建立平面直角坐标系的方案··
§一 平面直角坐标系
课堂练习
1．若点P(x，y)按伸缩系数k向着x轴的伸缩变换后，得到Q(x′，
y′)，则此变换的代数形式是
kx＝ x′ A. y＝ y′ x＝ x′ C. ky＝ y′ x＝ kx′ B. y＝ y′ x＝ x′ D. y＝ ky′
要点一 运用坐标法解决解析几何问题 例 1 如图所示，圆 O1 与圆 O2 的半径都是 1，|O1O2|＝4，过 动点 P 分别作圆 O1、圆 O2 的切线 PM、PN(M、N 分别为 切点)，使得|PM|＝ 2|PN|，试建立适当的坐标系，并求动 点 P 的轨迹方程．
解
以O1O2的中点O为原点，O1O2所在的直线为x轴，
解析 ∵椭圆 x2＋4y2＝16 向着 y 轴进行伸缩变换，伸 缩系数 k＝2，∴伸缩变换 x′＝x，y′＝2y， 1 1 ∴x＝x′，y＝ y′，代入原方程得到 x′2＋4( y′)2＝16， 2 2 ∴x2＋y2＝16.
课堂小结
1．坐标系是现代数学中的重要内容，它在数学发展的历史上 起着划时代的作用．坐标系的创建，在代数和几何之间架 起了一座桥梁．利用坐标系，我们可以方便地用代数的 方法确定平面内一个点的位置，也可以方便地确定空间内
C 在此变换下变为
1 x′＝2x， x＝ 2x′， 解 (1)①由伸缩变换 得 y＝ 3y′. y′＝1y， 3 将其代入 5x＋2y＝ 0， 得到经过伸缩变换后的图形的方程是 5x′ ＋3y′＝0. 经过伸缩变换后，直线仍然是直线． x＝ 2x′， ②将 代入 x2＋y2＝1， y＝ 3y′ x′2 y′2 得到经过伸缩变换后的图形的方程是 ＋ ＝1. 1 1 4 9 经过伸缩变换后，圆变成了椭圆． (2)设 P(x，y)为曲线 C 上任意一点．
6.1.2平面直角坐标系2
描点方法
1、先找横坐标，并做X轴的垂 线（或Y轴平行线）； 2、再找纵坐标，并做Y轴的垂 线（或X轴平行线）； 3、两线交点就是所描的点。
平面直角坐标系：
y
6 5 4
3
2 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1
o
-1 -2
1
2 3
4
5
6
x
1、x轴上的点的坐标特征是纵坐标等于零， -3 可记作：（x，0） -4 2、y轴上的点的坐标特征是横坐标等于零， -5 可记作：（0，y） -6 3、与x轴平行的直线上的点的纵坐标相同。 4、与y轴平行的直线上的点的横坐标相同。
y D(0,3) C
(3,3)
A(O)
7 B(3,0)
x
.正方形ABCD中,以正方形的中心O为坐标原点,点 D的坐标为(-5,5),写出A 、 B、C的坐标.
y D C
(5,5)
O
x
(-5,-5)
A
B(5,-5)
.正方形ABCD中,正方形边长为7,点A的坐标为 (-2,-1),写出 B、C 、D的坐标. y (-2,6) D
y
平面直角坐标系 第二象限
6
5 4
y轴或纵轴 第一象限
原点
1 2 3 4 5
3
2 1
x轴或横轴
6
-6 -5 -4 -3 -2 -1
-1 -2 -3 -4
o
X
第三象限
第四象限
注 ①两条数轴 ②互相垂直 叫平面直角坐标系
-5 意:坐标轴上的点不属于任何象限。 -6
③公共原点
·
练一练：指出图中A、B、C、D、E、F、G、H、 O各在那一象限？并写出各点的坐标 y F A(3,4) B(-5,4) 5 B A 4 C(-2,-4) D(2,-1)
平面直角坐标系教案
7.1平面直角坐标系7.1.1有序数对教学三维目标知识与技能：1.理解有序数对的意义。
2.能用有序数对表示实际生活中物体的位置过程与方法：1.学生经历有序数对的学习过程，培养学生的概括能力，发展学生的数感。
2. 体会具体-抽象-具体的数学学习过程情感态度与价值观：1.通过在游戏中学习有序数对，培养学生合作交流意识和探索精神.2.经历用有序数对表示位置的过程，体验数、符号是描述现实世界的重要手段 .教学重点：有序数对及平面内确定点的方法.教学难点：利用有序数对表示平面内的点.教学课型：新授课教学课时：1课时教学方法：启发、讨论、交流教学准备：三角尺粉笔多媒体教学过程：一、问题与情境情景引入：游戏“找朋友”问题：（1）只给一个数据如“第3列”你能确定好朋友的位置吗？（2）给两个数据如“第3列第2排”你能确定好朋友的位置吗？为什么？（3）你认为需要几个数据能确定一个位置？二、合作探究1.【提出问题】 请在教室找到如下表用数对表示的同学位置：发现：在教室里排数与列数的先后顺序没有约定的情况下，不能确定参加数学问题讨论的同学假设约定“列数在前，排数在后”，你能找到参加数学问题讨论的同学的座位吗？ 思考：（1）（2，4）和（4，2）在同一个位置吗？（2）如果约定“排数在前，列数在后”，刚才那些同学对应的有序数对会变化吗？2. 【师生归纳】思考：在生活中还有用有序数对表示一个位置的例子吗？3. 【例题讲解】例1：如图，甲处表示2街与5巷的十字路口，乙处表示5街5巷的十字路口，如果用（2,5）表示甲处的位置，那么（2,5）→（3,5）→（4,5）→（5,5）→（5,4）→（5,3）→（5,2）表示从甲处到乙处的一种路线，请你用有序数对写出几种从甲处到乙处的路线。
3街4街5街6街2巷1巷1街2街6巷5巷4巷3巷变式练习：设计一个容易用有序数对描述的图形，并用自己的语言描述这个图形 有序数对：我们把有顺序的两个数a 与b 组成的数对，叫做有序数对。
《平面直角坐标系》教案
《平面直角坐标系》教案
教学目标
1、理解平面直角坐标系以及横轴、纵轴、原点、坐标等概念.
2、认识并能画出平面直角坐标系.
3、能在给定的直角坐标系中，由点的位置写出它的坐标.
教学重点
1、理解平面直角坐标系的有关知识.
2、在给定的平面直角坐标系中，会根据点的位置写出它的坐标.
3、由观察点的坐标、纵坐标或横坐标相同的点所连成的线段与两坐标轴之间的关系，
说明坐标轴上点的坐标有什么特点.
4、根据实际问题建立适当的坐标系，并能写出各点的坐标.
教学难点
1、横(或纵)坐标相同的点的连线与坐标轴的关系的探究.
2、坐标轴上点的坐标有什么特点的总结.
