2018年高考数学常见题型解法归纳反馈训练第69讲线性和非线性回归模型的建立

第69讲 线性和非线性回归模型的建立

【知识要点】

一、建立线性回归模型的基本步骤：

①确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是预报变量；

②画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（是否存在线性关系）； ③由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程y bx a =+）； ④按照公式计算回归方程中的参数（如最小二乘法），得到线性回归方程；

⑤得出结果后分析残差图是否有异常.若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等. 二、建立非线性回归模型的基本步骤：

①确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是预报变量；

②画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（是否存在非线性关系）； ③由经验确定非线性回归方程的类型（如我们观察到数据呈非线性关系，一般选用反比例函数、指数函数、对数函数模型等）；

④通过换元，将非线性回归方程模型转化为线性回归方程模型；

⑤按照公式计算线性回归方程中的参数（如最小二乘法），得到线性回归方程； ⑥消去新元，得到非线性回归方程；

⑦得出结果后分析残差图是否有异常.若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等. 三、检查数据模型拟合效果的好坏，一般有三种方法.

方法一：通过残差分析，如果残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，则说明选用的模型比较合适，反之，不合适.

方法二：通过残差平方和分析，如果残差的平方和越小，则说明选用的模型比较合适，反之，不合适. 方法三：用相关系数来刻画回归的效果，其计算公式是：

2

2

1

2

1

()

1()

n

i

i n

i

i y y R y y ∧

==-=-

-∑∑其中i y y ∧

-=真实值-预报值=残差，2

R 值越大，说明残差的平方和越小，也就是

说模型的拟合效果越好.

【方法讲评】

【例1】某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：

该农科所确定的研究方案是:先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．

（1

）求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；

（2）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y 关于x 的线性回归方程 y bx a =+；

（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？

（注： 11

2

22

1

1

()()

,()

n n

i i

i

i

i i n

n

i i

i i x y nx y x x y y b

a

y bx x nx

x x ====---==

=---∑∑∑∑ ）

所以43

()1105P A =-

=． 故选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率是5

3

（3）当x =10时，5

?103222y =?-=，|22－23|＜2； 同样，当x =8时，5

?83172

y =?-=，|17－16|＜2． 所以，该研究所得到的线性回归方程是可靠的．

【点评】求回归直线的方程时，最好先计算好公式的基本量2

21

1

n

n

i i i i i x y nx y nx x y x ==∑

∑

、、、、、，再代入公

式求解.这样一是节省试卷的空间，另外是可以把握住得分点，千万不要一次性计算，如果一个地方出了错，整个题目就一分都没有了.

【反馈检测1】经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数x （0＜x ≤10）与销售价格y （单位：万元/辆）进行整理,得到如下的对应数据：

（Ⅰ）试求y 关于x 的回归直线方程；

（附：回归方程y b x a ∧∧∧

=+中， 1

22

1

,n

i i

i n i i x y nx y

b

a y bx x nx ---==--∑∑

（Ⅱ）已知每辆该型号汽车的收购价格为2

0.05 1.7517.2w x x =-+万元,根据（Ⅰ）中所求的回归方程,

预测x 为何值时,小王销售一辆该型号汽车所获得的利润z 最大.