双曲线几何性质(1)
双曲线的简单几何性质(1)一案三单
§2.3.2双曲线的简单几何性质(1)研读目标1．理解并掌握双曲线的几何性质．2.掌握渐近线和离心率的简单求法阅读单研读课本的有关内容,并用有色笔在课本中划出概念的关键词、公式、公理等；问题1：由椭圆的哪些几何性质出发，类比探究双曲线22221x y a b-=的几何性质?范围：x ：y ：对称性：双曲线关于轴、轴及都对称．顶点：（），（）．实轴，其长为；虚轴，其长为． 离心率：1c e a=>． 渐近线：双曲线22221y x a b-=的渐近线方程为： 新知：实轴与虚轴等长的双曲线叫双曲线．探讨：渐近线的斜率与离心率有何关系？研究单例1求双曲线2214925x y -=的实半轴长、虚半轴的长、焦点坐标、离心率及渐近线的方程．例2求双曲线的标准方程：⑴实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x 轴上；⑵离心率e (5,3)M -； ⑶渐近线方程为23y x =±，经过点9(,1)2M -．1、求双曲线22916144y x -=的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．2、求以椭圆22185x y +=的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程．3、对称轴都在坐标轴上的等到轴双曲线的一个焦点是1(6,0)F -，求它的标准方程和渐近线方程．拓展单1．双曲线221168x y -=实轴和虚轴长分别是（）．A ．8、B ．8、C ．4、 D ．4、2．双曲线224x y -=-的顶点坐标是（）．A ．(0,1)± B ．(0,2)± C ．(1,0)± D ．（2,0±）3．双曲线22148x y -=的离心率为（）．A ．1 B CD ．2 4．双曲线2241x y -=的渐近线方程是．5．经过点(3,1)A -，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程是．6．求焦点在y 轴上，焦距是16，43e =的双曲线的标准方程．7．求与椭圆2214924x y +=有公共焦点，且离心率54e =的双曲线的方程．。
双曲线简单几何性质知识点总结
四、双曲线一、双曲线及其简单几何性质（一）双曲线的定义：平面内到两个定点F 1，F 2的距离差的绝对值等于常数2a （0＜2a ＜|F 1F 2|）的点的轨迹叫做双曲线。
定点叫做双曲线的焦点；|F 1F 2|=2c ，叫做焦距。
● 备注：① 当|PF 1|-|PF 2|=2a 时，曲线仅表示右焦点F 2所对应的双曲线的一支（即右支）；当|PF 2|-|PF 1|=2a 时，曲线仅表示左焦点F 1所对应的双曲线的一支（即左支）；② 当2a=|F 1F 2|时，轨迹为以F 1，F 2为端点的2条射线； ③ 当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在。
双曲线12222=-b y a x 与12222=-bx a y （a>0,b>0）的区别和联系（二）双曲线的简单性质1．范围： 由标准方程12222=-by a x （a ＞0，b ＞0），从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大。
x 的取值范围________ ,y 的取值范围______2. 对称性： 对称轴________ 对称中心________ 3．顶点：(如图) 顶点：____________特殊点：____________实轴：21A A 长为2a, a 叫做半实轴长虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做半虚轴长双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点4．离心率：双曲线的焦距与实轴长的比a ca c e ==22，叫做双曲线的离心率 范围：___________________双曲线形状与e 的关系：1122222-=-=-==e a c a a c a b k ，e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔 由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔5．双曲线的第二定义：到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比为常数)0(>>=a c a ce 的点的轨迹是双曲线 其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线 常数e 是双曲线的离心率． 准线方程：对于12222=-b y a x 来说，相对于左焦点)0,(1c F -对应着左准线c a x l 21:-=， 相对于右焦点)0,(2c F 对应着右准线c a x l 22:=； 6．渐近线过双曲线12222=-b y a x 的两顶点21,A A ，作x 轴的垂线a x ±=，经过21,B B 作y 轴的垂线b y ±=，四条直线围成一个矩形 矩形的两条对角线所在直线方程是____________或（0=±b ya x ），这两条直线就是双曲线的渐近线双曲线无限接近渐近线，但永不相交。
3.2.2双曲线的简单几何性质 课件(共24张PPT)
2
=λ(λ≠0).
(5)渐近线为y=±kx的双曲线方程可设为k2x2-y2=λ(λ≠0).
