正交相似变换矩阵的空间结构
相似矩阵定义
相似矩阵定义相似矩阵是线性代数中的一个重要概念，它在各个领域中都有广泛应用。
本文将从理论基础、计算方法和应用领域三个方面来介绍相似矩阵。
一、理论基础在线性代数中，相似矩阵是一个基于线性变换的概念。
给定一个线性变换T，如果存在一个非奇异矩阵P，使得P的逆矩阵存在，并且满足下式：T' = P^-1TP其中T'是一个与T相似的矩阵。
相似矩阵具有以下几个重要的性质：1. 相似矩阵具有相同的特征值。
设A和B是相似矩阵，那么它们的特征值是相同的。
2. 相似矩阵具有相同的迹。
迹是矩阵对角线上元素的和，对于相似矩阵来说，它们的迹是相等的。
3. 相似矩阵具有相同的秩。
秩是矩阵行（或列）的最大线性无关组的个数，对于相似矩阵来说，它们的秩是相等的。
二、计算方法计算相似矩阵的方法有多种，其中最常用的是使用特征值分解。
特征值分解是将矩阵A分解为特征向量和特征值的形式，即 A =VΛV^-1，其中V是特征向量矩阵，Λ是特征值矩阵。
通过特征值分解，我们可以得到相似矩阵的形式T' = V^-1TV。
另一种计算相似矩阵的方法是使用奇异值分解。
奇异值分解是将矩阵A分解为奇异值和奇异向量的形式，即A = USV^T，其中U和V 是正交矩阵，S是奇异值矩阵。
通过奇异值分解，我们可以得到相似矩阵的形式T' = U^TV。
三、应用领域相似矩阵在各个领域中都有广泛的应用。
以下是几个常见的应用领域：1. 图像处理：相似矩阵可以用于图像的压缩和降噪处理。
通过计算相似矩阵，我们可以找到一组线性变换，将图像中的冗余信息去除，从而实现图像的压缩和降噪。
2. 推荐系统：相似矩阵可以用于推荐系统中的用户相似度计算。
通过计算用户之间的相似矩阵，我们可以找到与当前用户兴趣相似的其他用户，从而为其推荐感兴趣的内容。
3. 自然语言处理：相似矩阵可以用于词向量的计算。
通过计算词语之间的相似矩阵，我们可以得到词语在语义空间中的表示，从而实现自然语言处理任务，如词义消歧和文本分类等。
高等代数 第8章线性变换 8.6 欧式空间的正交变换和对称变换
b = cosψ，d = sinψ
将a, b, c, d代入（4）的第三个等式得 Cosφcosψ + sinφsinψ = 0 或 cos(φ+ψ) = 0
最后等式表明，φ －ψ是π/ 2的一个奇数倍. 由此 得
cos sin , sin cos
所以
cos sin U sin cos
2 ( x1, x2 , x3 ) ( x1 x3 , x2 2 x3 , x1 2 x2 x3 );
3 ( x1, x2 , x3 ) ( x2 , x1, x3 )
对称变换和对称矩阵之间的关系
定理8.4.2 设σ是n维欧氏空间V的一个对称变换， 如果σ关于一个标准正交基的矩阵是对称矩阵，那 么σ是一个对称变换. 证
1 , 2 ,, n
正交变换的定义
定义1 欧氏空间V的一个线性变换σ叫做一个 正交变换，如果对于任意 V 都有 | ( ) || |
例1 在 V2 里,把每一向量旋转一个角的 线性变换是 V2 的一个正交变换. 例2 令H是空间 V3 里过原点的一个平面.对于 每一向量 V3 ，令对于H的镜面反射 与它对应. : 是 V3 的一个正交变换.
1 0 0 0 1 0 0 0 1
以上两个矩阵都是正交矩阵.
V2 .V3 的正交变换的类型
设σ是 V2的一个正交变换，σ关于 V的一个规范正 2 交基 1 , 的矩阵是 2 a b U c d 那么U 是一个正交矩阵. 于是
y, , , 的矩 1 设σ关于V的一个规范正交基 2 n
( ),
xi ( i ),
矩阵的酉变换和正交矩阵
矩阵的酉变换和正交矩阵矩阵是数学中的一个重要概念，它可以描述对象之间的关系，包含大量的信息。
而矩阵的变换则是矩阵的另一种重要表现形式。
在矩阵变换中，酉变换和正交矩阵是两个相对重要的概念。
一、什么是酉变换和正交矩阵？1. 酉变换酉变换是指在复向量空间中的变换，保持向量的内积不变，并且满足力方程U*U^H=I，其中U^H为U的共轭转置，I为单位矩阵。
酉变换可以理解为复数的旋转和反射。
2. 正交矩阵正交矩阵是指在实向量空间中的变换，保持向量的内积不变，并且满足力方程A^TA=AA^T=I，其中A^T为A的转置，I为单位矩阵。
正交矩阵可以理解为向量的旋转和反射。
二、酉变换和正交矩阵的性质1. 酉变换的性质（1）酉变换保持向量的长度和夹角不变。
（2）酉变换的逆也是一个酉变换。
（3）酉变换是一个线性变换。
（4）酉变换的特征值的模长都为1。
2. 正交矩阵的性质（1）正交矩阵的行和列都是单位向量。
（2）正交矩阵的逆等于它的转置。
（3）正交矩阵保持向量的长度和夹角不变。
（4）正交矩阵的行列式的值为1或-1。
三、酉变换和正交矩阵的应用1. 酉变换的应用（1）在量子力学中，酉变换是描述粒子状态演化的一种重要方法。
（2）在数字信号处理中，酉变换可以用于将时域信号转换为频域信号。
（3）在图形图像处理中，酉变换可以用于图像的压缩和减噪。
2. 正交矩阵的应用（1）在计算机图形学中，正交矩阵可以用于描述物体的旋转、平移和缩放。
（2）在最小二乘法中，正交矩阵可以用于描述线性回归的问题。
（3）在通信中，正交矩阵可以用于多输入多输出天线系统的优化。
四、酉变换和正交矩阵的联系和差异酉变换和正交矩阵都是保持向量内积不变的变换。
它们在数学上很相似，但是其定义域和值域不同，酉变换是复向量空间到复向量空间的变换，而正交矩阵是实向量空间到实向量空间的变换。
此外，酉变换的特征值的模长都为1，而正交矩阵的特征值只有1和-1。
五、总结酉变换和正交矩阵作为数学中的两种变换，都具有重要的应用价值。
第九章欧几里得空间
xi 2
i 1
(4) , arccos
n
xi yi
i1
n
n
xi2
yi2
i1
i1
第九章欧几里得空间
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n
(5) d() (xi yi)2 i1
4. 标准正交基的存在性与正交化方法
设 1 ,2 ， ,n 是 一 组 基 . 正 交 化 过 程 如i1aj1 ai2aj2 ainajn 0, i j A 是 正 交 矩 阵 A 的 列 向 量 组 和 行 向 量 组 都 构 成
R n 的 标 准 正 交 基 .
