(浙江专版)2020年高考数学一轮复习 专题4.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数(测)
2020版高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形第一节任意角、弧度制及任意角的三角函数教案理(含解析)
第一节 任意角、弧度制及任意角的三角函数1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z}．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：[小题体验]1．(2019·海门一中月考)若角α满足α＝45°＋k ·180°，k ∈Z ，则角α的终边落在第________象限．答案：一、三2．(2018·南京调研)已知角α的终边过点P (－5,12)，则cos α＝________. 答案：－5133．已知半径为120 mm 的圆上，有一条弧的长是144 mm ，则该弧所对的圆心角的弧度数为________．答案：1.21．注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况． 4．三角函数的定义中，当P (x ，y )是单位圆上的点时有sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x ，但若不是单位圆时，如圆的半径为r ，则sin α＝y r ，cos α ＝x r ，tan α＝y x.[小题纠偏]1．(2019·如皋模拟)－10π3为第________象限角．答案：二2．若角α终边上有一点P (x,5)，且cos α＝x13(x ≠0)，则sin α＝________.答案：513考点一 角的集合表示及象限角的判定基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．(2019·海安模拟)若α是第二象限角，则α2是第______象限角．解析：∵α是第二象限角，。
2020版高考数学大一轮复习第四章三角函数、解三角形第1讲任意角和弧度制及任意角的三角函数课件文
弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略 (1)明确弧度制下弧长公式 l＝|α|r，扇形的面积公式是 S＝12lr＝ 12|α|r2(其中 l 是扇形的弧长，α 是扇形的圆心角)． (2)求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、弧长三个量中 的任意两个量． [注意] 运用弧度制下有关弧长、扇形面积公式的前提是角的度 量单位为弧度制．
【答案】 －23
角度二 三角函数值的符号判定
若 sin αtan α＜0，且tcaons αα＜0，则角 α 是( )
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
【解析】 由 sin αtan α＜0 可知 sin α，tan α 异号，则角 α 为 第二或第三象限角． 由tcaons αα＜0 可知 cos α，tan α 异号， 则角 α 为第三或第四象限角． 综上可知，角 α 为第三象限角． 【答案】 C
同分类轴线角：角的终边落在坐标轴上
③所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，可构成一个集合：
S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}或{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}
2．弧度制
(1)定义：把长度等于_半__径___长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的
角，正角的弧度数是_正__数___，负角的弧度数是_负__数___，零角的
法二：由于 M 中，x＝k2·180°＋45°＝k·90°＋45°＝45°·(2k＋1)， 2k＋1 是奇数；而 N 中，x＝k4·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°， k＋1 是整数，因此必有 M⊆N. (3)在[0，2π)内，终边落在阴影部分角的集合为(π4，56π)， 所以所求角的集合为(2kπ＋π4，2kπ＋56π)(k∈Z)． 【答案】 (1)A (2)B (3)(2kπ＋π4，2kπ＋56π)(k∈Z)
高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形4.1任意角蝗制及任意角的三角函数课件理
(2)已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α 用集合可表示为_(2_k_π_＋__π4_，__2_k_π_＋__56_π_)_(k_∈__Z__) . 答案 解析
在[0,2π)内，终边落在阴影部分角的集合为π4，56π， ∴所求角的集合为2kπ＋4π，2kπ＋56π(k∈Z).
弧度数是 答案 解析
π
π
A.3
B.6
C.－π3
D.－π6
将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角，故A、B不正确；
又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的 1 . 6
即为－16×2π＝－π3.
(2)若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为
π
π
A.6
B.3
C.3
D. 3
答案
解析
如图，等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形，
2.弧度制
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号
rad表示，读作弧度.正角的弧度数是一个 正数 ，负角的弧度数是一个
负数 ，零角的弧度数是 0 .
π
180
(2)角度制和弧度制的互化：180°＝ π
rad,1°＝180 rad，1 rad＝
π
.
1 (3)扇形的弧长公式：l＝ |α|·r ，扇形的面积公式：S＝ 2lr ＝
②若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的 弧度数. 解答
由题意知l＋2r＝20，即l＝20－2r， S＝12l·r＝12(20－2r)·r＝－(r－5)2＋25， 当r＝5时，S的最大值为25. 当 r＝5 时，l＝20－2×5＝10，α＝rl＝2(rad). 即扇形面积的最大值为25，此时扇形圆心角的弧度数为2 rad.
2020版高考数学一轮复习第四章第一节任意角、弧度制及任意角的三角函数教案文(含解析)
第一节任意角、弧度制及任意角的三角函数1．角的概念的推广(1)定义:角可以看成平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类错误!(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内,可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z｝．2．弧度制的定义和公式（1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,弧度记作rad。
(2)公式：角α的弧度|α｜＝错误!(l表示弧长)数公式角度与弧度①1°＝错误!rad；②1 rad＝错误!°的换算弧长公式l＝｜α|r扇形面积公S＝错误!lr＝错误!｜α|r2式3.任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y)，那么y叫做α的正弦，记作sin αx叫做α的余弦，记作cos α错误!叫做α的正切,记作tan α一＋＋＋各象限符号二＋－－三－－＋四－＋－三角函数线有向线段MP有向线段OM为有向线段AT为正弦线余弦线为正切线［小题体验］1．(2019·海门一中月考）若角α满足α＝45°＋k·180°，k ∈Z，则角α的终边落在第________象限．答案：一、三2．（2018·南京调研)已知角α的终边过点P（－5,12)，则cos α＝________.答案：－错误!3．已知半径为120 mm的圆上,有一条弧的长是144 mm,则该弧所对的圆心角的弧度数为________．答案：1.21．注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化,在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况．4．三角函数的定义中，当P(x，y）是单位圆上的点时有sin α＝y，cos α＝x，tan α＝yx，但若不是单位圆时，如圆的半径为r,则sinα＝错误!，cos α＝错误!，tan α＝错误!。
高考数学一轮复习---任意角和弧度制及任意角的三角函数
