第8章 状态空间分析法

——系统内部状态的联系，称为系统矩阵，为矩阵；
b1 b b 2 bn
——输入对状态的作用，称为输入矩阵或控制矩阵，在此
为n×1的矩阵。 8.3 能控性和能观测性 能控性和能观测性是系统的一种特性，这两个概念是卡耳曼在20世纪60年代提出的， 是现代控制理论的两个基本概念。能控性检查每一状态分量能否被u (t)控制，是 指控制作用对系统的影响能力；能观测性表示由观测量y能否判断状态X，它反映系 统输出量确定系统状态的可能性。因此，能控性和能观测性从状态的控制能力和状 态的识别能力两个方面反映系统本身的内在特性。实际上，现代控制理论中研究的 许多问题，如最优控制、最佳估计等，都以能控性和能观测性作为其解存在的条件。
x1 X ， x2
，
0 b 1 L
在指定系统输出的情况下，该输出与状态变量间的函数关系式，称为系统的输出方程。 【例8-1】中指定x1 = uC作为输出，输出一般用y表示，则有y = uC，即y = x1，系 统的输出方程为 （8-7） x1 y 1 0 或 x T 2 y = C X 式中 ，CT = [1 0]
第8章
状态空间分析法
8.1 8.1.1
状态空间法的基本概念 状态与状态变量
“状态”和“状态空间”并不是新概念，长期以来，二者就在质点和刚体的古 典力学中得到广泛应用。在经典控制理论中，“相平面”概念（在本书中未涉及） 就是特殊的二维状态空间，但是，将“状态”和“状态空间”的概念在古典动力学 基础上加以发展，并使之适合于控制过程的描述，这还是在20世纪60年代前后的事。 下面通过举例说明状态、状态变量。 【例8-1】无源网络如图8-1所示，试分析网络的数学模型。 解：由图8-1可得方程
【例8-3】考察如下系统的能控性。
x1 1 2 2 x 2 1 x 0 u x 2 0 1 1 2 1 0 1 x 1 3 x3
x (t ) X (t ) 2 xn (t )
（2）状态空间。以x1(t)，x2(t)，x3(t)，„，xn(t)为坐标轴所组成的正交n维空 间，称为状态空间，状态空间中的每一点，都代表状态变量的唯一和特定的一组值。 由系统的状态变量构成的一阶微分方程组，称为系统的状态方程。在例8-1中式 （8-4）描述的就是系统的状态方程。 如果将状态变量用一般符号来表示，即式（8-4）中令x1 = uC，x2 = i，并写成矩 阵形式，则状态方程为
即为所求。
x1 x 2 x3 x4
（8-12）
x1 x x 2 xn
8.2.2
线性系统的状态空间描述
状态方程和输出方程综合起来，构成对一个系统完整的动态描述，称为系统的 状态空间表达式，如式（8-6）和式（8-7）所示。而式（8-11）和式（8-12）就是 图8-2所示系统的空间表达式。 下面介绍列写状态空间描述的一般方法。设单输入—单输出系统，其状态变量为x1， x2，„，xn，则状态方程的一般形式为 = a11x1 + a12x2 +„+a1n + b1u x1 x 2 = a21x1 + a22x2 +„+a2n + b2u x n = an1x1 + an2x2 +„+ann + bnu 输出方程则有如下形式 y = c1x1 + c2x2 +„+cnxn
从该定义出发，可以加深对能控性的理解。 （1）系统的初始状态X0，是状态空间中任意非零的有限点，目标状态X(ta)为状 态空间的原点。 （2）把系统从初始状态引向目际状态的控制作用，必须满足状态方程解存在唯 一性的条件。 （3）把系统由初始状态引向目标状态的时间定义为一个有限区间[t0,ta]。
8.3.2
联立式（8-8）、式（8-9）消去中间变量z，得出系统的微分方程为 m1m2 y(4) + [(k1 + k2)m1 + k1m2] y + k1Baidu Nhomakorabea2 y = k1F(t) 式（8-10）即为所求的系统的微分方程。 （2）设状态变量 x1 = z，x2 = z = x1，x3 = y，x4 = y = x3 由式（8-8）可得
解：由状态方程可知
2 B 0 1
1 2 2 2 4 AB 0 1 1 0 1 ， 1 0 1 1 1
2
0 A B 0 ， 5
x X 1 x2
8.2 8.2.1
状态空间描述 状态变量的选取
对于状态变量的选择，原则上是任意选择的，但在有些系统的分析中，为了 便于问题的分析或为了更进一步地了解系统内部变量及其之间的相互关系，状态 变量应根据系统的要求来选取。下面举例说明如何选取状态变量。 【例8-2】如图8-2所示的质量—弹簧系统，当外力F(t)作用时，系统产生运动， 质量及弹簧弹性系数见图，如不计算摩擦 ，试求： （1）以质量块m2的位移y(t)为输出量、 外力F(t)为输入量，列写系统的微分方 程； 图8-2 质量—弹簧系统 （2）自选一定数目的状态变量，建立上述系统的状态方程和输出方程。 解：（1）设质量块m1的位移为z，根据牛顿定律有 F(t) − k1 (z − y) = m1z （8-8） 同理，对质量块m2有 k1(z − y) − k2 y = m2z （8-9）
或
式中
0 x1 1 x2 L
1 0 C x1 1 u R x2 L L
（8-6）
= X

