等腰三角形性质及判定
等腰三角形的性质与判定
第05讲等腰三角形的性质与判定【学习目标】1.了解等腰三角形的有关概念，探索并掌握性质及判定方法。
【基础知识】一．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．二．等腰三角形的判定判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．②等腰三角形的判定和性质互逆；③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；④判定定理在同一个三角形中才能适用．三．等腰三角形的判定与性质1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．【考点剖析】一．等腰三角形的性质（共7小题）1．（2021秋•盱眙县期末）如果等腰三角形两边长是5cm和2cm，那么它的周长是（）A．7cm B．9cm C．9cm或12cm D．12cm2．（2021秋•抚远市期末）等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个三角形的周长是（）A．15B．12C．12或15D．93．（2022春•鼓楼区校级期中）如图，在△ABC中，∠A＝α，∠B＝∠C，点D是△ABC外一点，E，F分别在AB，AC上，ED与AC交于点G，且∠D＝∠B，若∠1＝2∠2，则∠EGF的度数为（）A．180°﹣2αB．60°+13αC．90°−32αD．30°+23α4．（2022春•镇江期中）三角形的三边长为2，a，5，如果这个三角形中有两条边相等，那么它的周长是．5．（2022春•金湖县校级月考）在△ABC中，∠C＝30°，且∠A＝∠B；求∠A的度数．6．（2022春•睢宁县月考）一个等腰三角形的两条边长为4，7，那么它的周长是多少？7．（2021秋•邗江区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE分别交AC、AB于点D、E．（1）若∠A＝50°，求∠CBD的度数；（2）若AB＝7，△CBD周长为12，求BC的长．二．等腰三角形的判定（共7小题）8．（2021秋•仪征市期末）在△ABC中，∠A＝100°，当∠B＝°时，△ABC是等腰三角形．9．（2021秋•靖江市期末）已知a，b是△ABC的两条边长，且a2+b2﹣2ab＝0，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．锐角三角形D．不确定10．（2021秋•滨海县期末）用三根木棒首尾相连围成一个等腰三角形，其中两根木棒的长度分别为3cm和6cm，则第三根木棒长为cm．11．（2021秋•泗阳县期中）如图，∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，AD∥BC．（1）求证：AB＝AC；（2）若点H是BC的中点，求证：AH⊥AD．12．（2021秋•鼓楼区校级期末）下列长度的三条线段能组成等腰三角形的是（）A．1，2，3B．3，4，5C．2，2，3D．2，2，413．（2021秋•龙华区校级期末）如图，在3×3的正方形网格中，点A、B在格点上，要找一个格点C，使△ABC是等腰三角形（AB是其中一腰），则图中符合条件的格点有（）A．2个B．3个C．4个D．5个14．（2020秋•定西期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？（2）当点Q在边CA上运动时，出发几秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？三．等腰三角形的判定与性质（共6小题）15．（2020秋•绿园区期末）如图，直线l分别与直线AB、CD相交于点E、F，EG平分∠BEF交直线CD 于点G，若∠1＝∠BEF，若EF＝3，则FG为（）A．4B．3C．5D．1.516．（2021•建湖县二模）若一条长为32cm的细线能围成一边长等于8cm的等腰三角形，则该等腰三角形的腰长为cm．17．（2021秋•句容市期末）如图，BD平分∠ABC，DE∥BC交BA于点E，若DE=52，则EB＝．18．（2021秋•射阳县校级期末）已知：如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，且MN ∥BC，分别交AB、AC于点M、N．求证：MN＝BM+CN．19．（2021秋•盱眙县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是AB的中点，连结DE．（1）求证：△ABD是等腰三角形；（2）求∠BDE的度数．20．（2021秋•苏州期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠B＝62°，AB+BD＝CD，则∠BAC的度数为（）A．87°B．88°C．89°D．90°【过关检测】一．选择题（共6小题）1．（2021秋•溧阳市期末）若等腰三角形边长别为6cm和3cm，则该等腰三角形的周长是（）A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm2．（2021秋•江阴市期末）等腰三角形的周长为21cm，其中一边长为5cm，则该等腰三角形的底边长为（）A．