第三章 1.3可线性化的回归分析
1.3可线性化的回归分析
[学习目标]
1．进一步体会回归分析的基本思想．
2．通过非线性回归分析，判断几种不同模型的拟合程度．
[知识链接]
1．有些变量间的关系并不是线性相关，怎样确定回归模型？
答首先要作出散点图，如果散点图中的样本点并没有分布在某个带状区域内，则两个变量不呈现线性相关关系，不能直接利用线性回归方程来建立两个变量之间的关系，这时可以根据已有函数知识，观察样本点是否呈指数函数关系或二次函数关系，选定适当的回归模型．
2．如果两个变量呈现非线性相关关系，怎样求出回归方程？
答可以通过对解释变量进行变换，如对数变换或平方变换，先得到另外两个变量间的回归方程，再得到所求两个变量的回归方程．
[预习导引]
1．非线性回归分析
对不具有线性相关关系的两个变量做统计分析，通过变量代换，转化为线性回归模型．
2．非线性回归方程
要点一 线性回归分析
例1 某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：
(1)由数据易知y 与x 具有线性相关关系，若b ＝9.4，求线性回归方程y ＝a ＋bx ； (2)据此模型预报广告费用为4万元时的销售额．
解 (1)x －＝4＋2＋3＋54＝3.5，y －
＝49＋26＋39＋54
4
＝42，
∴a ＝y －
－b x －
＝42－9.4×3.5＝9.1 ∴回归直线方程为y ＝9.1＋9.4x . (2)当x ＝4时，y ＝9.1＋9.4×4＝46.7， 故广告费用为6万元时销售额为46.7万元．
跟踪演练1 为了研究3月下旬的平均气温(x )与4月20日前棉花害虫化蛹高峰日(y )的关系，某地区观察了2006年2011年的情况，得到了下面的数据：
(1)对变量x ，y 进行相关性检验；
(2)据气象预测，该地区在2012年3月下旬平均气温为27 ℃，试估计2012年4月化蛹高峰日为哪天．
解制表.
(1)r＝
∑
6
i＝1
x i y i－6x
－
y
－
（∑
6
i＝1
x2i－6x
－
2）（∑
6
i＝1
y2i－6y
－
2）
≈－0.949 8.
由|r|＞0.75，可知变量y和x存在很强的线性相关关系．
(2)b＝1 222.6－6×29.13×7.5
5 130.92－6×29.132
≈－2.3，a＝y
－
－bx
－
≈74.5.所以，线性回归方程为y
＝74.5－2.3x.当x＝27时，y＝74.5－2.3×27＝12.4.据此，可估计该地区2012年4月12日或13日为化蛹高峰日．
要点二可线性化的回归分析
例2在一化学反应过程中，化学物质的反应速度y(g/min)与一种催化剂的量x(g)有关，现收集了8组观测数据列于表中：
解根据收集的数据，作散点图(如图)，根据已有的函数知识，可以发现样本点分布在某一条指数函数曲数y＝c1e c2x的周围，其中c1和c2是待定的参数．
令z＝ln y，则z＝ln y＝ln c1＋c2x，
即变换后的样本点应该分布在直线z＝a＋bx(a＝ln c1，b＝c2)的周围．
由y与x的数据表可得到变换后的z与x的数据表：
作出z与x的散点图(如图)．
由散点图可观察到，变换后的样本点分布在一条直线的附近，所以可用线性回归方程来拟合．
由z与x的数据表，可得线性回归方程：
z＝0.848＋0.81x，
所以y与x之间的非线性回归方程为
y＝e－0.848＋0.81x.
规律方法可线性化的回归分析问题，画出已知数据的散点图，选择跟散点拟合得最好的函数模型进行变量代换，作出变换后样本点的散点图，用线性回归模型拟合．
跟踪演练2电容器充电后，电压达到100 V，然后开始放电，由经验知道，此后电压U随时间t变化的规律用公式U＝A e bt(b＜0)表示，现测得时间t(s)时的电压U(V)如下表：
试求：电压U对时间t的回归方程．(提示：对公式两边取自然对数，把问题转化为线性回归分析问题)
解对U＝A e bt两边取对数得ln U＝ln A＋bt，令y＝ln U，a＝ln A，x＝t，则y ＝a＋bx，得y与x的数据如下表：
根据表中数据作出散点图，如下图所示，从图中可以看出，y与x具有较强的线
性相关关系，由表中数据求得x －＝5，y －
≈3.045，进而可以求得b ≈－0.313，
a ＝y －
－bx －
＝4.61，所以y 对x 的线性回归方程为y ＝4.61－0.313x .
由y ＝ln U ，得U ＝e y ，U ＝e 4.61－0.313x ＝e 4.16·e －0.313x ，因此电压U 对时间t 的回归方程为U ＝e 4.61·e －0.313x .
要点三 非线性回归模型的综合应用
例3 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：
试建立y 与x 之间的回归方程．
解 根据题干表中数据画出散点图如图所示．
由图看出，样本点分布在某条指数函数曲线y ＝c 1e c 2x 的周围，于是令z ＝ln y .
画出散点图如图所示．
由表中数据可得z 与x 之间的线性回归方程：z ＝0.693＋0.020x ，则有y ＝e 0.693＋
0.020x
.
规律方法 根据已有的函数知识，可以发现样本分布在某一条指数型函数曲线y ＝c 1e c 2x 的周围，其中c 1和c 2是待定参数；可以通过对x 进行对数变换，转化为线性相关关系．
跟踪演练3 对两个变量x ，y 取得4组数据(1，1)，(2，1.2)，(3，1.3)，(4，1.37)，甲、乙、丙三人分别求得数学模型如下： 甲 y ＝0.1x ＋1，
乙 y ＝－0.05x 2＋0.35x ＋0.7，
丙 y ＝－0.8·0.5x ＋1.4，试判断三人谁的数学模型更接近于客观实际． 解 甲模型，当x ＝1时，y ＝1.1；当x ＝2时，y ＝1.2； 当x ＝3时，y ＝1.3；当x ＝4时，y ＝1.4.
乙模型，当x ＝1时，y ＝1；当x ＝2时，y ＝1.2； 当x ＝3时，y ＝1.3；当x ＝4时，y ＝1.3.
丙模型，当x ＝1时，y ＝1；当x ＝2时，y ＝1.2； 当x ＝3时，y ＝1.3；当x ＝4时，y ＝1.35.
观察4组数据并对照知，丙的数学模型更接近于客观实际.