高考数学一轮复习---任意角和弧度制及任意角的三角函数一、基础知识 1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋2k π，k ∈Z }． 终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同． 2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：有关角度与弧度的两个注意点(1)角度与弧度的换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用． (2)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． 3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0)． (2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．二、常用结论汇总 (1)一个口诀三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦． (2)三角函数定义的推广设点P (x ，y )是角α终边上任意一点且不与原点重合，r ＝|OP |，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx (x ≠0)．(3)象限角(4)轴线角三、考点解析考点一 象限角及终边相同的角 例、(1)若角α是第二象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第三象限角D ．第二或第四象限角 (2)终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________． 跟踪训练1．集合},4{Z k k k ∈+≤≤ππαπα中的角所表示的范围(阴影部分)是( )2．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．考点二 三角函数的定义典例、已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，则1sin α＋1tan α＝________.[解题技法]用定义法求三角函数值的2种类型及解题方法：(1)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解． (2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解．跟踪训练1．已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋1cos α＝( )A ．－15 B.3715 C.3720 D.13152．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( ) A ．－45 B ．－35 C ．35 D ．45考点三 三角函数值符号的判定例、若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角[解题技法]三角函数值符号及角所在象限的判断：三角函数在各个象限的符号与角的终边上的点的坐标密切相关．sin θ在一、二象限为正，cos θ在一、四象限为正，tan θ在一、三象限为正.学习时首先把取正值的象限记清楚，其余的象限就是负的，如sin θ在一、二象限为正，那么在三、四象限就是负的．值得一提的是：三角函数的正负有时还要考虑坐标轴上的角，如sin π2＝1>0，cos π＝－1<0. 跟踪训练1．下列各选项中正确的是( )A ．sin 300°>0B ．cos(－305°)<0C ．tan ⎪⎭⎫⎝⎛-322π>0 D ．sin 10<0 2．已知点P (cos α，tan α)在第三象限，则角α的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限课后作业1．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．82．已知角α(0°≤α<360°)终边上一点的坐标为(sin 150°，cos 150°)，则α＝( ) A ．150° B ．135° C ．300° D ．60°3．若角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线y ＝－3x 上，则角α的取值集合是( )A.},32{Z k k ∈-=ππαα B.},322{Z k k ∈+=ππαα C.},32{Z k k ∈-=ππαα D.},3{Z k k ∈-=ππαα4．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－2,3] B ．(－2,3) C ．[－2,3) D ．[－2,3]5．在平面直角坐标系xOy 中，α为第二象限角，P (－3，y )为其终边上一点，且sin α＝2y4，则y 的值为( )A.3 B ．－5 C.5 D.3或56．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3 7．已知一个扇形的圆心角为3π4，面积为3π2，则此扇形的半径为________．8．在平面直角坐标系xOy 中，60°角终边上一点P 的坐标为(1，m )，则实数m 的值为________． 9．若α＝1 560°，角θ与α终边相同，且－360°＜θ＜360°，则θ＝________.10．在直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．11．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义．(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边上一点M ⎪⎭⎫ ⎝⎛m ,53，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值．12．已知α为第三象限角．(1)求角α2终边所在的象限；(2)试判断 tan α2sin α2cos α2的符号．提高训练1．若－3π4<α<－π2，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小是( )A ．sin α<tan α<cos αB ．cos α<sin α<tan αC ．sin α<cos α<tan αD ．tan α<sin α<cos α 2．已知角θ的终边过点P (－4a,3a )(a ≠0)．(1)求sin θ＋cos θ的值；(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号．。
2020版高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形第1讲任意角和弧度制及任意角的三角函数分层演练理含解析
第1讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( ) A.π3 B.π6C ．－π3D ．－π6解析：选C.将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．故A 、B 不正确，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的16.即为－16×2π＝－π3.2．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选C.设扇形的半径为r ，弧长为l ，则由扇形面积公式可得2＝12lr ＝12r 2α＝12r 2×4，求得r ＝1，l ＝αr ＝4，所以所求扇形的周长为2r ＋l ＝6.3．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( )A ．－12B.12 C ．－32D.32解析：选B.因为r ＝64m 2＋9， 所以cos α＝－8m64m 2＋9＝－45，所以m ＞0，所以4m 264m 2＋9＝125，因此m ＝12.4．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )解析：选C.当k ＝2n 时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2(n ∈Z )，此时α的终边和π4≤α≤π2的终边一样．当k ＝2n ＋1时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2(n ∈Z )，此时α的终边和π＋π4≤α≤π＋π2的终边一样．故选C.5．已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12在角θ的终边上，且θ∈[0，2π)，则θ的值为( )A.5π6B.2π3 C.11π6D.5π3解析：选C.因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12在第四象限，根据三角函数的定义可知tan θ＝－1232＝－33，又由θ∈[0，2π)可得θ＝116π，故选C. 6．已知点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，则角θ是第________象限角． 解析：因为点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，所以sin θcos θ<0，2cos θ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin θ>0，cos θ<0，所以θ为第二象限角． 答案：二7．顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上的角α，β的终边与圆心在原点的单位圆交于A ，B 两点，若α＝30°，β＝60°，则弦AB 的长为________．解析：由三角函数的定义得A (cos 30°，sin 30°)，B (cos 60°，sin 60°)，即A ⎝⎛⎭⎪⎫32，12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32. 所以|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－122 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫32－12＝6－22. 答案：6－228．函数y ＝2cos x －1的定义域为________． 解析：因为2cos x －1≥0，所以cos x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边的范围(如图阴影所示)．所以x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )． 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z ) 9．已知角α的终边上一点P (－3，m )(m ≠0)，且sin α＝2m4，求cos α，tan α的值．解：设P (x ，y )．由题设知x ＝－3，y ＝m ， 所以r 2＝|OP |2＝(－3)2＋m 2(O 为原点)，r ＝3＋m 2. 所以sin α＝m r＝2m 4＝m 22， 所以r ＝3＋m 2＝22，3＋m 2＝8，解得m ＝± 5. 