3、在已知的直角坐标系下找点、连线、观察，确定图形的大致形状
4、根据已知条件，建立适当的坐标系
教学步骤
内容一：感受生活中的情境，导入新课
同学们，你们喜欢旅游吗？假如你到了某一个城市旅游，那么你应怎样确定旅游景点的位置呢？下面给出一张某市旅游景点的示意图，根据示意图，回答以下问题：
1、你是怎样确定各个景点位置的？
2、“大成殿”在“中心广场”南、西各多少个格？“碑林”在“中心广场”北、东各多
少个格？。
高二数学抛物线的标准方程
，求它的标准方程。
（3）求过点A（-3，2）的抛物线的 标准 方程。
解 （1） ∵抛物线的焦点坐标为（0，-2）
p ∴ 2 2
∴P= 4 ∴抛物线方程为x2=-8y
(2) ∵抛物线的准线方程为 x 3 2 p 3 ∴
2 2
∴P=3 ∴抛物线方程为y2=6x
（3）求过点A（-3，2）的抛物线的 标准方程。
（1）焦点是F（3，0）
y2 =12x
y2 =x
1 （2）准线方程 是x = 4
（3）经过点P(-2,-4)的抛物线方程。 y2=-8x、x2=-y
2 =4x、 y2 = -4x、 y （4）焦点到准线的距离是2。 x2 =4y 或 x2 = -4y
小 结 ：
1、椭圆、双曲线与抛物线的定义的联系 及其区别； 2、会运用抛物线的定义、标准方程求它 的焦点、准线、方程；
解：当抛物线的焦点在y轴 的正半轴上时，把A（-3，2） 代入x2 =2py，得p=
9 4
．
A
y
当焦点在x轴的负半轴上时， 把A（-3，2）代入y2 = -2px，
O
x
4 9 ∴抛物线的标准方程为x2 = y或y2 = x 3 2
2 得 p= 3
。
练习
1、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
（1）y2 = 20x （2）x2=
④方程中只有一个字母P，有一个条件就可以求出 抛物线标准方程。
三、例题 例1 （1）已知抛物线的标准方程是y2 = 6x，
求它的焦点坐标和准线方程；
（2）已知抛物线的方程是y = －6x2， 求它的焦点坐标和准线方程；
例2 （1）已知抛物线的焦点坐标是
F（0，-2），求它的标准方程。
第七章平面直角坐标系教(学)案
授课教师：爱华授课时间：(3)要确定每艘敌舰的位置，两个数据：距离和方位角．么？在学校的哪个方向上？这一方向上还有其他设施吗？怎么区分？(3)要确定京山相对于学校的位置，需要哪些数据？板书设计7.1.1 有序数对教学反思本课容比较简单，但涉及到实际情境，有些学生由于不理解实际情境造成不理解题意，从而出现解题错误．教师授课过程中应当加强学生对情境的理解，从情境中抽象出数学本质的知识，以利于学生解题．授课教师：授课时间：课题7.1.2 平面直角坐标系课时教学目标1.掌握平面直角坐标系的有关概念，会画平面直角坐标系．2通过实际问题抽象出平面直角坐标系及其相关概念，使学生认识平面直角坐标系的原点、横轴和纵轴等，会由坐标描点，由点写出坐标，让学生体会到平面上的点与有序实数对之间的对应关系.3.经历画平面直角坐标系，由点写出坐标和由坐标描点的过程，进一步渗透数形结合的数学思想，培养学生自主探究与合作交流的学习习惯.教学重点正确认识平面直角坐标系，会准确地由点写出坐标，由坐标描点.教学难点各象限及各坐标轴上点的坐标的特点，平面上的点与有序实数对之间的对应关系.教学方法探究法、演示法、练习法教学手段多媒体教学手段课型新授课教学环节教学容教师活动学生活动授课教师：授课时间：课题7.2.1 用坐标表示地理位置课时教学目1.掌握用坐标表示地理位置的方法.2.通过学生观察、探索用坐标表示地理位置的方法，发展学生数形结合的意识．3.通过用坐标表示地理位置的方法，让学生体验数学活动充满着探索与创造.学生体会了解。
图7－2－8播放央视新闻联播关于2014月3日市鲁甸县发生6.5级地震的新闻片段．新闻报道中是用什么方法表示地震位置授课教师：授课时间：。
第4讲 平面向量万能建系法5种常见题型(解析版)
第4讲 平面向量万能建系法5种常见题型【考点分析】考点一：常见建立坐标系方法边长为a 的等边三角形 正方形 已知夹角的任意三角形 矩形直角梯形 平行四边形 等腰梯形 圆【题型目录】【题型目录】题型一： 建坐标系求向量值题型二： 三角形建坐标系求向量最值问题题型三： 四边形建坐标系求向量最值问题题型四： 多边形建坐标系求向量最值问题题型五： 建坐标系设三角函数求向量最值问题【典型例题】题型一： 建坐标系求向量值【例1】如图在ABC 中，90ABC ∠=︒，F 为AB 中点，3CE =，8CB =，12AB =，则EA EB ⋅=（ ）A ．-15B ．-13C ．13D ．14 利用向量坐标运算法则求出95EB ⎛= ⎝，，515EA ⎛=- ⎝1010则(7610BE BF FE BF FC +==+=-，(776,1010EA EF FA CF FA =+=+=-则92855EB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，515EA EB ⋅=-⨯故选：C ．【例2】已知正方形ABCD 的边长为2，以CD 为边作正三角形CDE ，使得,A E 位于直线CD 的两侧，则AC AE →→⋅的值为（ ）A ．6-B ．6-C ．6+D ．6+【答案】D【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解.【详解】以A 为坐标原点，以,AB AD 为,x y 轴非负半轴，建立平面直角坐标系，如图，【例3】如图甲所示，古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼.其平面图形记为图乙中的正八边形ABCDEFGH ，其中2OA =，则以下结论错误的是（ ）A 20OB OE OG ++=B ．2OA OD ⋅=-C ．4AG EH +=D ．AO 在OH 方向上的投影向量为 【答案】C【分析】选择合适的位置建立平面直角坐标系，写出相应点的坐标，逐项验证即可.【详解】由题意，分别以,HD BF 所在直线为,x y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示：36045= OM AM =2AM ==，22(0,2)(2,2)(2,2)(0,0)0OB OE OG ++=-++-==，选项：()()222022OA OD ⋅=-⨯+-⨯=-，故B 正确，选项：(0,22),(22,2)AG EH ==---所以(0,22)(22,AG EH +=+---22(22)(2)AG EH +=--+选项：(2,2),(2,0)AO OH ==-所以AO 在OH 方向上的投影向量为：222242AO OH OH OH OH OH ⎛⎫-==- ⎪⎭，故D 故选：C.【例4】《九章算术》中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”其大意为现有水池1丈见方（即1CE =丈10=尺），芦苇生长在水池的中央，长出水面部分的长度为1尺．将芦苇向池岸牵引，牵引至恰巧与水岸齐接的位置（如图所示）．试问水深、芦苇的长度各是多少？若将芦苇,AB AC 均视为线段，在芦苇移动的过程中，设其长度不变，则AC DE ⋅=（ ）．A ．90平方尺B ．92平方尺C ．94平方尺D ．98平方尺 【答案】C【分析】设AB x =（尺），利用勾股定理可构造方程求得AB ，以A 为坐标原点可建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算可求得结果.【详解】设AB x =（尺），则1AC x =+（尺）， 5AD =（尺），()22251x x ∴+=+，解得：12x =．以A 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系（单位：尺），则()0,0A ，()5,0D ，()5,12C ，()5,12E -，()5,12AC ∴=，()10,12DE =-，5014494AC DE ∴⋅=-+=（平方尺）． 故选：C.【例5】已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1()2AP AB AC =+，则||PD =_________；PB PD ⋅=_________．【答案】 (1). (2). 1-【解析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点()0,0A 、()2,0B 、()2,2C 、()0,2D ，()()()()1112,02,22,1222AP AB AC =+=+=， 则点()2,1P ，()2,1PD ∴=-，()0,1PB =-，因此，(PD =-=()021(1)1PB PD ⋅=⨯-+⨯-=-.【题型专练】1．已知矩形ABCD 中，4AB ，2AD =，3DM MC =，BP PC =，则AM AP ⋅=（ ） A ．6B ．10C ．14D ．38 【答案】C 【分析】以B 为原点，,BA BC 分别为,x y 轴建立平面直角坐标系，由条件得出点,P M 的坐标，进而得出向量,AP AM 的坐标，从而得出向量的数量积.【详解】以B 为原点，,BA BC 分别为,x y 轴建立平面直角坐标系.则()0,4A , ()2,4,D ()2,0C由BP PC =，则()1,0P , 由3DM MC =，则()2,1M所以()1,4AP =-, ()2,3AM =-所以()()124314AM AP ⋅=⨯+-⨯-=故选：C2．（多选题）已知ABC 是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且AE EB =，2AD DC =，BD 与CE 交于点O ，下列结论正确的是（ ）A ．0OC EO +=B ．0AB CE ⋅=C ．3OA OB OC OD +++=D ．