华南理工大学高等数学统考试卷上2005期中
2005年高考数学试题及答案全国卷2
2005年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国卷Ⅱ）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3到10页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上。
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球是表面积公式)()()(B P A P B A P +=+ 24R S π=如果事件A 、相互独立，那么 其中R 表示球的半径)()()(B P A P B A P ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么334R V π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径一 选择题（1）函数f (x) = | sin x +cos x |的最小正周期是 (A).4π (B)2π（C ）π （D ）2π (2) 正方体ABCD —A 1 B 1 C 1 D 1中，P 、Q 、R 、分别是AB 、AD 、B 1 C 1的中点。
那么正方体的过P 、Q 、R 的截面图形是（A ）三角形 （B ）四边形 （C ）五边形 （D ）六边形 （3）函数Y=32x -1（X≤0）的反函数是（A ）Y=3)1(+x （X≥-1） (B)Y= -3)1(+x （X≥-1） (C) Y=3)1(+x (X≥0) (D)Y= -3)1(+x (X≥0) (4)已知函数Y=tan x ω 在（-2π，2π）内是减函数，则 （A ）0 < ω ≤ 1 （B ）-1 ≤ ω < 0 （C ）ω≥ 1 （D ）ω≤ -1（5）设a 、b 、c 、d ∈R,若dic bia ++为实数，则 （A ）bc+ad ≠ 0 (B)bc-ad ≠ 0 (C) bc-ad = 0 (D)bc+ad = 0(6)已知双曲线 62x - 32y = 1的焦点为F 1、、F 2，点M 在双曲线上且MF 1 ⊥ x 轴，则F 1到直线F 2 M 的距离为 （A ）563 （B ）665 （C ）56 （D ）65（7）锐角三角形的内角A 、B 满足tan A -A2sin 1= tan B,则有（A ）sin 2A –cos B = 0 (B)sin 2A + cos B = 0 (C)sin 2A – sin B = 0 (D) sin 2A+ sin B = 0(8)已知点A （3,1）,B(0,0),C （3，0）.设∠BAC 的平分线AE 与BC 相交于E ，那么有λ=BC CE ，其中 λ 等于（A ）2 （B ）21 （C ）-3 （D ） - 31（9）已知集合M={x∣2x -3x -28 ≤0},N = {x|2x -x-6>0}，则M∩N 为（A ）{x|- 4≤x< -2或3<x≤7} （B ）{x|- 4<x≤ -2或 3≤x<7 }（C ）{x|x≤ - 2或 x> 3 } （D ）{x|x<- 2或x≥3} （10）点P 在平面上作匀数直线运动，速度向量v =（4，- 3）（即点P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为|v |个单位）.设开始时点P 的坐标为（- 10，10），则5秒后点P 的坐标为 （A ）（- 2，4） （B ）（- 30，25） （C ）（10，- 5） （D ）（5，- 10） （11）如果21,a a … ,8a 为各项都大于零的等差数列，公差d≠0,则（A>81,a a >54,a a (B) 81,a a < 54,a a (C> 5481a a a a +>+ (D) 81,a a = 54,a a(12)将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为 （A ）3623+ （B ）2+362 （C ）4+362 （D ）36234+第Ⅱ卷注意事项：1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上。
2005年高考数学-全国卷（3）（理）
2005年⾼考数学-全国卷（3）（理）2005年普通⾼等学校招⽣全国统⼀考试（全国卷Ⅲ）理科数学（必修+选修II ）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（⾮选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟.第I 卷参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）如果事件A 、B 相互独⽴，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在⼀次试验中发⽣的概率是P ，那么 n 次独⽴重复试验中恰好发⽣k 次的概率P n (k)=C k n P k (1－P)n －k⼀、选择题：（1）已知α为第三象限⾓，则2α所在的象限是（A ）第⼀或第⼆象限（B ）第⼆或第三象限（C ）第⼀或第三象限（D ）第⼆或第四象限（2）已知过点A(-2，m)和B(m ，4)的直线与直线2x+y-1=0平⾏，则m 的值为（A ）0 （B ）-8 （C ）2 （D ）10 （3）在8(1)(1)x x -+的展开式中5x的系数是（A ）-14 （B ）14 （C ）-28 （D ）28(4)设三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积为V ，P 、Q 分别是侧棱AA 1、CC 1上的点，且PA=QC 1，则四棱锥B-APQC 的体积为（A ）16V （B ）14V （C ）13V （D ）12V（5）___________)3411- (D) 61(6)若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===,则 (A)a(7)设02x π≤≤,sin cos x x =-,则球的表⾯积公式S=42R π其中R 表⽰球的半径，球的体积公式V=334R π，其中R 表⽰球的半径(A) 0x π≤≤ (B)744x ππ≤≤(C) 544x ππ≤≤ (D) 322x ππ≤≤(8)22sin 21cos 2cos 2cos αααα=+ (A) tan α (B) tan 2α (C) 1 (D)12（9）已知双曲线2212y x-=的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且120,MF MF ?=则点M到x 轴的距离为43 （B ）53 （C（D（10）设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直⾓三⾓形，则椭圆的离⼼率是（A）2 （B）12（C）2- （D1 （11）不共⾯的四个定点到平⾯α的距离都相等，这样的平⾯α共有（A ）3个（B ）4个（C ）6个（D ）7个（12）计算机中常⽤⼗六进制是逢16进1的计数制，采⽤数字0～9和字母A ～F 共16个例如，⽤⼗六进制表⽰：E+D=1B ，则A ×B=（A ）6E （B ）72 （C ）5F （D ）B0第Ⅱ卷⼆．填空题（16分）（13）已知复数i Z 230+=,复数Z 满⾜Z=3Z+0Z ,则复数Z=_________________（14）已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-，且A 、B 、C 三点共线，则k=（15）⾼l 为平⾯上过(0,1)的直线, l 的斜率等可能地取22,3,25,0,25,3,22---,⽤ξ表⽰坐标原点到l 的距离,由随机变量ξ的数学期望E ξ=___________（16）已知在△ABC 中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，P 是AB 上的点，则点P 到AC 、BC 的距离乘积的最⼤值是三.解答题：(17) (本⼩题满分12分)设甲、⼄、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响。
全国2005年1月高等教育自学考试高等数学(工专)试题 课程代码00022
浙00022# 高等数学（工专）试题 第 1 页（共 5 页）全国2005年1月高等教育自学考试高等数学（工专）试题课程代码：00022一、单项选择题（本大题共30小题，1—20每小题1分，21—30每小题2分，共40分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
