空间向量及其运算课件课件
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空间向量及其加减运算 课件
自测 自评
解析：零向量的方向是任意的，但并不是没有方向， 故①错；当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这 两个向量必相等，但两个向量相等，不一定起点相同、终 点也相同，故②错；根据相等向量的定义，要保证两个向
量相等，不仅模要相等，而且方向也要相同，但③中向量a 与b的方向不一定相同，故③错；命题④显然正确；对于命
题⑤，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定 相同，故不一定相等，故⑤错．
答案：D
题型一 空间向量的概念
例 1 如图所示，在长、宽、高分别为 AB＝3，AD＝2， AA1＝1 的长方体 ABCDA1B1C1D1 的八个顶点的两点为始点和终
点的向量中． (1)单位向量共有多少个？ (2)试写出模为 5的所有向量．
基础 梳理
O→B＝O→A＋A→B＝__a_＋__b___；C→A＝O→A－O→C＝__a_－__b___.
例：三个向量的和A→B＋B→C＋C→D＝___A→_D______.
3．空间向量加法的运算律．
(1)交换律：a＋b＝__b_＋__a___； (2)结合律：(a＋b)＋c＝a_＋__(_b_＋__c)___.
变式 训练
2．如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，若C→A＝a，C→B＝b， C→C1＝c，则-A→1B ＝________.
解析：A→1B＝B→1B－B→1A1＝B→1B－B→A＝B→1B－(C→A－C→B) ＝－c－(a－b)＝－c－a＋b.
答案：－c－a＋b
(2)AC→′－A→C＋A→D－AA→′ ＝(AC→′－A→C)＋(A→D－A→A′) ＝CC→′＋A′→D＝CC→′－DA→′＝CC→′－C→B′＝B-′-C→′.
点评：(1)掌握好向量加减法的三角形法则是解决这类问题的 关键，灵活应用相反向量及两向量和、差，可使这类题迅速获解， 另外需注意零向量的书写要规范．
【课件】空间向量及其线性运算+课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
使 OE OF OG OH k. OA OB OC OD
D
C
A
B
H
G
求证：E, F,G, H四点共面.
E
F
法三： 四边形ABCD是平行四边形，
AD BC， OE OF OG OH k.
OA OB OC OD
EH OH OE,
kOD OA
kAD 同理可得，FG kBC
简结果.
D
F
B
E
C
4.如图，已知正方体 ABCD ABCD, E, F分别是上底面 AC
和侧面CD中心.求下列各式中 x, y的值.
(1)AC xAB BC CC
B'
A'
D'
E
C'
(2)AE AA xAB yAD
Байду номын сангаас
F
(3)AF AD xAB yAA
A
D
B
C
课堂小结：
1.空间向量及其相关概念. 2.空间向量的线性运算. 3.空间向量的线性运算的运算律. 4.空间向量共线的充要条件. 5.空间向量共面的充要条件.
OH kOD, 四边形ABCD平行四边形
AC AB AD
EG OG OE kOC kOA kAC
kAB AD kOB OA OD OA
EG, EF, EH共面 E, F,G, H四点共面.
kOB kOA kOD kOA OF OE OH OE EF EH
如图，已知平行四边形ABCD，过平面AC
性不一定成立.
(4)此定理可以用来证明两 直线平行或三点共线 .
如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，
则对于直线 l上任意一点 P,
D
C
A
B
H
G
求证：E, F,G, H四点共面.
E
F
法三： 四边形ABCD是平行四边形，
AD BC， OE OF OG OH k.
OA OB OC OD
EH OH OE,
kOD OA
kAD 同理可得，FG kBC
简结果.
D
F
B
E
C
4.如图，已知正方体 ABCD ABCD, E, F分别是上底面 AC
和侧面CD中心.求下列各式中 x, y的值.
(1)AC xAB BC CC
B'
A'
D'
E
C'
(2)AE AA xAB yAD
Байду номын сангаас
F
(3)AF AD xAB yAA
A
D
B
C
课堂小结：
1.空间向量及其相关概念. 2.空间向量的线性运算. 3.空间向量的线性运算的运算律. 4.空间向量共线的充要条件. 5.空间向量共面的充要条件.
OH kOD, 四边形ABCD平行四边形
AC AB AD
EG OG OE kOC kOA kAC
kAB AD kOB OA OD OA
EG, EF, EH共面 E, F,G, H四点共面.
kOB kOA kOD kOA OF OE OH OE EF EH
如图，已知平行四边形ABCD，过平面AC
性不一定成立.