5cm B．11cm C．8cm或5cm D．11cm或5cm3．（2022•陕西模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，点E为AC的中点，连接DE．若△ABC 的周长为20cm，则△CDE的周长为（）A．10 cm B．12 cm C．14 cm D．16cm4．（2022•黔东南州模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD为△ABC的高．若∠CBD＝20°，则∠BAC 的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°5．（2021秋•鼓楼区校级期末）下列长度的三条线段能组成等腰三角形的是（）A．1，2，3B．3，4，5C．2，2，3D．2，2，46．（2021秋•靖江市期末）已知a，b是△ABC的两条边长，且a2+b2﹣2ab＝0，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．锐角三角形D．不确定二．填空题（共3小题）7．（2021秋•溧水区期末）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，MN经过点O，且MN ∥BC，分别交AB、AC于点M、N．若BM＝3cm，MN＝5cm，则CN＝cm．8．（2021秋•宁津县期末）如图，△ABC中，∠A＝∠ACB，CP平分∠ACB，BD，CD分别是△ABC的两外角的平分线，下列结论中：①CP⊥CD；②∠P=12∠A；③BC＝CD；④∠D＝90°−12∠A；⑤PD∥AC．其中正确的结论是（直接填写序号）．9．（2021秋•东城区校级期末）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若BE＝3，CD＝4，ED＝5，则FG的长为．三．解答题（共3小题）10．（2022春•无锡期中）如图①，△ABC的角平分线BD、CE相交于点P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；（2）如图②，过P点作直线MN，分别交AB和AC于点M和N，且MN平行于BC，试求∠MPB+∠NPC 的度数（用含∠A的代数式表示）；（3）将（2）中的直线MN绕点P旋转，分别交线段AB于点M（不与A、B重合），交直线AC于N，试探索∠MPB、∠NPC、∠A三者之间的数量关系，并说明理由．11．（2021秋•淮安区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E，求∠DBC的度数．12．（2021秋•泗洪县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，角平分线BD，CE相交于点O，求证：OB＝OC．第05讲等腰三角形的性质与判定【学习目标】1.了解等腰三角形的有关概念，探索并掌握性质及判定方法。
等腰三角形的性质与判定
等腰三角形的性质与判定等腰三角形是初中数学中的一个重要概念，它具有一些独特的性质和判定方法。
在本文中，我们将探讨等腰三角形的性质和判定，并通过几个例子加深理解。
首先，我们来了解等腰三角形的定义。
等腰三角形是指具有两条边相等的三角形。
根据这个定义，我们可以得出等腰三角形的第一个性质：等腰三角形的底角（底边对应的角）是相等的。
这是因为等腰三角形的两条边相等，所以它们对应的角也必须相等。
接下来，我们来探讨等腰三角形的第二个性质：等腰三角形的高线（从顶点到底边的垂直线段）是对称轴。
这个性质可以通过几何推理来证明。
假设我们有一个等腰三角形ABC，其中AB = AC。
如果我们从顶点A向底边BC引一条垂直线段AD，我们可以证明BD = CD。
这是因为在等腰三角形中，高线将底边等分，所以BD = CD。
这也意味着高线AD是底边BC的中垂线，而中垂线是对称轴。
除了这些基本性质外，等腰三角形还有一些判定方法。
首先，我们可以通过边长判定法来判断一个三角形是否为等腰三角形。
如果一个三角形的两条边相等，那么它就是等腰三角形。
其次，我们可以通过角度判定法来判断一个三角形是否为等腰三角形。
如果一个三角形的两个角相等，那么它就是等腰三角形。
这两种判定方法可以互相验证，帮助我们确定一个三角形是否为等腰三角形。
让我们通过一个例子来加深对等腰三角形性质和判定的理解。
假设我们有一个三角形DEF，其中DE = DF。
我们可以通过边长判定法得出这个三角形是等腰三角形。
接下来，我们可以通过角度判定法验证这个结论。
如果我们发现角D和角E相等，那么我们可以确定这个三角形是等腰三角形。
通过计算角度，我们可以发现角D和角E的度数相等，所以我们可以得出结论：三角形DEF是等腰三角形。
在实际生活中，等腰三角形的性质和判定方法也有一些应用。
例如，在建筑设计中，等腰三角形的对称性可以用于设计对称美观的建筑物。
在工程测量中，等腰三角形的判定方法可以帮助工程师确定一个三角形的性质，从而更好地进行测量和计算。
等腰三角形的判定定理
等腰三角形的判定定理
有两边相等的三角形叫做等腰三角形；有两角相等的三角形是等腰三角形；（斯坦纳—雷米欧斯定理）有两内角平分线到各自对边的长度相等的三角形是等腰三角形。
等边三角形也属于等腰三角形。
