图的边覆盖数、围长和最大亏格
图的顶点划分与图的上可嵌入性
１ 有 关 术 语 及 其 引理
设 Ｇ 为 连 通 图 ， ７为 Ｇ 的 一 棵 生 成 树 ，记 １ （ ，１表 示 Ｇ＼ 丁 中边 数 为 奇 数 的 连 通 分 支 Ｇ７ ） Ｅ（） 个 数 ，称 （ ＝ｍｉ （ 丁 为 Ｇ 的 Ｂ ｔ 亏数 ， Ｇ） ｎ Ｇ， ） ｅｔ ｉ
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第 ｌ卷 第２ ７ 期
２ ０年６ ０８ 月
湖 南 城 市 学 院 学 报
Ｊ ｕ ｎ ｏ Ｈｕｎ ｌ ｏ ｒ ａｌ ｆ ａｌ Ｃｉｙ ｔ Ｕｎｉ ｅ ｓ ｔ ｖ ｒ ｉｙ
（自然科 学 版 ）
、 ．１ Ｎｏ． ７ ２ ＪＵｎ． ２００８
Ｉ
（≤ｉ Ｓ 结合 图的顶点 Ｗ 一划分 以及 顶点度条件 ，得到 了一 类新的上 可嵌入 图类 ，推 广 了已有相 关 １ ）
结果
关 键 词 ： 图 ；Ｂ ｔ亏 数 ； 划 分 ；上 可 嵌 入 性 ｅｔ ｉ
中图 分 类 号 ：Ｏ１７５ ５．
文 献 标 识 码 ：Ａ
文 章 编 号 ： １７ — ３ ４ ２ ０ ） ２— ０ ３ ０ ６ ２ ７ ０ （０ ８ ０ ０ ５ — ３
￣（ ｎｅ ｎ １ 所以研究什么样的 ｋｋ ３ 一 Ｊ ｇｒ ｔ ． ｕ ｍａ ７ ） （ ）边 连通图是上可嵌入的是很有意义 的工作 ．最近 ， 结 合 图 的连 通性 、直径 、围长 、独 立 数 、２因 子 一
参 数条 件 ，许 多文 献 都给 出 了一 些新 的上 可 嵌入
集． 轮图记为 ， 可表示
ｒ ’
这 里 ｍｉ ｎ取遍 Ｇ 的所有 生 成树 丁．由定 义 ，对 Ｇ
的 任 意 生 成 树 丁 ， 均 有 ４ｃＴ 三４ｃ 三 （ ，） （ ）
图论习题答案
图论习题答案
《图论习题答案》
图论作为数学中的一个重要分支，研究的是图的性质和图之间的关系。
在学习
图论的过程中，我们常常会遇到各种各样的习题，通过解答这些习题可以帮助
我们更好地理解图论的知识。
下面就让我们来看一些图论习题的答案吧。
1. 问：一个图中有多少条边？
答：一个图中的边数可以通过计算每个顶点的度数之和再除以2来得到。
2. 问：一个图中有多少个连通分量？
答：一个图中的连通分量可以通过使用深度优先搜索或广度优先搜索来求得。
3. 问：一个图中是否存在欧拉回路？
答：一个图中存在欧拉回路的充分必要条件是每个顶点的度数都是偶数。
4. 问：一个图中是否存在哈密顿回路？
答：一个图中存在哈密顿回路的判定是一个NP难题，目前还没有有效的多项式时间算法。
5. 问：一个图中的最小生成树有多少条边？
答：一个图中的最小生成树的边数恰好等于顶点数减一。
通过解答这些图论习题，我们可以更好地掌握图论的基本概念和算法。
图论不
仅在数学领域有着重要的应用，而且在计算机科学、电信网络等领域也有着广
泛的应用。
因此，熟练掌握图论知识对我们的学习和工作都有着重要的意义。
