七年级下册数学因式分解
[新湘教版]七年级数学下册第3章《因式分解》《3.3.2因式分解-公式法--完全平方式》课件
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我们前面学习了利用平方差公式来分
解因式即：a2-b2=(a+b)(a-b)
例如：学科网
4a2-9b2= (2a+3b)(2a-3b)
回忆完全平方公式
ab 2 a2 2abb2
ab 2 a2 2abb2
现在我们把这个公式反过来
a2 2abb2 ab2
a2 2abb2 ab2 Z.x.x. K
4
4
4、下列各式中，不能用完全平方公
式分解的是（ D ）
A、x4+6x2y2+9y4 B、x2n-2xnyn+y2n
C、x6-4x3y3+4y6 D、x4+x2y2+y4
5、把 1 x2 3xy 9 y2 分解因式得
4
（ B）
A、
1 4
x
3y
2
B、
1 2
x
3
y
2
6Hale Waihona Puke 把4 9x2y2
4 3
A、20 B、-20
C、10 D、-10
8、如果x2+mxy+9y2是一个完全平方式，
那么m的值为（ Zx.xk
B）
A、6 B、±6
C、3 D、±3
9、把 a b2 4a b 4 分解因式得
（C ）
A、a b 12 B、a b 12 C、a b 22 D、a b 22
10、计算1002 210099 992 的
(3) 1 ( rs ) r 2s2 ( 1 rs )2
4
2
让我们大家一起来想!
1、如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是( D )
(A )-3 (B)3 (C)-9 (D)9
初中数学 沪科版 七年级下册 8.4因式分解--公式法 一课一练(含答案)
8.4因式分解公式法知识要点1．把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法．常用公式有：①两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．即a2-b2=（a+b）（a-•b）．②两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方．即a2±2ab+b2=（a±b）2．2．分解因式时首先观察有无公因式可提，再考虑能否运用公式法．典型例题例．一个正方形的面积是（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）+1，你知道这个正方形的边长是多少吗？（x>0）分析：本题的实质是把多项式（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）+1化成完全平方式的形式，可以运用分解因式的方法．解：∵（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）+1=[（x+1）（x+4）][（x+2）（x+3）]+1=（x2+5x+4）（x2+5x+6）+1=（x2+5x）2+10（x2+5x）+24+1=（x2+5x+5）2∴这个正方形的边形是x2+5x+5．练习题第一课时一、选择题1．已知y2+my+16是完全平方式，则m的值是（）A．8 B．4 C．±8 D．±42．下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（）A．x2-6x-9 B．a2-16a+32 C．x2-2xy+4y2 D．4a2-4a+13．下列各式属于正确分解因式的是（）A．1+4x2=（1+2x）2 B．6a-9-a2=-（a-3）2C．1+4m-4m2=（1-2m）2 D．x2+xy+y2=（x+y）24．把x4-2x2y2+y4分解因式，结果是（）A．（x-y）4 B．（x2-y2）4 C．[（x+y）（x-y）]2 D．（x+y）2（x-y）2二、填空题5．已知9x2-6xy+k是完全平方式，则k的值是________．6．9a2+（________）+25b2=（3a-5b）27．-4x2+4xy+（_______）=-（_______）．8．已知a2+14a+49=25，则a的值是_________．三、解答题9．把下列各式分解因式：①a2+10a+25 ②m2-12mn+36n2③xy3-2x2y2+x3y ④（x2+4y2）2-16x2y210．已知x=-19，y=12，求代数式4x2+12xy+9y2的值．11．已知│x-y+1│与x2+8x+16互为相反数，求x2+2xy+y2的值．四、探究题12．你知道数学中的整体思想吗？解题中，•若把注意力和着眼点放在问题的整体上，多方位思考、联想、探究，进行整体思考、整体变形，•从不同的方面确定解题策略，能使问题迅速获解．你能用整体的思想方法把下列式子分解因式吗？①（x+2y）2-2（x+2y）+1 ②（a+b）2-4（a+b-1）答案:1．C 2．D 3．B 4．D 5．y2 6．-30ab 7．-y2；2x-y 8．-2或-129．①（a+5）2；②（m-6n）2；③xy（x-y）2；④（x+2y）2（x-2y）210．4 11．49 12．①（x+2y-1）2；②（a+b-2）2第二课时一、选择题：1．