极值的必要条件
无约束问题的极值条件
⽆约束问题的极值条件
有时候，我们希望根据⼀定的条件找到优化问题的极值点；另外⼀些时候，我们得到若⼲候选解，希望判断候选解中哪些是真正的极值点。
这其中涉及⾮线性规划的极值条件问题。
所谓⾮线性规划的极值条件，是指⾮线性规划模型最优解所要满⾜的必要或充分条件。
本⽂介绍⽆约束⾮线性规划问题的极值条件。
1. 极值点的必要条件和充分条件
⼀阶必要条件 设实值函数 在点 处可微，若是⽆约束优化问题 的局部极⼩点，则有
其中，表⽰函数 在点 处的梯度。
⼆阶必要条件 设实值函数在点处⼆阶可微，若是⽆约束优化问题 的局部极⼩点，则有
且
其中，表⽰函数 在点 处的梯度，表⽰函数 在点 处的海赛矩阵，表⽰矩阵是半正定的。
⼆阶充分条件 设实值函数在点处⼆阶可微，若 且 ，则为⽆约束问题的严格局部极⼩值。
（注：需要海赛矩阵正定）
以上结论对⼀般函数成⽴。
针对凸函数（海赛矩阵恒正定），有以下充要条件
充要条件 设为定义域上的可微凸函数，则为⽆约束问题的全局极⼩点的充要条件是。
2. 驻点性质判定
所谓驻点，即⼀阶导数值为0的点。
如果函数在此点⼆阶可微，可利⽤该点处的海赛矩阵来判定驻点的性质。
假定为函数的驻点，并且该驻点处的海赛矩阵为，则有以下结论：
1. 若是正定的，则驻点为极⼩点（局部或全局）；
2. 若是负定的，则驻点为极⼤点（局部或全局）；
3. 若是不定的，则驻点为鞍点（即⾮极值点）；
4. 若是半定的（半正定或半负定），则驻点可能是极值点，也可能不是极值点，须视⾼阶导数性质⽽定。
一元函数微分学几何应用（一）--单调性与极值
⼀元函数微分学⼏何应⽤（⼀）--单调性与极值单调性与极值的判别单调性的判别若 y = f(x)在区间I上有f'(x)>0，则 y=f(x)在I上严格单调增加若 y = f(x)在区间I上有f'(x)<0，则 y=f(x)在I上严格单调增加费马引理（极值点的必要条件）⼀阶可导点是极值点的必要条件（极值导数必为0，导数为0不⼀定是极值，如y=x3）设f(x)在x=x0处可导，且在点x0处取得极值，则必有f'(x0)=0判别极值的第⼀充分条件（左右邻域⼀阶导异号）极值点不⼀定是可导点左邻域内，f'(x)<0，⽽右邻域，f'(x)>0，则f(x)在x=x0处取得极⼩值左邻域内，f'(x)>0，⽽右邻域，f'(x)<0，则f(x)在x=x0处取得极⼤值若f'(x)在左右邻域内不变号，则点x0不是极值点判别极值的第⼆充分条件（⼀阶导数=0，⼆阶导数≠0）设f(x)在x=x0处⼆阶可导，且f'(x0)=0，f''(x0)≠0若f''(x0)<0，则f(x)在x0处取得极⼤值若f''(x0)>0，则f(x)在x0处取得极⼩值可以⽤⼀阶导数定义和保号性证明判别极值的第三充分条件（⾼阶导）f(x)在x0处n阶可导，且 f(m)(x0)=0(m=1,2,...,n-1)，f(n)(x)≠0(n≥2)f'(x0)=f''(x0)=...=f(n-1)(x0)=0若n为偶数且f(n)(x0)<0时，f(x)在x0处取得极⼤值若n为偶数且f(n)(x0)>0时，f(x)在x0处取得极⼩值拉格朗⽇中值定理推⼴（联系函数与导函数）f(b) - f(a) = f'(ξ)(b - a)f(x) - f(x0) = f'(ξ)(x - x0)。
极值与最值
极大值点与极小值点统称为极值点
极大值与极小值统称为极值
如：⑴ z 3x2 4y2在 (0,0)处有极小值（如下图） ⑵ z x2 y2 在 (0,0) 处有极大值（如下图） ⑶ z xy 在 (0,0) 处既无极大值也无极小值
M max{ f (x1, y1),, f (xn , yn )} m min{ f (x1, y1),, f (xn , yn )}
例2：求函数 f (x, y) x2 2xy 2 y在矩形闭区域
D {(x, y) 0 x 4,0 y 3}上的最值.
