高二数学几何概型 (2)
几何概型
几何概型试验1（幸运卡片）班上有9位同学持有卡片，其中3张写着数学家的名言，老师随机选一张，恰好挑到写有名言的卡片的概率是多少？试验2（剪绳试验）取一根长度为30cm 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于10cm 的概率有多大？【情境拓展】3. 射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环.从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色,金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122cm,黄心直径为12.2cm.运动员在70m 外射箭,假设每箭都能中靶,且射中靶面内任一点都是等可能的,那么射中黄心的概率是多少?1、几何概型的概念：设D 是一个可度量的区域（例如线段、平面图形、立体图形等). 每个基本事件可以视为从区域D 内随机地取一点，区域D 内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A 的发生可以视为恰好取到区域D 内的某个指定区域d 中的点.这时，事件A 发生的概率与d 的测度（长度、面积、体积等）成正比，与d 区域的形状，位置无关.我们把满足这样条件的概率模型称几何概型.2、几何概型的概率计算公式：的测度的测度D d A P =)( 例1：取一个边长为2a 的正方形及其内切圆(如图),随机地向正方形内丢一粒豆子,求豆子落入圆内的概率.解：记“豆子落入圆内”为事件A,由于是随机地丢豆子，故认为豆子落入正方形内任一点的机会都是均等的， 可将边长为2a 的正方形看作区域D.其内切圆为区域d 。
44)(22ππ===a a A P 正方形面积圆面积例2：在1升高产小麦种子中混入一粒带麦锈病的种子,从中随机取出10毫升,含有麦锈病种子的概率是多少？解：记“取出10mL 麦种，其中含有麦锈病种子”为事件A.麦锈病种子在这1L 种子中的分布可以看作是随机的,取得的10mL 种子可视为区域d,所有种子可视为区域D.所有种子的体积取出种子的体积于是)(A P专项训练： 1. 点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧的长度小于1的概率为________．2.已知如图所示的矩形，长为12，宽为5，在矩形内随机地投掷1000粒黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为600粒，则可以估计出阴影部分的面积约为________．3. 已知集合A {x |－1<x <5}，B ＝{x |x －23－x>0}，在集合A 中任取一个元素x ，则事件“x ∈A ∩B ”的概率是________．4. 如图，M 是半径为R 的圆周上一个定点，在圆周上等可能地任取一点N ，连结MN ，则弦MN 的长度超过2R 的概率是________．5.已知函数f (x )＝－x 2＋ax －b .若a 、b 都是从区间[0,4]任取的一个数，则f (1)＞0成立的概率是________．。
概率随机事件古典几何概型早练专题练习(二)附答案人教版高中数学真题技巧总结提升
高中数学专题复习
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人得分
一、选择题
1．1 ．（汇编年高考陕西卷（文））对一批产品的长度(单位: mm)进行抽样检测, 下图喂
检测结果的频率分布直方图. 根据标准, 产品长度在区间[20,25)上的为一等品, 在区间
[15,20)和区间[25,30)上的为二等品, 在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品. 用频率估
计概率, 现从该批产品中随机抽取一件, 则其为二等品的概率为
（）A．0.09 B．0.20 C．0.25 D．0.45
2．2 ．（汇编年高考重庆卷（文））下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位:
台)的茎叶图,则数据落在区间[20,30)内的概率为。
考点52几何概型-高考全攻略之备战2019年高考数学(理)考点一遍过
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1
（1）了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.
（2）了解几何概型的意义
.
一、几何概型
1．几何概型的概念
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.
2．几何概型的特点
（1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个.
（2）每个基本事件发生的可能性相等.
3．几何概型的概率计算公式
()P A
A 构成事件的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
. 4．必记结论 （1）与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关；
（2）与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题；
（3）与体积有关的几何概型.。
§14.5 古典概型与几何概型
π
=1- .
4
4
此满足条件的概率是
11
目录
【易错自纠】
4. 掷一个骰子的试验,事件 A 表示“小于 5 的偶数点出现”,事件 B 表示“小于 5 的点
−
数出现”,则一次试验中,事件 A+发生的概率为
2
3
.
2 1
6 3
4 2
6 3
−
− 1 1 2
P(A+)=P(A)+P()= + = .
4
目录
2.古典概型
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型.