下列代数式中能用平方差公式分解因式的是（）A．a2+b2 B．-a2-b2 C．a2-c2-2ac D．-4a2+b22．-4+0.09x2分解因式的结果是（）A．（0.3x+2）（0.3x-2） B．（2+0.3x）（2-0.3x）C．（0.03x+2）（0.03x-2） D．（2+0.03x）（2-0.03x）3．已知多项式x+81b4可以分解为（4a2+9b2）（2a+3b）（3b-2a），则x的值是（）A．16a4 B．-16a4 C．4a2 D．-4a24．分解因式2x2-32的结果是（）A．2（x2-16） B．2（x+8）（x-8） C．2（x+4）（x-4） D．（2x+8（x-8）二、填空题：5．已知一个长方形的面积是a2-b2（a>b），其中长边为a+b，则短边长是_______．6．代数式-9m2+4n2分解因式的结果是_________．7．25a2-__________=（-5a+3b）（-5a-3b）．8．已知a+b=8，且a2-b2=48，则式子a-3b的值是__________．三、解答题9．把下列各式分解因式：①a2-144b2②πR2-πr2③-x4+x2y210．把下列各式分解因式：①3（a+b）2-27c2②16（x+y）2-25（x-y）2③a2（a-b）+b2（b-a）④（5m2+3n2）2-（3m2+5n2）2四、探究题11．你能想办法把下列式子分解因式吗？①3a2-13b2②（a2-b2）+（3a-3b）答案:1．D 2．A 3．B 4．C 5．a-b 6．（2n+3m）（2n-3m） 7．9b2 8．4 9．①（a+12b）（a-12b）；② （R+r）（R-r）；③-x2（x+y）（x-y）10．①3（a+b+3c）（a+b-3c）；②（9x-y）（9y-x）；③（a+b）（a-b）2；④16（m2+n2）（m+n）（m+n）11．①13（3a+b）·（3a-b）；②（a-b）（a+b+3）。
七年级数学下册《因式分解》单元测试卷(附带答案解析)
七年级数学下册《因式分解》单元测试卷（附带答案解析）一．选择题1．下列多项式不能用平方差分解因式的是（）A．0.36a2﹣0.04b2B．x2﹣16C．﹣a2+b2+c2D．﹣x2+y22．多项式4ab2+8ab2﹣12ab的公因式是（）A．4ab B．2ab C．3ab D．5ab3．下列多项式中，在实数范围不能分解因式的是（）A．x2+y2+2x+2y B．x2+y2+2xy﹣2C．x2﹣y2+4x+4y D．x2﹣y2+4y﹣44．下列从左到右的变形是因式分解的是（）A．6a2b2＝3ab•2ab B．﹣8x2+8x﹣2＝﹣2（2x﹣1）2C．2x2+8x﹣1＝2x（x+4）﹣1D．a2﹣1＝a（a﹣）5．已知a、b、c是△ABC的三边的长，且满足a2+b2+c2＝ab+bc+ac，关于此三角形的形状有下列判断：①是锐角三角形②是直角三角形③是钝角三角形④是等边三角形，其中正确说法的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个6．已知a+b＝3，ab＝2，求代数式a3b+2a2b2+ab3的值为（）A．6B．18C．28D．507．若a＝x﹣20，b＝x﹣18，c＝x﹣16，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值为（）A．12B．24C．27D．54二．填空题（共8小题）8．因式分解：a3+2a2b+ab2＝．9．已知x2+2x+2y+y2+2＝0，则x2022+y2023＝．10．若x2+2x﹣3＝0，则x3+x2﹣5x+2022＝．11．分解因式：25a﹣ab2＝．12．若x2+mx﹣n＝（x+2）（x﹣5），则m﹣n＝．13．若mn＝1，m﹣n＝2，则m2n﹣mn2的值是．14．若x2+2（3﹣m）x+25可以用完全平方式来分解因式，则m的值为．15．甲乙两人完成因式分解x2+ax+b时，甲看错了a的值，分解的结果是（x+6）（x﹣2），乙看错了b的值，分解的结果为（x﹣8）（x+4），那么x2+ax+b分解因式正确的结果为．三．解答题16．分解因式：x（x+4）+4．17．将下列多项式因式分解（1）8x2﹣4xy（2）3x4+6x3y+3x2y2（3）a2﹣ab+ac﹣bc18．因式分解：（1）2a3﹣8a（2）3x2y﹣18xy2+27y319．因式分解：（1）x2（a﹣b）+9（b﹣a）（2）（a2+4）2﹣16a2．20．先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．解：将“x+y”看成整体，设x+y＝m，则原式＝m2+2m+1＝（m+1）2．再将x+y＝m代入，得原式＝（x+y+1）2．上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法．请你完成下列各题：（1）因式分解：1﹣2（x﹣y）+（x﹣y）2（2）因式分解：25（a+2）2﹣10（a+2）+1（3）因式分解：（y2﹣6y）（y2﹣6y+18）+81．21．我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）＝．例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）＝．