2011高考专题复习：圆周运动

1 / 11 ——物体的运动 圆周运动 1．物体做匀速圆周运动的条件： 匀速圆周运动的运动条件：做匀速圆周运动的物体所受合外力大小不变，方向总是和速度方向垂直并指向圆心。

2．描述圆周运动的运动学物理量 （1）圆周运动的运动学物理量有线速度v、角速度ω、周期T、转速n、向心加速度a等。它们之间的关系大多是用半径r联系在一起的。如：Trrv2，

22224Trrrv

a。要注意转速n的单位为r/min，它与周期的关系为nT60。

（2）向心加速度的表达式中，对匀速圆周运动和非匀速圆周运动均适用的公式有：vrrva

2

2

，公式中的线速度v和角速度ω均为瞬时值。只适用于匀速圆周运动

的公式有：224Tra ，因为周期T和转速n没有瞬时值。 例题1．在图3－1中所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r，a是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮的半径为4r，小轮的半径为2r。b点在小轮上，到小轮中心的距离为r。c点和d点分别于小轮和大轮的边缘上。若在传动过程中，皮带不打滑。则（ ） A．a点与b点的线速度大小相等 B．a点与b点的角速度大小相等 C．a点与c点的线速度大小相等 D．a点与d点的向心加速度大小相等 解析：本题的关键是要确定出a、b、c、d四点之间的等量关系。因为a、c两点在同一皮带上，所以它们的线速度v相等；而c、b、d三点是同轴转动，所以它们的角速度ω相等。所以选项C正确，选项A、B错误。 设C点的线速度大小为v，角速度为ω，根据公式v=ωr和a=v2/r可分析出：A点的向心加

速度大小为rvaA2；D点的向心加速度大小为：rvrrraD222)2(4。所以选

图3－1 4r 2r r r

a b c

d 2 / 11

项D正确。选项CD正确。 说明：在分析传动装置的各物理量时，要抓住等量和不等量之间的关系。如同轴各点的角速度相等，而线速度与半径成正比；通过皮带传动（不考虑皮带打滑的前提下）或是齿轮传动，皮带上或与皮带连接的两轮边缘的各点及齿轮上的各点线速度大小相等、角速度与半径成反比。 练习 1．如图3－4所示的皮带转动装置，左边是主动轮，右边是一个轮轴，2:1:cARR，3:2:BARR。假设在传动过程中皮带不打滑，则皮带轮边缘上的A、B、C三点的角速度之比是 ；线速度之比是 ；向心加速度之比是 。 2．图示为某一皮带传动装置。主动轮的半径为r1，从动轮的半径为r2。已知主动轮做顺时针转动，转速为n，转动过程中皮带不打滑。下列说法正确的是（ ）。 A．从动轮做顺时针转动 B．从动轮做逆时针转动

C．从动轮的转速为21rrn D．从动轮的转速为12rrn 3．(92)图3-7中圆弧轨道AB是在竖直平面内的1/4圆周，在B点，轨道的切线是水平的。一质点自A点从静止开始下滑，不计滑块与轨道间的摩擦和空气阻力，则在质点刚要到达B点时的加速度大小为______，刚滑过B点时的加速度大小为_____。

3．描述圆周运动的动力学物理量———向心力 （1）向心力来源：向心力是做匀速圆周运动的物体所受外力的合力。向心力是根据力的作用效果命名的，不是一种特殊的性质力。向心力可以是某一个性质力，也可以是某一个性质力的分力或某几个性质力的合力。例如水平转盘上跟着匀速转动的物体由静摩擦力提供向心力；带电粒子垂直射入匀强磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力；电子绕原子核旋转由库仑力提供向心力；圆锥摆由重力和弹力的合力提供向心力。 做非匀速圆周运动的物体，其向心力为沿半径方向的外力的合力，而不是物体所受合外力。

图3-7 A B

图3－4 3 / 11

（2）向心力大小：根据牛顿第二定律和向心加速度公式可知，向心力大小为： 22224Trmrmrv

mF 其中r为圆运动半径。

（3）向心力的方向：总是沿半径指向圆心，与速度方向永远垂直。 （4）向心力的作用效果：只改变线速度的方向，不改变线速度的大小。 几种常见的匀速圆周运动的实例图表

图形 受力分析 利用向心力公式

2tansinmgml

2tan(sin)mgmld

2tanmgmr

2tanmgmr

2Mgmr

例题2.如图所示，Ａ、Ｂ、Ｃ三个物体放在旋转圆台上，动摩擦因数均为，Ａ的质量为2m，Ｂ、Ｃ质量均为m，Ａ、Ｂ离轴Ｒ，Ｃ离轴2Ｒ，则当圆台旋转时（设Ａ、Ｂ、Ｃ都没有滑 4 / 11

动），Ａ、Ｂ、Ｃ三者的滑动摩擦力认为等于最大静摩擦力，下列说法正确的是（ ） A. Ｃ物的向心加速度最大； B. Ｂ物的静摩擦力最小；

C. 当圆台转速增加时，Ｃ比Ａ先滑动； D. 当圆台转速增加时，Ｂ比Ａ先滑动。 解析：当三者都相对圆盘静止时，角速度相同，所以向心加速度分别为:ω2R、ω2R、ω22R，所以Ｃ物的向心加速度最大，选项A正确。 Ａ、Ｂ、Ｃ三个物体随圆台转动所需要的向心力由静摩擦力提供，大小分别为：2mω2R、mω2R、mω22R，Ｂ物体的静摩擦力最小，选项B正确。