(4)此定理可以用来证明两 直线平行或三点共线 .
如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，
则对于直线 l上任意一点 P,
人教课标版《空间向量及其运算》PPT课件1
2
2 22
又 NC 1 NC
CC
1
1 2
BC
AA 1
1 AD 2
AA
1
1c 2
a,
MP
NC
1
(1 2
a
1 2
b
c)
(a
1 c) 2
3 a 1 b 3 c. 222
探究提高 用已知向量来表示未知向量，一定要结 合图形，以图形为指导是解题的关键.要正确理解 向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接 的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末 尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向 量加法的多边形法则.在立体几何中要灵活应用三 角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍 然成立.
共线
或重合 ，则称这些向量叫做共线向量或平行向量 ，
向量
a平行于b记作
a∥b
共面 向量
平行于同一 平面 的向量叫做共面向量
二、空间向量中的有关定理
定理
内容
定 理
对于空间任意两个向量a，b，a∥b的充
要条件是存在实数λ，使 a=λb (b≠0).
如图所示，点P在l上的充要条
共线 向量
件是：
①其中
定理 推 a叫做直线l的方向向量，t∈R，
三、向量的线性运算 1．空间向量的加法和减法 类似于平面向量，我们可以定义空间向量的加法和 减法运算(如图)：
OAOC
D
CO AO
2．空间向量的数乘
实数λ与空间向量a的乘积 λa 仍然是一个向量，
称为
数乘 ．
当λ＞0时，λa与a方向 相同
；当λ＜0时，
λa与a方向
相反 ；λa的长度是a的长度的|λ|
湘教版高中同步学案数学选择性必修第二册精品课件 第2章 第1课时 空间向量的概念及其运算
解析 ①错误,在同一条直线上的单位向量,方向可能相同,也可能相反,故它
们不一定相等;
②正确,零向量的模等于0,模等于0的向量只有零向量;
③正确,1 与1 的模相等,方向相同,故1 与1 相等;
④错误,空间四边形 ABCD 中,与的模不一定相等,方向也不相反;
⑤错误,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,与1 的模一定相等的向量是
课程标准
1.理解空间向量的有关概念.
2.掌握数乘向量的运算意义及运算法则.
3.理解向量共线定理,并能够解决实际问题.
目录索引
基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
学以致用·随堂检测促达标
基础落实·必备知识一遍过
知识点1
空间向量的基本概念
1.空间向量的定义:在空间中,把既有 大小 又有 方向
变式训练1(多选题)下列说法正确的是( CD )
A.两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点也相同
B.若空间向量a,b满足|a|=|b|,则a=b
C.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,必有 = 1 1
D.若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p
解析 当两个空间向量的起点相同,终点也相同时,这两个向量必相等,但两
2
所以 = 5 .
因为 与有公共点 E,所以 E,F,B 三点共线.
规律方法 证明空间三点共线的三种思路
对于空间三点P,A,B可通过证明下列结论来证明三点共线.
(1)存在实数 λ,使=λ成立;
(2)对空间任一点 O,有 = +t (t∈R);
(3)对空间任一点 O,有=x+y(x+y=1).
5
3
3
2 2
课件2：3.1.2 空间向量的数乘运算（共线与共面向量）
2．在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 中，向量D→1A、D→1C、
A→1C1是(
Байду номын сангаас
)
A．有相同起点的向量
B．等长向量
C．共面向量
D．不共面向量
[答案] C
[解析] 由题意知，A→1C1＝A→C＝D→1C－D→1A，∴向量D→1A、 D→1C、A→1C1是共面向量．
二、填空题
3．已知 A，B，C 三点不共线，O 是平面 ABC 外任一点， 若由O→P＝51O→A＋23O→B＋λO→C确定的一点 P 与 A，B，C 三点共 面，则 λ＝________.