只有有限个
(1)有限性:试验中所有可能出现的基本事件____________.
(2)等可能性:每个基本事件出现的可能性_____.
相等
(3)如果一次试验中可能出现的结果有 n 个,而且所有结果出现的可能性都相
1
等,那么每一个基本事件的概率都是 ;如果某个事件 A 包括的结果有 m 个,那么事
24
目录
点拨 求解古典概型的交汇问题,关键是把相关的知识转化为事件,然后利用古典
概型的有关知识解决,一般步骤如下:
(1)将题目条件中的相关知识转化为事件;
(2)判断事件是否为古典概型;
(3)选用合适的方法确定基本事件个数;
(4)代入古典概型的概率公式求解.
25
目录
考点3 几何概型
【考向变换】
考向1 与长度(角度)有关的几何概型
构成事件的区域长度(面积或体积)
.
试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)
6
目录
拓展知识
(1)对古典概型的理解
①一个试验是否为古典概型,在于这个试验是否具有古典概型的两个特点——有限性
高二数学知识点总结15篇
高二数学知识点总结15篇高二数学知识点总结11、几何概型的定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。
2、几何概型的概率公式：P（A）=构成事件A的区域长度（面积或体积）；试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）3、几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等、4、几何概型与古典概型的比较：一方面，古典概型具有有限性，即试验结果是可数的；而几何概型则是在试验中出现无限多个结果，且与事件的区域长度（或面积、体积等）有关，即试验结果具有无限性，是不可数的。
这是二者的不同之处；另一方面，古典概型与几何概型的试验结果都具有等可能性，这是二者的共性。
通过以上对于几何概型的基本知识点的梳理，我们不难看出其要核是：要抓住几何概型具有无限性和等可能性两个特点，无限性是指在一次试验中，基本事件的个数可以是无限的，这是区分几何概型与古典概型的关键所在；等可能性是指每一个基本事件发生的可能性是均等的，这是解题的基本前提。
因此，用几何概型求解的概率问题和古典概型的基本思路是相同的，同属于“比例法”，即随机事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占的图形的长度、面积（体积）和角度等”与“试验的基本事件所占总长度、面积（体积）和角度等”之比来表示。
下面就几何概型常见类型题作一归纳梳理。
高二数学知识点总结2空间中的垂直问题(1)线线、面面、线面垂直的定义①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。
②线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直。
③平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角(从一条直线出发的两个半平面所组成的图形)是直二面角(平面角是直角)，就说这两个平面垂直。
(2)垂直关系的判定和性质定理①线面垂直判定定理和性质定理判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。
古典概型、几何概型(学生版)
高二数学期末复习专题三：古典概型、几何概型1．分别从集合M={1，2，3}和集合N={4，5，6}中各取一个数，则这两个数之和为偶数的概率为．2．在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲乙两人各抽取一张（不放回），两人都中奖的概率为．3．某人随机播放甲、乙、丙、丁4首歌曲中的2首，则甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的概率是．4．抛掷一枚骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），则事件“向上的数字为奇数或向上的数字大于4”发生的概率为．5．现有三张识字卡片，分别写有“中”、“国”、“梦”这三个字．将这三张卡片随机排序，则能组成“中国梦”的概率是．6．甲、乙两组各有三名同学，他们在一次测试中的成绩分别为：甲组：88、89、90；乙组：87、88、92．如果分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，则这两名同学的成绩之差的绝对值不超过3的概率是．7．从长度为2、3、5、6的四条线段中任选三条，能构成三角形的概率为．8．设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是．9．从圆x2+y2=4内任取一点p，则p到直线x+y=1的距离小于的概率．10．已知某路段最高限速60km/h，电子监控测得连续4辆汽车的速度用用茎叶图表示如图示，若从中任取2辆，则恰好有1辆汽车超速的概率为．11．如图，阴影部分是四个全等的直角三角形组成，若直角三角形两条直角边的长分别为a，b，且a=2b，则在大正方形内随即掷一点，这一点落在正方形内的概率为．12．已知实数a，b满足0＜a＜1，﹣1＜b＜1，则函数有三个零点的概率为．13．某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图．（Ⅰ）求分数在[50，60）的频率及全班人数；（Ⅱ）求分数在[80，90）之间的频数，并计算频率分布直方图中[80，90）间矩形的高；（Ⅲ）若要从分数在[80，100）之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在[90，100）之间的概率．14．为选拔选手参加“中国汉字听写大会”，某中学举行了一次“汉字听写大赛”活动．为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．（1）求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；（2）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“中国汉字听写大会”，求所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的概率．。