(6)渐近线为ax±by=0的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=λ(λ≠0).
跟踪训练 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
5
（1）焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为3 ；ห้องสมุดไป่ตู้
跟踪训练
A.
1
4
双曲线x2-my2＝1的实轴长是虚轴长的2倍，则m等于
B.
1
2
C.2
D.4
（D）
二、求双曲线方程
例2
根据下列条件，求双曲线方程:
（1）双曲线 x
2
9
y2
1 有共同渐近线，且过点 ( 3, 2 3) ；
16
（2）与双曲线 x
2
16
解
y2
1 有公共焦点，且过点 (3 2 , 2) .
第三章
3.2
双曲线
3.2.2 双曲线的简单几何性质
学习目标
1.理解双曲线的简单几何性质（范围、对称性、顶点、渐近线、离心率）.
2.能用双曲线的简单性质解决一些简单的问题
核心素养：数学运算、数学建模
新知学习
复习引入
定义
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
y
M
M
F2
(2)焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程可设为
2
(3)与双曲线
2
2 +
2
−
2
2
2
−
=1(a>0,b>0).
2
2
=1 共焦点的双曲线方程可设为
双曲线的简单几何性质 课件 (共29张PPT)
b 2 2 b a 2 b 因为 y x a x 1 ( ) x Y， a a x a b 所以 MN Y y ( x x 2 a 2 ) a
(x,Y) N Y Q M (x,y)
b ( x x 2 a 2 )( x x 2 a 2 ) . a x x2 a2
2
x a
x
x a
ya
或
或
y x 1 2 2 a b ( a 0, b 0 )
2
2
y x
y a
关于 ( a , 0 ) c 坐标 e a 轴和 (其 中 原点 2 2 2 c = a + b ) a 都对 (0, a ) y b x 称
y
探究点2
【例2】点M（x，y）与定点F（5，0）的距离和它到定 直线 的距离的比是常数 ，求点M的轨迹.
y
l
解：
H
d
.M
F
.
O
.
x
【变式练习】
a2 动点M ( x, y )与定点F (c,0)的距离和它到定直线l : x 的 c c c 距离的比是常数 ( 1), 求点M的轨迹方程. a a
a2 a2 解： 点M ( x, y)到定直线l : x 的距离d | x |, c c | MF | c 2 2 | MF | (x c) y , 依题意 , d a
(x c) y a2 |x | c
2 2
c a
①
x2 y2 1 方程①两边平方化简整理得 2 2 2 a c a
2 2 x y 2 2 2 方程②化为 ， 1 令c a b , a2 b2
（2）如图，线段A1A2叫做双曲
双曲线的性质及计算方法
双曲线的性质及计算方法在数学领域中，双曲线是一种重要的曲线形式，具有独特的性质和计算方法。
本文将介绍双曲线的定义、性质以及一些常见的计算方法。
一、双曲线的定义和基本性质双曲线是在平面直角坐标系中定义的曲线，其定义可以通过以下方程得到：(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = 1 (当x>0时)(y^2 / b^2) - (x^2 / a^2) = 1 (当y>0时)其中，a和b为正实数，分别称为双曲线的半轴长度。
双曲线有两个分支，分别位于x轴上方和下方，对称于y轴。
1.1 双曲线的几何性质双曲线的几何性质使其在数学和物理的各种应用中扮演重要角色。
其中一些主要性质包括：（1）渐近线：双曲线有两条渐近线，分别与曲线的两个分支趋于平行。
这两条渐近线的方程为y = (b / a) * x 和 y = -(b / a) * x。
（2）顶点：双曲线的顶点位于原点，即(0,0)。
（3）焦点：双曲线有两个焦点，分别位于曲线的两个分支与x轴的交点。
焦点到原点的距离为c，满足c^2 = a^2 + b^2。
1.2 双曲线的方程变形通过对双曲线的方程进行一些变形和移动，可以得到不同形式的双曲线。
常见的方程变形有：（1）平移：通过加减常数的方式，可以将双曲线的位置移动到任意位置。
（2）旋转：通过变化坐标轴的方向，可以将双曲线旋转到倾斜的形态。
（3）缩放：通过乘以常数的方式，可以改变双曲线的尺寸。
二、双曲线的计算方法除了了解双曲线的性质，我们还需要了解一些常见的计算方法，以便在解决实际问题时能够应用这些方法。
2.1 双曲线的焦点和直线的关系双曲线的焦点对于计算和分析双曲线至关重要。
通过焦点和直线的关系，我们可以使用以下公式计算焦点坐标：对于双曲线的基本方程(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = 1，焦点的坐标为(ae, 0)和(-ae, 0)，其中e为焦点到原点的距离与半轴a的比值。
2.3.2《双曲线的简单几何性质》(人教版选修2-1)
（2）如图，线段 A1A2 叫做双曲线 的实轴，它的长为2a,a叫做
实半轴长；线段 B1B2 叫做双
曲线的虚轴，它的长为2b,b
y
叫做双曲线的虚半轴长.
