高三数学上学期第一次月考试题 理10
扬州中学2022-2023学年高三上学期10月月考数学试题含答案
江苏省扬州中学2022-2023学年度10月月考试题 高三数学 2022.10试卷满分：150分， 考试时间：120分钟注意事项：1．作答前，请考生务必将自己的姓名、考试证号等写在答题卡上并贴上条形码. 2．将选择题答案填写在答题卡的指定位置上（使用机读卡的用2B 铅笔在机读卡上填涂），非选择题一律在答题卡上作答，在试卷上答题无效. 3．考试结束后，请将机读卡和答题卡交监考人员.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题意的.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.） 1. 已知集合{}A=-2,0 {}2B=20x x x -= ，则以下结论正确的是（ ） A. A B =B. {}0A B =C. A B A =D. A B ⊆2．下列命题中，真命题是（ ） A ．“1,1a b >>”是“1ab >”的必要条件 B ．R x ∀∈，e 0x > C ．2R,2x x x ∀∈>D ．0a b +=的充要条件是1ab=- 3．如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形.设弧AD 长度是1l ，弧BC 长度是2l ，几何图形ABCD 面积为1S ，扇形BOC 面积为2S ，若122l l =，则12S S =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 4．在△ABC中，若tan tan tan A B A B +，则tan 2C =（ ）A．-B．C．-D．5.函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >，0>ω，2πϕ<）的部分图象如图所示，将()f x 的图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍（纵坐标不变），再把所得的图象沿x 轴向左平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的一个单调递增区间为（ ）A ．3,82ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．7,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．3,48ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．5,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦6．设24ln 4a e -=，ln 22b =，1c e =，则（ ） A ．a c b << B ．a b c << C ．b a c << D ．b c a <<7．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，24b a +=，()()sin sin sin sin a c A C b B a B +-+=，点D 在边AB 上，且2AD DB =，则线段CD 长度的最小值为（ ）A B C ．3 D ．2 8．已知直线0l y kx k =>：（）既是函数()21f x x =+的图象的切线，同时也是函数()()ln 1pxg x x p R x =+∈+的图象的切线，则函数()g x 零点个数为（ ） A ．1 B ．0 C ．0或1 D ．1或2二.多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.）9．已知函数12()||+||cos f x x x x =-，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 是偶函数 B ．()f x 在（0，+∞）上单调递减 C ．()f x 是周期函数 D ．()f x ≥-1恒成立10．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，下列说法正确的是（ ） A ．若30,5,2A b a ===，则ABC 有2解； B ．若A B >，则cos cos A B <；C ．若cos cos cos 0A B C >，则ABC ∆为锐角三角形；D ．若cos cos a b c B c A -=⋅-⋅，则ABC 为等腰三角形或直角三角形.11．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E ，F 在平面1111D C B A 内，若||AE AC DF ⊥， 则下述结论正确的是（ ）A ．E 到直线BCB ．点F 的轨迹是一个圆C ．EF 1D ．直线DF 与平面1A BD 12．已知函数()()ln ,e x xf xg x x x-==，若存在()120,,x x ∞∈+∈R ，使得()()12f x g x k ==成立，则（ ）A ．当0k >时，121x x +>B ．当0k >时，21e 2exx +<C ．当0k <时，121x x +<D ．当0k <时，21e kx x ⋅的最小值是1-e三.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.（请将所有填空题答案填到答题卡的指定位置中.）13．已知角α的终边上一点)1A-，则cos()πα+=____.14．若函数()221x x af x +=+为奇函数， (),0 ,0ax alnx xg x e x >⎧=⎨≤⎩，则不等式()1g x >的解集为____．15．已知正数,a b 满足34318a b a b+++=，则3a b +的最大值是___________.16.ABC ∆是边长为E 、F 分别在线段AB 、AC 上滑动，//EF BC ，沿EF 把AEF ∆折起，使点A 翻折到点P 的位置，连接PB 、PC ，则四棱锥P BCFE -的体积的最大值为_______________.四.解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（请将所有解答题答案填到答题卡的指定位置中.）17.已知条件:p ______，条件:q 函数kx x x f 2)(2-=在区间)2,(a 上不单调，若p 是q 的必要条件，求实数a 的最小值．在“①函数k x x y ++=692的定义域为R ，②],2,2[-∈∃x 使得032≤-k x 成立，③方程03sin 72=-k x 在区间),0[+∞内有解”这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并进行解答．注意：若选择多个条件分别解答，按第一个解答给分．18.如图，设ABC ∆的内角C B A ,,，所对的边分别为c b a ,,，若3π=C ，且b a bc C B A +-=-sin sin sin ，点D 是ABC ∆外一点，2,1==DA DC .（1）求角B 的大小；（2）求四边形ABCD 面积的最大值.19. 已知函数2()(,R)f x x ax a b a b =+-+∈.（1）若2,ln ()b y f x ==在[1,3]x ∈上有意义且不单调，求a 的取值范围； （2）若集合(){}()(){}0,10A x f x B x f f x =≤=+≤，且A B =≠∅，求a 的取值范围.20. 如图，在直角POA ∆中，42,==⊥AO PO AO PO ，将POA ∆绕边PO 旋转到POB ∆的位置，使090=∠AOB ，得到圆锥的一部分，点C 为AB 上的点，且13AC AB =.（1）求点O 到平面PAB 的距离；（2）设直线PC 与平面PAB 所成的角为ϕ，求ϕsin 的值.21.已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F 2，上顶点为H ，O 为坐标原点，∠OHF 2＝30°，(1，32)在椭圆E 上． （1）求椭圆E 的方程；（2）设经过点F 2且斜率不为0的直线l 与椭圆E 相交于A ，B 两点，点P (－2，0)，Q (2，0)．若M ，N 分别为直线AP ，BQ 与y 轴的交点，记△MPQ ，△NPQ 的面积分别S △MPQ ，S △NPQ ，求S △MPQ S △NPQ的值22.设.sin )(x e x f x=（1）求)(x f 在],[ππ-上的极值； （2）若对],0[,21π∈∀x x ，21x x =/，都有0)()(222121>+--a x x x f x f 成立，求实数a 的取值范围．参考答案1.B2.B3.C4.A5.D6.C7.A8.A9.AD 10.BCD 11.CD 12.ACD13. 14.()1-0(0,)e ∞，15.9+ 16.2 16解析：要想体积最大，高得最大，底面积也得最大，当平面AEF ⊥平面EFCB 时，体积才最大；设2EF a =；设O 为EF 的中点，如图： 等边ABC ∆中，点E ，F 分别为AB ，AC 上一点，且//EF BC ，AE AF ∴=，O 为EF 的中点，AO EF ∴⊥，平面AEF ⊥平面EFCB ，平面AEF ⋂平面EFCB EF =，AO ∴⊥平面EFCB ，2EF a =，AO ∴=．∴四棱锥A -的体积311(2(3)()332V a a a a a a =⨯⨯+⨯=+=-，2330V a ∴'=-=，1a ∴= （负值舍），01a <<，V 1a >>，V 单调递减， 1a ∴=，四棱锥A EFCB -的体积最大，最大值为：312-=．17.【分析】首先根据题意得到q 为真时， ．若选①，p 为真时， ，再结合必要条件求解即可.若选②，p 为真时， ，再结合必要条件求解即可.若选③，p 为真时，，再结合必要条件求解即可.【详解】条件q ：函数 在区间 上不单调， 则函数 的对称轴在给定区间 内，则 ． 故q 为真时， ．....................3分 若选①，函数 的定义域为 ，则 ，解得： ， ....................6分 故p 为真时， ．若p 是q 的必要条件，即 ．则 ，故a 的最小值是1． ....................10分 选②时， ，使得 成立， 即 能成立．即 ，所以 ，所以 ， 故p 为真时， ．若p 是q 的必要条件，即 ，则 ． 故a 的最小值为0．选③时，方程 在区间 内有解， 故有 ，所以 ． 故p 为真时，．若p 是q 的必要条件， 则．则 ． 故a 的最小值为0．18.【答案】（1）3π （22 【解析】【分析】（1）由正弦定理化角为边后应用余弦定理求得A 角后可得B 角大小；（2）设(0π)ADC θθ∠=<<，由面积公式得ACD △面积，由余弦定理求得AC ，然后可得正三角形ABC 的面积，从而得出四边形ABCD 的面积，再逆用两角差的正弦公式化简函数后利用正弦函数性质得最大值． 【小问1详解】 由sin sin sin --=+A B c b C a b，再由正弦定理得，a b c bc a b --=+，得222a b c bc -=-，即222b c a bc +-=故()2221cos 0,22b c a A A bc π+-==∈，，所以π3A =，又π3C =，故π3B =.【小问2详解】设(0π)ADC θθ∠=<<，则1sin sin 2ACD S AD DC θθ=⋅=△， 在ADC 中，2222cos 54cos AC AD DC AD DC θθ=+-⋅=-，由（1）知ACD △为正三角形，故2ABC S AC θ==△，故πsin 2sin 3ABCD S θθθ⎛⎫==- ⎪⎝⎭19.【答案】（1）(22)---； （2）[2,2]-. 【解析】【分析】（1）根据题意得到二次函数()f x 的对称轴在()1,3之间，且()f x 在[]1,3上恒为正，结合二次函数的性质即得；（2）设(),m n m n ≤为方程()0f x =的两个根，计算(){}|11B x m f x n =-≤≤-，得到2min4(1)()24a a f x a ---=≥--，进而即得.【小问1详解】当2b =时，2()2f x x ax a =+-+，由题知：二次函数()f x 的对称轴在(1,3)之间，且()f x 在[1,3]上恒正，∴21322024a a a f a ⎧<-<⎪⎪⎨⎛⎫⎪-=--+> ⎪⎪⎝⎭⎩，解得22a --<<-，即(22)a ∈---； 【小问2详解】因为A ≠∅，不妨设,()m n m n ≤为方程()0f x =的两个根，∴(){}(){}(){}10111B x f f x x m f x n x m f x n ⎡⎤=+≤=≤+≤=-≤≤-⎣⎦， 由A B =≠∅，得10n -=，即1n =，且min ()1f x m ≥-， 由()(1)0f n f ==，得1b =-， ∴2()1f x x ax a =+--， ∵{}()0A x f x =≤≠∅，∴224(1)(2)0a a a ∆=---=+≥， ∴R a ∈，又,()m n m n ≤为方程()0f x =的两个根， ∴1m a =--， ∴2min4(1)()24a a f x a ---=≥--，解得22a -≤≤，∴[2,2]a ∈-.20.【答案】（1）43 （2）15【小问1详解】证明：由题意知：,,PO OA PO OB OA OB O ⊥⊥=，OA ⊂平面AOB ，OB ⊂平面AOB ，PO ∴⊥平面AOB ，又24PO OA ==，所以PA PB AB ===所以162PABS=⨯=，设点O 到平面PAB 的距离为d ，由O PAB P OAB V V --= 得1116422332d ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，解得43d =；向量坐标法同样给分；’ 【小问2详解】以O 为原点，,,OA OB OP 的方向分别为,,x y z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()2,0,0,0,2,0,0,0,4A B P， 由题意知π6AOC ∠=，则)C ，所以()()()2,2,0,2,0,4,3,1,4AB AP PC =-=-=-.设平面PAB 的法向量为(),,n a b c =，则220240n AB a b n AP a c ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取1c =，则2a b ==，可得平面PAB 的一个法向量为()2,2,1n =r，所以2sin cos ,6n PC n PC n PCϕ⋅====.21.【答案】（1）22143x y += （2）13【分析】（1）由230OHF ∠=︒，得b =，再将点31,2⎛⎫⎪⎝⎭代入椭圆方程中，结合222a b c =+可求出,a b ，从而可求出椭圆方程，（2）设直线:1l x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，将直线方程代入椭圆方程消去x ，整理后利用根与系数的关系，可得()121232my y y y =+，表示出直线AP 的斜率1112y k x =+，直线BQ 的斜率2222y k x =-，而121212MPQ NPQPQ OM S OM k S ON k PQ ON ⋅===⋅△△，代入化简即可 【小问1详解】由230OHF ∠=︒，得b =（c 为半焦距），∵点31,2⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆E 上，则221914a b+=．又222a b c =+，解得2a =，b =1c =．∴椭圆E 的方程为22143x y +=．【小问2详解】由（1）知()21,0F ．设直线:1l x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ．由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x ，得()2234690m y my ++-=．显然()214410m ∆=+>． 则122634m y y m -+=+，122934y y m -=+． ∴()121232my y y y =+．由()2,0P -，()2,0Q ，得直线AP 的斜率1112y k x =+，直线BQ 的斜率2222y k x =-．又1OM k OP =，2ONk OQ=，2OP OQ ==，∴12OM k ON k =．