（一）（每小题1分，共20分） 1.函数f(x)=2x1x 1--的定义域是（ ） A.)1,1(-B.(]1,1-C.[)(]1,0,0,1-D.)1,0(),0,1(-2.函数f(x)=cos 2x 的周期是（ ） A.2π B.π C.2πD.4π3.函数f(x)=xsinx+2x 2是（ ） A.偶函数 B.奇函数 C.非奇非偶函数 D.有界函数4.=∞→x1sinx lim x （ ）A.0B.1C.∞D.不存在 5.曲线y=sinx 在原点(0,0)的切线方程为（ ） A.y=0 B.y=-x C.y=xD.x=06.设y=f(e 2x),则y '=（ ） A.)e (f x 2' B.x 2x 2e )e (f ' C.)e (f 2x 2'D.x 2x 2e )e (f 2'7.设=⎩⎨⎧==π=4t dxdy ,t2cos y t sin x 则（ ）A.22-B.2-C.2D.22浙00022# 高等数学（工专）试题 第 2 页（共 5 页）8.函数y=e x -x-1单调增加的区间是（ ） A.[)+∞-,1 B.()+∞∞-, C.(]0,∞-D.[)+∞,09.曲线y=lnx （ ） A.有1个拐点B.有两条渐近线C.无拐点D.无渐近线 10.曲线y=e 2(x+1)（ ）A.只有水平渐近线，它是y=0B.无渐近线C.有垂直渐近线D.有水平渐近线，它是x=-111.⎰=+dx x1x 2（ ）A.C x 12++-B.C x 12++C.ln(1+x 2)+CD.C )x 1(232++12.设函数f(x)在区间I 连续,那么f(x)在区间I 的原函数（ ） A.不一定存在 B.有有限个存在 C.有唯一的一个存在 D.有无穷多个存在 13.下列广义积分中发散的是（ ） A.dx ex-+∞⎰B.dx x 1120+⎰+∞C.dxx11⎰+∞D.dxx11⎰14.平面2x+3y-z+2=0与xoy 坐标平面的交线是（ ） A.2x+3y+2=0B.⎩⎨⎧==++0z 02y 3x 2 C.⎩⎨⎧==+-0x 02z y 3 D.⎩⎨⎧==+-0y 02z x 2 15.设f(x,y)=x+y 22yx+-,则=')4,3(f x（ ） A.52B.51C.52-D.53-浙00022# 高等数学（工专）试题 第 3 页（共 5 页）16.设f(x,y)=xarctgy,则f(x 2+y 2,xy)=（ ） A.xyarctg(x 2+y 2)B.(x 2+y 2)arctgxyC.x 2arctgy 2D.xyarctgxy17.设函数f(x,y)在区域(σ)连续,则下面四个不等式中正确的是（ ） A.⎰⎰⎰⎰σσσ≥σ)()(d |)y ,x (f |d )y ,x (fB.⎰⎰⎰⎰σσσ≥σ)()(d |)y ,x (f |d )y ,x (fC.⎰⎰⎰⎰σσσ≤σ)()(d |)y ,x (f |d )y ,x (fD.⎰⎰⎰⎰σσσ>σ)()(d |)y ,x (f |d )y ,x (f18.下列方程所表示的曲面中是圆锥面的为（ ） A.x 2+y 2-z 2=0 B.x 2+y 2-z=0 C.x 2+y 2+4z 2=1D.x 2+y 2-z 2=119.微分方程是4422yxy x dxdy +=（ ）A.非齐次方程B.一阶非齐次方程C.一阶线性方程D.齐次方程20.级数∑∞=+0n n2|)x |1(1的收敛区间为（ ） A.),0(),0,(+∞-∞ B.(-1,1 ) C.)0,(-∞D.),0(+∞(二)(每小题2分,共20分)21.设f(x)=⎩⎨⎧≤<-≤≤2x 1,x 21x 0,x 2 ,则f(x)（ ）A.在x=1间断B.在区间[0,2]上连续C.在区间[0,2]上间断D.在区间[0,2]上无界22.设C 为任意常数,则=-xdx arcsin x122（ ）A.d(arcsinx)B.)C x 1(d 2+-C.)x 1(d 2-D.d[(arcsinx)2+C]23.设y=a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4,则y (4)=（ ） A.4!B.24a 4C.a 4D.0浙00022# 高等数学（工专）试题 第 4 页（共 5 页）24.=+∞→2x xx ln lim （ ）A.1B.2C.0D.∞25.⎰=dx e 2x x （ ） A.C2ln 1e2xx++ B.2x e x+C C.2ln 1e2xx +D.2x e x26.=⎰→xdt t cos limx2x （ ）A.∞B.-1C.0D.127.若直线n3z 32y 21x 4k z 22y 11x -=-=--=-=-与直线垂直相交,则其中的常数k 和n 分别是（ ） A.k=3,n=-2 B.k=3,n=2 C.k=2,n=-3D.k=2,n=328.累次积分⎰⎰10xx2dydx )y ,x (f 交换积分顺序后是（ ）A.⎰⎰10yydx dy)y ,x (f B.⎰⎰10yy2d x d y)y ,x (f C.⎰⎰1yydx dy )y ,x (fD.⎰⎰10yy2dxdy)y ,x (f29.微分方程0y 3y 2y =+'+''的通解为（ ） A.)x 2si nC x 2c o sC (e y 21x +=-B.)x si n C x c o s C (e y 21x +=-C.)x 2sin C x 2cos C (e y 21x +=D.)x 2cosC x 2sinC (e y 21x 2+=30.幂级数∑∞=1n n!n x n 2的收敛半径为（ ）A.R=1B.R=2C.R=+∞D.R=0二、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分） 31.求).x13x11(lim 31x ---→浙00022# 高等数学（工专）试题 第 5 页（共 5 页）32.设f(x)=⎩⎨⎧≥<0x ,x 0x ,x sin ,求).0(f '33.求.dx )x 1(x 13⎰+34.计算.dx xex2ln 0-⎰35.判定级数∑∞=1n 5nn 2cos 的敛散性.36.设z=usinv,u=xy,v=x 2+y 2,求.yz xz ∂∂∂∂和37.求微分方程(x 2+y 2)dx-xydy=0的通解.三、应用和证明题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）38.求函数f(x,y)=4(x-y)-x 2-y 2的极值.39.求曲面z=x 2+y 2与平面z=1所围的空间立体的体积V . 40.证明:当x>1时,e x>e ·x.。
2005年全国Ⅱ高考试题(文)
2005年普通高等数学招生全国统一考试（全国Ⅱ）文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么球是表面积公式)()()(B P A P B A P +=+ 24R S π=如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径)()()(B P A P B A P ⋅=⋅球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么334R V π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率：其中R 表示球的半径()(1)k k n kn n P k C P P -=- 第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知α为第三象限角，则2α所在的象限是A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限2．已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线210x y +-=平行，则m 的值为A ．0B ．－8C ．2D ．103．在8(1)(1)x x -+的展开式中5x 的系数是A ．－14B ．14C ．－28D ．284．设三棱柱111ABC A B C -的体积为V ，P 、Q 分别是侧棱1AA 、1CC 上的点，且1PA QC =，则四棱锥B APQC -的体积为A ．16VB ．14VC ．13VD ．12V5．设137x=，则A ．21x -<<-B ．32x -<<-C ．10x -<<D ．01x <<6．若ln 22a =，ln 33b =，ln 55c =，则A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c <<7．设02x π≤≤sin cos x x =-，则A ．0x π≤≤B ．744x ππ≤≤C ．544x ππ≤≤D ．322x ππ≤≤ 8．22sin 2cos 1cos 2cos 2αααα⋅+＝A ．tan αB ．tan 2αC ．1D ．129．已知双曲线2212y x -=的焦点为1F 、2F ，点M 在双曲线上且120MF MF ⋅= ，则点M 到x 轴的距离为A ．43B ．53C ．3D 10．设椭圆的两个焦点分别为1F 、2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△12F PF 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是A ．