第九章欧几里得空间
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6. 对称变换与对称矩阵
设是n维欧氏空间V的一个线性变换. 是
长度： | | (,)
距离： d(,)||
夹角：,arccos|( |,|)|,0,.
第九章欧几里得空间
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(3) 度量矩阵
基 1 ,2 , ,n 的 度 量 矩 阵
(1,1) (1,2) A( aij)nn (2,1) (2,2)
(n,1) (n,2)
(1,n) (2,n)
对称变换的刻化:
矩阵是正交阵.
第九章欧几里得空间
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n 级 实 数 矩 阵 A 是 正 交 矩 阵 A A E . 标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵; 设A (aij ),则A是正交矩阵
1, 当i j, a1ia1j a2ia2j anianj 0, 当i j.
3. 标准正交基下基本度量的表达式
设 1,2, ,n是 欧 氏 空 间 V的 一 个 标 准 正 交 基 ,
正交变换法化标准型
正交变换法化标准型正交变换法是一种将实对称矩阵化为对角矩阵的方法，也叫做正交对角化。
通过正交变换，我们可以将一个复杂的实对称矩阵化为一个简单的对角矩阵，这个对角矩阵称为标准型。
正交变换法在线性代数中担当着重要的角色，它不仅有着广泛的应用领域，而且是许多其他数学理论和技术的基础。
在线性代数中，正交变换法是一个重要的定理。
它指出，对于一个实对称矩阵A，我们总是可以找到一个正交矩阵P，使得P^TAP为一个对角矩阵D。
即存在一个正交矩阵P，使得P^TAP=D。
这个过程就是正交变换法的核心思想，通过这个过程，我们可以将一个复杂的实对称矩阵化为一个简单的对角矩阵。
正交变换法的思想是将原始矩阵A进行相似变换，使得新的矩阵具有一些特殊的性质。
在正交变换法中，我们选择正交矩阵作为变换矩阵，因为正交矩阵的转置等于其逆矩阵。
这一特性保证了变换后的矩阵也是实对称矩阵，从而使得变换后的矩阵可以化为对角矩阵。
具体地，我们可以通过求解实对称矩阵A的特征方程来找到正交变换法的过程。
设A为n阶实对称矩阵，λ是A的一个特征值，x是对应于λ的特征向量。
我们可以得到A x = λ x。
由于A是实对称矩阵，那么A x = λ x的复共轭必须也是一个解，即A x = λ* x。
通过这两个解，我们可以构造出一个正交矩阵P=[x, y]，其中x和y是特征向量。
然后，我们可以将其转化为实对称矩阵的对角形式D，即P^TAP=D。
正交变换法的存在定理是一个关键的理论结果。
通过正交变换法，我们可以将一个复杂的实对称矩阵化为对角矩阵，这个对角矩阵称为标准型。
标准型在实际应用中具有很大的优势。
与一般矩阵相比，对角矩阵的计算更加方便、简单。
在许多应用中，对角矩阵是具有特殊意义的，它们可以描述某些物理量的性质。
通过正交变换法，我们可以将实对称矩阵的特征值与相应的特征向量关联起来，从而更加深入地研究矩阵的性质。
正交变换法的应用非常广泛。
在物理学中，正交变换法可以用来研究量子力学中的哈密顿矩阵，从而研究粒子的能量本征值和本征态。
第4节实对称矩阵的相似变换
§5.4 实对称矩阵的相似矩阵本节目的是对于实对称矩阵A )(T A A =, 求出正交矩阵Q)(T E Q Q =, 使得Λ=AQ Q T ．此时, 称A 正交相似于对角矩阵Λ．1．实对称矩阵的特征值与特征向量的性质 定理5.4.1 R T ∈⇒=λA A ．证 设 )0(≠=x x x A λ, T 21),,,(n x ξξξ =, 则有 022221T >+++=nx x ξξξ)()()(T T T T x x x x Ax x Ax x λλ===)()()()(T T T T T T x x x x x Ax x A x Ax x λλ==== 故 00)()()()(T T T =-⇒=-⇒=λλλλλλx x x x x x 即 R ∈⇒=λλλ．[注] 0)(R =-⇒∈x E A λλ的解向量可取为实向量． 约定：实对称矩阵的特征向量为实向量．定理5.4.2 A A =T , 特征值21λλ≠, 特征向量依次为21,p p , 则21p p ⊥． 证 111p Ap λ=, 222p Ap λ=)()()(2T1222T 12T 12T 1p p p p p A p p A p λλ===)()()(2T 112T 112T 12T T 12T 1p p p p p p A p A p p A p λλ==== 故 )(0)()(21212T 12T 122T 11λλλλ≠⊥⇒=⇒= p p p p p p p p ．例1 设实对称矩阵33⨯A 的特征值3,3,1321-===λλλ, 属于21,λλ的特征向量依次为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=0111p , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1112p , 求A ．解 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3213x x x p , 由 31p p ⊥, 32p p ⊥ 可得 ⎩⎨⎧=++=-0032121x x x x x该齐次方程组的一个非零解为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=2113p ．令 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==210111111),,(321p p p P , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=331Λ 则有 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==⇒=--12221020111P P A AP P ΛΛ [注] T 1T 613121632P P P P ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=211222033612．正交矩阵：实矩阵n n Q ⨯满足E Q Q =T 时, 称为正交矩阵． (1) Q 是正交矩阵T 1Q Q =⇔-． (2) Q 是正交矩阵E QQ =⇔T ． (3) []n q q Q 1=是正交矩阵⎩⎨⎧≠===⇔)(0],[),,2,1(1],[j i q q n i q q ji i i ,即Q 的列向量组是两两正交的单位向量．(4) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n Q αα 1是正交矩阵⎩⎨⎧≠===⇔)(0],[),,2,1(1],[j i n i ji i i αααα , 即Q 的行向量组是两两正交的单位向量．定理5.4.3 ⇒=A A T 存在正交矩阵Q , 使得Λ=AQ Q T ．（阅读83-85页）推论 设A A =T , 若λ是A 的r 重特征值, 则对应于特征值λ一定有r 个 线性无关的特征向量．（对比定理4）例2 对下列矩阵A , 求正交矩阵Q , 使得Λ=AQ Q T ：(1)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=211110101A , (2)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=122212221A , (3)⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=0111101111011110A ． 