[例 2] 如图所示，ABCD－ABEF 都是平行四边形， 且不共面，M、N 分别是 AC、BF 的中点，判断C→E与M→N 是否共线？
[分析] 要判断C→E与M→N是否共线，由共线向量定理 就是判定是否存在实数 x，使C→E＝xM→N.若存在则C→E与 M→N共线，否则C→E与M→N不共线．
[解析] M、N 分别是 AC、BF 的中点，而 ABCD、 ABEF 都是平行四边形，
＝34(C→G－C→F)＝34F→G. ∴E→H∥F→G且|E→H|＝34|F→G|≠|F→G|. ∵E∉FG，∴EH∥FG 且|EH|＝34|FG|， ∴四边形 EFGH 是梯形．
[例 3] 正方形 ABCD－A1B1C1D1 中，M、N、P、Q 分别 为 A1D1、D1C1、AA1、CC1 的中点，求证：M、N、P、Q 四 点共面．
[点评] 应用向量的加减法法则和数乘运算表示向量是 向量在几何中应用的前提，应熟练掌握．本题(1)中的突破点 是 O 为 AC 的中点，由平行四边形法则知P→O＝12(P→A＋P→C)， 该公式可看作向量形式的中点坐标公式，进行向量表示时要 注意向选定向量的转化方法．(2)中是对中点坐标公式的逆用， 同时也运用了数乘运算．
空间向量及其运算课件 课件
| AB | (x2 x1)2 ( y2 y1)2 , C(x, y)是AB的中点，则
x
y
x1 y1
2
x2 y2
2
空间向量
空间向量的坐标运算：
a (x1, y1, z1),b (x2 , y2 , z2 )
a b (x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 );
a (x1, y1, z1), R;
空间向量
空间向量的夹角：
a (x1, y1, z1),b (x2 , y2 , z2 ) cos a,b a • b
| a || b |
x1x2 y1 y2 z1z2
x12 y12 z12 x22 y22 z22
垂直与平行：
a (x1, y1, z1),b (x2 , y2 , z2 ) a // b x1 y1 z1 (?)
(4)已知不共线的三点A、B、C，对平面 ABC外的任意一点O，若 OG 1 (OA OB OC) 则G是三角形ABC的重心 3
以上命题中，正确的是__________
已知三棱锥O—ABC中，G为△ABC的重心，OA=a，OB=b， OC=c，试用a , b , c 来表示OG.
(1)若AD是△ABC的中线，则有
平面的向量参数方程：
A, B,C是不共线的三点，P 平面ABC
存在唯一的实数对x, y，使 AP x
AB yAC
存在唯一的实数对x, y,使
OP (1 x y) OA yOC
存在唯一的实数对x, y, z
(x y z 1),使 OP x OA
yOB zOC
空间向量及其运算
• 空间向量的概念、表示、相等关系。 • 空间向量的加法、减法、数乘向量 • 加法交换律 • 加法结合律 • 数乘分配律
x
y
x1 y1
2
x2 y2
2
空间向量
空间向量的坐标运算：
a (x1, y1, z1),b (x2 , y2 , z2 )
a b (x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 );
a (x1, y1, z1), R;
空间向量
空间向量的夹角：
a (x1, y1, z1),b (x2 , y2 , z2 ) cos a,b a • b
| a || b |
x1x2 y1 y2 z1z2
x12 y12 z12 x22 y22 z22
垂直与平行：
a (x1, y1, z1),b (x2 , y2 , z2 ) a // b x1 y1 z1 (?)
(4)已知不共线的三点A、B、C，对平面 ABC外的任意一点O，若 OG 1 (OA OB OC) 则G是三角形ABC的重心 3
以上命题中，正确的是__________
已知三棱锥O—ABC中，G为△ABC的重心，OA=a，OB=b， OC=c，试用a , b , c 来表示OG.
(1)若AD是△ABC的中线，则有
平面的向量参数方程：
A, B,C是不共线的三点，P 平面ABC
存在唯一的实数对x, y，使 AP x
AB yAC
存在唯一的实数对x, y,使
OP (1 x y) OA yOC
存在唯一的实数对x, y, z
(x y z 1),使 OP x OA
yOB zOC
空间向量及其运算
• 空间向量的概念、表示、相等关系。 • 空间向量的加法、减法、数乘向量 • 加法交换律 • 加法结合律 • 数乘分配律
人教A版选择性必修第一册 1-1-1空间向量及其线性运算课件(31张)
推论 : 如果l为经过已知点A且平行已知非零向量 a的直线, 那么对任一点O, 点P在直线上的充要条件是存在唯 一实数t, 满足等式OP OA ta其中向量a叫做直线
BP
P aa
B
AA
的方向向量.
