卡诺图在其它方面的应用
多变量卡诺图及其在逻辑函数化简中的应用
多变量卡诺图及其在逻辑函数中的应用摘要：卡诺图是在数字电路中十分有用的工具，本文介绍了多变量卡诺图在逻辑函数化简中的应用。
关键词：卡诺图、逻辑函数、化简Multi-variable Karnaugh Map and the Application of it in Logic Function Abstract：Karnaugh map is very useful in the study of digital design, in this article; we have introduce the application of multi-variable Karnaugh map in simplification of logic functions.Key words：Karnaugh map, simplification, logic function.卡诺图（Karnaugh map）是由美国科学家卡诺首先提出的。
在数字电子技术中，卡诺图是逻辑函数真值表的一种图形表示，即用图形表示输入变量与函数之间的逻辑关系。
就n个变量的卡诺图来说，它是由n2个小方格组成，每一小方格代表一个最小项。
在卡诺图中，几何位置相邻（这里的几何位置相邻包括边缘、四角）的小方格在逻辑上也是相邻的，卡诺图用几何位置上的相邻, 形象地表示了组成逻辑函数的各个最小项之间在逻辑上的相邻性。
在数字电路原理与实践课程中，我们常常将卡诺图作为化简逻辑函数的工具。
利用卡诺图化简逻辑函数的方法称为卡诺图化简法或图形化简法。
化简时依据的基本原理就是具有相邻性的最小项可以合并，以此消去不同的因子。
由于在卡诺图上几何位置相邻与逻辑上的相邻性是一致的，因而我们能够从卡诺图上直观地找出那些具有相邻性的最小项并将其合并、化简。
利用卡诺图合并最小项的规则如下：如果两个最小项逻辑相邻，那么二者可以合并成为一项并消去一对因子，合并后的结果中只包含公共因子。
离散数学中的布尔函数与卡诺图
离散数学是数学的一个分支，研究的是离散结构和离散型对象的性质。
其中，布尔函数是离散数学中的重要概念之一，而卡诺图则是布尔函数的一种可视化工具和简化方法。
布尔函数是指由布尔代数中的逻辑运算（如与、或、非）构成的函数。
它将一组布尔变量映射到布尔值的集合上。
布尔函数的输入和输出都只能是0（假）和1（真）。
布尔函数在电子电路设计、计算机科学、密码学等领域有着广泛的应用。
在离散数学中，我们通常用真值表来表示布尔函数，并通过逻辑运算的组合来描述其性质。
然而，随着布尔函数的规模增大，真值表的表示变得复杂而不直观。
卡诺图（Karnaugh Map）成为一种常用的工具，用于优化和简化布尔函数的表示。
卡诺图是由一张由2的幂次方的格子组成的表格构成，表格的每个格子表示布尔函数的一个可能输入组合。
通过将真值表中的不同输入组合映射到卡诺图的格子上，并将对应的输出值填入格子中，我们可以更加直观地观察和分析布尔函数的模式。
利用卡诺图，我们可以进行布尔函数的最小化和化简操作。
最小化操作是指通过合并相邻格子中具有相同输出值的格子，从而得到一个更简洁的布尔函数表示。
而化简操作是指通过合并相邻格子中具有相同输入变量的格子，从而得到一个更简洁的真值表表示。
卡诺图的使用规则是相邻格子之间仅有一个变量取值不同。
通过观察这种变化的模式，可以找到多个相邻格子可以合并的可能。
通过将相邻格子合并，我们可以得到一个更简化的布尔函数或真值表表示，从而减少计算复杂度。
卡诺图的优点是直观且易于理解。
通过观察格子的组合模式，我们可以更容易地理解和分析布尔函数的性质。
此外，卡诺图还可以用于表示多个布尔函数之间的关系，进一步帮助我们进行逻辑分析和优化。
总结来说，离散数学中的布尔函数与卡诺图是相辅相成的概念。
布尔函数作为离散数学中的重要概念，用于描述逻辑运算和电子电路的行为。
而卡诺图作为布尔函数的可视化工具和简化方法，帮助我们更直观地观察和分析布尔函数的模式，进而进行最小化和化简操作。
基于竞争-冒险的卡诺图在组合逻辑电路中的应用
一
Ｃ
图１ 竞争 示意 图
、