AX + bu
0 A 1 L 1 C R L
根据在[t0,ta]上的观测值Y(t)，t[t0,ta]区间能够唯一地确定系统在t0时刻 的任意初始状态X0，则称系统在[t0,ta]上是状态可观测的。 能观测性是研究状态和输出量的关系，即通过对输出量在有限时间内的测量，能否 把系统的状态识别出来，实质上，可归结为对初始状态识别的问题。 8.3.4 线性系统的能观测性判断依据 线性定常系统，即
线性系统的能控性判断依据
在此只讨论线性单输入—单输出系统的能控性问题。线性定常系统，即 X =AX + BU Y = CX 状态完全能控的充分必要条件是其能控性矩阵Q=[B AB „ An−1B]满秩，即 rank[B AB „ An−1B] = n 对于单输入系统，能控性矩阵为方阵，所以其具体判断依据为Q的行列式不为零， 即 |Q| 0 该判断依据较简单，但当系统状态不完全能控时，它不能指明哪些状态不能控
k k2
x3
k1 x1 m2
0 k k 0 1 2 m2
0 0 x 1 1 0 x2 m1 F (t ) 1 x 3 0 x4 0 0
（8-11）
y 0 0 1 0
实现能控性与能观测性面临的一个问题是，控制作用是否可使系统在有限的时 间内，从起始状态导引到要求的状态；另一个问题是，能否通过观测有限时间 内的输出量而识别出系统的起始状态，从而识别系统的状态。 能控性与能观测性之所以成为现代控制理论中的基本问题，是因为它着眼于对 状态的控制。而经典控制理论是着眼于输出控制，受控过程可表示为一个复杂 的高阶微分方程，即 y(n)+a1y (n−1)+„+an−1 y +an y =b0u(n) +b1u(n−1)+„+bn−1 u + b nu 因为被控量y与控制作用u之间存在着明显的依赖关系，所以理论及实践上并不 面临能否控制、能否观测的问题。但就系统的状态而言，这个问题仍客观存在， 只是由于着眼于输出控制而掩盖了被控量与控制作用之间的依赖关系。在现代 控制理论中，用状态空间方程来描述系统，通过对系统的状态方程及输出方程 的分析，可以判断系统的能控性和能观测性。也就是说，能控性、能观测性的 条件是由系统的状态方程和输出方程的系数矩阵来确定的。 8.3.1 线性系统的能控性 能控性定义：线性系统 =A(t)X + B(t)U ，在t0时刻的任意初始值 X(t0)=X0， X 对ta＞t0，taJ（J为系统的时间定义域），可找到容许控制U其元在[t0,ta]上 平方可积），使X(ta)=0，则称系统在[t0,ta]上是状态能控的。
用向量矩阵表示时的状态空间表达式为 x = Ax + bu
式中，
x1 x x 2 xn
y = CTx ——n维状态变量
（8-13）
a11 a A 21 an1
a12 a1n a22 a2 n an 2 ann
2
所以
Q B
2 4 0 AB A B 0 1 0 1 0 5
，
2 4 0 0 1 0 0 1 0 5
，rankQ = 3
故系统的状态完全可控。
8.3.3
线性系统的能观测性
Y C (t ) X
前面介绍了系统的状态能控性，下面介绍系统的状态能观测性。 能观测定义 X A(t ) X B(t )U 在ta＞t0，t0J（J为系统的时间定义域），
（8-5）
在该网络中，如果i(t0)、uC (t0)的初始值和t≥t0时输入电压均已知，则t≥t0时网 络状态、uC (t)可完全确定，因此，可以说i(t)、uC (t)是这个二阶系统的一组状态 变量，由此可得到如下概念。
状态：即动力学系统状态，是指完整地和确定地描述系统的时域行为的一组最小 变量。如果给定t=t0时刻这组变量的值和t≥t0时输入的时间函数，那么系统在 t≥t0任何瞬时的行为就完全确定下来了，这样一组变量称为状态变量 8.1.2 状态向量与状态空间 （1）状态向量。状态向量是以状态变量为元组成的向量。如x1(t)，x2(t)、 x3(t)，„，xn(t)是系统的一组状态变量，则状态向量就是以这组状态变量为分量 x1 (t ) 的向量，即
duC C dt i L di Ri u u C dt
消去中间变量可得
图8-1 RLC无源网络
LC
d 2uC dt
2
RC
duC uC u dt
（8-2）
用传递函数表示为
（8-3） 式（8-1）、式（8-3）均是描述该网络的数学模型，均可表示系统的状态。 分析式（8-1）的两个一阶方程组
du 1 uC C i dt C i di 1 u R i 1 u C dt L L L
U C (s) 1 U ( s ) LCs 2 RCs 1
（8-4）
用向量矩阵方程表示为
0 u C 1 i L 1 0 C uC u 1 R i L L
x2 z


（8-10）
k1 k 1 x1 1 x3 F (t ) m1 m1 m1
x4 y 1 由式（8-9）可得 m2 由此，状态方程和输出方程分别为
0 x1 k 1 x 2 m1 0 x3 k1 x 4 m2 1 0 0 0 k1 m1