线性动态电路的复频率分析
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14第十四章线性动态电路的复频域分析
1
1
RC
IC(s)
1/s
+
R
UC(s)
图(b) 1/sC
SC
RC
t
uC (t) R(1 e RC ) 1(t)V
t
iC (t) e RC 1(t) A
例：RC 并联电路，换路前为零状态，t=0 时接通单位冲激电流源，
求 uC(t)和 iC(t)。
解：图(b)： Y (S) 1 SC SRC 1
2. 若D(s)=0有共轭复根p1=a+jω，p2=a- jω
F (s) K1 K2
式中：
s p1 s p2
K1
(s (a
j )) F (s)
sa j
N (s) D(s)
sa j
K1 e j1
K2
(s (a
j )) F (s)
概述——求解动态电路的两种方法比较
经典法 在第7章，主要介绍了用时域分析法分析一阶电路和二阶电路的 动态过程，其要点是运用数学方法，列写换路后电路的微分方程、解微分方 程、由电路的初始条件确定积分常数。这种方法也称为经典法。
时域分析法有其优点：数学推导严密，物理概念清晰。但是运用时域分 析法分析高阶电路时就比较麻烦：首先，将描述储能元件电压、电流关系的 一阶微分方程组化为单一变量的高阶微分方程的运算复杂；其次，求解高阶 微分方程的特征方程的特征根运算量大；最后，确定电路的初始条件、定积 分常数相当麻烦。另外，当电路中有冲激电源或者冲激响应时，时域分析法 在确定初始条件时也比较困难。
R
R
iC
δ (t)
+
R C uC
线性动态电路的复频域分析
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§14 —3 拉普拉斯反变换的部分分式展开
例1：
例2：
L–1[(1–2e–s +e–2s )/s2]
=t–2(t–)(t–)+(t–2)(t–2)
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部分分式展开法
F(s)s
N(s)、 D(s)s
F(s)( n>m)
p1、p2、‥‥‥ pnD(s)=0F(s)极点
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3、电感
U(s)=sLI(s)–Li(0–)
u= i
U(s)=I(s)
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5、含有耦合电感的电路
U1(s)=sL1I1(s)–L1i1(0–)+sMI2(s)–Mi2(0–)
自感电压
自感附加电压源
互感电压
互感附加电压源
U2(s)=sL2I2(s)–L2i2(0–)+sMI1(s)–Mi1(0–)
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一、F(s)的极点为各不相等的实数根
p1p2‥‥‥pnp1、p2‥‥‥pn
L–1[F(s)]
k
(s–p1)
令s=p1
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例1:
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例2:
L–1[F(s)]=(t)+(t)–3e–2t+7e–3t
第16页/共38页
二、F(s)有共轭复极点
=sF(s)–f(0–)
L[f (t)]=s2F(s) – sf(0–)–f (0–)
L[fn(t)]=snF(s) – sn–1f(0–)–sn–2f (0–) ……f(n–1)(0–)
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例：
uc(t)
第7页/共38页
电路第14章 线性动态电路的复频域分析
L[ d (t)]
dt
s 1 (t)
s
0
1
07:14
14
三. 积分性质
设：L[ f (t)] F (s)
证
L[ t f ( )d ] 1 F(s)
0
s
应用微分性质
0
例
L[t] L[ t ( )d ] 0
L[ (t)] 1
s s2
07:14
象函数的一般形式：
F(s)
F1 ( s ) F2 ( s)
a0sm a1sm1 am b0sn b1sn1 bn
(n m)
07:14
20
F(s)
F1 ( s ) F2 ( s)
a0sm a1sm1 am b0sn b1sn1 bn
15
