逻辑代数基础(卡诺图应用及无关项)
具有无关项的逻辑函数及其化简
具有无关项的逻辑函数及其化简
1. 约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项
在分析某些具体的逻辑函数时，经常会遇到这样一种情况，即输入变量的取值不是任意的。对输入变量取值所加的限制称为约束。同时，把这一组变量称为具有约束的一组变量。
例如，有三个逻辑变量A、B、C，它们分别表示一台电动机的正转、反转和停止的命令，A=1表示正转，B=1表示反转，C=1表示停止。因为电动机任何时候只能执行其中的一个命令，所以不允许两个以上的变量同时为1。ABC 的取值只可能是001、010、100当中的某一种，而不能是000、011、101、110、111 中的任何一种。因此，A、B、C
是一组具有约束的变量。通常用约束条件来描述约束的内容，为方便起见采用逻辑语言表述约束条件。
由于每一组输入变量的取值都使一个、而且仅有一个最小项的值为1，所以当限制某些输入变量的取值不能出现时，可以用它们对应的最小项等于0来表示。这样，上述例子中的约束条件可以表示为
或写成
：
同时，把这些恒等于0的最小项叫做约束项。
有时还会遇到另外一种情况：在输入变量的某些取值下函数值是1还是0皆可，并不影响电路的功能。在这些变量取值下，其值等于1的那些最小项称为任意项。
由于约束项和任意项都不影响函数值，所以又把两者统称为逻辑函数式中的无关项，既可以写入函数式中，也可以不写进去。一般情况在用卡诺图表示逻辑函数时，首先将函数化为最小项之和的形式，然后在卡诺图中这些最小项对应的位置上填入1，其他位置上填入0。既然无关项可以包含也可以不包含在函数式中，那么在卡诺图中对应的位置上填1或0都可以。为此，规定在卡诺图中用×（或 ）表示无关项。在化简逻辑函数时既可以认为它是1，也可以认为它是0。
数字电路-逻辑代数基础
数字电路-逻辑代数基础
逻辑代数基础
逻辑代数中的三种基本运算
与、或、⾮
复合逻辑运算最常见的有与⾮、或⾮、与或⾮、异或、同或等。
异或：A⨁B=AB′+A′B
同或：A⨀B=AB+A′B′
异或与同或互为反运算。
逻辑代数的基本公式和常⽤公式
基本公式
也叫布尔恒等式（证明⽅法包括真值表法和推演法）：
总结为以下⼏类：
开始为0⾏
1. 变量与常量间的运算规则：1、2⾏
2. 重叠律（同⼀变量）：3⾏
3. 互补律（变量和其反变量）：4⾏
4. 交换律（5⾏）结合律（6⾏）分配律（7⾏）
5. De.Morgan定理，反演律（8⾏）
6. 还原律：（9）
若⼲常⽤公式
由基本公式导出，便于化简逻辑函数。
1. 两个乘积项相加时，若⼀项以另⼀项为因⼦，则该项多余：A+AB=A
2. 两个乘积项相加时，⼀项取反后是另⼀项的因⼦，则此因⼦多余，可以消去：
A+A′B=A+B
3. 两个乘积项相加时，若他们分别包含B和B′两个因⼦⽽其他因⼦相同，则两项可合并。
AB+AB′=A
4. 变量A和包含A的和相乘时，结果为A:A(A+B)=A
5. 若两个乘积项中分别包含A和A′两个因⼦，则其余因⼦组成第三个乘积项时，第三个乘积项是多余的：
AB+A′C+BC=AB+A′C
进⼀步
AB+A′C+BCD=AB+A′C
6. A和⼀个乘积项的⾮相乘，且A为这个乘积项的因⼦时，A这个因⼦可以消去：
A(AB)′=AB′
7. A′和⼀个乘积项的⾮相乘，且A为这个乘积项的因⼦时，结果等于A′
A′(AB)′=A′
逻辑代数的基本定理
代⼊定理
