《线性代数与概率统计》概率统计答案及评分标准

计算机系

《线性代数与概率统计》（概率统计）(A)

参考答案及评分标准

一、选择题（本大题共 5题，每小题 3 分，共 15 分)

1. 一射手向目标射击3 次，i A 表示第i 次射击击中目标这一事件)3,2,1(=i ，

则3次射击中至多2次击中目标的事件为( B )

321321321321)()()()(A A A D A A A C A A A B A A A A ????

2. 若x x cos )(=?可以成为随机变量X 的概率密度函数，则X 的可能取值

区间为（ A ）

(A )]2

,0[π

(B) ],2

[ππ

(C ) ],0[π (D ) ]4

7,23[

ππ 3. 设随机变量X 的概率密度为()p x ,且{}01P x ≥=,则必有( C ) (A ) ()p x 在()0+∞，内大于零

(B ) ()p x 在(),0-∞内小于零

(C ) 0

1p(x)dx +∞

=?

(D ) ()p x 在()0+∞，上单调增加

4. 下列数列是随机变量的分布律的是（ A ）.

(A ) )5,4,3,2,1,0(15==i i

p i

(B ) )3,2,1,0(6

52

=-=

i i p i

(C ) )4,3,2,1(5

1

==

i p i (D ) )5,4,3,2,1(25

1=+=

i i p i

5. 设X 1,X 2,X 3,X 4是来自总体N (,2)的简单随机样本，则四个统计量:

μ1=( X 1+X 2+X 3+X 4 )/4, μ2=X 1,

μ3=X 1/2+X 2/3+X 3/6,

μ4=X 1/2+X 2/3+X 3/4

中，是的无偏估计量的个数为（ C ） (A ) 1

(B ) 2 (C ) 3 (D ) 4

二、填空题（本大题共 5 题，每小题 3 分，共 15 分)

1．设()0.4,()0.3,()0.6P A P B P A B ===，则()P AB =.

2．将3个球随机地放入3个盒子中（每个盒子中装多少个球不限），则每盒中各有一球的事件的概率等于____2/9___.

3．设离散随机变量X的分布函数为

00;

1

,01;

3

()=

2

,12;

3

1, 2.

x

x

F x

x

x

<

?

?

?≤<

?

?

?≤<

?

?≥

?

,

则

1

2

2

P X

??

<≤=

??

??

___2/3______.

4．连续型随机变量取任何给定实数值a的概率为 0 .

5．设随机变量X与Y服从分布：X～(1,2)

N，Y～(100,0.2)

B，则

(23)

-+=

E X Y -15 .

三、计算题（本大题共 6 题，其中1、2小题每题8分，3、4小题每题10分，5、6小题每题12分，共 60 分)

1．设一口袋装有10只球，其中有4只白球，6只红球，从袋中任取一只球后，不放回去，再从中任取一只球。求下列事件的概率：

(1) 取出两只球都是白球；

(2) 第二次取的是白球.

解：(1) 设：取出两只球都是白球的事件为A

15

2

/)(1

91101314=

=C C C C A P …………（4分） (2) 设：第二次取的是白球的事件为B

5

2

//)(1

91101314191101416=

+=C C C C C C C C B P …………（8分）

2. 甲、乙是位于某省的二个城市，考察这二城市六月份下雨的情况，以A ，B 分别表示甲，乙二城市出现雨天这一事件，根据以往的气象记录知()()0.4P A P B ==,

()0.28P AB =, 求(|)P B A 和()P A B ?.

解：(|)P B A =

)()(A P AB P =4

.028

.0= …………（4分） ()P A B ?=)()()(AB P B P A P -+=+ …………（8分）

3.已知连续型随机变量X 有概率密度

1,02

()0,

kx x f x +<

?其它

(1) 求系数k ;

(2) 计算(1.5 2.5)<

(3) 求数学期望()E X .

解 （1）?+∞

∞

-=1)(dx x f ，即?=+2

1)1(dx kx …………

得2

1

-=k ………………………………（2分）

（2）)5.25.1(<

.25

.1)(dx x f ………………（4分）

=dx x

?+-25.1)12

(==1/16=………（6分）

（3）)(X E =?+∞

∞

-dx x xf )( …………………………（8分）

=dx x x ?+-20)12(=3

2

……………………（10分）

4.设随机变量),(Y X 在G 上服从均匀分布，其中G 由x 轴y ,轴及直线1x y +=所围成，

⑴ 求),(Y X 的边缘概率密度)(x f X ，⑵ 计算{}P Y X <。

解：),(Y X 的联合概率密度为 2,(,);

(,)0,x y G f x y ∈?=?

?其它. ……………… （2分）

(1) 2(1),01;

()(,)0,X x x f x f x y dy ∞-∞

-<

， …………… （6分）

⑵ 1210

12

{}(,)2y

y

y x

P Y X f x y dxdy dy dx -<<=

==

????

。 …………… (10分)

5.设X,Y 服从同一分布，其分布律为：

已知P （|X |=|Y |）=0，判断X 和Y 是否不相关是否不独立

解：根据P （|X |=|Y |）=0，易得X ，Y 的联合分布律为： ……（6分）

04/112/104/1)1()(=?+?+?-=X E

另易得：E (XY )=0

所以，COV(X ,Y ) = E (XY ) - E (X )E (Y ) = 0，即X 与Y 不相关。……（10分）

根据P (X =i ,Y =j ) ≠ P (X =i ) P (Y =j ) 得X 与Y 不是相互独立。 ………（12分）

6.设总体X 的概率分布为

1-2θ

其中θ(0<θ<

1

2

)是未知参数，利用总体的如下样本值3，1，3，0，3，1，2，3，求θ的矩估计值和极大似然估计值。

解：

8

13?(1)()34,()4

2

8

i

i x E X E X x x x θθ

=-=-====∑令得又 …………（3分） 所以θ的矩估计值31?.44

x θ

-== ……………………（6分） （2） 似然函数8

6241

(,)4(1)(12).i i L P x θθθθ===--∏ …………（8分）

2ln ln 46ln 2ln(1)4ln(1),

d ln 628628240,d 112(1)(12)

L L θθθθθθθθθθθθ=++-+--+=--==---- 解2628240θθ-+=

得

1,2θ=

. 由于

1

,2

>

所以θ的极大似然估计值为 7?2

θ

-=…………（12分）

四、应用题 设考生的外语成绩（百分制）X 服从正态分布，平均成绩（即参数μ之值）为72分，96以上的人占考生总数的%，今任取100个考生的成绩，以Y 表示成绩在60分至84分之间的人数，求：Y 的分布律。

其中: (2)0.977,(1)0.8413Φ=Φ=.

解：),72(~2σN X ，),100(~p B Y ，其中 …………………………（2分）

)8460(<<=X P p

=1)12

(2)72

60(

)72

84(

-Φ=-Φ--Φσ

σ

σ

…………………（4分）

)24

(

1)72

96(

1)96(023.0σ

σ

Φ-=-Φ-=>=X P ………………（6分）

977.0)24

(

=Φ∴σ

，即

224

=σ

，故

112

=σ

所以6826.01)1(2=-Φ=p ……………………………………（8分）

故Y 的分布率为)6826.0,100(~B Y

即：k k k

C k Y P -==100100

)3714.0()6826.0()( ……………………（10分）