竞 争的产 生
在 组 合逻 辑 电 路 中 ， 所 有 的逻 辑 门 电路 都 存在
在图 ｌ 所 示 的组 合逻 辑 电 路 中 ， 输 入 变量 Ｂ经
过 Ｇ １门 、 Ｇ ３门 、 Ｇ ４门 到达 输 出端 Ｌ，也 可 以经 过 Ｇ ２门 、 Ｇ ４门到 达输 出端 Ｌ ， 它有 两 条 路径 可 以到达
工作 。为 了保 证组 合逻 辑 电路在 工作 时 的可靠 性 和
稳定 性 ， 不 至 于 出现 整 个 系统 的 逻辑 紊 乱 和 错误 动 作． 必须 要 能 够识 别 和 消 除在 组 合逻 辑 电路 中经 常
Ｂ
Ｌ
会 出现 的竞争 一 冒险现象［ １ １ 。因此 在组 合逻辑 电路 中 竞 争 与 冒险 现象 的识 别 和 消 除 ， 对 于保 证 整 个 电路
在如图 ２ （ ａ ） 所 示 的组 合 逻辑 电路 中 ， 输 入变 量 Ａ可 以通 过 两条 路 径 到达 输 出端 Ｌ （ 一 条是 通 过 Ｇ１ 门、 Ｇ ２门 ； 别 一 条是 通过 Ｇ ２门直 接 到达输 出端 Ｌ ） ，
三、 冒险现 象 的判别— — 卡诺 图识 别表
根 据 上述 的两个 例 子可知 ，在 组合 逻辑 电路 的 输 出表达 式 中 ，若某 个 变量 同时 以原变 量或 反变 量 的形 式 出现 ． 它就具 备 了竞争 的条 件 。 当输 出表达 式 在一 定 的输入 条件 下 ， 即除 了原变 量和 反变量 外 ， 将
虽然准确无误 ， 但是会在实际的调试运行过程 中得到错误的结果。文章在对竞争冒险现 象产生的原 因， 识别
卡诺图应用研究
卡诺图应用研究摘要在对卡诺图的应用上，由于很多课本都很零散地作了分析，而且是本着用到提到，不用不提的思想。
为此，本文针对卡诺图应用研究作出了较为系统的总结。
采取由易到难，由一方面到多方面的应用分析。
通过系统总结，可以让读者更为直观，全面的认识卡诺图，了解卡诺图，应用卡诺图。
关键词卡诺图；逻辑函数；最小项Abstract: this paper summarized the applied research of the Karnaugh map more systematically. This paper analyzed the application from easy to difficult, on the one hand to a wide range. Systematic summary to give readers a more intuitive and comprehensive understanding of the Karnaugh map for the Karnaugh map, the application Karnaugh map.Key words: Karnaugh map; logic function; minterm 中图分类号：TP33文献标识码：A文章编号：2095-2104（2012）02-随着数字技术的快速发展，现代电子设备已经从模拟化向数字化转变。
目前，大多数电路只在信号采集、微弱信号放大、高频大功率输入等局部采用模拟电路，其余部分广泛采用数字技术及数字处理电路。
因此，对数字电路的分析与研究成为电子工程技术人员必须掌握的知识。
在数字电子技术中数字逻辑电路的设计是非常重要的，而卡诺图在逻辑电路设计中又起到非常重要的作用，所以本文对卡诺图的应用作出进一步的分析与讨论。
1 逻辑函数卡诺图运用代数法化简逻辑函数时，必须熟练掌握逻辑代数的基本公式并具备一定的技巧。
卡诺图排列方法及在组合逻辑电路竞争冒险中的应用
易行 的排 列卡诺 图 的方 法 。本 文论 述 了以格雷码 规律
排列卡诺图的方法， 并举例说明卡诺 图在组合逻辑电
路竞 争 冒险 中的应用 。
１ 卡诺图的排列方法
１１ 二进制码与格雷码的转换 ． 格雷码 是一 种无 权代 码 ， 数 字 系统 中有 着 广泛 在 的应用 。其 编码 特点是 任意两 相邻代 码之 间只有 １ 位
｝
４ ・ ８
维普资讯
第３ ３卷第 ６期
匡晚成 ， ： 等 卡诺 图排 列方法及 在组 合逻 辑电路竞 争冒险中的应用