ED 在BC 方向上的投影为76【详解】因为ABC 是边长为的等边三角形，AE EB =，的中点，且为原点建立平面直角坐标系，如图所示：，(1,AC =由2AD DC =得22,33AD AC ⎛== ⎝123,33D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，BD 的中点G ，连接GE ，易得GE AD 且GE CO ，⎭，0OC EO EC +=≠，故A 错误；，由AB CE ⊥可得0AB CE ⋅=，故，31,2OA ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，1,OB ⎛=-⎝，0,OC ⎛= ⎝，13OD ⎛=- ⎝所以13,33OA OB OC OD ⎛⎫+++=-- ⎪ ⎪⎝⎭，23OA OB OC OD +++=，故C 错误；D ，()1,3BC =-，13ED ⎛=- ⎝所以ED 在BC 方向上的投影为132BC ED BC+⋅=故选：BD.3．已知矩形ABCD ，3AB =，4=AD ．P 为矩形ABCD 所在平面内一点，1PA =， PC =则PB PD ⋅=______．【答案】0【分析】建立平面直角坐标系，求得点P 坐标满足的关系，结合平面向量数量积的坐标运算，即可求得结果.【详解】以点A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如下所示：则()()()()0,0,3,0,0,4,3,4A B D C ，设点P 的坐标为(),x y ，则()(3,,,4PB x y PD x =--=-上述两式相减可得：则PB PD ⋅=2x +故答案为：0.4．如图，四边形ABCD 是边长为8的正方形，若14DE DC =，且F 为BC 的中点，则EA EF ⋅=___________.【答案】20 【分析】建立平面直角坐标系，表示出来EA ，EF 的坐标，然后利用坐标求数量积即可.【详解】以A 为坐标原点，以AB ，AD 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则()0,0A ，()2,8E ，()8,4F ，则()2,8EA =--，()6,4EF =-，所以()()268420EA EF ⋅=-⨯+-⨯-=. 故答案为：20.5．已知向量,a b 在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形边长为1，则a b ⋅=___________.【答案】6-【分析】根据向量的坐标运算求解即可【详解】由图可得()()2,1,3,0a b ==-，故6a b ⋅=- 故答案为：6-题型二： 三角形建坐标系求向量最值问题【例1】已知在边长为2的正三角形ABC 中，M ､N 分别为边BC ､AC 上的动点，且CN BM =，则AM MN ⋅的最大值为（ ）A ．73-B ．43-C ．13D ．34则(20)BC =，，(1CA =-，，设BM tBC =(0t ≤则t CN CA =(01t ≤≤)，则10)-，，(1N t -，∴(213)AM t =--，，(233)MN t t =-，，∴(21)(23)(3)(3)6MN t t t A M ⋅=-⨯-+-⨯=-当13t =时AM MN ⋅取最大值43-故选：B.【例2】已知OAB △是边长为1的正三角形，若点P 满足()()2OP t OA tOB t =-+∈R ，则AP 的最小值为 AB ．1 CD【答案】C【解析】以O 为原点，OB 所在直线为x 轴，建立坐标系，∴OAB △为边长为1的正三角形，()1,1,02A B ⎛∴ ⎝⎭，∴()2OP t OA tOB =-+1122t t ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，11,2222AP OP OA t ⎛⎫=-=+- ⎪ ⎪⎝⎭， ∴12AP⎛===≥ 故选C ．【例3】在Rt ∴ABC 中，∴C ＝90°，CB ＝2，CA ＝4，P 在边AC 的中线BD 上，则CP ·BP 的最小值为（ ） A ．－12B ．0C ．4D ．－1【答案】A【解析】根据题意，建立平面直角坐标系，设出点P 的坐标，写出CP BP ，的坐标，利用坐标计算数量积，结合二次函数的最小值，即可求得结果.【详解】依题意，以C 为坐标原点，分别以AC ，BC 所在的直线为x，y 轴， 建立如图所示的平面直角坐标系，则B (0，2)，D (2，0)，所以直线BD 的方程为y ＝－x ＋2， 因为点P 在边AC 的中线BD 上，所以可设P (t ，2－t )(0≤t ≤2)， 所以CP ＝(t ，2－t )，BP ＝(t ，－t )，所以CP ·BP ＝t 2－＝12时，CP ·BP 取得最小值－故选：A.【点睛】本题考查用解析法求平面向量的数量积，注意参数范围即可，属基础题【例4】已知ABC 是边长为()20a a >的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是 A ．22a - B ．232a -C ．243a -D ．2a -()PA PB PC ⋅+；利用平方为非负数的特性求得最小值．【详解】建立如图所示的平面直角坐标系则()()(,3,,,,PA x a y PB a x y PC a x =--=---=-所以()PA PB PC ⋅+()()(),3,,x a y a x y a x y --⋅---+--⎡⎤⎣⎦ ()(),32,2x a y x y --⋅-- 22223y ay +-【点睛】本题考查了向量数量积在平面几何中的简单应用，建立坐标系是常用的方法，属于中档题． 【例5】在直角∴ABC 中，90,1BCA CA CB ∠=︒==,P 为AB 边上的点且AP AB λ=，若CP AB PA PB ⋅≥⋅，则λ的取值范围是A ．1[,1]2B ．12[,22C ．22[]22D ．2[2【答案】D【详解】分析：把三角形放入直角坐标系中，求出相关点的坐标，利用已知条件即可求出λ的取值范围． 详解：∴直角∴ABC 中，∴BCA=90°，CA=CB=1，∴以C 为坐标原点CA 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴建立直角坐标系，如图：C （0，0），A （1，0），B （0，1），()11AB =-，， ∴AP =λAB ， ∴λ∴[0，1]()11AP λ=-，，()1CP ，λλ=-，()11PB ，λλ=--． CP •AB ≥PA •PB ，∴λ﹣1+λ≥λ2﹣λ+λ2﹣λ． 2λ2﹣4λ+1≤0，点睛：本题考查向量在几何中的应用，向量的数量积以及向量的坐标运算，考查计算能力以及转化思想． 【例6】已知AB AC ⊥， 1AB t=， AC t =，若点P 是ABC ∆所在平面内一点，且4AB AC AP ABAC=+，则PB PC ⋅ 的最大值等于（ ）A ．13B ．15C ．19D ．21 【答案】A【解析】以题意，以点A 为坐标原点，以AB 所在的直线为x 轴，AC 所在的直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，所以点(1,4)P ，1(,0)B t，(0,)C t ，所以11(1,4)(1,4)(1)(1)4(4)PB PC t t t t ⋅=----=-⨯--⨯-=1174t t--17-≤= 13（当且仅当14t t =，即12t 时取等号），所以PB PC ⋅的最大值为13．故选A ．【题型专练】1．已知ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC +的最小值是( ) A ．2- B ．32-C ．43-D ．1-【答案】B【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．，则(,PA x =-，(1PB =--，(1PC x =-则22()222[(PA PB PC x x y +=-+-当0x =，32y =时，取得最小值32(4⨯-故选：B ．2．在ABC 中，满足AB AC ⊥，M 是BC 的中点，若O 是线段AM 上任意一点，且2AB AC ==，则()OA OB OC ⋅+的最小值为（ ）A ．0B ．C ．12-D ．2【分析】由已知可得ABC 为等腰直角三角形，建立直角坐标系，利用坐标法可得向量的数量积，进而可得【详解】由AB AC ⊥，2AB AC ==ABC ∴为等腰直角三角形，以A 为原点，AB ，AC 为x 轴和y 轴建立直角坐标系，如图所示，M 是BC O 是线段∴可设O 2(2OB ∴=，(,OC x =-，(,OA x =-()222OB OC x ∴+=-，()()()2224OA OB OC x x x ∴⋅+=---=故当24x =时，()OA OB OC ⋅+的最小值为1故选：C ．3．在Rt ABC 中90,2,4C CB CA ∠=︒==，P 在边AC 的中线BD 上，则CP BP ⋅的值可以为（ ） A ．12-B ．0C ．5D ．1-【答案】AB【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，设出点P 的坐标，写出CP BP ，的坐标，利用坐标计算数量积，结合二次函数的性质，可求得CP ·BP 的最值得选项.【详解】解：依题意，以C 为坐标原点，分别以AC ，BC 所在的直线为x ，y 轴， 建立如图所示的平面直角坐标系，所以CP ＝(t ，，BP ＝(t ，－所以CP ·BP ＝t 2－－t )＝2t 2＝12时，CP ·BP 取得最小值－时，CP ·BP 取得最大值故选：AB.4．在ABC 中，2AB =，AC =135BAC ∠=︒，M 是ABC 所在平面上的动点，则w MA MB MB MC MC MA =⋅+⋅+⋅的最小值为________．28 可得,,MA MB MC 的坐标，根据数量积公式，可得【详解】以A 为原点，则(,),(2,2),(32MA x y MB x y MC =--=---=-(MA MB MB MC MC MA x =⋅+⋅+⋅=5．如图，在∴ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝4，A ＝60°．若D 为BC 边上的任意一点，M 为线段AD 的中点，则()MB MC AD +⋅的最大值是_____．()MB MC AD +⋅，再利用二次函数的最值，142122⨯⨯⨯=，(232,2),(2,MB MC x AD x +=--=-()2(232)4MB MC AD x x +⋅=-+=当32x =时，()MB MC AD +⋅的最大值，最大值是故答案为：7.