四.延迟性质 (时域平移) f(t)(t)
f(t-t0)(t-t0)
t
设：L[ f (t)] F (s)
t t0
L[ f (t t0 ) (t t0 )] est0 F(s)
07:14
16
证
例：
f(t) 1
Tt
07:14
est0 延迟因子
f (t) (t) (t T)
一.积分变换法 采用经典法列解微分方程去分析动态电路时，必须知道变量
及其各阶导数(直至n-1阶)在t=0+时刻的值，即变量的初始条件 。而电路中给定的初始状态是各电感电流和电容电压在t=0+时 刻的值，从这些值求得所需变量的初始条件工作量很大，也很 困难，高阶动态电路中尤为突出。
积分变换法是通过积分变化，把已知的时域函数变换为频域函 数，从而把时域的微分方程化为频域函数的代数方程。求出函数 的频域解后，再做反变换，返回时域，求出满足电路初始条件的 原微分方程的时域解，而不需要确定变量的初始条件，即积分常 数。拉普拉斯变换和傅立叶变换都是积分变换，但拉普拉斯变换 比傅立叶变换有更广泛的适用性，所以拉普拉斯变换法是求解任 意激励下高阶线性动态电路的有效而重要的方法之一。
DL14线性动态电路的复频域分析
H (s)的极点为 p1 1
33 p2,3 2 j 2
j
。。
-1 2 4
14.8.极点、零点与冲激响应
e(t) 零
状
激励 态
R(s) H(s)E(s)
r(t) 当e(t) (t)时，E(s) 1,
响应
R(s) H(s), r(t) h(t)
h(t) [1 H(s)]，h(t)称为冲激响应
。
零、极点分布图
例 H (s) 2s2 12s 16 绘出其极零点图 s3 4s2 6s 3
解 N(s) 2s2 12s 16 2(s 2)(s 4)
H(s)的零点为z1 2，z2 4
D(s) s3 4s2 6s 3 (s 1)(s 3 j 3 )(s 3 j 3 ) 22 22
相量模型
令 : sL jωL 1 1 U(s) U sC jωC
得 : U1 H1( jω)I U 2 H2( jω)I
I(s) I
H(s)中令s jω得正弦稳态下的网络函数
H ( j )
R( j ) E( j )
R E
响应相量 激励相量
14.7网络函数的极点和零点
1.复平面（或s平面）
2.网络函数的应用
1) 单位冲激响应与网络函数的关系
单位冲激响应
E(S)=L[(t)]=1 ，那么 H(S) = R(S) = L[h(t)] = L[h(t)]. E(S) L[δ(t)]
所以，当激励为单位冲激函数时,它产生的响应为 ： h(t)=L1 [H(S)]
结论：网络函数等于单位冲激响应的拉氏变换（象函数）。
H0
H0
jω 1/ RC jω p1
H(
j )
第7章线性动态电路的复频
的原函数f（t）
解: 由于D（s）=0有复根，根据D（s）=0 有重根
F（s）展开的部分分式为
F (s)
N (s) D(s)
1 an
(
s
K1r s1
)
r
K1(r-1) (s s1)r-1
K12 (s s1)2
K11 s s1
K1r Kn
s s1+r
s sn
各 F(s) K12 K11 K3 K4
1 I(s) sC
u(0－) s
＋－
1 sC
I(s) C uC(0－)
＋
U(s)
－
＋
U(s)
－
(a)
（a）
(b)
（b）
图7-7 电容元件的非零状态S域模型
电路基础与实践
第7章线性动态电路的复频域分析
7.4 线性电路的复频域法求解
1.线性电路的复频域等效模型
画s域模型过程中要特别注意三点: 1） 对于具体的电路，只有给出的初始状态是 电感电流和电容电压时，才可方便地画出s域等 效电路模型，否则就不易直接画出，这时不如先
（a）
（b）
图 7-3 R的时域和S域模型
（a）时序模型（b）频域模型
电路基础与实践
2. 电感元件
关联方向：
u(t)
L
di(t dt
)
i(t)
i(0
_)
1
t
u( )d
L 0
第7章线性动态电路的复频域分析
（a）
（b）
t
0
图
7-4 电感L的时域和零状态S （a）时序模型（b）频域模型
电感L的时域模型如图7-4（a）所示。设i（t）的 初始值i（0_） =0（零状态）， u（t）和i（t）的 单边拉普拉斯变换分别为U（s）和I（s），对上 式取单边拉普拉斯变换，根据时域微分、积分性 质， 得
电路分析第九章 线性动态电路的复频域分析
L
(
s
)
17.5 s
]
I
L
(
s
)
5-IL(s)
- + 2 IL(s)
10/s 2
2s
5
+
10
5 s
27.5 s1
i(t) 10 (t) 5 (t) 27.5et (t) A .
