2009高等数学下试卷及答案 2
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）
2008--2009学年第2学期 考试科目：高等数学A Ⅱ
考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟
学号 姓名 年级专业
一．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。将答案写在横线上） 1．微分方程"2'40y y y ++=的通解为_______________。（今年不作要求） 2．设y z x =，则dz = 。
3．设L 是圆周221x y +=，L 取逆时针方向,则 2L
ydx xdy +=?__________。
4．设0,||3,||1,||2a b c a b c ++====, 则a b b c c a ?+?+?= 。 5. 级数1
1(1)n n ∞
-=-∑是____________级数(填绝对收敛,条件收敛或发散)。
二．单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。）
1．过点(2,3,1)-且垂直于平面2310x y z +++=的直线方程是（ ）
A ．231231x y z -++==
B ．231
231x y z -+-==-- C
．231231x y z -+-== D ．231
231
x y z ---==- 2．设22()z y f x y
=+-，其中()f u 是可微函数,则z
y ?=? （ ） A ．22'12()yf x y +- B ．22'12()yf x y -- C ．2222'1()()x y f x y +-- D ．222'1()y f x y -- 3．下列级数中收敛的是（ ）
A ．1n ∞=
B ．1
1n n
n ∞
=+∑
C ．112(1)n n ∞=+∑
D ．n ∞
=
4. 设Ｄ：4122≤+≤y x ，f 在D 上连续，则??+D
d y x f σ)(22在极坐标
系中等于（ ）
Ａ. dr r rf ?2
1
)(2π Ｂ. dr r rf ?2
1
2)(2π
Ｃ. ??-1
2
2
2
])()([2dr r f r dr r f r π Ｄ. ??-1
22
2
])()([2dr r rf dr r rf π
5. 一曲线过
点，且在此曲线上任一点),(y x M 的法线斜率
ln x
k y x
=-
，则此曲线方程为（ ）
A. 21ln 2
2x y e
=
B. 21ln 21
)2
x y e =
C. 21
ln 2122
x y x e =+ D. 2
1ln 2x y e =
三．计算题（本大题共6小题，每小题5分， 共30分）
1．已知2
sin()z y xy x =+，求z x ??，2z x y
???。
2．判定级数232333*********
n
n
n +++++????的收敛性。 3．求级数∑∞
=++--11212)2()1(n n n n x 的收敛域。
4．计算二重积分2
2D
x dxdy y
??
，其中D 是由1xy =，y x =及2x =所围成的闭区域。
5．
设区域D 为222 (0)x y a a +≤>，若12
D
π
σ=
，求a 的值。
6. 计算???
≤++++=
2
2222
)(R z y x dxdydz z y x I .（今年不作要求） 四．解答题（本大题共5小题，每小题8分， 共40分）
1．设ln 0x z z y -=，证明0z z
z y
x y
??-=??。
2．某厂要用铁板做成一个体积为k 3 m 的无盖长方体水池，问长、宽、高
各取怎样的尺寸时，才能使用料最省。 3． 计算?-++=L
x x dy x y e dx y y e I )cos ()sin (，其中Ｌ为24x y --=由
Ａ(2,0)至Ｂ(2,0)-的那一弧段。
4．计算??∑
++=dxdy z dzdx y dydz x I 222，其中∑是)0(222a z z y x ≤≤=+ 的
外侧。（今年不作要求）
5. 设有连接点)0,0(O 和)1,1(A 的一段向上凸的曲线弧OA ?
，对于OA ?
上任一点),(y x P ，曲线弧OP ?
与直线段OP 所围图形的面积为2
x ，求曲线弧OA ?
的方程。
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）参考答案
一．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。）
1.
12()x y e C C -=+ 2. 1ln y y dz yx dx x xdy -=+ 3. π 4. 7- 5. 条件收敛
二．单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。） 1.C 2.B 3.A 4.A 5.D
三．计算题（本大题共6小题，每小题5分， 共30分）
1. 2cos()2z
y xy x x ?=+?………………..2分
22
2c o s ()s i n ()
z y x y x y x y x y ?=-??……..3分
2. 1lim n n n
u
u ρ+→∞=……..1分
1
133(1)2lim 132
2n n n n n
n n ++→∞+?==>?……….3分 所以级数发散………….1分
3. 令t x =-2，考虑级数∑∞
=++-1
1
212)1(n n n
n t
2123
21
232lim t n t n t n n n =++++∞→ ∴当12 当1 当1-=t 即1=x 时，级数 ∑∞ =++-1 1 1 21 )1(n n n 收敛； 当1=t 即3=x 时，级数 ∑∞ =+-1 1 21 )1(n n n 收敛； ∴级数的半径为R=1，收敛域为[1，3]。………………1分 4. 222 2211 x D x x x dxdy dx dy y y =?? ??……………….2分 2 31 ()x x dx =-+?………………2分 1 4 =……………………………1分 5. 20 a D d rdr π σθ= ?……………2分 1 22222 12()()() 2a a r d a r π=?---? 32 3 a π=…………………………………..2分 所以32312 a π π=,得12a =………………………………..1分 6. = I ??? ≤++++2 222)(2 22R z y x dxdydz z y x ???≤+++2 222R z y x xydxdydz ???≤+++2 2222 R z y x yzdxdydz ???≤+++2 2222R z y x zxdxdydz ……………..2分 = ???ππρρ??θ20 4sin R d d d ………………………………………2分 =5 5 4R π………………………………………………………………………..1分 四．解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分） 1. 化简得, ln ln 0x z z z y -+= 设ln ln F x z z z y =-+ 所以 1,,l n 1l n x y z z F F F z y y ===--+…………………….2分 所以 1 l n 1l n x z F z x F z y ?=-= ?+-……………………………………….2分 (l n 1l n ) y z F z z y F y z y ?=-= ?+-………………………………….2分 所以0z z z y x y ??-=??…………………………………….2分 2. 设长、宽、高分别为,,x y z ,则 22S xz yz xy =++且xyz k =……………………………1分 设(,,,)22()L x y z xz yz xy xyz k λλ=+++-……………..2分 则 2020220L z y yz x L z x xz y L x y xy x xyz k λλλ??