2010届高三数学一轮复习课件：平面向量的基本概念及线性运算
平面向量的基本概念及线性运算平面向量高考一轮数学精品PPT课件
a
=
(2)减法
①减法与加法互为逆运算;
②法则:服从三角形法则.
3.实数与向量的积
(1)长度与方|向λ规|·定|如a|下: ①|λa|=
(交换律); (结合律);
.
; 返回目录
②λ当>0
时,λa与a的方向λ相<0同;当
时,
0
λa与a的方向相反;当λ=0时,λa=
.
(2)运算律(λ:设μλ)a,μ∈R,则
∴四边形ABCD是平行四边形 ，反之 ，若四边 形 AB CD是平行四边形，则AB∥DC，且AB与DC方向相同， 因此，AB=DC.
（3）正确.∵a=b,∴a,b的长度相等且方向相同；
又∵b=c,
∴b,c的长度相等且方向相同.
∴a,c的长度相等且方向相同，故a=c.
（4）不正确.当a∥b，但方向相反，即使|a|=|b|， 也不能得到a=b.
（5）正确.这是因为|a|=|b| / a=b，但a=b |a|=|b|，所以|a|=|b|是a=b的必要不充分条件.
返回目录
（6）不正确.这是因为AB=CD时，应有：|AB|=|CD|, 即由A到B与由C到D的方向相同，但不一定要有A与C重合， B与D重合.
【评析】向量中的概念比较多，易混淆，基础性 题目的判定应从概念的本质上加以理解和应用.
∴BM= 1 BA= 1 1a- b.
6
66
∴OM=OB+BM=b+ a1- 1 b= 1 a+5 b.
66 6 6
又OD=a+b,
11
1
2
22
∴ON=OC+
3 CD= 2 OD+
6 OD= 3
高考数学一轮总复习教学课件第五章 平面向量、复数第1节 平面向量的概念及线性运算
→
→
②利用结论“若=λ+μ(λ,μ为实数),则 A,B,C 三点共线的
充要条件是λ+μ=1”来证明三点共线,但应注意此结论成立的前提条
→
→
件是“,不共线”.
[针对训练]
→
→
→
(1)已知向量 a,b 且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三
点是(
A.A,B,D
相等,与起点(终点)无关.
(3)两向量可以相等,也可以不相等,但两向量不能比较大小.向量
的模长均为实数,所以模长可以比较大小.
(4)非零向量a与 || 的关系: ||是与a同方向的单位向量.
[针对训练] 给出下列命题:
→
→
①若A,B,C,D是不共线的四点,且 = ,则四边形ABCD为平行
(1)|a|与|b|是否相等和a,b的方向无关.( √
(2)若a∥b,b∥c,则a∥c.(
→
×
)
)
→
(3)向量与向量是共线向量,则 A,B,C,D 四点在一条直线上.
(
)
×
(4)当两个非零向量a,b共线时,一定有b=λa,反之成立.( √
)
2.在平行四边形ABCD中,点E是DC的中点,点F是BC的一个三等分点
k(2a-b),则有(1-2k)a+(k+λ)b=0,因为a,b是两个不共线向量,故a
- = ,
与b均不为零向量,所以
+ = ,
解得 k=,λ=-.
提升·关键能力
类分考点,落实四翼
考点一
平面向量的基本概念
[例1] (1)下列命题正确的是(
高三数学(文)一轮复习课件4-1 平面向量的概念及其线性运算ppt版本
→→→
→
∴AC＝AB＋BC＝4e1＋e2，又CD＝－8e1－2e2，
→
→ →→
∴CD＝－2AC，∴AC与CD共线。
→→ 又∵AC与CD有公共点 C，∴A，C，D 三点共线。
→
→
→
(2)如果AB＝e1＋e2，BC＝2e1－3e2，AF＝3e1－ke2，且 A，C，F 三点共线，
求 k 的值。
→
→
解析：(2)∵AB＝e1＋e2，BC＝2e1－3e2，
B．－B→C－12B→A
C.B→C－12B→A
D.B→C＋12B→A
解析：如图，由于 D 是 AB 的中点，所以C→D＝C→B＋B→D＝C→B＋12B→A＝－B→C ＋12B→A。
答案：A
→→→ → 4．化简OP－QP＋MS－MQ的结果为__________。
→ → → → → → → → → →→ 解析：OP－QP＋MS－MQ＝(OP＋PQ)＋(MS－MQ)＝OQ＋QS＝OS。
0，那么( A )
→→ A.AO＝OD
→→ B.AO＝2OD
→→ C.AO＝3OD
→→ D．2AO＝OD
→→ (3)在△ABC 中，点 D 在线段 BC 的延长线上，且BC＝3CD，点 O 在线段
→→
→
CD 上(与点 C，D 不重合)，若AO＝xAB＋(1－x)AC，则 x 的取值范围是( D )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：①不正确。|a|＝|b|但 a，b 的方向不确定，故 a，b 不一定相等；②
→→ 不正确。因为AB＝DC，A，B，C，D 可能在同一直线上，所以 ABCD 不一定
是四边形；③不正确。两向量不能比较大小；④不正确。当 λ＝μ＝0 时，a 与
高考数学一轮专项复习讲义(新高考用)-平面向量的概念及线性运算(含解析)
平面向量的概念及线性运算目录01考情透视.目标导航 (2)02知识导图.思维引航 (3)03考点突破.题型探究 (4)知识点1：向量的有关概念 (4)知识点2：向量的线性运算 (4)知识点3：平面向量基本定理和性质 (5)知识点4：平面向量的坐标表示及坐标运算 (7)解题方法总结 (8)题型一：平面向量的基本概念 (9)题型二：平面向量的线性运算及求参数问题 (10)题型三：共线定理及其应用 (14)题型四：平面向量基本定理、交叉分解定理及应用 (19)题型五：平面向量的直角坐标运算 (26)题型六：向量共线的坐标表示 (30)04真题练习.命题洞见 (31)05课本典例.高考素材 (32)06易错分析.答题模板 (35)易错点：忽视平面向量基本定理的使用条件 (35)答题模板：用基底表示向量 (36)考点要求考题统计考情分析（1）向量的有关概念（2）向量的线性运算和向量共线定理（3）平面向量基本定理和性质（4）平面向量的坐标表示及坐标运算2024年I卷第3题，5分2024年甲卷（理）第9题，5分2023年北京卷第3题，5分2022年I卷第3题，5分2021年乙卷（文）第13题，5分2022年乙卷（文）第3题，5分通过对近5年高考试题分析可知，高考在本节以考查基础题为主，考查形式也较稳定，考查内容一般为平面向量基本定理与坐标运算，预计后面几年的高考也不会有大的变化．复习目标：（1）理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义．（2）掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义．（3）了解平面向量基本定理及其意义（4）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算知识点1：向量的有关概念（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）．（2）向量的模：向量AB 的大小，也就是向量AB 的长度，记作||AB ．（3）特殊向量：①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．②单位向量：长度等于1个单位的向量．③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0 与任一向量平行．④相等向量：长度相等且方向相同的向量．⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量．【诊断自测】下列命题中，正确的是（）A ．若a b = ，则a b= B ．若a b > ，则a b > C ．若a b = ，则//a bD ．若//,//a b b c ，则//a c【答案】C 【解析】对于A ：若a b = ，则,a b 只是大小相同，并不能说方向相同，A 错误；对于B ：向量不能比较大小，只能相同，B 错误；对于C ：若a b = ，则,a b 方向相同，C 正确；对于D ：若//,//a b b c ，如果b 为零向量，则不能推出,a c 平行，D 错误.故选：C.知识点2：向量的线性运算（1）向量的线性运算运算定义法则（或几何意义）运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则①交换律a b b a +=+ ②结合律()a b c ++ =()a b c ++ 减法求a 与b 的相反向量b - 的和的运算叫做a 与b的差三角形法则()a b a b -=+- 数乘求实数λ与向量a 的积的运算（1）||||||a a λλ= （2）当0λ>时，a λ 与a的方向相同；当0λ<时，a λ 与a 的方向相同；当0λ=时，0a λ= ()()a a λμλμ= ()a a a λμλμ+=+ ()a b a bλλλ+=+ 【注意】（1）向量表达式中的零向量写成0 ，而不能写成0．