・ 基本电子电路 ・
１２ 根据格雷码排列卡诺图 ． 四变量 以下 的 卡诺 图排 列 比较 简 单 ， 只需 掌 握 ２
地 位 。它是数字 电路 分 析 和设 计 常用 的工 具 ， 且具 并
最高 位不变 ， 即
Ｇ １＝Ｂ
一 一
１，
Ｇ ＝ Ｏ Ｂ ＋ ， ， ０～ Ｘ Ｒ（ １Ｂ ） ＝ ｎ一２ 。
有循环邻接的特点。正是这个特点， 使得它可 以很方 便地化简多变量的逻辑函数。要化简多变量的逻辑函 数， 通常 必须 排 出多 变 量 的 卡诺 图 。尽 管 可 采 用 “ 折 叠展 开 ” 的法 则 或 者查 表法 进 行 排 列 ¨ ， 这 些 方法 Ｊ但
排列 和记忆 比较 困难 。因此 ， 计 人 员 急需 一 种 简捷 设
根据 以上方法 。按 照十进 制 的大小顺 序将 ４位二
进制数转换 为相应 的格雷码 ， 其转换结果见表 １ 。该 公式 只适应 于二进 制 位 数 不很 长 的情 况 ， 当位 数 超过 ６ 位时 ， 计算特别烦琐而且易于出错 ， 给电路设计者带 来了极大的不便。因此对位数较长的二进制数， 建议 用软件 法 实现 。
卡诺图化简
逻辑函数中的无关项
• 无关项在逻辑函数化简中的作用：
– 例2：用卡诺图简化下列逻辑函数，并写成最 简与或式和或与式。
Y ABC ABCD ABCD ABCD CD AB 00 约束条件：A B＝0 00 × 约束条件可表示为：AB AB 0 01 1
逻辑函数中的无关项
• 约束项：
– 表示方法：
ABC 0 ABC 0 ABC 0 ABC 0 ABC 0
或
由于约束项的值始终为 0，所以既可以将约束 项写进逻辑函数式，也 可以不写。
ABC ABC ABC ABC ABC 0
逻辑函数中的无关项
BC A 0 1
1
00
01
1 1
11
1
10
1 1
卡诺图化简法
• 利用卡诺图化简函数
– 例1：用卡诺图化简 Y AC AC BC BC
Y AC AC BC BC AC BC AB
BC A 0 1
1
00
01
1 1
11
1
10
1 1
注：卡诺图化简不是唯 一，不同的圈法得到的 简化结果不同，但实现 的逻辑功能相同的。
0
11
0
10
0
最简或与式：
Y B( A C D)( A C D)
1
0 0
1
1 0
0
1 0
1
1 0
卡诺图化简法
• 利用卡诺图化简函数
– 例3：用卡诺图化简为最简与或式和最简或与式 Y M (2,3,4,6,11,12,14)
数字电路中卡诺图的灵活应用
数字电路中卡诺图的灵活应用刘玲【摘要】卡诺图是一种体现逻辑相邻关系的几何图形,多用于逻辑函数的表示和化简.通过实例,展示了卡诺图在求解逻辑函数的反函数、判断竞争冒险现象以及组合逻辑电路和时序逻辑电路设计中的应用.灵活运用卡诺图,将大大简化数字电路的分析和设计过程,起到事半功倍的效果.【期刊名称】《数字技术与应用》【年(卷),期】2016(000)005【总页数】2页(P51-52)【关键词】卡诺图;数字电路;逻辑函数;应用【作者】刘玲【作者单位】四川工商学院四川成都 611745【正文语种】中文【中图分类】TN79卡诺图是由2n个方格组成的、并能体现最小项逻辑相邻关系的几何图形。
从卡诺图上能直观地找出具有相邻关系的最小项并将其合并化简，这种方法无需特殊的技巧和熟记公式，只要按照正确的步骤和一定的化简原则就能容易地得到最简结果，因此卡诺图在逻辑函数化简中得以广泛的应用。
事实上，卡诺图除了可以化简逻辑函数，还有很多其他的用途，只要灵活运用，即可大大化简数字电路的分析和设计过程。
本文通过实例，阐述了卡诺图在逻辑函数化简之外的几点巧妙应用。
2.1 利用卡诺图求逻辑函数的反函数利用反演规则可以比较容易地求出逻辑函数的反函数，但得到的表达式并一定最简。
如果利用卡诺图，对逻辑函数表达式中没有出现的最小项之和进行化简，即采用包围0的方法，得到的表达式即为逻辑函数反函数的最简与或式。
例1：求逻辑函数的反函数。
解：画出逻辑函数的卡诺图（如图1），在卡诺图中对0加包围圈，可求出反函数的最简与或式，即得2.2 利用卡诺图分析组合逻辑电路中的竞争冒险在组合逻辑电路中，门电路的两个不同电平输入信号同时向相反方向转换的现象称为竞争，由竞争而可能产生输出干扰脉冲的现象称为冒险。