=++=??? ??=++=??????=++=???=?………………………………..3分 解得x y z ===…………………….2分 3. 连接，并设由L 及所围成的区域为D ，………………….1分 则 ? ? ? ? ? -=-+= +BA BA L BA BA L I ……………………………2分 ??-----D x x dxdy y e y e Green 0)1cos 1cos (公式………………3分 ππ422 122 =??=………………………………………………..2分 4. 作辅助曲面a z =∑:1 ，上侧，则由Gauss 公式得：…………….....1分 ??∑ = I +?? ∑1 ??∑-1 = ????∑∑+∑-1 1 ………………………………..2分 = ??? ??≤≤≤+≤+- ++a z z y x a y x dxdy a dxdydz z y x 0,2 2222 22)(2…………….2分 =? ?? ≤+-a z y x a zdxdy dz 4 2 222 π………………………………………2分 40 432 1 2 a a dz z a πππ-=-=? ……………………………………1分 5. 设OA ? 的方程为)(x y y =，且记)(00x y y = 则由题设条件得： ? =- 00 2 00 0)(x x dx x x y y 即 ?=- 20002 1x x y x ydx …………………………………………..2分 将),(00y x 改为),(y x 得：?=-x x xy ydx 02 2 1……………….1分 求导得：41 -=-'y x y ，且1)1(=y ……………………………..2分 该方程的通解为??-+=? - dx x dx x e dx e c y 1 1 ))4(( x x c )ln 4(-=……………………………….2分 又1)1(=y ，即=11)1ln 4(-c ，所以1=c 故所求的曲线方程为y )ln 41(x x -= (01)x ≤≤…………….1分 华南农业大学期末考试试卷（A 卷） 2009~2010学年第2学期 考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、 单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15 分） 1．微分方程'220y y x ---=是（ ） A ．齐次方程 B ．可分离变量方程 C ．一阶线性方程 D ．二阶微分方程 2．过点(1,2,3--且与直线25 421 x y z +-==-垂直的平面方程是 （ ） A ．4250x y z +-+= B ．4250x y z ++-= C ．42110x y z +-+= D ．42110x y z ++-= 3．设(,)ln()2y f x y x x =+ ，则(1,1)y f =（ ） A ．0 B ．13 C ．1 2 D ．2 4．若lim 0n n u →∞ =，则级数1 n n u ∞ =∑（ ） A ．可能收敛，也可能发散 B ．一定条件收敛 C ．一定收敛 D ．一定发散 5．下列级数中发散的是 （ ） A ．112n n ∞ =∑ B ．11(1)n n ∞-=-∑ C ．n ∞ = D ．n ∞= 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．微分方程"4'50y y y -+=的通解为______。（今年不作要求） 2．设有向量(4,3,0),(1,2,2)a b ==-，则2a b +=____________________。 3．设有向量(1,1,0),(a b ==- ，它们的夹角为θ，则 c o s θ=____________________。 4．设x z y =，则dz =____________________。 5．设L 是圆周229x y +=（按逆时针方向绕行），则曲线积分 2(22)(4)L xy y dx x x dy -+-? 的值为____________________。 三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1．已知arctan x z y =，求2,z z x x y ?????。 2．求微分方程()()0x y x x y y e e dx e e dy ++-++=的通解。 3．求微分方程'cos y y x x x -= 满足初始条件2 |2x y ππ ==-的特解。 4．判定级数14! n n n n n ∞ =?∑的敛散性。 5．计算二重积分D xdxdy ??，其中D 是由直线y x =和圆周22(1)1x y +-=所 围成且在直线y x =下方的闭区域。 6．设区域D 由,2,2 y x y x x π === 围成，sin()1D A x y dxdy +=??，其中A 为 常数，试求A 的值。 7．计算曲线积分L xydx ?，其中L 为圆周222()(0)x a y a a -+=>及x 轴所 围成的在第一象限内的区域的整个边界（按逆时针方向绕行）。 四、解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 1．要做一个具有体积为0V 的有盖圆柱形铁桶，问当高H 与底半径R 之比 H R 的值为多少时用料最省？ 2. 设对任意的x 和y ,有22 4f f x y ?????? += ? ???????,用变量代换221()2 x uv y u v =???=-??将 (,)f x y 变换成(,)g u v ,试求满足22 22g g a b u v u v ?????? -=+ ? ???????中的常数a 和b 3. 计已知()F x 是()f x 的一个原函数,而()F x 是微分方程'x xy y e +=满足初始条件0 lim ()1x y x →=的解,试将()f x 展开成x 的幂级数,并求1(1)! n n n ∞ =+∑ 。 华南农业大学期末考试试卷（A 卷） 2009~2010学年第2学期 考试科目：高等数学A Ⅱ参考答案 一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．C 2、C 3、B 4、A 5、D 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．212(cos sin )x y e C x C x =+ 2．(6,1,4)- 3．1 2 4．1ln x x y ydx xy dy -+ 5．18π- 三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1．2221 1()z y y x x x y y ?==?++……………………………3分 222222 2222222()()z x y y x y x y x y x y ?+--==??++……………………7分 2．分离变量 11 y x y x e e dy dx e e =--+…………………………………….4分 积分 ln(1)ln(1)ln y x e e C -=-++…………………………….6分 通解 (1)(1)y x e e C -+=………………………………………….7分 3．原方程化为 1 'cos y y x x x -=……………………………………………….2分 1 1 (cos ) (cos ) dx dx x x y e x x e dx C x dx C -??=??+=+?? (sin )x x C =+……………………………………………5分 由条件: (sin )222 C π π π - = + 得: 2C =-…………………………………………………6分 特解为: (sin 2)y x x =-………………………………….7分 4．