解 (1) )3)(1()(---=λλλλϕ对应于特征值3,1,0321===λλλ的特征向量依次为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=1111p , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=0112p , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2113p（定理7保证它们两两正交）构造正交矩阵Q 和对角矩阵Λ：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=6231612131612131Q , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=310Λ则有 Λ=AQ Q T ．(2) 2)1)(5()(+--=λλλϕ, 属于51=λ的特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1111p ．求属于132-==λλ的两个特征向量（凑正交）：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=--000000111222222222)1(行E A , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=0112p , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=2113p （定理7保证它们两两正交）构造正交矩阵Q 和对角矩阵Λ：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=6231612131612131Q , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=115Λ 则有 Λ=AQ Q T ． (3) )3()1()(3+-=λλλϕ求属于1321===λλλ的3个特征向量（凑正交）：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------=-00000000000111111111111111111111行E A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=00111p , ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=11002p , ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=11113p （它们两两正交）属于34-=λ的特征向量为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=11114p构造正交矩阵Q 和对角矩阵Λ：⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=2121210212*********212121021Q , ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=3111Λ 则有 Λ=AQ Q T ．3．典型题例3 已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=5334111y xA 可对角化, 2=λ是A 的2重特征值, 求可逆矩阵P , 使得Λ=-AP P 1．解 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-0002011133321112y x x y x E A 行 A 可对角化⇒对应2=λ有两个线性无关的特征向量 2,21)2(r a n k -==⇒=-⇒y x E A 设221==λλ, 则有6410tr 33321=⇒+=⇒++=λλλλλA此时 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=533242111A , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=622Λ 求得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=0111p , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1012p , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=3213p令 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=310201111P , 则有Λ=-AP P 1．例4 已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=11322002x A 相似于⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=y B 21, 求x 和y ． 解 211tr tr -=⇒+=-⇒=x y y x B A 0040)2(d e t =⇒=⇒=-x x E A 故 2,0-==y x ．例5 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=2135212b a A 的一个特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1111ξ, 求A 的全体 特征值与特征向量．解 11λξξ=A ：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++-031121b a b a λλλλ, ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=201335212A 3)1()(+=λλϕ, 1321-===λλλ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=--000110101101325213)1(行E A 2))1((r a n k =--E A ⇒ 对应1-=λ只有1个线性无关的特征向量 全体特征向量为 )0(111≠=k k x ξ5.4 实对称阵的相似对角形知识点：实对称矩阵特征值特征向量的性质；对称矩阵正交相似于对角矩阵的计算。
正交矩阵及其应用