希望通过本文的分享，能够帮助大家更好地理解图论知识，提高解决问题的能力。
同时也希望大家在学习图论的过程中能够多多练习，勇于挑战各种各样的
图论习题，不断提升自己的图论水平。
祝大家在图论的学习道路上取得更大的
进步！。
点度,围长与图的上可嵌入性
第 ２卷 第 ６ １ 期
２ｏ 年 １ 月 ０７ １
湖
南
工 业
大
学
学 报
Ｖｏ ＿ １ ｌ ． ２ Ｎｏ ６ Ｎｏ ． ０ ７ ｖ ２ ０
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＨｕ ａ ｉｅ ｓｔ ｆ ｃ ｎ ｌ ｇ ｏ ｒ ａ ｎ ｎ Ｕｎ ｖ ｒ ｉ ｏ ｈ ｏ ｏ ｙ ｏ ｙ Ｔｅ
’ ，
，
个２ 一胞腔嵌入是指 Ｇ能画在 上使得边与边之间除顶 点外不 再相交 ，且 在 Ｓ上去掉 Ｇ 的顶点 与边之后 的每 个连通分支与圆盘 同胚。图 Ｇ的最大亏格ｕ 己 ｒ （ ） 为 ＭＧ ，
是指最大 的整数 ｋ 使得 Ｇ能 ２ 一胞腔嵌 入亏格为 ｋ 的定
向曲面 Ｓ 。因为图在任意定 向曲面 的 ２ 上 一胞腔嵌 入中
Ａｂ ｔａ ｔ ｓｒ ｃ Ｃｏ ｉ ｉｇ ｗｉｈｃ ｎ ｅ ｔｄｄ ｇ ｅ ｖ ｒｉｅｄ ｇ ｅ ｎ ｉｔ ，ｗｏｃａ ｓ ｓｏ ｅ ａ ｄｕ ｐ ｒｅ ｅ ｄ ｂ ｅｇ ａ ｈ ｍｂ ｎｎ ｔ ｏ ｎ ｃｅ ｅ ｒｅ，ｅ ｔ ｅ ｒ ｅａ ｄｇ ｒｈ ｔ ｌｓｅ ｆ ｗ ｐ ｅ ｍｂ ｄ ａ ｌ ｒｐ ｓ ｃ ｎ ｎ ａｅｐ ｔ ｏ ｗａｄ． ｗｅ ｅ ，ｈ ｕ ｄ ｒ ｆｔｅｆ ｒ ｒｃ ｎ ｉ ｏ ｓｄ ｅ ｍｐ ｓ ｉｌ ｅ ｃ ｎ ｈ ｔ ｒ ｓｔ ｅｂ ｓ ｎ ． ｒ ｕ ｒ ｒ Ｈｏ ｖ ｒ ｔ ｅｂｏ ｎ ａｙ ｏ ｏ ｍｅ ｏ ｄｔ ｎ ｏ ｓｉ ｏ ｓｂ ｙ ｒａ ｈ ａ ｄｔ ｅｌ ｔ ｅ ｔ ｅ ｆ ｈ ｉ ａｅｉ ｈ ｏ Ｋｅ ｒ ｓ：ｇ ａ ｈ；Ｂｅｔ ｄ ｆｃｅ ｃ ｙｗｏ ｄ ｒ ｐ ｔｉ ｅｉ ｉｎ ｙ；ｕ ｐｅ ｍｂ ｄ ａ ｉ ｔ ｐ ｒｅ ｅ ｄ ｂ ｌ ｙ；ｖ ｎｉｅｄ ｇ ｅ ；ｇｒｈ ｉ ｅ ｃ ｅ ｒ ｅ ｉ ｔ
图论里面的重要概念(一)
1、支配集：设D集合是无向图G的一个顶点子集，对于G中的任意顶点u，要么在D里，要么与D集合的一个顶点相邻，那么称我们集合D的G的一个支配集。
如果去掉D中任何一个顶点，D不在是支配集，则支配集是极小支配集。
G中所有支配集中顶点个数最小的支配集称为最小支配集，即是极小支配集。
最小支配集的顶点个数为支配数。
2、独立集：设I集合无向图G的一个顶点子集，对于集合I中任意两点都不相邻，则我们称集合I为G 的一个独立集。
如果在I中加入一个非I集合的顶点后，I集合不在是独立集，则称集合I 为极大独立集。
G中所有独立集中顶点个数最多的独立集称为最大独立集，即是极大独立集。
最大独立集的顶点个数为独立数。