（1）若F（a）＝且a为100以内的正整数，则a＝（2）如果m是一个两位数，那么试问F（m）是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大（或最小）值以及此时m的取值并简要说明理由．参考答案与解析一．选择题1．解：A、0.36a2﹣0.04b2＝（0.6a+0.2b）（0.6a﹣0.2b），能分解因式，本选项不符合题意B、x2﹣16＝（x+4）（x﹣4），本选项不合题意C、﹣a2+b2+c2无法分解因式，本选项符合题意D、﹣x2+y2＝（y+x）（y﹣x），本选项不合题意故选：C．2．解：多项式4ab2+8ab2﹣12ab的公因式4ab故选：A．3．解：A、原式不能分解B、原式＝（x+y）2﹣2＝（x+y+）（x+y﹣）C、原式＝（x+y）（x﹣y）+4（x+y）＝（x+y）（x﹣y+4）D、原式＝x2﹣（y﹣2）2＝（x+y﹣2）（x﹣y+2）故选：A．4．解：把一个多项式在一个范围（如有理数范围内分解，即所有项均为有理数）化为几个整式的积的形式，称为多项式的因式分解故选：B．5．解：∵a2+b2+c2＝ab+bc+ca∴2a2+2b2+2c2＝2ab+2bc+2ca即（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝0∴a＝b＝c∴此三角形为等边三角形，同时也是锐角三角形．故选：C．6．解：a3b+2a2b2+ab3＝ab（a2+2ab+b2）＝ab（a+b）2将a+b＝3，ab＝2代入得，ab（a+b）2＝2×32＝18故代数式a3b+2a2b2+ab3的值为18故选：B．7．解：原式＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc）＝[（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]∵a＝x﹣20，b＝x﹣18，c＝x﹣16∴a﹣b＝﹣2，a﹣c＝﹣4，b﹣c＝﹣2则原式＝×（4+16+4）＝12故选：A．二．填空题8．解：原式＝a（a2+2ab+b2）＝a（a+b）2故答案为a（a+b）29．解：∵x2+2x+2y+y2+2＝0∴（x2+2x+1）+（y2+2y+1）＝0∴（x+1）2+（y+1）2＝0∴x+1＝0，y+1＝0解得：x＝﹣1，y＝﹣1∴x2022+y2023＝（﹣1）2022+（﹣1）2023＝1+（﹣1）＝0故答案为0．10．解：∵x2+2x﹣3＝0∴x2＝3﹣2x∴x3+x2﹣5x+2022＝x（3﹣2x）+x2﹣5x+2022＝3x﹣2x2+x2﹣5x+2022＝﹣3+2x﹣2x+2022＝2019 11．解：25a﹣ab2＝a（25﹣b2）＝a（5+b）（5﹣b）故答案为a（5+b）（5﹣b）12．解：∵x2+mx﹣n＝（x+2）（x﹣5）＝x2﹣3x﹣10∴m＝﹣3，n＝10∴m﹣n＝﹣3﹣10＝﹣13．故答案为﹣13．13．解：∵mn＝1，m﹣n＝2∴m2n﹣mn2＝mn（m﹣n）＝1×2＝2故答案为2．14．解：∵x2+2（3﹣m）x+25可以用完全平方式来分解因式∴2（3﹣m）＝±10解得：m＝﹣2或8．故答案为﹣2或8．15．解：因式分解x2+ax+b时∵甲看错了a的值，分解的结果是（x+6）（x﹣2）∴b＝6×（﹣2）＝﹣12又∵乙看错了b的值，分解的结果为（x﹣8）（x+4）∴a＝﹣8+4＝﹣4∴原二次三项式为x2﹣4x﹣12因此，x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）故答案为（x﹣6）（x+2）．三．解答题16．解：原式＝x2+4x+4＝（x+2）217．解：（1）原式＝4x（2x﹣y）（2）原式＝3x2（x2+2xy+y2）＝3x2（x+y）2（3）原式＝a（a﹣b）+c（a﹣b）＝（a﹣b）（a+c）．18．解：（1）原式＝2a（a2﹣4）＝2a（a+2）（a﹣2）（2）原式＝3y（x2﹣6xy+9y2）＝3y（x﹣3y）2 19．解：（1）原式＝x2（a﹣b）﹣9（a﹣b）＝（a﹣b）（x2﹣9）＝（a﹣b）（x﹣3）（x+3）（2）原式＝（a2+4+4a）（a2+4﹣4a）＝（a+2）2（a﹣2）220．解：（1）设x﹣y＝m原式＝1﹣2m+m2＝（1﹣m）2＝[1﹣（x﹣y）]2＝（1﹣x+y）2（2）设a+2＝m原式＝25m2﹣10m+1＝（5m﹣1）2＝[5（a+2）﹣1]2＝（5a+9）2（3）设y2﹣6y＝m原式＝m（m+18）+81＝m2+18m+81＝（m+9）2＝（y2﹣6y+9）2＝（y﹣3）4．21．解：（1）2×3＝6，4×6＝24，6×9＝54，8×12＝96 （2）F（m）存在最大值和最小值．当m为完全平方数，设m＝n2（n为正整数）∵|n﹣n|＝0∴n×n是m的最佳分解∴F（m）＝＝1又∵F（m）＝且p≤q∴F（m）最大值为1此时m为16，25，36，49，64，81当m为最大的两位数质数97时，F（m）存在最小值，最小值为．故答案为6，24，54，96．。
2024七年级数学下册第9章整式乘法与因式分解9.5多项式的因式分解课件新版苏科版
感悟新知
知4－讲
二定：确定公式中的a 和b，除a 和b 是单独一个 数或字母外，其余不管是单项式还是多项式都必须 用括号括起来，表示一个整体.