2B ．12C ．2D 111．不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面共有A ．3个B ．4个C ．6个D ．7个12．计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A ～F 共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：例如，用十六进制表示：1E D B +=，则A B ⨯＝ A ．6EB ．72C ．5FD ．0B第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．13．经问卷调查，某班学生对摄影分别执“喜欢”、“不喜欢”和“一般”三种态度，其中执“一般”态度的比“不喜欢”态度的多12人，按分层抽样方法从全班选出部分学生座谈摄影，如果选出的5位“喜欢”摄影的同学、1位“不喜欢”摄影的同学和3位执“一般”大度的同学，那么全班学生中“喜欢”摄影的比全班人数的一半还多 人．14．已知向量(,12)OA k = ，(4,5)OB = ，(,10)OC k =-，且A 、B 、C 三点共线，则k ＝15．曲线32y x x =-在点(1,1)处的切线方程为 ．16．已知在△ABC 中，90ACB ∠=，3BC =，4AC =，P 是AB 上的点，则点P 到AC 、BC 的距离乘积的最大值是 ．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知函数2()2sin sin 2f x x x =+，[0,2]x π∈．求使()f x 为正值的x的集合． 18．（本小题满分12分）设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响．已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125．（1）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少； （2）计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率．V D A BC19．（本小题满分12分）在四棱锥V ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD ． （1）证明AB ⊥平面VAD ；（2）求面VAD 与面VDB 所成的二面角的大小．20．（本小题满分12分）在等差数列{}n a 中，公差0d ≠，2a 是1a 与4a 的等比中项，已知数列1a ，3a ，1k a ，2k a ，……，n k a ，……成等比数列，求数列{}n k 的通项n k ．21．（本小题满分12分）用长为90cm ，宽为48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成（如图），问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？22．（本小题满分14分）设()11A x y ，，()22B x y ，两点在抛物线22y x =上，l 是AB 的垂直平分线．（1）当且仅当12x x +取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论； （2）当11x =，23x =-时，求直线l 的方程．数学试题参考答案一、选择题，本题考查基础知识，基本概念和基本运算能力二、填空题．本题考查基础知识,基本概念和基本运算技巧 13． 14． 15． 16． 三、解答题 17．2005年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修+选修Ⅰ）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟.第I 卷参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P(A)+P(B) 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P(A)·P(B)如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C k n P k (1－P)n －k一、选择题：每小题5分，共60分. 1．已知α为第三象限角，则2α所在的象限是 （ ）A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限解：α第三象限，即3222k k k Z πππαπ+<<+∈,∴3224k k k Z παπππ+<<+∈,可知2α在第二象限或第四象限,选D 2．已知过点A(－2，m)和B(m ，4)的直线与直线2x+y-1=0平行，则m 的值为（ ）A ．0B ．－8C ．2D ．10解：直线2x+y-1=0的一个方向向量为a =(1,-2),(2,4)AB m m =+- ,由AB a即(m+2)×(-2)-1×(4-m)=0,m=-8,选B球的表面积公式S=42R π其中R 表示球的半径， 球的体积公式V=334R π， 其中R 表示球的半径3．在8)1)(1(+-x x 的展开式中5x 的系数是 （ ）A ．－14B ．14C ．－28D ．28解：(x+1)8展开式中x 4,x 5的系数分别为48C ,58C ,∴(x-1)(x+1)8展开式中x 5的系数为 458814C C -=,选B4．设三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积为V ，P 、Q 分别是侧棱AA 1、CC 1上的点，且PA=QC 1，则四棱锥B-APQC 的体积为 （ ）A ．16VB ．14VC ．13VD ．12V解：如图，1111111113A ABCB A BC B AC Q ABC A B C V V V V ----===111B PCQA B CQA B PCA V V V ---=+,∵AF=QC 1,∴APQC 1,APQC 都是平行四边形, ∴111B PCQA B CQA B PCA V V V ---=+=12(11B CQA B PCA V V --+) =1111223ABC A B C V -⋅=11113ABC A B C V -,选C 5．设713=x，则（ ）A ．－2<x<－1B ．－3<x<－2C ．－1<x<0D ．0<x<1解：211337--<< ,21x -<<-,选A 6．若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===，则（ ）A ．a <b<cB ．c<b<aC ．c<a <bD ．b<a <c解：由题意得a=ln,b=ln ,c=ln ∵62353153525105(5)(2)2(2)(3)3=<==<=,∴c<a<b,选C7．设02x π≤≤,sin cos x x =-,则 （ ）A ．0x π≤≤B ．744x ππ≤≤C ．544x ππ≤≤ D ．322x ππ≤≤sin cos x x -得|sinx-cosx|=sinx-cosx,又02x π≤<, ∴544x ππ≤≤,选C8．αααα2cos cos 2cos 12sin 22⋅+ =（ ）A ．tan αB ．tan 2αC ．1D ．12解：22sin 2cos 1cos 2cos 2αααα⋅=+222sin 2cos tan 22cos cos 2ααααα⋅=,选B 9．已知双曲线1222=-y x 的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且120,MF MF ⋅= 则点M 到 x 轴的距离为 （ ）A ．43 B ．53C D 解：由120MF MF ⋅= ,得MF 1⊥MF 2,不妨设M(x,y)上在双曲线右支上，且在x 轴上方,则有(ex-a)2+(ex+a)2=4c 2，即(ex)2+a 2=2c 2,∵得x 2=53,y 2=23,由此可知M 点到x选C 10．设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 （ ）A B C ．2 D 1解：由题意可得22b c a=,∵b 2=a 2-c 2e=c a ,得e 2+2e-1=0,∵e>1,解得1,选D 11．不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有 （ ）A ．3个B ．4个C ．6个D ．7解：共有7个，它们是由四个定点组成的四面体的三对异面直线间的公垂线的三个中垂面；四面体的四条高的四个中垂面，选D12．计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A ～F 共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：例如，用十六进制表示：E+D=1B ，则A ×B= （ ） A ．