§5.2能观测性定义及其判据
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能控性与能观性
c11 c12 c c22 21 y (t ) c m1 cm 2 c1n e1t x10 c2 n e2t x20 nt cmn e xn 0
假使输出矩阵C中有某一列全为零，譬如说第2列中c12, c22, …, cm2均为零，则在 t y(t)中将不包含 e 2 x20这个自由分量，亦即不包含 x2(t)这个状态变量，很明显，这 个x2(t)不可能从y(t)的测量值中推算出来，即x2(t)是不能观的状态。
系统是状态完全能控的
x 2 1 x2 b2u y c1 c2 x
1 1 b1 x x u; 0 0 1
对于式(3-5)的系统
x 1 1 x1 x2 b1u x 2 1 x2
x2不受u(t)的控制，而为不能控的系统。
对式(3-3)的系统，系统矩阵A为对角线型，其标量微分方程形式为
x 1 1 x1
x 2 2 x2 b2u
x 2
x 1
1 1 0 x x u; 0 1 b2
对于式(3-4)的系统
y c1 c2 x
x 1 1 x1 x2
c13 c23 c33
1 2 1t 1t 1t e x10 te x20 t e x30 2! x1 (t ) 1t 1t e x20 te x30 这时，状态方程的解为 x(t ) x2 (t ) x ( t ) 3 1t e x 30
从而
y1 (t ) c11 c12 y (t ) y2 (t ) c21 c22 y3 (t ) c31 c32
假使输出矩阵C中有某一列全为零，譬如说第2列中c12, c22, …, cm2均为零，则在 t y(t)中将不包含 e 2 x20这个自由分量，亦即不包含 x2(t)这个状态变量，很明显，这 个x2(t)不可能从y(t)的测量值中推算出来，即x2(t)是不能观的状态。
系统是状态完全能控的
x 2 1 x2 b2u y c1 c2 x
1 1 b1 x x u; 0 0 1
对于式(3-5)的系统
x 1 1 x1 x2 b1u x 2 1 x2
x2不受u(t)的控制，而为不能控的系统。
对式(3-3)的系统，系统矩阵A为对角线型，其标量微分方程形式为
x 1 1 x1
x 2 2 x2 b2u
x 2
x 1
1 1 0 x x u; 0 1 b2
对于式(3-4)的系统
y c1 c2 x
x 1 1 x1 x2
c13 c23 c33
1 2 1t 1t 1t e x10 te x20 t e x30 2! x1 (t ) 1t 1t e x20 te x30 这时，状态方程的解为 x(t ) x2 (t ) x ( t ) 3 1t e x 30
从而
y1 (t ) c11 c12 y (t ) y2 (t ) c21 c22 y3 (t ) c31 c32
(第10讲)能观性和可观标准型
四川理工自动化教研室
状态变换不改变系统的能观性
状态变换
Ax Bu x y Cx= Ax x y Cx
P 1APx P 1Bu x y CPx
我们断言 rankQo rankQ o
1 P QC n 1 1 A P 1 AP, b
Agenda
• 能观性/可观性定义
• 能观性/可观性判据 • 能控、能观与传递函数的关系
• 对偶原理
四川理工自动化教研室
tgq77@
能观性 vs 可物理测量
• 在实际工程实践中，往往需要知道状态变量， 而由于各种原因，不一定都能直接获取,但输 出变量总是可以获取和测量的。 • 能观性——能否通过对输出的测量来确定系 统的状态变量？ • 能观性与物理上能够测量是两个不同的概念。 比如，状态变量就不一定都是能测量的物理 量。
• 对偶原理
四川理工自动化教研室
tgq77@
能观性判别矩阵
Ax Bu x LTI连续系统 (A, B, C, D) , i.e. y Cx Du
定义能观性判别矩阵
C CA Qo n 1 CA
（n 是系统的阶数）
即，状态变换不改变系统的能观性。
四川理工自动化教研室 tgq77@
能观性系统化为能观标准型
• 如果系统能观，则一定能通过状态变换，将 系统化为能观标准型
SISO System Ax bu x T y c x
P 1APx P 1bu x T y c Px
1 2 1 x x1 x x 2 0 2 2 1) x 3 3 1 x3 0 3 x4 x4
状态变换不改变系统的能观性
状态变换
Ax Bu x y Cx= Ax x y Cx
P 1APx P 1Bu x y CPx
我们断言 rankQo rankQ o
1 P QC n 1 1 A P 1 AP, b
Agenda
• 能观性/可观性定义
• 能观性/可观性判据 • 能控、能观与传递函数的关系
• 对偶原理