三套：套用平方差公式进行分解. 四整理：将每个因式去括号，合并同类项化成最 简的.
感悟新知
知4－讲
特别解读
1. 因式分解中的平方差公式法是乘法公式中的平
方差公式逆用的形式.
D 选项中，括号内最后一项漏掉了，应该是a2b＋
5ab－b=b(a2＋5a－1)，故错误.
答案：B
感悟新知
知识点 4 运用平方差公式分解因式
知4－讲
1. 平方差公式法 用字母表示：a2－b2=(a＋b)(a－b). 文字描述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两 个数的差的积.
感悟新知
知4－讲
感悟新知
(3) 116a2－ 12ab＋b2 ；
知5－练
解题秘方：先确定完全平方公式中的“a”“b”，再运用
完全平方公式分解因式.
解：原式=( 14a)2－2×14a·b＋b2 = (14a－b)2.
感悟新知
知5－练
(4)(x2＋6x)2＋18(x2＋6x)＋81.
解题秘方：先确定完全平方公式中的“a”“b”，再运用
公因式中的字母，各字母的指数取其中次数最低的．
感悟新知
3. 注意
知2－讲
若多项式各部分中含有相同的多项式因式，则应将其看
成一个整体，不要拆开，作为公因式中的因式.
如3x(x－y)＋x2(x－y)的公因式是x(x－y).
感悟新知
知2－讲
特别解读 1. 公因式可以是数，也可以是单项式或多项式. 2. 若多项式各项中含有互为相反数的因式，则可
人教版七年级数学因式分解易错题及解析
初一数学因式分解易错题例1.18x ³y-21xy ³ 错解：原式=)36(2122y x - 分析：提取公因式后，括号里能分解的要继续分解。
正解： 原式=21xy （36x ²-y ²） =21xy （6x+y ）（6x-y ） 例2. 3m ²n （m-2n ）[])2(62n m mn --错解：原式=3mn （m-2n ）（m-2n ）分析：相同的公因式要写成幂的形式。
正解：原式=3mn （m-2n ）（m-2n ）=3mn （m-2n ）² 例3．2x+x+41 错解：原式=)14121(41++x x 分析：系数为2的x 提出公因数41后，系数变为8，并非21；同理，系数为1的x 的系数应变为4。
正解：原式=)148(41++x x =)112(41+x 例4.412++x x 错解：原式=)14141(412++x x =2)121(41+x 分析：系数为1的x 提出公因数41后，系数变为4，并非41。
正解：原式=)144(412++x x =2)12(41+x 例5.6x ()2y x -+3()3x y -错解：原式=3()()[]x x y x y 22+-+- 分析：3()3x y -表示三个()x y -相乘，故括号中2)(x y -与)(x y -之间应用乘号而非加号。
正解：原式=6x ()2x y -+()2x y - =3()2x y -()[]x y x -+2 =3()2x y -()y x + 例6.()8422--+x x错解：原式=()[]242-+x =()22-x 分析：8并非4的平方，且完全平方公式中b 的系数一定为正数。
正解：原式=()22+x －4（x+2） =(x+2)()[]42-+x=（x+2）（x －2）例7.()()223597n m n m --+ 错解：原式=()()[]23597n m n m --+ =()2122n m + 分析：题目中两二次单项式的底数不同，不可直接加减。
七年级数学下册 第3章 因式分解 3.3 公式法(第1课时)课件
9
3
3
其中(qízhōng)正确的有
B(
)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
第十八页，共四十一页。
★3.因式(yīnshì)分解:(2a+b)2-(a+2b)2=________3_(a_+_b_)_(a_-_b_). ★4.因式分解: 世纪金榜导学号 (1)(a+b)2-4a2. (2)25(m+n)2-(m-n)2.