当m ＝5时，r ＝22，x ＝－3，y ＝5， 所以cos α＝－322＝－64，tan α＝－153；当m ＝－5时，r ＝22，x ＝－3，y ＝－5， 所以cos α＝－322＝－64，tan α＝153.10．已知扇形AOB 的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB . 解：设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α， (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12lr ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3，l ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝6，所以α＝l r ＝23或α＝lr＝6.(2)因为2r ＋l ＝8， 所以S 扇＝12lr ＝14l ·2r≤14(l ＋2r 2)2＝14×(82)2＝4， 当且仅当2r ＝l ，即α＝lr＝2时，扇形面积取得最大值4. 所以圆心角α＝2，弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1.1．若α是第三象限角，则y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2sinα2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2cosα2的值为( )A ．0B ．2C ．－2D ．2或－2解析：选A.因为α是第三象限角， 所以2k π＋π＜α＜2k π＋32π(k ∈Z )，所以k π＋π2＜α2＜k π＋3π4(k ∈Z )，所以α2是第二象限角或第四象限角．当α2是第二象限角时， y ＝sin α2sin α2－cosα2cosα2＝0，当α2是第四象限角时， y ＝－sin α2sin α2＋cosα2cosα2＝0.故选A.2．若－3π4＜α＜－π2，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小是( )A ．sin α＜tan α＜cos αB ．cos α＜sin α＜tan αC ．sin α＜cos α＜tan αD ．tan α＜sin α＜cos α解析：选C.如图所示，作出角α的正弦线MP ，余弦线OM ，正切线AT ，观察可得，AT ＞OM ＞MP ，故有sin α＜cos α＜tan α.3．若两个圆心角相同的扇形的面积之比为1∶4，则这两个扇形的周长之比为________． 解析：设两个扇形的圆心角的弧度数为α，半径分别为r ，R (其中r ＜R )，则12αr 212αR 2＝14，所以r ∶R ＝1∶2，两个扇形的周长之比为2r ＋αr2R ＋αR ＝1∶2.答案：1∶24．已知x ∈R ，则使sin x >cos x 成立的x 的取值范围是________．解析：在[0，2π]区间内，由三角函数线可知，当x ∈(π4，5π4)时，sin x >cos x ，所以在(－∞，＋∞)上使sin x >cos x 成立的x 的取值范围是(2k π＋π4，2k π＋5π4)，k ∈Z .答案：(2k π＋π4，2k π＋5π4)，k ∈Z5．若角θ的终边过点P (－4a ，3a )(a ≠0)． (1)求sin θ＋cos θ的值；(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号． 解：(1)因为角θ的终边过点P (－4a ，3a )(a ≠0)， 所以x ＝－4a ，y ＝3a ，r ＝5|a |，当a ＞0时，r ＝5a ，sin θ＋cos θ＝－15.当a ＜0时，r ＝－5a ，sin θ＋cos θ＝15.(2)当a ＞0时，sin θ＝35∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos θ＝－45∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则cos(sin θ)·sin(cos θ) ＝cos 35·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＜0； 当a ＜0时，sin θ＝－35∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，cos θ＝45∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos(sin θ)·sin(cos θ) ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35·sin 45＞0. 综上，当a ＞0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负；当a ＜0时，cos(sin θ)·sin (cos θ)的符号为正．6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的始边与x 轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A 点，它的终边与单位圆相交于x 轴上方一点B ，始边不动，终边在运动．(1)若点B 的横坐标为－45，求tan α的值；(2)若△AOB 为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合；(3)若α∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，2π3，请写出弓形AB 的面积S 与α的函数关系式．解：(1)由题意可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35，根据三角函数的定义得tan α＝y x ＝－34.(2)若△AOB 为等边三角形，则∠AOB ＝π3，故与角α终边相同的角β的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪⎪β＝π3＋2k π，k ∈Z . (3)若α∈⎝⎛⎦⎥⎤0，2π3，则S 扇形＝12αr 2＝12α，而S △AOB ＝12×1×1×sin α＝12sin α，故弓形的面积S ＝S 扇形－S △AOB ＝12α－12sin α，α∈⎝⎛⎦⎥⎤0，2π3.。
高三理数一轮复习 第四章 三角函数、解三角形4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数
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(2)由题意,得 sin x≥√23,作直线 y=√23交单位圆于 A,B 两点,连 接 OA,OB,则 OA 与 OB 围成的区域(图中阴影部分)即为角 x 的终
Байду номын сангаас
边的范围,故满足条件的角 x 的集合为
������
2������π
+
π 3
≤
������
≤ 2������π +
2π 3
,������∈Z
考点1
考点2
考点3
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(3)方法一(角的集合表示):
∵2kπ+π<α<2kπ+32π(k∈Z),
∴kπ+π2
<
������ 2
<kπ+34π
(k∈Z).
当
k=2n(n∈Z)时,2nπ+π2
<
������ 2
<2nπ+34π
,
������ 2
是第二象限角;
当 k=2n+1(n∈Z)时,2nπ+3π < ������<2nπ+7π , ������是第四象限角.
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知识梳理 双基自测
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5.(教材例题改编P13例3)若角θ同时满足sin θ<0,且tan θ<0,则角θ
的终边一定落在第
象限.
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由sin θ<0,可知θ的终边可能位于第三或第四象限,也可能与y轴的非正半 轴重合.由tan θ<0,可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限,故θ的终边
.
思考角的终边在一条直线上与在一条射线上有什么不同?已知角
2020版高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形第1讲任意角和弧度制及任意角的三角函数教案理(含解析)
第1讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数基础知识整合1．角的概念(1)分类⎩⎨⎧按旋转方向不同分为□01正角、□02负角、□03零角.按终边位置不同分为□04象限角和□05轴线角.(2)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }．2．弧度的定义和公式(1)定义：长度等于□06半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：①弧度与角度的换算：360°＝□072π弧度；180°＝□08π弧度；②弧长公式：l ＝□09|α|r ；③扇形面积公式：S 扇形＝□1012lr ＝□1112|α|r 2. 说明：②③公式中的α必须为弧度制！ 3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝□12y ，cos α＝□13x ，tan α＝□14y x(x ≠0)． (2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示. 正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的□15正弦线，□16余弦线和□17正切线．1．三角函数值的符号规律三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 2．任意角的三角函数的定义(推广)设P (x ，y )是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O 的距离为r ，则sin α＝y r，cos α＝xr ，tan α＝y x(x ≠0)．