等腰三角形的性质
1、等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
2、等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“三线合一”）。
3.等腰三角形两个底角的平分线相等(两腰中线相等，两腰高度相等)。
4.等腰三角形底边的中垂线到两腰的距离相等。
5.等腰三角形的一个腰的高度和底边之间的夹角等于顶角的一半。
6.等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和等于一腰的高度(用等面积法证明)。
7.等腰三角形是至少有一个对称轴的轴对称图形。
顶角平分线所在的线就是它的对称轴，等边三角形有三个对称轴。
等腰直角三角形
有一个直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形。
很明显，它是一个特殊的三角形，具有等腰三角形的所有性质，也具有直角三角形的所有性质。
1.1等腰三角形的性质和判定
第一章图形与证明（二）1.1 等腰三角形的性质和判定Ⅰ.核心知识点扫描1.等腰三角形和等边三角形的性质和判定性质判定等腰三角形⑴等腰三角形两个底角相等(简称“等边对等角”) .⑵等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称“三线合一”).⑴如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.⑵定义：如果一个三角形中有两条边相等，那么这个三角形是等腰三角形.图示（1）在△ABC中，∵AB=AC ∴∠B=∠C；（2）在△ABC中，AB=AC.若∠BAD=∠CAD，那么AD⊥BC，BD=CD；若BD=CD，那么∠BAD=∠CAD，AD⊥BC；若AD⊥BC，那么∠BAD=∠CAD，BD=CD.在△ABC中，∵∠B=∠C ∴AB=AC.等边三角形⑴等边三角形是特殊的等腰三角形，因此等边三角形具有等腰三角形的所有性质，并且，在每条边上都有“三线合一”；⑵等边三角形的每个内角都等于60°.⑴定义：三条边都相等的三角形是等边三角形.⑵有一个角是60°等腰三角形是等边三角形.⑶三个角都相等的三角形是等边三角形.图示∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC,∠A=∠B=∠C=60°．(1)∵AB=BC=AC,∴△ABC是等边三角形；(2) ∵AB=BC，∠A=60°,∴△ABC是等边三角形；(3)∵∠A=∠B=∠C，∴∴△ABC是等边三角形．Ⅱ.知识点全面突破知识点1：等腰三角形性质（重点）⒈等腰三角形的性质定理1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）；可用符号语言表述如下:如图1-1-1，在△ABC中，∵AB=AC ∴∠B=∠C.已知：如图1-1-1，在△ABC中， AB=AC.求证：∠B=∠C.图1-1-3定理的证明分析：利用分析法思考证明的过程：如下所示：作顶角的平分线AD.()AB AC B C ABD ACD SAS BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⇐≅⇐∠=⎨⎪=⎩，具体证明过程略.此外，我们还可以用AAS 、ASA 、SSS 证明这一性质.如取BC 的中点D ，连接AD,在△ABD 和△ACD中，AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACD （SSS ）,∴B C ∠=∠.2.等腰三角形的性质定理2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称“三线合一”).可用符号语言表述如下:如图1-1-2，在△ABC 中，AB=AC.若∠BAD=∠CAD ，那么AD ⊥BC ，BD=CD ； 若BD=CD ，那么∠BAD=∠CAD ，AD ⊥BC ；若AD ⊥BC ，那么∠BAD=∠CAD ，BD=CD.详解：①等腰三角形是特殊的三角形，它拥有一般三角形所具有的所有的性质．同时它还具有一般三角形所没有的特点和性质；②定理1常用来证明同一个三角形中的两个角相等；定理2实际上是等腰三角形中的两个结论，已知其中任意一个可以得到另两个结论，常用来证明角相等、线段相等或垂直；③将这两条性质用在特殊的等腰三角形即等边三角形中，可得等边三角的性质:等边三角形的各角都相等，并且都等于60°；等边三角形每一条边上的中线高都与所对的角平分线互相重合.例1.如图1-1-3，房屋的顶角∠BAC=100O ，过屋顶A 的立柱，屋椽AB=AC 求∠B ，∠C ，∠BAD ，∠CAD 的度数.解:在△ABC 中， AB=AC(已知).∴∠B=∠C(等边对等角) .∴∠B=∠C=21(180O -∠BAC) 图1-1-1图1-1-2=21(180O -100O )=40O (三角形内角和定理) .又∵AD ⊥BC ，∴∠BAD=∠CAD(等腰三角形顶角的平分线与底边上的高互相重合)，∴∠BAD=∠CAD=50O .点拨:已知等腰三角形的顶角，根据等边对等角及三角形的内角和定理可求出∠B 与∠C 的度数，再根据等腰三角形的三线合一，可得AD 是顶角的平分线，则∠BAD 与∠CAD 的度数即可求.