3、覆盖集：设K集合是无向图G的一个顶点子集，对于G中的任意一条边e，至少有一个端点属于K，那么我们称集合K是G的一个覆盖集。
如果去掉K中的任意一个顶点，K不在是覆盖集，则称集合K是极小覆盖集。
在G中所有覆盖集中顶点个数最少的覆盖集称为最小覆盖集。
即是极大覆盖集。
最小覆盖集的顶点个数为覆盖数。
4、网络流：a、网络与流：网络D=(V,A,C）设D是一个简单有向图，V是顶点集，A是边集，C弧容量集。
网络流FF(i,j)=集合A上的一个函数，为弧(vi,vj)的流量。
b、可行流与最大流：可行流（1）容量限制对于每条弧(vi,vj)属于A，则0<=|F(i,j)|<=c(i,j)。
（2）平衡条件对于V里的每个顶点i!=s,t;(源点和汇点)都有流入量=流出量对顶点s的流出量-s的流入量=-1*（顶点t的流出量-t的流入量）最大流求最大流问题即是求顶点s的流出量-流入量的最大值或者求顶点t的流出量-流入量的最小值。
c、可改进路P如果|F(i,j)|=C(i,j)，称该弧为饱和弧如果|F(i,j)|<C(i,j)，称该弧为非饱和弧如果|F(i,j)|>0，称该弧为非零弧如果|F(i,j)|=0，称该弧为零弧设P是一条有源点s到汇点t一条路（边不同，顶点可以相同），在P路构成的边中，我们将边和P的方向相同的边称为前向弧，反之为后向弧。
4 图论
图论维基百科，自由的百科全书跳转到：导航、搜索一个由6个顶点和7条边组成的图图论（Graph theory）是数学的一个分支，它以图为研究对象，研究顶点和边组成的图形的数学理论和方法。
图是区域在头脑和纸面上的反映，图论就是研究区域关系的学科。
区域是一个平面，平面当然是二维的，但是，图在特殊的构造中，可以形成多维（例如大于3维空间）空间，这样，图论已经超越了一般意义上的区域（例如一个有许多洞的曲面，它是多维的，曲面染色已经超出了平面概念）。
图论中的图是由若干给定的顶点及连接两顶点的边所构成的图形，这种图形通常用来描述某些事物之间的某种特定关系，用顶点代表事物，用连接两顶点的边表示相应两个事物间具有这种关系。
图论起源于著名的柯尼斯堡七桥问题。
图论的研究对象相当于一维的拓扑学。
目录[隐藏]∙ 1 历史∙ 2 图论问题o 2.1 图的计数o 2.2 子图相关问题o 2.3 染色o 2.4 路径问题o 2.5 网络流与匹配o 2.6 覆盖问题∙ 3 重要的算法∙ 4 参见[编辑]历史柯尼斯堡七桥问题一般认为，于1736年出版的欧拉的关于柯尼斯堡七桥问题的论文是图论领域的第一篇文章。
此问题被推广为著名的欧拉路问题，亦即一笔画问题。
而此论文与范德蒙德的一篇关于骑士周游问题的文章，则是继承了莱布尼茨提出的“位置分析”的方法。
欧拉提出的关于凸多边形顶点数、棱数及面数之间的关系的欧拉公式与图论有密切联系，此后又被柯西等人进一步研究推广，成了拓扑学的起源。
1857年，哈密顿发明了“环游世界游戏”(icosian game)，与此相关的则是另一个广为人知的图论问题“哈密顿路径问题”。