1．在一次试验中，当变量x 的取值分别为1，12，13，1
4时，变量y 的值分别为2，3，4，5，则y 与1
x 的回归方程为( ) A ．y ＝1x ＋1 B ．y ＝2
x ＋3 C ．y ＝2x ＋1 D ．y ＝x －1 答案 A
解析由数据可得，四个点都在曲线y＝1
x＋1上．
2．某种产品的广告费支出与销售额(单位：百万元)之间有如下对应数据：
则广告费与销售额间的相关系数为()
A．0.819 B．0.919 C．0.923 D．0.95
答案 B
3．根据统计资料，我国能源生产发展迅速．下面是我国能源生产总量(单位：亿吨标准煤)的几个统计数据：
根据有关专家预测，到2020年我国能源生产总量将达到27.6亿吨左右，则专家所选择的回归模型是下列四种模型中的哪一种()
A．y＝ax＋b(a≠0) B．y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
C．y＝a x(a>0且a≠1) D．y＝log a x(a>0且a≠1)
答案 A
4．某种产品的广告费支出x与销售额y之间有下表关系，现在知道其中一个数据弄错了，则最可能错的数据是__________.
答案(6，50)
一、基础达标
1．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产某产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据．根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程是y＝0.7x＋0.35，那么表中t的值是()
A.4.5 B．4 C．3 D．3.15
答案 C
2．下列数据x，y符合哪一种函数模型()
A.y＝2＋1
3x B．y＝2e
x
C．y＝2e 1
x D．y＝2＋ln x
答案 D
解析取x＝1，2，…，10分别代入各解析式判断．
3．指数曲线y＝a e bx的图像为()
答案 B
解析∵y＝a e bx，∴a＞0时y＞0，排除A、C，且x∈R，排除D，选B. 4．为研究广告费用x与销售额y之间的关系，有人抽取了5家餐厅，得到的数据如下表：
在同一坐标系中画散点图，直线L：y＝24＋2.5x，曲线C：y＝60x
2＋x
，如图所示．更能表现这组数据之间的关系的是()
A ．直线L
B ．曲线C
C ．直线L 和曲线C 都一样
D ．无法确定 答案 B
5．已知线性回归方程的斜率的估计值是0.5，样本点的中心为(4.5，5)，则线性回归方程是__________． 答案 y ＝2.75＋0.5x
解析 在回归方程中，已知b ＝0.5，则a ＝y －
－b ·x －
＝2.75.
6．对于回归方程y ＝257＋4.75x ，当x ＝28时，y 的估计值是__________． 答案 390
解析 当x ＝28时，y ＝257＋4.75×28＝390，∴y 的估计值为390.
7．某医院用光电比色计检验尿汞时，得尿汞含量(mg/L)与消光系数读数结果如下.
(1)画出对应数据的散点图； (2)求线性回归方程；
(3)根据(2)的结果，估计当x i 为12 mg/L 时的消光系数y i . 解 (1)
(2)y ＝－11.3＋36.95x .
(3)当x i ＝12时代入y ＝－11.3＋36.95x ，得y i ＝432. 二、能力提升
8．观察下图中的4个散点图，适合用线性回归模型拟合其中两个变量的是( )
A ．①②
B ．①③
C ．②③
D ．③④
答案 B
解析 在研究两个变量之间的关系时，可以根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用线性回归模型来拟合数据．这种方法既直观又方便，因而对解决相关性检验问题比较常用．
9．下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据，
由某散点图可知，用水量y 与月份x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是y ＝－0.7x ＋a ，则a ＝__________． 答案 5.25
解析 x －
＝2.5，y －
＝3.5，b ＝－0.7， ∴a ＝3.5＋0.7×2.5＝5.25.
10．已知某个样本点中的变量x ，y 线性相关，相关系数r ＜0，则在以(x －
，y －
)为
坐标原点的坐标系下的散点图中，大多数的点都落在第__________象限．答案二、四
解析∵r＜0时b＜0，
∴大多数点落在第二、四象限．
11．在一次抽样调查中测得样本的5个样本点，数值如下表：
试建立y与x之间的回归方程．
解根据散点图可知y与x近似地呈反比例函数关系，设y＝k
x，令t＝1
x，则
y＝kt，原数据变为
由散点图也可以看出y与t呈近似的线性相关关系．列表如下：
∴t －
＝1.55，y －
＝7.2. b ＝∑5
i ＝1t i y i －5t － y －
∑5i ＝1t 2i
－5（t －
）2≈4.134 4. a ＝y －
－bt －
≈0.8.∴y ＝0.8＋4.134t . ∴y 与x 的回归方程是y ＝0.8＋4.134x .
12．某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对比表.
画出散点图并判断热茶销售量与气温之间是否具有线性相关关系． 解 画出散点图如图所示．
x －
＝1
6(26＋18＋13＋10＋4－1)≈11.7， y －
＝1
6
(20＋24＋34＋38＋50＋64)≈38.3， ∑6
i ＝1x i y i
＝26×20＋18×24＋13×34＋10×38＋4×50－1×64＝1 910， ∑6
i ＝1
x 2i ＝262＋182＋132＋102＋42＋(－1)2＝1 286， ∑6i ＝1y 2i ＝202＋242＋342＋382＋502＋642＝10 172，
由r＝
∑
h
i＝1
x i y i－nx
－
y
－
∑
n
i＝1
x2i－nx
－
2∑
n
i＝1
y2i－ny
－
2
可得r≈0.97.
由于r的值较大，所以x与y具有很强的线性相关关系．
三、探究与创新
13．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：
(1)试建立y与x之间的回归方程；
(2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175 cm，体重为82 kg的在校男生体重是否正常？
解(1)根据表中的数据画出散点图(如图所示)．
由图可看出，样本点分布在某条指数函数曲线y＝c1e c2x的周围，于是令z＝ln y，得下表：
作出散点图如图所示．
由表中数据可得z与x之间的线性回归方程为z＝0.693＋0.020x，则有y＝e0.693＋0.020x.