高中数学高考总复习----古典概型与几何概型巩固练习题(含答案解析)
高中数学高考总复习----古典概型与几何概型巩固练习题（含答案解析）1.(2015广东高考)已知5件产品有两件次品，其余为合格品.现从5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为()A.0.4B.0.6C.0.8D.12.在由数字1、2、3、4、5所组成的没有重复数字的二位数中，得到的数不能被5和2整除的概率为（）A.0.2B.O.4C.0.6D.0.83．已知三棱锥SABC，在三棱锥内任取一点P，使得V P－ABC<V SABC的概率是()A. B.C. D.4．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则从2号箱取出红球的概率是()A. B.C. D.5．平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r<a的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平等线相碰的概率是()A. B.C. D.6．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，A＝30°，若将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所得的点数分别为a、b，则满足条件的三角形有两个解的概率是()A. B.C. D.7．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为()A. B.C. D.8．在区间(0,1)内任取两个实数，则这两个实数的和大于的概率为()A. B.C. D.9.以连续两次抛掷一枚骰子得到的点数、得点，则点在圆内的概率为.10．某大学有包括甲、乙两人在内的5名大学生，自愿参加2010年上海世博会的服务，这5名大学生中3人被分配到城市足迹馆，另2人被分配到沙特馆．如果这样的分配是随机的，则甲、乙两人被分配到同一馆的概率是________．11．甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是________．12．在边长为2的正三角形ABC内任取一点P，则使点P到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是________．13.(2015重庆高考)在区间上随机地选择一个数p,则方程有两个负根的概率为.14．若不等式组表示的平面区域为M，x2＋y2≤1所表示的平面区域为N，现随机向区域M内抛一粒豆子，则豆子落在区域N内的概率为________．15.（2015菏泽一模）某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83．（1）求x和y的值；（2）计算甲班7位学生成绩的方差s2；（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率．16．已知函数f(x)＝－x2＋ax－b.(1)若a，b都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数，求上述函数有零点的概率；(2)若a，b都是从区间[0,4]任取的一个数，求f(1)>0成立时的概率．【参考答案】1.【答案】B【解析】这是一个古典概型,从5件产品任取2件的取法为;基本事件总数为10;设“选的2件产品中恰有一件次品”为事件A,则A包含的基本事件个数为故选B.2．【答案】B【解析】总的事件数为，得到的数不能被5和2整除的个位数只能为1或3，有，故所求概率为0.4.3．【答案】A【解析】当P在三棱锥的中截面与下底面构成的三棱台内时符合要求，由几何概型知，4．【答案】A【解析】5．【答案】A【解析】∵硬币的半径为r，∴当硬币的中心到直线的距离d>r时，硬币与直线不相碰．∴6．【答案】A【解析】要使△ABC有两个解，需满足的条件是，因为A＝30°，所以，满足此条件的a，b的值有b＝3，a＝2；b＝4，a＝3；b＝5，a＝3；b＝5，a＝4；b＝6，a＝4；b＝6，a＝5，共6种情况，所以满足条件的三角形有两个解的概率是7．【答案】B【解析】记三个兴趣小组分别为1、2、3，甲参加1组记为“甲1”，则基本事件为“甲1，乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3”，共9个．记事件A为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”，其中事件A有“甲1，乙1；甲2，乙2；甲3，乙3”，共3个．因此8．【答案】A【解析】设这两个实数分别为x，y，则，满足的部分如图中阴影部分所示．所以这两个实数的和大于的概率为9.【答案】【解析】连续两次抛掷一枚骰子得到的结果有种，点落在圆内的有，，，共4种，故所求的概率为.10．【答案】【解析】依题意得，甲、乙两人被分到同一馆的概率是.11．