数值分析与计算方法
数值分析1-误差及有效数字
（避免绝对值很大的数为乘数）
x1 1 x1 e e x ex 2 （避免 x2 为很小的数为除数） 1 2 x x x2 2 2
er x1 x2 x1 x2 er x1 er x 2 x1 x2 x1 x2
er x1 x2
这里，主要介绍计算机中浮点数的表示形式及 表示范围（4个参数）：
x s p
其中， s =±0.a1a2a3………at 称为尾数∈[-1,1],
s 中的正负号用一位数字区分；
β为基数，如取2、10、8、16； p为阶数，有上限U和下限L, 由计算机存储字节长度决定。
1.4 误差危害的防止 （1）使用数值稳定的计算公式
数值稳定是指计算过程中舍入误差对计算影响不大的算法， 若第n+1步的误差en+1 与第n步的误差en满足
en 1 1 en
，则称该计算公式是绝对稳定的
例：建立积分In=
1
0
xn dx x5
（n=0,1.........,20）
递推关系式，并分析误差传播影响。
解： I +5I
n
n-1=
x 5x 0 x 5 dx
1 n n -1
1
0
x n-1dx
x n
n
1
0
1 n
I 0=
1 0 x 5dx
1
ln x 5
1 0
=ln6-ln5
1 In -5In -1 n ∴递推式： I 0 ln6 - ln5
2
x1 x 2
2
e x1 e x 2
数值分析计算方法实验报告
end;
end;
X=x;
disp('迭代结果:');
X
format short;
输出结果：
因为不收敛，故出现上述情况。
4.超松弛迭代法：
%SOR法求解实验1
%w=1.45
%方程组系数矩阵
clc;
A=[2,10,0,-3;-3,-4,-12,13;1,2,3,-4;4,14,9,-13]
b=[10,5,-2,7]'
b=[10,5,-2,7]'
[m,n]=size(A);
if m~=n
error('矩阵A的行数和列数必须相同');
return;
end
if m~=size(b)
error('b的大小必须和A的行数或A的列数相同');
return;
end
if rank(A)~=rank([A,b])
error('A矩阵的秩和增广矩阵的秩不相同,方程不存在唯一解');
3．实验环境及实验文件存档名
写出实验环境及实验文件存档名
4.实验结果及分析
输出计算结果，结果分析和小结等。
解：1.高斯列主元消去法：
%用高斯列主元消去法解实验1
%高斯列主元消元法求解线性方程组Ax=b
%A为输入矩阵系数,b为方程组右端系数
%方程组的解保存在x变量中
format long;
A=[2,10,0,-3;-3,-4,-12,13;1,2,3,-4;4,14,9,-13]
return;
end
c=n+1;
A(:,c)=b;
for k=1:n-1
数值计算方法与算法
数值计算方法与算法
数值计算方法与算法是一种将实际的科学问题转换成数学模型的工具，以便使用数值方法进行数学计算。
它也被称为“数值分析”或“计算分析”。
数值计算方法与算法以多种方式结合计算机科学和数学，以及物理，化学，工程学和社会科学，可以用于日常生活和工作中的数学和实际操作。
数值计算方法与算法可以结合传统的数学方法，如数据分析和概率论，为解决复杂的实际问题提供帮助。
这种方法以计算和数值分析为主，通过使用计算机，可以同时处理大量的数据集，且求取问题的结果更加准确快捷。
由于数值计算如此准确、快捷，它已经被大量应用于工业设计，工程分析等领域。
数值计算方法与算法可以帮助计算机应用程序使用数据运算，以便快速解决问题。
它们可以通过使用数学算法和实际的数据，将复杂的现实问题转换为可以使用计算机求解的数学模型，从而提供高精度的结果。
此外，数值计算方法与算法也可以用于提高计算机计算的抗干扰性，这样就可以更好地在可能存在极大误差的情况下，仍能满足客户要求求得有效结果。
计算方法 数值分析 第二章考点总结CH.2(1)