【点睛】本题考查向量的数量积运算，求向量数量积的最值，属于较难题. 6．已知0AB AC ⋅=，M 是BC 的中点(1)若2AB AC =，求向量AB AC -与向量AB AC +的夹角的余弦值；(2)若O 是线段AM 上的任意一点，且22AB AC ==，求⋅+⋅OA OB OC OA 的最小值．）建立直角坐标系，设出数据，写出向量AB AC -与向量AB AC +的坐标，代入夹角公式，计算的坐标，写出各个向量的坐标，代入⋅+⋅OA OB OC OA 计算得关于x ）因为0AB AC ⋅=，所以为原点，AB y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示．AC a =，则，所以()(2,,2,AB AC a a AB AC a -=-+=设向量AB AC -与向量AB AC +的夹角为θ，所以()()2243cos 555AB AC AB AC a a a a AB AC AB ACθ-⋅+-===⋅-⋅+；22AB AC ==，所以[],,0,12x x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以，⋅+⋅OA OB OC OA()2OA OB OC OA OM =⋅+=⋅ 12,1,222x x x x ⎛⎫⎛⎫--⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22244x x x x ⎫⎛-+-⎪ ⎝⎭当且仅当12x =时，⋅+⋅OA OB OC OA 取得最小值58-． 题型三： 四边形建坐标系求向量最值问题 【例1】如图，在四边形ABCD 中，60,3B AB ︒∠==，6BC =，且3,2AD BC AD AB λ=⋅=-，则实数λ的值为_________，若,M N 是线段BC 上的动点，且||1MN =，则DM DN ⋅的最小值为_________．【答案】 (1). 16 (2). 132【解析】AD BC λ=，//AD BC ∴，180120BAD B ∴∠=-∠=，cos120AB AD BC AB BC AB λλ⋅=⋅=⋅ 1363922λλ⎛⎫=⨯⨯⨯-=-=- ⎪⎝⎭，解得16λ=，以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy ，()66,0BC C =∴，,∴3,60AB ABC =∠=︒，∴A 的坐标为3,22A ⎛ ⎝⎭,∴又∴16AD BC =,则5,22D ⎛ ⎝⎭，设(),0M x ，则()1,0N x +（其中05x ≤≤），5,22DM x ⎛=-- ⎝⎭，3,22DN x ⎛=-- ⎝⎭，()222532113422222DM DN x x x x x ⎛⎫⎛⎫⋅=--+=-+=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以，当2x =时，DM DN ⋅取得最小值132.【例2】如图，四边形ABCD 满足：1,2,3AB AD BD BC C π====∠=．若点M 为线段BD 上的动点，则AM CM ⋅的最小值为（ ）A ．54-B ．2516-C ．58-D ．158-【答案】B∴(AM CM x x ⋅=当58x =时，AM CM ⋅的最小值为故选：B ．【点睛】关键点点睛：构建坐标系，设【例3】已知点P 是边长为2的菱形ABCD 内的一点(包含边界)，且120BAD ∠=︒，AP AB ⋅的取值范围是（ ） A ．[2,4]- B ．(2,4)- C ．[2,2]- D ．(2,2)-，则可得AP AB ⋅的表达式，根据(13)D -，.，故(,AP AB x y ⋅=即AP AB ⋅的取值范围是4]，. 故选：A【例4】如图所示，已知正方形ABCD 的边长为1，点E 从D 点出发，按字母顺序D →A →B →C 沿线段DA ，AB ，BC 运动到C 点，在此过程中CD DE ⋅的最大值是（ ）A ．0B ．12C ．1D ．﹣1【答案】A【分析】以B 为坐标原点建立平面直角坐标系，表示出C 、D 、E 点坐标，然后分类讨论E 在线段DA ，AB ，BC 时，并结合数量积的坐标公式求DE CD →→⋅的最大值即可求解. 【详解】以BC 、BA 所在直线为x 轴、y 轴，建立坐标系如图:可得(0,1)A ，(0,0)B ，(1,0)C ，(1,1)D ， ∴当E 在DA 上，设1(,1)E x ，其中101x ≤≤， 此时1(1,0)DE x →=-，(0,1)CD →=， 故0DE CD →→⋅=；∴当E 在AB 上，设1(0,)E y ，101y ≤≤， 此时1(1,1)DE y →=--，(0,1)CD →= 110DE CD y →→⋅=-≤此时DE CD →→⋅最大值为0；∴当E 在BC 上，设2(,0)E x ，其中201x ≤≤， 2(1,1)DE x →=--，(0,1)CD →=，此时1DE CD →→⋅=-，综上所述，DE CD →→⋅的最大值是0. 故选：A ．【例5】如下图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，3BCD π∠=，CB CD ==M为边BC 上的动点，则AM DM ⋅的最小值为（ ）A ．83B ．214C ．114-D ．133-(AM DM a ⋅=-【详解】以B 点为原点，以所示，过点D 作因为,AB BC ⊥，则(2,),(3,AM a DM =-=-所以36(3)(2AM DM a a a ⋅=+-=-所以AM DM ⋅的最小值为214. 故答案为：B.【题型专练】1．正方形ABCD 边长为1，点P 在线段AC 上运动，则()AP PB PD ⋅+的取值范围为__________．点坐标，求出各点及()AP PB PD ⋅+的坐标，代入所(,AP x x =，(1PB =-，(,1PD x =-()2(1AP PB PD x ∴⋅+=2114(044x x ⎛⎫=--+≤ ⎪⎝⎭当14x =时，函数有最大值为()AP PB PD ∴⋅+的取值范围是4⎣⎦2．已知直角梯形ABCD 中，//AD BC ，90ADC ∠=︒，2AD =，1BC =，P 是腰DC 上的动点，则3PA PB +的最小值为______. 【详解】则(32,PA PB +=-325PA PB +=+故答案为：5【点睛】此题考查平面向量线性运算和模长的坐标表示，恰当地建立直角坐标系将模长问题进行转化利于解题.3．如图，已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，求：(1)DE CB ⋅的值； (2)DE DC ⋅的最大值． 【答案】(1)1，(2)1【分析】建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算求解. (1)解：建立如图所示平面直角坐标系：则()()()0,0,0,1,1,1D C B ，设()()1,,01E x x ≤≤， 所以()()1,,1,0DE x CB ==， 所以1101DE CB x ⋅=⨯+⨯=； (2)因为()()1,,0,1DE x DC ==， 所以101DE CB x x ⋅=⨯+⨯=， 因为01x ≤≤，所以DE DC ⋅的最大值是1.4．如图，,E F 分别是矩形ABCD 的边CD 和BC 上的动点，且2,1AB AD ==.（1）若,E F 都是中点，求EF AC ⋅.（2）若,E F 都是中点，N 是线段EF 上的任意一点，求AN NB ⋅的最大值. （3）若45EAF ∠=︒，求AE AF ⋅的最小值. ）构建平面直角坐标系，写出对应点坐标，应用向量数量积的坐标运算求EF AC ⋅.由EN EF λ=求N 关于应用向量数量积的坐标表示及二次函数的性质求AN NB ⋅，则45DAE ∠=︒-，可得cos AF AE θ⋅=，再应用辅助角公式、三角恒等变换及余弦函数的性质求AE AF ⋅的最小值【详解】1,1(1,EF =-,(2,1)AC =∴32EF AC ⋅=. （2）由（1）知，设1),(1,(,1,22EN EF x y λλλλ===---1(1,12N λλ+-，1(1,1),(1,2AN NB λλλ=+-+=-+∴2115(1)(1)224AN NB λλλλλ⋅=+-+-=-+=-时，AN NB ⋅最大值∴cos 45AF AE AF AE ⋅=21cos 2sin 22222θθ=++当且仅当24590θ+︒=︒时，等号成立，故AF AE ⋅最小值是5．如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，5AB =，4=AD ，2CD =，60DAB ∠=︒，（1）AD DC ⋅=________．（2）P 是AB 上的动点，则PC PD ⋅的最小值为___________．）根据图形，应用数量积的定义求AD DC ⋅即可.）令PA BA λ=且0≤，将PC PD ⋅转化为()()PA AD DC PA AD ++⋅+，结合数量积的运算律得到关的函数，即可求最小值【详解】（1）由题设知：1||||cos604242AD DC AD DC ⋅=︒=⨯⨯=.（2）若PA BA λ=且01λ≤≤，∴PD PA AD =+，PC PD DC PA AD DC =+=++，∴2()()PC PD PA AD DC PA AD PA AD PA DC PA ⋅=++⋅+=+⋅+⋅2PA AD AD DC AD +⋅++⋅，∴22325302025()115PC PD λλλ⋅=-+=-+，故当35λ=时，PC PD ⋅的最小值为11.故答案为：4，11. 题型四： 多边形建坐标系求向量最值问题【例1】如图，正八边形ABCDEFGH 中，若AE AC AF λμ=+()R λμ∈，，则λμ+的值为________．由正八边形的性质可得轴，、AOM MOC 为等腰直角三角形，A 、C 、E 点坐标及AE 、AF 、AC 坐标，根据AE AC AF λμ=+的坐标运算可得答案.