1．(2019·山东模拟)设角α的终边与单位圆相交于点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45，则sin α－cos α的值是( )A ．－75B ．－15C.15D.75答案 A解析 由题意知sin α＝－45，cos α＝35，所以sin α－cos α＝－45－35＝－75.故选A.2．若sin θcos θ<0，则角θ是( ) A ．第一或第二象限角 B ．第二或第三象限角 C ．第三或第四象限角 D ．第二或第四象限角答案 D解析 因为sin θcos θ<0，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin θ>0，cos θ<0或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ<0，cos θ>0.所以角θ是第二或第四象限角．故选D.3．单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为( ) A ．10π B ．9π C.9π10D.10π9答案 D解析 单位圆的半径r ＝1,200°的弧度数是200×π180＝10π9，由弧度数的定义得10π9＝l r ，所以l ＝10π9. 4．设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝( )A.43B.34 C ．－34D ．－43 答案 D解析 ∵α是第二象限角，∴x ＜0.又由题意知xx 2＋42＝15x ，解得x ＝－3.∴tan α＝4x＝－43.5．(2019·潍坊模拟)集合α⎪⎪⎪⎭⎬⎫k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )答案 C解析 当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α表示的范围与5π4≤α≤3π2表示的范围一样．6．(2019·三明模拟)若420°角的终边所在直线上有一点(－4，a )，则a 的值为________．答案 －4 3解析 由三角函数的定义有：tan420°＝a－4.又tan420°＝ta n(360°＋60°)＝tan60°＝3，故a－4＝3，得a ＝－4 3.核心考向突破考向一 角的概念及表示 例1 (1)设集合M ＝，N＝，判断两集合的关系( )A ．M ＝NB ．M NC ．N MD ．M ∩N ＝∅答案 B解析 解法一：由于M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k2·180°＋45°，k ∈Z＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M N .解法二：在集合M 中，x ＝k2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝45°·(2k ＋1)，2k ＋1是奇数；在集合N 中，x ＝k4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M N .故选B.(2)设角α是第二象限的角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，则α2是第________象限角．答案 三解析 因为α是第二象限角，所以α2是第一或第三象限角．又因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，所以cos α2<0.故α2是第三象限角．触类旁通终边相同角的集合的应用利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需角．即时训练 1.(2019·绵阳质检)点A (sin2019°，cos2019°)在直角坐标平面上位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 C解析 sin2019°＝sin219°＝－sin39°＜0，cos2019°＝cos219°＝－cos39°＜0.选C.2．若角α和β的终边关于y 轴对称，则必有( ) A ．α＋β＝π2B ．α＋β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋12π，k ∈ZC ．α＋β＝2k π，k ∈ZD ．α＋β＝(2k ＋1)π，k ∈Z 答案 D解析 如图所示，设0<α′<π，0<β′<π分别是和角α，β终边相同的角，则由角α′和β′的终边关于y 轴对称，可得α′＋β′＝π，由终边相同的角可得α＋β＝(2k ＋1)π，k ∈Z .考向二 三角函数的定义及其应用角度1 利用定义求三角函数的值例2 (1)已知角α的终边经过点P (－4a,3a )(a <0)，则2sin α＋cos α的值为( ) A ．－25B.25 C ．0 D.25或－25答案 A解析 因为x ＝－4a ，y ＝3a ，a ＜0，所以r ＝－5a ，所以sin α＝－35，cos α＝45，2sin α＋cos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＋45＝－25.故选A.(2)(2019·福州检测)若角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α和tan α的值．解 设α终边上任一点为P (－4a,3a )，a ≠0，当a >0时，r ＝5a ，sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34；当a <0时，r ＝－5a ，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34.角度2 判断三角函数值的符号例3 (1)(2019·吉林模拟)若sin αtan α＜0，且cos αtan α＜0，则角α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角答案 C解析 角α在第三象限时，sin α＜0，cos α＜0，tan α＞0，满足题意．选C. (2)(2018·汕头模拟)sin2·cos3·tan4的值( ) A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0 D ．不存在答案 A解析 ∵π2＜2＜3＜π＜4＜3π2，∴sin2＞0，cos3＜0，tan4＞0.∴sin2·cos3·tan4＜0.选A.角度3 利用三角函数的定义求参数例4 (1)已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( )A ．－12 B.12 C ．－32 D.32答案 B解析 因为r ＝64m 2＋9，所以cos α＝－8m64m 2＋9＝－45，所以m >0，4m 264m 2＋9＝125，因此m ＝12.(2)(2019·莆田模拟)若角α的终边上有一点P (－4，a )，且sin α·cos α＝34，则a 的值为( )A ．43B ．±4 3C ．－43或－433D. 3答案 C解析 由三角函数的定义得sin α·cos α＝a－2＋a2·－4－2＋a2＝－4a －2＋a 2＝34，即3a 2＋16a ＋163＝0，解得a ＝－43或a ＝－433.故选C. 触类旁通三角函数定义问题的常见类型及解题策略(1)已知角α终边上一点P 的坐标，可求角α的三角函数值：先求点P 到原点的距离，再用三角函数的定义求解．已知角α的某三角函数值，求角α终边上一点P 的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值.三角函数值的符号及角的终边位置的判断.已知一角的三角函数值α，cos α，tan α中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角终边的位置.注意终边在坐标轴上的特殊情况.即时训练 3.(2019·温州模拟)若角α的终边过点P (2sin30°，－2cos30°)，则sin α的值为( )A.12 B ．－12C ．－32D ．－33答案 C解析 ∵x ＝2sin30°＝1，y ＝－2cos30°＝－3，∴r ＝|OP |＝x 2＋y 2＝2，∴sin α＝y r ＝－32. 4．设α是第四象限角，则以下函数值一定为负值的是( ) A ．tan α2B ．sin α2C ．cos α2D ．cos2α答案 A解析 因为2k π－π2<α<2k π(k ∈Z )，所以k π－π4<α2<k π，4k π－π<2α<4k π.故cos2α，cos α2，sin α2的值正负不定．当k 为偶数时，α2是第四象限角；当k 为奇数时，α2是第二象限角．因此tan α2<0.故选A.5．若α是第二象限角，其终边上一点P (x ，5)，且cos α＝24x ，则sin α的值是( ) A.104 B.64 C.24 D ．－104答案 A解析 r ＝|PO |＝x 2＋5，由三角函数的定义知cos α＝x x 2＋5＝24x ，则x 2＋5＝8.sin α＝5x 2＋5＝58＝104.故选A. 考向三 扇形的弧长、面积公式例5 已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l ， (1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l ；(2)若扇形周长为20 cm ，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 解 (1)∵α＝60°＝π3 rad ，R ＝10 cm ，∴l ＝α·R ＝π3×10＝10π3(cm)．(2)由题意得l ＋2R ＝20，∴l ＝20－2R .∴S 扇＝12lR ＝12(20－2R )·R ＝－R 2＋10R ＝－(R －5)2＋25.∴当R ＝5时，S 扇有最大值25. 此时l ＝20－2×5＝10，α＝l R ＝105＝2 rad. ∴当α＝2 rad 时，扇形面积最大． 触类旁通弧长和扇形面积的计算方法(1)在弧度制下，记住下列公式①弧长公式：l ＝|α|r ；②扇形的面积公式：S ＝12lr ＝12|α|r 2(其中l 是扇形的弧长，α是扇形的圆心角，r 是扇形的半径)．求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量. 即时训练 6.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是( )A ．2B ．2sin1 C.2sin1D ．sin2答案 C解析 ∵2R sin1＝2，∴R ＝1sin1，l ＝|α|R ＝2sin1.故选C. 7．如果一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的32倍，则该弧所对的圆心角是原来的________倍．答案 3解析 设圆的半径为r ，弧长为l ，则其弧度数为l r.将半径变为原来的一半，弧长变为原来的32倍，则弧度数变为32l 12r ＝3·lr，即弧度数变为原来的3倍．。