（2）两个向量共线要区别与两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系．（3）要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合，和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量；运用三角形法则时两个向量必须首尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件．（4）向量加法和减法几何运算应该更广泛、灵活如：OA OB BA -= ，AM AN NM -= ，+OA OB CA OA OB CA BA CA BA AC BC =⇔-=⇔-=+= ．【诊断自测】MP PQ MN +-= （）A ．QNB ．NQC ．PMD ．MP【答案】A【解析】MP PQ MN NP PQ NQ +-=+= ，故选：A ．知识点3：平面向量基本定理和性质1、共线向量基本定理如果()a b R λλ=∈ ，则//a b ；反之，如果//a b 且0b ≠ ，则一定存在唯一的实数λ，使a b λ= ．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）．2、平面向量基本定理如果1e 和2e 是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量a ，都存在唯一的一对实数12,λλ，使得1122a e e λλ=+ ，我们把不共线向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{}12,e e ，1122e e λλ+ 叫做向量a 关于基底{}12,e e 的分解式．注意：由平面向量基本定理可知：只要向量1e 与2e 不共线，平面内的任一向量a 都可以分解成形如1122a e e λλ=+ 的形式，并且这样的分解是唯一的．1122e e λλ+ 叫做1e ，2e 的一个线性组合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础．推论1：若11223142a e e e e λλλλ=+=+ ，则1324,λλλλ==．推论2：若11220a e e λλ=+= ，则120λλ==．3、线段定比分点的向量表达式如图所示，在ABC △中，若点D 是边BC 上的点，且BD DC λ= （1λ≠-），则向量1AB AC AD λλ+=+ ．在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握．D ACB 4、三点共线定理平面内三点A ，B ，C 共线的充要条件是：存在实数,λμ，使OC OA OB λμ=+ ，其中1λμ+=，O 为平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握．A 、B 、C 三点共线⇔存在唯一的实数λ，使得AC AB λ= ；⇔存在唯一的实数λ，使得OC OA AB λ=+ ；⇔存在唯一的实数λ，使得(1)OC OA OB λλ=-+ ；⇔存在1λμ+=，使得OC OA OB λμ=+ ．5、中线向量定理如图所示，在ABC △中，若点D 是边BC 的中点，则中线向量1(2AD AB =+ )AC ，反之亦正确．D ACB【诊断自测】在ABC 中，已知D 是BC 边上靠近点B 的三等分点，E 是AC 的中点，且DE AB AC λμ=+ ，则λμ+=（）A ．12-B ．1-C ．12D ．1【答案】A【解析】因为D 是BC 边上靠近点B 的三等分点，E 是AC 的中点，所以2132DE DC CE BC AC =+=- 21()32AC AB AC =-- 2136AB AC =-+ ，因为DE AB AC λμ=+ ，所以21,36λμ=-=，所以211362λμ+=-+=-.故选：A知识点4：平面向量的坐标表示及坐标运算（1）平面向量的坐标表示．在平面直角坐标中，分别取与x 轴，y 轴正半轴方向相同的两个单位向量,i j 作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数,x y 使a xi yj =+ ，我们把有序实数对(,)x y 叫做向量a 的坐标，记作(,)a x y = ．（2）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有向量(,)x y 一一对应向量OA 一一对应点(,)A x y ．（3）设11(,)a x y = ，22(,)b x y = ，则1212(,)a b x x y y +=++ ，1212(,)a b x x y y -=-- ，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．若(,)a x y = ，λ为实数，则(,)a x y λλλ= ，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标．（4）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则AB OB OA =- =12(,x x -12)y y -，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标．（5）平面向量的直角坐标运算①已知点11()A x y ，，22()B x y ，，则2121()AB x x y y =-- ，，||AB = ②已知11(,)a x y = ，22(,)b x y = ，则a b ± 1212()x x y y =±±，，11(,)a x y λλλ= ，=a b ⋅ 1212x x y y +，||a = ．a b ∥⇔12210x y x y -=，a b ⊥⇔ 12120x x y y +=【诊断自测】已知点(2,3),(1,4)A B ，且2AP PB =- ，则点P 的坐标是．【答案】(0,5)【解析】如图，连接,,AP OA BP ，设O 为坐标原点，建立平面直角坐标系，22()OP OA AP OA PB OA OB OP =+=-=-- ，整理得2(2,8)(2,3)(0,5)OP OB OA =-=-= ．故答案为：(0,5)解题方法总结（1）向量的三角形法则适用于任意两个向量的加法，并且可以推广到两个以上的非零向量相加，称为多边形法则．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量．即122311n n n A A A A A A A A -+++= ．（2）||||||||||||a b b a a b -≤±≤+ ，当且仅当,b a 至少有一个为0 时，向量不等式的等号成立．（3）特别地：||||||||b b a a -≤± 或||||||a a b b ±≤+ 当且仅当,b a 至少有一个为0 时或者两向量共线时，向量不等式的等号成立．（4）减法公式：AB AC CB -= ，常用于向量式的化简．（5）A 、P 、B 三点共线⇔(1)OP t OA tOB =-+ ()t R ∈，这是直线的向量式方程．题型一：平面向量的基本概念【典例1-1】（2024·高三·福建厦门·开学考试）下列命题不正确的是（）A ．零向量是唯一没有方向的向量B ．零向量的长度等于0C ．若a ，b 都为非零向量，则使0a b a b+= 成立的条件是a 与b 反向共线D ．若a b = ，b c = ，则a c= 【答案】A【解析】A 选项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A 错误；B 选项，由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B 正确；C 选项，因为a a 与b b 都是单位向量，所以只有当a a与b b 是相反向量，即a 与b 是反向共线时0a b a b+= 才成立，故C 正确；D 选项，由向量相等的定义知D 正确.故选：A【典例1-2】给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③若0a λ= (λ为实数)，则λ必为零；④已知λ，μ为实数，若a b λμ= ，则a 与b共线.