对于实际问题求最值
Lxx 4 A Lxx (40, 24) 4 0 Lxy 4 B Lxy (40, 24) 4
Lyy 8 C Lyy (40, 24) 8
B2 AC 16 0
A 0
Байду номын сангаас
(x0,y0)=(40,24)为极大值点，就 是最大值点。
最大值点与最小值点统称为最值点
最大值与最小值统称为最值
2、最值的求法
设函数 z f (x, y) 在有界的闭区域 D上连续可微，
则求最值的步骤为：
⑴求函数 z 的所有驻点(xi, yi ), i 1,, n ； ⑵求函数 z 在边界上的最大值点和最小值点 (xm, ym) ⑶求最大值与最小值
解此方程有：
x y
x0
a(ax0 a
条件极值
现在引入函数 L ，称它为拉格朗日函数：
L ( x, y , u , v ) = f ( x, y, u , v) + ag ( x, y, u , v) + β h( x, y, u , v)
我们知道，函数 L 存在极值的必要条件为
Lx = 0, Ly = 0, Lu = 0, Lv = 0,
dF = dL = Lx dx + Ly dy + Lu du + Lv dv,
从而 F 的二阶微分有
d 2 F = d (dL)
= (dLx )dx + (dLy )dy + (dLu )du + Lu d 2u + (dLv )dv + Lv d 2 v,
但因为在极值点满足必要条件 Lu = 0 和 Lv = 0 ,所以
其中函数 g 和 h 都具有对各个变元的连续偏导数,并且 , 它们的雅可比行列式
D ( g , h) ≠ 0, D (u , v)
我们要求函数 f ( x, y, u, v) 在限制条件
g(x, y,u,v) = 0,h(x, y,u,v) = 0
先来考虑极值的必要条件.
下的极值.
若函数 f ( x, y, u, v) 在某一点 M ( x, y, u, v) 达到极值,这里
α , β 称为拉格朗日乘数,也称为待定乘数.由于
D ( g , h) ≠ 0, D (u , v)
总能求得不全为零的 α 和 β 使
∂f ∂g ∂h +α +β = 0, ∂u ∂u ∂u ∂f ∂g ∂h +α +β = 0, ∂v ∂v ∂v
这时, (4) 式化为
判断极值点的第三充分条件
判断极值点的第三充分条件判断极值点的第三充分条件引言在数学中，我们经常需要判断函数的极值点，即函数取得最大值或最小值的点。
其中，第一充分条件是判断极值点的必要条件，而第三充分条件则是判断极值点的额外条件。
本文将介绍判断极值点的第三充分条件及其应用。
第三充分条件的描述判断函数的极值点的第三充分条件可以通过二阶导数来表示。
具体而言，设函数f(x)在某区间上连续，且在该区间的某一点x=a处存在一阶导数f’(a)=0。
若函数在x=a处满足以下条件，则极值点的第三充分条件成立：1.如果f’’(a) > 0，则f(x)在x=a处取得极小值。
2.如果f’’(a) < 0，则f(x)在x=a处取得极大值。
第三充分条件的证明为了了解第三充分条件的证明过程，我们可以回顾二阶导数的几何意义。
二阶导数表示函数曲线的变化率，即曲线的弯曲程度。
当二阶导数为正时，函数曲线在该点凹向上，此时函数取得局部极小值。
反之，当二阶导数为负时，函数曲线在该点凹向下，此时函数取得局部极大值。
因此，第三充分条件能够通过二阶导数的正负确定极值的类型。
应用举例判断函数 f(x)=x3-3x2+4x 的极值点的第三充分条件：1.首先，求导数f’(x)=3x^2-6x+4。
2.求得导数f’(x)=0 的零点，即解方程3x^2-6x+4=0。
求解得x=1±√3/3。
3.然后，求导数的二阶导数f’’(x)=6x-6。
4.将零点x=1±√3/3 代入二阶导数f’‘(x) 中，得到f’’(1±√3/3)=±2√3-6。
5.根据第三充分条件的描述，我们可以得出以下结论：–当f’’(1+√3/3) = 2√3-6 > 0 时，函数 f(x) 在x=1+√3/3 处取得极小值。
–当f’’(1-√3/3) = -2√3-6 < 0 时，函数 f(x) 在x=1-√3/3 处取得极大值。
结论通过判断极值点的第三充分条件，我们可以更准确地确定函数的极值类型。
函数既有极大值又有极小值的条件
函数既有极大值又有极小值的条件函数是数学中的重要概念，描述了一种特定的输入和输出关系。
在数学领域中，函数的极值是研究函数特性的重要内容之一。
一般而言，函数的极值可以分为极大值和极小值两种情况。
然而，并非所有函数都同时具有极大值和极小值，而是需要满足一定的条件才能出现这种情况。
我们来探讨函数既有极大值又有极小值的条件。
要使函数同时具有极大值和极小值，函数必须满足两个条件：一是函数在某一点处取得极大值，二是函数在另一点处取得极小值。
对于一元函数来说，函数在某一点处取得极值的必要条件是函数在该点的导数为零，即导数为零的点可能是函数的极值点。
这是因为导数表示函数的变化率，当导数为零时，函数的斜率为零，表明函数在该点处的变化趋势由增转为减或由减转为增，即可能是极大值或极小值。
然而，仅仅满足导数为零还不足以保证函数具有极值。
我们还需要借助二阶导数的信息来判断函数的极值类型。
二阶导数表示函数的变化率的变化率，即函数的曲率。
当二阶导数大于零时，函数的曲率为正，表明函数在该点处具有极小值；当二阶导数小于零时，函数的曲率为负，表明函数在该点处具有极大值。
因此，对于一元函数来说，函数既有极大值又有极小值的条件是：函数在某一点处的导数为零，且该点的二阶导数既大于零又小于零。
换句话说，函数在该点处既有局部极大值又有局部极小值。
对于多元函数来说，判断函数是否同时具有极大值和极小值的条件稍有不同。
多元函数的极值点需要满足梯度为零的条件，即函数在该点处的偏导数都为零。
类似于一元函数的情况，我们还需要通过二阶偏导数的信息来判断函数的极值类型。
当二阶偏导数的海森矩阵是正定矩阵时，函数在该点处具有极小值；当海森矩阵是负定矩阵时，函数在该点处具有极大值。
因此，对于多元函数来说，函数既有极大值又有极小值的条件是：函数在某一点处的梯度为零，且该点的二阶偏导数的海森矩阵既是正定矩阵又是负定矩阵。
换句话说，函数在该点处既有局部极大值又有局部极小值。
4.5 函数的极值与最值
: x1 , x 2 , x 3 : x4 , x5
极值点或为f ( x )为零的点或为f ( x )不存在的点 .