（见教材P.56)
b B2
（3）实轴与虚轴等长的双曲线 叫等轴双曲线
x2 y 2 m(m 0)
A1 -a o a A2
x
-b B1
第6页，共69页。
2.3.2 双曲线简单的几何性质 (一)
第1页，共69页。
定义 图象
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
M
y
M F2
F1 o F2 x
x
F1
方程
焦点
a.b.c 的关系
x2 a2
y2 b2
1
y2 x2 a2 b2 1
F ( ±c, 0)
F(0, ± c)
c2 a2 b2
(x,-y)
x以轴-x、代yx轴方是程不双变曲，线故的图对像称关轴于，原轴y点对是称对；称中心，
又 以-叫y代做y方双程曲不线变的，中故心图像。关于 轴对x 称；。
以-x代x且以-y代y方程不变，故图像关于 原点对称
第5页，共69页。
3、顶点
（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点
顶点是A1(a,0)、A2 (a,0)
P( 1,－3 ) 且离心率为 的2双曲线标准方程.
y2 x2 1 88
第34页，共69页。
学习小结:
渐近线方程为 y b x 的双曲线的方程可写 a
成
x2 a2
y2 b2
y b x a
第26页，共69页。
2.2.2双曲线的简单几何性质(1) (1)
2.2.2双曲线的简单几何性质(一)探究一：已知双曲线的标准方程求其几何性质221x y 例：求双曲线4-=4的实轴长和虚轴长、顶点和焦点坐标、离心率和渐近线方程。
22x y 变式1：求双曲线的实轴长和虚轴长、顶点和焦点的坐标、离心率和渐近-8=32线方程.探究二：利用双曲线的几何性质求标准方程()()2.12013323,0,F 例、求适合下列条件的双曲线的标准方程（广东理科）已知中心在原点的双曲线的右焦点为离心率等于的曲线方程.()22212516.x y +=分别以椭圆的顶点及焦点作为双曲线的焦点和顶点的双曲线的标准方程()()()163,5,0:55.4M x y F L x M =点到定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，求点的轨迹2变式训练：根据下列条件，写出双曲线的标准方程()()310,62中心在原点，一个顶点是且离心率是．()()()1223,03,0,F F y -=如果双曲线的两个焦点、，一条渐近线方程为求该双曲线的标准方程式.探究三：双曲线的离心率问题()2222__________________320141x y a b -=±例：广东揭阳学业水平考试若双曲线的渐近线斜率为则其离心率为()()22222221____________________3:201410,0,,120x y a b a bF x y a A B C ACB -=>>+=∠= 变式浙江温州十校联考过双曲线的左焦点作圆的两条切线，记切点分别为，双曲线的左顶点为若，则双曲线的离心率为 【训练案】()221.11,2,4x y e k k +=∈双曲线的离心率则的取值范围是 （ ）.A (,0)-∞ .B (3,0)- .C (12,0)- .D (60,12)--2220134y x 2.（福建理科）双曲线-=1的顶点到其渐近线的距离等于（ ）A ．25． 4.5B .CD.()222210,020131x y C a b a bC -=>>：的离心率的渐近线方程为 3.（新课标（）理科）已知双曲线 （ ）A ．14y x =±B．13y x =± C ．12y x =± D ．y x =± ____________________32x y =±4.双曲线的渐近线为，则离心率为 ()12112__________________2013::4:3:2,C F F C P PF F F PF =5. 山东滨州一模圆锥曲线的两个焦点分别为，，若曲线上存在点满足则曲线的离心率为222013_____________.169x y -6.（年江苏）双曲线=1的两条渐近线的方程为___________________.120ABC ABC A B C ∆=∠ 7.设是等腰三角形，，求以点为焦点且经过点的双曲线的离心率，22__________________8.130y x x y a a-=-+==已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则2.2.2双曲线的简单几何性质(二)探究一：双曲线与直线的位置关系()()()()2211213.x y L y k x k =--=4，直线:.