【详解】45⎫=⎪， 18045135-=，所以22.5，13522.5112.5-∠=-=HAB CAB ，所以180∠=AHO ，轴，、AOM MOC 为等腰直角三角形，2=====OD OF OE OA OC ，(0,2F 2=MC ，所以(22,2=AE ，(2,2=AF ，(22,0=AC 由AE AC AF λμ=+得()22,22,0μ+即()222222222λμμ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，解得22-， 所以2222λμ+=-+-【例2】设点P 在单位圆的内接正八边形128A A A 的边12A A 上，则222182PA PA PA +++的取值范围是_______． (2221288PA PA PA x +++=22.5|OP ≤【详解】以圆心为原点，所在直线为于是(2221288PA PA PA x +++=cos 22.5||1OP ≤≤，所以245x ≤+，故222128PA PA PA +++的取值范围是故答案为：[1222,16]+．【题型专练】 1.已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅ 的取值范用是（ ）A. ()2,6-B. (6,2)-C. (2,4)-D. (4,6)-【答案】A【解析】AB 的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-，结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅等于AB 的模与AP 在AB 方向上的投影的乘积，所以AP AB ⋅的取值范围是()2,6-，题型五： 建坐标系设三角函数求向量最值问题【例1】（多选题）如图，直角ABC 的斜边BC 长为2，30C ∠=︒，且点B ，C 分别在x 轴正半轴和y 轴正半轴上滑动，点A 在线段BC 的右上方则（ ）A ．||OA OC +有最大值也有最小值B ．OA OC ⋅有最大值无最小值 C ．||OA BC +有最小值无最大值D ．OA BC ⋅无最大值也无最小值 ()30,090α<<，所以)30),sin(30)α+， ()2sin ,2cos BC αα=-.由2OA OC +化简为30)根据；由OA OC ⋅化简为1sin(230)2α++根据α的范围可判断B ；由2OA BC +化简为60)+根据α的范围可判断C ；由OA BC ⋅化简为214sin α-根据α的范围可判断D.【详解】由题意30BCA ∠=，2,90BC A =∠=，所以3,1AC AB ==，设OCB α∠=，的补角即AB 与x 轴正半轴的夹角()30,090ABx αα∠=+<<，)30),sin(30)α+，()()2sin ,0,0,2cos B C αα，(2sin BC α=-所以()3sin(30),sin(30)2cos OA OC ααα+=+++()()2223sin(30)sin(30)2cos OA OC ααα+=+++224sin (30)4cos 4sin(30)cos αααα=++++54sin(230)α=++，由于090α<<，所以30230210α<+<，3090+=得30α=时，sin(230)α+取最大值为2OA OC +有最大值为459+=，无最小值， 故||OA OC +有最大值无最小值，即错误；所以12cos 30)sin(230)2OA OC α⋅==++， 由于090α<<，所以30230210α<+<，23090α+=得30α=时，sin(230)α+取最大值为1130)2α++的最大值为131+=，无最小值，故OA OC ⋅有最大值()()22230)2sin sin(30)2cos OA BC ααα+=-+++22223sin (30)4sin 43sin(30)sin sin (30)4cos 4sin(30)cos αααααααα=++-++++++24sin (30)443sin(30)sin 4sin(30)cos ααααα=++-+++423sin(260)α=++，090α<<，所以60260240α<+<，6090+=得15α=时，sin(260)α+取最大值2OA BC +有最大值423+，无最小值，||OA BC +有最大值3+无最小值，故C 错误；23sin 30)2cos sin(30)OA BC ααα+⋅-=+ 33123sin sin 2cos sin cos 222ααααα⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝= ⎪⎝⎭⎭23sin α--=090α<<，所以0sin 1α<<，2314sin 1α-<-<，OA BC ⋅既无最大值也无最小值，故选：BD.【例2】骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A （前轮），圆D （后轮）的直径均为1，∴ABE ，∴BEC ，∴ECD 均是边长为1的等边三角形．设点P 为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，AP BD ⋅的最大值为（ ）A ．3B ．3+C ．3D ．所以1cos 2AP ⎛ =⎝．3,2BD =⎛ ⎝故331sin 22AP BD α⎛⋅=⨯⨯ 所以AP BD ⋅的最大值为故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量的数量积，解题关键是建立平面直角坐标系，用坐标运算计算向量的数量积，结合三角函数的性质求得最大值，考查学生的转化能力与运算求解能力，属于较难题【例3】如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角ABC 的斜边AB ，直角边BC ，AC ．若BC =2AC =，E 为半圆1O 弧的中点，F 为半圆2O弧上的任一点，则⋅BE AF 的最大值为（ ）A ．BC ．D ．4 点坐标，用坐标法计算⋅BE AF ，利用三角函数性质求得最大值．轴建立平面直角坐标系，则2(3,3),(cos BE AF θ=--=3cos 3BE AF θ⋅=-+-322ππθ≤≤，则344ππθ≤+所以⋅BE AF 取得最大值3故选：B.【题型专练】1.如图放置的边长为1的正方形ABCD 的顶点A 、D 分别在x 轴、y 轴正半轴上（含原点）上滑动，则OB OC ⋅的最大值是（ ）A．1B C．2D．故(cosOB=同理可求得，即(sin=OCθ所以(cos sin,cos)(sin,cos sin⋅=+⋅+OB OCθθθθ所以当sin21θ=时，OB OC⋅取得最大值为2，故选：C．2．如图，在半径为4的扇形AOB中，=120∠，点P是AB上的一点，则·AOBAP BP的最小值为（）A．8-B．3-C．2-D．4-，建系，写出各点的坐标，将·AP BP表示为关于所在的直线为2π则(4cos AP =，(4cos BP =所以，()(4cos 234cos ·AP BP =⋅因为，203πθ≤≤，所以56π≤. 则，当62ππθ+=，即时，该式子有最小值为A. 3．（多选题）已知扇形AOB 的半径为1，120AOB ∠=︒，点C 在弧AB 上运动，12OC xOA yOB =+，下列说法正确的有（ ）A ．当C 位于A 点时，x y +的值最小B ．当C 位于B 点时，x y +的值最大 C ．CA CB ⋅的取值范围为1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．OC BA ⋅的取值范围33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2π03θ，A 因为12OC xOA yOB =+，而(1CA=-，12CB⎛=-⎝所以1(cos cos2CA CBθ⋅=---113cos222θ--sinθ⎛-+⎝2π3θ，所以ππ5π666θ+,故12≤所以CA CB⋅的取值范围为1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故()(cosOC OA OB⋅-=，sin)θ，3,2⎛-⎝因为2π3θ，所以ππ5π666θ+,故-⎝π3cos6θ⎛⎫⎡⎤∴+∈-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴3()2OC OA OB⎡⋅-∈-⎢⎣故选：ACD4．如图，点C是半径为1，圆心角为3π2的圆弧AB上的点．(1)若C为圆弧AB的中点，点D在线段OA上运动，求OC OD+的最小值：(2)若D，E分别为线段OA，OB的中点，当C在圆弧AB上运动时，求CE CD⋅的取值范围．，则OC OD t ⎛+=- ⎝222222OC OD t ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22时，min 22OC OD +=，即OC OD +的最小值为2.11⎛⎫⎛⎫3⎡⎤所以cos CE CD ⎛⋅= ⎝30,π2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则所以1,12CE CD ⎡⋅∈⎢⎣。
北师大版八年级数学上册课件：3.2 平面直角坐标系(共26张PPT)
2.对于边长为4的正三角形△ABC，建立适当的直角坐标系，
写出各个顶点的坐标.
y A 3
2
B
1
C
- –3–2– O 1 2 3 4 x
4
1–
–1
解:A(0,2 ), B(-2,0) ,C(2,0).
2–3
– 4
3.在一次“寻宝”游戏中，寻宝人已经找到了坐标为（3，2） 和（3，-2）的两个标志点，并且知道藏宝地点的坐标为（4， 4），如何确定直角坐标系找到“宝藏”？
y
5 4
·（4，4）
3 2
·（3，2）
·1
-4 -3 -2 -1-O1 1 -2
2
345 x
· （3，-2）
解：如图所示
-3
课堂 小结
坐标的特征
建立直角坐 标系
建立适当的 直角坐标系
第三章 位置与坐标 3.2 平面直角坐标系 建立平面直角坐标系确定点的坐标
学习目标
1.了解、掌握点的坐标及特殊位置上点的坐标特征；（重点） 2.能建立直角坐标系求点的坐标.（难点）
导入 1.你还记得什么是平面直角坐标系吗？ 新课 2.两条坐标轴把平面分成了几部分？（不包括坐标轴）
3.给你平面上的一个点，如何确定它的坐标？
在直角坐标系中，对于平面上任意一点， 都有唯一的一个有序实数对（即点的坐标）与 它对应；
反过来，对于任意的一个有序实数对，都 有平面上唯一一点与之对应.
当堂 练习 1.在 y轴上的点的横坐标是（ 0 ），在 x轴上的点的纵坐标是（ ）0.