1第二章 解线性方程组的直接法解线性方程组11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b+++=⎧⎪+++=⎪⎪⎨⎪+++=⎪⎪⎩或写成矩阵式Ax b =其中()1212,(,,,),(,,,)T Tij n n n nA a x x x x b b b b ⨯=== Gauss 消去法（矩阵行变换法）第k 次消元公式()()(1)()()(1)()()/(1,,)(,1,,)(1,,)k k ik ik kk k k k ij ij ik kj k k k i i ik k m a a i k n a a m a i j k n b b m b i k n ++==+=-=+=-=+计算中，中间结果不必保留，进行一次变换后原来存放(1)k A -的单元存放()k A，(1)k b-的单元存放()k b。
因此，我们得到Gauss消去法的算法：2循环：1,2,,k = n-1何时可行？即第k 步 Gauss 消去法可实行，易见充要条件是()0k kk a ≠若A 的各阶顺序主子式 *det()0ij k k a ≠ 1,,1k n =- ，则有：()**()()()1122()det()det() ||k ij k k ij k kk k k kk k kk a a a a a a =⇔≠ 消元过程可进行到 1k n =-。
因此，可以用Gauss 消去法解线性方程组的充要条件是系数矩阵的各阶顺序主子式不为0。
最后得到()()() n n n A x b A =是上三角阵()()k k A x b =与Ax b =同解2,,k n =解()()n n A x b=只需递推（回代过程）2211112()/, ,,1(0 = 1)nk k kjj kk j k k k i i i k i k x b ax a k n k k a a =+===-=>=∑∑∏ 当时，规定：3计算量 第k 步消元计算ik m 用(n-k )次除法，算诸()k ij a 用2(-)n k 乘法和2(-) n k 次加减法， 对1,,1k n =- 相加，可得消元过程共需2(1)/3n n -⨯÷次(1)(21)/6n n n -- 右端 (1)()n bb →(1)/2 n n -⨯÷ (1)/2 +n n -－(1)/2 (1)/2 +-n n n n -⨯÷-回代3233 /3/3 /3(1)(25)/6 /3n n n n n n n n +-≈-+≈总数：乘除法加减法矩阵的三角分解（用矩阵乘法分解的观点看Gauss 消去法）对A 作行变换相当于左乘初等矩阵，例如(1)(2)AA →(2)1A L A =其中421131110-1 -01-001n m L m m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭＝ 类似的讨论易知：()()1111 ,,n n n n AL L A b L L b --==1,,100001 00000001 k k k n k L m m k +⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭＝第列令()1111111121313212,1= := 110=11n n n n n n n U A A L L U L L L m m m m m m -------=⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭上三角阵则单位下三角阵5定理：**(),det()0 1,,1ij n n ij k k A a a k n =≠=- ，则A 可表示为A=LU L ：单位下三角阵，U 上三角阵，且分解唯一。
数值分析6.2牛顿-柯特斯公式
选择适合数值计算的编程语言，如Python、C或Matlab等。
算法实现
根据牛顿-柯特斯公式，编写相应的算法代码，包括迭代过程和 计算步骤。
测试和验证
对算法进行测试和验证，确保其正确性和稳定性。
牛顿-柯特斯公式的数值稳定性分析
数值稳定性定义
01
数值稳定性是指算法在计算过程中对微小误差的抵抗
04