∴121212MPQ NPQ PQ OM S OM k S ON k PQ ON ⋅===⋅△△． ∵()()()()121211212121212221233y x y my k my y y k x y my y my y y ---===+++()()1211212212313122233933222y y y y y y y y y y +-+===+++． ∴13MPQ NPQS S =△△． 22(1)解：由0)cos (sin )('≤+=x x e x f x，],[ππ-∈x …………………………（1分） 得)(x f 的单调减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡--4,ππ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,43 ……………………………（3分） 同理，)(x f 的单调增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-43,4ππ ……………………………（4分） 故)(x f 的极小值为442222)4(πππ--=-=-e e f ，极大值为.22)43(43ππe f =……（5分）【注：若只用0)('=x f 得出结果至多给3分】 (2)解：由对称性，不妨设π≤<≤210x x ， 则0)()(222121>+--a x x x f x f 即为.)()(211222ax x f ax x f +>+ 设2)()(ax x f x g +=，则)(x g 在],0[π上单调递增，故02)cos (sin )('≥++=ax x x e x g x，在],0[π上恒成立．………………（6分） 【方法一】（含参讨论）设02)cos (sin )(')(≥++==ax x x e x g x h x，则01)0(>=h ，02)(≥+-=πππa e h ，解得ππ2e a ≥. …………………………（7分）)cos (2)('a x e x h x +=，0)1(2)0('>+=a h ，).(2)('ππe a h -=①当πe a ≥时，)sin (cos 2)]'('[x x e x h x-=，故当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,0πx 时，)(',0)sin (cos 2)]'('[x h x x e x h x≥-=递增； 当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈ππ,4x 时，0)sin (cos 2)]'('[≤-=x x e x h x ，)('x h 递减； 此时，0)(2)(')}('),0('min{)('≥-==≥πππe a h h h x h ，)(')(x g x h =在],0[π上单调递增，故01)0(')(')(>=≥=g x g x h ，符合条件. ……………………………（9分）②当πππe a e <≤2时，同①当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,0πx 时，)('x h 递增；当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈ππ,4x 时，)('x h 递减；0)1(2)0(')4('>+=>a h h π，0)(2)('<-=ππe a h ， ∴由连续函数零点存在性定理及单调性知，),4(0ππ∈∃x ，.0)('0=x h于是，当),0[0x x ∈时，0)('>x h ，)(')(x g x h =单调递增； 当],(0πx x ∈时，0)('<x h ，)(')(x g x h =单调递减.01)0(>=h ，,02)(≥+-=πππa e h ………………………………（10分） )0(min{)()('h x h x g ≥=∴0)}(≥πh ，符合条件. …………………………（11分）综上，实数a 的取值范围是.,2⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+ππe ……………………………（12分）【方法二】（必要性探路法）设02)cos (sin )(')(≥++==ax x x e x g x h x，则01)0(>=h ，02)(,≥+-=πππa e h ，解得.2ππe a ≥ ………………………（7分） 由于ππ2e a ≥时，x e x x e ax x x e x g xx ππ++≥++=)cos (sin 2)cos (sin )('故只需证：.0)cos (sin ≥++x e x x e xππ…………………………（8分） 设x e x x e x xπϕπ++=)cos (sin )(，],0[π∈x ，则πϕπe x e x x +=cos 2)('，],0[π∈x ，02)0('>+=πϕπe ，.02)('<+-=ππϕππe e 设πϕπe x e x x m x+==cos 2)(')(，],0[π∈x ，则)sin (cos 2)('x x e x m x-=，].,0[π∈x …………………………（9分） 当⎪⎭⎫⎝⎛∈4,0πx 时，)(,0)('x m x m >单调递增； 当⎪⎭⎫⎝⎛∈ππ,4x 时，)(,0)('x m x m <单调递减； 02)0(')0(>+==πϕπe m ，2)4(')4(4>+==ππϕπππe e m ，02)(')(<+-==πππϕππe m),4(0ππ∈∃∴x ，.0)(')(00==x x m ϕ ……………………………（10分）由)(x m 单调性知，当),0(0x x ∈时，)(,0)(x x m ϕ>单调递增；当),(0πx x ∈时，)(,0)(x x m ϕ<单调递减. 0)(,01)0(=>=πϕϕ ，.0)()()(min ==≥∴πϕϕϕx x],0[,0)cos (sin πππ∈∀≥++x x e x x e x，得证. ………………………（11分）综上所述，实数a 的取值范围是.,2⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+ππe ……………………………（12分） 【方法三】（参变分离）由对称性，不妨设,021π≤<≤x x则0)()(222121>+--a x x x f x f 即为.)()(211222ax x f ax x f +>+ 设2)()(ax x f x g +=，则)(x g 在],0[π上单调递增， 故02)cos (sin )('≥++=ax x x e x g x在],0[π上恒成立.01)0('>=g ，02)cos (sin )('≥++=∴ax x x e x g x 在],0[π上恒成立，得x x x e a x )cos (sin 2+≤-，］π,0(∈∀x . ………………………（7分）设xx x e x h x )cos (sin )(+=，］π,0(∈x ，则2)cos sin cos 2()('xx x x x e x h x --=，.,0(］π∈x ………………………（8分） 设1tan 2)(--=x x x ϕ，⎥⎦⎤ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∈πππ,22,0 x ，则x x 2cos 12)('-=ϕ，.,22,0⎥⎦⎤ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∈πππ x 由0)('>x ϕ，⎥⎦⎤⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∈πππ,22,0 x ，得，)(x ϕ在⎥⎦⎤ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛πππ,43,4,0上单调递增； 由0)('<x ϕ，⎥⎦⎤⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∈πππ,22,0 x ，得，)(x ϕ在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,4ππ，⎥⎦⎤ ⎝⎛43,2ππ上单调递减. 故⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πx 时022)4()(<-=≤ππϕϕx ；⎥⎦⎤ ⎝⎛∈ππ,2x 时023)43()(>=≥ππϕϕx ．…………（9分）从而，0cos sin cos 2cos )(<--=x x x x x x ϕ，⎥⎦⎤⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∈πππ,22,0 x ，…………（10分）又2π=x 时，01cos sin cos 2<-=--x x x x ，故0)c o s s i n c o s 2()('2<--=xx x x x e x h x ，],0(π∈x ，xx x e x h x )cos (sin )(+=，],0(π∈x 单调递减， πππe h x h -==)()(min ，].,0(π∈x于是，.22ππππe a e a ≥⇔-≤- …………………………（11分）综上，实数a 的取值范围是.,2⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+ππe …………………………（1。
河南社旗二高高三上学期第一次月考数学理
社旗二高2010届高三数学第一次月考试题(理科)注意事项：全卷满分为150分，完成时间为120分钟参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P(A ＋B)＝P(A)＋P(B)如果事件A 、B 相互独立，那么P(A ·B)＝P(A)·P(B)如果事件A 在一次试验中发生的概率为P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率：P n (k)＝C n k P k (1－P)n －k球的表面积公式：S ＝4πR 2(其中R 表示球的半径) 球的体积公式：V 球＝43πR 3(其中R 表示球的半径)第一卷(选择题，共60分)一、选择题本大题共计12小题，每小题5分，共60分. 1、 函数f(x)＝sinx ＋cosx 的最小正周期为A 、π4B 、π2C 、πD 、2π2、 设集合A ＝{x|－1＜x ≤2,x ∈N},集合B ＝{2,3},则A ∪B 等于A 、{1,2,3}B 、{0,1,2,3}C 、{2}D 、{－1,0,1,2,3}3、 某学校有教职工100人,其中教师80人,职员20人,现从中选取10人组成一个考察团外出学习考察,则这10人中恰好有8名教师的不同选法种数是A 、C 802C 208B 、A 802A 208C 、A 808A 202D 、C 808C 2024、 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *),且S 3＝－3,S 7＝7,那么公差d ＝A 、1B 、2C 、3D 、4 5、 “函数f(x)在点x ＝x 0处有定义”是“函数在点x ＝x 0处连续”的A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件 6、 (x －1x)9的展开式中第3项是A 、－84x 3B 、84x 3C 、－36x 5D 、36x 57、 已知α为锐角,sin α＝35,则tan(α－π4)等于A 、17B 、7C 、－17D 、－78、 已知m 、n 是两条不重合的直线,α、β是两个不重合的平面,下列命题中正确的是A 、若m ∥α,n ∥β,α∥β,则m ∥nB 、若m ∥n,n ⊂α,m /α,则m ∥αC 、若α⊥β,m ⊥α,则m ∥βD 、若m ⊥α,n ⊂β,m ⊥n,则α⊥β 9、 下列四个命题中正确的是A 、若a 、b ∈R,则|a|－|b|＜|a ＋b|B 、若a 、b ∈R,则|a －b|＜|a|＋|b|C 、若实数a 、b 满足|a －b|＝|a|＋|b|,则ab ≤0D 、若实数a 、b 满足|a|－|b|＜|a ＋b|,则ab ＜010、如图,在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,若AA 1＝AB ＝AD ＝1∠A 1AD ＝∠A 1AB ＝60°,∠BAD ＝90°,则直 线A 1D 1到平面ABCD 的距离为 D 1 A 1B 1C 1 DBCA 、1B 、22C 、33D 、6311、已知a ＞0,且a ≠1,若函数f(x)＝log a (x ＋x 2＋k)在(－∞,＋∞)上是奇函数,又是增函数,则函数g(x)＝log a |x －k|的图象是 A 、B 、 C、 D 、12、已知点O 为△ABC 内一点,且OA →＋2OB →＋3OC →＝0→,则△AOB 、△AOC 、△BOC 的面积之比等于A 、9∶4∶1B 、1∶4∶9C 、3∶2∶1D 、1∶2∶3第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）把答案填在题中横线上。
届高三数学（理）第一次月考模拟试卷及答案
届高三数学（理）第一次月考模拟试卷及答案2018届高三数学(理)第一次月考模拟试卷及答案高考数学知识覆盖面广，我们可以通过多做数学模拟试卷来扩展知识面!以下是店铺为你整理的2018届高三数学(理)第一次月考模拟试卷，希望能帮到你。
2018届高三数学(理)第一次月考模拟试卷题目一、选择题(本题共12道小题，每小题5分，共60分)1.已知全集U=R，A={x|x2﹣2x<0}，B={x|x≥1}，则A∪(∁UB)=( )A.(0，+∞)B.(﹣∞，1)C.(﹣∞，2)D.(0，1)2.已知集合A={1，2，3，4}，B={y|y=3x﹣2，x∈A}，则A∩B=()A.{1}B.{4}C.{1，3}D.{1，4}3.在△ABC中，“ >0”是“△ABC为锐角三角形”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.下列说法错误的是( )A.命题“若x2﹣4x+3=0，则x=3”的逆否命题是：“若x≠3，则x2﹣4x+3≠0”B.“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件C.若p且q为假命题，则p、q均为假命题D.命题p：“∃x∈R使得x2+x+1<0”，则¬p：“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”5.已知0A.a2>2a>log2aB.2a>a2>log2aC.log2a>a2>2aD.2a>log2a>a26.函数y=loga(x+2)﹣1(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中m>0，n>0，则 + 的最小值为( )A.3+2B.3+2C.7D.117.已知f(x)是定义在R上的偶函数，在[0，+∞)上是增函数，若a=f(sin )，b=f(cos )，c=f(tan )，则( )A.a>b>cB.c>a>bC.b>a>cD.c>b>a8.若函数y=f(x)对x∈R满足f(x+2)=f(x)，且x∈[-1 ，1]时，f(x)=1﹣x2，g(x)= ，则函数h(x)=f(x)﹣g(x)在区间x∈[-5 ，11]内零点的个数为( ) A.8 B.10 C.12 D.149设f(x)是定义在R上的恒不为零的函数，对任意实数x，y∈R，都有f(x)•f(y)=f(x+y)，若a1= ，an=f(n)(n∈N*)，则数列{an}的前n 项和Sn的取值范围是( )A.[ ，2)B.[ ，2]C.[ ，1)D.[ ，1]10.如图所示，点P从点A处出发，按逆时针方向沿边长为a的正三角形ABC运动一周，O为ABC的中心，设点P走过的路程为x，△OAP的面积为f(x)(当A、O、P三点共线时，记面积为0)，则函数f(x)的图象大致为( )A . B.C. D.11.设函数f(x)=(x﹣a)|x﹣a|+b，a，b∈R，则下列叙述中，正确的序号是( )①对任意实数a，b，函数y=f(x)在R上是单调函数;②对任意实数a，b，函数y=f(x)在R上都不是单调函数;③对任意实数a，b，函数y=f(x)的图象都是中心对称图象;④存在实数a，b，使得函数y=f(x)的图象不是中心对称图象.A.①③B.②③C.①④D.③④12.已知函数，如在区间(1，+∞)上存在n(n≥2)个不同的数x1，x2，x3，…，xn，使得比值= =…= 成立，则n的取值集合是( )A.{2，3，4，5}B.{2，3}C.{2，3，5}D.{2，3，4}第II卷(非选择题)二、填空题(本题共4道小题，每小题5分，共20分)13.命题：“∃x∈R，x2﹣x﹣1<0”的否定是 .14.定义在R上的奇函数f(x)以2为周期，则f(1)= .15.设有两个命题，p：x的不等式ax>1(a>0，且a≠1)的解集是{x|x<0};q：函数y=lg(ax2﹣x+a)的定义域为R.如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围是 .16.在下列命题中①函数f(x)= 在定义域内为单调递减函数;②已知定义在R上周期为4的函数f(x)满足f(2﹣x)=f(2+x)，则f(x)一定为偶函数;③若f(x)为奇函数，则 f(x)dx=2 f(x)dx(a>0);④已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，则a+b+c=0是f(x)有极值的充分不必要条件;⑤已知函数f(x)=x﹣sinx，若a+b>0，则f(a)+f(b)>0.其中正确命题的序号为 (写出所有正确命题的序号).三、解答题(本题共7道小题,第1题12分,第2题12分,第3题12分,第4题12分,第5题12分,第6题10分,第7题10分,共70分)17.已知集合A={x|x2﹣4x﹣5≤0}，函数y=ln(x2﹣4)的定义域为B.(Ⅰ)求A∩B;(Ⅱ)若C={x|x≤a﹣1}，且A∪(∁RB)⊆C，求实数a的取值范围.18.已知关于x的不等式ax2﹣3x+2≤0的解集为{x|1≤x≤b}.(1)求实数a，b的值;(2)解关于x的不等式： >0(c为常数).19.已知函数f(x)= 是定义在(﹣1，1)上的奇函数，且f( )= .(1)确定函数f(x)的解析式;(2)证明f(x)在(﹣1，1)上是增函数;(3)解不等式f(t﹣1)+f(t)<0.20.已知关于x的不等式x2﹣(a2+3a+2)x+3a(a2+2)<0(a∈R).(Ⅰ)解该不等式;(Ⅱ)定义区间(m，n)的长度为d=n﹣m，若a∈R，求该不等式解集表示的区间长度的最大值.21.设关于x的方程2x2﹣ax﹣2=0的两根分别为α、β(α<β)，函数(1)证明f(x)在区间(α，β)上是增函数;(2)当a为何值时，f(x)在区间[α，β]上的最大值与最小值之差最小.选做第22或23题，若两题均选做，只计第22题的分。