2.点 A（2，- 3）关 于 x 轴 对 称 的 点 的 坐 标 是（ （）2.,3）
当堂
练习 1. （南通·中考）在平面直角坐标系xOy中，已 知点P（2，2），点Q在y轴上，△PQO是等腰三角形， 则满足条件的点Q共有(B ) A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
课件平面直角坐标系.ppt
例题:已知平面直角坐标系
如图所示,某船从O港航行,
北
先在A(-10,10)处停泊,再沿直 60
线航行到达B(30,60)港,试画 50
出该船的航线.
40
画法:
1.如图，画点A（-10,10）， 30
点B（30，60）。
2、连结OA，AB。 折线OAB就是该船 的航线
20
A
10
－10 O 10
－10
横坐标是正数,纵坐标是负数的点在第_四___ 象限,横坐标是负数,纵坐标是正数的点在 第_二___象限
若xy>0,则点M(x,y)在第__一__,三__象限;若xy <0,则点M (x,y)在第__二__,四___象限.
若a/b>0,则点A(-2a,3b)在第_二__,四___象限; 若a/b<0,则点B (a/2,b)在第__二__,四___象限, 点C (b/3,-a)在第__一__,三___象限.
· y
①(0 , 6), (-4, 3), (4 , 3) (0 , 6)
6
②(-2 , 3), (-2 , -3), (2 , -3), (2 , 3)
5
A(-4,3)
4
· · C(-2,3)
3
2
· ·B(4,3) D(2,3)
观察所得的 图形，你觉 得它象什么？
1
-4 -3 -2 -1 o
1234
6
②(-2 , 3), (-2 , -3), (2 , -3), (2 , 3)
5
A(-4,3)
4
· · C(-2,3)
3
2
· ·B(4,3) D(2,3)
1
-4 -3 -2 -1 o
2024年七年级数学下册专题7.1 平面直角坐标系【八大题型】(举一反三)(人教版)(解析版)
专题7.1 平面直角坐标系【八大题型】【人教版】【题型1 判断点所在的象限】 (1)【题型2 坐标轴上点的坐标特征】 (3)【题型3 点到坐标轴的距离】 (4)【题型4 平行与坐标轴点的坐标特征】 (6)【题型5 坐标确定位置】 (8)【题型6 点在坐标系中的平移】 (11)【题型7 图形在坐标系中的平移】 (13)【题型8 图形在格点中的平移变换】 (15)【题型1 判断点所在的象限】【例1】（2022春•洪山区期末）已知点P（x，y）在第四象限，则点Q（﹣x﹣3，﹣y）在（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据第四象限的横纵坐标范围，可求得x，y的取值范围，再确定Q点横纵坐标的取值范围即可解答．【解答】解：点P（x，y）在第四象限，∴x＞0，y＜0，∴﹣x﹣3＜0，﹣y＞0，∴点Q（﹣x﹣3，﹣y）在第二象限．故选：B．【变式1-1】（2022春•长沙期末）已知点P（﹣a，b），ab＞0，a+b＜0，则点P在（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据有理数的乘法、有理数的加法，可得a、b的符号，根据第一象限内点的横坐标大于零，纵坐标大于零，可得答案．【解答】解：因为ab＞0，a+b＜0，所以a＜0，b＜0，所以﹣a＞0，所以点P（﹣a，b）在第四象限，故选：D．【变式1-2】（2022春•青山区期末）已知，点A的坐标为（m﹣1，2m﹣3），则点A一定不会在（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据每个象限点的坐标的符号特征列出不等式组，解不等式组，不等式组无解的选项符合题意．【解答】解：A选项，{m―1＞02m―3＞0，解得：m＞32，故该选项不符合题意；B选项，{m―1＜02m―3＞0，不等式组无解，故该选项符合题意；C选项，{m―1＜02m―3＜0，解得：m＜1，故该选项不符合题意；D选项，{m―1＞02m―3＜0，解得：1＜m＜32，故该选项不符合题意；故选：B．【变式1-3】（2022春•晋州市期中）对任意实数x，点P（x，x2+3x）一定不在（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用各象限内点的坐标性质分析得出答案．【解答】解：当x＞0，则x2+3x＞0，故点P（x，x2+3x）可能在第一象限；当x＜0，则x2+3x＞0或x2+3x＜0，故点P（x，x2+3x）可能在第二、三象限；当x＝0时，点P（x，x2+3x）在原点．故点P（x，x2+3x）一定不在第四象限．故选：D．均为0.【题型2 坐标轴上点的坐标特征】【例2】（2022春•陇县期中）在平面直角坐标系中，点M（m﹣3，m+1）在x轴上，则点P （m﹣1，1﹣m）在（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据x轴上的点纵坐标为0，可得m+1＝0，从而求出m的值，进而求出点P的坐标，最后根据平面直角坐标系中每一象限点的坐标特征，即可解答．【解答】解：由题意得：m+1＝0，∴m＝﹣1，当m＝﹣1时，m﹣1＝﹣2，1﹣m＝2，∴点P（﹣2，2）在第二象限，故选：B．【变式2-1】（2022春•海淀区校级期中）在平面直角坐标系中，点P的坐标为（2m﹣4，m+1），若点P在y轴上，则m的值为（ ）A．﹣1B．1C．2D．3【分析】根据y轴上的点横坐标为0，可得2m﹣4＝0，然后进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：2m﹣4＝0，解得：m＝2，故选：C．【变式2-2】（2022春•仓山区校级期中）已知点A（﹣3，2m+3）在x轴上，点B（n﹣4，4）在y轴上，则点C（m，n）在（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】直接利用x轴以及y轴上点的坐标得出m，n的值，进而得出答案．【解答】解：∵点A（﹣3，2m+3）在x轴上，点B（n﹣4，4）在y轴上，∴2m+3＝0，n﹣4＝0，解得：m=―32，n＝4，则点C（m，n）在第二象限．故选：B．【变式2-3】（2022春•东莞市期中）已知点P（2a﹣4，a+1），若点P在坐标轴上，则点P 的坐标为 ．【分析】分两种情况：当点P在x轴上，当点P在y轴上，分别进行计算即可解答．【解答】解：分两种情况：当点P在x轴上，a+1＝0，∴a＝﹣1，当a＝﹣1时，2a﹣4＝﹣6，∴点P的坐标为：（﹣6，0），当点P在y轴上，2a﹣4＝0，∴a＝2，当a＝2时，a+1＝3，∴点P的坐标为：（0，3），综上所述，点P的坐标为：（﹣6，0）或（0，3），故答案为：（﹣6，0）或（0，3）．【题型3 点到坐标轴的距离】【例3】（2022春•巴南区期末）已知点P在x轴的下方，若点P到x轴的距离是3，到y 轴的距离是4，则点P的横坐标与纵坐标的和为 ．【分析】根据题意可得点P在第三象限或第四象限，再根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答．【解答】解：∵点P在x轴下方，点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是4，∴点P的横坐标为±4，纵坐标为﹣3，∴点P的坐标为（4，﹣3）或（﹣4，﹣3），点P的横坐标与纵坐标的和为4﹣3＝1或﹣4﹣3＝﹣7．故答案为：1或﹣7．【变式3-1】（2021秋•城固县期末）已知点M（a，b）在第一象限，点M到x轴的距离等于它到y轴距离的2倍，且点M到两坐标轴的距离之和为6，则点M的坐标为 ．【分析】根据点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，点到y轴的距离是点的横坐标的绝对值，可得答案．【解答】解：因为点M（a，b）在第一象限，所以a＞0，b＞0，又因为点M（a，b）在第一象限，点M到x轴的距离等于它到y轴距离的2倍，且点M 到两坐标轴的距离之和为6，所以{b=2aa+b=6，解得{a=2b=4，所以点M的坐标为（2，4）．故答案为：（2，4）．【变式3-2】（2022春•云阳县期中）坐标平面内有一点A（x，y），且点A到x轴的距离为3，到y轴的距离恰为到x轴距离的2倍．若xy＜0，则点A的坐标为（ ）A．（6，﹣3）B．（﹣6，3）C．（3，﹣6）或（﹣3，6）D．（6，﹣3）或（﹣6，3）【分析】根据题意可得x，y异号，然后再利用点到x的距离等于纵坐标的绝对值，点到y 的距离等于横坐标的绝对值，即可解答．【解答】解：∵xy＜0，∴x，y异号，∵点A到x轴的距离为3，到y轴的距离恰为到x轴距离的2倍，∴点A（6，﹣3）或（﹣6，3），故选：D．