(2)当x＝175时，预测平均体重为
y＝e0.693＋0.020×175≈66.22，
由于66.22×1.2≈79.47＜82，
所以这个男生偏胖．
计量经济学 第三章、经典单方程计量经济学模型：多元线性回归模型
计量经济学第三章、经典单方程计量经济学模型：多元线性回归模型
第三章、经典单方程计量经济学模型：多元线性 回归模型 一、内容提要 本章将一元回归模型拓展到了多元回归模型，其基本的建模思想与建模方法与一元的情形相同。主要内容仍然包括模型的基本假定、模型的估计、模型的检验以及模型在预测方面的应用等方面。只不过为了多元建模的需要，在基本假设方面以及检验方面有所扩充。 本章仍重点介绍了多元线性回归模型的基本假设、估计方法以及检验程序。与一元回归分析相比，多元回归分析的基本假设中引入了多个解释变量间不存在（完全）多重共线性这一假设；在检验部分，一方面引入了修正的可决系数，另一方面引入了对多个解释变量是否对被解释变量有显著线性影响关系的联合性F检验，并讨论了F检验与拟合优度检验的内在联系。 本章的另一个重点是将线性回归模型拓展到非线性回归模型，主要学习非线性模型如何转化为线性回归模型的常见类型与方法。这里需要注
意各回归参数的具体经济含义。 本章第三个学习重点是关于模型的约束性检验问题，包括参数的线性约束与非线性约束检验。参数的线性约束检验包括对参数线性约束的检验、对模型增加或减少解释变量的检验以及参数的稳定性检验三方面的内容，其中参数稳定性检验又包括邹氏参数稳定性检验与邹氏预测检验两种类型的检验。检验都是以F检验为主要检验工具，以受约束模型与无约束模型是否有显著差异为检验基点。参数的非线性约束检验主要包括最大似然比检验、沃尔德检验与拉格朗日乘数检验。它们仍以估计无约束模型与受约束模型为基础，但以最大似然原理进行估计，且都适用于大样本情形，都以约束条件个数为自由度的2χ分布为检验统计量的分布特征。非线性约束检验中的拉格朗日乘数检验在后面的章节中多次使用。 二、典型例题分析 例1．某地区通过一个样本容量为722的调查数据得到劳动力受教育的一个回归方程为 . 10+ 36 + = - .0 .0 medu fedu sibs edu210 131 .0 094
可线性化的回归分析
1.2可线性化的回归分析学案备注【学习目标】 1.能直观的判断两个变量是否满足线性相关 2.用非线性的函数关系来描述不好用线性关系刻画的两个 变量之间的关系 【重点、难点】用非线性的函数关系来描述不好用线性关系 刻画的两个变量之间的关系 【自主学习】 1.若两个变量不呈现线性关系，不能直接利用线性回归方程 建立两个变量的相关关系，那我们应如何建立两个变量的 关系？例如bx y=怎么化成线性相关问题解决？（阅读教 ae 材第9页到13页） 2. 在具体问题中，我们首先应该作出原始数据) x , (y 的，从中看出数据的大致规律，再 根据这个规律选择适当的函数进行拟合。 3. 对于非线性回归模型一般可转化为模 型从而得到相应的回归方程。 4.几种能转化为线性回归模型的非线性回归模型 （1）幂函数曲线x ab y=，作变换____________,得线性函数__________________ （2）指数曲线bx ae y=，作变换______________,得线性函数_______________
（3）倒指数曲线x b ae y =，作变换______________得线性函数 ________________ （4）对数曲线x b a y ln +=，作变换_______________得线性函数_____________ 【例题分析】 例1.（1）有5组（x,y ）数据(1,3),(2,4),(4,5),(3,10),(10,12)，去掉一组______数据后，剩下的四组数据的线性相关系数最大。 （2）已知幂函数曲线b ax y =做线性变换后得到的回归方程为v u 4.02+=，则a=_______,b=__________ 例2.为了研究某种细菌随时间x 变化，繁殖的个数，收集数据如下： 天数 x /天 1 2 3 4 5 繁殖个数y /个 6 12 25 49 95 （1）用天数作解释变量，繁殖个数作预报变量，作出这些数据的散点图； （2）试求出预报变量对解释变量的回归方程.（答案：所求 非线性回归方程为0.69 1.112?y =e x +.） 小结：利用回归方程探究非线性回归问题，可按“作散点图→建模→确定方程”这三个步骤进行. 其关键在于如何通过适当的变换，将非线性回归问题转化成线性回归问题.
一元线性回归模型的置信区间与预测
§2.5 一元线性回归模型的置信区间与预测 多元线性回归模型的置信区间问题包括参数估计量的置信区间和被解释变量预测值的置信区间两个方面，在数理统计学中属于区间估计问题。所谓区间估计是研究用未知参数的点估计值（从一组样本观测值算得的）作为近似值的精确程度和误差范围，是一个必须回答的重要问题。 一、参数估计量的置信区间 在前面的课程中，我们已经知道，线性回归模型的参数估计量^ β是随机变量 i y 的函数，即：i i y k ∑=1 ?β，所以它也是随机变量。在多次重复抽样中，每次 的样本观测值不可能完全相同，所以得到的点估计值也不可能相同。现在我们用参数估计量的一个点估计值近似代表参数值，那么，二者的接近程度如何？以多大的概率达到该接近程度？这就要构造参数的一个区间，以点估计值为中心的一个区间（称为置信区间），该区间以一定的概率（称为置信水平）包含该参数。 即回答1β以何种置信水平位于() a a +-1 1?,?ββ之中，以及如何求得a 。 在变量的显著性检验中已经知道 ) 1(~^ ^ ---= k n t s t i i i βββ (2.5.1) 这就是说，如果给定置信水平α-1，从t 分布表中查得自由度为(n-k-1)的临界值2 αt ，那么t 值处在()2,ααt t -的概率是α-1。表示为 α αα-=<<-1)(2 2 t t t P 即
α ββαβα-=<-< -1)(2 ^ 2 ^ t s t P i i i α ββββαβα-=?+<
第三章 一元线性回归模型