【KS5U发布】辽宁省沈阳二中2021届高三上学期10月月考试题 数学(理) Word版含答案
沈阳二中2022——2021学年度上学期10月份小班化学习成果 阶段验收高三（ 15 届）数学（理科）试题命题人：高三数学组 审校人：高三数学组说明：1.测试时间：120分钟 总分：150分2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上第Ⅰ卷 （60分）一、选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
每题只有一个正确答案，将正确答案的序号涂在答题卡上.） 1．已知集合A ＝{x|0<log 4x<1}，B ＝{x|x≤2}，则A∩B ＝( ) A ．(0,1) B ．(0,2] C ．(1,2) D ．(1,2] 2．有关下列命题的说法正确的是（ ）A ．命题“若x 2=1,则x=1”的否命题为:若“x 2=1则x ≠1” B ．“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件C ．命题“∃x ∈R,使得x 2+x+1<0”的否定是:“∀x ∈R,均有x 2+x+1<0” D ．命题“若x=y,则sinx=siny ”的逆否命题为真命题3．已知函数()()2531m f x m m x--=--是幂函数且是()0,+∞上的增函数,则m 的值为（ ）A ．2B ．-1C ．-1或2D ．04．设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫13<f (2)<f ⎝⎛⎭⎫12 B ．f ⎝⎛⎭⎫12<f (2)<f ⎝⎛⎭⎫13 C ．f ⎝⎛⎭⎫12<f ⎝⎛⎭⎫13<f (2) D ．f (2)<f ⎝⎛⎭⎫12<f ⎝⎛⎭⎫13 5．函数)42sin(log 21π+=x y 的单调减区间为 （ ）A ．)(],4(Z k k k ∈-πππB ．)(]8,8(Z k k k ∈+-ππππC ．)(]8,83(Z k k k ∈+-ππππ D ．)(]83,8(Z k k k ∈++ππππ6．如图，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值（ ）A ．2413- B. 2213-C. 2313-D. 231-7．已知函数2()ln(193)1f x x x =++，则1(lg 2)(lg )2f f +等于（ ）A ．-1 B.0 C. 1 D. 28．tan70°cos10°(1－3tan20°)的值为( )A ．－1B ．1C ．－2D ．29．已知函数y ＝1－x ＋x ＋3的最大值为M ，最小值为m ，则mM的值为( )A.14B.12C.22D.3210．.已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(－∞，0)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C ．(0，1)D ．(0，＋∞)11. 设(0,),(0,),22ππαβ∈∈且1sin tan ,cos βαβ+=则 （ ） A ． 32παβ-=B.32παβ+=C.22παβ-=D.22παβ+=12. 已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，)3|2||(|21)(222a a x a x x f --+-=， 若R ∈∀x ，)()1(x f x f ≤-，则实数a 的取值范围为（ ）A.]61,61[-B.]66,66[-C. ]31,31[- D. ]33,33[-第Ⅱ卷 （90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分. 13.计算定积分=+⎰-dx x x 112)sin (__________14..设()f x R 是上的奇函数，且2'(1)0,0(1)()2()0f x x f x xf x -=>+-<当时，，则不等 式()0f x >的解集为15.对于函数sin ,sin cos ()cos ,sin cos x x xf x x x x ≤⎧=⎨>⎩给出下列四个命题：①该函数是以π为最小正周期的周期函数②当且仅当()x k k Z ππ=+∈时，该函数取得最小值是-1 ③该函数的图象关于直线52()4x k k Z ππ=+∈对称。
贵州省贵阳市第一中学2024-2025学年高三上学期第一次联考(9月月考)数学试卷(含答案)
数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号､在试题卷上作答无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}{}2230,1,2,3,4A xx x B =-->=∣，则A B ⋂=（ ） A.{}1,2 B.{}1,2,3 C.{}3,4 D.{}42.下列函数在其定义域内单调递增的是（ ） A.1y x=- B.2ln y x = C.32y x= D.e x y x =3.已知等差数列{}n a 满足376432,6a a a a +=-=，则1a =（ ）A.2B.4C.6D.8 4.已知点A 是抛物线()2:20C y px p =>上一点，若A 到抛物线焦点的距离为5，且A 到x 轴的距离为4，则p =（ ）A.1或2B.2或4C.2或8D.4或8 5.已知函数()23f x -的定义域为[]2,3.记()f x 的定义域为集合(),21x A f -的定义域为集合B .则“x A ∈”是“x B ∈”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.已知函数()f x 的定义域为R .设函数()()e x g x f x -=+，函数()()5e x h x f x =-.若()g x 是偶函数，()h x 是奇函数，则()f x 的最小值为（ ）A.eB.C.D.2e7.从51x ⎫⎪⎭的二项展开式中随机取出不同的两项，则这两项的乘积为有理项的概率为（ ） A.25 B.35 C.13 D.238.已知圆221:220C xy x y +--=，设其与x 轴､y 轴正半轴分别交于M ，N 两点.已知另一圆2C 的半径为1C 相外切，则22C M C N ⋅的最大值为（ ）A.20B. C.10D.二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.离散型随机变量的分布列如下表所示，,m n 是非零实数，则下列说法正确的是（ ）A.1m n +=B.X 服从两点分布C.()20242025EX << D.()D X mn =10.已知函数()()214log 21f x ax ax =-+，下列说法正确的是（ ）A.()f x 的定义域为R ，当且仅当01a <<B.()f x 的值域为R ，当且仅当1a …C.()f x 的最大值为2，当且仅当1516a =D.()f x 有极值，当且仅当1a <11.设定义在R 上的可导函数()f x 和()g x 的导函数分别为()f x '和()g x '，满足()()()()11,3g x f x f x g x --=''=+，且()1g x +为奇函数，则下列说法正确的是（ ）A.()00f = B.()g x 的图象关于直线2x =对称 C.()f x 的一个周期是4 D.20251()0k g k ==∑三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.过点()0,0作曲线(0x y a a =>且1)a ≠的切线，则切点的纵坐标为__________.13.今年暑期旅游旺季，贵州以凉爽的气候条件和丰富的旅游资源为依托，吸引了各地游客前来游玩.由安顺黄果树瀑布､荔波小七孔､西江千户苗寨､赤水丹霞､兴义万峰林､铜仁梵净山6个景点谐音组成了贵州文旅的拳头产品“黄小西吃晚饭”.小明和家人计划游览以上6个景点，若铜仁梵净山不安排在首末位置，且荔波小七孔和西江千户苗寨安排在相邻位置，则一共有__________种不同的游览顺序方案.（用数字作答）14.已知函数()223,0,ln ,0,x x x f x x x ⎧++=⎨>⎩…若存在实数123,,x x x 且123x x x <<，使得()()()123f x f x f x ==，则()()()112233x f x x f x x f x ++的最大值为__________.四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）下图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.图（1）是一个面积为1的实心正三角形，分别连接这个正三角形三边的中点，将原三角形分成4个小正三角形，并去掉中间的小正三角形得到图（2），再对图（2）中的每个实心小正三角形重复以上操作得到图（3），再对图（3）中的每个实心小正三角形重复以上操作得到图（4），…，依此类推得到n 个图形.记第n 个图形中实心三角形的个数为n a ，第n 个图形中实心区域的面积为n b .（1）写出数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设121121nn n n n c a b a b a b a b --=++++，证明43n n n a c a <…. 16.（本小题满分15分）如图，在三棱台111A B C ABC -中，111A B C 和ABC 都为等腰直角三角形，111112,4,90,CC C A CA ACC BCC CBA G ∠∠∠======为线段AC 的中点，H 为线段BC 上的点.（1）若点H 为线段BC 的中点，求证：1A B ∥平面1C GH ；（2）若平面1C GH 分三棱台111A B C ABC -所成两部分几何体的体积比为2:5，求二面角11C GH B --的正弦值.17.（本小题满分15分）已知双曲线()2222:10,0x y M a b a b -=>>与双曲线2222:12x y N m m-=的离心率相同，且M 经过点()2,2,N 的焦距为（1）分别求M 和N 的方程；（2）已知直线l 与M 的左､右两支相交于点,A B ，与N 的左､右两支相交于点C ，D ，AB CD=，判断直线l 与圆222:O xy a +=的位置关系.18.（本小题满分17分）为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按[)[)[)[)[]0,20,20,40,40,60,60,80,80,100分组，绘制频率分布直方图如图所示.试验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只.假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立.（1）填写下面的22⨯列联表，并根据列联表及0.01α=的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关； 单位：只（2）为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小白鼠产生抗体.（i ）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率P ；（ii ）以（i ）中确定的概率P 作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记100个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量X .求()EX 及()P X k =取最大值时的k 值.参考公式：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++（其中n a b c d =+++为样本容量）参考数据：19.（本小题满分17分）三角函数是解决数学问题的重要工具.三倍角公式是三角学中的重要公式之一，某数学学习小组研究得到了以下的三倍角公式：①3sin33sin 4sin θθθ=-；②3cos34cos 3cos θθθ=-. 根据以上研究结论，回答：（1）在①和②中任选一个进行证明； （2）已知函数()323f x x ax a =-+有三个零点123,,x x x 且123x x x <<.（i ）求a 的取值范围； （ii ）若1231x x x =-，证明：222113x x x x -=-.贵阳第一中学2025届高考适应性月考卷（一）数学参考答案一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）【解析】1.由题，{1A xx =<-∣或{}3},1,2,3,4x B >=，则{}4A B ⋂=，故选D.2.对于A 选项，1y x=-的定义域为()(),00,∞∞-⋃+，该函数在(),0∞-和()0,∞+上单调递增，在定义域内不单调；对于B 选项，2ln y x =的定义域为()(),00,∞∞-⋃+，该函数在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，在定义域内不单调；对于C 选项，32y x==[)0,∞+，该函数在定义域上单调递增；对于D 选项，e xy x =的定义域为().1e x y x =+'R ，当(),1x ∞∈--时，0y '<；当()1,x ∞∈-+时，0y '>，x e y x ∴=在(),1∞--上单调递减，在()1,∞-+上单调递增，因此该函数在定义域内不单调，故选C. 3.53756415232,16,26,3,44a a a a d a a d a a d =+===-===-=，故选B.4.设点()00,A x y ，则200002,5,24,y px p x y ⎧=⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩整理得582p p ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得2p =或8p =，故选C.5.