【答案】【解析】若用{1,2,3,4,5,6}代表6处景点，显然甲、乙两人在最后一个小时浏览的景点可能为{1,1}、{1,2}、{1,3}、…、{6,6}，共36种；其中满足题意的“同一景点相遇”包括{1,1}、{2,2}、{3,3}、…、{6,6}，共6个基本事件，所以所求的概率为.12．【答案】【解析】以A、B、C为圆心，以1为半径作圆，与△ABC交出三个扇形，当P落在其内时符合要求．∴13.【答案】【解析】方程有两个负根等价于解关于p的不等式组可得或所求概率为14．【答案】解析：如图，△AOB为区域M，扇形COD为区域M内的区域N，A(3,3)，B(1，－1)，S△AOB＝，S扇形COD＝，所以豆子落在区域N内的概率为15.【解析】（1）∵甲班学生的平均分是85，∴，∴x=5，∵乙班学生成绩的中位数是83，∴y=3；（2）甲班7位学生成绩的方差为s2==40；（3）甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为A，B，乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为C，D，E，从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）其中甲班至少有一名学生共有7种情况：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E）．记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班至少有一名学生”为事件M，则．答：从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲校至少有一名学生的概率为．16．【解析】(1)a，b都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数的基本事件总数为N＝5×5＝25个．函数有零点的条件为Δ＝a2－4b≥0，即a2≥4b.因为事件“a2≥4b”包含(0,0)，(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(4,0)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，所以事件“a2≥4b”的概率为，即函数f(x)有零点的概率为.(2)a，b都是从区间[0,4]任取的一个数，f(1)＝－1＋a－b>0，即a－b>1，此为几何概型．所以事件“f(1)>0”的概率为【巩固练习】1.(2015鄂州三模)已知函数若a是从1,2,3三个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为()A. B. C. D.2.某公共汽车每15分钟一班，乘客甲随机的到达车站，则甲等待的事件不超过3分钟的概率为（）A. B. C. D.3．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于()A. B.C. D.4．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，A＝30°，若将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所得的点数分别为a、b，则满足条件的三角形有两个解的概率是()A. B.C. D.5.在长为10的线段AB上任取一点M，以AM为半径作圆，则该圆的面积在和之间的概率为（）A. B. C. D.6．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为()A. B.C. D.7．已知P是△ABC所在平面内一点，＋＋2＝0，现将一粒黄豆随机撒在△PBC内，则黄豆落在△PBC内的概率是()A. B.C. D.8．在区间(0,1)内任取两个实数，则这两个实数的和大于的概率为()A. B.C. D.9．一个盒子内部有如图所示的六个小格子，现有桔子、苹果和香蕉各两个，将这六个水果随机地放入这六个格子里，每个格子放一个，放好之后每行、每列的水果种类各不相同的概率是()A. B.C. D.10．在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零点的概率为()A. B.C. D.11.(2015江西二模)在区间内随机取两个数a,b，则使得函数有零点的概率为.12．若m∈(0,3)，则直线(m＋2)x＋(3－m)y－3＝0与x轴、y轴围成的三角形的面积小于的概率为________．13.（2015河东区一模）袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2．（1）从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；（2）现往袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和不大于4的概率．14.（14分）设有关于的一元二次方程．（Ⅰ）若是从1，2，3，4，5四个数中任取的一个数，是从1，2，3，4三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（Ⅱ）若是从区间[1,5]任取的一个数，是从区间[1,4]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．15．已知复数z＝x＋y i(x，y∈R)在复平面上对应的点为M.(1)设集合P＝{－4，－3，－2,0}，Q＝{0,1,2}，从集合P中随机取一个数作为x，从集合Q中随机取一个数作为y，求复数z为纯虚数的概率；(2)设x∈[0,3]，y∈[0,4]，求点M落在不等式组：所表示的平面区域内的概率．