2020版高考数学(文)一轮复习任意角和弧度制及任意角的三角函数
第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数一、基础知识批注——理解深一点1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋2k π，k ∈Z }．终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：角α的弧度数公式 |α|＝lr (l 表示弧长) 角度与弧度的换算①1°＝π180rad ；②1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π° 弧长公式 l ＝|α|r 扇形面积公式S ＝12lr ＝12|α|r 2有关角度与弧度的两个注意点(1)角度与弧度的换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．(2)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． 3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0)．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．二、常用结论汇总——规律多一点(1)一个口诀三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦．(2)三角函数定义的推广设点P(x，y)是角α终边上任意一点且不与原点重合，r＝|OP|，则sin α＝yr，cos α＝xr，tan α＝yx(x≠0)．(3)象限角(4)轴线角三、基础小题强化——功底牢一点(一)判一判(对的打“√”，错的打“×”)(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．()(2)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．()(3)不相等的角终边一定不相同．()(4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.()答案：(1)×(2)√(3)×(4)√(二)选一选1．角－870°的终边所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选C ∵－870°＝－1 080°＋210°，∴角－870°的终边在第三象限． 2．已知角α的终边过点P (－1,2)，则sin α＝( ) A.55B.255C ．－55D ．－255解析：选B 因为|OP |＝(－1)2＋22＝5(O 为坐标原点)，所以sin α＝25＝255.3．若角θ同时满足sin θ<0且tan θ<0，则角θ的终边一定位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：选D 由sin θ<0，可知θ的终边可能位于第三象限或第四象限，也可能与y 轴的非正半轴重合．由tan θ<0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，故θ的终边只能位于第四象限．(三)填一填4．已知扇形的圆心角为60°，其弧长为2π，则此扇形的面积为________． 解析：设此扇形的半径为r ，由题意得π3r ＝2π，所以r ＝6，所以此扇形的面积为12×2π×6＝6π.答案：6π5．在0到2π范围内，与角－4π3终边相同的角是________． 解析：与角－4π3终边相同的角是2k π＋⎝⎛⎭⎫－4π3，k ∈Z ，令k ＝1，可得在0到2π范围内与角－4π3终边相同的角是2π3.答案：2π3考点一 象限角及终边相同的角[典例] (1)若角α是第二象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第三象限角D ．第二或第四象限角(2)终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________． [解析] (1)∵α是第二象限角， ∴π2＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z ， ∴π4＋k π<α2<π2＋k π，k ∈Z. 当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角．故选C.(2)如图，在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴的夹角是π3，在[0,2π)内，终边在直线y ＝3x 上的角有两个：π3，4π3；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－2π3，－5π3，故满足条件的角α构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π3，－2π3，π3，4π3.[答案] (1)C (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π3，－2π3，π3，4π3[解题技法]1．象限角的2种判断方法 2．求θn或nθ(n ∈N *)所在象限的步骤(1)将θ的范围用不等式(含有k ，且k ∈Z)表示； (2)两边同除以n 或乘以n ；(3)对k 进行讨论，得到θn 或nθ(n ∈N *)所在的象限．[提醒] 注意“顺转减，逆转加”的应用，如角α的终边逆时针旋转180°可得角α＋180°的终边，类推可知α＋k ·180°(k ∈Z)表示终边落在角α的终边所在直线上的角．[题组训练]1．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪k π≤α≤k π＋π4，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )解析：选B 当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π≤α≤2n π＋π4(n ∈Z )，此时α的终边和0≤α≤π4的终边一样，当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋π≤α≤2n π＋π＋π4(n ∈Z )，此时α的终边和π≤α≤π＋π4的终边一样． 2．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________． 解析：所有与45°终边相同的角可表示为： β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )，则令－720°≤45°＋k ×360°<0°(k ∈Z )， 得－765°≤k ×360°<－45°(k ∈Z )， 解得－765360≤k <－45360(k ∈Z )，从而k ＝－2或k ＝－1， 代入得β＝－675°或β＝－315°. 答案：－675°或－315°考点二 三角函数的定义[典例] 已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，则1sin α＋1tan α＝________.[解析] ∵角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，∴cos α＝－xx 2＋36＝－513，解得x ＝52或x ＝－52(舍去)，∴P ⎝⎛⎭⎫－52，－6，∴sin α＝－1213， ∴tan α＝sin αcos α＝125，则1sin α＋1tan α＝－1312＋512＝－23.[答案] －23[解题技法]用定义法求三角函数值的2种类型及解题方法(1)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解．(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解．[题组训练]1．已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋1cos α＝( ) A ．－15B.3715C.3720D.1315解析：选D ∵角α的终边经过点(3，－4)，∴sin α＝－45，cos α＝35，∴sin α＋1cos α＝－45＋53＝1315. 2．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )A ．－45B ．－35C ．35D ．45解析：选B 设P (t,2t )(t ≠0)为角θ终边上任意一点，则cos θ＝t5|t |.当t >0时，cos θ＝55；当t <0时，cos θ＝－55.因此cos 2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35. 考点三 三角函数值符号的判定 [典例] 若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角[解析] 由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号， 则α为第二象限角或第三象限角． 由cos αtan α<0可知cos α，tan α异号， 则α为第三象限角或第四象限角． 综上可知，α为第三象限角． [答案] C[解题技法] 三角函数值符号及角所在象限的判断三角函数在各个象限的符号与角的终边上的点的坐标密切相关．