极值点的必要条件
二.函数极值的求法
定理1(极值点的必要条件)点 x 0 是函数 f ( x )的极值点的
必要条件是：
f ( x 0 ) 0 或者 f ( x 0 ) 不存在
故总利润 L R C 3720 P 40 P 2 77250 令 L 3720 80 P 0 , 得 P 46 . 5
又 L 80 0 , 故当 P 46 . 5 ( 元 )时 , L 有唯一极大值
,
即最大值 . 所以商品单价定为 46 . 5 元时利润最大
(极值的可疑点或临界点) 判定极值点的充分条件
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定理2(极值第一判别法) 设函数 f ( x ) 在点 x 0 的某一空心
邻域内可导，且在点 x 0 连续 .
( 1 )如果在点 x 0的左邻域内有
f ( x ) 0，在点 x 0的右 f ( x ) 0，在点 x 0的右 f ( x ) 恒为正或恒为
f (1 ) 7 .
例4
求下列函数的最大值和最小值：
3
(1 ) y x 3 x ,
x [ 2 , 2 ];
因此最大值是 最小值是
(2) y xe
x
y ( 1) y ( 2 ) 2 , y (1 ) y ( 2 ) 2 .
x [0 , 2 ];
x 2 x 在 x 0 点取得极小值
在 x 1 点取得极大值
y (1 ) 1 .
例2 求出函数 f ( x ) x 3 3 x 2 24 x 20 的极值.
《高等数学》(北大第二版 )6-9极值问题
f y ( x0 , y0 ) 0.
令
根据代数知识， b 2 ac 时，二次三项式 当
ax 2 2bxy cy 2
( x, y不全为零）
1 2 2 2 0, 当a 0时, [( ax by ) (ac b ) y ] a 0, 当a 0时。
证 设( x, y)为( x , y )邻域内的任意一点， x x0 x, 令 0 0
b y ax o x x
y ( xi , yi ) yi
i
解 问题 转化为求二元 函数 u (a, b)的最小值.
u (a, b) (axi b yi )
i 1
n
2
令
u b
u a
称为法方程组
xi b
即
i 1
n
xi a
i 1
n
解此线性方程组 即得 a, b
用归纳法可证方程组的系数行列式
2 xi ,
i 1
n
于是得到最 线性近似公式
补例 某厂要用铁板做一个体积为2 的有盖长方体水 问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?
解 设水箱长,宽分别为 x , y m ,则高为 x2y m ,
则水箱所用材料的面积为
的极值.
B
C
f x x ( x, y ) 6 x 6 , f x y ( x, y ) 0 , f y y ( x, y ) 6 y 6
A
在点(1,0) 处
AC B 12 6 0 , A 0 ,
2
为极小值;
在点(1,2) 处
AC B 2 12 (6) 0 ,
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极值的必要条件
极值的必要条件是要么不可导，如果可导，导数必定等于零。
若函数f(x)在x₀的一个邻域D有定义，且对D中除x₀的所有点，都有f(x)<f(x ₀)，则称f(x₀)是函数f(x)的一个极大值。
同理，若对D的所有点，都有f(x)>f(x₀)，则称f(x₀)是函数f(x)的一个极小值。
极值的概念来自数学应用中的最大最小值问题。
根据极值定律，定义在一个有界闭区域上的每一个连续函数都必定达到它的最大值和最小值，问题在于要确定它在哪些点处达到最大值或最小值；如果极值点不是边界点，就一定是内点，因此，这里的首要任务是求得一个内点成为一个极值点的必要条件。
函数可导的条件：
如果一个函数的定义域为全体实数，即函数在其上都有定义。
函数在定义域中一点可导需要一定的条件：函数在该点的左右导数存在且相等，不能证明这点导数存在，只有左右导数存在且相等，并且在该点连续，才能证明该点可导。
可导的函数一定连续；连续的函数不一定可导，不连续的函数一定不可导。