不等式证明方法总结

不等式证明的若干方法及简单应用

尚永棡

河南理工大学数学与信息科学学院信息与计算科学专业2007级1班

摘 要：本文总结了证明不等式的若干方法及不等式的简单应用，并精选典型的例题来说明了不等式的各个证明方法，以使得论文更加完整.

关键词：不等式；拉格朗日中值定理；泰勒公式；柯西不等式.

§1 引言

不等式在数学的整个学习、研究过程中都是一个非常重要的内容，它涉及了初等数学、高等数学和数学分析的许多方面，在数学中有着不可替代的作用.而不等式的证明则是不等式研究的重要内容，通过国内外专家及学者的长期不懈努力，不等式证明已经取得了丰硕的成果，著名数学家D.S.Mitrinovic 在他的名著《Analytic Inequalities 》的序言中曾引述到:“所有分析学家要花费一半的时间通过文献查找他们想要用而又不能证明的不等式”，由此可见给出一个关于不等式方面的系统的证明方法仍具有很现实的意义.

因此，本文对不等式的一些重要证明方法进行了系统的总结，并精选典型的例题来说明其证明方法，以便使大家对其证明有更好的理解.同时密切联系实际，应用不等式解决实际中的简单问题，以此来更进一步说明不等式的重要性.

§2 证明方法

1、利用拉格朗日中值定理证明不等式 拉格朗日中值定理：设()f x 满足：

（1）在闭区间[],a b 上连续；

（2）在开区间(),a b 内可导，则有一点(),a b ξ∈使得

).()()(ξf a

b a f b f '=--

例1 证明不等式

()11ln(1)ln x>01x x x

x

<+-<

+. (1)

证明：令()ln f t t =，则在[,1]x x +上应用拉格朗日中值定理得到

()ξ

1

ln )1ln(=

-+x x , (2)

这里x ＜ξ＜x +1. 清楚地，

1111x

x ξ

<<+. (3)

则由(2)和(3)我们证得不等式(1)成立. 2、利用函数单调性证明不等式

例2 （证明几何不等式）:设),

,,2,1(,0,0n i x p i i =>>11

=∑

=n

i i p ,则有：

∑

∏

==≤

n

i i i n

i p i

x p x i

1

1

.

式中等号当且仅当n x x x === 21时成立.试证明之. 证明: 记

∏

==

n

i p i

n i

x A 1

, ∑

==

n

i i i n x p B 1

.

考虑函数

x

n i n i i n A x p A x f ???

?

??=∑

=1

)(, 则有

???

?

??=∑

=n i n i i n A x p A f 1

)1(=∑=n

i i i x p 1=n B , n

n i n i i n A A x p A f =???

? ??=∑

=0

1

)0(n n

i i A p =∑

=1

.

要证明几何不等式，就是要证明)1()0(f f ≤.如果能够证明函数()f x 在区间[0,1] 上是单调递增函数，当然就有)1()0(f f ≤.我们注意函数()f x 的一阶导数和二阶导

数：

1

'()ln x

n

i i n i i n n

x x

f x A p A A =??= ???∑，

21

''()ln x

n

i i

n i i n n x x f x A p A A =??= ?

??

∑. ,0>i x ),,,2,1(,0n i p i =>

可知0)(''>x f ，]1,0[∈x ，因此函数)(''x f 在[0,1]上是大于零的，从而函数)('x f 在[0,1]上是单调递增函数.又因为：

1

111

'(0)ln (ln ln )(ln ln )

n

i i

n i i n n

n n i i n i n

n n i i i n i i x x

f A p A A A p x A A p x p A ====??= ???

=-=-∑∑∑∑

???

?

?

?-=∏

∑==n i n

i i n p i

n p A x A i

1

1ln ln

0)ln (ln =-=n n n A A A .

所以函数)('x f 在区间[0,1]上是非负的，这也就是说函数()f x 在区间[0,1]上是单调递增函数，因此有)1()0(f f ≤.即有

∑

∏

==≤

n

i i i n

i p i

x p x i

1

1

.

3、 利用函数的凸性证明不等式

凸函数的判定 设f 为区间I 的二阶可导函数，则在I 上f 为凸函数的充要条件是

()0,.f t x I ''≥∈

例3 （著名的均值不等式）设()1,2,,,i a R i n +∈= 求证：

1212.n

n

n a a a a a a n

+++≤

证明：设()()ln 0,f x x x =>

由()ln f x x =在()0,+∞上为凹函数，则由凹函数性质可知

1212ln ln ln ln

,n

n

a a a a a a n

n

++++++≤

()1

1212ln ln

,n

n n a a a a a a n

+++≤

故原不等式成立.

例4 证明，当y x ≠时，有2

y

x e

+＜

)(2

1y

x e e +.

