + xj ≥ 1, (vi, vj)∈E
vi∈V
s.t. ∑
(vi ,vj)∈E
9
5.7 最小权顶点覆盖（续六）
注意，空集是原始整数线性规划问题 ILP 和其松弛线性规 划问题 LP 的一个可行解，而与所有分量 yi j 都为 0 所对应的解 是线性规划问题 LP 的对偶规划问题 DLP 的一个可行解。因 而，原始对偶算法可以从这样一对儿解开始迭代， (yi j = 0) 和 (xi = 0)，通过寻找更好的对偶解来构造一个可行原始解。
v3 v4 v5 v1
v2
v3 v4
v6
最优 2-割
v5
v2
5
2 4 8 10
v3
3
v2
5
2 4 8 10
v3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3
v1
1
v4
2
v1
1
v4
2
v6
3
权值为9 的 2-割
xdhu
v5
v6
3
权值为 29 的 2-割
17
v5
5.7 最大割（续二）
我们可以用如下方法，将最大割问题表示为一个整数 二次规划问题 （IQP）。首先，将每一对顶点 vi, vj ∈V 都赋值 wi j :≡ w(vi, vj) 当 (vi, vj)∈E，或wi j := 0 当(vi, vj )∉E。这样即有 (IQP) Max 2 ∑ ∑ wi j (1－xi xj) j=1 i=1 s.t. xi =1 或－1, 所有 vi ∈V.
xdhu 6
5.7 最小权顶点覆盖（续三）
定理 1 任给最小权顶点覆盖问题的一个实例，基于取整方法的 整数规划算法可以找的它的顶点覆盖，其权值不超过最优覆盖 的权值的 2 倍。 证明. 设 C 为算法输出的一个解，cDR(G) 是 C 中所有顶点的权 值之和。 反证法，假设 C 并没有覆盖边 (vi, vj)，则 xiLP(G) 和 xjLP(G) 一定都小于 1/2，这与 xLP(G) 是线性规划的可行解矛 盾，因为它不满足约束条件 xi + xj ≥ 1。
LP 现另 cOPT(G) 为整数规划的目标函数的最优值，cOPT(G) 为线 LP 性规划的目标函数的最优值。 则有 cOPT(G) ≥ cOPT(G)。因而
cDR(G) = ∑ wi ≤ 2∑ wi xi LP≤ 2∑ wi xiLP 2cOPT(G) ≤ 2cOPT(G) = LP
vi∈C vi∈C vi∈V
运筹学基础
胡晓东
应用数学研究所 中国科学院数学与系统科学研究院 北京2734信箱，北京100190 电子邮件: xdhu@, 电话: 62639192, 办公室: 904
Institute of Applied Mathematics
xdhu 1
5. 组合优化-算法设计技巧
精确算法 分而治之 (搜索、排大小序、旅行商) 动态规划 (最短路、三角剖分、背包) 分支定界 (整数线性规划、旅行商、工件排序) 近似算法或启发式算法 贪婪策略 (最小生成树、最大可满足、背包、 顶点覆盖、独立集、旅行商) 局部搜索(最大匹配、旅行商、最大割) 序贯法 (工件排序、装箱、顶点着色) 整数规划法 (顶点覆盖、最大可满足、最大割) 随机方法 (最小割、最大可满足、顶点覆盖) 在线算法 (页面调度、k-服务器、工件排序、装箱)
将所考虑的组合优化问题转化为一个等价的整数规划问题 将整数约束条件松弛，得到一个容易求解的优化问题 用有效算法（在多项式时间内）求解松弛问题 将所求得的最优（非整数）解进行适当的舍入， 得到原问题的一个可行（整数）解
xdhu 3
5.7 最小权顶点覆盖
我们首先考虑最小权顶点覆盖问题。它是最小顶点覆盖 问题的一般形式，而后者是一个著名的 NP-难问题。 问 题: 最小权顶点覆盖 实 例: 图 G=(V, E) 及顶点 vi∈V 的权值 wi 。 可行解: 顶点覆盖 C⊆V。 目 标: 最小化覆盖 C 中的顶点的权值之和 ||C||=∑vi∈C wi
vi∈C vi∈C (vi, vj)∈E vi∈V (vi, vj)∈E
∑
yi j yi j = 2 ∑
(vi, vj)∈E
≤∑
∑
yi j.
vi∈V (vi, vj)∈E
因为，DLP 的对偶可行解的目标函数肯定不会超过LP 最优原始解的目标函数值，故有 ∑ ∑ yi j ≤ cOPT(G), 因此有 cPD(G) ≤ 2cOPT(G)。 11