在任何⼀个包含A的逻辑等式中，若以另外⼀个逻辑式代⼊式中所有A的位置，则等式依然成⽴。
反演定理
对于任意⼀个逻辑式Y,若将其中所有的“⋅”换成“+”,“+”换成“⋅”,0换成1,1换成0,原变量换成反变量,反变量换成原变量,则得到的结
果就是Y′。这个规律称为反演定理。
反演定理为求取已知逻辑式的反逻辑式提供了⽅便。
在使⽤反演定理时,还需注意遵守以下两个规则:①仍需遵守“先括号、然后乘、最后加”的运算优先次序。
教案 逻辑代数基础
第二章 逻辑代数基础：课程教案 （供12节）
授课题目：第二章 逻辑代数基础 授课类型 专业基础课
授课时间 第3、4、5、6 周第 节
教学目标或要求：
掌握 1、逻辑代数中的基本定律、基本公式和三条规则；2、逻辑函数的表示方法与变换；3、逻辑函数的化简。
理解 逻辑函数化简的含义、最小项和无关项的概念几相邻项的意义。
了解 最大项的概念
教学内容（包括基本内容、重点、难点）：
重点 1、逻辑代数中的基本定律、基本公式；2、逻辑函数的表示方法及相互转换；
3、逻辑函数的代数化简法、四变量及以下逻辑函数的卡诺图化简法。
难点 逻辑函数的代数化简法。
教学内容：
2.1概述
2.2 逻辑函数及表示方法
2.2.1 基本逻辑函数及运算
2.2.2 几种导出的逻辑运算
2.2.3 逻辑函数及其表示方法：一、逻辑函数的建立。二、逻辑函数的表示方法。
2.3 逻辑代数的基本定律和规则
2.3.1逻辑代数的基本公式
一、逻辑常量运算P19：即0和1的与、或、非三种运算。
二、逻辑变量与常量运算P19；即0、1与变量A、A/的与、或、非逻辑运算
2.3.2 逻辑代数的基本定律：一、与普通代数相似定律P20。二、吸收律P20。
三、摩根定律——反演律
2.3.3逻辑代数的三个重要规则：一、代入规则P21。二、反演规则----摩根定律P22。
三、对偶规则P22—23。
2.4 逻辑代数的公式化简法
2.4.1 化简的意义与标准
2.4.2 逻辑函数的代数化简法：一、并项法。二、吸收法。三、消去法。四、配项法。
2.4.3 代数化简举例（习题课）
2.5 逻辑代数的卡诺图化简法
2.5.1 最小项与卡诺图：一、最小项的定义和性质。二、表示最小项的卡诺图。
2.5.2 用卡诺图表示逻辑函数：一、逻辑函数的标准与—或式。二、用卡诺图表示逻辑函数：
2.5.3 用卡诺图化简逻辑函数
逻辑代数入门基础
第2章 逻辑代数基础
2.1 概述
一、算术运算和逻辑运算
在数字电路中, 二进制数码不仅可以表示数值的大小，而且可以表示事物的状态,当两个二进制数码表示两个数值大小时，它们之间可进行数值运算，即算术运算。
当两个二进制数码表示不同逻辑状态时，它们之间的因果关系可进行逻辑运算。算术运算与逻辑运算有本质的差别,下面重点介绍逻辑运算的各种规则。
二、几个基本概念
1、 逻辑状态表示法
一种状态 高电位 有 真 是 美 生 1 0
另一种状态 低电位 无 假 非 丑 死 0 1
2、两种逻辑体制
1 高电位 低电位
0 低电位 高电位
正逻辑 负逻辑
3、高低电平的规定
正逻辑 负逻辑
2.2 逻辑代数中的三种基本运算
1、与逻辑（与运算）(逻辑乘)
与逻辑的定义：仅当决定事件（Y）发生的所有条件（A，B，C，…）均满足时，事件（Y）才能发生。表达式为：
Ｙ＝ＡＢＣ
开关A，B串联控制灯泡Y
电路图
L=AB E A B
Y 2 / 16
EABYEABYA、B都断开，灯不亮 A断开、B接通，灯不亮。
EABYEABYA接通、B断开，灯不亮。 A、B都接通，灯亮。