6E B ．72 C ．5F D ．B0解：∵A=10,B=11,又A ×B=10×11=110=16×6+14,∴在16进制中A ×B=6E,∴选A第Ⅱ卷二．填空题：每小题4分，共（16分）13．经问卷调查，某班学生对摄影分别执“喜欢”、“不喜欢”和“一般”三种态度，其中执“一般”态度的比“不喜欢”态度的多12人，按分层抽样方法从全班选出部分学生座 谈摄影，如果选出的5位“喜欢”摄影的同学、1位“不喜欢”摄影的同学和3位执“一 般”态度的同学，那么全班学生中“喜欢”摄影的比全班人数的一半还多 人.解：设执“不喜欢”的学生为x 人，则执“一般”的学生为(x+12)人，由题意得1123x x =+,x=6,∴执“喜欢”的学生有30人,全班共有人数为12+6+6+30=54(人),∴全班学生中“喜欢”摄影的比全班人数的一半还多3人．14．已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-，且A 、B 、C 三点共线，则k= . 解：(4,7),(2,2)AB k AC k =--=-- ,由题意得(4-k)(-2)-2k ×7=0,解得k=23-15．曲线32x x y -=在点（1，1）处的切线方程为 .解：2123,|1x y x y =''=-=-,∴曲线32x x y -=在点（1，1）处的切线方程为y-1= -(x-1),即y+x-2=0 16．已知在△ABC 中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，P 是AB 上的点，则点P 到AC 、BC的距离乘积的最大值是解：P 到BC 的距离为d 1,P 到AC 的距离为d 2,则三角形的面积得3d 1+4d 2=12,∴3d 1⋅4d 2≤2212()6362==,∴d 1d 2的最大值为3,这时3d 1+4d 2=12, 3d 1=4d 2得d 1=2,d 2=32三.解答题：共74分. 17．(本小题满分12分)已知函数].2,0[,2sin sin 2)(2π∈+=x x x x f 求使()f x 为正值的x 的集合.18．(本小题满分12分)设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响．已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125，（Ⅰ）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少；（Ⅱ）计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率.19．(本小题满分12分)在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明AB⊥平面VAD；（Ⅱ）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小．20．(本小题满分12分)在等差数列}{n a 中，公差412,0a a a d 与是 的等差中项.已知数列 ,,,,,,2131n k k k a a a a a 成等比数列，求数列}{n k 的通项.n k21．(本小题满分12分)用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?……22． (本小题满分14分)设),(),,(2211y x B y x A 两点在抛物线22x y =上，l 是AB 的垂直平分线， （Ⅰ）当且仅当21x x +取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论； （Ⅱ）当3,121-==x x 时，求直线l 的方程.2005年普通高等学校招生全国统一考试（四川）数学（文）参考答案一、DBBCA ，CCBCD ，DA 二、13、3，14、23-，15、x+y-2=0，16、12 三、解答题：17．解：∵()1cos 2sin 2f x x x =-+……………2分 1s i n (2)4xπ=-………4分()01)04f x x π∴>⇔+->sin(2)4x π⇔->…………………………………………6分 5222444k x k πππππ⇔-+<-<+……………………………8分 34k x k πππ⇔<<+………………………………………………10分 又[0,2].x π∈ ∴37(0,)(,)44x πππ∈⋃………………………12分 18．解：（Ⅰ）记甲、乙、丙三台机器在一小时需要照顾分别为事件A 、B 、C ，……1分则A 、B 、C 相互独立，由题意得： P （AB ）=P(A)·P(B)=0.05 P （AC ）=P(A)·P(C)=0.1P （BC ）=P(B)·P(C)=0.125…………………………………………………………4分 解得：P(A)=0.2；P(B)=0.25；P(C)=0.5所以, 甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是0.2、0.25、0.5……6分（Ⅱ）∵A 、B 、C 相互独立，∴AB C 、、相互独立，……………………………………7分∴甲、乙、丙每台机器在这个小时内需都不需要照顾的概率为()()()()0.80.750.5P A B C P A P B P C ⋅⋅==⨯⨯=…………………………10分∴这个小时内至少有一台需要照顾的概率为1()10.30.7p P A B C =-⋅⋅=-=……12分19．证明：（Ⅰ）作AD 的中点O ，则VO ⊥底面ABCD ．…………………………1分建立如图空间直角坐标系，并设正方形边长为1，…………………………2分则A （12，0，0），B （12，1，0），C （-12，1，0），D （-12，0，0），V （0，0，2）， ∴1(0,1,0),(1,0,0),(,0,)22AB AD AV ===- ………………………………3分由(0,1,0)(1,0,0)0AB AD AB AD ⋅=⋅=⇒⊥……………………………………4分1(0,1,0)(,0,)022AB AV AB AV ⋅=⋅-=⇒⊥ ……………………………………5分又AB ∩A V=A ∴AB ⊥平面VAD …………………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得(0,1,0)AB =是面VAD 的法向量………………………………7分设(1,,)n y z =是面VDB 的法向量，则110(1,,)(,1,0(1,20(1,,)(1,1,0)03x n VB y z n z n BD y z =-⎧⎧⎧⋅=⋅-=⎪⎪⎪⇒⇒⇒=-⎨⎨⎨=⋅=⎪⎪⎪⎩⋅--=⎩⎩……9分 ∴(0,1,0)(1,cos ,7AB n ⋅-<>==-11分又由题意知，面VAD 与面VDB 所成的二面角，所以其大小为arccos7…………12分 20．解：由题意得：4122a a a =……………1分 即)3()(1121d a a d a +=+…………3分又0,d ≠d a =∴1…………4分 又 ,,,,,,2131n k k k a a a a a 成等比数列,∴该数列的公比为3313===dd a a q ，………6分 所以113+⋅=n k a a n ………8分 又11)1(a k d k a a n n k n =-+=……………………………………10分13+=∴n n k 所以数列}{n k 的通项为13+=n n k ……………………………12分21．解：设容器的高为x ，容器的体积为V ，……………………………………………1分则V=（90－2x ）（48－2x ）x,(0<V<24)………………………………………………5分 =4x 3－276x 2+4320x ∵V ′=12 x 2－552x+4320………………………………7分 由V ′=12 x 2－552x+4320=0得x 1=10，x 2=36∵x<10 时，V ′>0, 10<x<36时，V ′<0, x>36时，V ′>0,所以,当x=10,V 有极大值V(10)=1960………………………………………10分 又V(0)=0,V(24)=0,………………………………………………………………11分 所以当x=10,V 有最大值V(10)=1960……………………………………………12分22．解：（Ⅰ）∵抛物线22x y =，即41,22=∴=p y x ， ∴焦点为1(0,)8F ………………………………………………………1分（1）直线l 的斜率不存在时，显然有021=+x x ………………………………3分 （2）直线l 的斜率存在时，设为k ，截距为b即直线l ：y=kx+b 由已知得：12121212221k b k y y x x y y x x ⎧++⎪=⋅+⎪⎨-⎪=-⎪-⎩……………5分 2212122212122212222k b k x x x x x x ⎧++=⋅+⎪⎪⇒⎨-⎪=-⎪-⎩ 22121212212k b k x x x x x x +⎧+=⋅+⎪⎪⇒⎨⎪+=-⎪⎩……………7分 2212104b x x ⇒+=-+≥14b ⇒≥ 即l 的斜率存在时，不可能经过焦点1(0,)8F ……………………………………8分 所以当且仅当12x x+=0时，直线l 经过抛物线的焦点F …………………………9分（Ⅱ）当121,3x x==-时，直线l 的斜率显然存在，设为l ：y=kx+b ………………………………10分 则由（Ⅰ）得：22121212212k b k x x x x x x +⎧+=⋅+⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩12102122k b k x x +⎧⋅+=⎪⎪⇒⎨⎪-=-⎪⎩………………………11分 14414k b ⎧=⎪⎪⇒⎨⎪=⎪⎩…………………………………………13分 所以直线l 的方程为14144y x =+，即4410x y -+=………………14分。