其中错误命题的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】①错误.两向量共线要看其方向而不是起点与终点.②正确.因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小.③错误.因为0a λ= ，所以0λ=或0a = .④错误.当λ＝μ＝0时，a b λμ= ，此时，a 与b 可以是任意向量.所以错误命题有3个.故选：C.【方法技巧】准确理解平面向量的基本概念是解决向量题目的关键．共线向量即为平行向量，非零向量平行具有传递性，两个向量方向相同或相反就是共线向量，与向量长度无关，两个向量方向相同且长度相等，就是相等向量．共线向量或相等向量均与向量起点无关．【变式1-1】下列说法中，正确的是（）A ．若||||a b > ，则a b >B ．若||||a b = ，则a b= C ．若a b = ，则//a b r r D ．若a b ≠ ，则a 与b 不是共线向量【答案】C【解析】对于A ，向量的模为非负数，它们可以比较大小，但向量不可以比较大小，故A 错误.对于B ，两个向量的模相等，但方向可以不同，故B 错误.对于C ，若a b = ，则,a b 必定共线，故//a b r r ，故C 成立.对于D ，当a b ≠时，它们可以模长不相等，但可以同向或反向，故a 与b 可以为共线向量，故D 错误.故选：C【变式1-2】设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是（）A ．a 与a λ 的方向相反B ．a 与2a λ 的方向相同C ．a a λ-≥D ．a a λλ-≥ 【答案】B【解析】对于A ，当0λ>时，a 与a λ 的方向相同，当0λ<时，a 与a λ 的方向相反，故A 不正确；对于B ，显然20λ>，即B 正确；对于C ，a a λλ-= ，由于λ与1的大小不确定，故a λ- 与a r 的大小关系不确定，故C 不正确；对于D ，a λ 是向量，而a λ- 表示长度，两者不能比较大小，故D 不正确．故选：B题型二：平面向量的线性运算及求参数问题【典例2-1】若74AB AC ==， ，则BC uu u r 的取值范围是（）A ．[3，7]B ．()37，C ．[]311，D ．(311)，【答案】C【解析】由题意知74AB AC ==， ，且||BC AC AB -= ,当,AC AB同向时，BC uu u r 取得最小值，|||||||47|3||BC AC AB AC AB ===---= ；当,AC AB反向时，BC uu u r 取得最大值，|||||||||47|11BC AC AB AC AB -+===+= ；当,AC AB 不共线时，BC uu u r 取得最小值，3||||||||||1||||1AC AB BC AC AB =<-<+=，故BC uu u r的取值范围是[]311，，故选：C【典例2-2】在平行四边形ABCD 中，E 为BD 的中点，F 为BC 上一点，则2AB AD AF +-=（）A ．2FEB ．2EFC ．FED ．2CF【答案】A【解析】因为E 为BD 的中点，则2AB AD AE += ，所以2222AB AD AF AE AF FE +-=-= .故选：A.【方法技巧】（1）两向量共线问题用向量的加法和减法运算转化为需要选择的目标向量即可，而此类问题又以“爪子型”为几何背景命题居多，故熟练掌握“爪子型”公式更有利于快速解题．（2）进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解．（3）除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．【变式2-1】如图，在平行四边形ABCD 中，,AB a AD b == ，点E 满足13EC AC = ，则DE =（）．A ．2133a b-B ．2133a b+C ．1233a b-D ．1233a b+【答案】A【解析】由题意知，点E 满足13EC AC =，可得23AE AC = ，则2221()3333AE AD AC AD AB A D D a E D A b -=-=+--==.故选：A.【变式2-2】（2024·宁夏吴忠·模拟预测）如图所示，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若(),DE AB AD λμλμ→→→=+∈R ，则λμ+等于（）．A ．1B ．-1C ．12D ．12-【答案】D【解析】由题意知1113()4444DE DA AE AD AC AD AB AD AB AD →→→→→→→→→→=+=-+=-++=-，因为(),DE AB AD λμλμ→→→=+∈R ，所以14λ=，34μ=-，12λμ+=-，故选：D ．【变式2-3】已知矩形ABCD 的对角线交于点O ，E 为AO 的中点，若DE AB AD λμ=+（λ，μ为实数），则22λμ-=（）A ．12-B ．79CD【答案】A【解析】如图在矩形ABCD 中，()12=+ DO DA DC ，在DAO 中，()12=+ DE DA DO ，11131132224444⎛⎫∴=++=+=- ⎪⎝⎭ DE DA DA DC DA DC AB AD ，13,44λμ∴==-，2219116162λμ∴-=-=-．故选：A ．【变式2-4】（2024·高三·安徽·开学考试）古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus ）利用如图所示的直角三角形来构造无理数.已知1,,,AB BC CD AB BC AC CD AC ===⊥⊥与BD 交于点O ，若DO AB AC =λ+μ，则λμ+=（）A1B．1C1D．1-【答案】A【解析】以C 为坐标原点，,CD CA 所在直线分别为,x y轴建立如图所示的坐标系，由题意得AC =则((),,,0,0,,2222A B C AB ⎛⎫⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(0,AC =.因为1,9045135CB CD DCB ==∠=+= ，故22.5BDC ∠= ，因为22tan 22.5tan 4511tan 22.5==-，所以tan 22.51 （负值舍去），所以tan 22.51OC DC =⋅= ，故()1O .又()1,0D -，则()1DO =，因为DO AB AC =λ+μ，所以1212λλ⎧=⎪⎪⎨=-，解得1λμ⎧=⎪⎨=-⎪⎩1λμ+=，故选：A.题型三：共线定理及其应用【典例3-1】已知平面向量a ，b 不共线，46AB a b =+ ，3BC a b =-+ ，3CD a b =+，则（）A ．A ，B ，D 三点共线B ．A ，B ，C 三点共线C ．B ，C ，D 三点共线D ．A ，C ，D 三点共线【答案】D【解析】因为平面向量a ，b 不共线，所以a ，b可以作为平面内的一组基底，又46AB a b =+ ，3BC a b =-+ ，3CD a b =+，所以336BD BC CD a b a b b =+=+-+=，34639AC AB BC a b a b a b =+=-+++=+，对于A ：因为46AB a b =+，6BD b = ，显然不存在实数t 使得AB tBD =，所以A ，B ，D 三点不共线，故A 错误；对于B ：因为46AB a b =+，39AC a b =+，不存在实数n 使得AB nAC =，所以A ，B ，C 三点不共线，故B 错误；对于C ：因为3BC a b =-+ ，3CD a b =+，不存在实数m 使得BC mCD = ，所以B ，C ，D 三点不共线，故C 错误；对于D ：因为39AC a b =+，3CD a b =+ ，所以3AC CD = ，所以//AC CD，故A ，C ，D 三点共线，故D 正确.故选：D【典例3-2】如图，在ABC 中，3,AC AN P = 是BN 上的一点，若1139AP m AB AC ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则实数m 的值为（）A ．19B ．29C ．23D ．13【答案】D【解析】由题意可知，12AN NC = ，所以3AC AN = ，又1139AP m AB AC ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ ，即1133AP m AB AN ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ .因为B P N ､､三点共线，所以11133m ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，解得13m =.故选：D.【方法技巧】要证明A ，B ，C 三点共线，只需证明AB 与BC 共线，即证AB =λBC（R λ∈）．若已知A ，B ，C 三点共线，则必有AB 与BC 共线，从而存在实数λ，使得AB =λBC．【变式3-1】如图，ABC中，点M 是BC 的中点，点N 满足23AN AB =，AM 与CN 交于点D ，AD AM λ=，则λ=（）A ．23B ．34C ．45D ．56【答案】C【解析】在ABC 中，点M 是BC 的中点，1122AM AB AC =+ ，则22AB A A C D AM λλλ+==，又23AN AB = ，于是得342AD AN AC λλ=+uuu r uuu r uuu r ，因点C ，D ，N 共线，则有3142λλ+=，解得4=5λ，所以4=5λ.故选：C【变式3-2】（2024·重庆·模拟预测）已知点G 是ABC 的重心，点M 是线段AC 的中点，若GM AB AC λμ=+，则λμ+=（）A ．112B ．16C ．16-D ．112-【答案】C【解析】()11113332GM BM AM AB AC AB ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭1136AB AC =-+ ，所以111,,366λμλμ=-=+=-.故选：C【变式3-3】已知12,e e 是两个不共线的单位向量，1212,2a e e b e ke =-=-+，若a 与b 共线，则k =.【答案】2【解析】因为12a e e =- 与122b e ke =-+ 共线，所以b a λ=，即()12122e ke e e λ-+=- ，又12,e e 不共线，所以2k λλ-=⎧⎨=-⎩，所以2k =.故答案为：2【变式3-4】已知ABC 的重心为G ，经过点G 的直线交AB 于D ，交AC 于E ，若AD AB λ=uuu r uu u r ，AE AC μ=，则11λμ+=.【答案】3【解析】如图，设F 为BC 的中点，则()2133AG AF AB AC ==+，又1AB AD λ=uu u r uuu r ，1AC AE μ= ，则1133AG AD AE λμ=+ ，又G ，D ，E 三点共线，∴11133λμ+=，即113λμ+=.故答案为：3.【变式3-5】如图，点G 为△ABC 的重心，过点G 的直线分别交直线AB ，AC 点D ，E 两点，3(0)AB m AD m => ，3(0)AC nAE n =>，则m n +＝；若0n m >>，则11m n m+-的最小值为.【答案】13+【解析】因为点G 为△ABC 的重心，所以1331AG AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，因为3(0)AB m AD m => ，3(0)AC nAE n =>，所以AG mAD nAE =+ ，因为,,D G E 三点共线，所以1m n +=，则1,n m m =->则102m <<，代入11m n m +-得11,11022m m m <<+-令()1112f m m m=+-，102m <<，()()()22222121224112f m m m m m m m -'=+--+-=-令()0f m '=，则22m =或22（舍）且当20,2m ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f m '<,()f m 递减当2122m ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f m '>，()f m 递增所以当m =()f m 有极小值，即最小值，且()min 32f m ==+故答案为:1；3+【变式3-6】如图，在ABC 中，11,,23AD AB AE AC CD == 与BE 交于点,2P AB =，3,1AC AP BC =⋅=，则AB AC ⋅uu u r uuu r的值为；过点P 的直线l 分别交,AB AC 于点,,M N 设,AM m AB = AN nAC = (0,0)m n >>，则2m n +的最小值为.【答案】485【解析】设AP xAB yAC =+，令,AB a AC b == ，因为11,23AD AB AE AC == ，所以2,3AB AD AC AE == ，所以23AP xAD y AC xAB y AE =+=+ ，又,,B P E 与,,C P D 分别共线，所以2131x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得21,55x y ==.因为()21155AP BC a b b a ⎛⎫⋅=+⋅-= ⎪⎝⎭，所以22250a a b b -⋅-+= ，即8950a b -⋅-+=，解得4a b ⋅= ，即4AB AC ⋅= .因为,AM mAB AN nAC ==，所以11,AB AM AC AN m n== ，所以21215555AP AB AC AM AN m n=+=+，因为,,M P N 共线，所以21155m n+=，所以()214448225555555n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当42,55m n ==时，等号成立，所以2m n +的最小值为85.故答案为：4；85.题型四：平面向量基本定理、交叉分解定理及应用【典例4-1】（2024·上海浦东新·三模）给定平面上的一组向量1e 、2e，则以下四组向量中不能构成平面向量的基底的是（）A ．122e e + 和12e e - B ．123e e + 和213e e +C ．123e e - 和2126e e -D ．1e 和12e e + 【答案】C【解析】对A ：不存在实数λ，使得()12122e e e e λ+=- ，故122e e + 和12e e -不共线，可作基底；对B ：不存在实数λ，使得()122133e e e e λ+=+ ，故123e e + 和213e e +不共线，可作基底；对C ：对123e e - 和2126e e - ，因为21,e e是不共线的两个非零向量，且存在实数2-，使得()21122326e e e e =--- ，故123e e - 和2126e e -共线，不可作基底；对D ：不存在实数λ，使得()112e e e λ=+ ，故1e 和12e e +不共线，可作基底.故选：C.【典例4-2】如图，在△ABC 中，点D ，D ，E 分别为BC 和BA 的三等分点，点D 靠近点B ，AD 交CE 于点P ，设BC a = ，BA b = ，则BP＝（）A ．1377a b-+ B ．1477a b+C ．1377a b+D ．2477a b+【答案】B【解析】设AP AD λ= ，EP EC μ=，所以()BP AP AB AD AB BD BA AB λλ=-=-=-- ，又13BD BC = ，所以()13BP BC BA λλ=+- ，因为23BE BA =，所以()()2221333BP BE EP BA EC BA BC BE BA BC μμμμ=+=+=+-=-+ ，所以322133λμμλ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得3717λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以14147777BP BC BA a b =+=+ ，故选：B.【方法技巧】应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算，基本方法有两种：（1）运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简，直至用基底表示为止．（2）将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解．（3）三点共线定理：A ，B ，P 三点共线的充要条件是：存在实数,λμ，使OP OA OB λμ=+，其中1λμ+=，O 为AB 外一点．【变式4-1】（2024·全国·模拟预测）在ABC 中，点D 在边AB 上且满足2ADDB=，E 为BC 的中点，直线DE 交AC 的延长线于点F ，则BF =（）A ．2BA BC +B ．