第三章 一元线性回归模型 一、预备知识 （一）相关概念 对于一个双变量总体),(i i x y ,若由基础理论，变量x 和变量y 之间存在因果关系，或x 的变异可用来解释y 的变异。为检验两变量间因果关系是否存在、度量自变量x 对因变量y 影响的强弱与显著性以及利用解释变量x 去预测因变量 y ，引入一元回归分析这一工具。 将给定i x 条件下i y 的均值 i i i x x y E 10)|(ββ+= （3.1） 定义为总体回归函数（Population Regression Function,PRF ）。定义 )|(i i i x y E y -为误差项（error term ）,记为i μ，即)|(i i i i x y E y -=μ，这样i i i i x y E y μ+=)|(，或 i i i x y μββ++=10 （3.2） （3.2）式称为总体回归模型或者随机总体回归函数。其中，x 称为解释变量（explanatory variable ）或自变量（independent variable ）；y 称为被解释变量（explained variable ）或因变量（dependent variable ）；误差项μ解释了因变量的变动中不能完全被自变量所解释的部分。误差项的构成包括以下四个部分： （1）未纳入模型变量的影响 （2）数据的测量误差 （3）基础理论方程具有与回归方程不同的函数形式，比如自变量与因变量之间可能是非线性关系 （4）纯随机和不可预料的事件。 在总体回归模型（3.2）中参数10,ββ是未知的，i μ是不可观察的，统计计量分析的目标之一就是估计模型的未知参数。给定一组随机样本 n i y x i i ,,2,1),,( =，对（3.1）式进行估计，若10,),|(ββi i x y E 的估计量分别记为^ 1^ 0^ ,,ββi y ，则定义3.3式为样本回归函数 i i x y ^ 1^ 0^ ββ+= （n i ,,2,1 =） （3.3） 注意，样本回归函数随着样本的不同而不同，也就是说^ 1^ 0,ββ是随机变量，它们的随机性是由于i y 的随机性（同一个i x 可能对应不同的i y ）与x 的变异共同引起的。定义^ i i y y -为残差项（residual term ）,记为i e ，即^ i i i y y e -=，这样 i i i e y y +=^ ，或 i i i e x y ++=^ 1^0ββ （n i ,,2,1 =） （3.4）
2018年陕西省高三数学第1章《统计案例》导学案：1.1.3可线性化的回归分析习题
1. 通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用; 2. 通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型，了解在解决实际问题的过程中寻找更好的模型的方法. 3. 了解常用函数的图象特点，选择不同的模型建模，并通过比较相关指数对不同的模型进行比较. 一、基础过关 3．对于指数曲线y＝a e bx，令u＝ln y，c＝ln a，经过非线性化回归分析之后，可以转化成的形式为() A．u＝c＋bx B．u＝b＋cx C．y＝b＋cx D．y＝c＋bx 4．下列说法错误的是() A．当变量之间的相关关系不是线性相关关系时，也能直接用线性回归方程描述它们之间的相关关系 B．把非线性回归化为线性回归为我们解决问题提供一种方法 C．当变量之间的相关关系不是线性相关关系时，也能描述变量之间的相关关系 D．当变量之间的相关关系不是线性相关关系时，可以通过适当的变换使其转换为线性关系，将问题化为线性回归分析问题来解决 5．每一吨铸铁成本y c(元)与铸件废品率x%建立的回归方程y c＝56＋8x，下列说法正确的是() A．废品率每增加1%，成本每吨增加64元 B．废品率每增加1%，成本每吨增加8% C．废品率每增加1%，成本每吨增加8元 D．如果废品率增加1%，则每吨成本为56元
二、能力提升 7．研究人员对10个家庭的儿童问题行为程度(X)及其母亲的不耐心程度(Y)进行了评价结果如下，家庭1,2, 3,4,5,6,7,8,9,10，儿童得分：72,40,52,87,39,95,12,64,49,46，母亲得分：79,62,53,89,81,90,10,82,78,70. 下列哪个方程可以较恰当的拟合() A．y＝0.771 1x＋26.528 B．y＝36.958ln x－74.604 C．y＝1.177 8x1.014 5 D．y＝20.924e0.019 3x 8．已知x，y之间的一组数据如下表： 则y与x之间的线性回归方程y＝bx＋a必过点________． 9．已知线性回归方程为y＝0.50x－0.81，则x＝25时，y的估计值为________． 10．在一次抽样调查中测得样本的5个样本点，数值如下表： 如何建立y与x 11．某地区六年来轻工业产品利润总额y与年次x的试验数据如下表所示： 求y关于x的回归方程．(保留三位有效数字)
多元线性回归分析预测法
多元线性回归分析预测法 (重定向自多元线性回归预测法) 多元线性回归分析预测法（Multi factor line regression method，多元线性回归分析法） [编辑] 多元线性回归分析预测法概述 在市场的经济活动中，经常会遇到某一市场现象的发展和变化取决于几个影响因素的情况，也就是一个因变量和几个自变量有依存关系的情况。而且有时几个影响因素主次难以区分，或者有的因素虽属次要，但也不能略去其作用。例如，某一商品的销售量既与人口的增长变化有关，也与商品价格变化有关。这时采用一元回归分析预测法进行预测是难以奏效的，需要采用多元回归分析预测法。 多元回归分析预测法，是指通过对两上或两个以上的自变量与一个因变量的相关分析，建立预测模型进行预测的方法。当自变量与因变量之间存在线性关系时，称为多元线性回归分析。 [编辑] 多元线性回归的计算模型[1] 一元线性回归是一个主要影响因素作为自变量来解释因变量的变化，在现实问题研究中，因变量的变化往往受几个重要因素的影响，此时就需要用两个或两个以上的影响因素作为自变量来解释
因变量的变化，这就是多元回归亦称多重回归。当多个自变量与因变量之间是线性关系时，所进行的回归分析就是多元性回归。 设y为因变量，为自变量，并且自变量与因变量之间为线性关系时，则多元线性回归模型为： 其中，b0为常数项，为回归系数，b1为固定时，x1每增加一 个单位对y的效应，即x1对y的偏回归系数；同理b2为固定时，x2每增加一个单位对y的效应，即，x2对y的偏回归系数，等等。如果两个自变量x1,x2同一个因变量y呈线相关时，可用二元线性回归模型描述为： 其中，b0为常数项，为回归系数，b1为固定时，x2每增加一 个单位对y的效应，即x2对y的偏回归系数，等等。如果两个自变量x1,x2同一个因变量y呈线相关时，可用二元线性回归模型描述为： y = b0 + b1x1 + b2x2 + e 建立多元性回归模型时，为了保证回归模型具有优良的解释能力和预测效果，应首先注意自变量的选择，其准则是： (1)自变量对因变量必须有显著的影响，并呈密切的线性相关； (2)自变量与因变量之间的线性相关必须是真实的，而不是形式上的； (3)自变量之彰应具有一定的互斥性，即自变量之彰的相关程度不应高于自变量与因变量之因的相关程度； (4)自变量应具有完整的统计数据，其预测值容易确定。 多元性回归模型的参数估计，同一元线性回归方程一样，也是在要求误差平方和()为最小的前提下，用最小二乘法求解参数。以二线性回归模型为例，求解回归参数的标准方程组为 解此方程可求得b0,b1,b2的数值。亦可用下列矩阵法求得