OO
共面向量
三、共线定理、共面定理及其应用
如图, 如果表示向量a 的有向线段OA所在的直线OA与直线l平行或重合, 那么称向量a平行于直线l .
【规定】：零向量与任何向量共线。 【规定】：零向量与任何向量共线。
一、空间向量的有关概念
例1: (1)下列关于空间向量的说法中正确的是 : ( )
A.单位向量都相等
B.若 | a |＝| b |，则a，b的长度相等而方向相同或相反
C.若向量AB、CD，满足 | AB CD |，则AB CD
√D.相等向量其方向必相同
一定平行.
一、空间向量的有关概念
【练1】如图所示，以长方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点的两点为起点和终点的向量中， (1)试写出与A→B相等的所有向量； (2)试写出A→A1的相反向量； (3)若 AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量A→C1的模.
解（1）与向量A→B相等的所有向量(除它自身之外)有A—1→B1，D→C及D—1→C1共 3 个. （2）向量A→A1的相反向量为—A1→A ，—B1→B ，— C1→C ，— D1→D.
(1) AP
(2) A1N
(3)MP
解（2）∵N是BC的中点，
A1N
AA1
A1B
BN
a
b
1 2
BC
a b 1 AD a 1 b c.
2
2
二、空间向量的线性运算及其运算律
高等数学向量及其运算PPT课件.ppt
例如, a、r、v、F 或a 、r 、v 、F .
2
• 自由向量 与起点无关的向量, 称为自由向量, 简称向量.
• 向量的相等 如果向量a和b的大小相
等, 且方向相同, 则说向量a 和b是相等的, 记为a=b.
相等的向量经过平移后可以完全重合.
3
•向量的模 向量的大小叫做向量的模.
向量 a、a 、AB 的模分别记为|a|、|a| 、|AB| .
23
例3 已知两点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)以及实数-1,
在直线 AB 上求一点 M, 使 AM =MB .
解 由于
解 由于 AM =OM-OA , MB=OB-OM ,
=OM-OA , MB=OB-OM ,
因此 OM-OA=(OB-OM) ,
从而
OM =
1
(OA+ OB)
当两个平行向量的起点放在同一点时, 它 们的终点和公共的起点在一条直线上. 因此, 两向量平行又称两向量共线.
设有k(k3)个向量, 当把它们的起点放在同 一点时, 如果k个终点和公共起点在一个平面上, 就称这k个向量共面.
6
二、向量的线性运算
1.向量的加法
设有两个向量a与b, 平移向量, 使b的起点与a
当=0时, |a|=0, 即a为零向量. 当=1时, 有1a=a; 当=-1时, 有(-1)a =-a.
10
•向量与数的乘积的运算规律
(1)结合律 (a)=(a)=()a; (2)分配律 (+)a=a+a;
(a+b)=a+b.
•向量的单位化
设a0, 则向量 a 是与a同方向的单位向量,
记为ea.
|a|
2
• 自由向量 与起点无关的向量, 称为自由向量, 简称向量.
• 向量的相等 如果向量a和b的大小相
等, 且方向相同, 则说向量a 和b是相等的, 记为a=b.
相等的向量经过平移后可以完全重合.
3
•向量的模 向量的大小叫做向量的模.
向量 a、a 、AB 的模分别记为|a|、|a| 、|AB| .
23
例3 已知两点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)以及实数-1,
在直线 AB 上求一点 M, 使 AM =MB .
解 由于
解 由于 AM =OM-OA , MB=OB-OM ,
=OM-OA , MB=OB-OM ,
因此 OM-OA=(OB-OM) ,
从而
OM =
1
(OA+ OB)
当两个平行向量的起点放在同一点时, 它 们的终点和公共的起点在一条直线上. 因此, 两向量平行又称两向量共线.
设有k(k3)个向量, 当把它们的起点放在同 一点时, 如果k个终点和公共起点在一个平面上, 就称这k个向量共面.
6
二、向量的线性运算
1.向量的加法
设有两个向量a与b, 平移向量, 使b的起点与a
当=0时, |a|=0, 即a为零向量. 当=1时, 有1a=a; 当=-1时, 有(-1)a =-a.
10
•向量与数的乘积的运算规律
(1)结合律 (a)=(a)=()a; (2)分配律 (+)a=a+a;
(a+b)=a+b.
•向量的单位化
设a0, 则向量 a 是与a同方向的单位向量,
记为ea.
|a|