决下面的问题,并归纳结论: 1.计算下列各题:
(1)(x+2)(x-2)=_______x_2.-4 (2)(1+3a)(1-3a)=_________1_-9a2.
第三页，共四十一页。
(3)x2-4= ________(_x_+_2_)_(x_-_2.)
(4)1-9a2= _________(1_+_3_a_)_(_1_-3_a. )
第三十三页，共四十一页。
【火眼金睛(huǒ yǎn jīn 】 jīng)
因式分解:(x-y+1)2-(x+y-3)2
第三十四页，共四十一页。
【正解】原式=(x-y+1+x+y-3)(x-y+1-x-y+3)= (2x-2)(4-2y) =4(x-1)(2-y).
第三十五页，共四十一页。
【一题多变】
已知x-y=3,y-z=3,x+z=14,求x2-z2的值.
第三十六页，共四十一页。
解:因为(yīn wèi)x-z=(x-y)+(y-z)=6,
所以x2-z2=(x+z)(x-z)=14×6=84.
第三十七页，共四十一页。
9.5 多项式的因式分解(1)苏科版七年级数学下册课件
一看系数:
取各项系数的最大公约数;
二看字母:
取多项式中各项都含有的相同字母.
三看指数：
相同字母的指数取次数最低的.
写出下列多项式各项的公因式：
(1) ab + 2a2b - 3ab2
.
(2) 6mn2 - 18m2n2 + 24m3n3
.
(3) 7x2y - 14xy2z - 35xyz2
即：多项式
整式的积.
(2)可以利用整式乘法检验因式分解的结果的正确性.
例1 把 5x3－10x2 分解因式： 解:原式= 5x2·x － 5x2 ·2
= 5x2 ( x－2 )
把多项式分解成公因式与另一个因式的积的形式,这种 分解因式的方法,叫做提公因式法.
例2 分解因式: － 2m3＋8m2－12m 解: 原式= － ( 2m3－8m2＋12m )
.
填空, 并说说你的方法：
(1) a2b＋ab2 ＝ ab( a＋b ) (2) 3x2－6x3 ＝ 3x2( 1－2 x ) (3) 9abc－6a2b2＋12abc2 ＝ 3ab( 3c－2ab＋4c2 )
像这样，把一个多项式写成几个整式的积的形式叫做 多项式的因式分解．
下列各式由左到右的变形哪些是因式分解?哪些不是?并思考 因式分解与整式的乘法有何关系?
=－ ( 2m ·m2－2m·4m＋2m ·6 ) = － 2m ( m2 - 4m + 6 )
当多项式的第一项的系数为负数时,通常把“－”作为公因式 的符号,再因式分解,从而使分解后括号内第一项的系数为 “＋”.
练一练： 把下列各式分解因式：
(1) 12ab2c－6ab； (2) 4x2－12x3. (3) - 3ab3 + 15a2b2 ； (4) - x2y + 4xy - 5y.
多项式的因式分解-第1课时(课件)七年级数学下册(苏科版)
公因式、因式分解
01 知问识题精引讲入
Q1：巧算：29×7+29×2.1+29×0.9 【解答】 原式=29×(7+2.1+0.9) =29×10 =290
01 知问识题精引讲入
Q2：运用所学的知识填空 (1) m(a+b+c)=_m__a_+_m__b_+_m__c_； (4) ma+mb+mc=( m )(a+b+c) (2) x2(x+1)=____x_3_+_x_2____； (5) x3+x2=( x2)(x+1) (3) ab(x-y)=___a_b_x_-_a_b_y___. (6) abx-aby=(ab)(x-y)
课后总结
【因式分解】 像这样，把一个多项式写成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解
【注意点】 ①因式分解与整式乘法是互逆运算； ②因式分解是两个或几个因式积的形式，且每个因式都是整式；整式乘法是多项式的形式； ③因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验； ④因式分解必须分解彻底．
【提公因式法】 把多项式的公因式提到括号外，把多项式写成公因式与另一个多项式的积的形式，
【分析】 b2(x-2)+b(2-x) =b2(x-2)-b(x-2) =b(x-2)·b-b(x-2)·1 =b(x-2)(b-1)．
【利用提公因式法求值】
例5、已知x2y+xy2=42，xy=7，则x+y=____6____．
【分析】 ∵x2y+xy2=42，xy=7， ∴xy(x+y)=42， ∴x+y=6．
提公因式法
02 知识精讲
提公因式法
专题15 因式分解 易错题之解答题(20题)七年级数学下册同步易错题精讲精练(浙教版)(解析版)