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能观性 vs 可物理测量
• 在实际工程实践中，往往需要知道状态变量， 而由于各种原因，不一定都能直接获取,但输 出变量总是可以获取和测量的。 • 能观性——能否通过对输出的测量来确定系 统的状态变量？ • 能观性与物理上能够测量是两个不同的概念。 比如，状态变量就不一定都是能测量的物理 量。
• 对偶原理
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能观性判别矩阵
Ax Bu x LTI连续系统 (A, B, C, D) , i.e. y Cx Du
定义能观性判别矩阵
C CA Qo n 1 CA
（n 是系统的阶数）
即，状态变换不改变系统的能观性。
四川理工自动化教研室 tgq77@
能观性系统化为能观标准型
• 如果系统能观，则一定能通过状态变换，将 系统化为能观标准型
SISO System Ax bu x T y c x
P 1APx P 1bu x T y c Px
1 2 1 x x1 x x 2 0 2 2 1) x 3 3 1 x3 0 3 x4 x4
4第四节系统的能观测性
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10
能观测性判据二：
类似于能控性判据，可以利用线性满秩变换将动态方程化
为对角标准型或约当标准型，然后根据转换后的输出阵 C P 来判
别原动态方程的能观测性。
设系统的动态方程为：xy((tt))
Ax(t) C x(t)
B
阵不影响能观测性
①当 A_ nn 具有互异的特征根 1,2,,n时，做线性满秩变换：
_
_
观测的。如 C 即不能由 yi (t
)
阵中的第一列元素全为零，则
_
_
y
i
(
t
)
中都不含
求得 x 1 ( 0 )，故 x 1 ( 0 ) 是不能观测的。
x
1
(0
)
，
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12
_
_
若C 中没有一列元素全为零，则 x ( t )可观测。
_
可以证明：若x ( t )能观测，则 x (t )能观测。
x P x ，则新的动态方程可化为对角标准型。
e1t
y(t)CPx_C _x_C _etx_(0)C _
e2t
x_(0)
ent
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11
f11
_
令：C mn
f21
f
m1
f12 f1n
f22
f2n
s I A s 1 2 s 0 1 ， s I A ( s 1 )s ( 2 ) ， ( s I A ) * s 1 1 s 0 2 (sIA ) 1(s1 )1s(2) s 1 1s 02
可控及可测性
能力，称之为状态的能控性问题
能观性：反映了输出对系统状态的判断能力。 (observability) 状态能否由输出反映（估计问题）
能观性是Y(t)反应X(t)的能力，回答是否能 通过Y(t)的量测来确定X(t)的问题。
3
• 古典控制论中：Y(s)既是输出又是被控量
U(s) G(s) Y(s)
(1) Y(s)肯定与U(s)有关系 ， (2) Y(s)肯定是可测量的。 因此，只要满足稳定，肯定能控能观
1 1
3 2
2 2
5 4
故系统状态不完全能控。
23
例：有系统如下，判断其是否能控
⎡ 0 =⎢ 0 x ⎢ ⎢ ⎣− a0 1 0 − a1 0 ⎤ ⎡0 ⎤ ⎢0 ⎥u x + 1 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ − a2 ⎥ ⎦ ⎦ ⎣1 ⎥
⎡ 0 解： x =⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎣ − a0
1 0 − a1
0 ⎤ ⎡0 ⎤ ⎥ ⎢ ⎥ 1 ⎥ x + ⎢0 ⎥ u ⎢ − a2 ⎥ ⎦ ⎣1 ⎥ ⎦
1 ⎤ ⎡ ⎥ A 2b = ⎢ a − 2 ⎥ ⎢ 2 ⎢ a a − + ⎦ ⎣ 1 2 ⎥
⎡0 ⎤ ⎥ b=⎢ 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎣1⎥ ⎦
⎡ 0 ⎤ ⎢ ⎥ Ab = ⎢ 1 ⎥ ⎢ ⎣ − a2 ⎥ ⎦
k =0
n −1
⇒ x (0) = −∑ A B
k =0
n −1
( ∫ α (τ )u(τ )dτ )
T 0 k
= βk
n −1 k =0
⇒ x (0) = −∑ Ak B β k
17
⇒ x (0) = −∑ Ak B β k
k =0
n −1
=⎡ ⎣B
u 是否存在? ⇒ 方程是否有解?