sin θ在一、二象限为正，cos θ在一、四象限为正，tan θ在一、三象限为正.学习时首先把取正值的象限记清楚，其余的象限就是负的，如sin θ在一、二象限为正，那么在三、四象限就是负的．值得一提的是：三角函数的正负有时还要考虑坐标轴上的角，如sin π2＝1>0，cos π＝－1<0.[口诀归纳]三角符号问象限，终边坐标紧相关； 正弦余弦和正切，一二一四和一三； 正值象限先记清，其余象限负数定．[题组训练]1．下列各选项中正确的是( ) A ．sin 300°>0 B ．cos(－305°)<0 C ．tan ⎝⎛⎭⎫－22π3>0D ．sin 10<0解析：选D 300°＝360°－60°，则300°是第四象限角，故sin 300°<0；－305°＝－360°＋55°，则－305°是第一象限角，故cos(－305°)>0；－22π3＝－8π＋2π3，则－22π3是第二象限角，故tan ⎝⎛⎭⎫－22π3<0；3π<10<7π2，则10是第三象限角，故sin 10<0，故选D. 2．已知点P (cos α，tan α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧cos α<0，tan α<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧cos α<0，sin α>0，所以角α的终边在第二象限．[课时跟踪检测]A 级——保大分专练1．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选C 设扇形的半径为r (r >0)，弧长为l ，则由扇形面积公式可得2＝12lr ＝12|α|r 2＝12×4×r 2，解得r ＝1，l ＝|α|r ＝4，所以所求扇形的周长为2r ＋l ＝6. 2．(2019·石家庄模拟)已知角α(0°≤α<360°)终边上一点的坐标为(sin 150°，cos 150°)，则α＝( )A ．150°B ．135°C ．300°D ．60°解析：选C 由sin 150°＝12>0，cos 150°＝－32<0，可知角α终边上一点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，－32，故该点在第四象限，由三角函数的定义得sin α＝－32，因为0°≤α<360°，所以角α为300°.3．(2018·长春检测)若角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线y ＝－3x 上，则角α的取值集合是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝2k π－π3，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝2k π＋2π3，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪ α＝k π－2π3，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝k π－π3，k ∈Z 解析：选D 当α的终边在射线y ＝－3x (x ≤0)上时，对应的角为2π3＋2k π，k ∈Z ，当α的终边在射线y ＝－3x (x ≥0)上时，对应的角为－π3＋2k π，k ∈Z ，所以角α的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝k π－π3，k ∈Z . 4．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3]解析：选A 由cos α≤0，sin α＞0可知，角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2＞0，解得－2＜a ≤3.5．在平面直角坐标系xOy 中，α为第二象限角，P (－3，y )为其终边上一点，且sin α＝2y4，则y 的值为( ) A. 3 B ．－ 5 C. 5 D.3或5解析：选C 由题意知|OP |＝3＋y 2，则sin α＝y 3＋y 2＝2y4，解得y ＝0(舍去)或y ＝±5，因为α为第二象限角，所以y >0，则y ＝ 5.6．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3解析：选B 由α＝2k π－π5(k ∈Z )及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，因为角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0.所以y ＝－1＋1－1＝－1. 7．已知一个扇形的圆心角为3π4，面积为3π2，则此扇形的半径为________． 解析：设此扇形的半径为r (r >0)，由3π2＝12×3π4×r 2，得r ＝2. 答案：28．(2019·江苏高邮模拟)在平面直角坐标系xOy 中，60°角终边上一点P 的坐标为(1，m )，则实数m 的值为________．解析：∵60°角终边上一点P 的坐标为(1，m )，∴tan 60°＝m 1，∵tan 60°＝3，∴m ＝ 3.答案： 39．若α＝1 560°，角θ与α终边相同，且－360°＜θ＜360°，则θ＝________. 解析：因为α＝1 560°＝4×360°＋120°，所以与α终边相同的角为360°×k ＋120°，k ∈Z ， 令k ＝－1或k ＝0，可得θ＝－240°或θ＝120°. 答案：120°或－240°10．在直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．解析：依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°， 设点B 坐标为(x ，y )，则x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B (－1，3)． 答案：(－1，3)11．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义．(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边上一点M ⎝⎛⎭⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值． 解：(1)由1|sin α|＝－1sin α，得sin α<0，由lg(cos α)有意义，可知cos α>0， 所以α是第四象限角．(2)因为|OM |＝1，所以⎝⎛⎭⎫352＋m 2＝1，解得m ＝±45. 又因为α是第四象限角，所以m <0， 从而m ＝－45，sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45.12．已知α为第三象限角． (1)求角α2终边所在的象限；(2)试判断 tan α2sin α2cos α2的符号．解：(1)由2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z ， 得k π＋π2＜α2＜k π＋3π4，k ∈Z ，当k 为偶数时，角α2终边在第二象限；当k 为奇数时，角α2终边在第四象限．故角α2终边在第二或第四象限．(2)当角α2在第二象限时，tan α2＜0，sin α2＞0, cos α2＜0，所以tan α2sin α2cos α2取正号；当角α2在第四象限时，tan α2＜0，sin α2＜0, cos α2＞0， 所以 tan α2sin α2cos α2也取正号．因此tan α2sin α2cos α2取正号．B 级——创高分自选1．若－3π4<α<－π2，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小是( )A ．sin α<tan α<cos αB ．cos α<sin α<tan αC ．sin α<cos α<tan αD ．tan α<sin α<cos α解析：选C 如图所示，作出角α的正弦线MP ，余弦线OM ，正切线AT ，因为－3π4<α<－π2，所以α终边位置在图中的阴影部分，观察可得AT >OM >MP ，故有sin α<cos α<tan α.2．已知点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，且α∈[0,2π]，则角α的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫π，5π4 B.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4 C.⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫5π4，3π2 D.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫3π4，π解析：选B 因为点P 在第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧ sin α－cos α>0，tan α>0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin α>cos α，tan α>0. 由tan α>0可知角α为第一或第三象限角，画出单位圆如图．又sin α>cos α，用正弦线、余弦线得满足条件的角α的终边在如图所示的阴影部分(不包括边界)，即角α的取值范围是⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4. 3．已知角θ的终边过点P (－4a,3a )(a ≠0)．(1)求sin θ＋cos θ的值；(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号．解：(1)因为角θ的终边过点P (－4a,3a )(a ≠0)，所以x ＝－4a ，y ＝3a ，r ＝5|a |，当a ＞0时，r ＝5a ，sin θ＋cos θ＝35－45＝－15； 当a ＜0时，r ＝－5a ，sin θ＋cos θ＝－35＋45＝15. (2)当a ＞0时，sin θ＝35∈⎝⎛⎭⎫0，π2， cos θ＝－45∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， 则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos 35·sin ⎝⎛⎭⎫－45＜0； 当a ＜0时，sin θ＝－35∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， cos θ＝45∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos ⎝⎛⎭⎫－35·sin 45＞0. 综上，当a ＞0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负；当a＜0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为正．。