正交矩阵及其应用1. 引言 (1)2. 正交矩阵的基本知识 (2)2.1正交矩阵的定义与判定 (2)2.2 正交矩阵的性质 (3)3.正交矩阵在数学中的应用 (4)3.1正交矩阵在线性代数中的应用 (4)3.2正交矩阵在拓扑和近世代数中的应用 (10)4.正交矩阵在化学中的应用 (13)sp杂化轨道 (14)4.1 34.2 sp杂化轨道 (16)5.正交矩阵在物理学中的应用 (17)6. 结论 (20)参考文献 (21)致谢 (22)如果n阶实矩阵A满足T,那么称A为正交矩阵．正交矩阵是由内积引出的．AA E本文例举了正交矩阵在线性代数、化学和物理中的三个应用．在线性代数中,求标准正交基一般用Schimidt正交化方法．本文论证了一种特殊的正交矩阵——初等旋转矩阵——也可以求任一向量空间的标准正交基,并通过实例说明此方法的应用．在化学上,原子轨道的杂化,实际是由一组相互正交的单位基向量,通过线性变换转化为另一组相互正交的单位基向量．而线性代数中由一组标准正交基到另一组标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵,因此可以利用正交矩阵的性质求原子轨道的杂化轨道式．在物理上,任一刚体运动都对应一个正交矩阵,本文证明了曲线作刚体运动时曲率和挠率是两个不变量．关键词：正交矩阵；初等旋转矩阵；标准正交基；原子轨道的杂化；曲率；挠率AbstractIf a n-dimensional real matrix A satisfies EAA T ,we call it orthogonal matrix. Orthogonal matrix is extracted by inner product.This paper enumerats the applications of orthogonal matrix in linear algebra, chemistry, and physics. Schimidt method is always used to find the standard orthogonal basis in linear algebra.A special kind of orthogonal matrix, namely elementary rotational matrix, is established to find the standard orthogonal basis in this paper. The orbital atom heterozygous is actually made by a team of mutually orthogonal unit basis vector, through linear transformation into another group of mutually orthogonal unit basis in linear algebra. The transition matrix of a group of standard orgthogonal basis to another group of standard orthogonal basis is an orthogonal matrix. Therefore, properties of orthogonal basis can be used to find the orbital atom heterozygous. In physics, any rigid motion corresponds with an orthogonal matrix. The curvature and torsion rate are proved to be two invariants when a curve is in rigid motion.Keywords:Orthogonal matrix; Elementary rotation matrix; Standard orthogonal basis; The orbital atom heterozygous; Curvature;Torsion rate1引言因为行列式要求行数等于列数,排成的表总是正方形的,通过对它的研究又发现了矩阵的理论.矩阵也是由数排成行和列的数表,可以行数和列数相等也可以不等.矩阵和行列式是两个完全不同的概念,行列式代表着一个数,而矩阵仅仅是一些数的有顺序的摆法.利用矩阵这个工具,可以把线性方程组中的系数组成向量空间中的向量;这样对于一个多元线性方程组的解的情况,以及不同解之间的关系等等一系列理论上的问题,就都可以得到彻底的解决.矩阵是数学中的一个重要的基本概念,是代数学的一个主要研究对象,也是数学研究和应用的一个重要工具.“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的,他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语.而实际上,矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了.从行列式的大量工作中明显的表现出来,为了很多目的,不管行列式的值是否与问题有关,方阵本身都可以研究和使用,矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的.在逻辑上,矩阵的概念应先于行列式的概念,然而在历史上次序正好相反.凯莱先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来,同研究线性变换下的不变量相结合,首先引进矩阵以简化记号并发表了关于这个题目的一系列文章.1858年,他发表了关于这一课题的第一篇论文矩阵论的研究报告,系统地阐述了关于矩阵的理论.文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概念,指出了矩阵加法的可交换性与可结合性.另外,凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根（特征值）以及有关矩阵的一些基本结果.凯莱出生于一个古老而有才能的英国家庭,剑桥大学三一学院大学毕业后留校讲授数学,三年后他转从律师职业,工作卓有成效,并利用业余时间研究数学,发表了大量的数学论文.1855年,埃米特(C.Hermite,1822～1901)证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质,如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等.后来,克莱伯施(A.Clebsch,1831.1872)、布克海姆(A.Buchheim)等证明了对称矩阵的特征根性质.泰伯(H.Taber)引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论.在矩阵论的发展史上,弗罗伯纽斯(G.Frobenius,1849～1917)的贡献是不可磨灭的.他讨论了最小多项式问题,引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念,以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论,并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质.1854年,约当研究了矩阵化为标准型的问题.1892年,梅茨勒(H.Metzler)引进了矩阵的超越函数概念并将其写成矩阵的幂级数的形式.傅立叶、西尔和庞加莱的著作中还讨论了无限阶矩阵问题,这主要是适用方程发展的需要而开始的.矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质,矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展,现在已成为独立的一门数学分支——矩阵论.而矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论.矩阵的应用是多方面的,不仅在数学领域里,而且在化学、力学、物理、科技等方面都十分广泛的应用.本文主要介绍正交矩阵与其应用.我们把n 阶实数矩阵A 满足E AA T=,称A 为正交矩阵.尽管我们在这里只考虑实数矩阵,但这个定义可用于其元素来自任何域的矩阵.正交矩阵是由内积自然引出的,要看出其与内积的联系,考虑在n 维实数内积空间中的关于正交基写出的向量v .v 的长度的平方是2 v .如果矩阵形式为Qv 的线性变换保持了向量长度,所以有限维线性等距同构,比如旋转、反射和它们的组合,都产生正交矩阵.本文例举了正交矩阵在线性代数、化学和物理中的三大应用.其中,在线性代数中,求标准正交基除了用Schimidt 正交化方法外,本文论证了正交矩阵的其中一种矩阵...