1．复频域系统函数H(s)的定义：
H(s) Yf (s) L[h(t)]
F(s) 2．物理意义
—系统零状态响应象函数与激励象函数之比； —系统冲激响应的拉普拉斯变换； —激励为e st时系统零状态响应的加权函数；
H(s) H1(s) H2(s) H3(s) F(s)
H1(s)
H2(s) Yf(s)
H3(s)
3．基本运算器(加法器、数乘器、积分器) 的框图 和 s域模型
数乘器
f(t)
加法器
a
y(t) = af(t)
F(s)
Y(s) = aF(s) a
f1(t) f2(t)
f (t) f1(t) f1(t) F1(s)
R sL
1 sC
有s域形式的欧姆定律
U(s) Z(s)I(s) , I(s) Y(s)U(s)
复频域分析法步骤
1. 求换路前电路的状态 uC(0-)、iL(0-)； 2.求激励f(t)的象函数F(s)；
3.画出s域电路模型
4.用s域形式的各种分析法建立方程，解出响应
变量的象函数；
5. 拉氏反变换的求出响应的时域表达式，画出 响应的波形。
f(t) = e st → yf(t) = H(s)e st
3．分类
(1) 驱动(策动)点函数(响应与激励在同一端口)
理学线性动态电路的复频域分析
0
注：此例说明拉氏变
0
(t)es0dt
1
0
换式可以计及t=0时f(t) 所包含的冲激。
6
§14-2 拉普拉斯变换的基本性质
本节介绍一些分析线性非时变电路时有用的基本性质。 利用它们可以容易求得较复杂的原函数的象函数。
性质 1 唯一性
象函数F(s)与定义在区间 [0, ] 上的时域函数f(t)存在
一一对应的关系。 注：唯一性这一性质对于拉氏变换的所有应用都适用。
1 (s a)n1
原函数f(t)
sint
ebt sint sin(t )
1 t neat n!
象函数F(s) 原函数f(t)
s
s2 2
s b
(s b)2 2
cost
ebt cost
s cossin s2 2
e t0s s
cos(t )
(t t0 )
18
§14-3 拉普拉斯反变换的部分分式展开
(s
3 1)3
3 s 2
k2
(s 1)F(s)
s 1
s4 (s 2)3
3 s 1
因此查拉氏变换表可得：
f (t) 3e2t 3te2t t e2 2t 3et
30
§14-4 运算电路
本节的主要内容是利用拉氏变换把求解线性微分方程转 化为求解线性代数方程。
一、R，L(M)，C 等电路元件的运算形式。
p1, p2, … pn 。F(s)可以展开为：
F (s) k1 k2 ... kn
s p1 s p2
s pn
注：式中 ki 是待定系数，可按下述二方法确定：
方法一
ki s pi F(s) spi
第14章1 线性动态电路的复频域分析
at
∞
[e ] = ∫
at
0
e e dt
at
st
1 ( sa )t ∞ 1 e = = s+a 0 s a
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13.2 拉普拉斯变换的基本性质
1.线性性质 1.线性性质
若
则
[A f ( t ) + A f ( t )] = A [ f ( t )] + A [ f ( t )]
1 1 2 2
0
∞
= ∫t f (t t0 )e
0
∞
0
f (t t0 )estdt
s( t t0 ) st0
e dt
st0
e
st0
∫
∞
0
f (τ )e dτ = e F(s)
e 延迟因子
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st0
sτ
例1 解
求矩形脉冲的象函数
f(t) 1 T f(t) T T t
f (t ) = ε (t ) ε (t T)
2
象函数F(s) 用大写字母表示,如I(s),U(s). 用大写字母表示, 象函数 , . 原函数f(t) 用小写字母表示,如 i(t), u(t). 用小写字母表示, 原函数 .