证明：令t e t f =)(，则t e t f ='')(＞0，于是函数t e t f =)(严格凸函数，

从而对任何y x ,有：

[]1()()()22

x y f f x f y x y +??<+≠ ???，

即

2

1()2

x y

x y

e

e e +<

+.

注：本例可以推广到如下的不等式，即

()121

2

1

n

n

x x x x x x n

e

e e

e

n

+++<

+++ .

4、 利用函数极值和最值证明不等式 例5 设0,0,x y >>证明

,y n

y

x n x y n y +??

??+≥ ? ?+??

??

其中()1,2,3.n =

证明：因为0,0,x y >>所以原不等式等价于

()

()

.y n

y n

y

y

x n y n x

y

++++≥

构造辅助函数

()()

()0y n

y

u n f u u u

++=

>，

对()f u 求一阶导数，得

()()()

()

()

()

1

1

1

1

'

22y n y n

y n y y y y

y

y n u n u yu

u n u n u

n u y f

u u

u

+-++---++-++-=

=

令()'

0,f

u =则有稳定点.u

y =

当0u y <<时，()'

0,f u < 所以()f u 单调递减.

当u y >时，()'

0,f

u > 所以()f u 单调递增.

则()f u 在u y =时取得极小值，也是最小值，即

()()

.y n

y

y n f

y y

++=

所以，对于(),0,,x y ?∈+∞有

()()

()()

.y n

y n

y

y

x n y n f x f

y x

y

++++=

≥=

故原不等式成立. 例6 求证：

()5

3

27,,0.5x y z xyz x y z ++??≤> ?

??

证明：考虑最大值问题

()3

m ax ,,,0,,,0.f

x y z xyz x y z c x y z =

++=>>

运用拉格朗日乘数法，令

()()3

,,,L x y z xyz x y z c λ=+++-

则由

()()()33

2

,,0

,,0

,,30x y z L x y z yz L x y z xz L x y z xyz x y z c

λλλ?=+=?=+=??=+=??

++=? 解得

3,,.5

5

5

c c c x y z *

*

*

=

=

=

当x y z c ++=，00,00x y <→<→时，

3

,0,z c xyz →→

所以

()

5

3

275c x y

z *

*

*

??

= ???

，

是函数的最大值，因此

()

()55

3

3

2727,,0.55c x y z xyz x y

z x y z *

*

*

++????≤==> ? ?

????

即原不等式成立. 5、 利用泰勒公式证明不等式

若()f x 在[,]a b 上有连续n 阶导数，且'(1)

()()()0n f a f a f

a -==== ,

()

()0n f

x >（当(,)x a b ∈时）

，则()

()

()()0!

n n

f

f x x a n ξ=->,（当(,)x a b ∈时）

． 利用此原理，可以证明一些不等式.

例7 设()f x 在[0,1]上具有二阶连续导函数，且(1)(0)f f =，证明：

2

1)('max ]

1,0[≤

∈x f x )(''max ]

1,0[x f x ∈．

证明：由于()f x 在[0,1]上有二阶连续的导函数，因此对任何)1,0(0∈x ，利用(1)f 和(0)

f 在0x 点的二阶泰勒公式可得

,)1(!2)('')1)((')()1(2

01000x f x x f x f f -+-+=ξ)1,(01x ∈ξ，

,!

2)(''))((')()0(2

02000x f x x f x f f ξ+

-+=),0(02x ∈ξ.

由(1)(0)f f =可得

.)1(!

2)(''!

2)('')('2

012

020x f x f x f --

=

ξξ

由于)1,0(0∈x 时，1)1(2

02

0≤-+x x ，因此

'

''22''

000[0,1][0,1]

1

1()m ax ()(1)m ax ().22x x f x f x x x f x ∈∈??≤

+-≤??

上式对一切0(0,1)x ∈成立,由'()f x 在[0,1]上的连续性知对一切0[0,1]x ∈,上式也成立,从而原不等式成立.

例8 ()f x 在区间[],a b 上二阶可导，且''(),(),f x A f x B ≤≤其中,A B 为非负常数， 试证：

()

()'

2,2

A B f

x b a b a

≤

+

--其中(),.x a b ∈

证明：将()f x 在()0,x a b ∈处展开，

()()

''

2

'

0000()()()(),2!

f f x f x f x x x x x ξ=+-+

-

其中ξ介于0x 和x 之间，上式分别取x a =及b ，

()()()''

2

'

1000010()()()(),,,2!f f a f x f x a x a x a x ξξ=+-+

-∈ ()()()''

2

'

2000020()()()(),,,2!

f f b f x f x b x b x x b ξξ=+-+

-∈

以上两式相减，得

()()()22'

''''02010

1

()()()()(),2f b f a f x b a f b x f a x ξξ??-=-+

---?