初等旋转矩阵也可以求任一矩阵的标准正交基,此法用实例与Schimidt 正交化方法对比;在化学上,根据原子轨道的杂化理论,杂化的原子都有其轨道杂化式,对于形成对阵的原子轨道杂化,利用正交矩阵的性质可以求解该原子杂化轨道的杂化轨道式;在物理上,任一刚体运动都对应一个正交矩阵, 三维空间一条曲线经过刚体运动,其曲率和挠率是不变的,本文考察了曲线做刚体运动时的不变量——曲率和挠率.2正交矩阵的基本知识本文中在没有特别说明的情况下,A 都表示为正交矩阵,记矩阵A 的秩为()r A ,i α与j α为矩阵A 的第i 列与第j 列,T i α表示矩阵A 的第i 行. det A 表示行列式的值即det A =A .2.1正交矩阵的定义与判定定义2.1.1[3]n 阶实数矩阵A 满足E AA T =（或E A A T =,或E AA=-1）,则称A 为正交矩阵.判定2.1.2 矩阵A 是正交矩阵?1T A A -=;判定2.1.3 矩阵A 是正交矩阵?1()(,1,2,0(),T ij i j i j i j αα=?==?≠? ，)n ;判定2.1.4 矩阵A 是正交矩阵?1()(,1,2,,0(),Ti j i j i j i j αα=?==?≠? )n ;备注：判定一个是方阵A 是否为正交矩阵往往用定义,即E AA T =（或E A A T=,或E AA =-1）,也可以验证A 的行向量或列向量是否是两两正交的单位向量.2.2 正交矩阵的性质若A 是正交矩阵,则A 有以下性质([3])：性质2.2.5 1A =±,则A 可逆,且其逆1-A 也为正交矩阵.证明显然1±=A . ()()()111---==A A AT TT所以1-A 也是正交矩阵.性质2.2.6 *A ,TA ,也是正交矩阵, 即有:(1)当1A =时, *A A T =, 即*()T ij A A =;(2)当1A =-时, *A A T =, 即*()T ij A A =-.证明若A 是正交矩阵,1T A A -=, 由性质2.2.5,T A 为正交矩阵.因为AA A A A T*1,1==±=-,所以,当1A =时, *A A T =, 即*()T ij A A =;当1A =-时.*T A A =-, 即*()T ij A A =-.从而*A 为正交矩阵. 性质2.2.7 (1,2,)kA k = 是正交矩阵. 证明因为()()kT Tk A A=,所以()()()Tkkkk Tk T AA AA E A A ===.因此,k A 也是正交矩阵性质2.2.8 lA 是正交矩阵的充分必要条件是1±=l .证明必要性若lA 是正交矩阵,则另一方面()()()1211T lA lA lA lA l AA --===,一方面()Tl A l A E=,于是,21l =,1±=l ; 充分性因为A 是正交矩阵,若1±=l ,显然lA 也是正交矩阵.性质2.2.9 若B 也是正交矩阵, 则AB ,B A T ,T AB ,B A 1-,1-AB 都为正交矩阵. 证明由11,--==B B A A TT可知()()111---===AB AB A B AB TTT,故AB 为正交矩阵.同理推知B A T ,T AB ,B A 1-,1-AB 均为正交矩阵.正交矩阵的性质主要有以上几点, 还有例如它的特征值的模为1, 且属于不同特征值的特征向量相互正交; 如果λ是它的特征值, 那么λ1也是它的特征值, 另外正交矩阵可以对角化, 即存在可逆矩阵T , 使11n A T T λλ-?? ?= ? ???,其中n λλ,,1 为A 的全部特征值, 即()11,2,,i i n λ== . 这些性质证明略.3.正交矩阵在数学中的应用3.1 正交矩阵在线性代数中的应用在线性代数中我们通常用施密特方法求标准正交基,现在可以用正交矩阵中的一种殊矩阵求标准正交基---初等旋转矩阵即Givens 矩阵.定义3.1[1]设向量()2212,,,,0,,,Ti k n i k t tT t t t s t t c d s s==+≠== 则称n 阶矩阵 1000100000010010000001001ik c d i G d c k i k= ?- ? ? ?为向量T 下的Givens 矩阵或初等旋转矩阵,也可记作(),ik ik G G c s =.下面给出Givens 矩阵的三个性质[2],[10]性质3.1.1 Givens 矩阵是正交矩阵.证明由2222221i k t t c d s s+=+=,则G Tik ik G E =,故ik G 是正交矩阵.性质3.1.2 设()()1212,,,,,,,T Tn ik n T t t t y G T y y y === ,则有,0,(,)i k j j y s y y t j i k ===≠.证明由ik G 的定义知, (,)j j y t j i k =≠,且22,i k i i k t t y ct dt s s s =+=+=0i k i k k i k t t t ty dt ct s s=-+=-+=,即ik G 右乘向量T ,只改变向量T 第i 和第k 个元素,其他元素不变.性质 3.1.3 任意矩阵A 右乘ik G ,ik AG 只改变A 的第i 列和k 列元素; 任意矩阵左乘ik G ,ik G A 只改变A 的第i 行和k 行元素.证明由性质3.1.2和矩阵乘法易得结论. 引理 3.1.4[2]任何n 阶实非奇异矩阵 , ()nn ija A ?= 可通过左连乘初等旋转矩阵化为上三角矩阵, 且其对角线元素除最后一个外都是正的.定理3.1.5[10]设Q 是n 阶正交矩阵()I 若1Q =, 则P 可表示成若干个初等旋转矩阵的乘积, 即12r Q Q Q Q = ;()II 若1Q =-, 则Q 可以表示成若干个初等旋转矩阵的乘积再右乘以矩阵n E -, 即12r n Q Q Q Q E -= , 其中(1,2,)i Q i r = 是初等旋转矩阵.（1111n n nE -= ?-??）.证明由于Q 是n 阶正交矩阵,根据引理3.1.4知存在初等旋转矩阵12,,,r S S S , 使121r r S S S S Q R -= （这里R 是n 阶上三角阵）,而且R 的主对角线上的元素除最后一个外都是正的,于是12TTTr Q S S S R = （3-11）注意到Q 是正交矩阵,由（3-11）式得,112TTTTTr r Q Q R S S S S S R E == ,即E R R =' （3-12）设R =11121222n n nn r r r r r r ??,其中,0(1,2,,1)ii r i n >=- ,则TR R =11122212nnnn r r r r r r ?? ?11121222n n nn r r r r r r ??=111?? ?. 由上式得,(,1,2,,1)1,(,1,2,,1)11,1 1.ij i j i j n i j i j n r i j n Q i j n Q ≠=-??==-?=?===??-===-?且且所以1,1n E Q R E Q -?=?=?=-??，当当 , （3-13）即,当1Q =时,12T T T r Q SS S S = ;当1Q =-时, 12T T Tr Q S S S = n E -.记(1,2,,)Ti i S Q i r == ,注意到i Q 是初等旋转矩阵,故定理1结论成立.引理3.1.6[1]设1()ij n m R A a Am A Q O===，秩（），则其中Q 是n 阶正交矩阵,1R 是m 阶上三角阵,O 是m m n ?-)(零矩阵.定理 3.1.7[10]设()ij n m A a Am ?==，r （）,则A 可以通过左连乘初等旋转矩阵,把TA 变为R O ??的形式,其中R 是m 阶上三角阵,O 是m m n ?-)(矩阵.证明由引理3.1.6知1R A Q O ??=,其中Q 是n 阶正交矩阵,1R 是m 阶上三角阵.又根据定理1知：11,1,1r n r Q Q E Q Q Q Q Q -?