高中数学 《变化率与导数》教案 新人教A版选修11

[教学目的]

1.了解导数形成的背景、思想和方法；正确理解导数的定义、几何意义；

2.使学生在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率，建立导数的概念；掌握用导数的定义求导数的一般方法

3.在教师指导下，让学生积极主动地探索导数概念的形成过程，锻炼运用分析、抽象、归纳、总结形成数学概念的能力,体会数学知识在现实生活中的广泛应用。 [教学重点和难点]导数的概念是本节的重点和难点 [教学方法]讲授启发，自学演练。 [授课类型]：新授课

[课时安排]：1课时

[教 具]：多媒体、实物投影仪

[教学过程]

一、复习提问(导数定义的引入)

1．什么叫瞬时速度？(非匀速直线运动的物体在某一时刻t0的速度) 2．怎样求非匀速直线运动在某一时刻t0的速度？

在高台跳水运动中，如果我们知道运动员相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在关系()105.69.42

++-=t t t h ，那么我们就会计算任意一段的平

均速度v ，通过平均速度v 来描述其运动状态，但用平均速度不一定能反映运动员在某一时刻的瞬时速度，那么如何求运动员的瞬时速度呢？问题：2秒时的瞬时速度是多少？ （2）新课

我们现在会算任意一段的平均速度，先来观察一下2秒附近的情况。先计算2秒之前的t ?时间段内的平均速度v ，请同学们完成表格1左边部分，（事先准备好的），再完成表格的右边部分〉

表格1

表格2

0

0>?t 时，在[]t ?+2,2这段时间内

()()()1

.139.41.139.422222-?-=?-?+?=

?+-?+-=t t

t t t t h h v ()()()1

.139.41.139.422222-?-=??-?-=

-?+-?+=t t

t t t h t h v 当-=?t 0.01时，-=v 13.051； 当=?t 0.01时，-=v 13.149； 当-=?t 0.001时，-=v 13.095 1； 当=?t 0.001时，-=v 13.104 9； 当-=?t 0.000 1时，-=v 13.099 51； 当=?t 0.000 1时，-=v 13.100 49； 当-=?t 0.000 01时，-=v 13.099 951；

当=?t 0.000 01时，-=v 13.100 049；

当-=?t 0.000 001时，-=v 13.099 995 1； 当=?t 0.000 001时，-=v 13.100 004 9； 。。。。。。

。。。。。。

问题：1你能描述一下你算得的这些数据的变化规律吗？（表格2） 关于这些数据，下面的判断对吗？

2．当t ?趋近于0时，即无论t 从小于2的一边，还是t 从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值-13.1s m /。

3． 靠近-13.1且比-13.1大的任何一个数都可以是某一段[]2,2t ?+上的平均速度； 4． 靠近-13.1且比-13.1小的任何一个数都可以是某一段[]t ?+2,2上的平均速度； 5． -13.1表示在2秒附近，运动员的速度大约是-13.1s m /。

分析:2=t 秒时有一个确定的速度，2秒附近的任何一段上的平均速度都不等于瞬时速度，所以比-13.1大的数作为2秒的瞬时速度不合理，比-13.1小的数作为2秒的瞬时速度也不合理，因此，运动员在2秒时的瞬时速度是-13.1s m /。

这样，我们就得到了2秒时的瞬时速度是-13.1s m /，现在我们一起回忆一下是如何得到的：

首先，算出[]t ?+2,2上的平均速度

()()t

h t h ?-?+22=1.139.4-?-t ，接着观察当t ?趋近

于0时，上式趋近于一个确定的值-13.1，这个值就是运动员在2秒时的瞬时速度。为了表述方便，我们用

()()1.1322lim 0

-=?-?+→?t h t h t 表示“当2=t ，t ?趋近于0时，平均速度v 趋近于确定值-13.1”。

思考：当t ?趋近于0时，平均速度v 有什么样的变化趋势？

结论：当t ?趋近于0时，即无论t 从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度v 都趋近于一个确定的值13.1-．

从物理的角度看，时间t ?间隔无限变小时，平均速度v 就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在2t =时的瞬时速度是13.1/m s - 为了表述方便，我们用0(2)(2)

lim

13.1t h t h t

?→+?-=-?