“图”这一名词是西尔维斯特在于1878年发表在《自然》上的一篇论文中提出的。
欧拉的论文发表后一个多世纪，凯莱研究了在微分学中出现的一种数学分析的特殊形式，而这最终将他引向对一种特殊的被称为“树”的图的研究。
由于有机化学中有许多树状结构的分子，这些研究对于理论化学有着重要意义，尤其是其中关于具有某一特定性质的图的计数问题。
图论第7章
§7.2 顶点着色
定义1 给定图G =(V, E)，称映射
π：V → {1,2,…, k} 为G的一个k-点着色，简称着色，称 {1,2,…, k} 为色集。若对 G中任意两个相邻顶点u和v均满足π(u)≠π(v)，则称该着色是 正常的。图G 的正常k-着色的最小k值称为G的色数，记为
(G)，简记为 。
’ (G )≤k = Δ(G )+1。
推论1 设G是Δ(G )>0的简单图。若G中恰有一个度为Δ(G )的点， 或G中恰有两个度为Δ(G )的点并且这两个点相邻，则
’ (G ) = Δ(G )。
证明 设G中恰有的两个度数等于Δ(G )的点为x 与 y, 且x 与 y相 邻。 令 G’ = G-xy，显然Δ(G’ ) = Δ(G )-1，由定理2，得
第七章 图的着色
§7.1 图的边着色
设A, B是两个集合，t 是A到B的一个映射，记为t ：A→B， 对 A A, B B, 令 t ( A’) = {t (a) | a∈A’}，t -1( B’) = {x |t (x)∈B’} 特别地当 B’＝{b} 时，t -1( B’) 也记为t -1(b)。
图的2-因子与图的上可嵌入性
摘
要 ：结 合 图 的 ４边形 ２ 因 子 条 件 ，确 定 了 一类 新 的 上 可 嵌 入 图类 ，推 广 了黄 元 秋 等 早 一 一
期 在 这 方 面 的结 果 ．并且 综 合 已有 结 果 ，较 完 整 地刻 画 了这 类 图 的上 可 嵌 入 性． 关 键 词 ：图论 ；Ｂ ｔ ；亏数 ；上 可 嵌 入 性 ；２因 子 ｅｔ ｉ －
子．曲面 ，这里是指一个连通 紧致的 ２维 闭流形 ，一个 图 在 曲面 Ｓ 的 ２胞腔嵌 一 上 一 入是指存在一个 ｌｌ — 连续映射 ｈ： － Ｓ Ｇ＇ ，使得 Ｓ ｈ Ｃ 的每个连通分支与开 圆盘拓 扑同 － ￣ ＼（ ）
收 稿 日期 ：２ ０ － ２ ２ ０８０－ １
作者简介：周金玉（９ ７ ） １６ － ，男 ，湖南湘潭人 ，讲师 ，硕士．Ｅ ｍ ｉ：ｚｏｊ ｙ２ ０ ＠１３ｃｒ － ａｌ ｈ ｕｉ ｕ ０ ４ ６ ． ｎ ｎ ｏ 基金项 目：国家 自然科学基金资助项 目（０ ７０ ２ ；教育部新世纪优秀人才支持计划项 目（ Ｃ Ｔ ０ － ２ ６ １７ １６ ） Ｎ Ｅ 一７０７）
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２
汕头 大 学学 报 （ 自然 科学 版 ）
第２ ３卷
胚．本文考 虑的嵌入均指胞腔嵌入 ，此时 ， ＼（ ） Ｓ ｈ Ｃ 的每个连通分支称为 Ｇ在 Ｊ ｓ 上的一