3
象函数F(s) 存在的条件: 存在的条件: 象函数
∞ ∫0
f (t )e dt < ∞
st
est为收敛因子
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第13章 拉普拉斯变换 13章
重点 (1) 拉普拉斯变换的基本原理和性质 (2) 掌握用拉普拉斯变换分析线性电 路的方法和步骤 (3) 电路的时域分析变换到频域分析 的原理
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线性动态电路的复频域分析
3. 重根
K 13 N ( s) K 12 K 11 K2 F ( s) 3 2 3 ( s p1 ) ( s p2 ) s p1 ( s p1 ) ( s p1 ) s p2
( s p1 )3 F ( s ) K 13 ( s p1 )2 K 12 ( s p1 ) K 11
+ u1 L1
M
i2
+ L2 u2 -
di1 di 2 u1 L1 dt M dt u L di2 M di1 2 2 dt dt
U 1 ( s ) sL1 I 1 ( s ) L1 i1 (0 ) sMI2 ( s ) Mi2 (0 ) U 2 ( s ) sL2 I 2 ( s ) L2 i2 (0 ) sMI1 ( s ) Mi1 (0 )
L[ε( t )] 1 2 L[t ] L[0 ε( )d ] s s
t
4. 时域延迟性质
f(t-t0)(t-t0) f(t)(t-t0)
f(t)(t)
t t0
t t0
st0
t
L[ f (t )] F ( s )
L[ f (t t0 )ε(t t0 )] e
I1(s) + U1(s) L1i1(0-) + sM I2(s) +
sL1 Mi2(0-) + -
sL2 Mi1(0-) +
L2i2(0-) +
U2(s)
-
1 uC uC (0 ) C
t
0
iC dt
iC
+ uC IC(s)
+ 1/sC uC(0-)/s + -
线性动态电路的幅频域分析
线性动态电路的幅频域分析一、积分变换法是通过积分变换，把已知的时域函数变换为频域函数，从而把时域的微分方程化为频域的代数方程。
求出频域函数后，再作反变换，返回时域，可以求得满足电路初始条件的原微分方程的解答。
二，拉普拉斯变换是一种重要的积分变换，是求解高阶复杂动态电路的有效而重要的方法之一。
拉普拉斯拉斯变换的定义一个定义在区间的函数)(t f,其拉氏变换)(sF定义为:⎰∞-= =0)()]([)(tftfLsFe-stdt式中：s=б+jω为复数，有时称变量S为复频率。
应用拉普拉斯拉斯变换进行电路分析有称为电路的复频域分析，有时称为运算法。
F(s)又称为f(t)的象函数，而f(t)称为F(s)的原函数。
通常用“L[ ]”表示对方括号内的函数作拉氏变换。
拉普拉斯反变换求解方法一般采用部分分式展开法，就是把Ｆ（ｓ）分解成若干简单项之和，而这些简单项可以在拉氏变换表中找到，这种方法称为部分分式展开法。
或称为分解定理。
三．运算电路就是就是将时域电路中的参量及状态参数用拉氏变换后的运算形式表示的电路。
四、运算法对于一个线性时域动态电路来说，将其中的每一个元件用其复频域电路图表示，而不改变各元件间的联接关系，可获得该线性动态电路的复频域电路图。
根据复频域电路图，便可用运算法进行分析，其一般步骤如下：（1）根据换路前一瞬间电路的工作状态，计算电感电流和电容电压的初始植，从而确定电路的复频域模型中反映初始状态的附加电压源的电压或附加电流源的电流。
若已给出初始值，则不必再进行计算。
（2）绘出电路的复频域电路图。
（3）应用以前介绍的各种电路分析方法，对电路的复频域电路进行分析，求出响应的象函数。
（4）对已求的象函数进行拉氏变换，求出时域响应。
五，网络函数：线性电路在单一正弦激励下达到稳态时，其相应相量与激励相量之比定义为网络函数。
这里讨论在Ｓ域的网络函数。
其定义为零状态响应的象函数Ｒ（ｓ）与激励的象函数Ｅ（ｓ）之比定义为该电路的网络函数Ｈ（ｓ），网络函数的原函数是电路的单位冲击相应Ｈ（ｓ）网络函数的零、极点在ｓ平面的分布与网络的时域响应和正弦稳态响应有着密切的关系，只要极点全部位于左半平面，则好ｈ（ｔ）必随时间增长而衰减，故电路是稳定的。
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1 o
f( t) ... T/2 T
L[ f1 (t )] F1 (s)
f1 (t 2T ) (t 2T )