能观性：反映了输出对系统状态的判断能力。 (observability) 状态能否由输出反映（估计问题）
能观性是Y(t)反应X(t)的能力，回答是否能 通过Y(t)的量测来确定X(t)的问题。
3
• 古典控制论中：Y(s)既是输出又是被控量
U(s) G(s) Y(s)
(1) Y(s)肯定与U(s)有关系 ， (2) Y(s)肯定是可测量的。 因此，只要满足稳定，肯定能控能观
1 1
3 2
2 2
5 4
故系统状态不完全能控。
23
例：有系统如下，判断其是否能控
⎡ 0 =⎢ 0 x ⎢ ⎢ ⎣− a0 1 0 − a1 0 ⎤ ⎡0 ⎤ ⎢0 ⎥u x + 1 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ − a2 ⎥ ⎦ ⎦ ⎣1 ⎥
⎡ 0 解： x =⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎣ − a0
1 0 − a1
0 ⎤ ⎡0 ⎤ ⎥ ⎢ ⎥ 1 ⎥ x + ⎢0 ⎥ u ⎢ − a2 ⎥ ⎦ ⎣1 ⎥ ⎦
1 ⎤ ⎡ ⎥ A 2b = ⎢ a − 2 ⎥ ⎢ 2 ⎢ a a − + ⎦ ⎣ 1 2 ⎥
⎡0 ⎤ ⎥ b=⎢ 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎣1⎥ ⎦
⎡ 0 ⎤ ⎢ ⎥ Ab = ⎢ 1 ⎥ ⎢ ⎣ − a2 ⎥ ⎦
k =0
n −1
⇒ x (0) = −∑ A B
k =0
n −1
( ∫ α (τ )u(τ )dτ )
T 0 k
= βk
n −1 k =0
⇒ x (0) = −∑ Ak B β k
17
⇒ x (0) = −∑ Ak B β k
k =0
n −1
=⎡ ⎣B
u 是否存在? ⇒ 方程是否有解?
线性系统的能控性和能观测性
三、约当标准形判据
对为约当标准形的线性定常连续系统 (A, B) ,有：
1．若A为每个特征值都只有一个约当块的约当矩阵,则系统 能控的充要条件为： 对应A的每个约当块的B的分块的最后一行都不全为零;
2．若A为某个特征值有多于一个约当块的约当矩阵,则系统 能控的充要条件为： 对应A的每个特征值的所有约当块的B的分块的最后一行线 性无关。
4.2.3 线性定常连续系统的状态能控性判别
一、格拉姆矩阵判据
线性定常连续系统
x = A x + B u ,x ( 0 ) x 0 ,t 0
状态完全能控的充分必要条件是存在时刻 t1 0
，使如下定义的格拉姆矩阵
W c(0,t1)0 t1eA tB B TeA Ttdt
为非奇异。
二、秩判据 设线性定常连续系统的状态方程为
第4章 线性系统的能控性 和能观测性
4.1 引言 4.2 线性连续系统的能控性 4.3 线性连续系统的能观测性 4.4 线性定常离散系统的能控
性和能观测性 4.5 能控标准形和能观测标准形 4.6 系统能控性和能观测性的对偶原理
4.7 线性系统的结构性分解
4.9 系统的实现问题
4.10 MATLAB在能控性 和能观测性分析中的应用
4.8 能控性和能观测性与传递函数（阵）的关系
4.1 引言
线性系统的能控性(controllability)
加入适当的控制作用后，能否在有限时间内将系统从 任一初始状态转移到希望的状态上，即系统是否具有 通过控制作用随意支配状态的能力。
线性系统的能观测性(observability) 通过在一段时间内对系统输出的观测，能否判断系统 的初始状态，即系统是否具有通过观测系统输出来估 计状态的能力。
现代控制理论(12-17讲：第4章知识点)
0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 x y x 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0
MIMO系统，n=5，r=5，独立特征向量为2， C阵对应列 (1、4列)，线性无关, 故系统状态完全能观。
4-4 线性定常离散系统的能控性和能观性
故系统是不能观测的。
y 3 2 0 x
18
例2：判定如下系统的能观性。
1 0 3 x x 7 u 0 3
0 0 1 y x 0 u 1 1
故系统是能观测的。
特别要注意特征值互异的条件，否则会影 响判定结论的正确性。
解： n=3、 r=1 有
0 2 8 Q c B AB A 2 B 0 0 0 1 3 11
显然：
rankQc 2( n)
4
故系统是不能控的。
3、能控性判据之二 (1)、系统特征值互异的情况：