2BA BC-+ C ．2BA BC -D ．2BA BC-+ 【答案】B【解析】由题，A ，C ，F 三点共线，则()1BF BA BC λλ=+-，D ，E ，F 三点共线，则()1132BF BD BE BA BC μμμμ-=+-=+，∴3112μλμλ⎧=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩，得13λμ=-⎧⎨=-⎩，∴2BF BA BC =-+ ．故选：B.【变式4-2】（2024·山西吕梁·三模）已知等边ABC 的边长为1，点,D E 分别为,AB BC 的中点，若3DF EF = ，则AF =（）A ．1526AB AC+B ．1324AB AC+C ．12AB AC+D ．1322AB AC+uu ur uuu r 【答案】B【解析】在ABC 中，取{},AC AB为基底，则2,,60AC AB AC AB ===，因为点,D E 分别为,AB BC 的中点，3DF EF =,所以1124DE AC EF == ，所以()11132424AF AE EF AB AC AC AB AC =+=++=+ .故选：B.【变式4-3】在ABC 中，2,3,4AB AC BC ===，I 为ABC 的内心，若AI AB BC λμ=+，则36λμ+的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】设ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，根据内心的性质可知0++=aIA bIB cIC ，于是b c AI AB ACa b c a b c=+++++1239AB AC =+122399AB AB BC =++5299AB BC =+，于是363λμ+=．故选：C.【变式4-4】（2024·江苏扬州·模拟预测）在ABC 中，2,DC BD = M 为线段AD 的中点，过M 的直线分别与线段AB AC ､交于P Q ､，且2,3AP AB = AQ AC λ=，则λ=（）A ．16B ．13C ．12D ．23【答案】B【解析】如图，因2,DC BD =则2()AC AD AD AB -=- ,即2133AD AB AC =+ （*），又12AM AD = ,2,3AP AB = AQ AC λ=,代入（*）得，123AM AP AQ λ=+ ,即1126AM AP AQ λ=+ ，因,,P M Q 三点共线，故11126λ+=，解得，13λ=.故选：B.【变式4-5】如图，平面内有三个向量OA ，OB ，OC，其中,120OA OB = ，,30OA OC = ，且1OA OB == ，OC = OC mOA nOB =+，则m n +=.【答案】6【解析】连接AB ,交OC 于点D ,则30,90,tan 303DOA OAD OBD BOD OD OB ︒︒︒∠=∠=∠=∠===,,33OD DA DB ===,法一：由平面向量基本定理得121,333OD OA AD OA AB OA OB =+=+=+6OC OD == ,21642, 6.33OC OA OB OA OB m n ⎛⎫∴=+=++= ⎪⎝⎭法二：根据等高线定理可得,6, 6.OC OC k m n k m n OD OD==+==∴+= 故答案为：6【变式4-6】（2024·福建漳州·模拟预测）在ABC 中，D 是边BC 上一点，且2,BD DC E =是AC 的中点，记,AC m AD n == ，则BE =（）A ．533n m- B ．732n m- C ．732m n- D ．532m n- 【答案】D【解析】1()2BE AE AB AC AC CB =-=-+()113322AC CD AC AD AC=--=---553322AC AD m n =-=- ，故选：D．【变式4-7】（2024·河北衡水·模拟预测）在ABC 中，D 是BC 的中点，直线l 分别与,,AB AD AC 交于点,,M E N ，且43AB AM = ，2,AE ED AC AN λ==，则λ=（）A ．85B ．53C ．74D ．52【答案】B【解析】由2AE ED =，得()21144333393AE AD AB AC AM AN AM AN λλ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭.因为,,M E N 共线，所以4193λ+=，解得53λ=.故选：B.【变式4-8】（2024·河南·模拟预测）在ABC 中，点E 为AC 的中点，2AF FB =，BE 与CF 交于点P ，且满足BP BE λ=，则λ的值为（）A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】B【解析】如图，因为点E 为AC 的中点，2AF FB =，所以，()()1AP AF FP AF xFC AF x AC AF x AF x AC =+=+=+-=-+，()()()31122AP AB BP AB BE AB AE AB AB AE AF AC λλλλλλ-=+=+=+-=-+=+ ，所以()31122x xλλ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即()31321222λλλ--+==，解得12λ=所以，λ的值为12.故选：B【变式4-9】在ABC 中，()11,22BE EC BF BA BC ==+ ，点P 为AE 与BF 的交点，AP AB AC λμ=+，则λμ-=．【答案】14/0.25【解析】因为()12BF BA BC =+，所以F 为AC 中点，,,B P F 三点共线，故可设BP k BF =，即()AP k AF AB AB -=- ，整理得()()1112AP k AF k k AB A AB k C ==+--+，因为12BE EC = ，所以1122A A AB A E C E --= ，即2331B A C A E A =+ ，,,A P E 三点共线，可得12123333AP mAE m AC AB mAC mAB ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭，所以213132m k m k ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得1234k m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得1124A AB A PC =+ ，则11,24λμ==，14λμ-=.故答案为:14【变式4-10】（2024·高三·河南·期中）已知ABC 为等边三角形，分别以CA ，CB 为边作正六边形，如图所示，则（）A ．942EF AD GH=+B ．732EF AD GH=+ C ．54EF AD GH =+D．932EF AD GH =+ 【答案】A【解析】选取,AB AC为基底，3EF EH H AB F AC =+=+ ，222AD BG BC AB AC ===-+ ，222GH GB BH CB AB AB AC AB =+=+=-+ 32AB AC =- ，设EF x AD yGH =+ 2232x AB x AC y AB y AC=-++- (23)(22)x y AB x y AC =-++-，233221x y x y -+=⎧∴⎨-=⎩，924x y ⎧=⎪∴⎨⎪=⎩，即942EF AD GH =+ .故选：A题型五：平面向量的直角坐标运算【典例5-1】已知O 为ABC 的外心，若(0,0),(2,0),1,120,A B AC BAC =∠=且AO AB AC λμ=+，则λμ+=（）A ．23B ．2C ．1D ．136【答案】D【解析】若(0,0),(2,0),1,120A B AC BAC =∠=，则有12C ⎛- ⎝⎭，如图所示，设ABC 的外心(),O x y ，由OA OB ==1x =，由OA OC=3y =，得O ⎛ ⎝⎭，则AO ⎛= ⎝⎭，又1,22AC ⎛=- ⎝⎭，()2,0AB = ，由AO AB AC λμ=+，即()12,02λμ⎛⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得121223λμμ⎧-=⎪⎪=⎪⎩，解得5643λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故136λμ+=.【典例5-2】O 为坐标原点，(6,3)A ，若点P 在直线OA 上，且12OP PA →→=，P 是OB 的中点，则点B 的坐标为．