高考数学一轮复习 专题4-1 任意角和弧度制及任意角的三角函数(测)
【2019最新】精选高考数学一轮复习 专题4-1 任意角和弧度制及任意角的三角函数（测）班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【浙江普通高校招生学业水平考试】若点在角的终边上，则（ ）(3,4)P -αcos α= A. B. C. D.35-3545-45【答案】A. 【解析】由任意角的三角函数的定义可知，，故选A.3cos 5x r α==- 2.若，且，则角是（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第四象限D. 第三象限 【答案】D3.【浙江省诸暨中学段考】设角的终边经过点，那么（ ）θ()3,4P -sin 2cos θθ+= A. B. C. D. 1515-25-25【答案】C【解析】试题分析：根据三角函数定义知： ，所以原式，答案为：C.43sin ,cos 55θθ====-4322555⎛⎫=+⨯-=- ⎪⎝⎭4.【浙江省台州中学统练】已知2弧度的圆心角所对的弦长为1，那么这个圆心角所对的弧长是A. B. C. D.【答案】C【解析】设圆的半径为,依题意有,故所对弧长,故选.5．【浙江省××市2018年期末复习】已知角的终边与单位圆的交点，则（）A. B. C. D.【答案】C6.若是第三象限角，且，则是A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角【答案】D【解析】分析：根据是第三象限角，写出角的集合，进一步得到的集合，再根据得到答案详解：是第三象限角，则即是第二象限或者第四象限角，，是第四象限角故选7．【浙江省××市期末】已知角的终边经过点，则角的余弦值为（）α()3,4P-αA. B. C. D. 3535-4545-【答案】B【解析】∵角的终边经过点α()P-3,4∴,x3y4r5，，=-===∴3α=-cos5故选：B8．设角是第二象限角，为其终边上的一点，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据任意角α的余弦的定义和已知条件可得x的值，再由sinα的定义求得结果．详解：由题意可得x＜0，r=|OP|=，故 cosα=．再由可得x=﹣3，∴sinα=.9．【浙江省××市期末】点A(sin 2018°，cos2018°)位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C10．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小无关；④若，则与的终边相同；sin sinαβ=αβ⑤若，则是第二或第三象限的角．cos0θ<θ其中正确命题的个数是 ( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】试题分析：由终边相同的角的定义易知①是错误的；②的描述中没有考虑直角，直角属于的正半轴上的角，故②是错误的；④中与的终边不一定相同，比如；⑤中没有考虑轴的负半轴上的角.只有③是正确的.y αβ5,66ππαβ==x 考点：角的推广与象限角.二、填空题：本大题共7小题，共36分．11.【浙江省××市统考】弧度制是数学上一种度量角的单位制，数学家欧拉在他的著作《无穷小分析概论》中提出把圆的半径作为弧长的度量单位.已知一个扇形的弧长等于其半径长，则该扇形圆心角的弧度数是__________． 【答案】1【解析】设扇形的弧长和半径长为，由弧度制的定义可得，该扇形圆心角的弧度数是.l 1l lα==12. 【2018届河南省××市高三第三次统考】已知角的始边与轴的非负半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点，则__________．【答案】10.【解析】分析：首先利用三角函数的定义式，结合题中所给的角的终边所过的点的坐标求得，之后借助于同角三角函数关系式，将关于正余弦分式形式的式子上下同除，得到关于切的式子，代入求值即可得结果.详解：根据角的终边过，利用三角函数的定义式，可以求得，所以有，故答案是10.13.已知角的终边经过点，则角为第__________象限角，与角终边相同的最小正角是__________.α55sin ,cos 66P ππ⎛⎫⎪⎝⎭αα【答案】四 53π 【解析】试题分析:因,故为第四象限角；因,故,则由于是第四象限角,故当时, .故应填答案四；.)23,21(-P α3tan -=α3ππα-=k α2=k 3532min πππα=-=53π14.【2018届××市十一学校三模】已知，则__________(填“>”或 “<”)；__________(用表示)【答案】【解析】分析：（1）根据正弦函数的单调性和特殊角的三角函数值判断即可； （2）根据同角的三角函数关系与两角和的正弦公式求出的值.解析：（1），且，；（2）又..故答案为：（1）；（2）.15.【浙江省××市十五校联合体2017-2018学年高一期中联考】已知扇形的周长为8，则扇形的面积的最大值是_______，此时弦长_______.【答案】 4【解析】由题意，可设扇形半径为，则弧长，圆心角，扇形面积，所以当时，有，此时弦长，从而问题得解.16.【浙江省台州中学期中】已知扇形 (为圆心)的周长为,半径为,则__________，扇形的面积是__________．【答案】 2 1【解析】分析：扇形 (为圆心)的周长为,半径为,可求得扇形的弧长，根据弧度制的定义以及扇形面积公式可得结果.17．已知点在角的终边上，则__________．【答案】.【解析】分析：根据三角函数的定义计算．详解：∵，∴，∴，，∴．点睛：本题考查三角函数的定义，掌握三角函数定义是解题基础．设是角终边上一点，，则．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．已知角的终边上有一点P（，m），且，求的值.θ1sin2θ=m【答案】1m=【解析】试题分析：根据三角函数的定义得到，进而求出参数值，根据角的象限得到最终参数值.1 sin2θ==解析：1sin2θ==∴∴又∵∴2243m m=+21m=0m>1m=19.【2018届浙江省××市第二次检测】已知角 终边经过点 ， ，求 ， ， .α()4sin 3sin θθ-，32πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin αcos αtan α 【答案】见解析【解析】试题分析：由 ，可得 ，则 ， ，32θππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，sin 0θ<4sin x θ=3sin y θ=-∴ ，根据三角函数的定义可得 ， ， 的值.5sin r θ==-sin αcos αtan α试题解析： ，∴ ，32θππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，sin 0θ< ∵ ， ，4sin x θ=3sin y θ=-∴ ，5sin r θ==- ∴ ， ， 3sin 5y r α==4cos 5x r α==3tan 4y x α==- 20.【2018届黑龙江省齐齐哈尔八中8月月考】已知角的终边上有一点的坐标是，其中，求， ， .α()3,4P a a 0a ≠sin αcos αtan α【答案】434434 553553sin cos tan sin cos tan αθαααα＝，＝，＝或＝－，＝－，＝【解析】试题分析：由条件利用任意角的三角函数的定义求得α的三角函数的值，从而得出结论 试题解析： .5r a ＝＝当时， ，0a ＞5r a ＝ ∴，44335555y a x a sin cos r a r a αα＝＝＝，＝＝＝4433y a tan x a α＝＝＝；当a ＜0时，r ＝－5a ，∴sin α＝－，cos α＝－，tan α＝.453543综上可知， 434434.553553sin cos tan sin cos tan αααααα＝，＝，＝或＝－，＝－，＝21.(1)一个半径为的扇形，若它的周长等于，那么扇形的圆心角是多少弧度？扇形面积是多少？r r π(2)角的终边经过点P(，4)且cos=,则的值θb -θ35-sin tan θθ+ 【答案】(1) , (2) -2π()21-22S r π=扇形815-【解析】试题分析：(1)设扇形的圆心角，利用弧长公式得到弧长，代入题中条件，求出圆心角的弧度数，利用扇形面积公式求扇形的面积.(2)先求出，利用的值求出，再求出的值，相加即可.OP cos θb sin ,cos θθ 22.已知角的终边上有一点，．（1）若，求实数的值；（2）若且，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由即可得的值；（2）由条件知角为第三象限角，从而得纵坐标小于0，得解. 试题解析：（1）依题意得,，所以 ．（2）由且得，为第三象限角，故，所以．。
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2020 · 第01节 任意角和弧度制及任意角的三角函数 班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________ 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.【浙江普通高校招生学业水平考试】若点(3,4)P在角的终边上，则cos（ ）
A.35 B.35 C.45 D.45 【答案】A. 【解析】 由任意角的三角函数的定义可知，3cos5xr，故选A.