例2：（2010，山东济南）（一题多解）如图1-1-4，已知AB AC AD AE ==，．求证BD CE =．证明：方法1 如图1-1-5过点A 作AH ⊥BC ，交BC 于点H ． ∵AB=AC ，AD=AE ，AH ⊥BC ， ∴BH=CH ， DH=EH∴BH 一DH=CH 一EH 即BD=CE 方法2 ∵AB=AC ∴∠B=∠C ∵AD=AE ∴∠ADE=∠AED∴180O-∠ADE=180O-∠AED 即∠ADB=∠AEC ∵AB=AC ，∠B=∠C ，∠ADB=∠AEC ∴△ABD ≌△ACE ∴BD=CE ．点拨：在等腰三角形中，虽然顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，但如何添加，要根据具体情况来定．本题中适合高AH AH ，利用等腰三角形的“三线合一”来解决这个问题。
等腰三角形的性质定理和判定定理
教学内容（一）知识梳理知识点1：等腰三角形的性质定理1:等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）证明：取BC的中点D，连接AD在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD（SSS）∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）知识点2：等腰三角形性质定理2:等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高，互相重合（简称“三线合一”）∵AB=AC ∵AB=AC ∵AB=AC∠1=∠2 AD⊥BC BD=DC∴AD⊥BC，BD=DC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠2,BD=DC AD⊥BC知识3：等腰三角形的判定定理：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写为“等角对等边”）证明：过A作AD⊥BC于D，则∠ADB=∠ADC=90°。
在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD （AAS）∴AB=AC【典型例题分析】例1. 如图，已知P、Q是△ABC边BC上两点，且BP=PQ=AP=AQ=QC，求∠BAC的度数。
解：∵AP=PQ=AQ（已知）∴△APQ是等边三角形（等边三角形的定义）∴∠APQ=∠AQP=∠PAQ=60°（等边三角形的性质）∵AP=BP（已知）∴∠PBA=∠PAB（等边对等角）又∠APQ=∠PAB+∠PBA=60°∴∠PBA=∠PAB=30°同理∠QAC=30°∴∠BAC=∠PAB+∠PAQ+∠QAC=30°+60°+30°=120°例2. 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，D、E、F分别为AB，BC，AC上的点，且BD=CE，∠DEF=∠B。
求证：△DEF是等腰三角形。
证明：∵∠B+∠BDE+∠BED=180°（三角形内角和定理）∠BED+∠DEF+∠FEC=180°（平角性质）∠B=∠DEF（已知）∴∠BDE=∠FEC（等角的补角相等）在△BED和△CFE中,∠BDE=∠FEC中（已证）,BD=CE （已知）,∠B=∠C （已知）∴△BED≌△CFE （ASA）,∴DE=EF （全等三角形对应边相等）∴△DEF是等腰三角形（等腰三角形定义）例3. 已知：如图，AC和BD相交于点O，AB∥CD，OA=OB，求证：OC=OD证明：∵AB∥CD （已知）∴∠A=∠C，∠B=∠D （两直线平行，内错角相等）∵OA=OB （已知）∴∠A=∠B （等边对等角）∴∠C=∠D （等量代换）∴OC=OD （等角对等边）例4. 如图，在四边形ABDC中，AB=2AC，∠1=∠2，DA=DB，试判断DC与AC的位置关系，并证明你的结论。
等腰三角形的性质与判定
等腰三角形的性质与判定等腰三角形是指具有两条边相等的三角形。
在几何学中，等腰三角形拥有一些独特的性质和判定条件。
本文将介绍等腰三角形的性质以及如何判定一个三角形是否为等腰三角形。
一、等腰三角形的性质：1. 两边相等：等腰三角形的两条边长度相等，即两边的边长相同。
2. 两顶角相等：等腰三角形的顶角（顶点所对的角）相等，即两个顶角的度数相同。
3. 底角相等：等腰三角形的底角（底边所对的角）相等，即两个底角的度数相同。
4. 对称轴：等腰三角形的对称轴通过顶角的顶点和底边的中点。
二、如何判定三角形为等腰三角形：1. 两边相等判定法：若一个三角形的两条边相等，那么这个三角形就是等腰三角形。
2. 两角相等判定法：若一个三角形的两个角度相等，那么这个三角形就是等腰三角形。
3. 底角相等判定法：若一个三角形的两个底角相等，那么这个三角形就是等腰三角形。
4. 边角关系判定法：若一个三角形的两边相等，同时这两边所对的角也相等，那么这个三角形就是等腰三角形。
由于等腰三角形的性质和判定条件相对简单明确，故在解决几何问题时常常利用这些性质进行推理和证明。
以下是一些等腰三角形的应用实例：实例一：已知三角形ABC，其中AB=AC，角B=60°，求角A和角C的度数。
解：由等腰三角形的性质可知，AB=AC，故角A=角C。