个 面． 图 Ｇ的最 大 亏 格记 为 ｙ （ ，是 指 最 大 的整 数 ｋ ＭＧ） ，使 得 Ｇ在 亏 格 为 ｋ的定 向
１ 有关 术 语 和 引理
本文 考 虑 的 图 ，若 无 指 明均 指 连 通 图 ，但 可 以有 重 边或 环 ，其 它 未 加说 明 的术 语
和记号均 同文献 ［３．用 （ ） Ｅ（ 分别表示一个 图的点集 和边集 ，图 Ｇ的一个 １］ Ｇ和 Ｇ）
匹配覆盖和填装
在某些实际应用问题中，匹配不是以图的全局性为考量来选取的，而是通过在局部做 独立的决定而由相关的顶点逐步形成的。 一个典型的情形就是顶点对于选取哪条边来匹配 顶点是有优先考量的，而不是对所有的关联边一视同仁。这样，若M 是一个匹配，e = ab是 一条不属于M 的边，且a和b都倾向于e胜过它们当前的匹配边（若它们是被匹配的话） ，那 么a和b可能倾向包含e而抛弃先前的匹配边，从而在局部上改变了M。因此，匹配M 尽管可 能是最大的，但却是不稳定的。 更正式地，由E (v )上的线性序
P
M′
M A B A B
图 2.1.1: 通过交错路P 对匹配M 进行扩充 交错路在寻找更大的匹配中发挥了重要的作用。 事实上，从任何一个匹配开始，通过 不断地运用增广路对匹配进行改进，直到匹配不能进行任何改进为止，这样所得到的匹配 是最优的，即它具有最大可能的边数（练习1） 。 寻找最大匹配的算法问题最终归结为寻找 增广路的问题，这是一个非常有趣并且更容易理解的算法问题。 第一个定理通过某种对偶条件刻画了G中具有最大基数的匹配。 对于集合U ⊆ V ， 如果G中的每条边都与U 中的一个顶点相关联，则称U 是E 的一个 （顶点）覆盖 （(vertex) cover）。 定理 2.1.1 (K¨ onig 1931) G中匹配的最大基数等于其边的顶点覆盖的最小基数。 证明： 设M 是G中具有最大基数的匹配。从M 的每一条边中选择一个端点组成集合U 如下： 如果存在一条交错路终止于这条边在B 中的端点，则选择此端点；否则，选择这条边在A中 的端点（图2.1.2） 。下面证明这|M |个顶点构成的集合U 覆盖E。由于E 的任何一个顶点覆盖 必须覆盖M ，因此不存在少于|M |个顶点的覆盖，所以定理成立。
在最后的证明中，设H 是G的一个满足婚姻条件且包含A的边极小子图。注意到，对每 个a ∈ A，把S = {a}代入婚姻条件可知dH (a) 1。
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第 ３期
欧 阳章 东 等 ：图 的边 覆 盖 数 、 围长 和 最 大 亏 格
・ ５ ３ ５ ・
问题 就 是给 出一 个与 图 的其他 参数 有关 的最 大 亏格 较 好 的 下 界． 由定 理 Ａ 可知 ， 得 到 最大 亏 格 的 下界 而 要
பைடு நூலகம்