【变式3-3】（2021秋•阳山县期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（3a﹣5，a+1）．若点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，且点A在y轴的右侧，则a的值为（ ）A．1B．2C．3D．1 或3【分析】根据点A到x轴的距离与到y轴的距离相等可得3a﹣5＝a+1或3a﹣5＝﹣（a+1），解出a的值，再由点A在y轴的右侧可得3a﹣5＞0，进而可确定a的值．【解答】解：∵点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，∴3a﹣5＝a+1或3a﹣5＝﹣（a+1），解得：a＝3或1，∵点A在y轴的右侧，∴点A的横坐标为正数，∴3a﹣5＞0，∴a＞5 3，∴a＝3．故选：C．【题型4 平行与坐标轴点的坐标特征】【例4】（2022春•东莞市期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，2），AB平行于x轴，若AB＝4，则点B的坐标为（ ）A．（7，2）B．（1，5）C．（1，5）或（1，﹣1）D．（7，2）或（﹣1，2）【分析】线段AB∥x轴，A、B两点纵坐标相等，又AB＝4，B点可能在A点左边或者右边，根据距离确定B点坐标．【解答】解：∵AB∥x轴，∴A、B两点纵坐标都为2，又∵AB＝4，∴当B点在A点左边时，B（﹣1，2），当B点在A点右边时，B（7，2）；故选：D．【变式4-1】（2022春•延津县期中）在平面直角坐标系中，点A（﹣2，1），B（2，3），C （a，b），若BC∥x轴，AC∥y轴，则点C的坐标为（ ）A．（﹣2，1）B．（2，﹣3）C．（2，1）D．（﹣2，3）【分析】根据已知条件即可得到结论．【解答】解：∵点A（﹣2，1），B（2，3），C（a，b），BC∥x轴，AC∥y轴，∴b＝3，a＝﹣2，∴点C的坐标为（﹣2，3），故选：D．【变式4-2】（2022春•涪陵区期末）在平面直角坐标系中，若点P和点Q的坐标分别为P （﹣2，m），Q（﹣2，1），点P在点Q的上方，线段PQ＝5，则m的值为（ ）A．6B．5C．4D．7【分析】借助图形，采用数形结合的思想求解．【解答】解：∵P（﹣2，m），Q（﹣2，1），点P在点Q的上方，线段PQ＝5，∴m＝1+5＝6．故选：A．【变式4-3】（2022春•硚口区期中）如图，已知点A（4，0），B（0，2），C（﹣5，0），CD∥AB交y轴于点D．点P（m，n）为线段CD上（端点除外）一点，则m与n满足的等量关系式是（ ）A．m+2n＝﹣5B．2m+n＝﹣10C．m﹣n＝﹣5D．2m﹣n＝﹣6【分析】利用平移的性质可得点B与C对应时，点A的对应点为（﹣1，﹣2），由此可确定点P满足的等量关系式．【解答】解：∵AB∥CD，A（4，0），B（0，2），C（﹣5，0），当B与C对应时，点A平移后对应的点是（﹣1，﹣2），∵点P（m，n）为线段CD上（端点除外）一点，将点C（﹣5，0）和（﹣1，﹣2）分别代入m+2n＝﹣5，2m+n＝﹣10，m﹣n＝﹣5，2m﹣n＝﹣6中，只有m+2n＝﹣5满足条件．故选：A．【题型5 坐标确定位置】【例5】（2022春•中山市期中）中国象棋具有悠久的历史，战国时期，就有了关于象棋的正式记载，如图是中国象棋棋局的一部分，如果用（2，﹣1）表示“炮”的位置，（﹣2，0）表示“士”的位置，那么“将”的位置应表示为（ ）A．（﹣2，3）B．（0，﹣5）C．（﹣3，1）D．（﹣4，2）【分析】直接利用已知点坐标建立平面直角坐标系，进而得出答案．【解答】解：如图所示：“将”的位置应表示为（﹣3，1）．故选：C．【变式5-1】（2021秋•渠县校级期中）在大型爱国主义电影《长津湖》中，我军缴获了敌人防御工程的坐标地图碎片（如图），若一号暗堡坐标为（1，2），四号暗堡坐标为（﹣3，2），指挥部坐标为（0，0），则敌人指挥部可能在（ ）A．A处B．B处C．C处D．D处【分析】根据一号暗堡和四号暗堡的横纵坐标分别确定x轴和y轴的大致位置，然后画出直角坐标系即可得到答案．【解答】解：∵一号暗堡的坐标为（1，2），四号暗堡的坐标为（﹣3，2），∴它们的连线平行于x轴，∵一号暗堡和四号暗堡的纵坐标为正数，四号暗堡离y轴要远，如图，∴B点可能为坐标原点，∴敌军指挥部的位置大约是B处．故选：B．【变式5-2】（2022春•朝阳区期末）为更好的开展古树名木的系统保护工作，某公园对园内的6棵百年古树都利用坐标确定了位置，并且定期巡视．（1）在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系xOy，使得古树A、B的位置分别表示为A（1，2），B（0，﹣1）；（2）在（1）建立的平面直角坐标系xOy中，①表示古树C的位置的坐标为 ；②标出另外三棵古树D（﹣1，﹣2），E（1，0），F（1，1）的位置；③如果“（﹣2，﹣2）→（﹣2，﹣1）→（﹣2，0）→（﹣2，1）→（﹣1，2）→（0，2）→（1，2）→（1，1）→（1，0）→（1，﹣1）→（0，﹣1）→（0，﹣2）→（﹣1，﹣2）”表示园林工人巡视古树的一种路线，请你用这种形式画出园林工人从原点O出发巡视6棵古树的路线（画出一条即可）．【分析】（1）根据A（1，2），B（0，﹣1）建立坐标系即可；（2）①根据坐标系中C的位置即可求得；②直接根据点的坐标描出各点；③根据6棵古树的位置得出运动路线即可．【解答】解：（1）如图：（2）①古树C的位置的坐标为（﹣1，2）；故答案为：（﹣1，2）；②标出D（﹣1，﹣2），E（1，0），F（1，1）的位置如上图；③园林工人从原点O出发巡视6棵古树的路线：（0，0）→（1，0）→（1，1）→（1，3）→（﹣1，2）→（﹣1，2）→（0，1）．【变式5-3】（2022春•海淀区校级期中）如图1，将射线OX按逆时针方向旋转β角（0°≤β＜360°），得到射线OY，如果点P为射线OY上的一点，且OP＝m，那么我们规定用（m，β）表示点P在平面内的位置，并记为P（m，β）．例如，图2中，如果OM＝5，∠XOM＝110，那么点M在平面内的位置，记为M（5，110°），根据图形，解答下列问题：（1）如图3，点N在平面内的位置记为N（6，30°），那么ON＝ ，∠XON＝ ．（2）如果点A、B在平面内的位置分别记为A（4，30°），B（3，210°），则A、B 两点间的距离为 ．【分析】（1）由题意得第一个坐标表示此点距离原点的距离，第二个坐标表示此点与原点的连线与x 轴所夹的角的度数；（2）根据相应的度数判断出AB 是一条线段，从而得出AB 的长为4+3＝7．【解答】解：（1）根据点N 在平面内的位置记为N （6，30°）可知，ON ＝6，∠XON ＝30°．故答案为：6，30°；（2）如图所示：∵A （4，30°），B （3，210°），∴∠AOX ＝30°，∠BOX ＝210°，∴∠AOB ＝180°，∵OA ＝4，OB ＝3，∴AB ＝4+3＝7．故答案为：7．） 【例6】（2022春•洪湖市期中）在平面直角坐标系中，将点（1，﹣4）平移到点（﹣3，﹣2），经过的平移变换为（ ）A ．先向左平移4个单位长度，再向下平移6个单位长度B ．先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度C ．先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度）向左平移a 个单位再向上平移b 个单向下平移b 个单位D．先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度【分析】根据点向左平移，纵坐标不变的特点即可求解．【解答】解：∵点（1，﹣4）平移到点（﹣3，﹣2），∴﹣3﹣1＝﹣4，∴﹣2﹣（﹣4）＝2，∴先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度故选：C．【变式6-1】（2022春•武侯区期末）在平面直角坐标系中，将点M（3m﹣1，m﹣3）向上平移2个单位长度得到点M'，若点M'在x轴上，则点M的坐标是（ ）A．（2，﹣2）B．（14，2）C．（﹣2，―103）D．（8，0）【分析】让点M的纵坐标加2后等于0，求得m的值，进而得到点M的坐标．【解答】解：∵将点M（3m﹣1，m﹣3）向上平移2个单位长度得到点M'，若点M'在x 轴上，∴m﹣3+2＝0，解得：m＝1，∴3m﹣1＝2，m﹣3＝﹣2，∴M（2，﹣2）．故选：A．【变式6-2】（2022春•碑林区校级期中）在平面直角坐标系中，将点P（a，b）向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到点Q．若点Q位于第四象限，则a，b的取值范围是（ ）A．