【答案】(4,2)或(12,6)--【解析】由题可知，(6,3)A ，点P 在直线OA 上，则//OP PA →→，又12OP PA →→=，12OP PA →→∴=±，设点()(),,,P m n B a b ，则(),OP m n →=，()6,3PA m n →=--，①当12OP PA →→=时，则()()1,6,32m n m n =--，()()162132m m n n ⎧=-⎪⎪∴⎨⎪=-⎪⎩，解得：21m n =⎧⎨=⎩，()2,1P ∴，P 是OB 的中点，022012ab +⎧=⎪⎪∴⎨+⎪=⎪⎩，解得：42a b =⎧⎨=⎩，()4,2B ∴.②当12OP PA →→=-时，则()()1,6,32m n m n =---，()()162132m m n n ⎧=--⎪⎪∴⎨⎪=--⎪⎩，解得：63m n =-⎧⎨=-⎩，()6,3P ∴--，P 是OB 的中点，062032ab +⎧=-⎪⎪∴⎨+⎪=-⎪⎩，解得：126a b =-⎧⎨=-⎩，()12,6B ∴--，综上可得，点B 的坐标为(4,2)或(12,6)--.故答案为：(4,2)或(12,6)--.【方法技巧】（1）向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．（2）解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程（组）来进行求解．【变式5-1】已知点()0,0O ，向量()1,3OA = ，()3,5OB =- ，点P 满足2AP PB =，则点P 的坐标为．【答案】513,33⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】因为点()0,0O ，向量()1,3OA = ，()3,5OB =-，所以()1,3A ，()3,5B -，设(),P x y ，则()()(),1,31,3AP x y x y =-=--，()()()3,5,3,5PB x y x y =--=---，因为2AP PB = ，所以()()123325x x y y ⎧-=--⎪⎨-=-⎪⎩，解得53133x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以513,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：513,33⎛⎫- ⎪⎝⎭【变式5-2】已知梯形ABCD 中，//,2AB CD AB CD =，三个顶点(4,2),(2,4),(1,2)A B C .则顶点D 的坐标.【答案】()2,1【解析】∵在梯形ABCD 中，2AB DC =，//AB CD ，(4,2)A ，(2,4)B ，(1,2)C ．∴2AB DC =．设点D 的坐标为(,)x y ．则(1,2)DC x y =-- ，(2,2)AB =-．∴(2,2)2(1,2)x y -=--，即(2,2)(22,42)x y -=--，∴222,422,x y -=-⎧⎨-=⎩解得2,1.x y =⎧⎨=⎩故点D 的坐标为(2,1)．故答案为：(2,1)．【变式5-3】（2024·全国·模拟预测）在平行四边形ABCD 中，点()0,0A ，()4,4B -，()2,6D ．若AC 与BD 的交点为M ，则DM 的中点E 的坐标为,【答案】111,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】在平行四边形ABCD 中，因为AC 与BD 的交点为M ，且E 为DM 的中点，所以()12AE AD AM =+()1122AD AB AD ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦3144AD AB =+ ()()312,64,444=+-111,22⎛⎫= ⎪⎝⎭，由A 为坐标原点，所以向量AE的坐标即为E 的坐标，故点E 的坐标为111,22⎛⎫⎪⎝⎭．故答案为：111,22⎛⎫⎪⎝⎭.【变式5-4】如图所示，在四边形ABCD 中，已知A (2，6)，B (6，4)，C (5，0)，D (1，0)，则直线AC 与BD 交点P 的坐标为．【答案】2716,77⎛⎫⎪⎝⎭【解析】设P (x ，y )，则DP = (x －1，y )，DB =(5，4)，CA = (－3，6)，DC = (4，0)．由B ，P ，D 三点共线可得()5,4DB DB λλλ==．又因为()54,4CP DP DC λλ=-=- ，由CP 与CA 共线得，(5λ－4)×6＋12λ＝0.解得47λ=，所以42016,777DP DB ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，即()20161,,77x y ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故2027177161677x x y y ⎧⎧-==⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩.所以P 的坐标为2716,77⎛⎫ ⎪⎝⎭.故答案为：2716,77⎛⎫⎪⎝⎭【变式5-5】（2024·高三·上海普陀·期末）在平面直角坐标系xOy 中，()01,0P ，把向量i OP uuu r顺时针旋转定角θ得到i OQ，i Q 关于y 轴的对称点记为1i P +，0,1,,10i = ，则11P 的坐标为【答案】()cos ,sin θθ--【解析】把向量0OP 顺时针旋转定角θ得到0OQ，得()()()0cos ,sin Q θθ--，0Q 关于y 轴的对称点记为1P ，则()()()1cos π,sin πP θθ--，即()1cos ,sin P θθ--把向量1OP顺时针旋转定角θ得到1OQ ，得()()()1cos π,sin πQ --，即()11,0Q -1Q 关于y 轴的对称点记为2P，则()20,1P ，以此类推可得当i 为奇数时，()cos ,sin i P θθ--，当i 为偶数时，()0,1i P ，故11P 的坐标为()cos ,sin θθ--.故答案为：()cos ,sin θθ--题型六：向量共线的坐标表示【典例6-1】已知()4,2a =- ，()6,b y = ，且//a b，则y =．【答案】3-【解析】由//a b可得426y =-⨯，解得，=3y -.故答案为：3-.【典例6-2】已知向量()()()2,3,2,5,3,1AB BC m CD ===-，若,,A B D 三点共线，则m =.【答案】16-【解析】由(23,4)BD BC CD m =+=+，又,,A B D 三点共线，所以()2,3AB = 与(23,4)BD m =+ 共线，得()243230m ⨯-⨯+=，解得16m =-.故答案为：16-【方法技巧】（1）两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若11(,)a x y =，22()b x y = ,，则a b ∥的充要条件是12210x y x y -=；②若(0)a b b ≠ ∥，则a b λ=．（2）向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．【变式6-1】已知向量()()()3,4,1,5,2,3a b c ==-= ，若- a c 与tc b +共线，则实数t =.【答案】6-【解析】因(3,4)(2,3)(1,1)a c -=-= ，(2,3)(1,5)(21,35)tc b t t t +=+-=-+，则由- a c 与tc b +共线可得，3521t t +=-，解得6t =-.故答案为：6-.【变式6-2】已知向量()()1,1,,2a b m ==-，若()//a a b + ，则m =．【答案】2-【解析】因为()()1,1,,2a b m ==- ，所以()()()1,1,21,1a b m m +=+-=+-，又因为()//a a b +，所以()()1111m ⨯+=⨯-，所以2m =-.故答案为：2-．【变式6-3】在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,2)A -，(1,1)B ，(3,1)C -．则AB 的中点坐标为；当实数m =时，()//mOC OB AB +．