要比较哪个物体最先打滑，就要比较哪个物体与圆台间的最大静摩擦力，三者为：μ2mg、μmg、μmg,可见C物体先滑动，选项C正确，B错误 说明：一定要注意做匀速圆周运动的物体受力能提供的向心力和实际运动所需要的向心力的关系，当旋转圆转速增加时，物体随圆盘转动需要的向心力（静摩擦力提供）也要增加，当提供不足时物体就做离心运动。 练习 4. 如图3—12所示，一转盘可绕其竖直轴在水平面内转动，转动半径为R，在转台边缘放一物块A，当转台的角速度为ω0时，物块刚能被甩出转盘。若在物块A与转轴中心O连线中点再放一与A完全相同的物块B（A、B均可视为质点），并用细线相连接。当转动角速度ω为多大时，两物块将开始滑动？

5．（08广东）有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图14所示，长为L的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘，转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动。当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ,不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系。

6．(97)质量为m、电量为q的质点，在静电力作用下以恒定速率v沿圆弧从A点运动到B点，其速度方向改变的角度为 θ(弧度)，AB弧长为s则A，B两点间的电势差

图3-12 O B A 5 / 11

UA-UB=_____________，AB弧中点的场强大小E＝________________。 4．竖直平面内圆周运动的临界问题： 由于物体在竖直平面内做圆周运动的依托物（绳、轻杆、轨道、管道等）不同，所以物体在通过最高点时临界条件不同。 如图3－7所示，由于绳对球只能产生沿绳收缩方向的拉力，所以小球通

过最高点的临界条件是：向心力只由重力提供，即Rvmmg2，则有临界速度gRv。只有当gRv时，小球才能通过最高点。 如图3－8所示，由于轻杆对球既能产生拉力，也能产生支持力，所以小球通过最高点时合外力可以为零，即小球在最高点的最小速度可以为零。这样gRv就变成了小球所受弹力方向变化的临界值，即当v用力；当v>gR时，球受向下的弹力。 可见，物体在最高点的最小速度决定于物体在最高点受的最小合外力，不同情况下的最小合外力决定了不同情况下的最小速度。

例题3.（99）如图4-4所示，细杆的一端与一小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动。现给小球一初速度，使它做圆周运动，图3中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是 （ ） A.a处为拉力，b处为拉力 B.a处为拉力，b处为推力 C.a处为推力，b处为拉力 D.a处为推力，b处为推力 解析：由于小球在竖直面内做圆周运动，所以当小球运动到a、b两点时，所受的合力都为指向O点。 当小球运动到a点时，受到竖直向下的重力，为使其所受合力指向O点，则要求杆必对小球施竖直向上的拉力。 当小球运动到b点时，小球受到竖直向下的重力mg的作用，当球的速度较小时（小于gl，l为杆的长度），mg大于球做圆周运动所需的向心力时，杆将对球施竖直向上的推力；当小球的速度较大时（大于gl），mg小于球做圆周运动所需的向心力，此时要球杆对小球放

图4-4 a O b

图3-8 mg O

N

图3-7 mg O 6 / 11 竖直向下的拉力，使重力和拉力的合力提供小球在b点时所需要的向心力。因此小球在b点时杆对球的作用力是推力还是拉力，取决于小球在b点时的速度大小。 综上所述，本题的正确选项为A、B。 练习 7.如图3－14所示，一细圆管弯成的开口圆环，环面处于一竖直平面内。一光滑小球从开口A处进入管内，并恰好能通过圆环的最高点。则下述说法正确的是（ ） A.球在最高点时对管的作用力为零 B.小球在最高点时对管的作用力为mg C.若增大小球的初速度，则在最高点时球对管的力一定增大 D.若减小小球的初速度，则在最高点时球对管的力可能增大 8. 如图3－13所示，半径为R的光滑半圆球固定在水平面上，顶部有一小物体A。今给它一个水平初速度gRv0，则物体将（ ） A.沿球面下滑至M点 B.沿球面下滑至某一点N，便离开球面做斜下抛运动 C.立即离开半球面做平抛运动 D.以上说法都不正确

5．有关圆周运动问题的分析思路 圆周运动常常和力、运动、能量问题结合在一起，综合性强。解决有关圆周运动问题的思路是： ⅰ．确定研究对象； ⅱ．确定做圆运动物体的轨道平面及圆心位置； ⅲ．对研究对象进行受力分析； ⅳ．在向心加速度方向和垂直于向心加速度方向上建立直角坐标系，若需要可对物体所受力进行适当的正交分解； ⅴ．依据牛顿运动定律和向心加速度的公式列方程； 若过程中涉及能量问题一般还要列出动能定理或机械能守恒方程，然后再解方程，并讨论解的合理性。

图3-14 v A O

图3-13 M m R v

0

图10 O′ O R

H H/2

A