专题15 因式分解 易错题之解答题（20题）Part1 与 提取公因式法 有关的易错题1．（2020·利辛县七年级月考）因式分解3()2()x a b y b a ---；【答案】（a -b ）（3x+2y ）【提示】先把b a -化为：(),a b -- 再利用提公因式的方法分解因式即可．【详解】解：3()2()x a b y b a ---()()32x a b y a b =-+-()()32a b x y =-+【名师点拨】本题考查提公因式法分解因式，注意互为相反数的两个因式之间的变形，掌握以上知识是解题的关键． 2．（2020·陕西西安市·七年级期末）长方形的长为a 厘米，宽为b 厘米，其中a b >，将原长方形的长和宽各增加3厘米，得到的新长方形的面积为1S ；将原长方形的长和宽分别减少2厘米，得到的新长方形的面积为2S ． （1）若a ，b 为正整数，请说明1S 与2S 的差一定是5的倍数；（2）若2120S S -=，求将原长方形的长和宽分别减少7厘米后得到的新长方形的面积．【答案】（1）见解析 （2）502cm【提示】（1）根据题意得到1(3)(3)339S a b ab a b =++=+++，2(2)(2)224S a b ab a b =--=--+，将1S -2S 的结果化为5(1)a b ++即可得到结论；（2）根据2120S S -=得到771ab a b --=，再根据将原长方形的长和宽分别减少7厘米后得到的新长方形的面积为()()777749a b ab a b --=--+，代入求值即可.【详解】解：（1）1(3)(3)339S a b ab a b =++=+++，2(2)(2)224S a b ab a b =--=--+，所以123392245555(1)S S ab a b ab a b a b a b -=+++-++-=++=++，所以1S 与2S 的差一定是5的倍数；（2）因为2120S S -=，所以2(224)(339)0ab a b ab a b --+-+++=，所以7710ab a b ---=，所以771ab a b --=.因为将原长方形的长和宽分别减少7厘米后得到的新长方形的面积为()()77774914950a b ab a b --=--+=+=（平方厘米）.【名师点拨】此题考查了多项式乘法，提公因式法分解因式，列代数式，整式的加减法计算法则，已知式子的值求整式的值，正确理解长方形的长与宽的变化，根据变化的量列整式计算是解题的关键.3．（2020·咸阳市七年级月考）阅读材料：求2342019122222++++++的值．解：设234201820191222222s =+++++++，将等式两边同时乘2，得2S=2345201920202222222+++++++将下式减去上式，得2S -S=202021-，即S=202021-请你仿照此法计算下面各题（1）23410122222++++++（2）234133333n ++++++（其中n 为正整数）【答案】（1）1121-；（2）()11312n +-．【提示】（1）利用例题的方法将原式进行变形进而可以得出答案；（2）仿照例题的思路进行变形即可．【详解】解：（1）设23410122222S =++++++，将等式两边同时乘2，得23410112222222S =++++++将下式减去上式，得11221S S -=-，即1121S =-∴结果为1121-（2）设234133333n S =++++++，将等式两边同时乘3，得23413333333n n S +=++++++将下式减去上式，得1331n S S +-=-，即1213n S +=-， ∴()11132n S +-=， ∴结果为()11312n +- 【名师点拨】本题主要考查了有理数的混合运算，提取公因式法分解因式，正确将式子进行变形是解题的关键．4．（2020·浙江金华市·七年级期末）已知a ﹣b ＝7，ab ＝﹣12．（1）求a 2b ﹣ab 2的值；（2）求a 2+b 2的值；（3）求a +b 的值；【答案】(1)-84 ;(2) 25; (3)1或-1【提示】（1）直接提取公因式ab ，进而分解因式得出答案；（2）直接利用完全平方公式进而求出答案；（3）直接利用（2）中所求，结合完全平方公式求出答案．【详解】(1)∴a−b=7，ab=−12，∴a 2b ﹣ab 2=ab(a−b)=−12×7=−84；(2)∴a−b=7，ab=−12，∴()2a b -=49，∴a 2+b 2−2ab=49，∴a 2+b 2=25；(3)∴a 2+b 2=25，∴()2a b +=25+2ab=25−24=1，∴a+b=±1.【名师点拨】此题考查因式分解-提公因式法、完全平方公式，解题关键在于掌握因式分解的综合运用.5．（2021·湖南株洲市·七年级期末）阅读材料：“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，如我们把()a b +看成一个整体，4()2()((421)()3())a b a b a b a b a b =+-+++-++=+．尝试应用：（1）把2()a b -看成一个整体，合并2223()5()7()---+-a b a b a b 的结果是_________．（2）已知221x y -=，求2362021--x y 的值．拓广探索：（3）已知22,25,9-=-=--=a b b c c d ，求()(2)(2)a c b d b c -+---的值．【答案】（1）25()a b -；（2）-2018；（3）6【提示】（1）把2()a b -看做一个整体，合并即可得到结果；（2）原式前两项提取3变形后，将已知等式代入计算即可求出值；（3）原式去括号整理后，将已知等式代入计算即可求出值．