2005年普通高等学校招生全国统一考试数学及详细解析(全国卷Ⅰ.理)
2005年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（全国卷Ⅰ）河南河北山西安徽第Ⅰ卷参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式)()()(B P A P B A P +=+ 2π4R S =如果事件A 、相互独立，那么 其中R 表示球的半径)()()(B P A P B A P ⋅=⋅ 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么3π34R V =n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径kn k n P P k P --=)1(C )(k n 一．选择题 （1）复数=--i21i 23（ ）（A ）i（B ）i -（C ）i 22-（D ）i 22+-【解析】∵i i21i i)21(i21i 2i21i 23=--=-+=--，故选A ．【点拨】对于复数运算应先观察其特点再计算，会简化运算．（2）设I 为全集，321S S S 、、是I 的三个非空子集，且I S S S =321 ，则下面论断正确的是（ ）（A ）123I S S S =∅（） （B ）12I I S S ⊆（（C）123I IIS S S =∅（D ）12I IS S ⊆（【解析】∵2323()I II S S S S =所表示的部分是图中蓝色的部分，1I S 所表示的部分是图中除去1S 的部分，∴123123(I III I IS S S S S S ==∅），故选C ．【点拨】利用韦恩图求解．（3）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π）（A ）π28 （B ）π8 （C ）π24（D ）π4【解析】∵截面圆面积为π，∴截面圆半径1=r ，∴球的半径为2221=+=r OO R ，∴球的表面积为π8，故选Ｂ． 【点拨】找相关的直角三角形．（4）已知直线l 过点)02(，-，当直线l 与圆x y x 222=+有两个交点时，其斜率k 的取值范围是（ ）（A ）），（2222-（B ）），（22-（C ）），（4242- （D ）），（8181-将x y x 222=+化为1)1(22=+-y x ， ∴该圆的圆心为)0,1(，半径1=r ，设直线的方程为)2(+=x k y ，即02=+-k y kx ，设直线l 到圆心的距离为d ，则 ∵直线l 与圆x y x 222=+有两个交点，∴r d ≤， ∴11|2|2≤++=k k k d ，∴4242≤≤-k ．故选C ． 【点拨】利用圆心到直线的距离解直线与圆的位置关系．（5）如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且BCF ADE ∆∆、均为正三角形，EF ∥AB ，EF =2，则该多面体的体积为（ ） （A ）32（B ）33 （C ）34（D ）23【解析】过A 、B 两点分别作AM 、BN 垂直于EF ，垂足分别为M 、N ，连结DM 、CN ，可证得DM ⊥EF 、CN ⊥EF ，多面体ABCDEF 分为三部分，多面体的体积V 为+=-BNC AMD ABCDEF V VBNC F AMD E V V --+，∵21=NF ，1=BF ，∴23=BN ，作NH 垂直于点H ，则H 为BC的中点，则22=NH ，∴4221=⋅⋅=∆NH BC S BNC ，∴24231=⋅⋅=∆-NF S V BNC BNC F ，242==--BNC F AMD E V V ，42=⋅=∆-MN S V BNC BNC AMD ，∴32=ABCDEF V ，故选A ．【点拨】将不规则的多面体分割或补全为规则的几何体进行计算．（6）已知双曲线)0( 1222>=-a y ax 的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，则该双曲线的离心率为（ ）（A ）23 （B ）23 （C ）26 （D ）332 【解析】由)0( 1222>=-a y ax 得1=b ，∴221c a =+，抛物线x y 62-=的准线为23=x ，因为双曲线)0( 1222>=-a y ax 的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，所以232=c a ，解得2=c ，所以3=a ，所以离心率为33232===a c e ，故选D ． 【点拨】熟悉圆锥曲线各准线方程．（7）当2π0<<x 时，函数x x x x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为（ ）（A ）2 （B ）32 （C ）4 （D ）34【解析】x xx x x x x x x x x x f cos sin 4sin cos cos sin 2sin 8cos 22sin sin 82cos 1)(222+=+=++= 4cos sin 4sin cos 2=⋅≥x x x x ，当且仅当x x x x cos sin 4sin cos =，即21tan =x 时，取“=”，∵2π0<<x ，∴存在x 使21tan =x ，这时4)(max =x f ，故选．【点拨】熟练运用三角函数公式进行化简运算．E FA BCDM N H（8）设0>b ，二次函数122-++=a bx ax y 的图像为下列之一则a（A ）1（B ）1-（C ）251-- （D）251+- 【解析】∵0>b ，∴图像不能以轴为对称轴，∴一、二两个图不符；第四个图可知，0>a ，故其对称轴为02<-=abx ，所以也不符合；只有第三个图可以，由图象过原点，得012=-a ，开口向下，所以1-=a ，故选B ．【点拨】熟悉二次函数图象的特点，分析对称轴、与轴的交点等形与数的关系．（9）设10<<a ，函数)22(log )(2--=x x a a a x f ，则使0)(<x f 的x 的取值范围是（ ）（A ）)0,(-∞（B ）),0(∞+（C ）)3log ,(a -∞（D ）),3(log ∞+a【解析】∵10<<a ，0)(<x f ，∴1222>--x x a a ，解得 3>x a 或1-<x a （舍去）， ∴3log a a <，故选C ． 【点拨】熟悉对数的性质． （10）在坐标平面上，不等式组⎩⎨⎧+-≤-≥1||31x y x y 所表示的平面区域的面积为（ ）（A ）2（B ）23（C ）223 （D ）2 【解析】原不等式化为⎩⎨⎧≥+-≤-≥)0(,131x x y x y 或⎩⎨⎧<+≤-≥)0(,131x x y x y ，所表示的平面区域如右图所示，)2,1(--A ，)21,21(-B ， ∴23=S 【点拨】分类讨论，通过画出区域，计算面积． （11）在ABC ∆中，已知C BA sin 2tan=+，给出以下四个论断： ①1cot tan =⋅B A ②2sin sin 0≤+<B A ③1cos sin 22=+B A ④C B A 222sin cos cos =+其中正确的是（ ） （A ）①③ （B ）②④（C ）①④（D ）②③【解析】∵2sin2cos2cot 2πtan 2tan C CC C B A ==-=+，2cos 2sin 2sin C C C =， ∴222sin =C ，∴︒=90C ，∵A B A 2tan cot tan =⋅，∴①不一定成立，∵=+=+A A B A cos sin sin sin )sin(2θ+A ，∴2sin sin 0≤+<B A ，∴②成立，∵A A A B A 22222sin 2sin sin cos sin =+=+，∴③不一定成立，∵C A A B A 22222sin 1sin cos cos cos ==+=+，∴④成立，故选B ．【点拨】考查三角公式的灵活运用．