=-?=?=?? ,则12,i Q i r = （，）是初等旋转矩阵. (I)当1Q =时,11211 T Tr r R R A Q Q Q R R Q Q A O O ===令，; (II)当1Q =-时,112r n R A Q Q Q E O -??= ,则111.T T r n n R R R Q Q A E E O O O --== ? ? ???????记.显然,R 是m 阶上三角阵,当n m =时,R 与1R 除最后一行对应元素绝对相等、符号相反外,其余元素对应相等.当时n m >时,1R R =.综上,知本定理的结论成立.设112111n a a a α?? ? ?= ? ? ,122222n a a a α?? ? ?= ? ? ??? , ,12m m m nm a a a α??= ? ? ???是欧氏空间n R 的子空间n V 的一组基, 记11121212221212()m m m n n nm a a a a a a A aa a ααα??== ? ?是秩为的n m ?的矩阵.若()ij n m A a ?=满足定理2的条件,则存在初等旋转矩阵12,,,r Q Q Q ,使1T Tr R Q Q A O ??=（3-14）且 12()Tr E QQ Q Q Q == 21()TTTr Q Q Q所以2121T T T T T T Tr r Q Q Q E Q Q Q Q == （3-15）由（3-14）（3-15）两式知,对A 、E 做同样的旋转变换,在把A 化为?O R 的同时,就将E 化成了TQ ,而Q 的前m 个列向量属于子空间nV .综上所述可得化欧氏空间的子空间nV 的一组基12,,,m ααα 12((,,,),1,Ti i i ni a a a i α==2,,)m 为一组标准正交基的方法:（1）由已知基12,,,m ααα 为列向量构成矩阵()ij n m A a ?=; （2）对矩阵)(E A 施行初等旋转变换,化A 为O R ,同时E 就被化为正交矩阵TQ ,这里R 是m 阶上三角阵;（3）取Q 的前m 个列向量便可得nV 的一组标准正交基. 显然,上述方法是求子空间nV 的一组标准正交基的另一种方法. 下面,我们通过实例对比Schimidt 正交化求标准正交基.例1 求以向量1(1,1,0,0)α=-,2(1,0,1,0)α=-,3(1,0,0,1)α=-为基的向量空间3V 的一组标准正交基.解方法一用Schimidt 正交化把它们正交化：'11(1,1,0,0)εα==-,''2122''11(,)11(,,1,0)(,)22αεεαεε=-=--,'''''31323312''''1122(,)(,)111(,,,1)(,)(,)333αεαεεαεεεεεε=--=--- 再把每个向量单位化,得'11'1111(,,0,0)22εεε==--,'22'21112(,,,0)663εεε==--, '33'311113(,,,)2232323εεε==---. 即,1T ε,2T ε,3T ε就是由123,,T T Tααα,得到的3V 的一组标准正交基.方法二（利用连乘初等旋转矩阵）设矩阵123111100(,,)010001A ααα---??== ? ???, 对分块矩阵)(E A 依次左乘12T ,23T ,34T , 12T =22002222002200100001??- ?-- ?,23T =10001200332100330001?? ? ? ? ? ?- ? ? ??,34T =10000100130022310022?? ? ? ?---??, 得34T 23T 12T )(E A =1100112222211203106 632611132300223232331111002222??- ? ? ?--------- ??,则11002211206 631113223232311112 222T P ??- ? ?-- ?= ?------- ,11112262311112262321102323310022P ??---- ? ? ?--- ?= ?-- ?- ??, 取111(,,0,0)22T P =--, 2112(,,,0)663T P =--, 31113(,,,)2232323TP =---. 那么321,,P P P 就是由123,,TTTααα,得到的3V 的一组标准正交基.对比两者的解法,用Schimidt 正交化把它们正交化需要的是记公式,若向量的维数比较多的,计算比较麻烦,而用初等旋转矩阵则可根据向量组成的矩阵的特点来求其标准正交基.3.2 正交矩阵在拓扑和近世代数中的应用全体n 阶正交矩阵作成的集合, 记为()n O , 从代数和拓扑的角度来看, 我们可以证明它构成一拓扑群, 并且进一步证明它是不连通的紧致lie 群.(1) ()n O 构成拓扑群在证明()n O 构成拓扑群之前, 先介绍一下相关的概念.定义 2.2.1[3]设G 是任一集合, R 是G 的子集构成的子集族, 且满足: 1、结合G 与空集φ属于R ; 2、 R 中任意个集的并集属于R ; 3、 R 中任意有穷个集的交集属于R ;称R 是G 上的一个拓扑, 集合G 上定义了拓扑R , 称G 是一个拓扑空间.定义 2.2.2[3] 如果G 是一个拓扑空间, 兵赋予群的机构, 使得群的乘法运算:u G G G →?;求逆运算:v G G →;是连续映射, 就称G 为拓扑群.根据上面的定义, 我们分三步来实现证明全体n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成拓扑群. <1> 全体n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成一拓扑空间. <2> 全体n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成一群. <3> 全体n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成一拓扑群.证明 <1> 设M 表示所有具有实元素的n 阶矩阵作成的集合, 以() ij a A =表示M 的一个代表元素. 我们可以把M 等同于2n 维欧氏空间2n E, 也就是将()ij a A =对应于2nE 的点()nn n a a a a a a ,,,,,,312211211 .R 是点集2nE 的子集族, 则2n E和φ都属于R ,R 中任意个集的并集属于R ,R 中有穷个集的交集也属于R , 可以验证2n E 构成一拓扑空间, 从而M 成为一拓扑空间.()n O 是所有实元素的n 阶正交矩阵, 所以是M 的子集合, 于是由M 的拓扑可以诱导出这个子集合的拓扑, 从而()n O 构成M 的一个子拓扑空间.<2> 10()n O C B A ∈?,,由于矩阵的乘法满足集合律, 所以()()BC A C AB →20()st O E n n ,∈? ()A AE A E O A n n n ==∈?,30()st A AO A n ,,'1=?∈?- E AA AA A A A A ====--'1'1所以正交矩阵作成的集合()n O 对于乘法运算可构成一群.<3> 对于<1>中的拓扑空间M 的拓扑, 定义矩阵乘法M M M m →?:设()()ij ij b B a A ==?,, 则乘积()B A m ,的ij 个元素是∑=nk kj ikb a1现在M 具有乘积空间111E E E (2n 个因子)的拓扑, 对于任何满足n j i ≤≤,1的j i ,,我们有投影映射1:E M M M m ij →→?π, 将A 和B 的乘积()B A m ,映为它的第ij 个元素. 现在()∑==nk kj ik ij b a B A m 1,π是A 和B 的元素的多项式, 因此m ij π连续, 投影映射ij π是连续的,从而证明映射m 是连续的. 