【参考答案】1.【答案】D【解析】求导可得要满足题意需有两个不等实根即即，又a,b的取法共种，其中满足的有共6种故所求的概率为故选D.2.【答案】A【解析】甲等待的事件不超过3分钟的概率为.3．【答案】D【解析】在正六边形中，6个顶点选取4个，共有15种结果．选取的4点能构成矩形只有对边的4个顶点(例如AB与DE)，共有3种，故所求概率为.4．【答案】A【解析】要使△ABC有两个解，需满足的条件是，因为A＝30°，所以，满足此条件的a，b的值有b＝3，a＝2；b＝4，a＝3；b＝5，a＝3；b＝5，a＝4；b＝6，a＝4；b＝6，a＝5，共6种情况，所以满足条件的三角形有两个解的概率是5.【答案】A【解析】以半径为准，概率为.6．【答案】A【解析】记三个兴趣小组分别为1、2、3，甲参加1组记为“甲1”，则基本事件为“甲1，乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3”，共9个．记事件A为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”，其中事件A有“甲1，乙1；甲2，乙2；甲3，乙3”，共3个．因此P(A)＝7．【答案】D【解析】由题意可知，点P位于BC边的中线的中点处．记黄豆落在△PBC内为事件D，则P(D)＝8．【答案】A【解析】设这两个实数分别为x，y，则，满足的部分如图中阴影部分所示．所以这两个实数的和大于的概率为9．【答案】A【解析】依题意，将这六个不同的水果分别放入这六个格子里，每个格子放入一个，共有A66＝720种不同的放法，其中满足放好之后每行、每列的水果种类各不相同的放法共有96种(此类放法进行分步计数：第一步，确定第一行的两个格子的水果放法，共有种放法；第二步，确定第二行的两个格子的水果放法，有种放法，剩余的两个水果放入第三行的两个格子)，因此所求的概率等于10．【答案】B【解析】因为f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零点，所以Δ＝4a2－4(π－b2)≥0，即a2＋b2－π≥0，由几何概型的概率计算公式可知所求概率为11.【答案】【解析】两个数a、b在区间内随机取，以a为横坐标、b为纵坐标建立如图所示直角坐标系，可得对应的点(a,b)在如图的正方形OABC及其内部任意取，其中A(0,4)，B(4,4),C(4,0),O为坐标原点，若函数有零点，则解之得，满足条件的点(a,b)在直线a-2b=0的下方，且在正方形OABC内部的三角形，其面积为正方形OABC的面积为函数有零点的概率为12．【答案】【解析】直线与两个坐标轴的交点分别为(，0)，(0，)，又当m∈(0,3)时，，∴··<，解得0<m<2，∴P＝三、解答题13.【解析】（I）从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种：红1红2，红1红3，红1蓝，1红1蓝2，红2红3，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2．其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况，故所求的概率为．（II）加入一张标号为0的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除上面的10种情况外，多出5种情况：红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，即共有15种情况，其中颜色不同且标号之和不大于4的有10种情况，所以概率为．14.【解析】设事件为“方程有实根”．当，时，方程有实根的充要条件为．（Ⅰ）基本事件共20个：事件中包含个基本事件，所以事件发生的概率为．（Ⅱ）试验的全部结果构成的区域为，∴,构成事件的区域为，∴,所以所求的概率为．15．【解析】(1)记“复数z为纯虚数”为事件A.∵组成复数z的所有情况共有12个：－4，－4＋i，－4＋2i，－3，－3＋i，－3＋2i，－2，－2＋i，－2＋2i,0，i,2i，且每种情况出现的可能性相等，属于古典概型，其中事件A包含的基本事件共2个：i,2i，∴所求事件的概率为P(A)＝＝.(2)依条件可知，点M均匀地分布在平面区域内，属于几何概型，该平面区域的图形为下图中矩形OABC围成的区域，面积为S＝3×4＝12.而所求事件构成的平面区域为其图形如图中的三角形OAD(阴影部分)．又直线x＋2y－3＝0与x轴、y轴的交点分别为A(3,0)、D(0，)，∴三角形OAD的面积为S1＝＝.∴所求事件的概率为。
几何概型导学案
四、实际应用
1、模型应用
例1：在500ml的水中有一只草履虫，现从中随机取出２ml水样放到显微镜下观察，求发现草履虫的概率.
例2：取一个边长为2a的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率.
例3：某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率。
（2）在集合A= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取一个元素a,则a≥3的概率为.
(3)若以连续掷两次骰子分别得到的点数m,n作为点P的坐标，求点P落在圆x2+y2=16内的概率。
【课前预习】
1、问题情境
⑴、下图中有两个转盘,甲、乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜.在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少?