【答案】30,2⎛⎫⎪⎝⎭/()0,1.53【解析】因为(1,2)A -，(1,1)B ，(3,1)C -，所以AB 的中点坐标为1112,22-++⎛⎫⎪⎝⎭，即30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；又()()()1,11,22,1AB =--=- ，(1,1)OB =，(3,1)OC =- ，则()()()3,11,131,1mOC OB m m m +=-+=-++，因为()//mOC OB AB +，则()()21131m m +=--+，解得3m =.故答案为：30,2⎛⎫⎪⎝⎭；31．（2023年北京高考数学真题）已知向量a b，满足(2,3),(2,1)a b a b +=-=- ，则22||||a b -= （）A ．2-B ．1-C ．0D ．1【答案】B【解析】向量,a b 满足(2,3),(2,1)a b a b +=-=-，所以22||||()()2(2)311a b a b a b -=+⋅-=⨯-+⨯=-.故选：B2．（2022年新高考全国I 卷数学真题）在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n ==，，则CB=（）A ．32m n -B ．23m n -+C ．32m n +D ．23m n+ 【答案】B【解析】因为点D 在边AB 上，2BD DA =，所以2BD DA =，即()2CD CB CA CD -=- ，所以CB =3232CD CA n m -=- 23m n =-+ ．故选：B ．3．（2020年新高考全国卷Ⅱ数学试题（海南卷））在ABC 中，D 是AB 边上的中点，则CB=（）A ．2CD CA +B ．2CD CA -C ．2CD CA - D ．2CD CA+ 【答案】C【解析】()222CB CA AB CA AD CA CD CA CD CA-=+=+=+-= 故选：C4．（2024年上海秋季高考数学真题（网络回忆版））已知()(),2,5,6,k a b k ∈==R ，且//a b，则k 的值为．【答案】15【解析】//a b，256k ∴=⨯，解得15k =．故答案为：15．5．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）已知向量()()2,5,,4a b λ== ，若//a b r r ，则λ=．【答案】85【解析】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：2450λ⨯-⨯=，解方程可得：85λ=.故答案为：85.1．（1）如图（1），在ABC 中，计算AB BC CA ++；（2）如图（2），在四边形ABCD 中，计算AB BC CD DA +++；（3）如图（3），在n 边形123n A A A A 中，12233411?n n n A A A A A A A A A A -+++++=证明你的结论.【解析】（1）0AB BC CA AC CA AC AC ++=+=-=（2）0AB BC CD DA AC CD DA AD DA AD AD +++=++=+=-= .（3）122334n 110n n A A A A A A A A A A -+++++= .证明如下：12233411n n n A A A A A A A A A A -+++++ 133411n n n A A A A A A A A -=++++ 1411n n n A A A A A A -=+++ L11110n n n n A A A A A A A A =+=-= 2．飞机从甲地沿北偏西15°的方向飞行1400km 到达乙地，再从乙地沿南偏东75°的方向飞行1400km 到达丙地，画出飞机飞行的位移示意图，并说明丙地在甲地的什么方向？丙地距甲地多远？【解析】如图，丙地在甲地的北偏东45°方向，距甲地1400km .设甲地为A ，乙地为B ，丙地为C ，作出示意图，则1400AB BC km ==，15NAB SBA ︒∠=∠=，75SBC ︒∠=，60ABC SBC SBA ︒∴∠=∠-∠=，ABC ∆∴是等边三角形，60BAC ︒∴∠=，1400AC km =，45NAC BAC BAN ︒∴∠=∠-∠=，即丙地在甲地北偏东45︒，丙地距甲地1400km .3．如图，在任意四边形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BC 中点．求证：2AB DC EF +=．【解析】因为E ，F 分别是AD ，BC 中点，所以，AE ED = ，BF FC =.因为AB AE EF FB =++ ，DC DE EF FC =++，所以，AB DC AE EF FB DE EF FC +=+++++ ()()22AE DE FB FC EF EF =++++=.4．在ABC ∆中，1,//4AD AB DE BC =，且与边AC 相交于点E ，ABC ∆的中线AM 与DE 相交于点N .设,AB a AC b == ，用a ，b分别表示向量,,,,,,AE BC DE DB EC DN AN .【解析】如图()11,,44AE b BC b a DE b a ==-=-，()331,,448DB a EC b DN b a===-()1148AN AM a b ==+ .5．已知O 为四边形ABCD 所在平面内一点，且向量,,,OA OB OC OD 满足等式OA OC OB OD +=+.（1）作出满足条件的四边形ABCD .（2）四边形ABCD 有什么特点？请证明你的猜想.【解析】（1）作图，通过作图可以发现四边形ABCD 为平行四边形.（2）四边形ABCD 为平行四边形，证明如下：因为OA OC OB OD +=+ ，所以OA OB OD OC -=- ，因为,OA OB BA OD OC CD -=-= .所以BA CD =，即//AB ，因此四边形ABCD 为平行四边形.6．如图，O 是平行四边形ABCD 外一点，用,,OA OB OC 表示OD.【解析】OD OA AD OA BC OA OC OB OA OB OC =+=+=+-=-+.易错点：忽视平面向量基本定理的使用条件易错分析：平面内所有向量的一组基底必须是两个不共线的向量，且不能含有零向量.【易错题1】如果{}12,e e 表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（）A ．2e ，122e e -B ．122e e + ，212e e + C ．123e e - ，2162e e - D ．12e e - ，123e e -【答案】C【解析】根据平面基底的定义知，向量1e ，2e 为不共线非零向量，即不存在实数λ，使得12e e λ=，对于A 中，向量2e 和122e e -，假设存在实数λ，使得()2122e e e λ=- ，显然λ无解，可以作为一个基底；对于B 中，向量122e e + 和212e e + ，假设存在实数λ，使得()122122e e e e λ+=+ ，可得122λλ=⎧⎨=⎩无解，所以122e e + 和212e e +可以作为基底；对于C 中，向量123e e - 和2162e e - ，假设存在实数λ，使得()1221362e e e e λ-=- ，可得1236λλ=-⎧⎨-=⎩，解得12λ=-，所以123e e - 和2162e e - 不可以作为基底；。
高考一轮第四章 第一节 平面向量的概念及其线性运算ppt
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1．下列给出的命题正确的是
A．零向量是唯一没有方向的向量 B．平面内的单位向量有且仅有一个
(
)
C．a与b是共线向量，b与c是平行向量，则a与c是方向 相同的向量
D．相等的向量必是共线向量
答案： D
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2．如右图所示，向量a－b等于 A．－4e1－2e2 B．－2e1－4e2
(
)
C．e1－3e2
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[巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！)
2．(2012· 盘锦模拟)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 M、N、P 三点共线，O 为坐标原点，且 ON ＝ a15 OM ＋a6 OP (直线 MP 不过点 O)，则 S20 等于 ( A．10 C．20 B．15 D．40 )
求两个
加法 向量和 的运算
(1)交换律：a＋b＝
三角形 法则
b＋a .