因为()n O 具有M 的子空间拓扑, 是M 的一个子拓扑空间,且由正交矩阵的性质<3>及上面的讨论知, 映射()()()n n n O O O m →?:也是连续的.()n O 中的矩阵可逆,定义求逆映射()()n n O O f →:,()()1-=∈?A A f O A n . 由于合成映射()()1:E O O f n n ij →→π, 将()n O A ∈?映为1-A 的第ij 个元素, 由正交矩阵的性质<2>, AA A *'=,所以AA a ji ji =, 即()AA A f ji ij =π, A 的行列式及A 的代数余子式都是A 内元素的多项式, 且0≠A , 所以f ij π为连续的, 而投影映射ij π为连续的, 所以求逆映射()()n n O O f →:为连续的.至此, ()n O 又是一个拓扑空间,并且构成群, 对群的乘法与求逆运算都是拓扑空间的连续映射, 因而所有n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成一拓扑群, 称它为正交群.(2) ()n O 是紧致lie 群在证明之前我们知道以下有关的定义和定理.定义 2.2.3[4]设G 为拓扑群, G 的拓扑为n 维实(或复)解析流形, 且映射()12121,-→g g g gG g g ∈?21, 为解析流形G G ?到G 上的解析映射, 则称G 为n 维lie 群.定理 2.2.1[4]欧氏空间内的有界闭集是紧致子集.证明M A ∈?(所有具有实元素的n 阶矩阵作成的集合), A 对应2 n 维欧氏空间2n E的点()nn n a a a a a a ,,,,,312111211α,M 可作为2n 维欧氏空间. A 的行列式A d e t 为元素nn n a a a a a a ,,,,,312111211的解析函数, {}0det =∈A M A 为M 中的开子集. 这时, 按诱导拓扑可以知道*M 为解析流形, 且关于矩阵的乘法和求逆运算均解析, 故*M 为2n 维lie 群. ()n O 为*M 的闭子集, 按诱导拓扑为子流形, ()n O 为lie 群.为了证明()n O 紧致, 根据定理内容, 只要证明M 等同于2n E 时, ()n O 相当于2n E内的有界闭集.设()n O A ∈?, 由于E A A ='有∑==nj ik kjij ba 1δ n k i ≤≤,1对于任意的k i ,,定义映射E M f ik →: M A ∈? ()∑==nj kj ij ik b a A f 1则()n O 为系列各集合的交集()01-ik f n k i ≤≤,1 k i ≠()11-ii f n i ≤≤1由于()n k i f ik ≤≤,1都是连续映射, 所以上述每个集合都是闭集. 因此()n O 是M 的有界闭集, 这就证明了()n O 的紧致性.在拓扑结构上是紧致的lie 群, 我们称为紧lie 群, 所以()n O 是紧lie 群. (3) ()n O 是不连通的定义 2.2.4[3]设X 是一个拓扑空间, X 中存在着两个非空的闭子集A 和B , 使X B A = 和φ=B A 成立, 则称X 是不连通的.证明我们再设()n SO 是所有行列式为1的正交矩阵构成的集合, S 为所有行列式为-1的正交矩阵构成的集合. 因为()1:det E SO n →是连续映射, 而我们知道单点集{}1是1E 的闭集,()()1det 1-=n SO ,在连续映射下, 任何一个闭集的原象也是闭集, 所以()n SO 也为闭集,()n SO 为()n O 的闭集, 同理, 我们也可以证明S 是闭集, 因为()(),n n O S SO = ()φ=S SO n ,而()n SO 和S 是闭集, 有不连通的定义我们可以直接证明()n O 是不连通的.4正交矩阵在化学中的应用原子轨道的杂化是在一个原子中不同原子轨道的线性组合.在结构化学原子轨道杂化理论中,原子中能级相近的几个原子轨道可以相互混合,从而产生新的原子轨道.杂化过程的数学表达式为1nk ki i i c φφ==∑1,2,;1,2,i n k == ,k φ为新的杂化轨道,i φ为参加杂化的旧轨道,ki c 为第k 个杂化轨道中的第i 个参加杂化轨道的组合系数[4].在杂化过程中,轨道数是守恒的,并且杂化轨道理论有三条基本原则[5]：（1）杂化轨道的归一性.杂化轨道(1,2,)k k n φ= 满足1k k d τφφ=?; （2）杂化轨道的正交性.0()k l d k l τφφ=≠?; （3）单位轨道贡献.每个参加杂化的单位轨道,在所有的新杂化轨道中该轨道成分之和必须为一个单位,即2222121nki i i ni k cc c c ==+++∑ =1.由杂化轨道原理,原子轨道的杂化,实际是由一组相互正交的单位基向量,通过线性变换转化成为另一组相互正交的单位基向量.在线性代数中由一组标准正交基到另一组标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵,那么原子轨道的杂化,就可以转化为求出正交矩阵,作线性变换的过程.4.1 3sp 杂化轨道.例 2 以甲烷分子的结构为例,激发态碳原子的电子组态为21111*(1)(2)(2)(2)(2)x y z c s s p p p ,这样在形成4CH 分子时,激发态碳原子的一个2s 原子轨道和3个2p 原子轨道进行杂化形成4个等同的3sp杂化轨道.设在激发态碳原子中四个能量相近的原子轨道2s φ,2x p φ,2yp φ,2z p φ是一组相互正交的基向量,再通过线性变换将它们转化成另一组相互正交的基向量a φ,b φ,c φ,d φ,那么线性变换系数矩阵A 必为正交矩阵,即211121314221222324231323334414243442x y z s a p b p c d p a a a a a a a a a a a a a a a a φφφφφφφφ??= ?= 2222xy z s p p p A φφφφ??. A 为正交矩阵,111213142144,,,,,,a a a a a a 分别是a φ,b φ,c φ,d φ在四个坐标轴的分量.在等性杂化中,四个基向量a φ,b φ,c φ,d φ在四个坐标轴上的分量是相等的,即由四个能量相近的原子轨道2s φ,2xp φ,2y p φ,2zp φ进行杂化时形成四个等同的3sp 杂化轨道,在四个杂化轨道上,原子轨道s 和p 成份完全相同.根据这些理论,我们来求正交矩阵A .因为A 是正交矩阵,由定义可得2222111213141a a a a +++=,即11121314a a a a ===, 所以112 41a =,得11121314a a a a ====12(取正值). 又因为是等性杂化轨道.有222211213141a a a a === ,222211121314a a a a +++=1, 所以11213141a a a a ====12（取正值）. 即得到22232432333442434411112222121212a a a A a a a a a a ?? ? ? ? ?=. 又因22232411111022222a a a ?+++=,22222223241()12a a a +++=,222324a a a ==, 取符合条件的2212a =,2312a =,2412a =. 同理,32333411111022222a a a ?+++=,22322333243411022a a a a a a ?+++=, 即32333412a a a ++=- ,32333412a a a --=-,得3212a =-,3334a a =-,取3312a =,3412a =-. 又42434411111022222a a a ?+++=, 42434411111022222a a a ?+--=,42434411111022222a a a ?-+-=, 得4212a =-,4312a =-,4412a =-.所以,11112222111122221111222211112222A ?? ? ? ?--=-- ? ? --. 可以写出四个3sp 杂化轨道的杂化轨道式为22221()2x y za s p p p φφφφφ=+++,22221()2x y z b s p p p φφφφφ=+--,22221()2x y z c s p p p φφφφφ=-+-,22221()2x y z d s p p p φφφφφ=--+.4.2 sp 杂化轨道一个2s 和一个2p 原子轨道杂化形成两个sp 杂化轨道.同样,线性变换211112222122x s p a a a a φφφφ=的系数矩阵11122122a a A a a ??=是正交矩阵. 根据等性杂化理论有2211211a a +=,1121a a =,22 11121a a +=,于是,112112a a ==,1212a =（取正值）. 又,221110222a ?+?=,故, 2212a =-,即,。