?

即 ()()()22'

''''02010

()()1

()()(),2f b f a f x f b x f a x b a

b a ξξ-??=

-

---?

?--

故 (

)()()()()()()()

22'

''''02010

2200

11

()()()()()2222,

2f x f b f a f b x f a x b a b a A B

b x a x b a b a A B b a

b a ξξ??

≤

++

-+-?

?--??

≤

+

-+-?

?--≤+

--

即

()

()'

02,2

A B f

x b a b a

≤

+

--

再由0x 的任意性，则原不等式成立. 6、 利用积分中值定理证明不等式

定积分性质：设()f x 与()g x 为定义在],[b a 上的两个可积函数，若

()(),[,]f x g x x a b ≤∈，

则

()()b b a

a

f x dx

g x dx ≤

?

?

.

例9 设()f x 在],[b a 上连续，且单调递增，试证明

()()2

b b a

a

a b xf

x dx f

x dx +≥

?

?

.

证明：（利用构造变上限辅助函数）：设辅助函数

()()()2

t t a

a

a t F t xf

x dx f

x dx +=

-

?

?

.

显然 ()0F a =． 对],[b a t ∈?，

()()()()()()()()1

1

1

[]2

2

2

2

2

t t t a

a

a

a t t a F t tf t f t dx f t f t f

x dx f t f x dx

+-'=-

-

=

-

=

-??? ),(t a x ∈．

因为()f x 单调递增，则()0F t '≥，则()F t 单调递增，所以

()()0,()F b F a b a ≥=≥.

因此

()()2

b b a

a

a b xf

x dx f

x dx +≥

?

?

.

7、 利用均值不等式证明不等式

均值不等式 设12,,,n a a a 都是正数，则

1212,n

n

n a a a a a a n

+++≥

当且仅当12n a a a === 时，等号成立.

例10 (2008，罗马尼亚国家集训队试题)设a b c 、、是正数，且 3.ab bc ca ++=求证：

()

()

()

2

2

2

1111111a

b c b

c a c

a b abc

+

+

≤

++++++.

证明：依题设，由均值不等式可得

()2

333,ab bc ca abc ++=≥

即

1.abc ≤

()

()

()2

2

11

11

1.

3a

b c abc a

b c a ab bc ac a ≤

++++=

++=

同理，

()

2

11,13b

c a b ≤

++

()

2

1

1,13c

a b c

≤++

以上三式相加得

()

()

()

2

2

2

111111111131.

a b c b

c a c

a b a b c abc

+

+

++++++??≤++ ???=

8、 利用柯西不等式证明不等式

柯西不等式 设12,,,;n a a a 12,,,n b b b 是两组实数.则

2

22111n n n i i i i i i i a b a b ===????≤ ? ?????

∑∑∑，

当且仅当()1,2,,i i a kb i n == 时，等号成立.

例11 (2008，乌克兰数学奥林匹克)设,,x y z 是非负数，且2223x y z ++=.证明：

2

2

2

3x y z x y z

x y z

x y z

+

+

≤++++++.

证明：由柯西不等式可得

()()

2

2

2

2

3x y z

x y z ++≥++.

因为2223x y z ++=，所以，

2

2

2

x y z x y z ++≥++.

由柯西不等式可得

()()()2

2

1x

y z y z x y z ++++≥++.

于是，只要证明

1113x y z y z x z x y

x y z

++++++++≤++.

再由柯西不等式可得

()

(

)

()()()()()()()()()()()2

2

2

2

2

3

11122.

x

y z y z x z x y x

x xy zx y

y yz xy z z zx zy

x y z x xy zx y yz xy z zx zy x y z x y z xy yz xz x y z x y z

xy yz xz x y z ++++++++=

+++

+++

++≤++++++++++????=+++++++??????≤+++++++?

?

=++ 可得

1113x y z y z x z x y

x y z

++++++++≤

++.

从而原不等式得证.

9、利用切比雪夫不等式证明不等式

切比雪夫不等式 设12,n a a a ≤≤≤ 12,n b b b ≤≤≤ 则

1

1

1

.n

n

n

i i

i i i i i a b

n a b ===≤∑∑∑

设12,n a a a ≤≤≤ 12,n b b b ≥≥≥ 则

1

1

1

.n

n

n

i i

i i i i i a b

n a b ===≥∑∑∑

例12 (2007,南斯拉夫数学奥林匹克)已知x y z 、、是正数，且1,x y z ++=k 是正整数.证明：

2221

1

1

17

k k k k k

k

k k

k

k k

k

x y z x

y z

y

z x

z

x y

+++++++

+

≥

++++++.