(2)结合律：(a＋b)＋c ＝ a＋(b＋c) .
平行四边形 法则
返回
向量
运算
定义 求a与b的相反
法则(或几何意义)
运算律
减法
向量－b的和的
运算叫做a与b 的差 三角形 法则
返回
向量
运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
(1)|λa|＝ |λ||a| ；
A．充分不必要条件
C．充要条件
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：“a＋2b＝0”⇒“a∥b”，但“a∥b” ¿ “a＋2b＝0”， 所以“a＋2b＝0”是“a∥b”的充分不必要条件．
答案： A 返回
5．(2012· 南通月考)设e1，e2是两个不共线向量，已知 AB ＝ 2e1－8e2， CB ＝e1＋3e2， CD ＝2e1－e2.
高三数学,一轮复习人教A版, 第四章第1讲,平面向量的概念,及线性运算 课件
2．三点共线的等价关系 → → → → → A，P，B 三点共线⇔AP＝λAB(λ≠0)⇔OP＝(1－t)· OA＋tOB(O → → → 为平面内异于 A，P，B 的任一点，t∈R)⇔OP＝xOA＋yOB(O 为平面内异于 A，P，B 的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1)．
1.教材习题改编 如图，D，E，F 分别是△ABC 各边的中点， 则下列结论错误的是( D ) → → A．EF＝CD → → B．AB与DE共线 → → C．BD与CD是相反向量 → 1→ D．AE＝ |AC| 2
1 1 A． a＋ b 2 2
1 1 B． a－ b 2 2
1 1 1 1 C．－ a－ b D．－ a＋ b 2 2 2 2 1 1 → 1→ 1 [解析] MD＝ BD＝ (b－a)＝－ a＋ b，故选 D. 2 2 2 2
4.教材习题改编 已知 a， b 是非零向量， 命题 p： a＝b， 命题 q： |a＋b|＝|a|＋|b|，则 p 是 q 的( A ) A．充分不必要条件 C．充要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3.两个向量共线定理 向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且只有一个实数 λ， b＝λa 使得__________ ．
1．辨明两个易误点 (1)作两个向量的差时，首先将两向量的起点平移到同一点，要 注意差向量的方向是由减向量的终点指向被减向量的终点． (2)在向量共线的重要条件中易忽视“a≠0”， 否则 λ 可能不存 在，也可能有无数个．
[解析] 因为 e1 与 e2 不共线，且 a＝e1－e2 与 b＝－2e1＋λe2 共 线， 所以存在 μ∈R， 使 e1－e2＝μ(－2e1＋λe2)＝－2μe1＋μλe2，
1＝－2μ 得 ，所以 －1＝μλ
高中数学一轮复习课件-平面向量的概念及线性运算课件
5.在△ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的中点，则E→B＝( A )
A.43A→B－41A→C
B.14A→B－34A→C
C.43A→B＋41A→C
D.14A→B＋34A→C
解析 法一 如图所示，E→B＝E→D＋D→B＝21A→D＋12C→B
＝12×21(A→B＋A→C)＋12(A→B－A→C)＝34A→B－14A→C，故选 A.
训练 1 (1)(2021·昆明二模)已知点 P 是△ABC 所在平面内一点，且P→A＋P→B＋P→C
＝0，则( D )
A.P→A＝－13B→A＋32B→C
B.P→A＝23B→A＋13B→C
C.P→A＝－13B→A－32B→C
D.P→A＝23B→A－13B→C
解析 由题意，P→A－B→A＝P→B，P→A＋A→C＝P→C，而P→A＋P→B＋P→C＝0，
法三 如图，建立平面直角坐标系xAy， 依题意可设点B(4m，0)，D(3m，3h)，E(4m，2h)，其中m＞0，h＞0. 由A→E＝rA→B＋sA→D，
得(4m，2h)＝r(4m，0)＋s(3m，3h)， 所以42mh＝＝34hms，r＋3ms，解得rs＝ ＝1223， ， 所以2r＋3s＝1＋2＝3.
所以C→D＝C→A＋D→B，所以 A 正确；
对于 B，由三角形法则得，C→D＝C→B＋B→D＝C→B＋D→A＝－B→C＋D→A，所以 B 不 正确； 对于 C，C→D＝C→A＋A→D＝12A→B－A→C，所以 C 不正确； 对于 D，因为 D 是 AB 的中点，所以C→D＝12C→A＋21C→B，所以 D 正确.
A.a＝－b
B.a∥b
C.a＝2b
D.a∥b 且|a|＝|b|
高三理科数学一轮复习 专题 平面向量课件
向量数量积满足分配律，即 $(overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{c}) cdot overset{longrightarrow}{b} = overset{longrightarrow}{a} cdot overset{longrightarrow}{b} + overset{longrightarrow}{c} cdot overset{longrightarrow}{b}$。
理解混合积的几何意义
详细描述
混合积的几何意义是表示三个向量的体积。 具体来说，当三个向量表示一个平行六面体 的三条边时，混合积的大小就等于这个平行 六面体的体积。
当两向量同向时，投影长度等于向量 $overset{longrightarrow}{a}$的模；当两向量反向时，投 影长度等于负的向量$overset{longrightarrow}{a}$的模； 当两向量垂直时，投影长度为0。
向量数量积的运算律
向量数量积满足交换律，即 $overset{longrightarrow}{a} cdot overset{longrightarrow}{b} = overset{longrightarrow}{b} cdot overset{longrightarrow}{a}$。
向量的模
总结词
向量的模是表示向量大小的数值，记作|a|。
详细描述
向量的模是表示向量大小的数值，记作|a|。向量的模的计算公式为$sqrt{x^2 + y^2}$，其中$x$和$y$分别是向量在x轴和y轴上的分量。
向量的加法
总结词
向量的加法是通过向量起点对齐、同向相加、反向取反的方 式进行。