表示“当2t =，t ?趋近于0时，平均速度v 趋近于定值13.1-”

小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近

似值过渡到瞬时速度的精确值。

3．函数()x f y =在0x x =处的瞬时变化率如何表示？ 导数的定义（板书）

函数()x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x

x f x x f x f

x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim

0000，

我们称它为函数()x f y =在0x x =处的导数，记作()0'

x f 或0|'x x y =，

即()0'

x f

=x

x f x x f x

f

x x ?-?+=??→?→?)

()(lim

lim

000

。例如：2秒时的瞬时速度可以表示为

()1.132'-=h 或1.13|'2-==t y 。

附注：①导数即为函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率；

②定义的变化形式：()x f

'

=x

x x f x f x y

x x ??--=??→?→?)()(lim )(lim

0000

； ()x f

'

=00)()(lim )(lim

00x x x f x f x y x x x

x --=??→→；()x f '

=x

x f x x f x ?--?-→?-)()(lim 000； 0x x x ?=-，当0x ?→时，0x x →，所以000

()()

()lim

x f x f x f x x x ?→-'=-

③求函数()x f y =在0x x =处的导数步骤：“一差；二比；三极限”。 三．典例分析

例1．（1）求函数y =3x 2在x =1处的导数.

分析：先求Δf =Δy =f (１＋Δx )-f (１)=6Δx +(Δx )2

, 再求6f x x

?=+??再求0

lim 6x f x

?→?=?

解：法一（略）； 法二：222211113313(1)

|lim

lim lim3(1)611

x x x x x x y x x x =→→→-?-'===+=-- （2）求函数f (x )=x x +-2

在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．

解：x x

x x x y ?-=?-?+-+?+--=??32

)1()1(2 200(1)(1)2

(1)lim

lim (3)3x x y x x f x x x

?→?→?--+?+-+?-'-===-?=?? 例2．（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh 时，原油的温度（单位：C ）为2

()715(08)f x x x x =-+≤≤，计算第

2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．

解：在第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率就是'

(2)f 和'

(6)f 根据导数定义，

0(2)()f x f x f

x x

+?-?=

?? 22(2)7(2)15(27215)

3x x x x

+?-+?+--?+==?-?

所以00

(2)lim

lim(3)3x x f

f x x ?→?→?'==?-=-?；同理可得:(6)5f '=

在第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率分别为3-和5，说明在2h 附近，原油温度大

约以3/C h 的速率下降，在第6h 附近，原油温度大约以5/C h 的速率上升．

注：一般地，'

0()f x 反映了原油温度在时刻0x 附近的变化情况．

17世纪，力学、航海、天文等方面取得了突飞猛进的发展，这些发展对数学提出了新的要求，它们突出地表现为四类问题，其中的两类问题直接导致了导数的产生：一是根据物体的路程关于时间的函数求速度和加速度；二是求已知曲线的切线。

由导数的定义，我们知道，高度h 关于时间t 的导数是运动员的瞬时速度；气球半径r 关于体积V 的导数就是气球的瞬时膨胀率。

实际上，导数可以描述任何事物的瞬时变化率，如效率、点密度、国内生产总值GDP 的

增长率等等。下面我们来看一个导数的应用。 四．课堂练习

1．质点运动规律为32

+=t s ，求质点在3t =的瞬时速度为．

2．求曲线y =f (x )=x 3在1x =时的导数．

3．例2中，计算第3h 时和第5h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义． 五、小结

1．导数的产生是由于17世纪力学、天文学等的飞速发展，对数学提出的要求，主要是两类问题：一是根据物体的路程关于时间的函数求速度和加速度；二是求已知曲线的切线； 2．导数就是瞬时变化率； 3．导数的计算公式：()0'

x f

=x

x f x x f x

f

x x ?-?+=??→?→?)

()(lim

lim

000

。

4. 求函数()x f y =在0x x =处的导数步骤：“一差；二比；三极限” 六、布置作业

教科书习题1.1A 组1，2，3，4，5。