两个开关必须同时接通，灯才亮。逻辑表达式为：
Ｙ＝ＡＢ
功能表
开关A 开关B 灯Y
断开 断开
断开 闭合
闭合 断开
闭合 闭合 灭
灭
灭
亮
将开关接通记作1，断开记作0；灯亮记作1，灯灭记作0。可以作出如下表格来描述与逻辑关系：
A B Y
0 0
0 1
1 0
1 1 0
0
0
1
真 值 表
4.4卡诺图及其应用(2)
第4章 逻辑代数初步（教案） 【课题】 4.4 卡诺图及其应用（二）
【教学目标】
知识目标：
掌握逻辑函数卡诺图的表示法，并会利用卡诺图进行逻辑式的化简．
能力目标：
通过对逻辑式化简的学习，学生的数学思维能力得到锻炼和提高．
【教学重点】
利用卡诺图进行逻辑式的化简．
【教学难点】
利用卡诺图进行逻辑式的化简．
【教学设计】
例2是作出三个变量的函数的卡诺图表示的题目．例3是根据卡诺图写成函数的最小项表达式的题目，需将逻辑常量1对应的项挑出来并写成逻辑和的形式．通过这两道例题，让学生熟悉函数的卡诺图表示．例4是利用卡诺图化简逻辑函数的示例，教学中要强调解题的步骤和方法，强调如何有效地圈完所有的“1”．教材中给出了利用卡诺图化简逻辑函数表达式的五个步骤，结合例5强化这些步骤．
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】
教 学
过 程 教师
行为 学生
行为 教学
意图 时间
*揭示课题
4.4卡诺图及其应用
介绍
了解
0
*动脑思考 探索新知
将逻辑函数写成最小项表达式，在各最小项所对应的小方格内填入“1”，其他方格内填入“0”，得这个函数的卡诺图表示．
详细分析讲解
思考
带领
学生
总结
5
*巩固知识 典型例题
例2 作出逻辑函数YABCBCABC的卡诺图表示．
引领
观察
通过
例题
第4章 逻辑代数初步（教案） 教 学
过 程 教师
行为 学生
行为 教学
意图 时间
分析 首先将逻辑函数用最小项表达式表示，然后画出卡诺图．
解 YABCBCABC
()ABCAABCABC
ABCABCABC
462mmm．
在三个逻辑变量的卡诺图中，将m4、m6、m2对应的小方格中填入“1”，其余位置填入“0”（如图），得到已知函数卡诺图．
01逻辑代数基础
数字电子技术教案——第一章 逻辑代数基础（1—19页）
1 第一章 逻辑代数基础教学大纲
学时：10（8）
1、本章教学目的要求
逻辑代数是分析设计数字电路的基本数学工具。通过本章学习，了解数字技术总体结构，掌握逻辑代数知识，并用于逻辑函数的转换化简。
2、教学内容及要求
（注明掌握内容A，理解内容B，了解内容C）
（1）数制和码制 B
（2）逻辑代数及基本定律 A
（3）逻辑函数代数法化简 A
（4）逻辑函数表示形式之间的转换 A
3、重点、难点
重点：逻辑代数内容、逻辑函数表示形式及其相互转换。
难点：逻辑函数化简、逻辑函数转换。
4、教学方法教学手段说明
讲授、自学讨论、图表模型、启发式、师生互动，理论和实践密切结合。 数字电子技术教案——第一章 逻辑代数基础（1—19页）
2 第一章 逻辑代数基础
（8学时——第1～8学时）
目的有求：通过本章学习，掌握掌握逻辑代数知识，熟练进行逻辑函数化简（公式法、卡诺图法）纪逻辑函数几种表示方法的互相转换。
教学内容：本章主要包括三个方面内容：逻辑代数基本规则、逻辑函数化简、逻辑函数表示方法及相互转换。
教学重点：逻辑代数基本规则及逻辑函数化简。
教学难点：逻辑函数化简。