【详解】解：（1）25()a b -．（2）∴221x y -=，∴2362021--x y()2322021x y =--32021=-2018=-（3）∴22,25,9-=-=--=a b b c c d ，∴()(2)(2)a c b d b c -+---=a -c+2b -d -2b+c=a -d=a -2b+2b -c+c -d=（a -2b ）+（2b -c ）+（c -d ）=2-5+9=6．【名师点拨】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6．（2019·浙江杭州市·七年级期末）（1）填空：①3234353-⨯+⨯= ．②43234353-⨯+⨯= ．③54334353-⨯+⨯= ．（2）猜想下列各题的结果并验证下列第②个等式：①20212020201934353-⨯+⨯= ．②2134353n n n ++-⨯+⨯= ．【答案】（1）①6；②18；③54；（2）①201923⨯；②23n ⨯【提示】（1）①对每一项提取公因式3，然后进行计算即可得出答案；②对每一项提取公因式23 ，然后进行计算即可得出答案；③对每一项提取公因式33，然后进行计算即可得出答案；（2）①对每一项提取公因式20193，然后进行计算即可得出答案；②对每一项提取公因式3n ，然后进行计算即可得出答案；【详解】（1）①322343533(3435)326-⨯+⨯=⨯-⨯+=⨯=②432222343533(3435)3218-⨯+⨯=⨯-⨯+=⨯=③543323343533(3435)3254-⨯+⨯=⨯-⨯+=⨯=（2）猜想下列各题的结果并验证下列第②个等式：①20212020201934353-⨯+⨯=2019220193(3435)23⨯-⨯+=⨯．②2134353n n n ++-⨯+⨯=23(3435)23n n ⨯-⨯+=⨯．【名师点拨】本题主要考查提取公因式和规律探索，掌握提取公因式法是解题的关键．7．（2018·上海市七年级期末）因式分解：2222bc a abcd bc ab ac c d++---【答案】ab c ac cd b【提示】先分组分解后提取公因式即可.【详解】2222bc a abcd bc ab ac c d ++---22abc ad b c ab c a d ad abc c b c ab c ad ab c b c ab ab c ac cd b【名师点拨】本题考查的是分解因式，能正确的进行分组是关键.8．（2019·张家港市七年级期末）甲同学分解因式 x 2＋ax ＋m ，其结果为(x ＋2）(x ＋4)，乙同学分解因式x 2＋nx ＋b ，其结果为(x ＋1）(x ＋9)，在此情形下，请你来分解因式 x 2＋ax ＋b ．【答案】(x+3)2【提示】利用整式的乘法求出a,b 的值，再进行因式分解即可.【详解】∴(x ＋2）(x ＋4)= x 2＋6x ＋8，∴a=6,∴(x ＋1）(x ＋9)= x 2＋10x ＋9∴b=9∴x 2＋ax ＋b= x 2＋6x ＋9=(x+3)2.【名师点拨】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知整式的乘法法则.9．（2019·张家港市七年级期末）分解因式(1)－3m 3＋12m(2)2x 2y －8xy ＋8y(3)a 4＋3a 2－4【答案】(1) -3m （m+2）（m -2），(2)2y(x -2)2，(3)(a 2+4) (a+1) (a -1)【提示】（1）提取-3m 后，再根据平方差公式因式分解；（2）先提取2y ，再根据完全平方公式因式分解；（3）先利用十字相乘法因式分解，再用公式法因式分解.【详解】(1)－3m 3＋12m=-3m （m 2-4）=-3m （m+2）（m -2）(2)2x 2y －8xy ＋8y=2y(x 2-4x+4)=2y(x -2)2(3)a 4＋3a 2－4=(a 2-1) (a 2+4)= (a 2+4) (a+1) (a -1)【名师点拨】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知因式分解的方法.10．（2019·安徽安庆市·七年级期末）（1）因式分解：2(2)(2)a b b -+-（2）已知x ≠y ，且210x x -=，210y y -=，则x +y 的值.【答案】（1）(1)(1)(2)a a b +--或(2)(1)(1)b a a -+-;（2）1x y +=【提示】利用因式分解和平方差公式。
湘教版七年级下册数学《公式法—平方差公式因式分解》PPT课件
25x2 -4y2 =(5x)2 -(2y)2 =(5x+2y)(5x-2y)
a2-b2=(a+b)(a-b)
因为25x2 可以写成(5x)2 , 4y2 可以写成(2y)2,
所以能用平方差公式分解。
巩固练习
1.填空：
（1）9y2=(±3y )2（2）36 x2 =（ 6 x ）2
25
5
（3）9 t 2 （ 3 t ）2
4
2
例2 把(x+y)2-(x-z)2因式分解.