对于非连续的非线性方程，该方法可能失效，因为泰勒级数展开的前 提假设被破坏。
对牛顿-柯特斯公式的未来展望和研究方向
未来展望
随着计算机技术的不断发展，牛顿-柯特 斯公式在数值计算领域的应用将更加广 泛。未来可以研究如何改进算法的稳定 性和收敛性，提高求解非线性方程的精 度和效率。
VS
研究方向
针对牛顿-柯特斯公式的应用领域，可以 进一步研究其在科学计算、工程技术和金 融等领域的应用，以及与其他数值计算方 法的结合与优化。同时，可以探索该方法 在并行计算和云计算环境下的实现和应用 。
详细描述
非线性方程的求解是一个常见的问题，而牛顿-柯特斯公式提 供了一种有效的迭代方法。通过不断迭代和修正方程的解， 该方法能够快速收敛到方程的真实解，尤其在处理复杂或高 维非线性方程时表现出色。
牛顿-柯特斯公式在求解常微分方程中的应用
总结词
牛顿-柯特斯公式在求解常微分方程时能够提供高精度的解，尤其适用于初值问题和边界问题。
详细描述
在数值积分中，牛顿-柯特斯公式能够通过迭代的方式，逐步逼近积分的真实值。相比于其他数值积分方法，如 梯形法则和辛普森法则，牛顿-柯特斯公式在处理复杂函数或高维积分时具有更高的精度和效率。
牛顿-柯特斯公式在求解非线性方程中的应用
总结词
数值分析计算方法试题集及答案
数值分析复习试题第一章 绪论 一. 填空题 1.*x为精确值x 的近似值；()**x f y =为一元函数()x f y =1的近似值；()**,*y x f y =为二元函数()y x f y ,2=的近似值，请写出下面的公式：**e x x =-：***r x xe x -=()()()*'1**y f x x εε≈⋅ ()()()()'***1**r r x f x y x f x εε≈⋅()()()()()**,**,*2**f x y f x y y x y x yεεε∂∂≈⋅+⋅∂∂()()()()()****,***,**222r f x y e x f x y e y y x y y y ε∂∂≈⋅+⋅∂∂ 2、 计算方法实际计算时，对数据只能取有限位表示，这时所产生的误差叫 舍入误差 。
3、 分别用2.718281，2.718282作数e 的近似值，则其有效数字分别有6 位和7 位；又取 1.73≈-211.73 10 2≤⨯。
4、 设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字，则12x x 的相对误差限为0.0055 。
5、 设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字，则12x x +的误差限为0.01 。
6、 已知近似值 2.4560A x =是由真值T x 经四舍五入得到,则相对误差限为0.0000204 .7、递推公式,⎧⎪⎨⎪⎩0n n-1y =y =10y -1,n =1,2,如果取0 1.41y ≈作计算,则计算到10y 时,误差为8110 2⨯;这个计算公式数值稳定不稳定 不稳定 . 8、精确值 14159265.3*=π，则近似值141.3*1=π和1415.3*2=π分别有 3位和 4 位有效数字。
9、若*2.71828x e x =≈=,则x 有 6 位有效数字，其绝对误差限为1/2*10-5。
10、 设x*的相对误差为2％，求(x*)n的相对误差0.02n11、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；12、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 13、为了使计算 ()()2334610111y x x x =++---- 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为11,))64(3(10-=-++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式19992001-改写为199920012+。