基本要求：掌握逻辑代数知识，熟练进行逻辑函数化简（公式法、卡诺图法）纪逻辑函数几种表示方法的互相转换。
教学方法：启发式、讨论式、探究时，理论、实验和实际应用有机结合。
教 具：多媒体装置、投影机、幻灯片等。
作 业：见具体教学内容。
概 述
（1学时——第1学时）
[第1学时]
一、数字信号与模拟信号
1．模拟信号与数字信号
（1）模拟信号
模拟信号是指模拟自然现象（如温度、光照等）而得出的电流或电压，一般是连续、平滑变化的信号，也可能断续变化，但任一时刻都有各种可能的取值。
（2）数字信号
在时间上和取值上都是断续的，只有2个取值——高电平、低电平，分别用数字1、0表示。
第2章逻辑代数基础课案
第2章 逻辑代数基础
一、学习目的
逻辑代数是分析和研究数字逻辑电路的基本工具。通过本章的学习要掌握逻辑代数的各种表示方法，掌握逻辑代数的各种定律和运算规则，掌握逻辑代数化简的各种方法为后续内容的学习打下基本的理论基础。
二、内容概要
本章在介绍基本逻辑运算和常用的导出运算后，简要讲述了逻辑代数中的基本公式和常用定律，这对化简逻辑函数是很有用的，然后介绍了逻辑函数的几种表示方法，最后介绍了逻辑函数的代数化简法和卡诺图化简法。
三、学习指导
本章重点：逻辑函数的各种表示方法，逻辑代数的基本定律和运算规则，逻辑函数的公式化简法和卡诺图化简法。
本章难点：逻辑函数的公式化简法和卡诺图化简法。。
方法提示: 理解二进制数的逻辑运算特点，牢记逻辑代数的基本公式。理解逻辑变量正反逻辑的含义，掌握理解最小项的本质。多做一些练习，仔细体会数字逻辑的内涵。
2、1概述
教学要求
理解逻辑值1和0的含义。 理解逻辑体制的含义。
逻辑代数又称为布尔代数。它是由英国数学家乔治·布尔于19世纪中叶首先提出并用于描述客观事物逻辑关系的数学方法，后来将其应用于继电器开关电路的分析和设计上，从而形成了二值开关代数。之后便更为广泛地被用于数字逻辑电路和数字系统中，成为逻辑电路分析和设计的有力工具，这就是现在的逻辑代数。
逻辑代数与普通代数相似之处在于它们都是用字母表示变量，用代数式描述客观事物间的关系。但不同的是，逻辑代数是描述客观事物间的逻辑关系，逻辑函数表达式中的逻辑变量的取值和逻辑函数值都只有两个值，即0和1。这两个值不具有数量大小的意义，仅表示客观事物的两种相反的状态，如开关的闭合与断开；晶体管的饱和导通与截止；电位的高与低；真与假等。因此，逻辑代数有其自身独立的规律和运算法则，而不同于普通代数。
第2章 逻辑代数基础 习题解答
第2章 逻辑代数基础
2.1 明下列异或运算公式。
（7）1ABABAB
A B AB AB AB 1AB
0 0 0 1 1
1
0 1 1 0 0
0
1 0 1 0 0
0
1 1 0 1 1
1
2.2 用逻辑代数的基本公式和定律将下列逻辑函数式化简为最简与－或表达式。
(4) YABBDDCEAD
＝D(A+B)+AB+DCE=DAB+AB+DCE=D+AB+DCE
=D+AB
(6) ()()YABCDACDACAD
()CDABAACDCDACDCDCD＝
(9) ()()()YACBDABDBCDEBC()()ABDACBCCDEABDBB
(10) ()YACBCBDABCABCDABDE
()(1)ACBCBDEBCBDACABCBD＝ ＝
2.3 证明下列恒等式（证明方法不限）。 ()()()ABCABCABCABCABCABCABCABCABCABC（6）解：左式＝ ＝ ＝ ＝ ＝右式 结果与等式右边相恒等，证毕。
(10)()()BCDDBCADBBD