()23f x -的定义域为[]2,3.当23x 剟时，()1233,x f x -∴剟的定义域为[]1,3， 即[]1,3A =.令1213x-剟，解得()12,21xx f ∴-剟的定义域为[]1,2，即[]1,2B =.,B A ⊆∴“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，故选B.6.由题，()()()()()()()(),e e ,5e 5e ,x x x xg x g x f x f x h x h x f x f x --⎧⎧=-+=-+⎪⎪⇒⎨⎨=---=--+⎪⎪⎩⎩解得()3e 2e x xf x -=+，所以()3e 2e x x f x -=+厖3e 2e x x -=，即12ln 23x =时，等号成立，min ()f x ∴= C.7.设51x ⎫⎪⎭的二项展开式的通项公式为53521551C C ,0,1,2kkk k kk T xk x --+⎛⎫=== ⎪⎝⎭，3,4,5，所以二项展开式共6项.当0,2,4k =时的项为无理项；当1,3,5k =时的项为有理项.两项乘积为有理数当且仅当此两项同时为无理项或同时为有理项，故其概率为223326C C 2C 5+=，故选A. 8.由题，221:(1)(1)2C x y -+-=，即圆心为()11,1C()()2,0,0,2MN ，MN 为1C 的直径.1C 与2C相外切，12C C ∴==由中线关系，有()()2222222222121222218240,202C M C NC M C N C C C MC M C N ++=+=⨯+=∴⋅=…，当且仅当22C M C N =时，等号成立，所以22C M C N ⋅的最大值为20，故选A.二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）【解析】9.对于A 选项，由分布列性质可知正确；对于B 选项，由两点分布定义可知错误；对于C 选项，()()()202420252024120252024.01,20242025E X m n n n n n E X =+=-+=+<<∴<<，正确；对于D 选项，令2024Y X =-，则Y 服从两点分布，()()1DY n n mn =-=，()()()2024D X D Y D Y mn ∴=+==，正确，故选ACD.10.令()2221,Δ44gx ax ax a a =-+=-，对于A 选项，()f x 的定义域为0a ⇔=R 或0,01Δ0a a >⎧⇔<⎨<⎩…，故A 错误；对于B 选项，()f x 的值域为()g x ⇔R 在定义域内的值域为()0,0,1Δ0a a ∞>⎧+⇔⇔⎨⎩……，故B 正确；对于C 选项，()f x 的最大值为()2g x ⇔在定义域内的最小值为()0,11511616116a a g >⎧⎪⇔⇔=⎨=⎪⎩，故C 正确；对于D 选项，()f x 有极值()g x ⇔在定义域内有极值()0,110a a g ≠⎧⇔⇔<⎨>⎩且0a ≠，故D 选项错误，故选BC.11.对于A 选项，因为()1gx +为奇函数，所以()10g =，又由()()11g x f x --=，可得()()()101,01g f f -==-，故A 错误；对于B 选项，由()()3f x g x '=+'可得()()3,f x g x C C =++为常数，又由()()11g x f x --=，可得()()11g x f x --=，则()()131g x g x C --+-=，令1x =-，得()()221g g C --=，所以1C =-，所以()()()13,g x g x g x -=+的图象关于直线2x =对称，故B 正确；对于C 选项，因为()1g x +为奇函数，所以()()()311gx g x g x +=-=-+，所以()()()()()2,42g x g x g x g x g x +=-+=-+=，所以()g x 是一个周期为4的周期函数，()()()()()()31,47131f x g x f x g x g x f x =+-+=+-=+-=，所以()f x 也是一个周期为4的周期函数，故C 正确；对于D 选项，因为()1g x +为奇函数，所以()()()()10,204g g g g ==-=-，又()()310g g ==，又()g x 是周期为4的周期函数，所以20251()(1)0k g k g ===∑，故D 正确，故选BCD.三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）【解析】12.设切点坐标为(),,ln ,tx t a y a a ='∴切线方程为ln x y a a x =⋅.将(),t t a 代入得ln t t a a t a ⋅=，可得1log e,ln a t a==∴切点纵坐标为elog e t a a a==.13.先对小七孔和千户苗寨两个相邻元素捆绑共有22A 种方法，再安排梵净山的位置共有13C 种方法，再排其余元素共有44A 种排法，故共有214234A C A 144⋅⋅=种不同的方案.14.设()()()123f x f x f x t ===，由()f x 的函数图象知，23t <…，又1232,ln x x x t +=-=，()()()3112233e ,2e t t x x f x x f x x f x t t =∴++=-+.令()()()()2e ,23,1e 20,t t t t t t t t t ϕϕϕ'=-+<=+->∴…在(]2,3上单调递增，则()3max ()33e 6t ϕϕ==-，()()()112233x f x x f x x f x ∴++的最大值为33e 6-.四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分） （1）解：数列{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列，因此11133n n n a --=⨯=；数列{}n b 是首项为1，公比为34的等比数列，因此，1133144n n n b --⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.（2）证明：由（1）可得1210121121121333333334444n n n n n n n n n c a b a b a b a b ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=⋅+⋅++⋅+⋅ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭12101111134444n n n ---⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦121114134311414n n n n --⎡⎤⎛⎫⋅-⎢⎥⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=⋅=⋅⋅-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦- 因为2114314411334n n n nn nc a --⎡⎤⎛⎫⋅⋅-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 所以413n n c a <…，所以43n n n a c a <….16.（本小题满分15分）（1）证明：如图1，连接1AC ，设11AC C G O ⋂=，连接1,HO AG ，三棱台111A B C ABC -，则11AC ∥AC ，又122CG AC ==， ∴四边形11AC CG 为平行四边形，则1CO OA =.点H 是BC 的中点，1BA ∴∥OH .又OH ⊂平面11,C HG A B ⊄平面1C HG ，1A B ∴∥平面1C HG .（2）解：因为平面1C GH 分三棱台111A B C ABC -所成两部分几何体的体积比为2:5，所以11127C GHC AB V V B C ABC -=-， 即()111111121373GHC ABC ABCAB C AB C S CC S S SSCC ⋅⋅=⋅⋅++⋅，化简得12GHC ABC S S =，此时点H 与点B 重合.1190C CA BCC ∠∠==，11,,C C BC CC AC BC AC C ∴⊥⊥⋂=且都在平面ABC ，则1CC ⊥平面ABC ，又ABC 为等腰直角三角形，则BG AC ⊥. 又由（1）知1AG ∥1CC ，则1AG⊥平面ABC ，建立如图2所示的坐标系,G xyz - 则()()()()2,0,0,0,2,0,0,0,0,0,2,0HA G C -，()()110,2,2,1,1,2C B --设平面1C HG 的法向量()()()1,,,0,2,2,2,0,0n x y z GC GH ==-=，则220,20,y z x -+=⎧⎨=⎩令1y =，解得()0,1,1n =， 设平面1BGH 的法向量()()1,,,1,1,2m a b c GB ==-， 则20,20,a b c a -+=⎧⎨=⎩令2b =，解得()0,2,1m =.设二面角11C GH B --的平面角为θ，2cos cos ,0m n m n m nθ⋅=<>===+，所以sin 10θ==，所以二面角11C GHB --的正弦值为10.17.（本小题满分15分）解：（1）由题意可知双曲线N 的焦距为m ==解得21m =，即双曲线22:12y N x -=.因为双曲线M 与双曲线N 的离心率相同，不妨设双曲线M 的方程为222yx λ-=，因为双曲线M 经过点()2,2，所以42λ-=，解得2λ=，则双曲线M 的方程为22124x y -=.（2）易知直线l 的斜率存在，不妨设直线l 的方程为()()()()11223344,,,,,,,,y kx t A x y B x y C x y D x y =+，联立22,,2y kx t y x λ=+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 并整理得()2222220,k x ktx t λ----= 此时()()222222Δ44220,20,2k t k t t k λλ⎧=+-+>⎪⎨--<⎪-⎩可得22k <，当2λ=时，由韦达定理得212122224,22kt t x x x x k k--+==--； 当1λ=时，由韦达定理得234342222,22kt t x x x x k k--+==--， 则2AB CD ====， 化简可得222t k +=， 由（1）可知圆22:2O x y +=，则圆心O 到直线l的距离d ==== 所以直线l 与圆O 相切或相交.18.（本小题满分17分）解：（1）由频率分布直方图知，200只小白鼠按指标值分布为：在[)0,20内有0.00252020010⨯⨯=（只）；在[20,40）内有0.006252020025⨯⨯=（只）；在[40,60）内有0.008752020035⨯⨯=（只）；在[60,80）内有0.025********⨯⨯=（只）；在[]80,100内有0.00752020030⨯⨯=（只）由题意，有抗体且指标值小于60的有50只；而指标值小于60的小白鼠共有10253570++=（只），所以指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只，同理，指标值不小于60且没有抗体的小白鼠有20只，故列联表如下：单位：只零假设为0H ：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联.根据列联表中数据，得220.01200(502020110) 4.945 6.6351604070130x χ⨯⨯-⨯=≈<=⨯⨯⨯. 根据0.01α=的独立性检验，没有充分证据认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关. （2）（i ）令事件A =“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，事件B =“小白鼠第二次注射疫苗产生抗体”，事件C =“小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”.记事件,,A B C 发生的概率分别为()()(),,P A P B P C ，则()()160200.8,0.520040P A P B ====，()1P C =-()()10.20.50.9P A P B =-⨯=.所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率0.9P =.（ii ）由题意，知随机变量()100,0.9XB ~， 所以()1000.990EX np ==⨯=. 又()()C 0.90.10,1,2,,kk n k n P X k k n -==⨯⨯=，设0k k =时，()P X k =最大， 所以00000000000010011910010010011101100100C 0.90.1C 0.90.1,C 0.90.1C 0.90.1,k k k k k k k k k k k k -++-----⎧⨯⨯≥⨯⨯⎪⎨⨯⨯≥⨯⨯⎪⎩ 解得089.990.9k 剟，因为0k 是整数，所以090k =.19.（本小题满分17分）（1）若选①，证明如下：()()22sin3sin 2sin2cos cos2sin 2sin cos 12sin sin θθθθθθθθθθθ=+=+=+-()()2232sin 1sin 12sin sin 3sin 4sin θθθθθθ=-+-=-若选②，证明如下：()()22cos3cos 2cos2cos sin2sin 2cos 1cos 2sin cos θθθθθθθθθθθ=+=-=--()3232cos cos 21cos cos 4cos 3cos θθθθθθ=---=-.（2）（i ）解：()233f x x a =-'， 当0a …时，()0f x '…恒成立，所以()f x 在(),∞∞-+上单调递增，至多有一个零点；当0a >时，令()0f x '=，得x =()0f x '<，得x <令()0f x '>，得x <x >所以()f x在(上单调递减，在(),,∞∞-+上单调递增. ()f x有三个零点，则(0,0,f f ⎧>⎪⎨<⎪⎩即2220,20,a a ⎧+>⎪⎨-<⎪⎩解得04a <<， 当04a <<时，4a +>且()()()()32224(4)3445160f a a a a a a a a a +=+-++=++++>， 所以()f x在)4a +上有唯一一个零点，同理()2220,g a --=-=< 所以()f x在(-上有唯一一个零点. 又()f x在(上有唯一一个零点，所以()f x 有三个零点， 综上可知a 的取值范围为()0,4. （ii ）证明：设()()()()321233f x x ax a x x x x x x =-+=---， 则()212301f a x x x ==-=.又04a <<，所以1a =. 此时()()()()210,130,110,230f f f f -=-<-=>=-<=>， 方程3310x x -+=的三个根均在()2,2-内，方程3310x x -+=变形为3134222x x ⎛⎫=⋅-⋅ ⎪⎝⎭， 令ππsin 222x θθ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭，则由三倍角公式31sin33sin 4sin 2θθθ=-=. 因为3π3π3,22θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以7ππ5π7ππ5π3,,,,,666181818θθ=-=-. 因为123x x x <<，所以1237ππ5π2sin,2sin ,2sin 181818x x x =-==， 所以222221π7ππ7π4sin 4sin 21cos 21cos 181899x x ⎛⎫⎛⎫-=-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7ππ5π7π2cos2cos2sin2sin 991818x x=-=--=-.13。
福建省莆田市高三数学10月月考试题 理(实验班)