111(1)4! lim lim 4(1)!n n n n n n n n u n n u n n +++→∞→∞+=?+…………………….5分 11lim (1)144 n n e n →∞=+=< 所以原级数收敛……………………………………………7分 5．2sin 40 cos I d d π θ θθρρ=??? …………………………….5分 34440 082 1 sin cos sin 33 6 d ππ θθθθ===?……………………..7分 6．22 sin()sin()x x D A x y dxdy A dx x y dy π +=+????………5分 22 20 0sin 2sin 3(cos 2cos3)( )2 3 3 x x A A x x dx A πππ=-=- = ? 由 13 A =, 得3A =……………………………………….7分 7．2cos 20 cos a L D xydx xdxdy d d π θ θρθρρ=-=-?????? …..5分 343208cos 32 a d a π π θθ=-=-?……………………………….7分 四、解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 1、222A RH R ππ=+ 令22022()F RH R R H V ππλπ=++-………………….3分 2 20242020 R H F H R RH F R R R H V πππλππλπ=++=??=+=??=? 即 2020 20 H R RH R R H V λλπ++=?? +=??=? ………………………………………..5分 得: 2R H =, 即 2H R =…………………………………7分 2、由题意221 (,)(,())2 g u v f uv u v =-……………………………..1分 所以 ''12g f v f u u ?=?+??，''12()g f u f v v ?=?+?-?……………………………..3分 因此有 2 2 22'222'2''121122 ()()()()2()g g a b u v av bu f au bv f uv a b f f u v ??????- ? ??????? =-+-++=+………………..5分 利用'2'212()()4f f +=，即'2'221()4()f f =-得 22'222'2''121122'2''2211122 ()()()()2()()()()2()44av bu f au bv f uv a b f f a b v u f a b uvf f au bv u v -+-++=+-+++-=+ 由此得14a = ，1 4 b =-……………………………………………..7分 3、由' x xy y e +=得x e C y x +=………………………………..2分 根据0lim ()1x y x →=，有1C =-，故1 ()x e F x x -=……………….3分 于是' ' 1()(())()x e f x F x x -==………………………………..4分 而111!x n n e x x n -∞=-=∑……………………………………………..5分 故1 ' '11()(())()(1)! x n n e nx f x F x x n -∞=-===+∑ ……………………..6分 于是' 1 1 1[()] 1(1)!x x n n e n x ∞ ==-==+∑…………………………..7分 华南农业大学期末考试试卷（A 卷） 2010--2011学年第2学期 考试科目： 高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、单项选择题（本大题共５小题，每小题３分，共１５分） １．与三坐标轴夹角均相等的单位向量为 （ ） Ａ．(1,1,1) Ｂ．111(,,)333 Ｃ． Ｄ．111(,,)333-- - ２．设ln x z y =，则11 x y dz === （ ） Ａ．dy dx - Ｂ．dx dy - Ｃ．dx dy + Ｄ．0 ３．下列级数中收敛的是 （ ） Ａ．1n ∞ = Ｂ．1n ∞= Ｃ．113n n ∞=∑ Ｄ．11 3n n ∞ =∑ ４．当||1x <时，级数11 (1)n n n x ∞ -=-∑是 （ ） Ａ．绝对收敛 Ｂ．条件收敛 Ｃ．发散 Ｄ．敛散性不确定 ５．设函数()p x ，()q x ，()f x 都连续，()f x 不恒为零，1y ，2y ，3y 都是 ()()()y p x y q x y f x '''++=的解，则它必定有解是（ ）（今年不作要求） Ａ．123y y y ++ Ｂ．123y y y +- Ｃ．123y y y -- Ｄ．123y y y --- 二、填空题（本大题共５小题，每小题３分，共１５分） １．微分方程''6'90y y y -+=的通解为＿＿＿＿＿．（今年不作要求） ２．设有向量(4,3,1)a →=，(1,2,2)b →=-，则2a b →→ -＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿． ３．过点(1,1,0)-且与平面32130x y z +--=垂直的直线方程是＿＿＿＿＿＿． ４．设2cos()z xy =，则 z y ??＝＿＿＿＿＿＿＿． ５．设L 为曲线2y x =上从点(0,0)到点(1,1)的一线段，则32(2)L x y dx +?＿＿＿． 三、计算题（本大题共７小题，每小题6分，共４2分） １．求微分方程2(12)(1)0x y dx x dy +++=的通解． ２．设2 2()xy z x y =+，求z x ??及2z x y ???． ３．判断级数 23 112123 ! 10101010n n ???++++ +的敛散性． ４．设一矩形的周长为2，现让它绕其一边旋转，求所得圆柱体体积为最大时矩形的面积及圆柱体的体积． ５．将函数2 ()x f x xe - =展开成x 的幂级数，并确定其收敛域． ６．设(,)z z x y =是由方程2z x y z e +-=确定的隐函数，求全微分dz . ７．计算二重积分cos D y dxdy y ?? ，其中D 是由y =y x =围成的区域． 四、解答题（本大题共4小题，每小题７分，共２8分） １．计算曲线积分 22(2)()L xy x dx x y dy -++? ，其中L 是由曲线2y x =和 2y x =所围成的区域的正向边界曲线． ２．计算二重积分D σ，其中区域D 由221x y +≤，0x ≥及 0y ≥所确定． ３．设()u f xyz =，(0)0f =，(1)1f '=，且3222 ()u x y z f xyz x y z ?'''=???，试求u 的表达式．（今年不作要求） ４．计算曲面积分)I xdydz ydzdx zdxdy ∑ =++，其中∑为上 半球面z =（今年不作要求） 参考答案 一、选择题（本大题共５小题，每小题３分，共１５分） １．Ｃ ２．Ｂ ３．Ｃ ４．Ａ ５．Ｂ 二、填空题（本大题共５小题，每小题３分，共１５分） １．312()x y C C x e =+ ２．(7,8,0) ３．11321 x y z +-==- ４．22sin()xy xy - ５． 7 10 三、计算题（本大题共７小题，每小题６分，共４２分） １．求微分方程2(12)(1)0x y dx x dy +++=的通解． 解：21 112x dx dy x y =-++? ?．．．．．．．．．．（１分） 221111(1)(12)21212d x d y x y +=-+++??．．．．．．．．．（５分） 2ln(1)ln |12|ln x y C +=-++，即2(1)(12)x y C ++=． ．．．．．（６分） ２．设2 2()xy z x y =+，求z x ??及2z x y ???． 