a＞0，b＜0B．a＞1，b＜2C．a＞1，b＜0D．a＞﹣3，b＜2【分析】利用平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减求解即可．【解答】解：P（a，b）向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到（a+3，b﹣2），∵Q位于第四象限，∴a+3＞0，b﹣2＜0，∴a＞﹣3，b＜2．故选D．【变式6-3】（2021秋•苏州期末）在平面直角坐标系中，把点P（a﹣1，5）向左平移3个单位得到点Q（2﹣2b，5），则2a+4b+3的值为 ．【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案．【解答】解：将点P（a﹣1，5）向左平移3个单位，得到点Q，点Q的坐标为（2﹣2b，5），∴a﹣1﹣3＝2﹣2b，∴a+2b＝6，∴2a+4b+3＝2（a+2b）+3＝2×6+3＝15，故答案为：15．【例7】（2022春•胶州市期末）如图，△ABC的顶点坐标A（2，3），B（1，1），C（4，2），将△ABC先向左平移3个单位，再向下平移1个单位，得到△A'B'C'，则BC边上一点D（m，n）的对应点D'的坐标是（ ）A．（m+3，n+1）B．（m﹣3，n﹣1）C．（﹣1，2）D．（3﹣m，1﹣n）【分析】根据坐标平移规律解答即可．【解答】解：∵将△ABC先向左平移3个单位，再向下平移1个单位，得到△A'B'C'，∴BC边上一点D（m，n）的对应点D'的坐标是（m﹣3，n﹣1）．故选：B．【变式7-1】（2022•青岛二模）如图，线段AB经过平移得到线段A'B'，其中点A，B的对应点分别为点A'，B'，这四个点都在格点上．若线段A'B'有一个点P'（a，b），则点P'在AB上的对应点P的坐标为（ ）A．（a﹣2，b+3）B．（a﹣2，b﹣3）C．（a+2，b+3）D．（a+2，b﹣3）【分析】先利用点A它的对应点A′的坐标特征得到线段AB先向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到线段A′B′，然后利用点平移的坐标规律写出点P（a，b）平移后的对应点P′的坐标．【解答】解：由图知，线段A'B'向右平移2个单位，再向下平移3个单位即可得到线段AB，所以点P'（a，b）在AB上的对应点P的坐标为（a+2，b﹣3），故选：D．【变式7-2】（2022春•滨城区期中）如图，第一象限内有两点P（m﹣4，n），Q（m，n﹣3），将线段PQ平移，使点P、Q分别落在两条坐标轴上，则点P平移后的对应点的坐标是（ ）A．（﹣2，0）B．（0，3）C．（0，3）或（﹣4，0）D．（0，3）或（﹣2，0）【分析】设平移后点P、Q的对应点分别是P′、Q′．分两种情况进行讨论：①P′在y 轴上，Q′在x轴上；②P′在x轴上，Q′在y轴上．【解答】解：设平移后点P、Q的对应点分别是P′、Q′．分两种情况：①P′在y轴上，Q′在x轴上，则P′横坐标为0，Q′纵坐标为0，∵0﹣（n﹣3）＝﹣n+3，∴n﹣n+3＝3，∴点P平移后的对应点的坐标是（0，3）；②P′在x轴上，Q′在y轴上，则P′纵坐标为0，Q′横坐标为0，∵0﹣m＝﹣m，∴m﹣4﹣m＝﹣4，∴点P平移后的对应点的坐标是（﹣4，0）；综上可知，点P平移后的对应点的坐标是（0，3）或（﹣4，0）．故选：C．【变式7-3】（2022春•如东县期中）三角形ABC在经过某次平移后，顶点A（﹣1，m+2）的对应点为A（2，m﹣3），若此三角形内任意一点P（a，b）经过此次平移后对应点P1（c，d）．则a+b﹣c﹣d的值为（ ）A．8+m B．﹣8+m C．2D．﹣2【分析】由A（﹣1，2+m）在经过此次平移后对应点A1（3，m﹣3），可得△ABC的平移规律为：向右平移3个单位，向下平移5个单位，由此得到结论．【解答】解：∵A（﹣1，2+m）在经过此次平移后对应点A1（2，m﹣3），∴△ABC的平移规律为：向右平移3个单位，向下平移5个单位，∵点P（a，b）经过平移后对应点P1（c，d），∴a+3＝c，b﹣5＝d，∴a﹣c＝﹣3，b﹣d＝5，∴a+b﹣c﹣d＝﹣3+5＝2，故选：C．【题型8 图形在格点中的平移变换】【例8】（2021春•抚远市期末）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），线段MN的位置如图所示，其中点M的坐标为（﹣3，﹣1），点N的坐标为（3，﹣2）．（1）将线段MN平移得到线段AB，其中点M的对应点为A，点N的对应点为B．①点M平移到点A的过程可以是：先向 平移 个单位长度，再向 平移 个单位长度；②点B的坐标为 ；（2）在（1）的条件下，若点C的坐标为（4，0），连接AC，BC，求△ABC的面积．【分析】（1）由点M及其对应点的A的坐标可得平移的方向和距离，据此可得点N的对应点B的坐标；（2）割补法求解可得．【解答】解：（1）如图，①点M平移到点A的过程可以是：先向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度；②点B的坐标为（6，3），故答案为：右、3、上、5、（6，3）；（2）如图，S△ABC＝6×4―12×4×4―12×2×3―12×6×1＝10．【变式8-1】（2022春•长沙期末）如图，△ABC的顶点A（﹣1，4），B（﹣4，﹣1），C （1，1）．若△ABC向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到△A'B'C'，且点C的对应点坐标是C'．（1）画出△A'B'C'，并直接写出点C'的坐标；（2）若△ABC内有一点P（a，b）经过以上平移后的对应点为P'，直接写出点P'的坐标；（3）求△ABC的面积．【分析】（1）首先确定A、B、C三点平移后的对应点位置，然后再连接即可；（2）由平移的性质可求解；（3）利用面积的和差关系可求解．【解答】解：（1）如图所示：∴点C（5，﹣2）；（2）∵△ABC向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到△A'B'C'，∴点P'（a+4，b﹣3）；（3）S△ABC＝5×5―12×3×5―12×2×3―12×5×2＝25﹣7.5﹣3﹣5＝9.5．【变式8-2】（2022春•江岸区校级月考）如图，三角形A′B′C′是由三角形ABC经过某种平移得到的，点A与点A′，点B与点B′，点C与点C′分别对应，且这六个点都在格点上，观察各点以及各点坐标之间的关系，解答下列问题：（1）分别写出点B和点B′的坐标，并说明三角形A′B′C′是由三角形ABC经过怎样的平移得到的；（2）连接BC′，直接写出∠CBC′与∠B′C′O之间的数量关系 ；（3）若点M（a﹣1，2b﹣5）是三角形ABC内一点，它随三角形ABC按（1）中方式平移后得到的对应点为点N（2a﹣7，4﹣b），求a和b的值．【分析】（1）由图形可得出点的坐标和平移方向及距离；（2）根据平移的性质和平角的定义和平行线的性质即可求解；（3）根据以上所得平移方式，利用“横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减”的规律列出关于a、b的方程，解之求得a、b的值．【解答】解：（1）由图知，B（2，1），B′（﹣1，﹣2），三角形A′B′C′是由三角形ABC向左平移3个单位，向下平移3个单位得到的；（2）∠CBC′与∠B′C′O之间的数量关系∠CBC′﹣∠B′C′O＝90°．故答案为：∠CBC′﹣∠B′C′O＝90°；（3）由（1）中的平移变换得a﹣1﹣3＝2a﹣7，2b﹣5﹣3＝4﹣b，解得a＝3，b＝4．故a的值是3，b的值是4．【变式8-3】（2021春•安阳县期中）在平面直角坐标系中，三角形ABC经过平移得到三角形A'B'C'，位置如图所示．（1）分别写出点A，A'的坐标：A ，A' ．（2）请说明三角形A'B'C'是由三角形ABC经过怎样的平移得到的．（3）若点M（m，4﹣n）是三角形ABC内部一点，则平移后对应点M'的坐标为（2m﹣8，n﹣4），求m和n的值．【分析】（1）根据已知图形可得答案；（2）由A（1，0）的对应点A′（﹣4，4）得平移规律，即可得到答案；（3）由（2）平移规律得出m、n的方程．【解答】解：（1）由图知A（1，0），A'（﹣4，4），故答案为：（1，0），（﹣4，4）；（2）A（1，0）对应点的对应点A′（﹣4，4）得A向左平移5个单位，向上平移4个单位得到A′，三角形A'B'C'是由三角形ABC向左平移5个单位，向上平移4个单位得到．（3）△ABC内M（m，4﹣n）平移后对应点M'的坐标为（m﹣5，4﹣n+4），∵M'的坐标为（2m﹣8，n﹣4），∴m﹣5＝2m﹣8，4﹣n+4＝n﹣4，∴m＝3，n＝6．。