福建省莆田市2018届高三数学10月月考试题 理（实验班）（时间120分钟，满分150分）一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确（每小题5分，共60分）． 1．设集合M ＝{y|y ＝2sinx ，x ∈[－5，5]}，N ＝{x|y ＝log 2(x －1)}，则M∩N＝( )A ．{x|1<x ≤5}B ．{x|－1<x≤0}C ．{x|－2≤x≤0}D ．{x|1<x ≤2} 2．若一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( ) A.π3 B.2π3C. 3D. 2 3．若S 1＝⎠⎛12x 2dx ，S 2＝⎠⎛121x dx ，S 3＝⎠⎛12e xdx ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 14．若A 为△ABC 的内角，且sin2A ＝－35，则cos(A ＋π4)等于( )A.255 B ．－255 C.55 D ．－555．在等差数列{a n }中，设S n 为其前n 项和，已知a 2a 3＝13，则S 4S 5等于( )A.815 B.40121 C.1625 D.576．已知函数f(x)＝ln(2x＋42x ＋a)的值域为R ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－4)B ．(－∞，－4]C ．(－4，＋∞)D ．[－4，＋∞) 7．若向量a ，b 满足：|a |＝1，(a ＋b )⊥a ，(2a ＋b )⊥b ，则|b|＝( )A ．2 B. 2 C ．1 D.228．函数y ＝cos6x2x －2－x 的图像大致为( )9．变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≥0，x －2y ＋2≥0，mx －y≤0.若z ＝2x －y 的最大值为2，则实数m 等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．210．已知函数f(x)＝－x 2＋4x 在区间[m ，n]上的值域是[－5，4]，则m ＋n 的取值范围是( )A ．[1，7]B ．[1，6]C ．[－1，1]D ．[0，6]11．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当z xy 取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为( )A ．0 B.98 C ．2 D.9412．给定方程(12)x＋sinx －1＝0，有下列四个命题：p 1：该方程没有小于0的实数解； p 2：该方程有有限个实数解； p 3：该方程在(－∞，0)内有且只有一个实数解； p 4：若x 0是该方程的实数解，则x 0>－1.其中的真命题是( )A ．p 1，p 3B ．p 2，p 3C ．p 1，p 4D ．p 3，p 4 二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)13．在梯形ABCD 中，已知AB∥CD，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点．若AB →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ＝________．14．A ，B 是非空集合，若a∈A，b ∈B ，且满足|a －b|∈A∪B，则称a ，b 是集合A ，B 的一对“基因元”．若A ＝{2，3，5，9}，B ＝{1，3，6，8}，则集合A ，B 的“基因元”的对数是________． 15．已知数集A ＝{a 1，a 2，a 3，a 4，a 5}(0≤a 1<a 2<a 3<a 4<a 5)具有性质P ：对任意i ，j ∈Z ，其中1≤i≤j≤5，均有a j －a i 属于A ，若a 5＝60，则a 3＝________．16．若数列{}n a 满足211()()lg(1)n n n n a a a n n n +-=+++，且11a =，则100a =__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或或演算步骤.第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答）(一)必考题：共60分17．（12分）已知向量m ＝(0，－1)，n ＝(cosA ，2cos 2C2)，其中A 、B 、C 是△ABC 的内角，且A 、B 、C 依次成等差数列，求|m ＋n |的取值范围．18．（12分）已知函数f(x)＝sin(x ＋7π4)＋cos(x －3π4)，x ∈R .(1)求f(x)的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0<α<β≤π2，求证：[f(β)]2－2＝0.19．（12分）已知△ABC 的三内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，向量m ＝(sinB ，1－cosB)与向量n ＝(2，0)的夹角θ的余弦值为12.(1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，求a ＋c 的取值范围．20．（12分）已知函数f(x)＝1＋lnxx.(1)若函数f(x)在区间(a ，a ＋23)(其中a>0)上存在极值，求实数a 的取值范围；(2)如果当x≥1时，不等式f(x)≥mx ＋1恒成立，求实数m 的取值范围．21．（12分）已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足1()()f x f x =，且当[1,)x ∈+∞时，11()e ln ()x f x x a x t x-=++--，t ∈R ．（Ⅰ）若0a ≥，试讨论函数()f x 的零点个数； （Ⅱ）若1t =，求证：当1a ≥-时，()0f x ≥．(二)选考题：共10分. 请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy ，直线l 的参数方程是+cos ,sin .x m t y t αα=⎧⎨=⎩（t 是参数）．在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C ：4cos ρθ=．（Ⅰ）当1m =-，=30α时，判断直线l 与曲线C 的位置关系；（Ⅱ）当1m =时，若直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，设(1,0)P ，且1PA PB -=,求直线l 的倾斜角．23．选修4—5：不等式选讲已知函数()()212f x x x t t =+--∈R ． （Ⅰ）当3t =时，解关于x 的不等式()1f x <； （Ⅱ）x ∃∈R ，使()5f x ≤-，求t 的取值范围．高三（上）十月份月考理科数学（A ）参考答案：1．D ，2．C ，3．B ，4．B ，5．A ，6．B ，7．B ，8．D ，9．C ，10．A ． 11．C ，12．D 13．45，14．13，15．30， 16．30017．解析 2B ＝A ＋C ，B ＝π3，A ＋C ＝2π3，∴0<A<2π3.m ＋n ＝(cosA ，2cos 2C2－1)＝(cosA ，cosC)，|m ＋n |＝cos 2A ＋cos 2C ＝1＋cos2A 2＋1＋cos2C2＝1＋12[cos2A ＋cos （4π3－2A ）] ＝1＋12cos （2A ＋π3）， ∵π3<2A ＋π3<5π3，∴－1≤cos(2A ＋π3)<12. ∴|m ＋n |∈[22，52)． 18．解：(1)∵f(x)＝sin(x ＋7π4－2π)＋sin(x －3π4＋π2)＝sin(x －π4)＋sin(x －π4)＝2sin(x －π4)，∴T ＝2π，f(x)的最小值为－2.(2)∵cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，∴cos βcos α＋sin βsin α＝45，cos βcos α－sin βsin α＝－45，两式相加，得2cos βcos α＝0.∵0<α<β≤π2，∴β＝π2. 由(1)知f(x)＝2sin(x －π4)，∴[f(β)]2－2＝4sin2π4－2＝4×(22)2－2＝0. 19．解：(1)∵m ＝(sinB ，1－cosB)，n ＝(2，0)， ∴m ·n ＝2sinB ，|m |＝sin 2B ＋（1－cosB ）2＝2－2cosB ＝2|sin B 2|.∵0<B<π，∴0<B 2<π2.∴sin B 2>0. ∴|m |＝2sin B2.又∵|n |＝2，∴cos θ＝m ·n |m |·|n |＝2sinB 4sinB 2＝cos B 2＝12. ∴B 2＝π3，∴B ＝23π.(2)由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2accos 23π＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c)2－ac≥(a＋c)2－(a ＋c 2)2＝34(a ＋c)2，当且仅当a ＝c 时，取等号．∴(a＋c)2≤4，即a ＋c≤2. 又a ＋c>b ＝3，∴a ＋c∈(3，2]．20．解： (1)因为函数f(x)＝1＋lnx x ，且定义域为{x|x>0}，所以f ′(x)＝－lnxx 2.当0<x<1时，f ′(x)>0；当x>1时，f ′(x)<0，∴f(x)在(0，1)上单调递增；在(1，＋∞)上单调递减，∴函数f(x)在x ＝1处取得极大值1.∵函数f(x)在区间(a ，a ＋23)(其中a>0)上存在极值，∴⎩⎪⎨⎪⎧a<1，a ＋23>1，解得13<a<1.(2)当x≥1时，不等式f(x)≥m x ＋1，即为（x ＋1）（1＋lnx ）x≥m.记g(x)＝（x ＋1）（1＋lnx ）x ，∴g ′(x)＝[（x ＋1）（1＋lnx ）]′x －（x ＋1）（1＋lnx ）x 2＝x －lnx x 2.令h(x)＝x －lnx ，则h ′(x)＝1－1x，∵x ≥1，∴h ′(x)≥0， ∴h(x)在[1，＋∞)上单调递增，∴h(x)min ＝h(1)＝1>0，从而g ′(x)>0，故g(x)在[1，＋∞)上也是单调递增，∴g(x)min ＝g(1)＝2，∴m ≤2. 21．解: （Ⅰ）[1,)x ∈+∞时，121()e 0x af x a x x-'=+++>，……………………………………1分∴()f x 在[1,)+∞上为增函数；………………………… 2分当(0,1]x ∈时，1[1,+x ∈∞），又1()()f x f x =，∴211()()0f x f x x''=-<， ∴()f x 在(0,1]上为减函数. …………………………3分 ∴min ()(1)1f x f t ==-．∴当1t <时，函数()f x 在定义域内无零点；当1t =时，函数()f x 在定义域内有一个零点； 当1t >时，(1)10f t =-<，取e 1t x =>，则ln x t =，∴1111()e ln ()e ()0x x f x x a x t a x x x--=++--=+->，∴函数()f x 在[1,)+∞上必有一个零点．又由1()()f x f x=，故函数()f x 在(0,1]上也必有一个零点．∴当1t >时，函数()f x 在定义域内有两个零点．…………………………6分 （Ⅱ）由1()()f x f x=，故而只需研究()f x 在[1,)+∞上的取值情况.当1a ≥-时，由10x x -≥，故11()a x x x x-≥-+， ∴111111()e ln ()1e ln 1(e )(ln 1)x x x f x x a x x x x x x x x---=++--≥+-+-=-++-，…………………7分设1()e x g x x -=-，则1()e 10x g x -'=-≥， ()g x 在[1,)+∞上单调递增， ∴()(1)0g x g ≥=， ∴1e x x -≥，………………………… 9分 ∴1ln x x -≥，又111ln x x -≥，故1ln 1x x ≥-，即1ln 10x x +-≥，…………………10分 ∴11(e )(ln 1)0x x x x--++-≥. ∴当1a ≥-时，当[1,)x ∈+∞时，11()e ln ()10x f x x a x x-=++--≥，又(0,1]x ∈时，1()()f x f x=，…………………………11分所以当(0,1)x ∈时，11()e ln ()10x f x x a x x-=++--≥也成立．综上，当1a ≥-时，()0f x ≥.………………………………………12分22．解：（Ⅰ）由4cos ρθ=，得24cos ρρθ=，又cos x ρθ=，sin y ρθ=，得曲线C 的普通方程为22(2)4x y -+=，…………………………… 2分 所以曲线C 是以(2,0)M 为圆心，2为半径的圆.由直线l的参数方程为1,21,2x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， 得直线l的直角坐标方程为10x +=．……………………………4分 由圆心M 到直线l的距离322d ==<，故直线l 与曲线C 相交. ………5分 （Ⅱ）直线l 为经过点(1,0)P 倾斜角为α的直线，由1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入22(2)4x y -+=，整理得22cos 30t t α--=，……………………6分2(2cos )120α∆=+>，设,A B 对应的参数分别为12,t t ，则122cos t t α+=，1230t t ⋅=-<，所以1t ，2t 异号， ……………………………7分则12|||||||||2cos |1PA PB t t α-=+==，……………………………8分所以1cos 2α=±又[)0,απ∈……………………………9分 所以直线l 倾斜角3πα=或23π. ………………10分23．解：（Ⅰ）原不等式可化为3,221231x x x ⎧>⎪⎨⎪+-+<⎩或132221231x x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪++-<⎩，或122123 1.x x x ⎧<-⎪⎨⎪--+-<⎩，........................３分 解得x ∈∅或1324x -≤<或12x <-． 综上，原不等式的解集是34x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭. ....................................5分 （Ⅱ）解：,x ∃∈R 使()5f x ≤-，等价于min ()5f x ≤-............................6分()()()212212=1+f x x x t x x t t =+--≤+-- ....................................................7分1+()1+t f x t∴-≤≤，所以()f x 取得最小值1+t -.......................................8分1+5t ∴-≤-， 得4t ≥或6,t ≤- ∴t 的取值范围是(][)64,-∞-+∞，.................10分。
2021-2022年高三上学期10月月考数学(理)试题含答案