解：设v z u =，22u x y =+，v xy =．．．．．．．．．．（１分） 2222222 2()(ln())xy z z u z v x y x y y x y x u x v x x y ?????=+=+++?????+．．．．．．．．．．（３分） 24334222222 222 2(2)()[(21ln())ln()]() xy z x x y y x y xy xy x y x y x y x y ?++=++++++??+．（ ６分） ３．判断级数 23112123! 101010 10 n n ???+++++的敛散性． 解：1 1(1)!10lim lim !10n n n n n n u n u n ρ++→∞→∞+==．．．．．．．．．．（３分） 1 lim 10 n n →∞+==∞．．．．．．．．．．．（５分） 所以级数发散．．．．．．．．（６分） ４．设一矩形的周长为2，现让它绕其一边旋转，求所得圆柱体体积为最大时矩形的面积及圆柱体的体积． 解：设矩形两边长分别为,x y ．则1x y +=，假设绕长度为y 的一边旋转，则圆柱体体积为2V x y π=．．．．．．．．．．．．（２分） 作拉氏函数2(,,)(1)F x y x y x y λπλ=++-．．．．．．．．（３分） 解方程组 2 2001xy x x y πλπλ+=??+=??+=? ． ．．．．．．．．．．．．．．．（４分） 得可能的极值点21 (,)33 ．．．．．．．．．．．．．．（５分） 由题意知道其一定是所求的最值点，所以最大体积为 4 27 π，对应面积为29 ．．．．．．．．．．（６分） ５．将函数2 ()x f x xe - =展开成x 的幂级数，并确定其收敛域． 解：因为2 12! ! n x x x e x n =+++ ++ ．．．．．．．（１分） 所以2 2 21(1)222!2! x n n n x x x e n - =-++ +-+ ?? ．．．．．．．．．．（３分） 23 1 1 2 211 ()(1)(1) 222!2! 2(1)! x n n n n n n n x x x x f x xe x n n +∞ - --===-++ +-+ =-???-∑（５ 分） 收敛域为(,)-∞+∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．（６分） ６．设(,)z z x y =是由方程2z x y z e +-=确定的隐函数，求全微分dz . 解：2(,,)z F x y z x y z e =+--．．．．．．．．（１分） 1,2,1z x y z F F y F e ===--． ．．．．．．．．．．（３分） 所以12,11y x z z z z F F z z y x F e y F e ??=-==-= ?+?+．．．．．．．． ．（５分） 故1 (2)1z z z dz dx dy dx ydy x y e ??= +=+??+．．．．．．．．．．（６分） ７．计算二重积分 cos D y dxdy y ??，其中D 是由y =y x =围成的区域． 解：积分区域为：2{(,)|01,}D x y y y x y =≤≤≤≤．．．．．．．．（１分） 210cos cos y y D y y dxdy dy dx y y =????．．．．．．．．．．（３分） 1 (1)cos y ydy =-?．．．．．．．．．．．．（５分） 1cos1=-．．．．．．．．．（６分） 四、解答题（本大题共４小题，每小题７分，共２８分） １．计算曲线积分 22(2)()L xy x dx x y dy -++? ，其中L 是由曲线2y x =和 2y x =所围成的区域的正向边界曲线． 解： 22(2)()(12)L D xy x dx x y dy x d σ-++=-? ??． ．．．．．（２分） 210 2)x dx x dy =-?． ．．．．．．．（４分） 1 31 2 32 2 (22)x x x x dx =--+?．．．．．．．．（６分） 130 = ．．．．．．（７分） ２．计算二重积分D σ，其中区域D 由221x y +≤，0x ≥及 0y ≥所确定． 解：' D D σθ=．．．．．．．．．．（２分） 2 d π θ=?? ． ．．．．．．．．．．．（４分） 2 2 4d π πθ-=?．．．．．．（６分） ＝(2) 8 ππ-= ．．．．．．．．．（７分） ３．设()u f xyz =，(0)0f =，'(1)1f =，且3222 ()u x y z f xyz x y z ?'''=???，试求u 的表达式． 解：22(),()()u u yzf xyz zf xyz xyz f xyz x x y ??''''==+??? 3222()3()()u f xyz xyzf xyz x y z f xyz x y z ?''''''=++???． ．．．．．．．（２分） 因为3222()u x y z f xyz x y z ?'''=???，所以()3()0f xyz xyzf xyz '''+= 令xyz t =，得3()()0tf t f t '''+=．．．．．．（４分） 安徽大学2011—2012学年第一学期 《高等数学A （三）》考试试卷（A 卷） 院/系 年级 专业 姓名 学号 答 题 勿 超 装 订 线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线---------------------------------------- （闭卷 时间120分钟） 考场登记表序号 题 号 一 二 三 四 五 总分 得 分 阅卷人 得分 一、选择题（每小题2分，共10分） 1.设A 为阶可逆矩阵，则下列各式正确的是（ ）。 n （A）； （B）1(2)2A ?=1A ?11(2)(2)T T A A ??=； （C）； （D）。 1111(())(())T T A A ????=11(())(())T T T A A ???=1 2.若向量组12,,,r αα α可由另一向量组12,,,s ββ β线性表示，则下列说法正确的是 （ ）。 （A）； （B）r ； r s ≤s ≥（C）秩(12,,,r ααα )≤秩(12,,,s ββ β)； （D）秩(12,,,r ααα ≥)秩(12,,,s ββ β)。 3.设,A B 为阶矩阵，且n A 与B 相似，E 为阶单位矩阵，则下列说法正确的是（ ）。 n （A）E A E B λλ?=?； （B）A 与B 有相同的特征值和特征向量； （C）A 与B 都相似于一个对角矩阵； （D）对任意常数，与k kE A ?kE B ?相似。 4.设123,,ααα为3R 的一组基，则下列向量组中，（ ）可作为3R 的另一组基。 （A）11212,,3ααααα??； （B）1212,,2αααα+； （C）12231,,3αααααα++?； （D）12231,,3αααααα+++。 5.设，，()0.8P A =()0.7P B =(|)0.8P A B =，则下列结论正确的是（ ）。 （A）事件A 与B 互不相容； （B）A B ?； （C）事件A 与B 互相独立； （D）。 ()()()P A B P A P B =+∪ 2017学年春季学期 《高等数学Ⅰ（二）》期末考试试卷（A ） 注意： 1、本试卷共 3 页； 2、考试时间110分钟； 3、姓名、学号必须写在指定地方 1．已知a 与b 都是非零向量，且满足-=+a b a b ，则必有（ ）. (A)-=0a b (B)+=0a b (C)0?=a b (D)?=0a b 2.极限2 2 22 00 1 lim()sin x y x y x y →→+=+( ). (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D)不存在 3．下列函数中，d f f =?的是( ). （A ）(,)f x y xy = （B ）00(,),f x y x y c c =++为实数 （C ）(,)f x y = （D ）(,)e x y f x y += 4．