若线性定常系统： Ax + Bu , 具有n个互不相同的 x 特征值，则其状态完全能控的充分必要条件是，系统经非 奇异变换后的状态方程式：
C 1 1 rankQo rank 1 n CA 5 5
故系统是不能观测的.（detQo=0）
16
例2：判定如下系统的能观性。
2 1 1 x x 1 u 1 3
1 0 y x 1 0
b1 0
故系统状态不可控。
特别要注意特征值互异的条件，否则会影 响判定结论的正确性。
(2)、系统具有重特征值的情况： 若线性定常系统： Ax + Bu , 具有重特征值，且 x 每一个重特征值只对应一个独立特征向量，则其状态完全能 控的充分必要条件是，系统经非奇异变换后的Jordan规范形：
能控性和能观测性
0 0
0 0
−1 0
0 2
0 1
0 0
0⎥⎥ 0⎥
x
+
⎢⎢0 ⎢0
0 0
04⎥⎥⎥u
⎢
⎥⎢
⎥
⎢ 0 0 0 0 0 2 0 0⎥ ⎢1 2 0⎥
⎢ ⎢
0
0
0
0 0 0 2 0⎥⎥
⎢⎢0 3 3⎥⎥
⎢⎣ 0 0 0 0 0 0 0 5⎥⎦ ⎣⎢3 0 0⎥⎦
解：此为8阶系统，n＝8
19
S=
⎡0 0 0 1 0 0 −2 0 0 3 0 0 −4 0 0 5 0 0 −6 0 0 7 0 0 ⎤
再证必要性，即已知系统能控，证明rankS=n。
同样采用反证法假设rankS<n,表明S的各行线性相关，那么一
定存在一个非零的向量α使
α T [B AB L An−1B] = 0,
α T Ai B = 0,i = 1,2,Ln −1
12
α T Ai B = 0, i = 1,2,Ln −1
根据凯莱－哈密尔顿定理 α T Ai B = 0, i = n, n +1,L
α T e−At B = α T [I − At + 1 A2t 2 − 1 A3t3 + L]B
2!
3!
= α T B −α T ABt + 1 α T A2Bt 2 − 1 α T A3Bt 3 + L = 0
2!
3!
∫t1 [α T e−Aτ B][α T e−Aτ B]T dτ = 0
0
∫ ∫ t1 α T e−Aτ BBT e−ATταdτ = α T t1 e−Aτ BBT e−ATτ dτα
能控性与能观性
2 1 2 2 2 4 0 0 , AB 0 1 1 0 1 , A2 B 0 B 1 1 0 1 1 1 5
• 秩判据 对n维线性时不变系统，系统完全能观 的充分必要条件为
C CA n rank n 1 CA
2 1 1 x x u 1 3 1 1 0 1 0 1 0 1 0 C 2 rank CA 2 1 2 1
Kalman 滤波
卡尔曼滤波是一种高效率的递归滤波 器(自回归滤波器), 它能够从一系列的不 完全及包含噪声的测量中，估计动态系统 的状态。 卡尔曼在NASA埃姆斯研究中心访问 时，发现他的方法对于解决阿波罗计划的 轨道预测很有用，后来阿波罗飞船的导航 电脑便使用了这种滤波器。
In late November 1958, not long after coming to RIAS, Kalman was returning by train to Baltimore from a visit to Princeton. At around 11 P.M., the train was halted for about an hour just outside Baltimore. It was late, he was tired, and he had a headache. While he was trapped there on the train for that hour, an idea occurred to him: Why not apply the notion of state variables to the Wiener– Kolmogorov filtering problem? He was too tired to think much more about it that evening, but it marked the beginning of a great exercise to do just that. He read through Loe`ve’s book on probability theory and equated expectation with projection. That proved to be pivotal in the derivation of the Kalman filter.