数值分析简述及求解应用
数值分析简述及求解应用数值分析是数学中的一个重要分支，它研究如何通过数值计算方法来求解各种数学问题。
数值分析的基本任务是通过近似方法，利用计算机或其他计算设备来对数学问题进行求解。
它广泛应用于科学计算、工程技术、金融投资、物理模拟等领域，对现代科学技术的发展起到了重要的推动作用。
数值分析主要包括数值逼近、数值微积分、数值代数和数值方程等几个方面。
数值逼近是指用函数逼近方法来接近所求函数值，主要包括插值多项式、最小二乘拟合、傅里叶级数等。
数值逼近可以用来对实际问题进行模拟和预测，比如天气预报、大气污染预测、经济增长预测等。
数值微积分是数值分析中的重要内容，主要包括数值积分和数值解微分方程。
数值积分是通过数值方法来计算函数积分值，可以应用于对函数面积、体积、积分方程求解等问题的求解。
数值解微分方程则是通过数值方法来求解各种微分方程，可以用来模拟各种实际问题，比如天体力学、流体力学、传热传质等。
数值代数是数值分析的另一个重要分支，主要研究线性代数和矩阵计算的数值方法。
线性方程组的求解、特征值和特征向量的计算、最小二乘问题的求解等都是数值代数的研究内容。
数值代数广泛应用于科学计算、工程计算和金融计算等领域，为实际问题的求解提供了数值计算的手段。
数值方程是数值分析中的另一个重要领域，主要研究非线性方程、微分方程和偏微分方程的数值求解方法。
非线性方程的数值求解是一个非常重要的研究方向，广泛应用于各种实际问题。
微分方程和偏微分方程的数值求解则可以用来模拟各种科学和工程问题，包括天气预报、地震模拟、流体力学模拟等。
数值分析的应用非常广泛，几乎涵盖了所有科学和工程领域。
比如在物理学中，可以用数值方法求解各种物理方程，包括力学方程、热力学方程、电磁学方程等。
在工程学中，可以用数值方法求解各种工程问题，包括结构分析、流体力学、电磁场分布等。
在金融学中，可以用数值方法计算各种金融模型，包括期权定价、风险评估等。
在计算机科学中，可以用数值方法来进行图像处理、数据挖掘等。
数值分析学习方法
第一章1霍纳（horner）方法：输入=c+bn*c bn?1*c b3*c b2*c b1*c an an?1 an?2 ……a2 a1 a0 bn bn?1 bn?2 b2 b1 b0 answer p（x）=b0 该方法用于解决多项式求值问题=anxn+an?1xn?1+an?2xn?2+……+a2x2+a1x+a0 ?2 注：p为近似值p（x）绝对误差：?|ep?|p?p ?||p?prp?|p| 相对误差：?|101?d|p?prp??|p|2 有效数字: （d为有效数字，为满足条件的最大整数） 3 big oh(精度的计算)：o(h?)+o(h?)=o(h?);o(hm)+o(hn)=o(hr) [r=min{p,q}]; o(hp)o(hq)=o(hs) [s=q+p]; 第二章2.1 求解x=g(x)的迭代法用迭代规则，可得到序列值｛｝。
设函数g 满足y 定义在得。
如果对于所有x ，则函数g 在，映射y=g(x)的范围内有一个不动点;此外，设，存在正常数k<1，使内，且对于所有x，则函数g 在内有唯一的不动点p。
，（ii）k是一个正常数，。
如果对于所有定理2.3 设有（i）g，g ’（iii ）如果对于所有x在这种情况下，p成为排斥不动点，而且迭代显示出局部发散性。
波理尔查. 诺二分法(二分法定)<收敛速度较慢>试值（位）法：<条件与二分法一样但改为寻求过点(a,f(a))和(b,f(b))的割线l与x轴的交点(c,0)>应注意越来越小，但可能不趋近于0，所以二分法的终止判别条件不适合于试值法. f(pk?1)其中k=1,2,……证明：用f(pk?1)牛顿—拉夫森迭代函数：pk?g(pk?1)?pk?1?