又知角B=60°，所以角A=角C=60°。
实例二：判断以下三角形是否为等腰三角形：三角形XYZ，其中XY=XZ，角Y=60°。
解：由等腰三角形的判定条件可知，若一个三角形的两边相等，同时这两边所对的角也相等，那么这个三角形就是等腰三角形。
已知XY=XZ，角Y=60°，符合判定条件，故三角形XYZ是等腰三角形。
实例三：已知等腰三角形PQR，其中底边PQ=8cm，顶角R=110°，求顶角P和底角Q的度数。
解：由等腰三角形的性质可知，底角Q=底角R。
又知顶角R=110°，所以底角Q=底角R=110°。
精!等腰三角形的性质及其判定
等腰三角形的性质及其判定（一）知识梳理知识点1：等腰三角形的性质定理1（1）文字语言：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）（2）符号语言：如图，在△ABC中，因为AB=AC，所以∠B=∠C（3）证明：取BC的中点D，连接AD在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD（SSS）∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）（4）定理的作用：证明同一个三角形中的两个角相等。
知识点2：等腰三角形性质定理2（1）文字语言：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高，互相重合（简称“三线合一”）（2）定理的作用：可证明角相等，线段相等或垂直。
说明：在等腰三角形中经常添加辅助线，虽然“顶角的平分线，底边上的高、底边上的中线互相重合，如何添加要根据具体情况来定，作时只作一条，再根据性质得出另两条”。
知识3：等腰三角形的判定定理（1）文字语言：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写为“等角对等边”）（2）符号语言：在△ABC中∵∠B=∠C ∴AB=AC（3）证明：过A作AD⊥BC于D，则∠ADB=∠ADC=90°。
在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD （AAS）∴AB=AC（4）定理的作用：证明同一个三角形中的边相等。
说明：①本定理的证明还有其他证明方法（如作顶角的平分线）。
②证明一个三角形是等腰三角形的方法有两种：1、利用定义 2、利用定理。
【典型例题分析】基础知识应用题：例1. 如图，已知P、Q是△ABC边BC上两点，且BP=PQ=AP=AQ=QC，求∠BAC的度数。
解：∵AP=PQ=AQ（已知）∴△APQ是等边三角形（等边三角形的定义）∴∠APQ=∠AQP=∠PAQ=60°（等边三角形的性质）∵AP=BP（已知）∴∠PBA=∠PAB（等边对等角）又∠APQ=∠PAB+∠PBA=60°∴∠PBA=∠PAB=30°同理∠QAC=30°∴∠BAC=∠PAB+∠PAQ+∠QAC=30°+60°+30°=120°解答此类题的步骤如下：（1）利用等边对等角根据已知角的度数求另一个角的度数。
等腰三角形的性质与判定
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1
定理：等腰三角形的两个底角相等 （“等边对等角”）
你能：等腰三角形的两个底角相等 （“等边对等角”）
已知：如图，在△ABC中，AB=AC
求证：∠B=∠C
A
B
D 整理ppt
C
3
定理：等腰三角形的顶角 平分线、
底边上的中线和高是同一条直线。 （三线合一）
A
B D
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C
E
10
练：如图， 在△ABC中AD⊥BC于D、 AB+DB=DC 求证：∠B=2∠C
A
B
D
C
E
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11
练：如图，AB＞AC，AD是角平分线， E是AB上的一点，AE=AC，EF∥BC交 AC于F，求证：CE平分∠DEF
A
E
F
B
D
C
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12
例：如图1，等边△ABC中，D是AB上的一动点， 以CD为一边向上作等边△EDC，连AE，
（2）△CEF是等边三角形
（3）将△ACM绕点C逆时针方向旋转 90 0 ，
在图2中补出符合条件的的图形，并判断（1） （2）两题的结论是否仍然成立，证明你的结论。
M
N
N
E
F
M
C
B
A
A
C
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定理：如果一个三角形的两个角相等， 那么这个这两个角所对的边也相等 （“等角对等边”）
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5
已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C 求证： AB=AC
等腰三角形的性质定理和判定定理