当为何值时，直线与双曲线有如下位置关系：有例：变式两个公共点；有一个公共点1：已；没有知双线公共点曲探究二：与弦长、中点、三角形面积有关的问题()()222:1184=4.P y x AB AB -例以，为中点作双曲线为的一条弦，求直线的方程()122112130,4.AF B x y A B F AB AF B S ∆-= 过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线交双曲线于两点，左焦点为.求及三角形的面积22223,,45,.x y L A B A B F AB -= 变式训练：已知双曲线3直线过其右焦点,且倾斜角为，与两点，试问两点是否位于双曲线的同一支上？并双曲线弦于求的长交探究三：求有关双曲线中的最值问题()()222213:302,0,=1.32y A F x P PA PF -+例已知点，，在双曲线上求一点，使的值最小()((()())2222320114,4.12,55.C x y x y C L M FP L MP FP P ++=+=⎛-⎡⎤ ⎣⎦ ⎝⎭变式：广东高考设圆与两圆中的一个内切，另一个外切求的圆心轨迹的方程；选做题已知点，且为上动点，求的最大值及此时点的坐标探究四：双曲线的综合问题(()()()121244.123,.F F m F MF ∆例：已知双曲线的中心在原点，焦点，且过点求双曲线的方程；若点M 在双曲线上，求的面积【训练案】221.11y mx x y m =--=———————若直线与双曲线没有公共点，则实数的取值范围为()()()2222.1:10.1=12.x L x y C y m mm L C L C e +=-=>已知直线：与双曲线若，直线与曲线是否有交点，若有求出交点坐标，若没有，请说明理由；若与没有交点，求双曲线离心率的取值范围223.131,,y ax x y A B a A B =+-=直线与双曲线交于两.问为何值时，以为直径的圆过坐标原点？1。
双曲线的几何性质
双曲线的几何性质
双曲线的几何性质
1、取值区域：
x≥a,x≤-a或者y≥a,y≤-a
2、对称性：
关于坐标轴和原点对称。
3、顶点：
A(-a,0)A’(a,0)AA’叫做双曲线的实轴，长2a；B(0,-b)B’(0,b)BB’叫做双曲线的虚轴，长2b。
4、渐近线：
横轴：y=±(b/a)x竖轴：y=±(a/b)x
5、离心率：
e=c/a取值范围：（1，+∞）
6、双曲线上的一点到定点的距离和到定直线(相应准线)的距离的比等于双曲线的离心率。
7、双曲线焦半径公式：
圆锥曲线上任意一点到焦点距离。
过右焦点的半径r=|ex-a|；过左焦点的半径r=|ex+a|
8、等轴双曲线
双曲线的实轴与虚轴长相等，2a=2b e=√2
9、共轭双曲线
(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1与(y^2/b^2)-(x^2/a^2)=1叫共轭双曲线
（1）共渐近线
（2）e1+e2>=2√2
10、准线：
x=±a^2/c,或者y=±a^2/c。
双曲线的简单几何性质课件
e c (e 1) a
y b x a
例3：
x2 y2 1 16 9
1、双曲线 9x2-16y2=144的实半轴长
等于 4 虚半轴长等于 3 顶点坐
标是 4,0 渐近线方是y
3 4
x (或 x
4
y
.3
0)
5
离心率e= 4 。
2、离充心要率e=条件2 是。双（曲用线“为充等分轴条双件曲”线“的必要 条件”“充要条件”填空。）
双曲线定义的简单几何性质
定义
图象
方程 范围 对称性 顶点 离心率 渐近线
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
y
M
M
F2
F1
o
F2
x
x
F1
x2 a2
y2 b2
1
x≤－a或x≥a
y2 a2
x2 b2
1
y≤－a或y≥a
关于坐标轴、原点对称（实轴、虚轴、中心）
(－a, 0) (a, 0)
法二 由双曲线的渐近线方程为 y＝±12x， 可设双曲线方程为x222－y2＝λ(λ≠0)， ∵A(2，－3)在双曲线上， ∴2222－(－3)2＝λ，即 λ＝－8. ∴所求双曲线的标准方程为y82－3x22 ＝1.