（ Ｇ）一 ｍｉ （ Ｔ ｎ Ｇ， ）为 Ｇ的 Ｂ ｔ 亏数 ， 里 ｍｉ 遍 Ｇ的所 有生成 树 Ｔ． ｅｔ ｉ 这 ｎ取 由定 义 ， Ｇ的任 意生成 树 Ｔ， 对 均
ｒ
有 Ｇ， ）三 （ 三 口Ｇ （ ｄ ）文献 ［ ，］ （ Ｔ Ｇ） （ ）ｍｏ ２． ２ ４ 用 （ ）和 ｆ Ｇ Ｇ ｌ ）给 出了 图 Ｇ 的最 大 亏格 的一个 表达 式 ， （ 即如
等价于 得到 Ｂ ｔ 亏数 的上 界． 献 Ｅ ］利 用 独立 数 和 围长 等 条 件 给 出 了如 下 结 果 ： Ｇ是 简 单 连 通 图 ， ｅｉ ｉ 文 ｓ 设 则 （ Ｇ）≤ ２ （ ／ ｇ Ｇ） １ ． 献 Ｅ －利 用 匹配 数 和 围长 等 条 件 给 出 了如 下 结 果 ： Ｇ 是 简 单 连 通 图 ， ａ Ｇ） （ （ 一 ） 文 ６ １ 设 则 （ ≤ ２ Ｇ） （ （ 一 １ ． Ｇ） ｍ（ ／ ｇ Ｇ） ） 本文 用 与文献 Ｅ －不 同 的证 明方 法 改进 了其 结果 ， 到 一 些 比较好 的 Ｂ ｔｉ ６１ 得 ｅｔ 亏 数 上界 ， 根据定 理 Ａ， 同时 也就 得 到最 大亏格 的下 界． 于某些 图类 ， 里 的界 比文 献 Ｅ ］的 更好 ． 对 这 ｓ
数， 记为 ａＧ ． （ ）对于任意有限集 ， ｘＩ Ｉ 表示其元素的个数． 对任意实数 ｚ 【 ｊ ， 表示不大于ｚ的最大整数，ｚ ｚ ｒ１
表示 不小 于 ｚ的最小 整数 ． Ａ 是 图 Ｇ 的任 意 边 子 集 ， ＼ 表 示从 Ｇ 中去 掉 Ａ 的所 有 边 后 得 到 的 图 ；设 设 ＧＡ Ａ Ｅ（ ）为 图 Ｇ的边子 集 ， Ｇ 记号 ｃ Ｇ Ａ） ６ Ｇ Ａ） （ ＼ 及 （ ＼ 分别 表示 Ｇ Ａ 所有连 通 分支数 及其 Ｇ＼ 的具有 Ｂ ｔ ＼ Ａ ｅｔ ｉ 数为 奇数 的所 有连 通分支 数． Ｆ ， … ， （ 设 。Ｆ ， 忌≥ ２ ）为 图 Ｇ 的 ｋ个 不相 交 的连通 子 图 ， 记号 Ｅ（ 。 Ｆ ， ， Ｆ ， ２…
Ｆ ）表示 Ｇ中 ２个端 点分 别在 ２ 个不 同的 Ｆ 和 Ｆ， ≠ ． １ （ 『 ≤ ， ≤ ｋ ， ． 『 ）中的边集 ． 外 ， Ｇ的任意 子 图 Ｆ， 另 对
记 号 Ｅ（ Ｇ 表示 Ｇ中一个 端点属 于 Ｆ， Ｆ， ） 而另一 个端 点 不属 于 Ｆ的边 组成 的集 合． 于 一个连 通 图 Ｇ， 对 Ｇ的最
和 Ｅ（ ） 别 表示 一个 图 Ｇ的点 集 和边集 ． Ｇ 分 一个 图 的 围长 ， 为 ｇ Ｇ ， 记 （ ） 是指 Ｇ 中最 短 圈的 长度 ， Ｇ没有圈 ， 若 则规 定 ｇ Ｇ） ∞ ． （ 一 Ｇ的一个边 覆盖是 指 ￡（ 的一个 子集 Ｌ， 得 Ｇ的每个 顶点 都是 Ｌ 中某 条边 的端点 ， Ｇ） 使 记 Ｇ的最小 边覆 盖 的边 数 为∞（ ） 设 Ｍ 是 Ｅ 的一个 子集 ， 的元 素是 Ｇ中连杆 ， Ｇ． 它 若这 些 连杆 中 的任 意两个 在 Ｇ 中均不相 邻 ， 称 Ｍ 为 Ｇ 的 匹配 ， Ｇ 的最 大 匹配 的边数 为 ｍ（ ． 的最大 独立 集 的顶 点数称 为 Ｇ 的独立 则 记 Ｇ）Ｇ