2021-2022年高三上学期10月月考数学（理）试题含答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集集合{}{}1,2,5,4,5,6U A C B ==，则集合A. B. C. D.2.若，则下列不等式中成立的是A. B. C. D.3.函数的零点有A.0个B.1个C.2个D.3个 4.设0.13592,1,log 210a b g c ===，则a,b,c 的大小关系是 A. B. C. D.5.下面几种推理过程是演绎推理的是A.两条直线平行，同旁内角互补，如果是两条平行直线的同旁内角，则B.由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质C.某校高三共有10个班，1班有51人，2班有53人，三班有52人，由此推测各班都超过50人D.在数列中，()11111,221n n n a a a n a -⎛⎫==+≥ ⎪-⎝⎭，计算，由此猜测通项 6.已知函数的导函数为，且满足，则A. B. C.1 D.e7.函数)0,0y a a =>≠的定义域和值域都是，则A.1B.2C.3D.48.函数满足，那么函数的图象大致为9.设函数是定义在R 上周期为3的奇函数，若，则有 A. B. C.D.10.已知()32log ,03,,,,1108,333x x f x a b c d x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩是互不相同的正数，且()()()()f a f b f c f d ===，则abcd 的取值范围是A.B. C. D.第II 卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把答案填在题中横线上.11. __________.12.设实数满足240,0,0.x y x y y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪>⎩则的最大值为_________.13.观察下列式子222222131151117:1,1,1222332344+<++<+++<，…，根据上述规律，第n 个不等式应该为__________________________.14.在等式“”的两个括号内各填入一个正整数，使它们的和最小，则填入的两个数依次为_______、_______.15.下列四个命题：①命题“若a=0，则ab=0”的否命题是“若a=0，则ab ”；②若命题，则；③若命题“”与命题“”都是真命题，则命题q 一定是真命题；④命题“若，则()1log 1log 1a a a a ⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭”是真命题. 其中正确命题的序号是_________.（把所有正确命题序号都填上）三、解答题：本大题有6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤16. （本题满分12分）已知集合{}{}22log 8,0,14x A x x B xC x a x a x +⎧⎫=<=<=<<+⎨⎬-⎩⎭. （I ）求集合；（II ）若，求实数a 的取值范围.17. （本题满分12分）设命题p ：函数在R 上是增函数，命题()2:,2310q x R x k x ∃∈+-+=，如果是假命题，是真命题，求k 的取值范围.18. （本题满分12分）已知函数.（I ）若函数的图象在处的切线方程为，求a,b 的值；（II ）若函数在R 上是增函数，求实数a 的最大值.19. （本题满分12分）已知二次函数()()2,f x x bx c b c R =++∈. （I ）若，且函数的值域为，求函数的解析式；（II ）若，且函数在上有两个零点，求的取值范围.20. （本题满分13分）某地空气中出现污染，须喷洒一定量的去污剂进行处理.据测算，每喷洒1个单位的去污剂，空气中释放的浓度y （单位：毫克/立方米）随着时间x （单位：天）变化的函数关系式近似为161,04815,42x x y x x ⎧-≤≤⎪⎪-=⎨⎪-<≤10⎪⎩，若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当空气中去污剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到去污作用.（I ）若一次喷洒4个单位的去污剂，则去污时间可达几天？（II ）若第一次喷洒2个单位的去污剂，6天后再喷洒a （1≤a ≤4）个单位的去污剂，要使接下来的4天中能够持续有效去污，试求a 的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4）.21. （本题满分14分）设，函数.（I）求的单调递增区间；（II）设，问是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由；（III）设是函数图象上任意不同的两点，线段AB的中点为，直线AB的斜率为为k.证明：.T *35356 8A1C 訜21153 52A1 务24278 5ED6 廖37058 90C2 郂40714 9F0A 鼊B21961 55C9 嗉35803 8BDB 诛e24194 5E82 庂F。
江西省上饶市广丰一中2022届高三上学期第一次月考试题 数学(理) Word版含答案
广丰一中2021—2022学年上学期第一次月考高三数学（理）试卷命题人：刘小伟 审题人：胡孝海一、选择题（12×5=60）1、若复数z 满足1zii =-，其中i 为虚数为单位，则22015()2z =（ ）（A ）i （B ）-i （C ）1-i （D ）1i -+2、设集合A={x|1＜x ＜4}，集合B={x|x 2﹣2x ﹣3≤0}，则A ∩（∁R B ）=( )A ．（1，4）B ．（3，4）C ．（1，3）D ．（1，2）∪（3，4） 3、下列说法错误的是( )A ．若p ：∃x ∈R ，x 2－x ＋1＝0，则¬p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1≠0B ．“sin θ＝12”是“θ＝30°”的充分不必要条件C ．命题“若a ＝0，则ab ＝0”的否命题是“若a ≠0，则ab ≠0”D ．已知p ：∃x ∈R ，cos x ＝1，q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0，则“p ∧(¬q )”为假命题 4、已知0a >且1a ≠，若函数()()2log a f x ax x =-在[3，4]是增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．(1,)+∞B ．),1()41,61[+∞C ．),1()41,81[+∞ D ．)41,61[5、执行下面的程序框图，则输出的m 的值为( ) A ．5 B ．7 C ．9 D ．116、已知函数()()21cos ,4f x x x f x '=+是函数()f x 的导函数，则()f x '的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．7、某几何体的正（主）视图和侧（左）视图如图所示，则该几何体 的体积不行能是( )A ．13B ．6πC ．1D ． 238、已知函数f (x )＝log a x (0<a <1)的导函数为f ′(x )，M ＝f ′(a )，N ＝f (a ＋1)－f (a )，P ＝f ′(a ＋1)，Q ＝f (a ＋2)－f (a ＋1)，则A ，B ，C ，D 中最大的数是( )A ．MB ．NC ．PD ．Q9、已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (a 2log )＋f (a21log )≤2f (2)，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，4] B. (0，4] C.]41,0( D ．]4,41[ 10、如图，已知双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|=4，P 是双曲线右支上的一点，F 2P 与y 轴交于点A ，△APF 1的内切圆在边PF 1上的切点为Q ，若|PQ|=1，则双曲线的离心率是( )A ．3B ．2C ．D ．11、已知函数⎩⎨⎧>+-≤+=0,1)1(0,2)(2x x f x x x x f ，当]10,0[∈x 时，关于x 的 方程51)(-=x x f 的全部解的和为（ ）A ．55B ．100C ．110D ．12012、已知函数y ＝f (x )为奇函数，且对定义域内的任意x 都有f (1＋x )＝－f (1－x )．当x ∈(2，3)时，f (x )＝log 2(x－1)．给出以下4个结论：其中全部正确结论的为 （ ） ①函数y ＝f (x )的图象关于点(k ，0)(k ∈Z )成中心对称； ②函数y ＝|f (x )|是以2为周期的周期函数； ③函数y ＝f (|x |)在(k ，k ＋1)(k ∈Z )上单调递增；④当x ∈(－1，0)时，f (x )＝－log 2(1－x )． A ．①②④B ．②③C ．①④D ．①②③④二、填空题（本大题共4小题；每小题4分，共16分．把答案填写在答题卷相应位置上．）13、设函数122,1()1log ,1x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，则不等式f （x ）≤2的解集为 ． 14、已知点A (0,2)，抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，线段F A 交抛物线于点B ，过B 作l 的垂线，垂足为M ，若AM ⊥MF ，则p ＝__________.15．函数f (x )＝x ＋x 3x 4＋2x 2＋1的最大值与最小值之积等于________．16、设m ∈N ，若函数f (x )＝2x －m 10－x －m ＋10存在整数零点，则m 的取值集合为______________． 三、解答题17、(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |x 2－5x ＋4≤0}，集合B ＝{x |2x 2－9x ＋k ≤0}．(1)求集合A ．(2)若B ⊆A ，求实数k 的取值范围．18、（本题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ， 90ADC ∠=︒，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点， 2,PA PD AD AB ====1BC = （Ⅰ）求证：平面PQB ⊥平面PBC ；（Ⅱ）求二面角Q PC B --的平面角的正弦值。
吉林省长春市重点高中2021年高三上学期第一次月考理科数学试题及参考答案
根据题意,分析得当 , 与 相交,在 有两个交点,再根据周期性,作出函数图像,数形结合求解即可.
【试题解析】
解:当 时, 即
当 时,直线 过点 ,此时直线与半圆 相交,
当 时,圆心 到直线 的距离为 ,此时直线与与半圆 相切,
所以当 , 与 相交,在 有两个交点,
因为 的周期为 , 的周期为 ,且 是奇函数,
A. B. C. D.
3.已知向量 , 满足 ,且 与 夹角为 ,则 ()
A. B. C. D.
4.下列函数中,既是 上的增函数,又是以 为周期的偶函数的是()
A. B.
C. D.
5.已知命题 ：函数 在 内恰有一个零点；命题 ：函数 在 上是减函数.若 为真命题,则实数 的取值范围是()
A. B.
C. D.
6.若 , , ,则 ､ ､ 的大小关系为()
A. B. C. D.
7.已知函数f(x)＝lg(x2－2x－3)在(-∞,a)单调递减,则a的取值范围是()
A.(－∞,－1]B.(－∞,2]C.[5,＋∞)D.[3,＋∞)
8.已知函数 则不等式 的解集为()
A. B.
C. D.
9.2020年12月17日凌晨,嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆.嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度,主要是因为它采用弹跳式返回弹道,实现了减速和再入阶段弹道调整,这与“打水漂”原理类似(如图所示).现将石片扔向水面,假设石片第一次接触水面的速率为100 m/s,这是第一次“打水漂”,然后石片在水面上多次“打水漂”,每次“打水漂”的速率为上一次的90%,若要使石片的速率低于60 m/s,则至少需要“打水漂”的次数为(参考数据：取ln 0.6≈－0.511,ln 0.9≈－0.105)()
安徽省合肥168中学2016届高三数学上学期10月月考试卷 理(含解析)
2015-2016学年安徽省合肥168中学高三（上）10月月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.把答案填在答题卡的相应位置.）1．设集合M={（x，y）|x2+y2=1，x∈R，y∈R}，N={（x，y）|x2﹣y=0，x∈R，y∈R}，则集合M∩N中元素的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．42．函数y=的定义域是（）A．[﹣，﹣1）∪（1，] B．（﹣，﹣1）∪（1，）C．[﹣2，﹣1）∪（1，2] D．（﹣2，﹣1）∪（1，2）3．设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=（）A．0 B．1 C．2 D．34．在曲线y=x2上切线倾斜角为的点是（）A．（0，0）B．（2，4）C．（，）D．（，）5．偶函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为奇函数，且f（1）=1，则f（89）+f（90）为（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．16．已知a为常数，则使得成立的一个充分而不必要条件是（）A．a＞0 B．a＜0 C．a＞e D．a＜e7．若f′（x0）=﹣3，则=（）A．﹣3 B．﹣12 C．﹣9 D．﹣68．已知三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则=（）A．﹣1 B．2 C．﹣5 D．﹣39．已知f（x）=x3﹣3x+m，在区间[0，2]上任取三个数a，b，c，均存在以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形，则m的取值范围是（）A．m＞2 B．m＞4 C．m＞6 D．m＞810．已知f（x），g（x）都是R上的奇函数，f（x）＞0的解集为（a2，b），g（x）＞0的解集为（，），且a2＜，则f（x）g（x）＞0的解集为（）A．（﹣，﹣a2）∪（a2，）B．（﹣，a2）∪（﹣a2，）C．（﹣，﹣a2）∪（a2，b）D．（﹣b，﹣a2）∪（a2，）11．设x，y∈R，且满足，则x+y=（）A．1 B．2 C．3 D．412．函数y=2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，16]，当a变动时，函数b=g（a）的图象可以是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）13．f（x）=x（x﹣c）2在x=2处有极大值，则常数c的值为．14．已知集合，若3∈M，5∉M，则实数a的取值范围是．15．x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f（x）=x﹣[x]的最小正周期是．16．已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），且f（x）=a x g（x）（a＞0且a≠1），+=．若数列{}的前n项和大于62，则n的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的制定区域内.）17．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x=1对称．（1）证明：f（x）是周期为4的周期函数；（2）若f（x）=（0＜x≤1），求x∈[﹣5，﹣4]时，函数f（x）的解析式．18．已知函数f（x）=是奇函数．（1）求实数m的值；（2）若函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增，求实数a的取值范围．19．已知函数f（x）=ln．（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求证：当x∈（0，1）时，f（x）＞2（x+）20．已知P（x，y）为函数y=1+lnx图象上一点，O为坐标原点，记直线OP的斜率k=f（x）．（Ⅰ）若函数f（x）在区间（a，a+）（a＞0）上存在极值，求实数a的取值范围；（Ⅱ）如果对任意的x1，x2∈[e2，+∞），有|f（x1）﹣f（x2）|≥m||，求实数m的取值范围．21．已知x n是函数f（x）=x n+x n﹣1+x n﹣2+…+x﹣1（x＞0，n∈N且n≥2）的零点．（1）证明：＜x n+1＜x n＜1；（2）证明：＜．22．已知曲线C1：ρ=1，曲线C2：（t为参数）（1）求C1与C2交点的坐标；（2）若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C1′与C2′，写出C1′与C2′的参数方程，C1与C2公共点的个数和C1′与C2′公共点的个数是否相同，说明你的理由．