为保证电路正常工作，设计时需注意判断和消除竞争卡诺图法的步骤是：先画出逻辑函数的卡诺图，然后在卡诺图上画出与表达式中的乘积项相对应的包围圈，如果圈与圈之间出现相切，且相切处没有被其他圈包围，即可判断出现竞争冒险现象。
卡诺图在数字逻辑电路教学中的应用
项相加 即为 Ｆ的最简与或式 ；而若对该卡诺 图的 ０方格 画
圈，则 每个 圈对应的与项相加为反 函数 Ｆ ’的最简 与或 式，
复出现 的 ０都 画入包 围，可 得出 Ｆ ＯＦ ＝ Ａ ’＋ Ｂ Ｃ 。
用 卡诺图可 以快速求 出逻辑 函数 的与 、或 、异 或、同或 等逻辑运 算的结果 。 例 如，Ｆ １（ Ａ ， Ｂ ， Ｃ ）＝ ｍ ｏ ＋ ｍ ｚ ＋ ｌ ｎ ａ ，Ｆ ２（ Ａ ， Ｂ ， Ｃ ） 分别求 Ｆ － ・ Ｆ ｚ 、Ｆ Ｆ ｚ 、Ｆ ０Ｆ ｚ 、Ｆ ｏＦ ｚ 。 对 于两 个相同变量个数的逻辑函数 Ｆ 。 和 Ｆ ，首先将 Ｆ － 【 收稿 日期 】２ ０ １ ３ — ０ ７ — １ ６ ＋ ｍ ｅ ＋ ／ ／ １ ４ ＋ ／ ／ ￣ ，
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ：Ｔｈ ｉ ｓ ａ ｒ ｔ ｉ ｃ ｌ ｅ ｉ ｓ ｖ ａ ｌ ｉ ｄ ａ ｔ ｅ ｄ ｂ ｙ ｔ ｈ ｅ ｓ ｐ ｅ ｃ ｉ ｉ ｆ ｃ ｅ ｘ ａ ｍｐ ｌ ｅ ｓ ， ｔ ｏ ｄ ｏ ｔ ｈ ｅ ｉ ｎ ｄ ｕ ｃ ｉ ｔ ｏ ｎ ａ ｎ ｄ ｇ ｅ ｎ ｅ ｒ ａ ｌ ｉ ｚ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｆ ｏ ｒ Ｋａ ｍａ ｕ ｇ ｈ ｍａ ｐ ｉ ｎ ｄ ｉ ｇ ｉ ｔ ａ ｌ ｌ ｏ ｇ ｉ ｃ ｃ ｉ ｒ ｃ ｕ ｉ ｔ ｓ ｔ ｅ ａ ｃ ｈ ｉ ｎ ｇ ｔ ｙ ｐ ｉ ｃ ａ ｌ ａ ｐ ｐ ￣ ｃ ａ ｉ ｔ ｏ ｎ ．Ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ａ ｌ ｌ ｙ ｍａ ｓ ｔ ｅ ｒ ｔ ｈ ｅ ａ ｐ ｐ ｌ ｉ ｃ ａ ｉ ｔ ｏ ｎ ｏ ｆ Ｋａ ｍａ ｕ ｇ ｈ ｍａ ｐ，ａ ｌ ｌ ｏ ｗｓ ｓ ｔ ｕ ｄ ｅ ｎ ｔ ｓ ｉ ｎ ｔ ｈ ｅ ｌ ｅ ａ ｒ ｎ ｉ ｎ ｇ ｐ ｒ ｏ ｃ ｅ ｓ ｓ ｔ ｏ
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在实际逻辑电路中由于电路中逻辑门和导线延迟时间的影响，输入信号到达 输出端的时间有先有后，这种现象称为竞争。如果组合逻辑电路在某些瞬间出现 错误的输出，这说明这个电路存在冒险，冒险是一种瞬态现象。 右边的卡诺图在当前的合 并圈方式下，存在合并圈相切现 象(相邻不相交)，说明这样设计 出来的电路存在冒险。
(2)求两逻辑函数F1和F2的与运算F1·F2 只要将F1、F2两个卡诺图中共同出现1的位置都算为1，其余为0所 得即为F1·F2的卡诺图。
(3)求两逻辑函数F1和F2的异或运算F1⊕F2 只要将F1、F2两个卡诺图中真值互反的位置都算为1，其余为0所得 即为F1⊕F2的卡诺图。
THANK YOU!
如何消除冒险？
答：增加冗余项可以消除冒险
原：Y=BC+AC 现：Y=BC+AC+AB
增加冗余项并不改变原有的逻 辑关系，但当B=C=1时，输出 Y始终为1，不再产生冒险。
(3)用卡诺图可以完成两逻辑函数间的逻辑运算
(1)求两逻辑函数F1和F2的或运算F1+F2 只要将F1、F2两个卡诺图中所有出现1的位置都算为1，其余为0所 得即为F1+F2的卡诺图。
卡诺图在其它 方面的应用
15121861 马维君 15121825 王 昱 15121866 姚育堃 1512185反函数
例：求Y=BD+ABD+BCD+ACD的反函数
先画出原函数Y的卡诺图
反函数Y的卡诺图
从而 Y=BD+ABD+BCD+ACD
(2)逻辑电路中竞争冒险的检查与消除