BF性控制系统的能控性和能观测性节
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4
0u
x3 0 0 1 x3 7 5
状态完全能控
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8
定理3：设线性系统
x A具x 有B重u特征值，且每个重特征值只对应一个
独立的特征向量，则其状态完全能控的充分必要条件是系统经线性非
奇异变换后的约当标准型：
J1 x~
J2
0
x~
B~u
0
J
k
中， B~阵中与每个约当小块
▪ 能观测性： 指由系统的输出y(t)识别状态变量x(t)的能力，它回答了状态变量能否由输出反映出来。
有些状态能通过输出y(t)确定下来，有些状态则不能。能通过y(t)反映的状态为能观状 态，不能通过y(t)反映的状态为不能观状态
直观概念: 系统结构图如下
u
x1 s1 x1
2
x2 s1
3
x2 y
显然输出
[证毕]
定理2：设线性系统
x A具x有两B两u相异的特征值
则其状1,态2完,..全., 能n
控的充分必要条件是：系统经线性非奇异变换后的对角线标准型：
1
0
x
2
x Bu 中， B不包含元素全为0的行。
0
n
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7
[例]：考察如下系统的能控性：
x1 7 0 0 x1 2
1）
x2
0
5
0
x2
5
u
x3 0 0 1 x3 7
状态完全能控
x1 7 0 0 x1 2
2）
x2
0
5
0
x2
0
根据约当规范形来判别线性系统的能控性和能观测性
用约当规范形判别线性系统的能控性赛耀樟控制科学与工程学院 检测技术与自动化装置 2009010189摘要：60年代初期卡尔曼提出了能控性和能观测性概念。
能控性和能观测性分别是从状态的控制能力和状态的测辨能力两个方面揭示了控制系统的两个基本属性。
现代控制理论的许多基本问题，如最优控制和最优估计，都是以能控性和能观测性为存在条件的。
一 能控性约当规范形判据内容线性定常系统的能控性约当规范形判据 线性定常系统状态方程（1）当矩阵A 的特征值两两互质时.,,,,)3(0,)0(,0常阵为维输入向量为维状态向量为p n n n B A p u n t x x Bu A ⨯⨯≥=+=x x x ()()⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+==++++⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⨯⨯⨯⨯i i i i i i i i p i i i i i l p n l n n l l n B B B B J J J J B B B B J J J A u B A n A B u B ααδδδδδδδλδλδλλλλˆˆˆˆˆˆˆˆˆ:ˆˆˆˆ3,),(,),(),()2(.,2121,21,2121221121 其中导出的约当规范形由时且重重重的特征值为当矩阵不包含元素全为零的行中x x x x二 能控性约当规范形判据推导为使推证过程中的符号不致过于复杂，不失普遍性，不妨取为..,,2,1ˆˆˆ),,2,1(ˆ,)(ˆˆˆˆ11212121,证略均为行线性无关对阵的最后一行所组成的矩由而l i ri b b b k B r r r rik b b b B J i ri ri i ik i i i i ik ik p r ik i i i r r i i ik ik ik =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==+++⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⨯⨯ααδλλλα其中ran可以证出约当规范性判据。
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J为时间定义区间，
A(t)，B(t)，C(t), D(t)为适当维数的元为t的连续函数的矩阵 在研究能观测性问题中，输入和输出都已假定为已知 假定输入u恒为零 所谓能观测性即是研究初始状态可由输出的完全可估计性。
定义5.5、对于系统(5.7)，若取定初始时刻 t 0 J 的一个非零初始状态x0 存在
C 不包含元素全为零的列。 x , y C x 中， n
1 x
2
（2）当特征值为
1 ( 1重)，2 ( 2重)， l ( l 重)且 1 2 l n
时，系统（5.8）的Jordan 规范型为
T
wo (0, t1 ) x 0
2
且
x T wo x x T e A t CT Ce At xdt Ce At x dt 0
当
t1
x(0) x
0
0
时, 有 y
Ce At x, t 0
At y ( t ) Ce x 0 ,即
所以 y(t)=0, 即 反之, 若
ˆ C ˆ C ˆ C i i1 i i
i J ik
1
i
1 ˆ C ˆ ,C ik 1ik 1 i rik rik
ˆ , C rik
k 1, 2, , i , ri1 rii i
t1 AT t
x
不能观测.