t
f (t ) f1 (t ) f1 (t T ) (t T )
L[ f (t )] F1 (s) e F1 (s) e
F1 (s)[e
(2) f (t ) δ ( t )的象函数
1 L[ (t )] s d (t ) 1 L (t ) L[ ] s 0 1 dt s 2 d f ( t ) ' 推广：L[ ] s[sF (s) f (0 )] f (0 ) 2 dt 2 ' s F (s) sf (0 ) f (0 )
st0
证 L f (t t0 ) (t t0 ) f (t t0 ) (t t0 )e st dt
f (t t0 )e st dt
t0
令 t t0
d e
e
st0
0
f ( )e
0
s ( t0 )
正变换 反变换
s
复频率
s j
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注意
① 积分域 0 积分下限从0 开始，称为0 拉氏变换 。
0 积分下限从0 + 开始，称为0 + 拉氏变换 。 0
今后讨论的均为0 拉氏变换。
F (s) 0 f (t )e dt 0 f (t )e dt 0 f (t )e dt
F(s)(频域象函数)
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2. 拉氏变换的定义
定义 [ 0 , ∞)区间函数 f(t)的拉普拉斯变换式：
简写 F (s) L f (t ) ， f (t ) L F (s)
-1
F ( s ) f (t )e st dt 0 1 c j st F ( s ) e d s f (t ) c j 2πj
st
( s c ) t
M dt sc
则f(t)的拉氏变换式F(s)总存在，因为总可 以找到一个合适的s 值使上式积分为有限值。 ③象函数F(s) 用大写字母表示,如I(s)，U(s) 原函数f (t) 用小写字母表示，如 i(t), u(t)
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3.典型函数的拉氏变换
0
f ( )e d
s
e
st0
F ( s)
st0
延迟因子
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例1 求矩形脉冲的象函数
解
f (t ) (t ) (t T )
1 o
f(t)
1 1 根据延迟性质 F (s) e sT s s
例2 求三角波的象函数
解
T f( t)
t
T
5.拉普拉斯的卷积定理
1 L[ f (t )] F1 ( s) sT 1 e
若： L[ f1 (t )] F1 (s) L[ f 2 (t )] F2 (s)
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则： L[ f1 (t ) f 2 (t )] L f1 (t ) f 2 ( )d
A1F1 (s) A2 F2 (s)
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结论 根据拉氏变换的线性性质，求函数与常数
相乘及几个函数相加减的象函数时，可以先求各 函数的象函数再进行相乘及加减计算。
例1 求 : f (t ) K (1 e at )的象函数
解
F (s) L[ K ] - LKe
解
dsin( t ) cos(t ) dt 1 d(sint ) cos(t ) dt
1 d L[cos t ] L (sin( t ) dt s 1 s 2 0 2 2 2 s s
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0
t
F1 ( s) F2 ( s)
t dt 证 L[ f1 (t ) f 2 (t )] e f ( t ) f ( ) d 1 2 0 0 st e f1 (t ) (t ) f 2 ( ) d dt 0 0 st
首页
重点 (1) 拉普拉斯变换的基本原理和性质 (2) 掌握用拉普拉斯变换分析线性电 路的方法和步骤 (3) 网络函数的概念 (4) 网络函数的极点和零点
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14.1 拉普拉斯变换的定义
1. 拉氏变换法