函数(,)(3)f x y xy x y =--，原点(0,0)是(,)f x y 的( ). （A ）驻点与极值点 （B ）驻点，非极值点 （C ）极值点，非驻点 （D ）非驻点，非极值点 5．设平面区域2 2 :(1)(1)2D x y -+-≤，若1d 4D x y I σ+= ??，2D I σ=，3D I σ=，则有（ ）. （A ）123I I I << （B ）123I I I >> （C ）213I I I << （D ）312I I I << 6．设椭圆L ： 13 42 2=+y x 的周长为l ，则22(34)d L x y s +=?（ ）. (A) l (B) l 3 (C) l 4 (D) l 12 7．设级数 ∑∞ =1 n n a 为交错级数，0()n a n →→+∞，则（ ）. (A)该级数收敛 (B)该级数发散 (C)该级数可能收敛也可能发散 (D)该级数绝对收敛 8.下列四个命题中，正确的命题是（ ）. （A ）若级数 1n n a ∞ =∑发散，则级数 21n n a ∞ =∑也发散 （B ）若级数 21 n n a ∞ =∑发散，则级数 1 n n a ∞=∑也发散 （C ）若级数 21n n a ∞ =∑收敛，则级数 1 n n a ∞ =∑也收敛 （D ）若级数 1 ||n n a ∞=∑收敛，则级数2 1 n n a ∞=∑也收敛 二、填空题(7个小题，每小题2分，共14分)． 1.直线3426030x y z x y z a -+-=??+-+=? 与z 轴相交，则常数a 为 . 2．设(,)ln(),y f x y x x =+则(1,0)y f '=______ _____. 3．函数(,)f x y x y =+在(3,4)处沿增加最快的方向的方向导数为 . 三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名 ……………………．……答 题 不 要 超 过 密 封 线…………．……………………………… 高等数学下试题及参考 答案 内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128） 华南农业大学期末考试试卷（A 卷 ） 2016~2017学年第2 学期 考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为 。 2. 设向量(2,1,2)a =，(4,1,10)b =-，c b a λ=-，且a c ⊥，则λ= 。 3．经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为 。 4．设yz u x =，则du = 。 5．级数11 (1)n p n n ∞ =-∑，当p 满足 条件时级数条件收敛。 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．微分方程2()'xy x y y +=的通解是 （ ） A ．2x y Ce = B ．22x y Ce = C ．22y y e Cx = D ．2y e Cxy = 2 ．求极限(,)(0,0)lim x y →= （ ） A ．14 B ．12- C ．14- D ．12 3．直线:3 27 x y z L = =-和平面:32780x y z π-+-=的位置关系是 （ ） A ．直线L 平行于平面π B ．直线L 在平面π上 C ．直线L 垂直于平面π D ．直线L 与平面π斜交 4．D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤ ，则D σ= （ ） A ．33()2 b a π- B ．332()3 b a π- C ．334()3 b a π - D ． 3 33()2 b a π- 5．下列级数收敛的是 （ ） A ．11(1)(4)n n n ∞ =++∑ B ．2111n n n ∞=++∑ C ．1 1 21n n ∞ =-∑ D ．n ∞ = 三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特 解。 2. 计算二重积分22 D x y dxdy x y ++?? ，其中22 {(,):1,1}D x y x y x y =+≤+≥。 同济大学版高等数学期 末考试试卷 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．211 f dx x x ??' ????的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ??+ ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 高等数学A(下册)期末考试试题 一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上） 1、已知向量a 、b 满足0a b +=，2a =，2b =，则a b ?= ． 2、设ln()z x xy =，则32 z x y ?=?? ． 3、曲面2 2 9x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 ． 4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于 ，在x π=处收敛于 ． 5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? ． ※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分） 1、求曲线222 222 239 3x y z z x y ?++=??=+??在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、求由曲面2222z x y =+及22 6z x y =--所围成的立体体积． 3、判定级数 1 1 (1)ln n n n n ∞ =+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2, z z x x y ?????． 5、计算曲面积分 ,dS z ∑ ??其中∑是球面2222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部． 三、（本题满分9分） 抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离 的最大值与最小值． （本题满分10分） 计算曲线积分 (sin )(cos )x x L e y m dx e y mx dy -+-? ， 其中m 为常数，L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周2 2 (0)x y ax a +=>． 四、（本题满分10分） 求幂级数1 3n n n x n ∞ =?∑的收敛域及和函数． 《 高等数学》 一.选择题 1.当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的（） A)、x y =B)、x y sin =C)、x y cos 1-=D)、1-=x e y 2.函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3.下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、 (( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4.