怎样求几何概型的概率
当堂练习
1．在数轴上，设点x∈[-3,3]中按均匀分布出现，记a∈(-1,2】为事件A，则P（A）=（C）
A、1 B、0 C、1/2 D、1/3
2.一海豚在水池中自由游弋，水池长为30m,宽20m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率．
3.在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油,假设在海域中任意一点钻探,钻到油层面的概率是多少？
⑵、取一根长度为3米的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1米的概率有多大？（演示绳子）
⑶、射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环，从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色。金色靶心叫“黄心”。奥运会的比赛靶面直径为122cm，靶心直径为12.2cm。假设射箭都能中靶，且射中靶面内任意一点都是等可能的，那么射中黄心的概率有多大？
当堂检测
1.在区间[1，3]上任意取一数，则这个数不小于1.5的概率是多少？
高中数学高考总复习---古典概型与几何概型知识讲解及考点梳理
1．如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为
2．将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被 取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域 中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解。
位数字也即确定.故共有 6×1=6 种不同的结果，即概率为
.
（2）两个玩具的数字之和共有 2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12 共 11 种不同结果.
从中可以看出，出现 12 的只有一种情况，概率为 .出现数字之和为 6 的共有（1，5），（2，
4），（3，3），（4，2），（5，1）五种情况，所以其概率为 . 【总结升华】使用枚举法要注意排列的方法，做到不漏不重.
（3）应用公式
求值。
5．古典概型中求基本事件数的方法： （1）穷举法； （2）树形图； （3）排列组合法。利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原理，必须做到不 重复不遗漏。 知识点二、几何概型 1. 定义： 事件 A 理解为区域Ω的某一子区域 A，A 的概率只与子区域 A 的几何度量（长度、面积 或体积）成正比，而与 A 的位置和形状无关。满足以上条件的试验称为几何概型。 2.几何概型的两个特点： （1）无限性，即在一次试验中基本事件的个数是无限的； （2）等可能性，即每一个基本事件发生的可能性是均等的。 3.几何概型的概率计算公式： 随机事件 A 的概率可以用“事件 A 包含的基本事件所占的图形面积（体积、长度）”与 “试验的基本事件所占总面积（体积、长度）”之比来表示。
举一反三： 【变式】某校要从艺术节活动中所产生的 4 名书法比赛一等奖的同学和 2 名绘画比赛一等 奖的同学中选出 2 名志愿者，参加广州亚运会的服务工作。求：（1）选出的 2 名志愿者都 是获得书法比赛一等奖的同学的概率；（2）选出的 2 名志愿者中 1 名是获得书法比赛一等 奖，另 1 名是获得绘画比赛一等奖的同学的概率. 【解析】把 4 名获书法比赛一等奖的同学编号为 1，2，3，4 . 2 名获绘画比赛一等奖的同 学编号为 5，6.
9.5古典概型和几何概型
• 高考总复习 · 课标版 · 数学（文）
古典概型是基本事件个数有限，每个基本事件发生的概 率相等的一种概率模型，其概率等于随机事件所包含的基本 事件的个数与基本事件的总个数的比值．
课前自主回顾
课堂互动探究
课时作业
• 高考总复习 · 课标版 · 数学（文）
一个袋子中有红、白、蓝三种颜色的球共24个，除颜色 外完全相同，已知蓝色球3个．若从袋子中随机取出1个球， 1 取到红色球的概率是6. (1)求红色球的个数； (2)若将这三种颜色的球分别进行编号，并将1号红色 球，1号白色球，2号蓝色球和3号蓝色球这四个球装入另一个 袋子中，甲、乙两人先后从这个袋子中各取一个球(甲先取， 取出的球不放回)，求甲取出的球的编号比乙大的概率．
• 高考总复习 · 课标版 · 数学（文）
(2)古典概型的意义 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古 典概型． ①试验中所有可能出现的基本事件 只有有限个 ②每个基本事件出现的可能性 相等 ． (3)古典概型的概率公式 ．
A包含的基本事件的个数 基本事件的总数 P(A)＝
.