同济大学线性代数课件__第五章相似矩阵及二次型
p3
0 4
30
设
1 0 1
P ( p1, p2 , p3 ) 0 1 0
1 1 4
则
1
P 1AP 2
2
31
性质：若l 是 A 的特征值, 即 Ax = lx (x≠0)，则
(1) kl 是 kA 的特征值(k是常数)，且 kAx = klx (2) lm 是 Am 的特征值(m是正整数)，且 Amx = lmx (3) 若 A可逆，则l-1是 A-1的特征值, 且 A-1x = l-1x
16
定义4 若 n 阶矩阵 A 满足 A A E 则称 A 为正交矩阵, 且 A1 A
令 A (1,2 , ,n )
A
A
1
2
(1
,
2
,
n
,n
)
11
21
n1
故
[i , j ] i j
ij
1, 0,
i i
j j
1 2 2 2
n 2
1 n 2 n
nn
17
特征值及二次型问题是线性代数的重要问题。
[ x ty, x ty] 0, t [ x, x] 2[ x, y]t [ y, y]t 2 0
(1) [ x, y ] = [ y, x ]; [ x, y]2 [x, x][ y, y]
(2) [lx, y] = l[ x, y ];
(3) [ x + y, z ] = [ x, z ] + [ y, z ];
解: (1) A2 2A 3E 有特征值 l 2 2l 3
(2) 3阶阵 A有特征值 1, -1, 2，故 | A | 2，A可逆。 A 3A 2E 有特征值 -1，-3，3
高等数学中的正交矩阵与正交对角化
在高等数学的学习中，我们经常会涉及到矩阵的性质和变换。
其中，正交矩阵和正交对角化是非常重要的概念。
正交矩阵是一类特殊的矩阵，它具有很多独特的性质和应用。
而正交对角化则是将一个矩阵通过正交矩阵的相似变换转化为对角矩阵的过程。
下面我们将详细介绍这两个概念及其在数学中的应用。
首先，我们来了解正交矩阵的定义和性质。
一个n阶矩阵A，如果满足A的转置矩阵与A的逆矩阵相等，即AA^T=A^TA=I（其中I为单位矩阵），则称A为正交矩阵。
正交矩阵的一个重要性质是其行列式的值为1或-1，即|A|=1或-1。
在几何意义上，正交矩阵表示了一个线性变换保持了向量的长度和夹角不变。
接下来，我们来讨论正交矩阵的一些应用。
首先，正交矩阵在几何变换中的应用非常广泛。
在二维平面上，正交矩阵可以表示旋转操作，通过正交矩阵对向量进行变换可以实现向量的旋转。
在三维空间中，正交矩阵可以表示三维旋转，同时也能够保持空间中向量的长度和夹角不变。
因此，正交矩阵经常被应用于计算机图形学、计算机视觉等领域。
其次，正交矩阵还有助于求解线性方程组。
当一个方阵A是正交矩阵时，可以简化方程组的求解过程，节约计算量。
接下来，我们来讨论正交对角化的概念和方法。
对于一个n阶方阵A，如果存在一个正交矩阵P，使得P^TAP=D，其中D是对角矩阵，则称A可以通过P的相似变换正交对角化。
正交对角化的一个重要应用是化简复杂的矩阵运算。
通过正交对角化，可以将矩阵A转化为对角矩阵D，简化了矩阵的运算，同时也使得矩阵A的性质更加明确。
在求解差分方程、微分方程等问题时，可以通过正交对角化将问题转化为求解对角矩阵的特征值和特征向量，从而简化了问题的求解过程。
最后，我们来总结一下正交矩阵与正交对角化的关系和应用。
正交矩阵是一类具有特殊性质的矩阵，它能够保持向量的长度和夹角不变，常常被应用于几何变换和矩阵运算中。
正交对角化是通过正交矩阵的相似变换将一个矩阵转化为对角矩阵的过程，可以化简复杂的矩阵运算和求解问题的过程。
4_2方阵的相似对角化与4-3正交矩阵
1 −3 (1) A= 3 −5 = 6 −6 −1 1 (2) B= −4 3 = 1 0
3 3 4 0 0 2
=
对角阵为 Λ=
1 −1 1 1 0 1 , 0 1 2 −2 0 0 0 −2 0 , 0 0 4
满足 P−1 A P= Λ . =
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例3.判断下列矩阵是否相 似于对角阵, 若相似, 似于对角阵 若相似 求可逆矩 阵P，使P−1 A P= Λ . ， =
对于特征值λ3=6，解线性方 ， 程组(6 − 程组(6E−A)X=o， 6 = ，
解得
x = 5 . y = 6
1 得其基础解系ξ3= -2 ， 3
由于A和 相似 由于 和B相似，且B是一个 对角阵，可得 的特征值为 对角阵，可得A的特征值为
《线性代数》 返回
−1 1 1 所以 P = 1 0 −2 . 0 1 3
=(λ−2)(λ−1)2=0， ，
矩阵B的特征值为 矩阵 的特征值为 λ1=λ2=1 λ3=2 . =1, =1, 对于特征值λ1=λ2=1 解线性 方程组(E− 方程组 −B)X=o， = ，
1 −3 (1) A= 3 −5 = 6 −6 −1 1 (2) B= −4 3 = 1 0
3 3 4 0 0 2
解得 例2.
1 − 1 0 阶方阵A相似于 设3阶方阵 相似于D = 2 2 0 阶方阵 0 0 3
x = −17 . y = −12
,求|A|. 求
由于矩阵A和 相似 所以|A|=|D|, 即 相似，所以 解：由于矩阵 和D相似 所以 由于矩阵 |A|=|D|＝12.
相似可知， 解：由A和B相似可知，它 和 相似可知 们的迹、行列式都相等， 们的迹、行列式都相等，即
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正交相似变换矩阵的空间结构
正交相似变换矩阵的空间结构即表征三维物体的平面上的变形过程，具有重要的理论价值和实用价值。
一、正交相似变换的基本概念
1、正交相似变换：指在任意的三维坐标系上,将物体从旧坐标系投影到新坐标系上来,其变形过程可以划分为：翻转、平移、旋转三个步骤，它们构成一个正交相似变换。
2、正交相似变换的旋转和翻转：正交相似变换的旋转是指仅将物体沿着一个任意轴旋转，而不进行翻转。
而正交相似变换的翻转则指仅沿着任意轴翻转，不进行旋转。
二、正交相似变换矩阵的特点
1、正交相似变换矩阵是由9个实数系数阵所构成。
此矩阵在变换三维物体及其体积时不改变它的正交性，即三个基向量几乎不会变形，只改变物体在坐标轴上的位置。
2、正交相似变换矩阵在三维坐标系中有着独特的两维空间结构。
因此不仅可以表示物体体积可能性的大小，而且可以用于坐标系的变换、
物体的对称和对称的对象的运动等应用场景中。
三、正交相似变换矩阵的应用
1、应用于变形特征分析：正交相似变换矩阵常被应用于分析各种工程上 test 中物体的变形特性，以找出其经受变形的体积可能性，从而为结构强度分析提供重要依据。
2、应用于坐标系的变换：正交相似变换矩阵可以将三维空间中任意的一个坐标系变换到另一个坐标系，而无需考虑坐标系的大小，方位和位置。
3、应用于非平面图形的对称及绘图：正交相似变换矩阵也被用于绘制三维非平面图形的动画等图象，可以反映某一对象或物体在空间中的对称性及移动特性，从而可以看出它们在物理空间中的特殊表现。