下列各式正确的是（） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+?D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5.下列等式不正确的是（）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =???????B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=???? ??? C ）、()()x f dx x f dx d x a =???????D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6.0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7.设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（） 高等数学（下册）试卷（一） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示 为 ，其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则 =++?? ∑ ds y x )122 （ 。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 。 8、级数 ∑∞ =+1) 1(1 n n n 的和为 。 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续； （B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（ ） （A ）4 ? ??20 20 1 3cos sin π π ???θdr r d d ； 《高等数学》 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ） 、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin 2008-2009学年第一学期期末试题 一、填空题（每题5分，共30分） 1．曲线1ln()y x e x =+的斜渐近线方程是________________________ 2．若函数)(x y y =由2cos()1x y e xy e +-=-确定，则在点(0,1)处的法线方程是________ 3．设()f x 连续，且21 40 ()x f t dt x -=? ，则(8)______f = 4．积分 20 sin n xdx π =? ___________________ 5．微分方程044=+'+''y y y 的通解为_____________ 6 ．曲边三角形y = 0,1y x ==绕x 轴旋转所得的旋转体体积为_________ 二．选择题（每题3分，共15分） 1．当0x +→ ） () A 1- () B () C 1 () D 1-2. 若1()(21)f x x x ??=-???? ，则()f x 在（ ）处不连续 ()A 3x = ()B 2x = ()C 12x = ()D 13 x = 3．若()sin cos f x x x x =+，则（ ） ()A (0)f 是极大值，()2f π是极小值， ()B (0)f 是极小值，()2f π 是极大值 ()C (0)f 是极大值，()2f π 也是极大值 ()D (0)f 是极小值，()2 f π 也是极小值 4．设线性无关的函数123,,y y y 都是二阶非齐次线性方程()()()y p x y q x y f x '''++=的解， 12,c c 是任意常数，则该方程的通解为（ ） ()A 11223c y c y y ++， ()B 1122123()c y c y c c y +-+， ()C 1122123(1)c y c y c c y +---， ()D 1122123(1)c y c y c c y ++--， 5．极限2 1 33lim ( )n n i i n n n →∞=-∑可表示为（ ） ()A 2 2 13x dx -? ()B 1 2 03(31)x dx -? ()C 2 2 1 (31)x dx --? () D 1 20 x dx ? 《高等数学A 》(下）期末试卷A 答案及评分标准 一、选择题（本大题分5小题，每题3分，共15分） 1、交换二次积分 ? ? x e dy y x f dx ln 0 1 ),(的积分次序为 （ c ） (A ) ? ? x e dx y x f dy ln 0 1 ),( (B ) ?? 1 ),(dx y x f dy e e y (C ) ? ? e e y dx y x f dy ),(10 (D ) ?? e x dx y x f dy 1 ln 0 ),( 2、锥面22y x z +=在柱面x y x 22 2≤+内的那部分面 积为 （D ） (A ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 22 d d (B ) ? ? - θπ π ρ ρθcos 20 222 d d (C ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 2 22 2d d (D ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 22 2d d 3、若级数∑∞ =-1 )2(n n n x a 在2-=x 处收敛，则级数 ∑∞ =--1 1 )2(n n n x na 在5=x （B ） (A ) 条件收敛 (B ) 绝对收敛 (C ) 发散(D ) 收敛性不确定 4、下列级数中收敛的级数为 （ A ） (A ) ∑∞ =-1 )13(n n n n (B ) ∑∞ =+1 21n n n (C ) ∑∞ =+1 11 sin n n (D ) ∑∞ =1 3!n n n 5、若函数 )()2()(2 222x axy y i xy y x z f -+++-=在复平面上处处解析，则实常数a 的值 为 （ c ） (A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) -2 《高等数学》试卷1（下） 一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a +=++-=2,2，则有（ ）. A.a ∥b B.a ⊥b C.3,π=b a D.4 ,π=b a 3.函数11 22222-++--=y x y x y 的定义域是（ ）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.(){}21,22<+ A.x -11 B.x -22 C.x -12 D.x -21 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 23+--=xy xy y x z ，则=???y x z 2_____________________________. 4. x +21的麦克劳林级数是___________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求.,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,y z x z ???? 3.计算σd y x D ??+22sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 四.应用题（10分?2） 1.要用铁板做一个体积为23 m 的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？ . 