2.若，且，则角是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第四象限 D. 第三象限
【答案】D
3.【浙江省诸暨中学段考】设角的终边经过点3,4P，那么sin2cos（ ） A. 15 B. 15 C. 25 D. 25 【答案】C 【解析】试题分析：根据三角函数定义知： 22224433sin,cos553434，所以原
式4322555，答案为：C. 4.【浙江省台州中学统练】已知2弧度的圆心角所对的弦长为1，那么这个圆心角所对的弧长是 2020 · A. B. C. D. 【答案】C
【解析】设圆的半径为,依题意有,故所对弧长,故选. 5．【浙江省嘉兴市2018年期末复习】已知角的终边与单位圆的交点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C
6.若是第三象限角，且，则是 A. 第一象限角 B. 第二象限角
C. 第三象限角 D. 第四象限角 【答案】D
【解析】分析：根据是第三象限角，写出角的集合，进一步得到的集合，再根据 得到答案 详解：是第三象限角，
则 即是第二象限或者第四象限角，
，是第四象限角 故选
7．【浙江省台州市期末】已知角的终边经过点3,4P，则角的余弦值为（ ） 2020 · A. 35 B. 35 C. 45 D. 45 【答案】B 【解析】∵角的终边经过点3,4P
∴x3y4r9165，，, ∴3cos5 故选：B
8．设角是第二象限角，为其终边上的一点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A
【解析】分析：根据任意角α的余弦的定义和已知条件可得x的值，再由sinα的定义求得结果．
详解：由题意可得x＜0，r=|OP|=，故 cosα=． 再由 可得x=﹣3，∴sinα=. 9．【浙江省温州市期末】点A(sin 2018°，cos2018°)位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C
10．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角； ②三角形的内角是第一象限角或第二象限角； ③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小无关； ④若sinsin，则与的终边相同； 2020 · ⑤若cos0，则是第二或第三象限的角． 其中正确命题的个数是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】试题分析：由终边相同的角的定义易知①是错误的；②的描述中没有考虑直角，直角属于y的正
半轴上的角，故②是错误的；④中与的终边不一定相同，比如5,66；⑤中没有考虑x轴的负半轴上的角.只有③是正确的. 考点：角的推广与象限角. 二、填空题：本大题共7小题，共36分． 11.【浙江省宁波市统考】弧度制是数学上一种度量角的单位制，数学家欧拉在他的著作《无穷小分析概论》中提出把圆的半径作为弧长的度量单位.已知一个扇形的弧长等于其半径长，则该扇形圆心角的弧度数是__________． 【答案】1 【解析】设扇形的弧长和半径长为l，由弧度制的定义可得，该扇形圆心角的弧度数是1ll. 12. 【2018届河南省洛阳市高三第三次统考】已知角的始边与轴的非负半轴重合，顶点与坐标原点重合，
终边过点，则__________． 【答案】10.
【解析】分析：首先利用三角函数的定义式，结合题中所给的角的终边所过的点的坐标求得，之后借助于同角三角函数关系式，将关于正余弦分式形式的式子上下同除，得到关于切的式子，代入求值即可得结果.
详解：根据角的终边过，利用三角函数的定义式，可以求得，所以有
，故答案是10. 13.已知角的终边经过点55sin,cos66P，则角为第__________象限角，与角终边相同的最小正角是__________. 【答案】四 53 2020 · 【解析】 试题分析:因)23,21(P,故为第四象限角；因3tan,故3k,则由于是第四象限角,故当2k时, 3532min.故应填答案四；53. 14.【2018届北京市十一学校三模】已知，则__________(填“>”或 “<”)；__________(用表示)
【答案】 【解析】分析：（1）根据正弦函数的单调性和特殊角的三角函数值判断即可； （2）根据同角的三角函数关系与两角和的正弦公式求出的值.
解析：（1），且， ； （2）又.
. 故答案为：（1）；（2）. 15.【浙江省温州市十五校联合体2017-2018学年高一期中联考】已知扇形的周长为8，则扇形的面积的最大值是_______，此时弦长_______. 【答案】 4
【解析】由题意，可设扇形半径为，则弧长，圆心角，扇形面积，所以当时，有，此时弦长，从而问题得解.
16.【浙江省台州中学期中】已知扇形 (为圆心)的周长为,半径为,则__________，扇形 2020 · 的面积是__________． 【答案】 2 1 【解析】分析：扇形 (为圆心)的周长为,半径为,可求得扇形的弧长，根据弧度制的定义以及扇形面积公式可得结果.
17．已知点在角的终边上，则__________． 【答案】. 【解析】分析：根据三角函数的定义计算．
详解：∵，∴，
∴，， ∴． 点睛：本题考查三角函数的定义，掌握三角函数定义是解题基础．设是角终边上一点，，则
． 三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．已知角的终边上有一点P（3，m），且1sin2，求 m的值. 【答案】1m 【解析】试题分析：根据三角函数的定义得到21sin23mm，进而求出参数值，根据角的象限得到最终参数值. 解析：
21sin23mm∴2243mm∴21m又∵0m∴1m 2020 · 19.【2018届浙江省杭州市第二次检测】已知角 终边经过点4sin3sin， ， 32， ，求sin ， cos ， tan .
【答案】见解析
【解析】试题分析：由32， ，可得sin0 ，则4sinx ， 3siny ，
∴225sinrxy ，根据三角函数的定义可得sin ， cos ， tan的值. 试题解析： 32， ，∴sin0 ， ∵4sinx ， 3siny ， ∴225sinrxy ， ∴3sin5yr ， 4cos5xr ， 3tan4yx 20.【2018届黑龙江省齐齐哈尔八中8月月考】已知角的终边上有一点的坐标是3,4Paa，其中0a，求sin， cos， tan. 【答案】434434 553553sincostansincostan＝，＝，＝或＝－，＝－，＝ 【解析】试题分析：由条件利用任意角的三角函数的定义求得α的三角函数的值，从而得出结论 试题解析： 5ra＝＝. 当0a＞时， 5ra＝， ∴44335555yaxasincosrara＝＝＝，＝＝＝， 4433yatanxa＝＝＝；
当a＜0时，r＝－5a， ∴sin α＝－45，cos α＝－35，tan α＝43. 综上可知， 434434.553553sincostansincostan＝，＝，＝或＝－，＝－，＝ 21.(1)一个半径为r的扇形，若它的周长等于r，那么扇形的圆心角是多少弧度？扇形面积是多少？ (2)角的终边经过点P(b，4)且cos=35,则sintan的值 2020 · 【答案】(1) -2, 21-22Sr扇形 (2) 815 【解析】试题分析：(1)设扇形的圆心角，利用弧长公式得到弧长，代入题中条件，求出圆心角的弧度数，利用扇形面积公式求扇形的面积.(2)先求出OP，利用cos的值求出b，再求出sin,cos的值，相加即可.
22.已知角的终边上有一点，． （1）若，求实数的值； （2）若且，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）由即可得的值； （2）由条件知角为第三象限角，从而得纵坐标小于0，得解.
试题解析：
（1）依题意得,，所以 ． （2）由且得，为第三象限角，
故，所以．