2015-2016学年安徽省合肥168中学高三（上）10月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.把答案填在答题卡的相应位置.）1．设集合M={（x，y）|x2+y2=1，x∈R，y∈R}，N={（x，y）|x2﹣y=0，x∈R，y∈R}，则集合M∩N中元素的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】此题是点集求交集的题，也就是求交点问题，所以此题可以联立方程组，求方程组有几组解就有几个交点，也可以画图求解．【解答】解：根据题意，M∩N={（x，y）|x2+y2=1，x∈R，y∈R}∩{（x，y）|x2﹣y=0，x∈R，y∈R}═{（x，y）|}将x2﹣y=0代入x2+y2=1，得y2+y﹣1=0，△=5＞0，所以方程组有两组解，因此集合M∩N中元素的个数为2个，故选B．【点评】本题既是交集运算，又是函数图形求交点个数问题2．函数y=的定义域是（）A．[﹣，﹣1）∪（1，] B．（﹣，﹣1）∪（1，）C．[﹣2，﹣1）∪（1，2] D．（﹣2，﹣1）∪（1，2）【考点】函数的定义域及其求法；对数的运算性质．【专题】计算题．【分析】由函数表达式知，被开方数大于或等于0，故对数的真数大于0且对数值小于或等于1，x2﹣1＞0，且x2﹣1≤1；解可得答案．【解答】解：﹣≤x＜﹣1或1＜x≤．∴y=的定义域为[﹣，﹣1）∪（1，]．答案：A【点评】考查对数的定义域和单调性．3．设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的概念及应用．【分析】根据导数的几何意义，即f′（x0）表示曲线f（x）在x=x0处的切线斜率，再代入计算．【解答】解：，∴y′（0）=a﹣1=2，∴a=3．故答案选D．【点评】本题是基础题，考查的是导数的几何意义，这个知识点在高考中是经常考查的内容，一般只要求导正确，就能够求解该题．在高考中，导数作为一个非常好的研究工具，经常会被考查到，特别是用导数研究最值，证明不等式，研究零点问题等等经常以大题的形式出现，学生在复习时要引起重视．4．在曲线y=x2上切线倾斜角为的点是（）A．（0，0）B．（2，4）C．（，）D．（，）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题．【分析】根据切线的倾斜角的大小，求出其切点的坐标，故先设切点的坐标，利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：y'=2x，设切点为（a，a2）∴y'=2a，得切线的斜率为2a，所以2a=tan45°=1，∴a=，在曲线y=x2上切线倾斜角为的点是（，）．故选D．【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．5．偶函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为奇函数，且f（1）=1，则f（89）+f（90）为（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数的奇偶性的性质，得到f（x+8）=f（x），即可得到结论．【解答】解：∵f（x+2）为奇函数，∴f（﹣x+2）=﹣f（x+2），∵f（x）是偶函数，∴f（﹣x+2）=﹣f（x+2）=f（x﹣2），即﹣f（x+4）=f（x），则f（x+4）=﹣f（x），f（x+8）=﹣f（x+4）=f（x），即函数f（x）是周期为8的周期函数，则f（89）=f（88+1）=f（1）=1，f（90）=f（88+2）=f（2），由﹣f（x+4）=f（x），得当x=﹣2时，﹣f（2）=f（﹣2）=f（2），则f（2）=0，故f（89）+f（90）=0+1=1，故选：D．【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质，得到函数的对称轴是解决本题的关键．6．已知a为常数，则使得成立的一个充分而不必要条件是（）A．a＞0 B．a＜0 C．a＞e D．a＜e【考点】微积分基本定理；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题；导数的概念及应用．【分析】由定积分计算公式，求出函数f（x）=的一个原函数F（x）=lnx，从而利用微积分基本定理得到=lne，结合充分条件、必要条件的定义，即可得到不等式成立的一个充分而不必要条件．【解答】解：由积分运算法则，得=lnx=lne﹣ln1=1因此，不等式即即a＞1，对应的集合是（1，+∞）将此范围与各个选项加以比较，只有C项对应集合（e，+∞）是（1，+∞）的子集∴原不等式成立的一个充分而不必要条件是a＞e故选：C【点评】本题给出关于定积分的一个不等式，求使之成立的一个充分而不必要条件，着重考查了定积分计算公式和充要条件的判断等知识，属于基础题．7．若f′（x0）=﹣3，则=（）A．﹣3 B．﹣12 C．﹣9 D．﹣6【考点】导数的运算．【专题】导数的概念及应用．【分析】根据= [4]=4（）=4f′（x0），利用条件求得结果．【解答】解：∵f′（x0）=﹣3，则=[4]=4（）=4f′（x0）=4×（﹣3）=﹣12，故选：B．【点评】本题主要考查函数在某一点的导数的定义，属于基础题．8．已知三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则=（）A．﹣1 B．2 C．﹣5 D．﹣3【考点】函数在某点取得极值的条件；导数的运算．【专题】导数的综合应用．【分析】根据函数导数和极值之间的关系，求出对应a，b，c的关系，即可得到结论．【解答】解：由三次函数的图象可知，x=2函数的极大值，x=﹣1是极小值，即2，﹣1是f′（x）=0的两个根，∵f（x）=ax3+bx2+cx+d，∴f′（x）=3ax2+2bx+c，由f′（x）=3ax2+2bx+c=0，得2+（﹣1）==1，﹣1×2==﹣2，即c=﹣6a，2b=﹣3a，即f′（x）=3ax2+2bx+c=3ax2﹣3ax﹣6a=3a（x﹣2）（x+1），则===﹣5，故选：C【点评】本题主要考查函数的极值和导数之间的关系，以及根与系数之间的关系的应用，考查学生的计算能力．9．已知f（x）=x3﹣3x+m，在区间[0，2]上任取三个数a，b，c，均存在以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形，则m的取值范围是（）A．m＞2 B．m＞4 C．m＞6 D．m＞8【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题；压轴题．【分析】三角形的边长为正数，而且任意两边之和大于第三边才能构成三角形，故只需求出函数在区间[0，2]上的最小值与最大值，从而可得不等式，即可求解．【解答】解：由f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1）=0得到x1=1，x2=﹣1（舍去）∵函数的定义域为[0，2]∴函数在（0，1）上f′（x）＜0，（1，2）上f′（x）＞0，∴函数f（x）在区间（0，1）单调递减，在区间（1，2）单调递增，则f（x）min=f（1）=m﹣2，f（x）max=f（2）=m+2，f（0）=m由题意知，f（1）=m﹣2＞0 ①；f（1）+f（1）＞f（2），即﹣4+2m＞2+m②由①②得到m＞6为所求．故选C【点评】本题以函数为载体，考查构成三角形的条件，解题的关键是求出函数在区间[0，2]上的最小值与最大值10．已知f（x），g（x）都是R上的奇函数，f（x）＞0的解集为（a2，b），g（x）＞0的解集为（，），且a2＜，则f（x）g（x）＞0的解集为（）A．（﹣，﹣a2）∪（a2，）B．（﹣，a2）∪（﹣a2，）C．（﹣，﹣a2）∪（a2，b）D．（﹣b，﹣a2）∪（a2，）【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性的性质，求出不等式f（x）＜0和g（x）＜0的解集，进行求解即可．【解答】解：∵f（x），g（x）都是R上的奇函数，f（x）＞0的解集为（a2，b），g（x）＞0的解集为（，），且a2＜，∴f（x）＜0的解集为（﹣b，﹣a2），g（x）＜0的解集为（﹣，﹣），则不等式f（x）g（x）＞0等价为或，即a2＜x＜或﹣＜x＜﹣a2，故不等式的解集为（﹣，﹣a2）∪（a2，），故选：A．【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性的对称性的性质求出f（x）＜0和g （x）＜0的解集是解决本题的关键．11．设x，y∈R，且满足，则x+y=（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】函数的零点．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据条件，构造函数f（t）=t3+2t+sint，利用函数f（t）的奇偶性和单调性解方程即可．【解答】解：∵（x﹣2）3+2x+sin（x﹣2）=2，∴（x﹣2）3+2（x﹣2）+sin（x﹣2）=2﹣4=﹣2，∵（y﹣2）3+2y+sin（y﹣2）=6，∴（y﹣2）3+2（y﹣2）+sin（y﹣2）=6﹣4=2，设f（t）=t3+2t+sint，则f（t）为奇函数，且f'（t）=3t2+2+cost＞0，即函数f（t）单调递增．由题意可知f（x﹣2）=﹣2，f（y﹣2）=2，即f（x﹣2）+f（y﹣2）=2﹣2=0，即f（x﹣2）=﹣f（y﹣2）=f（2﹣y），∵函数f（t）单调递增∴x﹣2=2﹣y，即x+y=4，故选：D．【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，利用条件构造函数f（t）是解决本题的关键，综合考查了函数的性质．12．函数y=2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，16]，当a变动时，函数b=g（a）的图象可以是（）A．B．C．D．【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数的图象．【专题】计算题；压轴题；数形结合．【分析】根据a变动时，以及函数的值域可知b为定值4，结合选项即可得到答案．【解答】解：根据选项可知a≤0a变动时，函数y=2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，16]，∴2|b|=16，b=4故选B．【点评】本题主要考查了指数函数的定义域和值域，同时考查了函数图象，属于基础题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）13．f（x）=x（x﹣c）2在x=2处有极大值，则常数c的值为6 ．【考点】利用导数研究函数的极值．【专题】计算题．【分析】先求出f′（x），根据f（x）在x=2处有极大值则有f′（2）=0得到c的值为2或6，先让c=2然后利用导数求出函数的单调区间，从而得到x=2取到极小值矛盾，所以舍去，所以得到c的值即可．【解答】解：f（x）=x3﹣2cx2+c2x，f′（x）=3x2﹣4cx+c2，f′（2）=0⇒c=2或c=6．若c=2，f′（x）=3x2﹣8x+4，令f′（x）＞0⇒x＜或x＞2，f′（x）＜0⇒＜x＜2，故函数在（﹣∝，）及（2，+∞）上单调递增，在（，2）上单调递减，∴x=2是极小值点．故c=2不合题意，c=6．故答案为6【点评】考查学生利用导数研究函数极值的能力，会利用待定系数法求函数解析式．14．已知集合，若3∈M，5∉M，则实数a的取值范围是[1，）∪（9，25] ．【考点】其他不等式的解法．【专题】集合．【分析】根据分式不等式的解法，对实数a进行分类讨论，然后结合条件3∈M，5∉M进行求解．【解答】解：∵集合，得（ax﹣5）（x2﹣a）＜0，当a=0时，显然不成立，当a＞0时，原不等式可化为，若时，只需满足，解得；若，只需满足，解得9＜a≤25，当a＜0时，不符合条件，综上，故答案为[1，）∪（9，25]．【点评】本题重点考查分式不等式的解法，不等式的性质及其应用和分类讨论思想的灵活运用，属于中档题．15．x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f（x）=x﹣[x]的最小正周期是 1 ．【考点】函数的周期性．【专题】函数的性质及应用．【分析】当x∈[0，1）时，画出函数f（x）=x﹣[x]的图象，再左右扩展知f（x）为周期函数．由此利用数形结合思想能求出函数f（x）=x﹣[x]的最小正周期．【解答】解：∵x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，∴如图，当x∈[0，1）时，画出函数f（x）=x﹣[x]的图象，再左右扩展知f（x）为周期函数．结合图象得到函数f（x）=x﹣[x]的最小正周期是1．故答案为：1．【点评】本题考查函数的最小正周期的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．16．已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），且f（x）=a x g（x）（a＞0且a≠1），+=．若数列{}的前n项和大于62，则n的最小值为 6 ．【考点】数列的求和；导数的运算．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由已知条件推导出=a x，利用导数的性质求出=a x是增函数，利用+=推导出a=2．从而得到数列{}为{2n}．由此能求出结果．【解答】解：∵f（x）=a x g（x）（a＞0且a≠1），∴=a x，又∵f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），∴（）′=＞0，∴=a x是增函数，∴a＞1，∵+=．∴a1+a﹣1=，解得a=或a=2．综上得a=2．∴数列{}为{2n}．∵数列{}的前n项和大于62，∴2+22+23+…+2n==2n+1﹣2＞62，即2n+1＞64=26，∴n+1＞6，解得n＞5．∴n的最小值为6．故答案为：6．【点评】本题考查等比数列的前n项和公式的应用，巧妙地把指数函数、导数、数列融合在一起，是一道好题．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的制定区域内.）17．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x=1对称．（1）证明：f（x）是周期为4的周期函数；（2）若f（x）=（0＜x≤1），求x∈[﹣5，﹣4]时，函数f（x）的解析式．【考点】函数奇偶性的性质；函数解析式的求解及常用方法；函数的周期性．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）由函数f（x）的图象关于直线x=1对称，有f（x+1）=f（1﹣x），即有f（﹣x）=f（x+2）．又函数f（x）是定义在R上的奇函数，故f（x+2）=﹣f（x），得到f（x）是周期为4的周期函数．（2）根据函数f（x）是定义在R上的奇函数，得到x∈[﹣1，0]时的解析式．当x∈[﹣5，﹣4]时，x+4∈[﹣1，0]，写出解析式，得到x∈[﹣5，﹣4]时，函数f（x）的解析式．【解答】（1）证明：由函数f（x）的图象关于直线x=1对称，有f（x+1）=f（1﹣x），即有f（﹣x）=f（x+2）．又函数f（x）是定义在R上的奇函数，有f（﹣x）=﹣f（x）．故f（x+2）=﹣f（x）．从而f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x）．即f（x）是周期为4的周期函数．（2）解：由函数f（x）是定义在R上的奇函数，有f（0）=0．x∈[﹣1，0）时，﹣x∈（0，1]，．故x∈[﹣1，0]时，．x∈[﹣5，﹣4]时，x+4∈[﹣1，0]，．从而，x∈[﹣5，﹣4]时，函数f（x）的解析式为．【点评】本题考查函数奇偶性的性质，函数解析式的求解常用的方法，本题解题的关键是根据函数是一个奇函数对函数式进行整理，本题是一个中档题目．18．已知函数f（x）=是奇函数．（1）求实数m的值；（2）若函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增，求实数a的取值范围．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）根据函数奇偶性的性质建立条件关系即可．