泰勒多项式证明第三章线性方程组的解法对于给定的解线性方程组ax=b a11x1 ? a12x2 ? ? ? a1nxn ?b1 a21x1 ? a22x2 ? ? ? a2nxn ? b2 ? an1x1 ? an2x2 ? ? ? annxn ? bn 一gauss elimination （高斯消元法第一步forward elimination 第二步substitution二lu factorization第一步 a = lu 原方程变为lux=y ；第二步令ux=y,则ly = b由下三角解出y；第三步 ux=y,又上三角解出x ；三iterative methods（迭代法）a11x1 ? a12x2 ? ? ? a1nxn ? b1 a21x1 ? a22x2 ? ? ? a2nxn ? b2?）back 初始值0,x0,?,x0x1n2四 jacobi method1.选择初始值2.迭代方程为0,x0,?,x0x1n2k?1? x1k?1 ? x2k? ? ? axk)b1?(a12x1nna11k? ? ? axk)b2?(a21x2nna22k ? axk ? ? ? ak)bn?(an1xxn2nn?1? k?1xn ? ann五gauss seidel method1.迭代方程为kkb?(ax? ? ? axk?111221nn)x1? a11k?1kb?(ax? ? ? axk?122112nn)x2 ? a22?k?1k?1k?1 2.选择初始值判断是否能用0,x0,?,x0x1n2jacobi method或者gaussseidel method的充分条件（绝对对角占优原则）第四章插值与多项式逼近·第一节泰勒级数和函数计算一些常用函数的泰勒级数展开：for all x for all x for all x -1 -1 for篇二：如何学好数值分析怎样学好数值分析课程？提几点意见供参考：一、树立信心，克服怕的思想。
第1章 数值分析与科学计算引论
数值分析与科学计算引论
数值分析的对象、作用与特点 数值计算的误差 数值计算的误差定性分析与避免误差危害
数值计算中算法设计的技术
2014-7-15
数值分析与科学计算引论
1
1.1 数值分析的对象、作用与特点
1.1.1 研究对象与作用 计算数学 根据实际问题的数学模型提出问题求解的数值计算方法， 并对方法进行理论分析和软件实现. 1.1.2 特点 面向计算机，提供切实可行的有效算法； 有可靠的理论分析，能达到精度要求，算法的收敛性与数 值稳定性，算法的误差分析； 算法能在计算机上实现，并有好的计算复杂性； 通过数值实验 证明算法行之有效。 1.1.3 实际应用 计算机上实现数值计算，解决实际问题.
2014-7-15 数值分析与科学计算引论 2
1.2 数值计算的误差 1.2.1 误差的来源与分类
模型误差——在将实际问题归结为数学模型时，需要对 问题作一定的简化和假设。 观测误差—— 数学模型中需要用到的一些系数、初值等 常数来自于测量仪器或统计资料，由于客观条件和仪器精 度的限制不可避免有误差。 （理论计算误差） 方法误差 (截断误差) ——模型的准确解与用数值方法 求得的近似解之间的误差称为“截断误差”。 舍入误差——在上机实际计算时，由于计算机对所运算 的对象按机器字长四舍五入而产生的最终计算解与模型的 准确解之间的误差。 实际算法: 有限、 四则运算化… 2014-7-15 数值分析与科学计算引论
估计近似数 x1* , x2* 的绝对误差与相对误差。
x x1 10 , x2 x2 103 ,
* 1 *
3
结论?
* * x x x 但 1 是 1 的一个好的近似， 2 不是 x2 的好的近似。
第一章数值计算方法与误差分析分析
控制误差传播的例子
例10 计算积分 In=∫01 xn ex-1dx，n=0,1, 2, … , 9 利用分部积分法，可得 In= xn ex-1| 01 –∫01 ex-1dxn
=1– n∫01 xn-1 ex-1dx =1– nIn-1
从而有递推公式
I0= ∫01 ex-1dx= ex-1 | 01 = 1-e-1 ≈0.6321 In= 1– nIn-1 （n=0, 1, 2, … , 9）