等腰三角形的性质和判定一、知识梳理知识点1：等腰三角形的性质定理1（1）文字语言：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）（2）符号语言：如图，在△ABC中，因为AB=AC，所以∠B=∠C（3）证明：取BC的中点D，连接AD在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD（SSS）∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）（4）定理的作用：证明同一个三角形中的两个角相等。
知识点2：等腰三角形性质定理2（1）文字语言：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高，互相重合（简称“三线合一”）（2）符号语言：∵AB=AC ∵AB=AC ∵AB=AC∠1=∠2 AD⊥BC BD=DC∴AD⊥BC，BD=DC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠2BD=DC AD⊥BC（3）定理的作用：可证明角相等，线段相等或垂直。
知识3：等腰三角形的判定定理（1）文字语言：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写为“等角对等边”）（2）符号语言：在△ABC中∵∠B=∠C ∴AB=AC（3）证明：过A作AD⊥BC于D，则∠ADB=∠ADC=90°。
在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD （AAS）∴AB=AC（4）定理的作用：证明同一个三角形中的边相等。
二、【典型例题分析】基础知识应用题：例1. 如图，已知P、Q是△ABC边BC上两点，且BP=PQ=AP=AQ=QC，求∠BAC的度数。
例2. 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，D、E、F分别为AB，BC，AC上的点，且BD=CE，∠DEF=∠B。
求证：△DEF是等腰三角形。
综合应用题：例3. 已知：如图，AC和BD相交于点O，AB∥CD，OA=OB，求证：OC=OD例4. 如图，在四边形ABDC中，AB=2AC，∠1=∠2，DA=DB，试判断DC与AC的位置关系，并证明你的结论。
例5. 求证：等腰三角形两腰上的中线相等解：已知：如图所示，在△ABC中，AB=AC，BD，CE是△ABC的中线求证：BD=CE例6. 如图，点C为线段AB上的一点，△ACM，△BCN是等边三角形，AN，MC相交于点E，CN与BM相交于点F。
等腰三角形的判定课件(共21张PPT)
等腰三角形的性质定理
1、从边看：等腰三角形的两腰相等。 （定义）
2、从角看：等腰三角形的两底角相等。 （性质定理1）
3、从重要线段看：等腰三角形的顶角平分线、 底边上的中线和底边上的高三线合一。 （性质定理2）
如何判定一个三角形是等腰三角形？
定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。
还有其他方法吗？
A
B
D C
例2：已知：AD交BC于点O，AB∥CD，OA=OB
求证：OC=OD
问题：
1、若已知AB∥ CD，OC=OD，能
A
否证明OA=OB？
2、若已知OA=OB，OC=OD，能否
证明AB ∥ CD？
C
B O
D
规律：
AB ∥ CD，OA=OB，OC=OD中已知任两 个可推出第三个。
例3、如图，在Rt△ABC和Rt△A’B’C’中,
已知：△ABC中，∠B=∠CBAC的平分线AD
A
在△ BAD和△ CAD中， 1 2
∠B=∠C，
∠1=∠2，
B
AD=AD
C
D
∴ △ BAD≌ △ CAD（AAS）
∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）
思考:作底边上的高可以吗?作底边中线呢?
等腰三角形的判定定理：
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个 角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)
∠ABC= ∠A’B’C’=90°，
AB=A’B’,AC=A’C’，
区别:条件和结论互换。
3、已知：ED ∥ OB，EO=ED
求证：Rt△ABC≌Rt△A’B’C’ 求证：OD平分 AOB。
例1 :已知：如图，∠CAE是△ABC的外角∠1=∠2，
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类型一、等腰三角形中有关度数的计算题
例1、如图,在△ABC中，D在BC上,且AB＝AC＝BD,∠1＝30°，求∠2的度数.
举一反三：
1.已知：如图，D、E分别为AB、AC上的点，AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE,求∠B的度数．
2.如图,在△ABC中AB=AC,点D在AC上，且BD=BC=AD,求三角形各角的度数。
等腰三角形性质及判定
要点一、等腰三角形的定义
有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形,其中相等的两条边叫做腰,另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角,底边与腰的夹角叫做底角.