()()BCDDBCADBBCDADBBD
2.4 根据对偶规则求出下列逻辑函数的对偶式。
(2) ()()YABCABCDABCD
解：'()[()]()YABCABCDABCD
(3) YABBCCA
解：'()()()YABBCCA
2.5
根据反演规则，求出下列逻辑函数的反函数。
(2)
[()]YABCCDEF
解：[()()]YABCCDEF
(3) YABCDCDAB
解：()()YABCDCDAB
利用无关项化简逻辑函数解读
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13
逻辑问题的描述可用真值表、逻辑表达式、逻辑图、 卡诺图和时序图，它们各具特点又相互关联。 真值表 真值表 卡诺图 时 序 图 表达式 标准式 化 简 变 换
展 开 卡诺图 填 图 化 简 变 换 一般式 逻辑图 测试 逻辑图
逻辑函数的化简 代数化简法： 卡诺图化简法：重点 填图 卡诺图 常用编码的卡诺图表示 及化简（格雷码、格雷 BCD码、8421码、2421 码、余3码） 逻辑函数 表达形式 化简 逻辑函数最简 表达形式 真值表 标准式 一般与或式 一般或与式
其它形式 利用无关项进 行化简的原则： 尽量利用与尽 量不用 最简与或式 最简与非式 最简或与式 最简或非式 最简与或非式
作业7： （1、3） （2） （2）
卡诺图化简所应用的逻辑代数原理与方法
题目：卡诺图化简所应用的逻辑代数原理与方法
Topic：Cano figure reduction applied logic algebra principle and method
摘要：对卡诺图化简所应用的逻辑代数原理进行讨论，并总结化简的方法，以及卡诺图在其他方面的作用。
关键字：卡诺图，原理，方法，作用。
Abstract：Cano figure reduction of applied logic algebra theory discussed and
summarized reduction method, and the carnot chart in other roles.
Key word：Cano figure, principle, method, effect.
正文：
1、 卡诺图化简所应用的逻辑代数原理：
卡诺图是逻辑函数真值表的图形表示。图1—1是有2、3、4个变量的逻辑函数的卡诺图。
（1） 二变量卡诺图
（2） 三变量卡诺图
（3） 四变量卡诺图
图1—1
卡诺图的行和列都做了标记，以便容易的确定该单元对应的输入组合。单元中的小数字是真值表中相应的最小项编号，假设真值表的输入是从左到右按字母顺序标记的，而且行是按二进制计数顺序计数的.例如四变量卡诺图中单元14对应于真值表的A B C D=1110行。 卡诺图中每个单元都包含函数真值表对应行的信息。如果对应输入组合的函数值为0时，图中单元内也是0，否则为1.
卡诺图的行号和列号采用的是格雷码，才用的这种编码的原因是格雷码的任意两个相邻的代码之间只有一位不同，而且格雷码是循环码。在卡诺图中的实际用途就是，例如，4变量图的单元13和15是相邻的，它们只有C值不同。在最小化“积之和”时，因为“项+0=项”，所以“积之和”时函数值为0的项对逻辑函数是没有作用的，只会增加逻辑函数表达式的项，从而增加成本。故在最小化“积之和”时，只考虑函数值为1的项。同理可得，当最小化“和之积”时，因为“项*1=项”，所以最小化“积之和”时，只考虑函数值为0的项。