证明：不妨设x y z ≥≥.则.k k k x y z ≥≥

由切比雪夫不等式得

()

()()1

1

1

3.

k k k k

k

k

x

y

z

x y z x y z +++++≥++++

因为x y z ≥≥，所以，

1

1

1

.k k k k k k k k k x

y z x y

z x y z

+++++≤++≤++

事实上，由x y z ≥≥，有

()()()()()1

1

1

,

110,11.

k k k x

y

z

x x y y z x y x x y y ---≥≥---=-≥-≥-

从而,

()()11.k

k

x

x y

y -≥

-

所以，

1

1

.k k

k

k

k k

x

y z x y z ++++≤++

同理，

1

1

k k k k k k x y

z x y z

++++≤++.

故

1111

1

1

.k k k k k

k

k k

k

k k

k

x y z x

y z

y

z x

z

x y

++++++≥

≥

++++++

由切比雪夫不等式可得

()()()()2221

1

1

111

111111

11111111

3131k k k k k

k

k k

k

k k

k

k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k x y z x

y z

y

z x

z

x y

x y z

x y z x

y z y z x z x y x y z

x y z y z x z x y x y z y z x z x y x y +++++++++++++++++++++++

+

++++++??≥++++ ?++++++????=++? ?++++++??

??++++++++???+()

()

()()

()

111

1

11

1

1

1

1

1

1

1

1

11

1

1

1

1

1

1

1

222231.

7

k k k k k

k k k k k k k

k

k

k k k k k k k

k

k

k k k k k k k k k z x y z x

y

z

x

y

z

x y z x

y

z

x

y

z x y z x y z x

y

z

x y

z

x

y

z

+++++++++++++++++++++++++++++≥

+++++++=

+++++++++≥

+++?++=

§3 不等式的简单应用

例1 m 个互不相同的正奇数与n 个互不相同的正偶数总和是1000，求34m n +的最大值. 解：因为

()()()2

13521246211000,m n m n n ++++-+++++=++≤????

所以

2

2

11000.25.2m n ?

?++≤ ??

?

由柯西不等式，得

()2

222

134********

2m n m n m n ?

?+=++

- ??

?

????≤

+++-?? ???????

51000.252156.2,

≤-<

所以

34156.m n +≤

则其最大值为156.

例2 某种商品原来定价每件p 元，每月将卖出n 件，假若定价上涨x 成(这里x 成即10

x ，

010x <≤).每月卖出数量将减少y 成，而售货金额变成原来的z 倍.

(1)设y ax =，其中a 是满足113

a ≤<的常数，用a 来表示当售货金额最大时的x 的

值；

(2)若23

y x =

，求使售货金额比原来有所增加的x 的取值范围.

解：(1)由题意知某商品定价上涨x 成时，上涨后的定价、每月卖出数量、每月售货金额分

别是：110x p ?

?+

???元、110y n ?

?

- ??

?

元、n p z 元，因而 111010x y npz p n ?

??

?=+

- ?

?????

所以

()()11010100

z x y =

+-

在y ax =的条件下，

()()22

512511100100a a z a x a a ?

?

--????=--++???????

?

由于

113

a ≤<，则()51010a a

-<

≤.

要使售货金额最大，即使z 值最大，此时()51a x a

-=.

(2)由

()12

10101100

3z x y ?

?

=

+-

> ??

?

， 解得 05x <<.

致谢：在本论文的写作过程中，我的导师陈超平教授倾注了大量的心血，从选题到开题报告，从写作提纲，到一遍又一遍地指出每稿中的具体问题，严格把关，循循善诱，在此我表示衷心感谢.同时我还要感谢在我学习期间给我极大关心和支持的各位老师以及关心我的同学和朋友.

参考文献

[1] 华东师范大学数学系，数学分析第三版，高等教育出版社，北京，2001. [2] 蔡玉书，几个重要不等式与不等式的证明，中等数学期刊，2009,(5).

[3] 王五生，覃丽君，微积分在不等式证明中的应用，河池学院学报，2010,30(5). [4] 蒙诗德，数学分析中证明不等式的常用方法，赤峰学院学报（自然科学版），

2009,25(9).

[5] 张青山，徐如坤，用函数方法证明并加细几个重要不等式，四川职业技术学院学

报，2010,20(4).

Some methods of proofs of inequalities and simple

appplications

Shang Y onggang

Class 1, Grade 2007, Major of Information and Computation Science,

School of Mathematics and Information Science,

Henan Polytechnic University

Abstract: This article summarizes a number of ways to prove inequality and some simple applications of inequality, and select typical examples to illustrate the proven methods of inequality to make the paper more complete.

Keywords: Inequality ；Lagrange mean value theorem ；Taylor formula ；Cauchy inequality.