历年大学生高等数学竞赛试题及答案

前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）

（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看

一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。）

2009-2010年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷

一、填空题（每小题5分）

1．计算=--++⎰⎰y x y

x x y

y x D d d 1)

1ln()(16/15，其中区域D 由直线1=+y x 与

两坐标轴所围成三角形区域.

解:令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-=，

⎰

-=10

2

d 1u u

u （*） 令u t -=1，则21t u -=

dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，

2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2

022d )(3)(x x f x x f ,则=)(x f ____________.

解:令⎰=2

0d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，

A A x A x A 24)2(28d )23(20

2-=+-=--=

⎰

,

解得3

4=A 。因此3

10

3)(2-

=x x f 。 3．曲面22

22

-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是

__________.

解:因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面

22

22-+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，

故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，

y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，

即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在

))

,(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是

0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面2222

-+=y x z 平行平面 022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。

4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，

且1≠'f ，则=22d d x

y

________________.

解:方程29ln )(y y f e xe =的两边对x 求导，得

因)(29ln y f y xe e =，故y y y f x

'=''+)(1

，即))

(1(1

y f x y '-=

'，因此

二、（5分）求极限x e

nx x x x n

e e e )(lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数. 解:因 故 因此

三、（15分）设函数)(x f 连续，⎰=1

0d )()(t xt f x g ，且A x

x f x =→)

(lim

，A 为常数，求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.

解

:由

A x x f x =→)

(lim

和函数

)

(x f 连续知，

0)

(lim

lim )(lim )0(0

===→→→x

x f x x f f x x x 因⎰=1

0d )()(t xt f x g ，故0)0(d )0()0(1

0===⎰f t f g ，

因此，当0≠x 时，⎰=x

u u f x

x g 0d )(1)(，故 当0≠x 时，

x

x f u u f x x g x )

(d )(1)(0

2

+

-

='⎰

， 这表明)(x g '在0=x 处连续.

四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：

（1）⎰⎰-=---L

x y L

x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ；

（2）2sin sin 2

5d d π⎰≥--L

y y x ye y xe .

证:因被积函数的偏导数连续在D 上连续，故由格林公式知 （1）y x ye y xe x x ye y xe D

x y L

x y d d )()(d d sin sin sin sin ⎰⎰⎰⎥⎦

⎤⎢

⎣⎡-∂∂

-∂∂=---

而D 关于x 和y 是对称的，即知 因此 （2）因 故 由 知

即2sin sin 2

5

d d π⎰≥--L

y y x ye y xe

五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.

解设x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是二阶常系数线性非齐次微分方程

的三个解，则x x e e y y 212-=--和x e y y -=-13都是二阶常系数线性齐次微分方程

的解，因此0=+'+''cy y b y 的特征多项式是0)1)(2(=+-λλ，而

0=+'+''cy y b y 的特征多项式是

因此二阶常系数线性齐次微分方程为02=-'-''y y y ，由

)(2111

x f y y y =-'-''和 x x x e xe e y 21

2++='，x x x e xe e y 2142++='' 知，1112)(y y y x f -'-''=)(2)2(42222x x x x x x x x e xe e e xe e e xe +-++-++= 二阶常系数线性非齐次微分方程为

六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又