第三章1.3可线性化的回归分析
1.3 可线性化的回归分析 [学习目标] 1．进一步体会回归分析的基本思想． 2．通过非线性回归分析，判断几种不同模型的拟合程度． [知识链接] 1．有些变量间的关系并不是线性相关，怎样确定回归模型？ 答首先要作出散点图，如果散点图中的样本点并没有分布在某个带状区域内，则两个变量不呈现线性相关关系，不能直接利用线性回归方程来建立两个变量之间的关系，这时可以根据已有函数知识，观察样本点是否呈指数函数关系或二次函数关系，选定适当的回归模型． 2．如果两个变量呈现非线性相关关系，怎样求出回归方程？ 答可以通过对解释变量进行变换，如对数变换或平方变换，先得到另外两个变量间的回归方程，再得到所求两个变量的回归方程． [预习导引] 1．非线性回归分析 对不具有线性相关关系的两个变量做统计分析，通过变量代换，转化为线性回归模型． 2．非线性回归方程 曲线方程曲线图形公式变换变换后的线性函数
y＝ax b c＝ln a v＝ln x u＝ln y u＝c＋bv y＝a e bx c＝ln a u＝ln y u＝c＋bx y＝a e b x c＝ln a v＝ 1 x u＝ln y u＝c＋bv y＝a＋b ln x v＝ln x u＝y u＝a＋bv 要点一线性回归分析 例1 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表： 广告费用x(万元)423 5 销售额y(万元)49263954 (1)由数据易知y与x具有线性相关关系，若b＝9.4，求线性回归方程y＝a＋bx； (2)据此模型预报广告费用为4万元时的销售额． 解(1)x－＝ 4＋2＋3＋5 4 ＝3.5，y－＝ 49＋26＋39＋54 4 ＝42， ∴a＝y－－b x－＝42－9.4×3.5＝9.1
第三章多元线性回归模型(stata)
一、邹式检验（突变点检验、稳定性检验） 1.突变点检验 1985—2002年中国家用汽车拥有量（t y ，万辆）与城镇居民家庭人均可支配收入（t x ，元），数据见表。 表 中国家用汽车拥有量（t y ）与城镇居民家庭人均可支配收入（t x ）数据 年份 t y （万辆） t x （元） 年份 t y （万辆） t x （元） 1985 1994 1986 1995 4283 1987 1996 1988 1997 1989 1998 1990 1999 5854 1991 2000 6280 1992 2001 1993 2002 下图是关于t y 和t x 的散点图：
从上图可以看出，1996年是一个突变点，当城镇居民家庭人均可支配收入突破元之后，城镇居民家庭购买家用汽车的能力大大提高。现在用邹突变点检验法检验1996年是不是一个突变点。 ：两个字样本（1985—1995年，1996—2002年）相对应的模型回归参数相等H H ：备择假设是两个子样本对应的回归参数不等。 1 在1985—2002年样本范围内做回归。
在回归结果中作如下步骤(邹氏检验)： 1、 Chow 模型稳定性检验（lrtest） 用似然比作chow检验，chow检验的零假设：无结构变化，小概率发生结果变化* 估计前阶段模型 * 估计后阶段模型 * 整个区间上的估计结果保存为All * 用似然比检验检验结构没有发生变化的约束 得到结果如下;
(如何解释) 2.稳定性检验（邹氏稳定性检验） 以表为例，在用1985—1999年数据建立的模型基础上，检验当把2000—2002年数据加入样本后，模型的回归参数时候出现显著性变化。 * 用F-test作chow间断点检验检验模型稳定性 * chow检验的零假设：无结构变化，小概率发生结果变化 * 估计前阶段模型 * 估计后阶段模型 * 整个区间上的估计结果保存为All
多元线性回归分析预测法
多元线性回归分析预测法 多元线性回归分析预测法（Multi factor line regression method，多元线性回归分析法） 目录 [隐藏] ? 1 多元线性回归分析预测法概述 ? 2 多元线性回归的计算模型[1] ? 3 多元线性回归模型的检验[1] ? 4 多元线性回归分析预测法案例分析 o 4.1 案例一:公路客货运输量多元线性回归预测方法探讨[2] ? 5 相关条目 ? 6 参考文献 多元线性回归分析预测法概述 在市场的经济活动中，经常会遇到某一市场现象的发展和变化取决于几个影响因素的情况，也就是一个因变量和几个自变量有依存关系的情况。而且有时几个影响因素主次难以区分，或者有的因素虽属次要，但也不能略去其作用。例如，某一商品的销售量既与人口的增长变化有关，也与商品价格变化有关。这时采用一元回归分析预测法进行预测是难以奏效的，需要采用多元回归分析预测法。 多元回归分析预测法，是指通过对两上或两个以上的自变量与一个因变量的相关分析，建立预测模型进行预测的方法。当自变量与因变量之间存在线性关系时，称为多元线性回归分析。 [编辑] 多元线性回归的计算模型[1] 一元线性回归是一个主要影响因素作为自变量来解释因变量的变化，在现实问题研究中，因变量的变化往往受几个重要因素的影响，此时就需要用两个或两个以上的影响因素作为自变量来解释因变量的变化，这就是多元回归亦称多重回归。当多个自变量与因变量之间是线性关系时，所进行的回归分析就是多元性回归。 设y为因变量，为自变量，并且自变量与因变量之间为线性关系时，则多元线性回归模型为：
其中，b0为常数项，为回归系数，b1为固定时，x1每增加一 个单位对y的效应，即x1对y的偏回归系数；同理b2为固定时，x2每增加一个单位对y的效应，即，x2对y的偏回归系数，等等。如果两个自变量x1,x2同一个因变量y呈线相关时，可用二元线性回归模型描述为： 其中，b0为常数项，为回归系数，b1为固定时，x2每增加 一个单位对y的效应，即x2对y的偏回归系数，等等。如果两个自变量x1,x2同一个因变量y呈线相关时，可用二元线性回归模型描述为： y = b0 + b1x1 + b2x2 + e 建立多元性回归模型时，为了保证回归模型具有优良的解释能力和预测效果，应首先注意自变量的选择，其准则是： (1)自变量对因变量必须有显著的影响，并呈密切的线性相关； (2)自变量与因变量之间的线性相关必须是真实的，而不是形式上的； (3)自变量之彰应具有一定的互斥性，即自变量之彰的相关程度不应高于自变量与因变量之因的相关程度； (4)自变量应具有完整的统计数据，其预测值容易确定。 多元性回归模型的参数估计，同一元线性回归方程一样，也是在要求误差平方和()为最小的前提下，用最小二乘法求解参数。以二线性回归模型为例，求解回归参数的标准方程组为 解此方程可求得b0,b1,b2的数值。亦可用下列矩阵法求得 即
第三节：多元线性相关与回归分析