试卷1参考答案 一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题 1.0622=+--z y x . 2.()()xdy ydx xy +cos . 3.1962 2--y y x . 4. ()n n n n x ∑∞=+-01 21. 《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）. 四川理工学院试卷（2007至2008学年第一学期） 课程名称： 高等数学(上)(A 卷) 命题教师： 杨 勇 适用班级： 理工科本科 考试(考查)： 考试 2008年 1 月 10日 共 6 页 注意事项： 1、 满分100分。要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。 2、 考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否 则视为废卷。 3、 考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。 4、 如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷 分别一同交回，否则不给分。 试 题 一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共15分） 1. =--→1 ) 1sin(lim 21x x x ( C ) (A) 1； (B) 0； (C) 2； (D) 2 1 2.若)(x f 的一个原函数为)(x F ，则dx e f e x x )(? --为( B ) (A) c e F x +)(； (B) c e F x +--)(； (C) c e F x +-)(； (D ) c x e F x +-) ( 3.下列广义积分中 ( D )是收敛的. (A) ? +∞ ∞ -xdx sin ； (B)dx x ? -111 ； (C) dx x x ?+∞ ∞-+2 1； (D)?∞-0dx e x 。 4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数，则下列结论错误的是( B ) (A) )(x f 可导，则)(x f 一定连续； (B) )(x f 可微，则)(x f 不一定可导； (C) )(x f 可积（常义），则)(x f 一定有界； (D) 函数)(x f 连续，则? x a dt t f )(在[]b a ,上一定可导。 5. 设函数=)(x f n n x x 211lim ++∞→ ，则下列结论正确的为( D ) (A) 不存在间断点； (B) 存在间断点1=x ； (C) 存在间断点0=x ； (D) 存在间断点1-=x 二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题3分，共18分） 1. 极限=-+→x x x 1 1lim 20 _0____. 2. 曲线? ??=+=3 2 1t y t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程x xe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22 )2(2 1+- ，则该方程的通解为 . 4. 设)(x f 在2=x 处连续，且22 ) (lim 2=-→x x f x ，则_____)2(='f 5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力F （牛顿）与伸长量s 成正比，即ks F =（k 为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm 时，所作的功为_________焦耳。 6．曲线23 3 2 x y =上相应于x 从3到8的一段弧长为 . 三、设0→x 时，)(22 c bx ax e x ++-是比2 x 高阶的无穷小，求常数c b a ,,的值（6分） 西南科技大学2013-2014-2学期《高等数学B2》本科期末考试试卷（A卷） 2、设y z x =，求dz=__________。 3、求曲线23,,x t y t z t ===在点(1,1,1)处的切线方程________。 4、求函数3u xy z =在点(1,1,2)-处的梯度__________。 5、设,αβ为有向曲线弧L 在点(,)x y 处的切向量的方向角，则平面曲线L 上的两类曲线积分的关系(________________)L L Pdx Qdy ds +=??。 三、解答题（1-2小题每题8分，3-8小题每题9分，共70分） 1、 求曲面22214x y z ++=上平行于平面2320x y z ++=的切平面方程。 2、 设2 2 (,),z f x y xy = -，其中 f 具有连续的二阶偏导数，求2z x y ???。 3、 求函数4242z x xy y =-+的极值。 4、 计算|1|D I x y dxdy =+-??，其中[0,1][0,1]D =?。 5、 把二次积分4 2200 )dx x y dy +?化为极坐标形式，并计算积分值。 1、解：令222(,,)14F x y z x y z =++-， 在点000(,,)P x y z 处的法向量为000(,,)n x y z =r 000 123 x y z k ===令 ，代入方程22214x y z ++=中可得1k =±---————--4分， 在点（1，2，3）处的切平面为2314x y z ++=-————----2分， 在点（-1，-2，-3）处的切平面为23140x y z +++=----————-2分。 2、解：122(3)z xf yf x ?'' =+?分。 3、解：3440,440x y z x y z x y =-==-+=求得驻点为（0，0），（1，1），（-1，-1）。（3分） 212,4,4xx xy yy A z x B z C z ====-==，在点（0，0）处2160AC B -=-<没有极值，（3分） 在点（1，1）和（-1，-1）处2320,0AC B A -=>>，所以有极小值(1,1) 1.z ±±=-（3分） 4、解： 5 、解3334 4cos 22 3 4 2 200 )64cos 12dx x y dy d r dr d π π θ θθθπ+===??? ?分 分 分 。 6、解：131 lim 3 31n n n n n ρ+→∞==+，所以收敛半径为3，收敛区间为323x -<-<，即15 x -<<（3分） 当5x =时1131 3n n n n n n ∞ ∞ ===∑∑g 发散（2 分），当1x =-时11(3)(1)3n n n n n n n ∞ ∞ ==--=∑∑ g 收敛，（2分） 因此原级数的收敛域为[1,5)-。（2分） 7、解：42332,4,24Q P P xy y Q x xy x y x y ??=-=-==-??，所以该曲线积分和积分路径无关。（4分） 11 4 2 3 30 (23)(4)314)=3L xy y dx x xy dy dx y dy -++-=+-???（（5 分） 8、解：由高斯公式得22322 ()2=()xy dydz x y z dzdx xydxdy x y dxdy ∑ Ω +-++????? ò（4分） 由柱面坐标224 22300 28()3 r x y dxdydz d r dz π π θΩ +== ?????（5分） 高等数学(下册)期末考试试题 考试日期：2012年 院（系）别 班级 学号姓名 成绩 一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上） 1、已知向量a 、b 满足0a b +=，2a =，2b =，则a b ?=-4． 2、设ln()z x xy =，则32 z x y ?=??-(1/y2)． 