如图所示，在△ABC中,AB＝AC,则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．
要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°。等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角(或直角)，但顶角可为钝角（或直角）.
3.如图,已知AD是△ABC的中线,BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．
构造等腰三角形解题的辅助线常用做法
等腰三角形是一种特殊的三角形，常与全等三角形的相关知识结合在一起考查。在许多几何问题中,通常需要构造等腰三角形才能使问题获解。那么如何构造等腰三角形呢？一般有以下四种方法：
Ａ．6㎝Ｂ．10㎝Ｃ．6㎝或10㎝ Ｄ．14㎝
7等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是（ ）
A．过顶点的直线 B．底边的垂线［]C．顶角的平分线所在的直线D．腰上的高所在的直线
8、在等腰三角形中,有一个角为40°，求其余各角．
9。已知一个等腰三角形的两边长a、b满足方程组 ．
(1）求a、b的值．（2）求这个等腰三角形的周长．
10若x，y满足|x﹣3｜+ =0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长为（ )
A． 12B．14C．15D．12或15
类型三、等腰三角形性质和判定综合应用பைடு நூலகம்
例3、已知：如图，△ABC中，∠ACB＝45°,AD⊥BC于D，CF交AD于点F，连接BF
并延长交AC于点E，∠BAD＝∠FCD．
求证：（1）△ABD≌△CFD；（2）BE⊥AC．
2、依据倍角关系构造等腰三角形
例2：如图。△ABC中,∠ABC=2∠C，AD是∠BAC的平分线求证:AB+BD=AB
3、依据角平分线+垂线,构造等腰三角形
例3，如图。△ABC中，AB=AC，∠BAC=90,BF平分∠ABC，CD⊥BD交BF的延长线于D,求证：BF=2CD
4、依据60°角或120°角，常补形构造等边三角形
∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ .
要点二、等腰三角形的性质
1。等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．
2.等腰三角形的性质的作用
性质1证明同一个三角形中的两角相等。是证明角相等的一个重要依据．
（1）依据平行线构造等腰三角形；
(2）依据倍角关系构造等腰三角形；
（3)依据角平分线+垂线构造等腰三角形;
（4）依据120°角或60°角，常补形构造等边三角形。
1、依据平行线构造等腰三角形
例1:如图。△ABC中，AB=AB，E为AB上一点，F为AC延长线上一点,且BE=CF，EF交BC于D，求证DE=DF。
3. 如图，在△ABC中,AB=AC,D、E分别在AC、AB边上,且BC=BD,AD=DE=EB，求∠A的度数
类型二、等腰三角形中的分类讨论
例2。等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（ ）．
A．60° B．120° C．60°或150° D．60°或120°
举一反三:
1。等腰三角形有一个外角是100°，这个等腰三角形的底角是．
2。等腰三角形的一个底角是70度，则它的顶角是＿＿＿＿＿＿
3。等腰三角形的周长是10，腰长是4，则底边为＿＿＿＿＿＿
4。等腰三角形的一个底角是30度，则它的底角是＿＿＿＿＿＿
5.等腰三角形的周长是20cm，一边长是8cm，则其它两边长为＿＿＿＿
6.等腰三角形的 周长为26㎝，一边长为6㎝，那么腰长为( ）
举一反三:
2如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB=AC，AD=AE．求证:BD=CE．
1.如图所示,在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°,AD∥BC，AB＝BC，E是AB的中点，CE⊥BD．
（1)求证:BE＝AD；
（2）求证：AC是线段ED的垂直平分线；
(3）△DBC是等腰三角形吗？并说明理由．
性质2用来证明线段相等,角相等，垂直关系等．
3.等腰三角形是轴对称图形
等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线)所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．
要点三、等腰三角形的判定
如果一个三角形中有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简称“等角对等边"）.
要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据。等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理。
例4，、如图。∠BAD=120°BD=DC AB+AD=AC 求证：AC平分∠BAD
4、如图，AC＝BC，∠ACB＝90°，∠A的平分线AD交BC于点D，过点B作BE⊥AD于点E。求证：BE＝ AD。（拓展）
5.(拓展)已知，如图,AD为△ABC的内角平分线，且AD＝AB,CM⊥AD于M. 求证：AM＝ (AB＋AC)．