第三节 多元线性相关与回归分析 一、标准的多元线性回归模型 上一节介绍的一元线性回归分析所反映的是１个因变量与１个自变量之间的关系。但是，在现实中，某一现象的变动常受多种现象变动的影响。例如，消费除了受本期收入水平的影响外，还会受以往消费和收入水平的影响；一个工业企业利润额的大小除了与总产值多少有关外，还与成本、价格等有关。这就是说，影响因变量的自变量通常不是一个，而是多个。在许多场合，仅仅考虑单个变量是不够的，还需要就一个因变量与多个自变量的联系来进行考察，才能获得比较满意的结果。这就产生了测定与分析多因素之间相关关系的问题。 研究在线性相关条件下，两个和两个以上自变量对一个因变量的数量变化关系，称为多元线性回归分析，表现这一数量关系的数学公式，称为多元线性回归模型。多元线性回归模型是一元线性回归模型的扩展，其基本原理与一元线性回归模型相类似，只是在计算上比较麻烦一些而已。限于本书的篇幅和程度，本节对于多元回归分析中与一元回归分析相类似的内容，仅给出必要的结论，不作进一步的论证。只对某些多元回归分析所特有的问题作比较详细的说明。 多元线性回归模型总体回归函数的一般形式如下： t kt k t t u X X Y ++?++=βββ221 (7.51) 上式假定因变量Y 与(k-1)个自变量之间的回归关系可以用线性函数来近似反映.式中，Y t 是变量Y 的第ｔ个观测值；X jt 是第j 个自变量X j 的第ｔ个观测值(j=1,2,……，k)；u t 是随机误差项；β1，β2，… ，βk 是总体回归系数。βj 表示在其他自变量保持不变的情况下，自变量X j 变动一个单位所引起的因变量Y 平均变动的数额，因而又叫做偏回归系数。该式中，总体回归系数是未知的，必须利用有关的样本观测值来进行估计。 假设已给出了ｎ个观测值，同时1?β，2?β…，k β?为总体回归系数的估计，则多元线性回 归模型的样本回归函数如下： t kt k t t e X X Y ++?++=βββ???221 (7.52) (t ＝1,2,…,n) 式中，e t 是Y t 与其估计t Y ?之间的离差，即残差。与一元线性回归分析相类似，为了进 行多元线性回归分析也需要提出一些必要的假定。多元线性回归分析的标准假定除了包括上一节中已经提出的关于随机误差项的假定外，还要追加一条假定。这就是回归模型所包含的自变量之间不能具有较强的线性关系，同时样本容量必须大于所要估计的回归系数的个数即n ＞k 。我们称这条假定为标准假定６。 二、多元线性回归模型的估计 （一）回归系数的估计 多元线性回归模型中回归系数的估计同样采用最小二乘法。设 ∑-=∑=22)?(t t t Y Y e Q 2221)???(kt k t t X X Y βββ-?--∑= (7.53) 根据微积分中求极小值的原理，可知残差平方和Ｑ存在极小值，欲使Ｑ达到最小，Ｑ对1?β、2?β…，k β?的偏导数必须等于零。将Ｑ对1?β、2?β…，k β?求偏导数，并令其等于零，加以整理后可得到以下ｋ个方程式： ∑=∑+?+∑+t kt k t Y X X n βββ???221
(新)高中数学第三章统计案例1_3可线性化的回归分析知识导航北师大版选修2-3
1.3可线性化的回归分析 自主整理 1.在具体问题中,我们首先应该作出原始数据(x,y)的________________,从_____________中看出数据的大致规律,再根据这个规律选择适当的参数进行拟合. 2.对于非线性回归模型一般可转化为_________________，从而得到相应的回归方程. 高手笔记 1.幂函数曲线y=ax b .作变换μ=lny,v=lnx c=lna，得线性函数μ=c+bv. 2.指数曲线y=ae bx .作变换μ=lny,c=lna,得线性函数μ=c+bx. 3.倒指数曲线y=ae bx .作变换μ=lny,c=lna,v= x 1 ，得线性函数μ=c+bv. 4.对数函数y=a+blnx.作变换v=lnx ，得线性函数y=a+bv. 名师解惑 如何根据原始数据求拟合函数? 剖析：（1）可先由原始数据作散点图. （2）对于一些函数模型的图形要熟悉. 如:①幂函数y=ax b 型的图象为: ②指数曲线y=ae bx (3)倒指数曲线y=ae bx (4)对数曲线y=a+blnx （3）由散点图找出拟合函数的类型. （4）将非线性函数转化为线性函数.
（5）求出回归方程. 讲练互动 【例1】某地今年上半年患某种传染病人数y 与月份x 之间满足函数关系模型为y=ae bx ，确定这个函数解析式. 分析：函数模型为指数型函数，可转化为线性函数，从而求出. 解：设μ=lny，c=lna ，则μ=c+bx. ∑=6 1 i xi =21，∑=6 1 i i μ =25.359 5， ∑=6 1 i xi 2 =91，∑=6 1 i i μ 2 =107.334， ∑=6 1 i i i x μ =90.341 3，x =3.5， μ=4.226 58， b= 2 2 6 1 26 1 1 5 .369122658.45.363413.9066?-??-= --∑∑==i i i i x x x x μ μ =558412 .1=0.09, c=μ-b x =4.226 58-0.09×3.5=3.911 58， ∴μ=3.911 58+0.09x. ∴y=e 3.911 58·e 0.09x . 绿色通道:基础模型为指数型,可两边取对数转化为线性函数关系,求出回归方程.. 变式训练 1.某工厂今年第一季度生产某种产品的数量分别是1万件、1.2万件、1.3 万件、1.37万件， 为了估测以后每个月的产量，可用函数y=ae bx 来模拟该产品的月产量y 与月份x 的关系，求模拟函数. ∑=4 1i i x =10， ∑=4 1 i i μ =0.759 5， ∑=4 1 i i x 2 =30， ∑=4 1 i i μ 2 =0.201 2， ∑=4 1 i i x μi =2.411，x =2.5，μ=0.189 9，
第三章一元线性回归分析