3、曲面2 2 9x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 2 (x-1)+4(y-2)+z-4=0． 4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于，在x π=处收敛于． 5、设L 为连接(1,0) 与(0,1)两点的直线段，则 ()L x y ds +=?√2． ※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分） 1、求曲线222 222 239 3x y z z x y ?++=??=+??在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、求由曲面2222z x y =+及22 6z x y =--所围成的立体体积． 故所求的体积为V dv Ω =???22 2620 20 2(63)6d d dz d πρρθρπρρπ-==-=?? (7) 3、判定级数 1 1 (1) ln n n n n ∞ =+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z z x x y ?????． 高等数学（下）模拟试卷一 一、填空题（每空3分，共15分） （1）函数 11z x y x y =+ +-的定义域为 （2）已知函数 arctan y z x =，则z x ?= ? （3）交换积分次序， 2 220 (,)y y dy f x y dx ? ? ＝ （4）已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? （5）已知微分方程230y y y '''+-=，则其通解为 二、选择题（每空3分，共15分） （1）设直线L 为321021030x y z x y z +++=?? --+=?，平面π为4220x y z -+-=，则（） A.L 平行于πB.L 在π上C.L 垂直于πD.L 与π斜交 （2）设是由方程 222 2xyz x y z +++=确定，则在点(1,0,1)-处的dz =（） dx dy +2dx dy +22dx dy +2dx dy -（3）已知Ω是由曲面222425()z x y =+及平面5 z =所围成的闭区域，将 2 2()x y dv Ω +???在柱面坐标系下化成三次积分为（） 22 5 3 d r dr dz πθ? ??. 24 5 3 d r dr dz πθ? ?? 22 5 3 50 2r d r dr dz πθ? ??. 22 5 20 d r dr dz π θ? ?? （4）已知幂级数，则其收敛半径（） 2112 2（5）微分方程3232x y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y * =（） ()x ax b xe +()x ax b ce ++()x ax b cxe ++ 三、计算题（每题8分，共48分） 1、 求过直线1L :1231 01x y z ---==-且平行于直线2L ：21211x y z +-==的平面方程 2、 已知 22 (,)z f xy x y =，求z x ??，z y ?? 3、 设 22{(,)4}D x y x y =+≤，利用极坐标求 2 D x dxdy ?? 4、 求函数 22 (,)(2)x f x y e x y y =++的极值 得分 阅卷人 一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a ρρρ ρρ??+=++-=2,2，则有（ ）. A.a ρ∥b ρ B.a ρ⊥b ρ C.3,π=b a ρρ D.4 ,π=b a ρρ 3.函数1 122 2 22-++ --= y x y x y 的定义域是（ ）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.( ){} 21,22<+ 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 2 3 +--=xy xy y x z ，则 =???y x z 2_____________________________. 4. x +21 的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求 .,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程052422 2 2 =-+-+-z x z y x 确定，求 .,y z x z ???? 3.计算 σd y x D ?? +2 2sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 5.求微分方程x e y y 23=-'在00 ==x y 条件下的特解. 四.应用题（10分?2） 华北科技学院12级《电子商务专业》高等数学二期末考试试题 一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内。 1、 .设函数25x y e =+，则'y = A.2x e B.22x e C. 225x e + D.25x e + 2、设y x =+-33，则y '等于（ ） A --34x B --32x C 34x - D -+-334x 3、设f x x ()cos =2，则f '()0等于（ ） A －2 B －1 C 0 D 2 4. 曲线y x =3的拐点坐标是（ ） A （－1，－1） B （0，0） C （1，1） D （2，8） 5、sin xdx ?等于（ ） A cos x B -cos x C cos x C + D -+cos x C 6、已知()3x f x x e =+，则'(0)f = A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7、下列函数在(,)-∞+∞内单调增加的是 A.y x = B.y x =- C. 2y x = D.sin y x = 8、1 20x dx =? A.1- B. 0 C. 13 D. 1 9、已知2x 是()f x 的一个原函数，则()f x = A.2 3 x C + B.2x C.2x D. 2 10. 已知事件A 的概率P （A ）＝0.6，则A 的对立事件A 的概率P A ()等于（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7 二、填空题：11～20小题，每小题4分，共40分。把答案填写在题中横线上。 11、lim()x x x →-+=13 2____________________。 12、lim()x x x →∞-=13____________________。 13、函数y x =+ln()12的驻点为x ＝____________________。 14、设函数y e x =2，则y "()0=____________________。 15、曲线y x e x =+在点（0，1）处的切线斜率k ＝____________________。 16、()12 +=?x dx ____________________。 17、2031lim 1 x x x x →+-=+ 。 18、设函数20,()02,x x a f x x ≤?+=?>? 点0x =处连续，则a = 。 19、函数2 x y e =的极值点为x = 。 20、曲线3y x x =-在点（1,0）处的切线方程为y = 。 三、解答题：21～24小题，共20分。解答应写出推理、演算步骤。 21、（本题满分5分） 计算lim x x x x →-+-122321安徽大学高等数学3期末考试试卷
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