x
不能观测, 则 t1 0, t [0, t1 ], y(t ) 0 , 所以
e C T Ce At xdt 0
0
x
属于空间
N[wo (0, t1 )]
w (0, t1 ) 是非奇异的. 系统(5.8)完全能观测的充要条件是 N[wo (0, t1 )]={0}, 即 o
即：
1 4 x1 u x 2 5x2 2u x
y 6 x2
y只反映x2，与x1无直接间接关系，故系统是不完全能观测的。
二、定义 考虑线性时变系统
A(t ) x B(t )u, y C(t ) x D(t )u, t J x
其中
(5.7)
x(t ) R n , u(t ) R p , y R q
T
n
A C
T
T
(A )
T
n 1
C
T T
C rank n, i 1,2, n I A i
, or
C rank n, s （复数域） 即(sI-A)和C为右互质。 sI A
推论5.2、（PBH特征向量判据）
ˆ ˆ (k 1,2,, ) 的第一列所组成的矩阵 C 由C 1i 1 ik i
对
ˆ C 1i
i
i 1,2,, l
均为列线性无关。
四、能观测性指数 定义5.8、对于线性定常系统(5.8)，称rankQk=n的最小正整数k为系统的能观测 性指数，记为ν.其中
Qk C T
AT C T
线性定常系统(5.8)为完全能观测A不能有与C的所有行相正交的非零右特征向
量，即对A的所有特征值
i (i 1,2, n) ，使同时满足
A i , C 0 的特征向量 0
定理5.10、（Jordan 规范型判据） 线性定常系统(5.8)为完全能观测 （1）当A的特征值
1 , 2， n 为两两相异时，(5.8)的对角线规范型
AT 2 C T
( AT ) k 1 C T
T
性质5.7、若rank(C)=m≤q，则有
n / q n m 1
证：Qν为 vq n ，要使rankQν=n，必要条件为 νp≥n。 设rank(C)=m，而CA，CA2，…，CAν-1每个矩阵中至少有一个行向量和 Qν中其上侧所有线性独立的行向量线性无关 ，∴ m+ν-1≤n. 性质5.8、对单输出系统，即q=1，系统的能观测性指数为ν=n..
ˆx ˆx ˆA ˆ, y C ˆ x
J1 ˆ A J2 ˆ ˆ C ˆ C ˆ , C C 1 2 l Jl
其中： Ji为σi*σi阵，且具有如下形式：
J i1 Ji
J i2 J i i
§5.2
能观测性定义及其判据
能观测性，就是研究系统状态是否由输出反映 不能观测:对于某一状态，对应的输出总是零 ，即输出无法反映状态的变化 一、直观例子
x1 4 0 1 例5.6 x x u ， y (0, 6) 0 5 2 x2
定理5.8、秩判据 线性定常系统(5.8)为完全能观测 rank C T 其中n为矩阵A的维数， 系统的能观测性判别阵： Qo C T 定理5.9、（PBH秩判据） 线性定常系统(5.8)为完全能观测 对A的所有特征值 i (i 1,2, n) 均有
AT C T ( AT ) n1 C T
t1 J , t1 t 0
使对所有
t [t 0 , t1 ]
，y(t)=0
则称此x0是在t0时刻为不能观测的。 定义5.6、对于系统(5.7)，若状态空间中一个非0状态不是在t0时刻（t
0
J）
的不能观测的，则称状态在t0时刻是能观测的。若所有非0状态都不是 在t0时刻不能观测的，则称系统(5.7)在t0时刻是完全能观测的。 定义5.7、对于系统(5.7)，取定初始时刻 t 0 J 若状态空间中存在一个 或一些非零状态在t0时刻是不能观测的则称此系统在t0不完全能观测的。 三、能观性判别准则 定理5.7、（Gram判据）线性定常系统
Ax, x(0) x , x
y Cx, t 0
(5.8)
的状态
x
不能观测
x
t1 0
属于空间 N[wo (0, t1 )]
T At
，其中
wo (0, t1 ) e C Ce设
t1
w0 (0, t1 )
为非奇异阵。
x N[wo (0, t1 )] ，则方程