第三章 一元线性回归 一元线性回归分析的对象是两个变量的单向因果关系，模型的核心是两变量线性函数，分析方法是回归分析。一元线性回归是经典计量经济分析的基础。 第一节 一元线性回归模型 一、变量间的统计关系 社会经济现象之间的相互联系和制约是社会经济的普遍规律。在一定的条件下，一些因素推动或制约另外一些与之联系的因素发生变化。这种状况表明在经济现象的内部和外部联系中存在着一定的因果关系，人们往往利用这种因果关系来制定有关的经济政策，以指导、控制社会经济活动的发展。而认识和掌握客观经济规律就要探求经济现象间经济变量的变化规律。 互有联系的经济变量之间的紧密程度各不相同，一种极端的情况是一个变量能完全决 定另一个变量的变化。比如：工业企业的原材料消耗金额用y 表示，生产量用1x 表示，单位产量消耗用2x 表示，原材料价格用3x 表示，则有：123y x x x =。这里，y 与123,,x x x ，是一种确定的函数关系。 然而，现实世界中，还有不少情况是两个变量之间有着密切的联系，但它们并没有密切到由一个可以完全确定另一个的程度。 例如：某种高档费品的销售量与城镇居民的收入；粮食产量与施肥量之间的关系；储蓄额与居民的收入密切相关。 从图示上可以大致看出这两种关系的区别：一种是对应点完全落到一条函数曲线上；另一种是并不完全落在曲线上，而有的点在曲线上，有的点在曲线的两边。对于后者这种不能用精确的函数关系来描述的关系正是计量经济学研究的重要内容。 二、一元线性回归模型 1.模型的建立 一个例子，见教材66页： 总体回归模型：01i i i Y X ββε=++ 理解：（1）误差的随机性使得Y 和X 之间呈现一种随机的因果关系；（2）Y i 的取值由两部分组成，一类是系统内影响，一类是系统外影响。 样本回归直线：01i i Y X ββ=+ 样本回归模型：01i i i Y X e ββ=++ 2.模型的假设 （1） 误差项i ε的数学期望无论I 取什么值都是零。 （2） 误差项i ε的方差为常数2 σ （3） 误差项i ε对于I 的取值不同，不相关。 （4） 解释变量X 是确定性的变量，而非随机变量。 （5） 误差项i ε服从正态分布。
第三章-K元线性回归模型
第三章 K 元线性回归模型 一、填空题 1. 对于模型i ik k i i i u X X X Y +++++=ββββΛ22110，i=1,2,…,n ，一般经验认为，满足模型估计的基本要求的样本容量为_ _ 2. 对于总体线性回归模型i i i i i u X X X Y ++++=3322110ββββ，运用最小二乘法欲得到参数估计量，所要求的最小样本容量n 应满足 或至少_________。 3. 多元线性计量经济学模型的矩阵形式 ，对应的样本线性回归模型的矩阵形式 ，模型的最小二乘参数估计量 及其方差估计量 。 4. 总平方和可以分解为 回归平方和 和 残差平方和 ，可决系数为 。 5. 多元回归方程中每个解释变量的系数β（偏回归系数），指解释变量变化一个单位引起的被解释变量平均变化 β 个单位。 6. 线性模型的含义，就变量而言，指的是回归模型变量的 ；就参数而言，指的是回归模型中参数的 。通常线性回归模型指的是 。 二、问答题 1． 什么是多元回归模型？它与一元、二元回归模型有何区别？ 2． 极大似然法（maximum likehood ）的原理是什么？ 3． 什么是拟合优度（R 2）检验？有什么作用？ 指对样本回归直线与样本观测值之间的拟合程度的检验。 4． 可决系数R 2低的可能的原因是什么？ 5． 多元回归的判断系数R 2具有什么性质？运用R 2时应注意什么问题？ 6． 多元线性回归模型的基本假设是什么？试说明在证明最小二乘估计量的无偏性和有 效性的过程中，哪些基本假设起了作用？ 7． 说明区间估计的含义。 三、实践题 1．下表给出三变量模型的回归结果： 方差来源 平方和（SS ） 自由度（d.f.） 均方差(MSS) 回归平方和(ESS) 65965 3 21988.33 残差平方和(RSS) 77 11 7 总平方和(TSS) 66042 14 4717.48
第十一章线性相关分析报告与线性回归分析报告
第十一章线性相关分析与线性回归分析 11.1 两个变量之间的线性相关分析 相关分析是在分析两个变量之间关系的密切程度时常用的统计分析方法。最简单的相关分析是线性相关分析，即两个变量之间是一种直线相关的关系。相关分析的方法有很多，根据变量的测量层次不同，可以选择不同的相关分析方法。总的来说，变量之间的线性相关关系分为三种。一是正相关，即两个变量的变化方向一致。二是负相关，即两个变量的变化方向相反。三是无相关，即两个变量的变化趋势没有明显的依存关系。两个变量之间的相关程度一般用相关系数r 来表示。r 的取值范围是：-1≤r≤1。∣r∣越接近1，说明两个变量之间的相关性越强。∣r∣越接近0，说明两个变量之间的相关性越弱。相关分析可以通过下述过程来实现： 11.1.1 两个变量之间的线性相关分析过程 1．打开双变量相关分析对话框 执行下述操作： Analyze→Correlate(相关)→Bivariate（双变量）打开双变量相关分析对话框，如图11-1 所示。 图11-1 双变量相关分析对话框 2．选择进行相关分析的变量 从左侧的源变量窗口中选择两个要进行相关分析的变量进入Variable 窗口。 3．选择相关系数。 Correlation Coefficient 是相关系数的选项栏。栏中提供了三个相关系数的选项：（1）Pearson:皮尔逊相关，即积差相关系数。适用于两个变量都为定距以上变量，且两个
变量都服从正态分布的情况。这是系统默认的选项。 （2）Kendall：肯德尔相关系数。它表示的是等级相关，适用于两个变量都为定序变量的情况。 （3）Spearman:斯皮尔曼等级相关。它表示的也是等级相关，也适用于两个变量都为定序变量的情况。 4．确定显著性检验的类型。 Test of Significance 是显著性检验类型的选项栏，栏中包括两个选项： （1）Two-tailed:双尾检验。这是系统默认的选项。 （2）One-tailed:单尾检验。 5．确定是否输出相关系数的显著性水平 Flag significant Correlations:是标出相关系数的显著性选项。如果选中此项，系统在输出结果时，在相关系数的右上方使用“*”表示显著性水平为0.05；用“**”表示显著性水平为0.01。 6. 选择输出的统计量 单击Options 打开对话框，如图11-2 所示。 图11-2 相关分析选项对话框 （1）Statistics 是输出统计量的选项栏。 1）Means and standard deviations 是均值与标准差选项。选择此项，系统将在输出文件中输出均值与标准差。 2）Cross- product deviations and covariances 是叉积离差与协方差选项。选择此项，系统将在输出文件中输出每个变量的离差平方和与两个变量的协方差。 上述两项选择只有在主对话框中选择了Pearson:皮尔逊相关后，计算结果才有价值。 （2）缺失值的处理办法 Missing Valuess 是处理缺失值的选项栏。 1）Exclude cases pairwise 是成对剔除参与相关系数计算的两个变量中有缺失值的个案。2）Exclude cases listwise 是剔除带有缺失值的所有个案。 上述选项做完以后，单击Continue 按钮，返回双变量相关分析对话框。 8．单击OK 按钮，提交运行。系统在输出文件窗口中输出相关分析的结果。 11.1.2 两个变量之间的线性相关分析实例分析
多元线性相关与回归分析
多元线性相关与回归分析 Revised by BLUE on the afternoon of December 12,2020.