所谓算法，是指对一些数据按某种规定的顺序 进行的运算序列。在实际计算中，对于同一问题我 们选用不同的算法, 所得结果的精度往往大不相同。 这是因为初始数据的误差或计算中的舍入误差在计 算过程中的传播，因算法不同而异，于是就产生了 算法的数值稳定性问题。一个算法, 如果计算结果 受误差的影响小，就称这个算法具有较好的数值稳 定性。否则，就称这个算法的数值稳定性不好。
简化计算步骤、减少运算次数、避免误差积累的例子
又如计算
1/(1*2)+1/(2*3)+…+1/(1000*1001)
的值。 若一项一项进行计算，不仅计算次数多，而 且误差积累也很大。若简化成 1－1/1001 进行计 算，则整个计算只要一次求倒数和一次减法。
（四）要避免绝对值小的数作除数
由式 ε(x1/x2)≈d(x1/x2)≈[x2ε(x1)－x1ε(x2)]/ x22 , (x2≠0) 可知，当除数x2接近于零时，商的绝对误差就可能很大。因此 , 在数值计算中要尽量避免绝对值小的数作除数, 避免的方法是把 算式变形或改变计算顺序。 例8 当x接近于0时 (1-cosx)/sinx 的分子、分母都接近0，为避免绝对值小的数作除数，可将原式 化为 (1-cosx)/sinx=sinx/(1+cosx) 例9 当x 很大时，可化 x/[(x+1)0.5－x0.5]=x[(x+1)0.5 + x0.5]
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数值分析与计算方法
数值分析与计算方法是一门应用数学科学，应对处理数值计算问题
的方法与技巧进行研究与应用。
它主要关注如何使用数值方法来近似
求解数学问题，特别是那些无法以解析方法解决的问题。
本文将介绍
数值分析与计算方法的基本概念、常用算法以及应用领域。
一、数值分析与计算方法的概念
数值分析与计算方法是研究如何通过数值计算来解决数学问题的一
门学科，它主要包括数值逼近、插值与外推、数值微积分、常微分方
程的数值解、线性方程组的数值解等内容。
数值分析与计算方法的研
究对象包括数值算法和数值方法，并通过计算机软件和硬件来实现数
值计算。
二、常用数值分析与计算方法算法
1. 数值逼近：数值逼近是通过有限个已知的点来近似一个函数的值，常用的数值逼近方法包括最小二乘逼近、插值逼近和曲线拟合等。
2. 插值与外推：插值与外推是通过已知点列的函数值来确定一个函数，以便在给定区间上任意点处计算函数值。
常用的插值与外推方法
包括拉格朗日插值法、牛顿插值法和埃尔米特插值法等。
3. 数值微积分：数值微积分是通过数值方法进行微积分运算，包括
数值积分和数值微分。
常用的数值积分方法有梯形法则、辛普森法则
和龙贝格法则等。
4. 常微分方程的数值解：常微分方程的数值解是通过数值方法求解
微分方程的近似解。
常用的数值解法包括欧拉方法、改进的欧拉方法
和龙格-库塔方法等。
5. 线性方程组的数值解：线性方程组的数值解是通过数值方法求解
线性方程组的近似解。
常用的数值解法有高斯消元法、LU分解法和迭
代法等。
三、数值分析与计算方法的应用领域
数值分析与计算方法在科学计算、工程计算、金融计算等领域具有
广泛的应用。
以下是一些典型的应用领域：
1. 科学计算：数值计算在物理学、化学、生物学等自然科学领域中
具有重要的应用，例如在偏微分方程的数值解、数值模拟等方面。
2. 工程计算：数值计算在工程设计、结构分析、电力系统仿真等工
程领域中发挥重要作用，例如在有限元分析、流体力学计算等方面。
3. 金融计算：数值计算在金融学中具有广泛应用，例如在期权定价、风险管理、投资分析等方面。
4. 数据分析：数值计算在数据科学中具有重要地位，例如在统计建模、机器学习、图像处理等方面。
总结：
数值分析与计算方法是一门应用数学学科，通过数值计算来解决数
学问题。
它包括数值逼近、插值与外推、数值微积分、常微分方程的
数值解、线性方程组的数值解等内容。
常用的数值分析与计算方法算
法包括数值逼近、插值与外推、数值微积分、常微分方程的数值解、
线性方程组的数值解等。
数值分析与计算方法在科学计算、工程计算、金融计算等领域有广泛的应用。
通过数值分析与计算方法，我们可以
更好地解决复杂的数学问题，推动科学技术的发展。