a=x+y，b=x-z
(x+y)2-(x-z)2 =[(x+y+x-z)][(x+y-x+z)]
a2-b2=(a+b)(a-b)
=(2x+y-z)(y+z)
例3 把x4-y4因式分解.
x4-y4
a=x2，b=y2
=(x2)2-(y2)2 =(x2+y2)(x2-y2) =(x2+y2) (x+y)(x-y)
3.3 公 式 法
第一课时 用平方差公式因式分解
复习导入
想一想：多项式a2-b2有什么特点？你能将 它分解因式吗？
1.平方差公式 (a+b)(a-b)=a2-b2
从左边到右边的这个过程叫_整__式___乘__法___.
2、反过来，a2-b2=__(_a_+__b_)_(_a_-.b) 从右边到左边的这个过程叫_因__式___分__解___.
在因式分解 时，必须进行到 每一个因式都不 能分解为止.
例4 把x3y2-x5因式分解.
x3y2-x5 =x3(y2-x2) ……提取公因式x3 =x3(y+x)(y-x) ……因式分解
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七年级下册数学
因式分解
常用方法：提公因式法、公式法、配方法、十字相乘法……
一、提公因式法：式子中有公因式时，先提公因式。
例1. 232yx+6512xy－62xy 2105axaybybx
用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法．第
（2）题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组。
例2.把2222()()abcdabcd因式分解．
二、公式法：根据平方差和完全平方公式
例3、 22925xy 2633xx 811824xx
三、配方法：
例4、 2616xx 241227xx
这种配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后
用平方差公式分解．当然，本题还有其它方法，请大家试验．
四、十字相乘法：
（1）．2()xpqxpq型的因式分解
七年级下册数学
例5、把下列各式因式分解：
(1) 276xx (2) 21336xx
例6、把下列各式因式分解：
(1) 2524xx (2) 2215xx
例7、把下列各式因式分解：
(1) 226xxyy (2) 222()8()12xxxx
(2) 由换元思想，只要把2xx整体看作一个字母a，可不必写出，只当作分解二次三
项式2812aa．
（2）．一般二次三项式2axbxc型的因式分解
例8、把下列各式因式分解：
(1) 21252xx (2) 22568xxyy
综合练习：
1、若16)3(22xmx是完全平方式，则m的值等于_______。
2、22)(nxmxx则m=______n=______。
3、232yx与yx612的公因式是__________。
4、若nmyx=))()((4222yxyxyx，则m=_______，n=_________。
5、若162mxx可以因式分解，则m所有可能的取值为_______________________。
七年级下册数学
6、_____))(2(12(_____)2xxxx
7、已知,0.......1200520042xxxx则.__________2006x
8、方程042xx，的解是________。
9、若25)(162Mba是完全平方式M=______________。
10、22)3(__6xxx， 22)3(9___xx
11、若229ykx是完全平方式，则k=_______。
12、若442xx的值为0，则51232xx的值是________。
13、若)15)(1(152xxaxx则a=_____。
14、若6,422yxyx则xy___。
15、若x、y互为相反数，且4)1()2(22yx，则x= 、y= 。
16、计算： （1） 200020012121 （2）2244222568562
（3）（3+1）（32+1）（34+1）…（32008+1）－401632
（4）（1－221）（1－231）（1－241）…（1－291）（1－2011）
七年级下册数学
17、证明：（1）对于任意自然数n，22)5()7(nn都能被动24整除。
（2）两个连续整数的平方差必是奇数 （3）若a为整数，则aa3能被6整除
18、若22210abb，求22abab的值。
19、已知x＋x1＝2，求x2＋21x，x4＋41x的值．
20、已知（a－1）（b－2）－a（b－3）＝3，求代数式222ba－ab的值．
21、若（x2＋px＋q）（x2－2x－3）展开后不含x2，x3项，求p、q的值．