(仅供参考)非圆曲线的逼近 讲解

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Y
y = f (x)
B
C
T δ允
P A
D X
图 2.3 等误差逼近方法的原理图
（1）确定所有逼近线段的误差 δ允 的圆方程，即以起点 A(xa , ya ) 圆心， δ允 为半
径作圆：
（x − xa )2 + ( y − ya )2 = δ 允２
一系列 yi . xi 、yi 即为每个线段的终点坐标 ,并以该坐标值编制直线程序 段. △x 的大小取决于曲线的曲率和允许误差δ . 一般先取△x=0.1 试算 并校验 . 误差校验方法如下 : 如图, MN 为试算后的逼近线段, 作 MN
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平行于 MN 且两直线距离为δ允.
Y
y=f(x)
MN 方程： ax + by + c = 0 ，则 M ' N ' 的方程为 ax + by = c ± δ允 a 2 + b2
求解联立方程：
δ
允＝
ax ±
+ a
by − c 2 + b2
y = f (x)
（2－1）
如果无解，即没有交点，表示逼近误差小于δ允 ；如果只有一个解，即等间距与 轮廓线相切，表示逼近误差等于δ允 ；如果有两个或两个以上的解，表示逼近误差大 于δ允 ，这时应缩小等间距坐标的增量值，重新计算节点和验算逼近误差，直至最大 的逼近误差小于等于δ允 。
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算法：
1、 给定的△x=0.1 求出 xi , 将 xi 代入 y=f(x)即可求得一系列 yi . xi 2、 求允许误差δ. 3、 If δ<= 精度值 0.001？
a) 是, if 达到终点？ i. 是， goto Step 4： ii. 否， i=i+1,goto Step 1;
较改进前与改进后的两种算法结果 . (3) 针对任意给定的某一由非圆曲线所构成的平面轮廓, 根据指定
的走刀方向、起刀点 ,自动生成 CNC 代码 . (4) 在屏幕上显示该非圆曲线所构成的平面轮廓 .
软件设计过程
非圆曲线的逼近算法及程序设计
1．等间距的直线逼近的节点算法 已知方程 y=f(x), 根据给定的△x 求出 xi , 将 xi 代入 y=f(x)即可求得
M’ M
N’ N
X
△X △X 图 1 等间距逼近
根据节点的坐标可求得 MN 方程: ax+by+c=0 则 ax+by=c±δ允√a⌒2+b⌒2 求解联立方程:
δ允=(ax+by-c)/ ±√a⌒2+b⌒2 y=f(x)
如果无解,即没有交点,表示逼近误差小于δ允;如果只有一个解, 即等 距线与轮廓线相切, 表示逼近误差等于δ允; 如果有两个或两个以上的解, 表示逼近大于δ允, 这时应缩小等间距坐标的增量值, 重新计算节点和验 算逼近误差, 直至最大的逼近误差小于或等于δ允.
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Y B
A
y = f (x)
l
C
δ允
D
X
图 2.2 等弦长逼近方法的原理图
（1）确定允许的弦长：由于曲线各处的曲率不等，等弦长逼近后，最大误差δ max
必在 Rmin 处（设为图中的 CD 段），则 l 为
l = 2 Rmin 2 − (Rmin − δ 允）2 ≈ 2 2Rminδ 允
（2）求 Rmin 。曲线 y = f (x) 任一点的曲率半径为
课程设计任务
用计算机高级编程语言(如 VB,VC++等)来实现非圆曲线的逼近,可任 选直线逼近(等间距法、等弦长法、等误差法等)或圆弧逼近. 要求在满足 允许误差的前提下, 使得逼近的直线段或圆弧段数的数量最少(即最优解). 要求如下:
(1) 列出一般的直线或圆弧逼近的算法(流程图). (2) 列出改进的直线或圆弧逼近的算法(流程图)—即优化算法. 比
R = (1 + y'2 )3/2 /y"
（2－2）
取 dR / dx = 0 ，即
3y' y"2 −(1 + y'2 ) y"' = 0
（2－3）
根据 y = f (x) 求得 y'、y"、y"' ，并由式（2－3）求得 x 值代入式（2－2）即得 Rmin 。 （3）以曲线起点 A 为圆心，作半径为 l 的圆交 y = f (x) 曲线于 B 点，联立求解
等间距法计算简单，但由于取定值 ∆x 应保证曲线曲率最大处的逼近误差允许值，
所以程序可能过多。用此种方法进行数学处理，它的逼近曲线与轮廓线的逼近误差参
差不齐，程序明显增多，影响机床的加工效率，不适合大批量的加工，成本也比较高。
2.1.2 等弦长直线逼近的节点计算 就是使所有逼近线段的长度相等，如图 2.2 所示。计算步骤如下：
Y ∆x ∆x
y = f (x)
N' N
M'
M X
图 2.1 等间距逼近方法的原理图 ∆x 取值的大小取决于曲线的曲率和允许误差δ 。一般先取 ∆x = 0.1试算并校验。 误差校验方法如图 2.1 中的右图所示，MN 为试算后的逼近线段，作 M ' N ' 平行于 MN
且两直线的距离为δ允 。根据节点的坐标可求得
2.1 常用非圆曲线直线逼近方法 2.1.1 等间距的直线逼近的节点计算 这是一种最简单的算法。如图 2.1 所示，已知方程 y = f (x) ，根据给定的 ∆x 求出 xi ，求 xi 代入 y = f (x) 即可求得一系列 yi ，即为每个线段的终点坐标，并以该坐标值 编制直线程，goto Step1 4、 End
非圆曲线数学处理的一般方法
数控系统一般只有直线和圆弧插补的功能，对于非圆曲线轮廓，只有用直线或圆 弧去逼近它，“节点”就是逼近线段与非圆曲线的交点。一个已知曲线的节点数主要 取决于逼近线段的形状（直线段还是圆弧段），曲线方程的特性以及允许的逼近误差。 将这三者利用数学关系求解，即可求得一系列的节点坐标，并按节点划分程序段。以 下简介常用的直线逼近及圆弧逼近的数学处理方法。
（x − xa )2 + ( y − ya )2 = l 2 y = f (x)
得 xB、yB 。 （4）顺序以 B、C…圆心，重复步骤（3），即可求得其余各节点的坐标值。
等弦长法对于曲线各处的曲率相差较大时，所求得的节点数过多，所以这种方法
宜用于曲率变化不大的曲线节点计算。
2.1.3 等误差直线逼近的节点计算 要使得所有逼近线段的误差δ 都相等，如图 2－3 所示，需要如下得计算步骤：