拉氏变换法是一种数学积分变换，其核心是 把时间函数f (t)与复变函数F(s)联系起来，把时域 问题通过数学变换为复频域问题，把时域的高阶 微分方程变换为频域的代数方程以便求解。应用 拉氏变换进行电路分析称为电路的复频域分析法， 又称运算法。
解
d (t ) (t ) dt
d n f (t ) n n 1 n 1 s F ( s ) s f ( 0 ) f (0 ) L[ ] n dt
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3.积分性质
若：L[ f (t )] F (s)
t 0
则： L[
t
0
证 令 L[ f (t )dt ] (s)
o T
f (t ) t[ (t ) (t T )]
1 1 sT T sT F (s) 2 2 e e s s s
f (t ) t (t ) (t T ) (t T ) T (t T )
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例3 求周期函数的拉氏变换
解 设f1(t)为一个周期的函数
1 f ( )d ] F (s) s
应用微分性质
F ( s) s ( s) f (t )dt
0
d t L[ f (t )] L f (t )dt dt 0 0
t t 0
F (s) (s) s
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例 求 : f (t ) t ( t )和f (t ) t 2 (t )的象函数
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例 一些常用的变换
①对数变换
A
乘法运算变换 B AB 为加法运算
lg A lg B lg AB
②相量法
正弦量 i1 i2 i 相量 1 I 2 I I
对应
时域的正弦运算 变换为复数运算
拉氏变换
f (t)(时域原函数)
f (t ) (t )
F ( s) L[ (t )] (t ) e dt (t )e dt 0
st
0
st
e
s0
1
0
(3)指数函数的象函数
f (t ) e
at
F ( s) L e
at
1 ( s a ) t e e e dt 0 0 sa 1 sa
st st st
0
②象函数F(s) 存在的条件：
0
f (t )e
st
dt
[0 ,0＋]区间 f(t) =(t)时此项 0
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如果存在有限常数M和 c 使函数 f (t) 满足：
f (t ) Mect t [0, )
0
f (t ) e dt 0 Me
at
例2
解
求 : f (t ) sin( t )的象函数
F (s) Lsin (ωt )
1 1 1 2 2 j s j s j s 2
K K Ka s s a s( s a)
1 j t j t L (e e ) 2j
F ( s) 0 f (t )e dt
st
(1)单位阶跃函数的象函数
f (t ) (t )
F ( s) L[ (t )] 0 (t )e dt 0 e dt
st
st
1 st 1 e 0 s s
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(2)单位冲激函数的象函数
sT
sT
2 sT
F1 (s)
e
2 sT
e
3 sT
1 F (s) ] sT 1 1 e
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T 对于本题脉冲序列 f1 (t ) (t ) (t ) 2 1 1 sT / 2 F1 (s) ( e ) s s 1 1 1 sT / 2 1 1 ) ( e ) ( L[ f (t )] sT / 2 sT s 1 e 1 e s s
第14章
线性动态电路的复频域分析
14.1 拉普拉斯变换的定义 14.2 拉普拉斯变换的基本性质 14.3 拉普拉斯反变换的部分分式展开 14.4 运算电路 14.5 用拉普拉斯变换法分析线性电路 14.6 网络函数的定义 14.7 网络函数的极点和零点 14.8 极点、零点与冲激响应 14.9 极点、零点与频率响应
st
L[ f 2 (t )] F2 (s)
证 L A1 f1 (t ) A2 f 2 (t ) A1 f1 (t ) A2 f 2 (t ) e st dt
A1 f1 (t )e dt A2 f 2 (t )e dt
st 0 0
0
令 x t 0