Ｖｏ ． ７ Ｎｏ ３ １３ ．
Ｍａ ２ ８ ｙ ００
图的 边覆 盖 数 、 长 和最 大 亏格 围
欧 阳章 东 ，黄 元秋 ，任 俊 峰
（ 南 师 范 大 学 数 学 系 ， 南 长 沙 ４０ ８ ） 湖 湖 １ ０ １
｛ 一
０ 引言
． ，
文 中未加说 明的概 念和 术语均 同文献 ［ ］ 且无 特别 指 明时 ， １， 所涉及 的图均 为 有 限连 通无 环 图． 用 （ Ｇ）
收稿 日期 ：２ ０ 一 Ｏ —１ ０７ ５ ５ 基 金 项 目；国家 自然 科 学 基 金 资 助 项 目（０ ７ ０ ２ Ｉ 育 部新 世 纪优 秀 人 才 支 持计 划 项 目 （ Ｅ － ０ －０ ７ ） １７ １６ ） 教 ＮＣ Ｔ－ ７ ２ ６ 作 者 简介 ： 阳章 东 （９ １ ） 男 ， 南省 郴 州 人 ， 南 师 范 大 学 硕 士 研 究 生 ， 要 从 事 图论 及其 应 用 研 究 ． 欧 １８一 ． 湖 湖 主
最 大 亏格 取到上 述 等号 ， 则称 Ｇ是上 可嵌入 的 ． 于 图 的最大 亏格 及其 上 可 嵌人 性 ， 兴趣 的读 者 可参 阅引 关 有
导性 文献 ［］或 ［］ ２ ３．
设 Ｇ 为连通 图 ， 丁为 Ｇ 的一棵 生 成 树 ， 且 记 （ 丁）表示 Ｇ Ｅ（ Ｇ， ＼ Ｔ）中边 数 为 奇 数 的连 通 分 支个 数 ， 称
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第 ３ ７卷 第 ３期 ２０ ０ ８年 ５月
内蒙 古 师 范大 学 学报 （ 自然 科 学汉 文 版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆ ｎ ｅ ｏ ｇ ｌ ｒ ｌＵｎｖ ｒｉ （ ｔ ｒｌＳ ｉｎ ｅＥｄｔ ｎ ｏ ｒ ａ ｎ ｒＭ ｎ ｏ ｉ Ｎｏ ｍａ ｉｅｓｔ Ｎａ ｕａ ｃｅ ｃ ｉｏ ） ｏ Ｉ ａ ｙ ｉ
下 定理 ：
定 理 Ａ［ ｚ
设 Ｇ为 图 ， ：（ ）ｒ Ｇ）一 丛 则 １ Ｍ（
厶
；（ ）Ｇ是上 可嵌 入 的 ， ２ 当且 仅 当 （ Ｇ）≤ １ ．
自 Ｎｏ ｄ ａ ｓ ３ ｒｈ ｕ 等［ 引进最 大 亏格 以来 ， 图的上 可嵌 人 性 至 今仍 受 到 人们 的注 意 ． 中 ， 个 最 感兴 趣 的 其 一
大亏格 ｒ （ Ｍ Ｇ）是指 Ｇ的所 有可 ２ 胞腔 嵌入 的定 向 曲面 亏格最 大者 ， Ｅ ｌｒ 一 由 ｕｅ 公式 易 得 ， 个 图 Ｇ的最 大亏 一
ｎ ， ，、 、
格上界 ｙ （ ） Ｌ ＭＧ ≤
厶
Ｊ其中 Ｇ 一 Ｉ （ ）— Ｉ （ ）＋ １ ， （ ） Ｇ Ｉ Ｇ ｆ 称为图Ｇ的圈秩数 （ Ｂ ｔ 数） 同时， Ｇ的 Ｅ 或 ｅｔ ． ｉ 若