课前自主回顾
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课堂互动探究
课时作业
• 高考总复习 · 课标版 · 数学（文）
事件A包含的基本事件有(蓝2，红1)，(蓝2，白1)，(蓝 3，红1)，(蓝3，白1)，(蓝3，蓝2)，共5个． 5 所以P(A)＝ . 12
课前自主回顾
课堂互动 数学（文）
求复杂事件的概率问题，关键是理解题目的实际含义，必 要时将所求事件转化为彼此互斥事件的和，或者是先去求对立 事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的 概率公式求出所求事件的概率．
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3.3.1几何概型 教材分析：和古典概型一样，在特定情形下，我们可以用几何概型来计算事件发生的概率．它也是一种等可能概型．教材首先通过实例对比概念给予描述，然后通过均匀随机数随机模拟的方法的介绍，给出了几何概型的一种常用计算方法．与本课开始介绍的P（A）的公式计算方法前后对应，使几何概型这一知识板块更加系统和完整．这节内容中的例题既通俗易懂，又具有代表性，有利于我们的教与学生的学．教学重点是几何概型的计算方法，尤其是设计模型运用随机模拟方法估计未知量；教学难点是突出用样本估计总体的统计思想，把求未知量的问题转化为几何概型求概率的问题． 教学目标：1. 通过这节内容学习，让学生了解几何概型，理解其基本计算方法并会运用． 2. 通过对照前面学过的知识，让学生自主思考，寻找几何概型的随机模拟计算方法，设计估计未知量的方案，培养学生的实际操作能力． 3. 通过学习，让学生体会试验结果的随机性与规律性，培养学生的科学思维方法，提高学生对自然界的认知水平． 教学重点与难点：是随机模拟部分．这节内容的教学需要一些实物模型作为教具，如教科书中的转盘模型、例2中的随机撒豆子的模型等．教学中应当注意让学生实际动手操作，以使学生相信模拟结果的真实性，然后再通过计算机或计算器产生均匀随机数进行模拟试验， 第2页 共12页
得到模拟的结果．随机模拟的教学中要充分使用信息技术，让学生亲自动手产生随机数，进行模拟活动． 教学过程： 一、问题情境 如图，有两个转盘．甲、乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向Ｂ区域时，甲获胜，否则乙获胜． 问题：在下列两种情况下分别求甲获胜的概率．
二、建立模型 1. 提出问题 首先引导学生分析几何图形和甲获胜是否有关系，若有关系，和几何体图形的什么表面特征有关系？学生凭直觉，可能会指出甲获胜的概率与扇形弧长或面积有关．即：字母B所在扇形弧长（或面积）与整个圆弧长（或面积）的比．接着提出这样的问题：变换图中B与N的顺序，结果是否发生变化？（教师还可做出其他变换后的图形，以示决定几何概率的因素的确定性）．
题中甲获胜的概率只与图中几何因素有关，我们就说它是几何概型． 注意：（1）这里“只”非常重要，如果没有“只”字，那么就意味着几何概型的概率可能还与其他因素有关，这是错误的．
（2）正确理解“几何因素”，一般说来指区域长度（或面积或体积）． 2. 引导学生讨论归纳几何概型定义，教师明晰———抽象概括 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型． 第3页 共12页
在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下： 3. 再次提出问题，并组织学生讨论 （1）情境中两种情况下甲获胜的概率分别是多少？ （2）在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，求发现草履虫的概率．
（3）某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10min的概率．
通过以上问题的研讨，进一步明确几何概型的意义及基本计算方法． 三、典型例题 1. 假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～7：30之间把报纸送到你家，而你父亲离开家去工作的时间在早上7：00～8：00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少．
分析：我们有两种方法计算事件的概率． （1）利用几何概型的公式． （2）利用随机模拟的方法． 解法1：如图，方形区域内任何一点的横坐标表示送报人送到报纸的时间，纵坐标表示父亲离开家去工作的时间．假设随机试验落在方形内任一点是等可能的，所以符合几何概型的条件．根据题意，只要点落到阴影部分，就表示父亲在离开家前能得到报纸，即事件A发生，所以 第4页 共12页
解法2：设X，Y是0～1之间的均匀随机数．X＋6.5表示送报人送到报纸的时间，Y＋7表示父亲离开家去工作的时间．如果Y＋7＞X＋6.5，即Y＞X－0.5，那么父亲在离开家前能得到报纸．用计算机做多次试验，即可得到P（A）．
教师引导学生独立解答，充分调动学生自主设计随机模拟方法，并组织学生展示自己的解答过程，要求学生说明解答的依据．教师总结，并明晰用计算机（或计算器）产生随机数的模拟试验．强调：这里采用随机数模拟方法，是用频率去估计概率，因此，试验次数越多，频率越接近概率．