（12）过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（ ）（A ）18对 （B ）24对 （C ）30对 （D ）36对 【解析】解法一：（直接法）①与上底面的11B A 、11C A 、11C B 成异面直线的有15对；②与下底面的AB 、AC 、BC 成异面直线的有9对（除去与上底面的）； ③与侧棱1AA 、1BB 、1CC 成异面直线的有6对（除去与上下底面的）；④侧面对角线之间成异面直线的有6对； 所以异面直线总共有36对． 解法二：（间接法）①共一顶点的共面直线有60C 625=对； ②侧面互相平行的直线有6对； ③侧面的对角线有3对共面；所以异面直线总共有363660C 215=---对． 【点拨】解排列组合题的关键是分好类．第Ⅱ卷二．本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．（13）若正整数m 满足m m 102105121<<-，则m = 155 ．)3010.02(lg ≈ 【解析】∵m m 102105121<<-，∴m m 10lg 2lg 10lg 5121<<-，即m m <<-2lg 5121，∴m m <<-112.1541，即 112.155112.154<<m ，∴155=m ．【点拨】把指数形式化成对数形式．（14）9)12(xx -的展开式中，常数项为 672 ．（用数字作答） 【解析】9)12(xx -的通项公式为23999992C )1()1()2(C rrr r r rrx xx ---⋅⋅⋅-=-⋅⋅，令0239=-r 得，6=r ，∴常数项为6722C )1(69696=⋅⋅-- 【点拨】熟悉二项式定理的展开式的通项公式．（15）ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(m ++=，则实数=m ．【解析】（特例法）设ABC ∆为一个直角三角形，则O 点斜边的中点，H 点为直角顶点，这时有OH ++=，∴1=m ．【点拨】由特殊情况去检验一般情况．1A 1B 1C ABC（16）在正方体''''D C B A ABCD -中，过对角线'BD 的一个平面交'AA 于E ，交'CC 于F ，则①四边形E BFD '一定是平行四边形 ②四边形E BFD '有可能是正方形③四边形E BFD '在底面ABCD 内的投影一定是正方形 ④四边形E BFD '有可能垂直于平面D BB '以上结论正确的为 ．（写出所有正确结论的编号） 【解析】①平面E BFD '与相对侧面相交，交线互相平行，∴四边形E BFD '一定是平行四边形；②四边形E BFD '若是正方形，则D E BE '⊥，又EB AD ⊥，∴⊥EB 平面A ADD '，产生矛盾；③四边形E BFD '在底面ABCD 内的投影是正方形ABCD ；④当E 、F 分别是'AA 、'CC 的中点时，AC EF //，又⊥AC 平面D BB '，∴四边形E BFD '有可能垂直于平面D BB '； 【点拨】边观察、边推导．三．解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本大题满分12分）设函数)(),0π( )2sin()(x f y x x f =<<-+=ϕϕ图像的一条对称轴是直线8π=x ． （Ⅰ）求ϕ；（Ⅱ）求函数)(x f y =的单调增区间；（Ⅲ）证明直线025=+-c y x 于函数)(x f y =的图像不相切．（18）（本大题满分12分）已知四棱锥P －ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，⊥=∠PA DAB ,90底面ABCD ，且P A =AD =DC =21AB =1，M 是PB 的中点． （Ⅰ）证明：面P AD ⊥面PCD ； （Ⅱ）求AC 与PB 所成的角；（Ⅲ）求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小． （19）（本大题满分12分）设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和),2,1( 0 =>n S n ． （Ⅰ）求q 的取值范围； （Ⅱ）设1223++-=n n n a a b ，记{}n b 的前n 项和为n T ，试比较n S 与n T 的大小．（20）（本大题满分12分）9粒种子分种在3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为5.0，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用ξ表示补种费用，写出ξ的分布列并求ξ的数学期望．（精确到01.0）ABD PMABCDA 'B 'C 'D 'EF（21）（本大题满分14分）已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，+与)1,3(-=a 共线． （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M 为椭圆上任意一点，且),( R ∈+=μλμλ，证明22μλ+为定值．（22）（本大题满分12分）（Ⅰ）设函数)10( )1(log )1(log )(22<<--+=x x x x x x f ，求)(x f 的最小值； （Ⅱ）设正数n p p p p 2321,,,, 满足12321=++++n p p p p ，证明：np p p p p p p p n n -≥++++222323222121log log log log。
华南理工大学2015级工科数分(下)期中考试卷(附解答)
,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末考试《工科数学分析》2015—2016学年第二学期期中考试卷1. 考前请将密封线内填写清楚；所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)； ．考试形式：开（闭）卷；本试卷共 4个 大题，满分100分， 考试时间90分钟。
10分，共60分）设函数f 有二阶连续偏导数,求函数22,y z f x x⎛⎫= ⎪⎝⎭的二阶混合偏导数.解:2223212222122222232,422242210z y f y xz y y y y y y f f f f f f x y x x x x x x ∂'=∂⎛⎫∂''''''''''=-+-=-+- ⎪∂∂⎝⎭L L L L计算 2421222xxxdx dy dx dy yyππ+⎰⎰:()22421221322sin724210xy yxxdx dy dx dyyyxdy dx yπππππ+==+⎰⎰⎰⎰分分L L L L计算三重积分zdv Ω⎰⎰⎰，其中Ω.由222222x y z z x y ⎧++≤⎪⎨≥+⎪⎩所确定 22221222220,1,2x y z z z z z z x y⎧++=⎪⇒+-===-⎨=+⎪⎩（舍去） 22:1D x y +≤，Ω柱坐标下为202,01,r r z θπ≤≤≤≤≤≤2分()2212124046271221171104612r zdv d d rr r dr ππθθππΩ==--⎛⎫=--=⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰分分4. 计算()221(1)Lx dy ydx x y---+⎰，其中L 为下列闭曲线，沿逆时针方向：（1）点()1,0在L 所围区域之外；（2）点()1,0在L 所围区域之内。
解 在这里22221,(1)(1)y x P Q x y x y--==-+-+，进而 ()222221(1)y x P Qy xx y --∂∂==∂∂⎡⎤-+⎣⎦在()1,0点以外成立且连续，从而 （1）点()1,0在L 所围区域之外，由格林公式，可得()221(1)Lx dy ydx x y ---+⎰=0； 4分（2）点()1,0在L 所围区域之内，可以()1,0为中心做一个适当小的圆，使得这个小圆包含在L 的内部，取逆时针方向，设2221:(1)L x y r -+=。
2005年华南理工大学信号与系统考研试题
二.选择题：请在正确答案前打√。 (15 分, 每题 3 分)
(t + 2)dt 等于 1. ∫−3 cos tδ
A.0 B.1 C.2 D.-2
3
π 2
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十、 （15 分）x[n]的频谱函数 X(ej v)如图(b)所示，零值插入系统（图 a）在 每一个 x[n]值之间插入一个零值，数字理想低通滤波器 H(ej v)的截止频率 ωm 为 π/6，相位为零相位，对 w[n]进行周期 N=3 的采样后得到 y[n]，请 画出 y[n]的频谱 Y((ej v)。 其中 w[n]= g[n],n=0,±3,±6,±9…… 0,n=其余 x[n]
x (t )
2s + 4 s + 4s + 3
2
n
u[n] h
ipqrstu
4.