5 离心率
与椭圆类似,双曲线的焦距与实轴长的比 c , a
叫做双曲线的离心率.因为c a 0,所以双
2 2
y2 b2
1
渐进线方程
k
b a
B2
b
k
y
(a,b)
b a
yb x a
可由双曲线
2.3.2双曲线的几何性质教师案 (1)
涿鹿中学集体备课教学设计高 年级 学科 班级层次 主备人： 于华英 年 月 日课题 2.3.2 双曲线的简单几何性质教学目标1、知识目标掌握双曲线的几何性质，理解离心率的大小对双曲线形状的影响及双曲线与渐进线的位置关系．2、能力目标培养学生分析、概括、探究问题的能力；培养学生运用类比、数形结合的数学思想解决问题． 3、德育目标 使学生在成功的体验中获得成就感，进而激发学生学习数学的兴趣．重点 双曲线的几何性质． 难点 双曲线的离心率、渐进线．教 学 过 程备 注一、设疑自探（15分）上一节中我们学习了双曲线的标准方程，这节课我们继续研究双曲线的几何性质。
同学们看到这个课题，联想前面我们学习过的椭圆的几何性质，你能想到什么，请思考以后列出自探提纲。
自探提纲：（让学生个别口答，老师确定自探提纲，板书一、让学生口头展示钱3个问题）问题1：椭圆)0(12222>>=+b a by a x 有哪些几何性质，离心率的大小影响椭圆的什么？问题2：类比椭圆，猜想双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 会有哪些几何性质，双曲线的这四个性质与椭圆的性质有何区别，如果双曲线变成了焦点在y 轴上，几何性质有什么变化？教师板书双曲线的几何性质：（1）范围（2）对称性（3）顶点（4）离心率。
问题3：椭圆的离心率可以决定椭圆的圆扁程度，那么双曲线的离心率能决定双曲线的什么几何特征呢？问题四：有了这4条性质我们能否大致画出双曲线的图象，如果想画的更精确一些，还需要知道双曲线的什么性质？二、解疑合探（20分）例1.求双曲线14416922=-y x 的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程，并画出草图。
教师点评：由双曲线的标准方程求双曲线的有关步骤是：先将双曲线方程化为标准方程12222=-b y a x （或)0,0(12222>>=-b a bx a y ），再根据它确定b a ,的值（注意它们的分母分别为22,b a ，而不是b a ,，进而求出c ，再对照双曲线的几何性质得到相应的答案）。
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2015—2016学年度高二数学导学案 使用时间： 编制： 组长： 年级：
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课题：双曲线几何性质 预习案
【使用说明及学法指导】
1.先预习教材P52--55，用红色笔进行勾画，再针对导学案问题导学部分二次阅读并回答提
出的问题，时间不超过30分钟；
2.限时完成导学案合作探究部分，书写规范，A层完成所有题目，对于选做部分BC层可以
选做；
3.找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课堂讨论质疑；
【学习目标】
1．了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等。
2．能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题
一、预习导学
1.双曲线的范围；
2.双曲线的对称性；
3.双曲线的顶点；
4.双曲线的渐近线；
5.双曲线的离心率；
6.双曲线与椭圆性质的比较
关于椭圆与双曲线性质的表格
班级： 小组： 姓名： 评价：
第 2页 共 2 页
渐近线
①我们把两条直线y=±xab叫做双曲线的渐近线；
②双曲线12222byax的各支向外延伸时，与直线y=±xab逐渐接近。
离心率
双曲线的焦距与实轴长的比e =ac，叫双曲线的离心率；
说明：①由c>a>0可得e>1；②双曲线的离心率越大，它的开口越阔。
二、预习自测：
1、422yx的实轴长 离心率e= ，顶点坐标________ .
2、81922yx的虚半轴长 焦点坐标 渐近线方程 .
3、双曲线22169144xy的实轴长是 ，虚轴的长是 ，离心率是 ，
顶点坐标是 ，渐近线方程是 .
4、已知方程121222mymx表示焦点在x轴上的双曲线,求实数m的取值范围；
5、离心率是椭圆16x2＋25y2=400的离心率的倒数，焦点是此椭圆长轴端点的双曲线的标准
方程是___________________