2. 如图，在正方形中随机撒一大把豆子，计算落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数之比，并以此估计圆周率的值．
解：随机撒一把豆子，每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的，落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比，即
假设正方形的边长为2，则 由于落在每个区域的豆子数是可以数出来的，所以 这样就得到了π的近似值． 另外，我们也可以用计算器或计算机模拟，步骤如下： （1）产生两组0～1区间的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RAND； 第5页 共12页
（2）经平移和伸缩变换，a＝（a1－0.5）*2，b＝（b1－0.5）*2； （3）数出落在圆内a2＋b2＜1的豆子数N1，计算（N代表落在正方形中的豆子数）．
可以发现，随着试验次数的增加，得到π的近似值的精度会越来越高． 本例启发我们，利用几何概型，并通过随机模拟法可以近似计算不规则图形的面积． ［练 习］ 1. 如图30-4，如果你向靶子上射200镖，你期望多少镖落在黑色区域． 2. 利用随机模拟方法计算图30-5中阴影部分（y＝1和y＝x2围成的部分）的面积．
3. 画一椭圆，让学生设计方案，求此椭圆的面积． 作业：课本 第6页 共12页 临清三中数学组 编写人：庞红玲 审稿
人： 郭振宇 李怀奎 3.3.1几何概型
课前预习学案 一、预习目标
1. 了解几何概型，理解其基本计算方法并会运用． 2. 通过对照前面学过的知识，让学生自主思考，寻找几何概型的随机模拟计算方法，设计估计未知量的方案，培养学生的实际操作能力．
二、预习内容 1. ，简称为几何概型． 第7页 共12页
2.在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下： 3. 讨论： （1）情境中两种情况下甲获胜的概率分别是多少？
（ 2）在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，求发现草履虫的概率．
三、提出疑惑 同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容
课内探究学案 一、学习目标：了解几何概型，理解其基本计算方法并会运用． 学习重点与难点：几何概型的计算方法． 二、学习过程： 例1. 假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～7：30之间把报纸送到你家，而你父亲离开家去工作的时间在早上7：00～8：00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少． 第8页 共12页
分析：我们有两种方法计算事件的概率． （1）利用几何概型的公式． （2）利用随机模拟的方法． 解法1：
解法2：
例2. 如图，在正方形中随机撒一大把豆子，计算落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数之比，并以此估计圆周率的值．
解： 第9页 共12页
用计算器或计算机模拟，步骤如下： （1） （2） （3） 三、反思总结 1、数学知识： 2、数学思想方法：
四、当堂检测
一、选择题 1. 取一根长度为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长 都不小于1 m的概率是. A.21 B.31 C.41 D.不确定 2. 已知地铁列车每10 min一班，在车站停1 min.则乘客到达站台立即乘上 车的概率是 A.101 B.91 C.111 D.8
1
3. 在1万 km2的海域中有40 km2的大陆架贮藏着石油，假如在
海域中任意 一点钻探，钻到油层面的概率是. 第10页 共12页
A.2511 B.2491 C.2501 D.252
1
二、填空题 1. 如下图，在一个边长为3 cm的正方形内部画一个边长为2 cm的正方形， 向大正方形内随机投点，则所投的点落入小正方形内的概率是________.
3cm2cm 2. 如下图，在一个边长为a、b（a＞b＞0）的矩形内画一个梯形，梯形上、下底分别为3
1a与21a，高为b，向该矩形内随机投一
点，则所投的点落在梯形内部的概率为________.
aaa
b1
1
23
三解答题 1在等腰Rt△ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM的长小于AC的长的概率.
答案一、选择题 第11页 共12页
1. B 2. A 3. C 二、填空题
1. 94 2. 125 三、解答题 解：在AB上截取AC′=AC，于是P（AM＜AC）=P（AM＜CA）
=ABC
C'M
答：AM的长小于AC的长的概率为2
2.
22ABACABCA
课后练习与提高 1．两根相距6 m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2 m的概率是________. 2. 如下图，在直角坐标系内，射线OT落在60°的终边上，任作一条射线OA，则射线落在∠xOT内的概率是________.
xyOAT
3. 如下图，在半径为1的半圆内，放置一个边长为2
1的正方形
ABCD，向半圆内任投一点，该点落在正方形内的概率为_________.