X (s) dedfgh
n
i(6 j)
n
5.
1 1 mn x [ n] o z pq X ( z ) r(6 s) kl x [ n ] = u [ n ] + u [ − n − 1] 3 2
四、 （8 分）请画出连续时间理想频率选择性滤波器的频率响应:(a)低通 (b 高通 (c) 带通 (d)带阻 (要求标示清楚截止频率) 2s 2 + 4s − 6 ， s 2 + 3s + 2
五. (12 分) 己知某 LTI 系统的系统函数为 H ( s ) = (a).画出系统的直接型方框图表示； (b).画出系统的级联型方框图； (c). 画出系统的并联型方框图； 六、(10 分) 对于如图所示因果离散系统，
华南理工大学高等数学统考试卷下03期中dx (2)
2003-2004高等数学下册期中考试试卷（电材、新材）姓名： 班级： 成绩单号：一、单项选择题1、[3分]二元函数),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数),(00y x f x '和),(00y x f y '都存在，是),(y x f 在该点连续的D(A)充分条件而非必要条件； (B) 必要条件而非充分条件；(C) 充分必要条件； (D) 既非充分条件又非必要条件；2、[3分] 设)(22y x z -=ϕ，其中ϕ具有连续的导数，则下列等式成立的是 (A)y z y x z x ∂∂=∂∂ (B) yz x x z y ∂∂=∂∂ (C) y z x x z y∂∂-=∂∂ (D) y z y x z x ∂∂-=∂∂ 3、[3分] 若L 是平面曲线)0(222>=+a a y x 依顺时针方向一周，则 dy y x y xy dx yx y x e L x ⎰+-++-2222222)sin(2的值为 (A) 2a π (B)22a π (C) 0 (D) 22a π-4、[3分]设),(y x f 连续，则)(),(102211=⎰⎰-dy y x yf dx (A) dy y x yf dx ⎰⎰102210),(2； (B) dy y x yf dx x⎰⎰02210),(4； (C) dy y x yf dx y y ⎰⎰-),(22210(D) 05、[3分]设1,1,:3-===x y x y D 围成的有限区域，而1D 为D 的第一象限部分，则()⎰⎰=+-D x dxdy y e xy )(sin 2(A) ⎰⎰-12sin 2D x ydxdy e (B) ⎰⎰12D xydxdy(C) ()⎰⎰-+12sin 4D x dxdy y e xy (D) 06、[3分] 设直线;32,6:;5251:21=+=-+=--=-z y y x L z y x L 则这两直线的夹角为 (A)6π (B) 4π (C) 3π (D) 2π 二、填空题1、[3分]设)cos()2cos()1(),()cos(y x y x e y x f xy +--+=π，则=')4,(ππy f 。
2005年普通高等学校招生全国统一考试数学及详细解析(湖南卷·理)
2005年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择）题两部分，满分150分.考试用时120分钟.第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共10小，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋i 4的值是 （ ） A ．－1 B ．0 C ．1 D ．i2．函数f (x )＝x21-的定义域是（ ）A ．(－∞，0]B ．[0，＋∞)C ．（－∞，0）D ．（－∞，＋∞）3．已知数列{log 2(a n －1)}（n ∈N *）为等差数列，且a 1＝3，a 2＝5，则nn n a a a a a a -++-+-+∞→12312lim111(= （ ）A ．2B ．23C ．1D ．21 4．已知点P （x ，y ）在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-≤-022,01,02y x y x 表示的平面区域上运动，则z ＝x －y 的取值范围是（ ）A ．[－2，－1]B ．[－2，1]C ．[－1，2]D ．[1，2]5．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心，则O 到平面AB C 1D 1的距离为 （ ） A ．21 B ．42C ．22D ．23 6．设f 0(x )＝sinx ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2005(x )＝（ ） A ．sinxB ．－sinxC ．cos xD ．－cosx7．已知双曲线22a x －22by ＝1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A，△OAF 的面积为22a （O 为原点），则两条渐近线的夹角为（ ）A ．30ºB ．45ºC ．60ºD ．90º8．集合A ＝｛x |11+-x x ＜0＝，B ＝｛x || x -b|＜a }，若“a ＝1”是“A ∩B ≠φ”的充分条件， 则b 的取值范围是（ ）A ．－2≤b ＜0B ．0＜b ≤2C ．－3＜b ＜－1D ．－1≤b ＜29．4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲．乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得100分，答错得－100分；选乙题答对得90分，答错得－90分.若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是 （ ）A ．48B ．36C ．24D ．1810．设P 是△ABC 内任意一点，S △ABC 表示△ABC 的面积，λ1＝ABc PBC S S ∆∆， λ2＝ABCPCA S S∆∆， λ3＝ABC PAB S S ∆∆，定义f (P)=(λ1, λ, λ3),若G 是△ABC 的重心，f (Q)＝（21，31，61），则（ ）A ．点Q 在△GAB 内 B ．点Q 在△GBC 内C ．点Q 在△GCA 内D ．点Q 与点G 重合第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分（第15小题每空2分），共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. 11．一工厂生产了某种产品16800件，它们来自甲．乙．丙3条生产线，为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样，已知甲．乙．丙三条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，则乙生产线生产了 件产品.12．在（1＋x ）＋（1＋x ）2＋……＋（1＋x ）6的展开式中，x 2项的系数是 .（用数字作答）13．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A 、B 两点，且|AB|＝3，则⋅＝ .14．设函数f (x )的图象关于点（1，2）对称，且存在反函数f －1(x )，f (4)＝0，则f －1(4)＝ .15．设函数f (x )的图象与直线x =a ，x =b 及x 轴所围成图形的面积称为函数f (x )在[a ，b]上的面积，已知函数y ＝sinn x 在[0，nπ]上的面积为n 2（n ∈N *），（i ）y ＝sin3x 在[0,32π]上的面积为 ；（ii ）y ＝sin （3x －π）＋1在[3π，34π]上的面积为 .三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（本小题满分12分） 已知在△ABC 中，sinA （sinB ＋cosB ）－sinC ＝0，sinB ＋cos2C ＝0，求角A 、B 、C 的大小. 17．（本题满分12分） 如图1，已知ABCD 是上．下底边长分别为2和6，高为3的等腰梯形，将它沿对称轴OO 1折成直二面角，如图2. （Ⅰ）证明：AC ⊥BO 1；（Ⅱ）求二面角O －AC －O 1的大小.18．