（2）利用数形结合，以及函数奇偶性和单调性的关系进行判断即可．【解答】解：（1）∵f（x）是奇函数，∴设x＞0，则﹣x＜0，∴f（﹣x）=（﹣x）2﹣mx=﹣f（x）=﹣（﹣x2+2x）从而m=2．（2）由f（x）的图象知，若函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增，则﹣1≤a﹣2≤1∴1≤a≤3【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用以及函数单调性的判断，利用数形结合是解决本题的关键．19．已知函数f（x）=ln．（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求证：当x∈（0，1）时，f（x）＞2（x+）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）求得函数的导数，求得切线的斜率和切点坐标，即可得到所求切线的方程；（2）构造函数y=ln﹣2（x+），0＜x＜1，求得导数，判断符号，由单调性即可得证．【解答】（1）解：f（x）=ln的导数为f′（x）==﹣，可得在点（0，f（0））处的切线斜率为2，切点（0，0），即有在点（0，f（0））处的切线方程为y=2x；（2）证明：由y=ln﹣2（x+），0＜x＜1，导数为y′=﹣2（1+x2）=﹣2（1+x2）=，由0＜x＜1可得＞0，即导数y′＞0在（0，1）恒成立，则有函数y=ln﹣2（x+）在（0，1）递增，则有ln﹣2（x+）＞0，故有当x∈（0，1）时，f（x）＞2（x+）．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间，考查不等式的证明，注意运用单调性，属于中档题．20．已知P（x，y）为函数y=1+lnx图象上一点，O为坐标原点，记直线OP的斜率k=f（x）．（Ⅰ）若函数f（x）在区间（a，a+）（a＞0）上存在极值，求实数a的取值范围；（Ⅱ）如果对任意的x1，x2∈[e2，+∞），有|f（x1）﹣f（x2）|≥m||，求实数m的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】（I）由斜率计算公式可得f（x）=，再利用函数在区间（a，a+）（a＞0）上存在极值时与参数的关系即可得出；（（II）由（I）可知：函数f（x）在∈[e2，+∞）单调递减，不妨设，则|f（x1）﹣f（x2）|≥m||，⇔f（x2）﹣f（x1）|≥m⇒．⇔函数F（x）=f（x）﹣在∈[e2，+∞）单调递减，再利用导数研究其单调性即可．【解答】解：（I）k=f（x）=，f′（x）=，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当1＜x时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．故f（x）在x=1处取得极大值1．∵函数f（x）在区间（a，a+）（a＞0）上存在极值，∴，解得，∴实数a的取值范围是．（II）由（I）可知：函数f（x）在∈[e2，+∞）单调递减，不妨设，则|f（x1）﹣f（x2）|≥m||⇔f（x2）﹣f（x1）|≥m⇒⇔函数F（x）=f（x）﹣在x∈[e2，+∞）单调递减．F（x）=，x∈[e2，+∞）．∴F′（x）=≤0在x∈[e2，+∞）恒成立，∴m≤lnx在x∈[e2，+∞）上恒成立，∴m≤2．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、在给出含参数区间上取得极值的条件、恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．21．已知x n是函数f（x）=x n+x n﹣1+x n﹣2+…+x﹣1（x＞0，n∈N且n≥2）的零点．（1）证明：＜x n+1＜x n＜1；（2）证明：＜．【考点】综合法与分析法(选修）；函数零点的判定定理；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】综合题；导数的综合应用．【分析】（1）求导数，证明f（x）在（0，+∞）上是增函数，利用f（1）=n﹣1＞0，f（）=1﹣＜0，可得f（x）在（，1）内有唯一零点，利用反证法证明x n+1＜x n；（3）原不等式等价于x2+x3+…+x n＜，证明x n＜+，即可得出结论．【解答】证明：（1）∵f（x）=x n+x n﹣1+x n﹣2+…+x﹣1，∴f′（x）=nx n﹣1+（n﹣1）x n﹣2+…+2x+1，∵x＞0，∴f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，且连续∵f（1）=n﹣1＞0，f（）=1﹣＜0，∴f（x）在（，1）内有唯一零点，∴＜x n＜1，假设：x n+1≥x n，∴x n+1n+1+x n+1n+x n﹣2+…+x n+1﹣1＞x n n+x n n﹣1+x n n﹣2+…+x n﹣1，∴f（x n+1）＞f（x n），即0＞0，矛盾，∴x n+1＜x n，∴＜x n+1＜x n＜1；（2）原不等式等价于x2+x3+…+x n＜，∵|f（x n）﹣f（）|=|x n n+x n n﹣1+x n n﹣2+…+x n﹣1﹣）n﹣…﹣+1|＞x n﹣f（x n）=0，f（）=﹣，∴x n＜+，∴x2+…+x n＜+=+﹣＜∴＜．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的零点，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，难度大．22．已知曲线C1：ρ=1，曲线C2：（t为参数）（1）求C1与C2交点的坐标；（2）若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C1′与C2′，写出C1′与C2′的参数方程，C1与C2公共点的个数和C1′与C2′公共点的个数是否相同，说明你的理由．【考点】简单曲线的极坐标方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；坐标系和参数方程．【分析】（1）分别求出C1的直角坐标方程和C2的普通方程，联立方程组能求出C1与C2交点的坐标．（2）压缩后的参数方程分别为：（θ为参数）：（t为参数），化为普通方程，联立消元，由其判别式得到压缩后的直线与椭圆仍然只有一个公共点，和C1与C2公共点个数相同．【解答】解：（1）∵曲线C1：ρ=1，∴C1的直角坐标方程为x2+y2=1，∴C1是以原点为圆心，以1为半径的圆，∵曲线C2：（t为参数），∴C2的普通方程为x﹣y+=0，是直线，联立，解得x=﹣，y=．∴C2与C1只有一个公共点：（﹣，）．（2）压缩后的参数方程分别为：（θ为参数）：（t为参数），化为普通方程为：：x2+4y2=1，：y=，联立消元得，其判别式，∴压缩后的直线与椭圆仍然只有一个公共点，和C1与C2公共点个数相同．【点评】本题考查两曲线的交点坐标的求法，考查压缩后的直线与椭圆的公共点个数的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意一元二次方程的根的判别式的合理运用．。
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第一次月考数 学理试题【新课标Ⅱ版】 1. 已知全集{0,1,2,3,4}U，集合{1,2,3}A，{2,4}B，则BACU）（为 A．{1,2,4} B．{2,3,4} C．{0,2,4} D．{0,2,3,4} 2. 复数11i
A. 1122i B.1122i C. 1i D. 1i
3．双曲线15422yx的焦点到其渐近线的距离等于 A. 42 B. 5 C.3 D.5 4. 设等比数列{}na的公比2q，前n项和为nS，则42Sa
A. 152 B. 172 C. 4 D. 2 5.把4名大学实习生分到高一年级3个不同的班，每个班至少分到 1名实习生，则不同分法的种数为
A．72 B．48 C．36 D．24
6．执行如图所示的程序框图，若a的值为5，输出的结果是 A．1615 B． 87 C．6463 D． 3231 7. 在三棱柱111ABCABC中，侧棱垂直于底面，3ABBCCA，221AA，则该三棱柱外接球的体积等于
A．23 B．6 C．43 D．12 8. 已知1F，2F为双曲线C：222yx的左、右焦点，点P在C上，212PFPF，则21cosPFF
A．14 B．35 C．54 D．43
9. 将函数()sin()fxx的图像向左平移2个单位.若所得图象与原图象重合，则 的值不可能．．．等于 A.6 B.4 C.12 D.8 10.函数)(sinxeyx的大致图像为 A B C D 11. 如右图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表 面积是 A． 162 B． 16 C． 122 D． 12 12. 定义在R上的函数)(xf满足)()6(xfxf，当
13x时，2)2()(xxf，当31x时，
xxf)(.则)2012(...)2()1(fff
A．335 B．338 C．1678 D．2012
第II卷（非选择题 共90分） 注意事项： 用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效.
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置。 13．,abrr的夹角为0120，1,3abrr，则5abrr .
14．若实数xy，满足0001xyxyx，则点),(yx到直线3xy的距离的取值范围是 ． 15．在一次试验中，同时抛掷两枚骰子，若至少出现一次5点或6点，则称此次试验成功.重复做这样的试验3次，则恰有2次试验成功的概率为__________________.
16．设函数为无理数为有理数xxxD,0,1)(，则下列结论正确的有 （把你认为正确的序号都写上）. ①)(xD的值域为}1,0{ ②)(xD的图象关于y轴对称 ③)(xD不是周期函数 ④)(xD不是单调函数 三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤. 17.(本小题满分10分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为cba,,，且BaAbcos3sin． （Ｉ）求角B的大小； （Ⅱ）若3b，ACsin2sin，求ca,的值. 18．(本小题满分12分) 设数列}{na的前n项和为nS，已知11,(1)(1,2,3,).nnaSnannnL （Ⅰ）求证：数列}{na为等差数列，并求其通项公式na；
（Ⅱ）若数列11{}nnaa前n项和为nT，问满足100209nT的最小正整数是多少?
19. (本小题满分12分) 为了比较注射,AB两种药物后产生的皮肤疱疹的面积,选200只老鼠做试验,将这200只老鼠随机地分成两组,每组100只,其中一组注射药物A(称为A组),另一组注射药物B(称为B组),则,AB两组老鼠皮肤疱疹面积(单位:2mm)的频数分布表、频率分布直方图
分别如下. 疱疹面积 )65,60[ )70,65[ )75,70[ )80,75[
频数 20 50 20 10 (Ⅰ)为方便A,B两组试验对比,现都用分层抽样方法从A,B两组中各挑出20只老鼠,求AB、两组皮肤疱疹面积同为[60,65)的这一区间应分别挑出几只?
21．(本小题满分12分) 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆1C：22221xyab（0ab）的左焦点为
1(1,0)F，且点(0,1)P在1C上.
（Ⅰ）求椭圆1C的方程； （Ⅱ）设直线l同时与椭圆1C和抛物线2C：24yx相切，求直线l的方程.
22．(本小题满分12分) 已知函数()xfxeax，()lnxgxex.（其中e为自然对数的底数）， （Ⅰ）设曲线()yfx在1x处的切线与直线(1)1xey垂直，求a的值； （Ⅱ）若对于任意实数x≥0，()0fx恒成立，试确定实数a的取值范围； （Ⅲ）当1a时，是否存在实数01,xe，使曲线C：()()ygxfx在点0xx 处的切线与y轴垂直？若存在，求出0x的值；若不存在，请说明理由. 参考答案 一.选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C A B A C D C D A B B B
二.填空题 13. 7; 14. ]22223[，; 15. 243100 16. ①②④
19. 【解】(Ⅰ)由A组频数分布表可知,A组中[60,65)这一小组的频数为20, 由B组频率分布直方图可知,B组中[60,65)这一小组的频率为 1(0.0550.0450.0650.035)0.1 所以这一小组频数为1000.110
由于是分层抽样,所以20204100,20102100 即AB、两组中皮肤疱疹面积同为[60,65)的这一区间应分别挑出4只、2只 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,A,B两组中[60,65)这一区间上挑出的老鼠分别有4只、2只, 的可能取值为0，1，2
156)0(2624CCP,158)1(261214CCCP ,
151)2(2622CCP
的分布列为
0 1 2 P 156 158 151
的数学期望为
32151215811560)(E．
20.【解】证明（Ⅰ）∵2ACBC，90ACBo ∴22AB即22APBP 又PCAC∴ACPRt中， 22AP 2AC 则2PC
∴在BPC中2,22BCPCBP ∴90PCBo即PCBC分 ∵PCBC，,PCACACBCCI ∴PC面ABC ∴PCAB 解法一:（Ⅱ）以C为原点，CPCB,CA,为,,xyz轴建系,则
0,0,0C，0,2,0A,2,0,0B, 0,0,2P
设面BAP法向量为,,uxyzr 2,2,0BAuuur 2,0,2BP
uuur
00BAuBPuuuurrguuurrg 即 220220xyxz
令1x，有1xyz，∴1,1,1ur 又面APC法向量为1,0,0vr
设BAPC大小为,∴cos||||||uvuvrrrr=3
3
解法二：（Ⅱ）取PA的中点M连接MC,连接MB,则MBPA 由(1)得 BCPAC平面 ∴CMPA, ∴BMCBPAC为二面角的平面角 tRBMCV在中 390,226,22BCMBMMCoQ
3362BMCCOS
∴二面角BAPC的余弦值为33.
21. 【解析】（I）因为椭圆1C的左焦点为1(1,0)F，所以1c，点(0,1)P代入椭圆A
C
PBM 22221xyab，得211b，即1b，所以2222abc，所以椭圆1C的方程为2212xy
.
（Ⅱ）直线l的斜率显然存在，设直线l的方程为ykxm， 2212xyykxm
，消去y并整理得222(12)4220kxkmxm，
因为直线l与椭圆1C相切，所以2222164(12)(22)0kmkm， 整理得22210km ① 24yxykxm
，消去y并整理得222(24)0kxkmxm。
因为直线l与抛物线2C相切，所以222(24)40kmkm， 整理得1km ②
综合①②，解得222km或222km.
所以直线l的方程为222yx或222yx. 22.【解析】（Ⅰ）()xfxea，因此()yfx在1,(1)f处的切线l的斜率为ea，又直线(1)1xey的斜率为11e， ∴（ea）11e＝－1，∴ a＝－1. （Ⅱ）∵当x≥0时，()xfxeax0恒成立， ∴ 先考虑x＝0，此时， 1)(xf，a可为任意实数；
又当x＞0时，()xfxeax0恒成立，则xeax恒成立，
设()hx＝xex，则()hx＝2(1)xxex， 当x∈(0,1)时，()hx＞0，()hx在(0,1)上单调递增， 当x∈(1,＋∞)时，()hx＜0，()hx在(1,＋∞)上单调递减， 故当x＝1时，()hx取得极大值，max()(1)hxhe， ∴ 要使x≥0，()0fx恒成立，a＞－e，∴ 实数a的取值范围为,e． （Ⅲ）依题意，曲线C的方程为lnxxyexex，
令()ux＝lnxxexex，则()ln1xxxeuxexex＝1ln11xxex
设1()ln1vxxx，则22111()xvxxxx， 当1,xe，()0vx，故()vx在1,e上的最小值为(1)0v，所以()vx≥0，又0xe，∴1()ln11xuxxex＞0，而若曲线C：()()ygxfx在点0xx处的切线与y轴垂直，则0()ux＝0，矛盾.所以，不存在实数01,xe，使曲线C：()()ygxfx在