第三节 多元线性相关与回归分析 一、标准的多元线性回归模型 上一节介绍的一元线性回归分析所反映的是１个因变量与１个自变量之间的关系。但是，在现实中，某一现象的变动常受多种现象变动的影响。例如，消费除了受本期收入水平的影响外，还会受以往消费和收入水平的影响；一个工业企业利润额的大小除了与总产值多少有关外，还与成本、价格等有关。这就是说，影响因变量的自变量通常不是一个，而是多个。在许多场合，仅仅考虑单个变量是不够的，还需要就一个因变量与多个自变量的联系来进行考察，才能获得比较满意的结果。这就产生了测定与分析多因素之间相关关系的问题。 研究在线性相关条件下，两个和两个以上自变量对一个因变量的数量变化关系，称为多元线性回归分析，表现这一数量关系的数学公式，称为多元线性回归模型。多元线性回归模型是一元线性回归模型的扩展，其基本原理与一元线性回归模型相类似，只是在计算上比较麻烦一些而已。限于本书的篇幅和程度，本节对于多元回归分析中与一元回归分析相类似的内容，仅给出必要的结论，不作进一步的论证。只对某些多元回归分析所特有的问题作比较详细的说明。 多元线性回归模型总体回归函数的一般形式如下： t kt k t t u X X Y ++?++=βββ221 上式假定因变量Y 与(k-1)个自变量之间的回归关系可以用线性函数来近似反映.式中，Y t 是变量Y 的第ｔ个观测值；X jt 是第j 个自变量X j 的第ｔ个观测值(j=1,2,……，k)；u t 是随机误差项；β1，β2，… ，βk 是总体回归系数。βj 表示在其他自变量保持不变的情况下，自变量X j 变动一个单位所引起的因变量Y 平均变动的数额，因而又叫做偏回归系数。该式中，总体回归系数是未知的，必须利用有关的样本观测值来进行估计。 假设已给出了ｎ个观测值，同时1?β，2?β…，k β?为总体回归系数的估计，则多元线性回归模型的样本回归函数如下： t kt k t t e X X Y ++?++=βββ???221 (t ＝1,2,…,n) 式中，e t 是Y t 与其估计t Y ?之间的离差，即残差。与一元线性回归分析相类似，为了进行多元线性回归分析也需要提出一些必要的假定。多元线性回归分析的标准假定除了包括上一节中已经提出的关于随机误差项的假定外，还要追加一条假定。这就是回归模型所包含的自变量之间不能具有较强的线性关系，同时样本容量必须大于所要估计的回归系数的个数即n ＞k 。我们称这条假定为标准假定６。 二、多元线性回归模型的估计 （一）回归系数的估计 多元线性回归模型中回归系数的估计同样采用最小二乘法。设 ∑-=∑=2 2)?(t t t Y Y e Q 2221)???(kt k t t X X Y βββ-?--∑=
线性回归和灰色预测模型案例
预测未来2015年到2020年的货运量 灰色预测模型 是通过少量的、不完全的信息，建立数学模型并做出预测的一种预测方法.当我们应用运筹学的思想方法解决实际问题，制定发展战略和政策、进行重大问题的决策时，都必须对未来进行科学的预测.预测是根据客观事物的过去和现在的发展规律，借助于科学的方法对其未来的发展趋势和状况进行描述和分析，并形成科学的假设和判断. 灰色系统的定义 灰色系统是黑箱概念的一种推广。我们把既含有已知信息又含有未知信息的系统称为灰 色系统?作为两个极端，我们将称信息完全未确定的系统为黑色系统；称信息完全确定的系统为白色系统?区别白色系统与黑色系统的重要标志是系统各因素之间是否具有确定的关系。
建模原理 建模原理 给定观测数据列 X (O) = {工⑼⑴卫⑼(2)UM)(N)} 其中是$ U 常数，a 称为发展灰数,IJ 称为内生 控制灰数，是对系统的常定输入?此方程满足初始 条件 (7.3)1 当f =阳时工⑴=X a Xt C ) 的解为J C^(O= Z(Gw 十牛 对等间隔取样的离散值(注意到^ = I)则为 √I)(? + l) = [√1?l)-?* += (7.4) 灰色建模的途径是一次累加序列tλ2)通过最小二乘法来 估计常薮口与乩 模型的求解 ■经一次累加得 K ⑴二{兀⑴(1),兀⑴(2),…,*D(N)} (7.2) 设满足一阶常微分方程 ￠7.3) dx ⑴ dt + ax (L)= 14
原始序列为： X(O)=(X(O)(1),…X(O)(6)) =(7691 10923 9329 9926 10149 11067 12495 12987 13902 15781 16909) 构造累加生成序列 X(I) =(X(I)(1),… X(I)(6)) =(7691,18614,27943,37869,48018, 59085,71580,84567,98469,114250,131159) 归纳上面的式子可写为 X a X D = {f X⑼(j) Ii=I B2-,N} >■1 称此式所表示的数据列为原始数据列的一次累加生成，简称为一次累加生成 对X(I)作紧邻均值生成 1 Z(I)(k)=丄(Z(I)(k) Z(I)(k - 1)) 2 k = 2,.… MATLAB代码如下： X=[7691 18614 27943 37869 48018 590857 71580 84567 98469 114250 131159]; Z(I)=X(1); for i=2:6 z(i)=0.5*(x(i)+x(i-1)); end format Iong g Z Z = Colu mns 1 through 3 7691 13152.5 23278.5
第三章 1.3可线性化的回归分析
1.3可线性化的回归分析 [学习目标] 1．进一步体会回归分析的基本思想． 2．通过非线性回归分析，判断几种不同模型的拟合程度． [知识链接] 1．有些变量间的关系并不是线性相关，怎样确定回归模型？ 答首先要作出散点图，如果散点图中的样本点并没有分布在某个带状区域内，则两个变量不呈现线性相关关系，不能直接利用线性回归方程来建立两个变量之间的关系，这时可以根据已有函数知识，观察样本点是否呈指数函数关系或二次函数关系，选定适当的回归模型． 2．如果两个变量呈现非线性相关关系，怎样求出回归方程？ 答可以通过对解释变量进行变换，如对数变换或平方变换，先得到另外两个变量间的回归方程，再得到所求两个变量的回归方程． [预习导引] 1．非线性回归分析 对不具有线性相关关系的两个变量做统计分析，通过变量代换，转化为线性回归模型． 2．非线性回归方程
要点一 线性回归分析 例1 某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表： (1)由数据易知y 与x 具有线性相关关系，若b ＝9.4，求线性回归方程y ＝a ＋bx ； (2)据此模型预报广告费用为4万元时的销售额． 解 (1)x －＝4＋2＋3＋54＝3.5，y － ＝49＋26＋39＋54 4 ＝42， ∴a ＝y － －b x － ＝42－9.4×3.5＝9.1 ∴回归直线方程为y ＝9.1＋9.4x . (2)当x ＝4时，y ＝9.1＋9.4×4＝46.7， 故广告费用为6万元时销售额为46.7万元． 跟踪演练1 为了研究3月下旬的平均气温(x )与4月20日前棉花害虫化蛹高峰日(y )的关系，某地区观察了2006年2011年的情况，得到了下面的数据： (1)对变量x ，y 进行相关性检验； (2)据气象预测，该地区在2012年3月下旬平均气温为27 ℃，试估计2012年4月化蛹高峰日为哪天．