（本小题满分14分） 某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值.（Ⅰ）求ξ的分布及数学期望；（Ⅱ）记“函数f (x )＝x 2－3ξx ＋1在区间[2，＋∞)上单调递增”为事件A ，求事件A的概率.图1 图219．（本小题满分14分）已知椭圆C ：22a x ＋22by ＝1（a ＞b ＞0）的左．右焦点为F 1、F 2，离心率为e. 直线l ：y ＝e x ＋a 与x 轴．y 轴分别交于点A 、B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F 1关于直线l 的对称点，设AM ＝λ.（Ⅰ）证明：λ＝1－e 2；（Ⅱ）确定λ的值，使得△PF 1F 2是等腰三角形. 20．（本小题满分14分）自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用x n 表示某鱼群在第n 年年初的总量，n ∈N *，且x 1＞0.不考虑其它因素，设在第n 年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与x n 成正比，死亡量与x n 2成正比，这些比例系数依次为正常数a ，b ，c. （Ⅰ）求x n+1与x n 的关系式；（Ⅱ）猜测：当且仅当x 1，a ，b ，c 满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）（Ⅱ）设a ＝2，b ＝1，为保证对任意x 1∈（0,2），都有x n ＞0，n ∈N *，则捕捞强度b 的 最大允许值是多少？证明你的结论.21．（本小题满分14分） 已知函数f (x )＝ln x ，g(x )＝21ax 2＋b x ，a ≠0. （Ⅰ）若b ＝2，且h (x )＝f (x )－g(x )存在单调递减区间，求a 的取值范围；（Ⅱ）设函数f (x )的图象C 1与函数g(x )图象C 2交于点P 、Q ，过线段PQ 的中点作x 轴的垂线分别交C 1，C 2于点M 、N ，证明C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线不平行.2005年普通高等学校招生统一考试（湖南，理科）解析第Ⅰ卷1.[答案]：B [评述[：本题考查复数，复数的意义及其运算。
2005数值分析试题及答案
数值分析试题 2005.12一、填空题：（每空2分，共20分，答案写在答题纸上）1.设A = ，则2A ＝( ),Cond(A )1=( )。
2．设A = ，数ｍ取值为（ ）时，可分解为A=GG T，当ｍ＝2时G=（ ）.3．求方程x=cosx 解的Newton 迭代格式为（ ），其收敛阶为（ ）。
4．设()(0,1,2,3)k p x k =是区间[0，1]上权函数为()x x ρ=的正交多项式，1()p x ＝（ ）， ＝（ ）． 5.计算定积分 的Simpson 求积公式为（ ），其截断误差为（ ）． 二、判断题（12分，正确划”√”,不正确划”⨯”，答案写在答题纸上） 1．在根α 处，若ϕ'（α）≠0, 则简单迭代法1()k k x x ϕ+=是线性收敛的； ( ) 2．设A 是非奇异矩阵，则有唯一三角分解A=LU ； ( )3．求解线性方程组 的SOR 迭代法收敛． ( )4. 满足条件(0)1,(1)(1)0,(2)3f f f f '====的3次插值多项式是 23()(1)(1)p x x x =+- ( )5. 用3.141近似π具有4位有效数字; ( )6. 用Euler 法解初值问题 是收敛的. ( ) 三、(10分)证明方程2()cos 20f x x x =+-=有唯一正根.构造一个收敛的简单迭代格式1(),1,2,...,k k x x k ϕ+==使对任何初值0[1,2]x ∈都收敛,并说明收敛理由和收敛阶.四、（12分）已知线性方程组：0123-⎛⎫ ⎪⎝⎭422m ⎛⎫ ⎪⎝⎭12123232153223x x x x x x x -=⎧⎪+-=⎨⎪+=⎩cos(),13(1)2y xy x y '=≤≤⎧⎨=⎩12321252x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭130()xp x dx ⎰20x e dx -⎰1．写出Jacobi 法和SOR 法的迭代格式（分量形式）；2．讨论Jacobi 迭代法和SOR 迭代法(ω=1)的收敛性,若收敛时,哪种迭代法收敛的快,为什么?五、(12分)已知(0)0,(1)2,(2)3,(3)1,f f f f ===-=-且已求出三次样条插值函数()S x 在[0,1]上的表达式为32()2S x x x x =+-,试求()S x 在[1,2]上的表达式. 六、（8分）给出数据表利用最小二乘法求其拟合函数()P x .七、（8分）试确定参数A ，B ，C 和α使求积公式：具有尽可能高的代数精度，并问代数精度是多少？它是不是Gauss 公式？ 八、（10分）设求常微分方程初值问题的差分公式1.证明:此差分公式是二阶方法;2.用此差分公式求初值问题10,(0)1y y y '=-=时,取步长0.25h =,所得数值解是否稳定,为什么? 九、（8分）对初值问题在11[,]n n x x -+上对(,())y f x y x '=两边积分后,试用中点矩形求积公式导出差分公式,并给出此差分公式局部截断误差主项.11()(()f x dx Af Bf Cf α-≈++⎰112412221330(3)(,)(,)h n n n n n n y y k k k f x y k f x h y hk y α+=++⎧⎪=⎪⎨=++⎪⎪=⎩(,)()n y f x y a x bx a nhy a α'=⎧≤≤=+⎨=⎩数值分析试题（参考答案）一、 1, 10; 2.m>1, 3. ,2 4. 2/3x -, 0. 5.212130[14]x e dx e e ---≈++⎰, /90,(0,2)e ηη--∈， 二、1．⨯, 2. ⨯, 3. ⨯, 4.√ 5. ⨯, 6. √三.由于[0,1]上ƒ(x)<0,[2,∞] 上ƒ(x)>0,故ƒ(x)=0仅在(1,2)内有正根，又ƒ'(x)=2x-sinx>0,所以ƒ(x)单调递增，故方程ƒ(x)=0有唯一正根,且在(1,2)内。
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《高等数学》试卷
（试卷号：2005期中 时间120分钟，总分100）
学院（系） 专业班
姓 名： 成绩报告表序号：
一、填空题
1．[3分]设1arcsin11xxxxxxf，则1f
2．[3分]设xxyln，则dy
3．[3分]函数,0,10,1111xxeexfxx的间断点及其类型是
4．[3分] 设)(2xefxy，其中uf可导，则dxdy
二、单项选择题
1、[3分]已知23f，则xfxfx233lim0的值为
A. 2 B.2 C. 1 D. 1
2、[3分]xxfdxd112，则21f
A. 21 B.2 C. 1 D. 1
3、[3分] 设nnnxnxf2lim1，则
xf
A. 2e B. xe3 C. xe3 D. xe
4、[3分]当0x时，12311ax与1cosx是等价无穷小，则a
A、 0 B、23 C、21 D、23
三、 [每小题8分，共32分] 计算题
1． [8分]计算xxxxlim
2． [8分]计算2201csclimxxx
3． [8分] 设函数xy由方程2lnarctanln22xyyx所确定，求dxdy
4． [8分]设tytx11确定了y关于x的函数，求22dxyd
四、[12分]设BAxBxAxxf,(552为实数）。问（1）BA,各取何值时，有1limxfx；
（2）BA,各取何值时，有0limxfx；（3）BA,各取何值时，有1lim5xfx
五、[10分]设,0,00,1arctan2xxxxxf试讨论xf在0x处的连续性
六、[12分]求椭圆0,012222babyax在点2,2baM处的切线、椭圆及两坐标轴
所围成的图形的面积
七、[10分]设)(xf在],[ba上连续，在),(ba上二阶可导，且0)(bfaf，且对
0,,xfbax
。证明：在),(ba内0)(xf
提示3、[3分] 设nnnxnxf2lim1，则
2332313limlim122nxnnxnxnnnxxfxenn